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Capítulo 10 
 
 
 
LA ARGUMENTACIÓN EN LA MATEMÁTICA ESCOLAR: DOS 
EJEMPLOS PARA LA FORMACIÓN DEL PROFESORADO 
 
 
Núria Planas y Laura Morera1
Universidad Autónoma de Barcelona 
 E-mail: Nuria.Planas@uab.cat, Laura.Morera@uab.cat 
 
RESUMEN 
En este capítulo presentamos reflexiones teóricas y prácticas sobre la noción de 
argumentación en el contexto de la matemática escolar. Se trata de reflexiones de 
tipo general aunque los ejemplos con los que se ilustran provengan de la etapa de 
educación secundaria y se centren en el manejo de contenidos de aritmética y 
geometría. Nos basamos en un triple marco dado por la noción de argumentación 
situada simultáneamente dentro de la disciplina –la matemática–, dentro de la 
institución –la matemática escolar– y dentro de la práctica de aula –la matemática 
en uso–. Esta triple mirada se corresponde con nuestro interés global por explorar: 
1) la complejidad de la noción matemática de argumentación; 2) los procesos de 
transferencia de la matemática a la matemática escolar; y 3) el papel de la 
interacción en la co-construcción de argumentaciones en el aula de matemáticas. 
 
PALABRAS CLAVE: argumentación matemática, competencia de argumentación, 
prácticas argumentativas de aula, formación del profesorado de matemáticas. 
 
 
1. INTRODUCCIÓN 
En enero de 2010 se ha iniciado el Proyecto de Investigación ‘Estudio sobre el 
desarrollo de competencias discursivas en el aula de matemáticas’, financiado por el 
 
1 N. Planas es investigadora del Proyecto ‘Estudio sobre el desarrollo de competencias discursivas en el aula 
de matemáticas’, EDU2009-07713/EDUC, Ministerio de Ciencia e Innovación, España. L. Morera es becaria 
FPI, BES-2009-022687, del Proyecto ‘Contribución al análisis y mejora de las competencias matemáticas en 
la enseñanza secundaria con un nuevo entorno tecnológico’, EDU2008-01963/EDUC, del mismo Ministerio. 
Ministerio de Ciencia e Innovación de España, que se está desarrollando en colaboración 
con otro Proyecto vigente, ‘Contribución al análisis y mejora de las competencias 
matemáticas en la enseñanza secundaria con un nuevo entorno tecnológico’. Una de las 
finalidades de ambos estudios es profundizar en la noción de argumentación matemática de 
acuerdo con dos de sus acepciones: la estrictamente disciplinaria y la dada por el enfoque 
competencial, centrándonos aquí dentro en la práctica educativa del aula. Aunque en el 
ámbito de la Didáctica de la Matemática no tiene mucho sentido establecer distinciones 
extremas entre los aspectos que fundamentan estas interpretaciones y de hecho 
plantearemos ejemplos que muestren su complementariedad, es preciso empezar 
resumiendo qué se entiende por: 1) argumentación matemática, y 2) competencia 
argumentativa. A ello dedicamos las siguientes secciones. Antes, comentamos 
características de nuestro contexto particular –el de práctica docente y el de investigación– 
para ubicar mejor nuestras reflexiones. 
Desde la perspectiva de la práctica docente, las dos autoras estamos familiarizadas con 
la enseñanza de las matemáticas en aulas de secundaria con estudiantes de distintas edades, 
desde los 12 a los 18 años. En el caso de Núria Planas, esta experiencia profesional ha sido 
sustituida hace más de una década por la docencia a tiempo completo en las aulas 
universitarias de Didáctica de la Matemática en Titulaciones de Magisterio y en Posgrados 
de Formación Permanente del Profesorado. Haciendo una mirada retrospectiva al tiempo 
dedicado a la enseñanza de las matemáticas, ya sea en aulas de secundaria o universitarias, 
puede verse cómo se han sucedido cambios en las leyes educativas, en los discursos y en 
las prácticas. Un cambio significativo ha sido la introducción del denominado enfoque por 
competencias, como propuesta de modelo para avanzar en el conocimiento teórico de lo 
pedagógico y didáctico y, a su vez, mejorar la práctica docente y la formación del 
profesorado. Los currículos de las distintas materias escolares se han reescrito tomando la 
compleja familia de términos derivados de la noción de competencia. No vamos a entrar a 
discutir sobre la ambigüedad en la interpretación de la noción de competencia porque más 
adelante centramos la discusión en la noción más específica de competencia argumentativa. 
 
