Álgebra lineal Selectividad CCSS 2004

Vista previa del material en texto

MasMates.com
Colecciones de ejercicios
Álgebra lineal
Selectividad CCSS 2004
1. [ANDA] [JUN-B] Sean las matrices A = 2 -1 0
0 2 -1
, B = 2 1
2 2
, C = 
1 -2
0 2
-2 0
.
a) Calcule la matriz P que verifica B·P-A = Ct (Ct indica traspuesta de C).
b) Determine la dimensión de la matriz M para que pueda efectuarse el producto A·M·C.
c) Determine la dimensión de la matriz N para que Ct·N sea una matriz cuadrada.
2. [ANDA] [SEP-B] De una matriz se sabe que su segunda fila es -1 2 y su segunda columna es 
1
2
-3
. Halle los restantes
elementos de A sabiendo que 1 1 1
2 0 1
·A = 0 0
0 -1
.
3. [ARAG] [JUN-A] Se consideran las matrices A = 
0 1
-3 1
2 1
 y B = 1 3 2
0 1 -4
.
a) Calcular AB y BA.
b) Discutir si existe solución del sistema AB
x
y
z
 = 
2
5
0
. En caso afirmativo, resolverlo utilizando el método de Gauss.
4. [ARAG] [SEP-B] Se consideran las matrices A = 
1 0 0
0 2 1
1 2 2
, B = 
-3 2 0
0 1 2
0 2 3
 y C = 
-3 -1 0
1 0 4
2 1 3
.
a) Utilizando la matriz inversa de A determinar una matriz X tal que AX = B+C.
b) Discutir si existe solución del sistema B
x
y
z
 = 
2
1
2
. En caso afirmativo, resolverlo utilizando el método de Gauss.
5. [ASTU] [JUN] Un individuo realiza fotografías con una cámara digital. Sabe que cada fotografía de calidad normal ocupa siempre
0'20 megabytes de memoria. Cada fotografía de calidad óptima ocupa siempre una cantidad A de megabytes, pero el individuo no
la conoce. Esta semana ha llevado a revelar 24 fotografías que le han ocupado en total 9'2 megabytes de memoria.
a) Plantea un sistema de ecuaciones (en función de A) donde las incógnitas sean el número de fotos de cada clase que harealizado.
Estudia la compatibilidad del sistema.
b) ¿Hay alguna cantidad de megabytes que es imposible que ocupe cada foto de calida óptima?
c) La semana pasada también hizo 24 fotos y ocupó 9'2 megabytes de memoria en total. ¿Es posible que el número de fotos de
cada tipo fuera diferente al de esta semana?
6. [ASTU] [SEP] Sean las matrices A = 2 x 2
0 m
, B = 5
y
, C = 0
10m
, D = 1
m
, E = 3 m .
a) Calcula cada uno de los tres productos AB, DE, EB.
b) Si AB+C = D, plantea un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (representadas por x, y) en función de m. ¿Para qué valores
de m el sistema tiene solución? ¿Es siempre única?
7. [C-LE] [JUN-A] La suma de las tres cifras de un número es 18, siendo la cifra de las decenas igual a la media de las otras dos. Si
se cambia la cifra de las unidades por la de las centenas, el número aumenta en 198 unidades. Calcula dicho número.
8. [C-LE] [JUN-B] Sea A = x -1
1 y
.
a) Calcula A2.
b) Calcula todos los valores de x e y para los que se verifica que A2 = x+1 -2
2 -1
.
9. [C-LE] [SEP-A] Sean las matrices A = 1 0
1 2
, B = x 2
1 y
 y C = -1
1
, donde x e y son desconocidos.
Página 1 de 4 15 de septiembre de 2010
MasMates.com
Colecciones de ejercicios
Álgebra lineal
Selectividad CCSS 2004
a) Calcula las matrices ABC y AtC (At denota la matriz traspuesta de A).
b) Halla x e y para que se verifique ABC = AtC.
10. [C-MA] [JUN] a) Resuelve la ecuación matricial X·A + At = X·B, siendo At la matriz transpuesta de A.
b) Halla la matriz X sabiendo que A = 
1 0 0
0 1 1
-1 0 -1
 y B = 
3
2
0 -1
1
2
1 1
-3
2
1 -1
.
11. [C-MA] [JUN] Las edades de tres vecinos suman 54 años y son proporcionales a 2, 3 y 4. Halla la edad de cada uno de ellos.
12. [C-MA] [SEP] a) Resuelve la ecuación matricial X·A + X·At = C, siendo At la matriz transpuesta de A.
b) Halla la matriz X sabiendo que A = 
1 -1 0
0 1 2
-1 -1 0
 y C = 0 1 -1
3 0 -1
.
