Derivadas Selectividad CCNN 2011

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1. [ANDA] [JUN-A] Se desea construir un depósito cilíndrico cerrado de área total igual a 54 m2. Determina el radio de la base y la
altura del cilindro para que éste tenga volumen máximo.
2. [ANDA] [JUN-B] Sea f:[1,+) la función definida por f(x) = x-1. Determina el punto P de la gráfica de f que se encuentra a
menor distancia del punto A(2,0). ¿Cuál es esa distancia?
3. [ANDA] [SEP-A] Calcula la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 y área máxima.
4. [ANDA] [SEP-B] Sea f la función definida por f(x) = 3x
4+1
x3
 para x  0.
a) Estudia las asíntotas de la gráfica de la función.
b) Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que
alcanzan).
5. [ARAG] [JUN-B] Sea la función f(x) = x
3
(x-1)2
a) Calcular su dominio.
b) Calcular sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.
c) Analizar sus puntos de inflexión.
6. [ARAG] [SEP-A] En un campo hay plantados 50 manzanos. En este momento cada manzano produce 800 manzanas. Está estudiado
que por cada manzano que se añade al campo, los manzanos producen 10 manzanas menos cada uno. Seterminar el número de
manzanos que se deben añadir para maximizar la producción de manzanas de dicho campo.
7. [ARAG] [SEP-B] Sea la función f(x) = x
2
4-x
. Determinar:
a) Su dominio de definición.
b) Sus asíntotas.
c) Máximos y mínimos.
d) Intervalos de crecimiento y decrecimiento.
8. [ASTU] [JUN-A] Se desea diseñar un libro de forma que cada página tenga 600 cm2 de área. Sabiendo que los márgenes superior
e inferior son de 4 cm cada uno y los laterales de 2 cm, calcule las dimensiones de cada página para que el área impresa sea
máxima.
9. [ASTU] [JUN-B] Calcule:
1. lim
x0
9+x- 9-x
9x
2. lim
x0-
1
x2
tan(x)
 (Nota: tan = tangente)
10. [ASTU] [SEP-A] Sabiendo que el lim
x0
3x-m·senx
x2
 es finito, calcule el valor de m y halle el límite.
11. [ASTU] [SEP-B] Sea f: la función definida por f(x) = x
3-x2 si x  1
ax+b si x > 1
a) Calcule los valores de a y b para que la función sea derivable en todos los números reales.
b) Para esos valores de a y b halle los extremos de la función y dibuje su gráfica.
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12. [C-LE] [JUN-A] a) Estudiar si la función f:[0,2]   dada por f(x) = 
x si 0  x  1
- 3
2
x2 + 7
2
x-1 si 1 < x  2
 verifica la hipótesis del
teorema de Rolle. Enunciar dicho teorema.
b) Calcular lim
x0
cos(2x)-e-x-x
xsen(x)
.
13. [C-LE] [JUN-B] Sea f(x) = x
2-3x+3
x-1
a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y sus
asíntotas.
b) Esbozar su gráfica.
14. [C-LE] [SEP-A] Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,2) y determina en el primer cuadrante un triángulo con los
ejes coordenados un triángulo de área mínima. Calcular dicha área.
15. [C-LE] [SEP-B] Dada la función f(x) = ln x
x
, determinar su dominio de definición, sus asíntotas, extremos relativos y puntos de
inflexión. Hacer un esbozo de su representación gráfica.
16. [C-MA] [JUN-A] Dda la función f(x) = 4x
2+3x+4
2x
, se pide:
a) Calcula las asíntotas verticales y oblicuas de f(x).
b) Coordenadas de los máximos y mínimos relativos de f(x).
17. [C-MA] [JUN-B] En cierto experimento, la cantidad de agua en testado líquido C(t), medida en litros, está determinada en
función del tiempo t, medido en horas, por la expresión: C(t) = 2
3
 + 10t + 10
t
 + 240
t3
, t[1,10]. Halla cuál es la cantidad mínima de
agua en estado líquido y en qué instante de tiempo se obtiene, en el intervalo comprendido entre t = 1 hora y t = 10 horas.