El desarrollo de competencias en las clases de ciencias y matemáticas 
Desde la perspectiva de la investigación, las dos autoras nos dedicamos a analizar 
cuestiones de argumentación en el aula de matemáticas de secundaria, pero lo hacemos con 
dos aproximaciones sensiblemente distintas si se tiene en cuenta el objeto de estudio 
principal. Por un lado, Núria Planas ha llegado a interesarse por la temática de la 
argumentación a partir de trabajos sobre la interacción social en el aula de matemáticas y la 
influencia de esta interacción en los procesos de aprendizaje de los estudiantes; esto explica 
en parte el énfasis actual en la exploración de prácticas interactivas de argumentación. Por 
otro lado, Laura Morera está realizando su trabajo de tesis doctoral con datos obtenidos por 
medio de la implementación de una secuencia didáctica sobre transformaciones en el plano; 
en el diseño de los problemas de esta secuencia se ha dado prioridad al criterio de 
facilitación de la competencia argumentativa en matemáticas. Las dos aproximaciones, por 
tanto, requieren una comprensión precisa de la noción matemática de argumentación, que 
está en la base misma de la identificación y el análisis de la calidad de cualquier texto 
producido individual o conjuntamente en la clase de matemáticas. La próxima sección fija 
la noción matemática de argumentación compartida por los dos Proyectos de referencia. 
 
2. LA NOCIÓN DE ARGUMENTACIÓN MATEMÁTICA 
Antes de entrar en el contexto de la disciplina matemática, es preciso establecer qué 
entendemos por la noción más amplia de argumentación. Sardà (2003, p. 123) habla de la 
argumentación como “actividad social, intelectual y verbal que sirve para justificar o 
refutar una opinión, y que consiste en hacer declaraciones teniendo en cuenta al receptor y 
la finalidad con la cual se emiten. Para argumentar hace falta elegir entre diferentes 
opciones o explicaciones y razonar los criterios que permiten evaluar como más adecuada 
la opción elegida”. Así, puede decirse que la argumentación es un discurso dirigido a un 
receptor con el fin de justificar una opinión partiendo de hechos o datos y razonando los 
criterios sobre los que se decide la adecuación de la opción elegida. 
Desde un punto de vista más formal y ya referido al ámbito de las matemáticas, resulta 
útil el esquema argumentativo mínimo de Plantin (1998). Este esquema sintetiza el paso de 
unos datos, que constituyen la premisa, a una conclusión esgrimiendo al menos una razón 
 3
matemática que valide dicho paso. Una vez establecida esta unidad mínima, debemos 
contar con un marco conceptual que contemple otras casuísticas en el discurso 
argumentativo. Para ello, conviene adoptar el esquema más complejo de Toulmin (1958), 
con cuatro nociones clave: datos, conclusión, garantía y refutación. La primera línea de la 
Figura 1 ilustra el paso de la argumentación matemática consistente en la elaboración de un 
enunciado que, a partir de datos iniciales, aporte veracidad a un enunciado final o 
conclusión. Esta primera línea indica, por tanto, la inferencia realizada. El esquema se 
completa con garantías y refutaciones. Por una parte, la inferencia necesita ser legitimada 
en el campo del conocimiento matemático, de modo que deben aportarse enunciados 
básicos que supongan garantías. Por otra parte, puede ocurrir que existan circunstancias 
específicas en las cuales la inferencia no sea cierta, de modo que deben aportarse 
enunciados también básicos que informen sobre las posibles refutaciones o salvedades. 
Cualquier argumentación matemáticaadmite ser reducible por medio del esquema de la 
Figura 1. No obstante, lo que suele suceder es que una argumentación matemática 
desarrollada en el aula acaba siendo el resultado de una cadena de argumentaciones simples 
sucesivas reducibles, cada una de ellas por separado, por medio del esquema de Toulmin. 
Esto hace que lo que es una conclusión para una primera argumentación, pase a representar 
el papel de premisa o datos en un segundo proceso de argumentación, y así sucesivamente. 
Todavía en el contexto del aula, se tiende a esperar que sean los estudiantes quienes 
realicen las inferencias con la aplicación de leyes de paso y que sea el profesor quien 
intervenga para clarificar las garantías o refutaciones, según convenga en cada caso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1. Esquema argumentativo de Toulmin (1958) 
 Ley de paso / Razones 
 
 
 
 Conocimientos básicos 
 
 
 