13. [C-MA] [SEP] En una clase se celebran elecciones para Delegado. Se presentan dos candidatos: X e Y. El 5% del total de votos
emitidos es nulo. Cuatro veces el número de votos obtenido por Y menos tres veces el número de votos obtenidos por X excede al
número de votos nulos en una unidad. Si dividimos el número de votos obtenidos por X entre el número de los obtenidos por Y se
obtiene de cociente 1 y de resto 7. ¿Cuántos votos obtuvo cada candidato?
14. [CANA] [JUN-A] Juan, Pedro y Luis corren a la vez en un circuito. Por cada kilómetro que recorre Juan, Pedro recorre 2
kilómetros y Luis recorre tres cuartas partes de lo que recorre Pedro. Al finalizar, la suma de las distancias recorridas por los
tres fue de 45 kilómetros. ¿Cuántos kilómetros recorrió cada uno?
15. [CANA] [SEP-A] Una empresa de juguetes fabrica bicicletas, triciclos y coches en los que utiliza un mismo modelo de ruedas. Se
sabe que, en los 280 juguetes que va a fabricar, se necesitan 945 ruedas. Si se van a producir 10 bicicletas menos que triciclos:
a) ¿Cuántos coches, bicicletas y triciclos se fabricarán?
b) Si las bicicletas se venden a 65 €, los tricilos a 75 € y los coches a 90 €, ¿cuál es el valor total de los juguetes producidos?
16. [CATA] [JUN] Juana y Mercedes tenían 20000 € cada una para invertir. Cada una de ellas distribuye su dinero de la mismaforma
en tres partes P, Q y R, y las ingresa en una entidad financiera. Al cabo de un año, a Juana le han dado un 4% de interéspor la
parte P, un 5% por la parte Q y un 4% por la parte R y a Mercedes le han dado un 5% por la parte P, un 6% por la parte Q yun 4%
por la parte R. Juana ha recibido en total 850 € de intereses, mientras que Mercedes ha recibido 950 €. ¿De qué cantidad de
euros constaba cada una de las partes P, Q y R?
17. [CATA] [JUN] Tres hermanos tienen edades diferentes, pero sabemos que la suma de las edades de los tres hermanos es de 37
años, y la suma de la edad del mayor más el doble de la edad del mediano más el triple de la edad del menor es de 69 años.
a) Exprese las edades de los tres hermanos en función de la edad del hermano menor.
b) ¿Es posible que el hermano menor tenga 5 años? ¿Y 12 años? Razone la respuesta.
c) Calcule la edad de los tres hermanos.
18. [CATA] [SEP] Discuta y, en su caso, resuelva el siguiente sistema: 
4x+6y-8z = 2
6x+9y-12z = 3
x+2y+z = 10
.
19. [CATA] [SEP] Tenemos dos cajas de libros A y B. Si pasamos 12 libros de la caja A a la B, las dos cajas tendrán la misma cantidad
de libros. Si pasamos 12 libros de la B a la A, la caja A tendrá el triple de libros que la caja B. ¿Cuántos libros contiene cada caja?
20. [EXTR] [JUN-B] Determinar la matriz X que verifica la ecuación B·X - A = 2X, siendo A = 7 -7
3 1
 y B = -2 1
0 3
.
Justificar la respuesta.
Página 2 de 4 15 de septiembre de 2010
MasMates.com
Colecciones de ejercicios
Álgebra lineal
Selectividad CCSS 2004
21. [EXTR] [SEP-B] Determinar las matrices A y B que verifican: 2A-B = 4 1 7
6 0 -3
, A+2b = 3 -2 -4
3 5 1
. Justificar la respuesta.
22. [MADR] [JUN-B] Hallar todas las matrices X = a 0
b c
, a, b, c  , que satisfacen la ecuación matricial X2 = 2X.
23. [MADR] [SEP-A] Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependiente del parámetro real m: 
y-3z = 5
-x+y+z = -4
x+my-mz = 1
.
a) Discútase el sistema según los diferentes valores del parámetro m.
b) Resuélvase el sistema para m = 2.
24. [MURC] [JUN] Encontrar tres números A, B y C, tales que su suma sea 210, la mitad de la suma del primero y del último más la
cuarta parte del otro sea 95 y la media de los dos últimos sea 80.
25. [MURC] [SEP] En una compañía envasan los bombones en cajas de 250 gr, 500 gr y 1 kg. Cierto día se envasaron 60 cajas en total,
habiendo 5 cajas más de tamaño pequeño (250 gr) que de tamaño mediano (500 gr). Sabiendo que el precio del kilo de bombones
es de 40 euros y que el importe total de los bombones envasados asciende a 1250 euros, ¿cuántas cajas se han envasado de cada
tipo?