18. [C-MA] [SEP-A] a) Determina el valor del parámetro a para que la función f(x) = (x-a)ex tenga un mínimo relativo en x = 0.
Razona que, de hecho, es un mínimo absoluto.
b) Para el valor de a obtenido, calcula los puntos de inflexión de f(x).
19. [C-MA] [SEP-B] a) Enuncia el teorema de Bolzano y el teorema de Rolle.
b) Demuestra que la ecuación ex+x7 = 0 tiene al menos una solución real.
c) Demuestra que, de hecho, dicha solución es única.
20. [CANA] [JUN-A] Estudiar la derivabilidad de la siguiente función en todo su dominio, dando expresiones de la derivada donde
exista: 
1+sen2x si x  0
x3+1 si 0 < x < 1
ex2-1 si x  1
.
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1 2 3 4 5-1-2-3-4
1
2
3
-2
-3
-4
X
Y21. [CANA] [JUN-B] Indicar, para una función f(x), sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento,
los valores de x que correpsonden a sus máximos y mínimos relativos, así como sus intervalos de
concavidad y de convexidad, sabiendo que su función derivada tiene la gráfica de la derecha (a=-1.33
y b=3.33).
22. [CANA] [SEP-A] Estudiar la derivabilidad de la siguiente función en todo su dominio, dando expresiones de la derivada donde
exista: 
sen2x+ 1
3
e-2x si x  0
x+1
3
 +ln(x+1) si 0 < x < 2
x2-2x si x  2
23. [CANA] [SEP-A] Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima situado en el primer cuadrante, que tenga un vértice en el
origen de coordenadas, un vértice sobre el eje OX, otro sobre el eje OY y otro sobre la recta de ecuación 4x+3y = 12.
24. [CANA] [SEP-B] Representar la gráfica de una función f(x) que tenga las siguientes propiedades:
a) Es continua en todos los reales salvo -4 y 0.
b) Tiene asíntotas verticales en x = -4 y x = 0.
c) Para x  +, se cumple f(x)  0.
d) Corta al eje OX solamente en un punto, que es de inflexión.
e) Su segunda derivada es negativa en (-,-6) y en (-4,0), siendo positiva en (-6,-4) y en (0,+).
25. [CANA] [SEP-B] Se desea hacer una ventana con forma de triángulo rectángulo, de modo que el lado mayor sea de 2 metros.
¿Cuáles deben ser las dimensiones de los otros dos lados para que la ventana tenga área máxima?
26. [CATA] [JUN] Sea f(x) = x2e-ax, cuando a  0.
a) Calcule el valor de a para que esta función tenga un extremo relativo en el punto de abscisa x = 2.
b) Cuando x = 2, clasifique sus extremos relativos.
27. [CATA] [SEP] Dada la función f(x) = x3+ax2+bx+c:
a) Encuentre la relación que deben cumplir los parámetros a, b y c para que f(x) tenga un extremo relativo en el punto de abscisa
x = -1.
b) Calcule el valor del parámetro a para que haya un punto de inflexión de la función f(x) en el punto de abscisa x = 0.
c) Encuentre la relación entre los parámetros a, b y c sabiendo que la gráfica de f(x) corta al eje OX en el punto de abscisa x = 2.
d) Calcule el valor de los parámetros a, b y c para que se cumplan las tres condiciones anteriores simultaneamente.
28. [EXTR] [JUN-A] a) Enuncie el teorema de Rolle.
b) Pruebe que cualquiera que sea la constante a, la función f(x) = x3-5x2+7x+a cumple las hipótesis de dicho teorema en el
intervalo [1,3]. Calcule un punto del intervalo abierto (1,3) cuya existencia asegura el teorema de Rolle.
29. [EXTR] [JUN-B] a) Estudie las asíntotas, los extremos relativos y los puntos de inflexión de la función f(x) = xe-x.
b) Represente, utilizando los datos obtenidos en el apartado anterior, la gráfica de la función f(x).