 Contra-argumentaciones 
Conclusión 
Garantía -G 
Datos / Premisa 
Refutación -R
El desarrollo de competencias en las clases de ciencias y matemáticas 
Apliquemos este esquema a un ejemplo de argumentación matemática: “La suma de los 
ángulos interiores de un polígono de n lados es 180º·(n-2) porque cualquier polígono puede 
triangularse y la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º” (ver Figura 2). 
Como es habitual, el enunciado de la argumentación empieza con la conclusión (¿qué se 
afirma?): “La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es 180º·(n-2)”. A la 
conclusión le siguen dos enunciados con razones que aportan veracidad a la conclusión. En 
primer lugar, hay un enunciado que representa los datos que se conocen (¿por qué se dice 
eso?): “[porque] cualquier polígono puede triangularse”. En segundo lugar, se aporta otro 
enunciado que ‘garantiza’ la relación entre los datos y la conclusión (¿y eso qué tiene que 
ver?): “[porque se sabe que] la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º”. Este 
último enunciado es una garantía de la legitimidad en la inferencia de los datos a la 
conclusión. Aunque datos y garantías puede intercambiarse, se suele usar el término 
‘garantía’ para aquellos conocimientos matemáticos que se supone que el estudiante tiene 
bien asimilados, mientras que los ‘datos’ acostumbran a referirse a conocimientos más 
recientes y en proceso de construcción menos consolidado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2. Ejemplo de aplicación del esquema de Toulmin (1958) 
 
 CONCLUSIÓN: La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es 180º·(n-2) 
DATOS: Todo polígono 
puede triangularse 
REFUTACIÓN: ¿Hay algún 
polígono no triangulable? 
GARANTÍA: La suma de los ángulos 
internos de un triángulo es 180º 
 
Continuando con el caso del ejemplo anterior, tiene sentido preguntarse sobre la 
posibilidad de salvedades o refutaciones (¿necesita matices la conclusión o el proceso 
mismo de inferencia?, ¿existe alguna posibilidad de que el argumento falle?, ¿hay 
excepciones?). Es bastante evidente que cualquier cuadrilátero, pentágono o hexágono son 
 5
triangulables, pero ¿puede decirse esto para un polígono cualquiera? Éstas son algunas 
preguntas que podrían atenderse en la búsqueda de matices, o bien para justificar la fuerza 
de la argumentación realizada. 
 
3. LA NOCIÓN DE COMPETENCIA ARGUMENTATIVA 
Para llegar hasta la elaboración final de una argumentación matemáticamente correcta, 
se requieren distintas fases discursivas de aproximación, que son las que constituyen la 
competencia argumentativa. En general, por tanto, no basta con saber reconocer la 
argumentación como producto acabado, sino que se tiene que ser capaz de reconocer las 
distintas capacidades que conforman esta competencia: las capacidades de describir, narrar, 
explicar, argumentar (parcialmente) y justificar. En Jorba (2000), a estas capacidades se las 
llama habilidades cognitivo-lingüísticas y se las considera como parte esencial de la 
argumentación en cualquier área de conocimiento. Hay otras habilidades cognitivo-
lingüísticas, como por ejemplo resumir, definir o demostrar. Sin embargo, no pretendemos 
ofrecer una lista exhaustiva de todas las capacidades que preparan y confluyen en el 
desarrollo de la denominada competencia argumentativa. 
De acuerdo con lo anterior, entendemos por competencia argumentativa la capacidad en 
construcción de comprender y producir textos (orales y escritos) con componentes 
descriptivas, narrativas, explicativas, argumentativas y justificativas. Los textos más 
sencillos de producir son los descriptivos y los narrativos. Por una parte, describir significa 
organizar ciertos elementos en el espacio y, por otra, narrar equivale a organizarlos en el 
tiempo. Tanto las descripciones como las narraciones recurren a menudo a las definiciones, 
enumeraciones, comparaciones y clasificaciones. Un ejemplo de descripción en el ámbito 
de las matemáticas sería: “El cuadrado, el rectángulo, el rombo y el romboide son tipos de 
paralelogramos”. Mientras que un ejemplo de narración matemática sería: “Si se reduce la 
longitud de la base de un rectángulo hasta que coincida con la longitud de la altura, se 
obtiene un cuadrado”. A pesar de tratarse de habilidades relativamente sencillas, quien 
describe y narra tiene que decidir sobre qué información hablar y cómo organizarla. 
 