26. [RIOJ] [JUN] Una matriz cualquiera, ¿siempre se puede multiplicar por su traspuesta?
27. [RIOJ] [JUN] Todo sistema con más ecuaciones que incógnitas es incompatible. ¿Verdadero o falso?
28. [RIOJ] [JUN] Calcula el determinante de las siguientes matrices: A = 1 2
2 5
, B = 
1 -2 3
5 0 6
3 -6 9
.
29. [RIOJ] [SEP] Sea la siguiente matriz 2x2: A = 2 0
0 5
. Calcula AT y A-1.
30. [RIOJ] [SEP] Discute y resuelve (si son compatibles) los siguientes sistemasde ecuaciones lineales:
x+y-2z = -5
2x-y+z = 2
3x+2y+z = 5
 ; 
-x+2y = -1
x-3y = 0
2x-5y = 1
31. [VALE] [JUN-A] Dadas las matrices A = -4 0
1 1
, B = -1 2
2 0
 y C = 2 0
-1 2
, calcular la matriz X que verifica la ecuación AXB = 2C.
32. [VALE] [JUN-B] Juan decide invertir una cantidad de 12.000 euros en bolsa, comprando acciones de tres empresas distintas, A,B
y C. Invierte en A el doble que en B y C juntas. Transcurrido un año, las acciones de la empresa A se ha revalorizado un 4%, lasde
B un 5% y las de C han perdido un 2% de su valor original. Como resultado de ello, Juan ha obtenido un beneficio de 432,5 €.
Determinar cuánto invirtió Juan en cada una de las empresas.
33. [VALE] [SEP-A] Obtener la matriz X que verifica: AX-B = 3X, siendo A = 
3 2 -1
3 0 1
2 1 3
 y B = 
-2
-1
1
.
34. [VALE] [SEP-B] Dos hijos deciden hacer un regalo de 100 € a su madre. Como no tienen suficiente dinero, cuentan con la ayuda de
su padre, decidiendo pagar el regalo de la siguiente forma: el padre paga el triple de lo que pagan los dos hijos juntos y por cada 2
€ que paga el hijo menor, el mayor paga 3 €. ¿Cuánto dinero ha de poner cada uno?
Página 3 de 4 15 de septiembre de 2010
MasMates.com
Colecciones de ejercicios
Álgebra lineal
Selectividad CCSS 2004
 Soluciones
1. a) 4 -3
-3
2
-5 5 1
 b) 3x3 c) 3x2 2. 
-1 1
-1 2
2 -3
 3. a) 
0 1 -4
-3 -8 -10
2 7 0
, -5 6
-11 -3
 b) c.i. (-7-14k,2+4k,k) 4. a) 
-6 1 0
-3 0 3
7 1 0
 b) c.d. (0,1,0) 5. a) A = 1
5
: inc; A  1
5
: c.d. b) 0'2
c) si 6. a) 10x+4y
2my
, 30 10m
30m 10m2
, 15+my b) m=0: c.i; m0: c.d. 7. 576 8. a) x
2-1 -x-y
x+y y2-1
 b) x=2; y=0 9. a) 2-x
2y-x
, 0
2
 b) 2, 2 10. a) -At(A-B)-1 b) 
1 1 0
0 1 1
1 0 1
11. 12, 18, 24 12. C A+At -1; 1 0 2
2 1 0
 13. 32, 25 14. 10, 20, 15 15. a) 160, 55, 65 b) 22850€ 16. 5000, 5000, 10000 17. a) 5+x, 32-2x, x b) no, no c) 15, 12,
10 18. c.i. (11k-28,19-6k,k) 19. 60, 36 20. -1 2
3 1
 21. -1 0 2
3 1 -1
, 2 -1 -3
0 2 1
 22. b=0: 0 0
0 0
, 0 0
0 2
, 2 0
0 0
, 2 0
0 2
; b0: 2 0
b 0
, 0 0
b 2
 23. a) m = -2: inc; m 
-2: c.d. b) 0,-7
4
,-9
4
 24. 50, 40, 120 25. 25, 20, 15 26. si 27. falso 28. 1, 0 29. 2 0
0 5
, 1
10
5 0
0 2
 30. inc.; c.d: 1, 3 31. 1
2
0 -1
4 1
 32. 8000, 2750, 1250
33. 1
5
-2
9
28
 34. 75, 15, 10
Página 4 de 4 15 de septiembre de 2010