30. [EXTR] [SEP-A] Determine los valores de los parámetros a y b para que la función f(x) = a·cos2x+bx3+x2 tenga un punto de
inflexión en x = 0.
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31. [EXTR] [SEP-B] Calcule el límite lim
x0
ex-e-x+2x
sen2x
.
32. [MADR] [JUN-A] a) Calcular el siguiente límite: lim
x+
x
x+ x
.
b) Demostrar que la ecuación 4x5+3x+m = 0 solo tiene una raíz real, caulquiera que sea el número m. Justificar la respuesta
indicando qué teoremas se usan.
33. [MADR] [JUN-B] Dada la función f(x) = ax
4+1
x3
, se pide:
a) Determinar el valor de a para el que la función posee un mínimo relativo en x = 1. Para ese valor de a, obtener los otros puntos
en los que f tiene un extremorelativo.
b) Obtener las asíntotas de la gráfica de f(x) para a = 1.
c) Esbozar la gráfica de la función para a = 1.
34. [MADR] [SEP-B] Dada la función f(x) = 
e1/x si x < 0
k si x = 0
cosx-1
senx
si x > 0
 hallar el valor de k para que f sea continua en x = 0. Justificar la
respuesta.
35. [MURC] [JUN-A] Dada la función f(x) = e
x+1
ex-1
, se pide:
a) Estudiar si existen asíntotas verticales y calcular los límites laterales en caso de que las haya.
b) Estudiar si existen asíntotas horizontales y calcularlas en caso de que las haya.
36. [MURC] [JUN-B] Las manecillas de un reloj miden 4 y 6 cm; uniendo sus exrtemos se forma un triángulo.
a) Demuestre que el área de dicho triángulo viene dada por la función A(x) = 12sen(x), donde x denota el ángulo formado por las
manecillas del reloj.
b) Determine el ángulo que deben formar las menecillas del reloj para que el área de dicho triángulo sea máxima. ¿Cuál es el valor
de dicha área? Se puede utilizar el apartado a) aunque no se halla demostrado.
37. [MURC] [SEP-A] Dada la función f(x) = x3-6x2+8x, se pide:
a) Determine los puntos de la gráfica de f para los cuales la recta tangente es paralalela a la bisectriz del segundo cuadrante.
b) Determine si, para alguno de dichos puntos, la recta tangente a la gráfica coincide con la bisectriz del segundo cuadrante.
38. [MURC] [SEP-B] Dada la función f(x) = x-x3, se pide:
a) Calcula le ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (1,0).
b) Calcule los puntos de corte de dicha recta con la gráfica de f.
39. [RIOJ] [JUN] Contesta razonadamente si, para la función f(x) =ln x2+3x , existe algún punto en el que la tangente a la gráfica
de f(x) es perpendicular a la recta 2x-y+2 = 0.
40. [RIOJ] [JUN] Calcula el dominio, las asíntotas, los intervalos de crecimiento, máximos y mínimos y los puntos de inflexión de la
función f(x) = x-ln x2-1 . Representa la gráfica de f(x) a partir de los datos obtenidos.
41. [RIOJ] [JUN] Con una cuerda de 2 metros queremos construir un cuadrado de lado l y un círculo de radio r de modo que la suma
de sus áreas sea mínima. ¿Cuánto deben medir l y r?
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42. [RIOJ] [SEP] Encuentra a, b para que la función definida como f(x) = 
x2 si x < 1
ax+b si 1  x  2
2x2 si x > 2
 sea continua en los puntos x = 1, x = 2.
Determina, para los valores de a, b hallados, si la función es derivable en x = 1, x = 2.
43. [RIOJ] [SEP] Encuentra los valores de a, b, c para los que la función f(x) = alnx+bx+cx2 tiene en el punto (1,0) un mínimo relativo
y cumple lim
x+
f(x)
x2
 = 1.
44. [VALE] [JUN-B] Se desea construir un campo rectangular con vértices A, B, C y D, de manera que:
Los vértices A y B sean puntos del arco de la parábola y = 4-x2, -2  x  2 y el segmento de extremos A y B es horizontal.