El desarrollo de competencias en las clases de ciencias y matemáticas 
Explicar, argumentar y justificar son habilidades muy relacionadas entre ellas, y en 
general tienen un nivel de complejidad mayor que el requerido al describir y narrar. Ya no 
sólo hay información, sino que se trata de dar información bien fundamentada, en base a 
razones. Los textos explicativos dan razones pero su objetivo no es cuestionarlas. Por el 
contrario, los textos argumentativos hacen referencia a la posibilidad de excepciones, 
salvedades, modificaciones. Y del mismo modo, los textos justificativos son aquellos que 
llevan las excepciones hasta sus últimas consecuencias y, por medio de contra-argumentos, 
contribuyen a modificar la aceptabilidad de algunas de las razones inicialmente aportadas. 
En esta idea se basa el principio según el cual todo argumento matemático inválido tiene 
como mínimo un contra-argumento (nos referimos al caso de la matemática escolar). Es 
común refutar la conclusión falsa “Las alturas de todo triángulo siempre son interiores”, 
con un contra-argumento fundamentado en el dibujo de un triángulo obtusángulo. 
En concreto, la argumentación y la explicación comparten el esquema básico de paso de 
una premisa a una conclusión, pero se diferencian en las razones que validan este paso. En 
la argumentación, las razones comunican su fuerza a las afirmaciones, convirtiéndolas en 
argumentos y haciendo del enunciado final una conclusión, mientras que en la explicación 
las razones tienen una función descriptiva al presentar el sistema de relaciones en las que la 
premisa se produce. Por ejemplo, tomando como premisa la existencia de clasificaciones de 
triángulos basadas en sus tipos de lados y en sus tipos de ángulos, una explicación sería: 
“Los triángulos equiláteros son distintos a los triángulos rectángulos, ya que en un triángulo 
equilátero los tres lados tienen la misma medida, mientras que en un triángulo rectángulo al 
menos uno de sus tres ángulos mide 90º”. En cambio, una argumentación sería: “Los 
triángulos equiláteros son distintos a los triángulos rectángulos ya que no puede haber un 
triángulo que sea equilátero y rectángulo a la vez, dado que en un triángulo rectángulo se 
cumple el Teorema de Pitágoras, que relaciona sus tres lados a, b y c según la ecuación 
a2=b2+c2 (siendo a la hipotenusa, el lado opuesto al ángulo recto) y es imposible que esta 
ecuación se cumpla si a = b = c,salvo en el caso trivial a = b = c = 0”. 
Si bien la noción de argumentación matemática caracterizada en el apartado anterior 
adquiere sentido como actividad interna del sujeto, esto no es así en el caso de la noción de 
 7
competencia argumentativa. En el desarrollo de esta competencia hay una necesidad de 
comunicación de quien argumenta con su entorno, precedida por una necesidad de 
interacción social (Planas e Iranzo, 2009). Son por tanto interpretaciones complementarias. 
La interpretación a partir del uso del esquema argumentativo de Toulmin (ver Figuras 1 y 
2) ayuda a comprender la actividad matemática de las personas, mientras que la 
interpretación a partir del uso de habilidades cognitivo-lingüísticas ayuda a comprender la 
construcción conjunta de conocimiento matemático. 
 
4. IDENTIFICACIÓN DE PRÁCTICAS DE ARGUMENTACIÓN 
Partiendo de datos de aula, en este segundo bloque del capítulo, proponemos una manera 
de identificar prácticas de argumentación de acuerdo con las nociones de argumentación 
matemática y la de competencia argumentativa, presentadas en el primer bloque. La tarea 
de identificación de los múltiples momentos que configuran la práctica de argumentación es 
de gran importancia en la formación del profesorado de matemáticas. El trabajo sistemático 
en torno a este tipo de tareas permite desarrollar el conocimiento profesional necesario para 
reconocer el aprendizaje de la argumentación matemática como un continuo que se inicia 
con la descripción de hechos e ideas y se perfecciona con la justificación de 
argumentaciones parciales y la elaboración de contra-argumentaciones. Todavía muchos 
profesores de matemáticas esperan de sus estudiantes que muestren la argumentación como 
un producto final y acabado, sin haber, por tanto, articulado un conocimiento didáctico 
suficiente sobre los indicadores progresivos de la práctica argumentativa, tales como 
describir, definir, explicar, argumentar (parcialmente) y justificar, que pueden darse tanto 
en situaciones de razonamiento individual como en situaciones de interacción en grupo. 
Nuestra propuesta, pensada como una tarea para contribuir a la formación del 
profesorado de matemáticas, consiste en mostrar a los profesores ejemplos de problemas 
llevados a cabo en un grupo clase, con tablas asociadas de datos donde se indique: 1) la 
argumentación matemática que el profesor del aula espera que sus estudiantes lleguen a 
elaborar –datos sobre el ideal de argumentación; y 2) la competencia argumentativa que 
estudiantes y profesor muestran en algunas de sus intervenciones –datos sobre la 
 
El desarrollo de competencias en las clases de ciencias y matemáticas 
adquisición progresiva de habilidades cognitivo-lingüísticas. A modo de ejemplo, en los 
dos apartados que siguen se dan dos problemas con tablas de datos asociadas. El 
planteamiento a un grupo de profesores de actividades aparentemente tan simples como las 
que planteamos a continuación, tiene que ayudar a elaborar una comprensión más profunda 
de la argumentación, desde la doble perspectiva de la enseñanza y del aprendizaje. 
 
4.1. PRIMER EJEMPLO: EL PROBLEMA DEL SOBRE VACÍO 
El problema del sobre vacío (ver Cuadro 1) se propuso en una clase de primer curso de 
secundaria obligatoria (12-13 años) en diciembre de 2008. La primera aproximación fue 
usar la balanza para poner un sobre fijo en uno de los platillos e ir poniendo los otros sobres 
en el segundo platillo hasta encontrar dos sobres que desequilibraran la balanza. Esto, sin 
embargo, puede llegar a ser un poco largo porque en el peor de los casos habrá que pesar 
hasta siete parejas de sobres. Por este motivo, después de seguir el procedimiento anterior, 
el profesor pidió a los alumnos que pensaran una manera que requiriera menos pasos. Otra 
aproximación que surgió fue distribuir los sobres en cuatro parejas de modo que el sobre 
vacío tenía que estar, seguro, en una de las parejas. De nuevo, se tiene que poner una pareja 
fija de sobres en uno de los platillos e ir poniendo las otras parejas en el segundo platillo 
hasta encontrar las dos parejas que desequilibren la balanza. El profesor explicó que esta 
idea es mejor porque reduce los siete pasos iniciales a cuatro. Tras aceptar el reto de ir 
encontrando procedimientos cada vez más rápidos, llegó la duda sobre si cuatro era el 
número mínimo de pasos para resolver el problema. 
 
 
PROBLEMA 1. Una familia está preparando ocho sobres para enviar postales de sus vacaciones a los 
amigos. Después de enganchar los sellos, escribir las direcciones y cerrar los sobres, la madre se da cuenta 
de que ha quedado una postal encima de la mesa. Para no tener que comprar más sobres, sellos y postales, 
deciden averiguar cuál es el sobre vacío. Si disponen de una balanza de platillos, ¿qué recomiendas que 
hagan? 
 
 
Cuadro 1. Enunciado del problema del sobre vacío 
 9
La siguiente aproximación consistió en distribuir los sobres en dos grupos de cuatro y 
poner cada grupo en un platillo de la balanza. Con seguridad, los platillos estarán 
desequilibrados porque uno de ellos, el que está más alto, contiene el sobre vacío. Sabiendo 
esto, ya sólo es necesario manipular estos cuatros sobres y se reduce considerablemente el 
problema inicial. Ahora se reparten los cuatro sobres en dos parejas y se pone cada pareja 
en uno de los platillos. Vuelve a ocurrir que el platillo que queda más alto es el que 
contiene el sobre vacío. Se separa la pareja de sobres con uno en cada platillo y se localiza 
el sobre vacío. Al sumar se comprueba que han sido suficientes tres pasos, uno menos que 
en la aproximación anterior. Llegados a este punto, en clase volvió a surgir la duda sobre si 
tres era el número mínimo de pasos. Después de dedicar tiempo a pensar en pequeños 
grupos, los alumnos pidieron al profesor que les proporcionara alguna orientación adicional 
para resolver el problema. El profesor planteó pensar el problema a partir de situaciones 
más simples con menos sobres, y de forma conjunta se elaboraron varios razonamientos. 
A continuación, mostramos parte de una conversación que tuvo lugar en unos de los 
grupos de estudiantes, durante el tiempo dedicado a la resolución del problema. Después de 
haber estado resolviendo casos particulares con uno, dos, tres, cuatro… sobres, los 
estudiantes discuten sobre cómo generalizar a partir de los resultados obtenidos: 
A: Si hemos visto que esto siempre sale igual, tenemos que encontrar una manera de no tener 
que ir pensando cada vez cuántos pasos se necesitan. 
B: Sí, se ve que siempre es igual, uno, uno, uno, dos, dos, dos, dos, dos, dos, tres, tres, tres, tres, 
tres, tres, con nueve sobres se necesitan tres pasos. Esto es lo que da. 
A: Bueno, pues eso, hay tres unos, hay cinco con dos pasos… ¿cuántos tres hay? 
C: A lo mejor se tiene que ir sumando dos cada vez. 
A: Pero eso cómo se explica. No lo veo claro. ¿Por qué dos cada vez? 
B: ¿Y si buscamos más casos? Hacemos por ejemplo hasta quince sobres. 
A: ¿Cuántos tenemos que hacer para estar seguros? 
B: Depende. Lo que está claro es que con nueve sobres todavía no vemos qué pasa. Porque si 
vamos sumando de dos en dos, lo hacemos a ciegas, no sabemos por qué es así, y a lo mejor 
resulta que no es así. Tenemos que fijarnos en lo que hemos hecho hasta nueve. 
A: Primero miramos hasta quince sobres, para tener más, y luego miramos lo que hemos hecho 
hasta quince. 
C: Pero si no vemos lo que hemos hecho, volverá a ser adivinar. 
 