Los vértices C y D sena puntos del arco de la parábola y = x2-16, -4  x  4 y el segmento de extremos C y D es también
horizontal.
Los puntos A y C deben tener la misma abscisa, cuyo valor es el número real positivo x.
Los puntos B y D deben tener la misma abscisa, cuyo valor es el número real negativo -x.
Se pide obtener razonadamente:
a) La expresión S(x) del campo rectangular en función del número real positivo x.
b) El número real positivo x para el que el área S(x) es máxima.
c) El valor del área máxima.
45. [VALE] [SEP-A] Dada la función f definida por f(x) = x2e-x, obtener razonadamente:
a) El dominio y el recorrido de la función f.
b) Los valores de x donde la función f(x) = x2e-x alcanza el máximo relativo y el mínimo relativo.
c) Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de dicha función f.
d) Los valores de x donde la función f(x) = x2e-x tiene los puntos de inflexión.
e) La gráfica de la curva y = x2e-x, explicanod con detalle la obtención de su asíntota horizontal.
 Soluciones
1. 1'69, 3'39 2. 3
2
, 2
2
; 3
2
 3. 8
3
, 4 3
3
 4. a) x = 0 ; y = 3x b) crec: (-,-1)(1,+); max: (-1,-4); min: (1,4) 5. a) -{1} b) crec: (-,1)(3,+) c) 0 6. 15 7. a)
-{4} b) x = 4; y = -x-4 c) min: 0; max: 8 d) crec: (0,4)(4,8). 8. 17'32x34'64 9.1. 1
27
 9.2. 1 10. 3; 0 11. a) 1, -1 b) 
1 2-1
-1
X
Y
 12. a) si b) -5
2
 13.
a) crec: (-,0)(2,+); max: 0; min: 2; conv: (1,+)<; asin: x = 1; y = x-2 b) 1 2 3 4 5-1-3
1
3
-2
-4
X
Y
 14. y = -2x+4; 4 15. dom: (0,+); asint: x = 0; y = 0; max: e; p.i.: e e
1 2 3 4 5
1
-1
X
Y
 16. a) x = 0; y = 2x+3
2
 b) -1,-5
2
, 1,11
2
 17. (3,42'899) 18. a) 1 b) -1 20. Der: -{1} f(x) = 
sen2x si x  0
3x2
2 x3+1
si 0 < x < 1
2xex2-1 si x > 1
 21. crec: (-3,1)(5,+);
min: -3; max: 1; conv: (-,-1'33)(3'33,+); p.i: -1'33, 3'33 22. Derv: -{2} f'(x) = 
2cosx- 2
3
e-2x si x  0
x+4
3x+3
si 0 < x < 2
x-1
x2-2x
si x > 2
 23. 1'5x2 25. 2, 2 26. a) 1 b) max: 1; min: 0
27. a) 2a-b = 3 b) a = 0 c) 4a-2b+c = 8 c) 0, -3, 2 28. b) 7
3
 29. a) asint: y = 0; max: 1; p.i: 2 b) 1 2 3 4-1
1
-2
X
Y
 30. a=1, b0. 31. 0 32. a) 1 33. a) 3; max: -1;
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min: 1 b) x = 0; y = x c) 
1 2 3 4-1-3
1
3
-2
-4
X
Y
 34. 0 35. a) x = 0; -, + b) y = -1, y = 1 36. 90º; 12 37. a) (1,3), (3,-3) b) si 38. a) y = -2x+2 b) (1,0), (-2,6) 39.
(-6,ln18) 40. D: (-,-1)(1,+); asint: x = -1, x = 1; crec: (-,-1) 1+ 2,+ ; min: 1+ 2 41. 28 cm, 14 cm 42. 7, -6; no 43. -1, -1, 1 44. a) 40x-4x3 b) 30
3
 c)
80 30
9
 45. a) , [0,+) b) max: 2; min: 0 c) crec: (0,2) d) 2 2 e) 
1 2 3 4 5-1
1
2
3
4
X
Y
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