El desarrollo de competencias en las clases de ciencias y matemáticas 
A: Nada de adivinar. A ver, ¿siempre todo depende de los dos casos anteriores? ¿Con sólo mirar 
los dos casos anteriores basta y alguna vez hemos mirado hasta tres hacia atrás? 
 
La Tabla 1 resume prácticas argumentativas vinculadas a este problema. Los textos 
literales son traducciones de los originales en catalán, mientras que el ‘ideal de 
argumentaciónmatemática’ proviene de un texto escrito por el profesor cuando se le pidió 
que sintetizara en un papel algunas de las argumentaciones que desearía escuchar en el 
aula. En el interior de esta tabla, también incluimos dos preguntas dirigidas al profesorado 
de matemáticas en formación, inicial o permanente. Con una primera cuestión se pide al 
profesorado que elabore un fragmento de la cadena de argumentaciones sucesivas dadas por 
el ideal de argumentación matemática de acuerdo con el esquema de Toulmin de la Figura 
1. Con una segunda cuestión se pide imaginar y redactar un ejemplo para cada tipo de 
competencia argumentativa –describir, narrar, explicar, argumentar (parcialmente) y 
justificar–. 
 
Prácticas argumentativas en torno al Problema 1 
Id
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a 
Para dos sobres, basta con un único paso ya que al pesar un sobre en cada platillo se decide que el 
platillo más alto contiene el sobre vacío. 
Para tres sobres, se pone un sobre en cada platillo y queda uno fuera; si los platillos quedan 
desequilibrados, se sabe cuál es el sobre vacío, y si no, el sobre vacío es el que no se ha pesado, 
por lo que basta un paso. 
Para cuatro sobres, se distribuyen los sobres en dos parejas y se pesan; el platillo que queda más 
alto contiene el sobre vacío y, con dos sobres, basta un paso más de modo que en total son dos 
pasos. 
Para cinco sobres, se piensan dos parejas de sobres y uno se deja fuera; si las parejas quedan 
equilibradas, el sobre vacío es el que no se ha pesado, y si no, se está en una situación con cuatro 
sobres para la cual se necesitan dos pasos. 
Para seis sobres, se distribuyen los sobres en dos ternas y se decide en cual está el sobre vacío 
viendo el platillo más alto; ahora se está en una situación con tres sobres y con un paso basta; en 
total, como mucho se requieren dos pasos. 
Para siete sobres, se vuelven a distribuir y pesar los sobres en dos ternas y un sobre queda fuera; si 
los platillos están equilibrados, el sobre vacío es el que no se ha pesado; si quedan desequilibrados, 
se tienen seis sobres y bastan dos pasos. 
Para ocho sobres, se distribuyen los sobres en dos grupos de cuatro y se pesan. Los cuatro sobres 
que están en el platillo más alto contienen el sobre vacío y ahora se reduce el problema a cuatro 
sobres y, por tanto, tres pasos. 
 11
 
 
Id
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em
át
ic
a 
CUESTIÓN 1. Usa cuantas veces necesites el esquema argumentativo de Toulmin para 
representar un fragmento de las argumentaciones que configuran parte del ideal de 
argumentación anterior. Incluye, si lo consideras necesario, conocimientos matemáticos básicos 
que podrían usarse como garantía o bien como refutación en cada paso. 
 
 
 
 
 
 
Datos Conclusión Conclusión 
Conclusión Conclusión Conclusión 
G / R G / R
G / RG / R
G / R
El desarrollo de competencias en las clases de ciencias y matemáticas 
C
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Describir: “Se ve que siempre es igual, uno, uno, uno, dos, dos, dos, dos, dos, dos, tres, tres, tres, 
tres, tres, tres, con nueve sobres se necesitan tres pasos. Esto es lo que da” [se recita la serie 
numérica 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3… pero no se llega a identificar ninguna regularidad 
durante la sesión de clase]. 
Narrar: “Primero se miran los tres primeros casos, que se parecen mucho, y luego se miran los 
otros casos donde no basta con un paso. Se necesitan dos pasos. Siempre hay que ir mirando 
cuántos pasos” [se organiza lo que se dice en base al orden seguido en el análisis de similitudes y 
diferencias entre grupos de casos]. 
Explicar: “Se tiene que buscar un caso más simple que ya se haya resuelto, por eso es siempre 
mirar hacia atrás, pero no mucho hacia atrás” [se menciona el principio de la recurrencia hacia 
atrás como forma algorítmica de resolución]. 
Argumentar: “Basta con mirar hacia atrás porque el ocho se puede descomponer como suma de 
otros números más pequeños” [se da la descomposición del ocho como una razón para 
fundamentar el principio recursivo, pero no se completa esta razón con otras razones necesarias]. 
Justificar: “Con siete sobres, si no se encuentra enseguida el sobre vacío porque no se ha dejado a 
parte, ya tienes seis sobres y son sólo dos pasos. Bueno, eso si se ha visto que con seis se separan 
en tres y tres y se pesan” [se refuerza lo primero que se dice dando una razón que, a su vez, se 
refuerza con otra razón]. 
CUESTIÓN 2. Imagina para cada habilidad, un enunciado matemático que tenga sentido en el 
contexto de la reflexión en torno al problema dado a los estudiantes de este ejemplo. Explica qué 
condiciones se cumplen para que los distintos enunciados sean de tipo: 
o Descriptivo 
o Narrativo 
o Explicativo 
o Argumentativo 
o Justificativo 
 
Tabla 1. Reflexión sobre la argumentación matemática en la resolución del Problema 1 
 
4.2. SEGUNDO EJEMPLO: EL PROBLEMA DE LA MÁQUINA DE GIRO 
El problema de la máquina de giro (ver Cuadro 2) se propuso en una clase de tercer 
curso de secundaria obligatoria (14-15 años) en febrero de 2010. Los alumnos lo 
resolvieron por parejas con la ayuda del programa GeoGebra –software de geometría 
dinámica– y luego se hizo una puesta en común. El uso del GeoGebra explica que en el 
enunciado del problema que reproducimos se mencione la animación del dibujo que aquí 
aparece estático. 
 13
 
PROBLEMA 2. Hay una máquina que gira las piezas de un sitio a otro, como se muestra en la 
animación, pero la llevan a arreglar, y ahora que ya funciona perfectamente, no saben dónde la 
tienen que colocar para que siga transportando las piezas como lo hacía antes. Poned la máquina 
de giro en su sitio y argumentad cómo lo habéis hecho con la ayuda del Geogebra. 
 
Cuadro 2. Enunciado del problema de la máquina de giro 
La primera aproximación fue determinar visualmente una franja donde se tendría que 
encontrar el centro de giro. Con esta aproximación, los estudiantes no resolvían el 
problema, pero se facilitaba el hecho de empezar a trabajar con el GeoGebra. Hay que notar 
que este problema tiene dos grados de libertad, el punto donde se encontrará el centro y los 
grados del ángulo de giro, por eso es muy difícil resolverlo “probando”, lo que dio lugar a 
la segunda aproximación. Los alumnos aplican un giro alpha al segmento respecto de un 
punto y con la barra deslizadora van variando el ángulo alpha y el punto, hasta que se 
puede conseguir una buena aproximación. La profesora sugirió que en lugar de encontrar la 
solución para aquel caso concreto, intentaran construir una solución que aunque variara la 
situación inicial, se siguieran conservando las propiedades. El siguiente paso fue encontrar 
el centro de giro construyendo las mediatrices de puntos homólogos y escogiendo como 
centro el punto de corte de dichas mediatrices. Surgió la duda sobre si esta solución valdría 
para cualquier posición inicial de los segmentos. Se vio que había tres opciones –que las 
mediatrices se cortaran en un punto, que fuesen paralelas o que fuesen coincidentes–, y que 
no era evidente que la solución funcionara para todas ellas. 
 
El desarrollo de competencias en las clases de ciencias y matemáticas 
 
 
Figura 3. Posibles posiciones relativas de las mediatrices 
 
Los estudiantes empezaron a experimentar con la ayuda del GeoGebra cada una de las 
opciones y vieron que si las mediatrices eran paralelas o se cortaban en un solo punto, su 
solución –corte de las mediatrices de los puntos homólogos– sí que funcionaba. Sin 
embargo, para poder generalizar necesitaban añadir otra condición: si las mediatrices se 
cortan en infinitos puntos, es decir, son coincidentes, el centro de giro no se puede situar en 
cualquiera de los infinitos puntos de la mediatriz como primero habían supuesto, sino 
donde se corte la prolongación de los segmentos y la mediatriz. A continuación, mostramos 
partede una conversación que tuvo lugar en la puesta en común en el momento de ver que 
no había infinitas soluciones: 
P: ¿En este caso (ver Figura 4), todos afirmáis que se puede poner el centro en cualquier punto 
de las mediatrices? 
 
 
Figura 4. Segmentos alineados 
 
E: Sí, porque las mediatrices coinciden en todos los puntos. 
H: No, tienen que estar en el punto medio de los dos segmentos. 
P: ¿Si ponemos la máquina aquí? ( ----- · ----- ) 
H: ¡Entonces funciona! 
E: Sí. 
P: ¿Y cuántos grados lo haríais girar? 
E: Ciento ochenta grados. 
 15
P: ¿Y si ponemos el centro aquí? ( ----- . ----- ) 
E: También funcionaría, pero que gire menos grados. 
H: No. Si haces menos grados te quedará… como así, hacia arriba (hace el movimiento con 
las manos. Luego hay una pausa y usan la barra deslizadora del GeoGebra) 
E: ¡Ah! Entonces es imposible. 
P: Entonces acabáis de refutar vuestra propia conjetura… 
 
Prácticas argumentativas en torno al Problema 2 
 
El desarrollo de competencias en las clases de ciencias y matemáticas 
Para dos segmentos cualesquiera el centro de giro estará en el punto donde se corten las dos 
mediatrices de puntos homólogos, porque son los puntos que equidistan de los dos pares de 
homólogos a la vez. Notar que no existirá un giro si las mediatrices son paralelas. Si las 
mediatrices son coincidentes, cuando los segmentos son simétricos, el centro de giro estará en el 
punto de corte de la mediatriz con la prolongación de los segmentos ya que es el único punto que a 
parte de ser el centro de dos circunferencias concéntricas que pasan por los pares de puntos 
homólogos, mantienen el ángulo de giro como se puede observar en la Figura 5. 
 
Figura 5. Caso de mediatrices coincidentes 
Esta argumentación ideal, tendría que completarse con la demostración de que cuando las 
mediatrices se cortan en un punto, ese punto siempre conserva el ángulo de giro. 
CUESTIÓN 1. Usa cuantas veces necesites el esquema argumentativo de Toulmin para 
representar un fragmento de las argumentaciones que configuran parte del ideal de 
argumentación anterior. Incluye, si lo consideras necesario, conocimientos matemáticos básicos 
que podrían usarse como garantía o bien como refutación en cada paso. 
 
 
 
 
 
Id
ea
l d
e 
ar
gu
m
en
ta
ci
ón
 m
at
em
át
ic
a 
Datos Conclusión Conclusión 
Conclusión Conclusión Conclusión 
G / R G / R
G / RG / R
G / R
 17
Describir: “Tiene que estar en el punto medio de los dos segmentos” [se afirma pero no se llega a 
convencer a los compañeros]. 
Narrar: “Primero se hace una mediatriz de los dos puntos aparejados y luego la otra. El punto 
donde se corten es el centro de giro” [se organiza el procedimiento para encontrar la solución como 
una receta]. 
Explicar: “Si hemos encontrado dos casos que son: si se cruzan o si son coincidentes, también nos 
podemos encontrar que sean paralelos y que no se encuentren en ningún punto” [se tiene en cuenta 
la búsqueda de casos particulares como método para poder aceptar o refutar la conjetura]. 
C
om
pe
te
nc
ia
s a
rg
um
en
ta
tiv
as
 
Argumentar: “El centro de giro estará en el punto donde se crucen las mediatrices porque si te fijas 
en cada extremo, para pasar de un extremo al otro podrías poner el centro en cualquier punto de la 
mediatriz y lo mismo con el otro par de extremos” [se argumenta siguiendo el esquema de 
Toulmin, pero no está completo, porque falta tener en cuenta posibles refutaciones, como cuando 
las mediatrices son coincidentes]. 
Justificar: “Pensamos que si queríamos llevar este punto aquí, y estos dos puntos formaban parte 
de una circunferencia, el centro de esta circunferencia estaba en la mediatriz del segmento que los 
unía” [se justifica el pensamiento que defienden]. 
CUESTIÓN 2. Imagina para cada habilidad, un enunciado matemático que tenga sentido en el 
contexto de la reflexión en torno al problema dado a los estudiantes de este ejemplo. Explica qué 
condiciones se cumplen para que los distintos enunciados sean de tipo: 
o Descriptivo 
o Narrativo 
o Explicativo 
o Argumentativo 
o Justificativo 
 
Tabla 2. Reflexión sobre la argumentación matemática en la resolución del Problema 2 
 
5. CONSIDERACIONES FINALES 
De los dos ejemplos anteriores, puede observarse que el concepto de generalización 
tiene un papel importante en el grado de competencia argumentativa en tanto que la 
búsqueda de generalizaciones parece estar en la base del desarrollo de varias 
argumentaciones. Los estudiantes hallan soluciones resolviendo casos concretos, pero en 
ciertos momentos algunos se plantean qué pasaría para una situación genérica cuya 
resolución informara sobre todos los distintos casos. En el ejemplo con el problema del 
sobre vacío, en la conversación entre los estudiantes se ve cómo A motiva a sus 
compañeros a elaborar argumentaciones cuando pregunta sobre cómo generalizar y llegar a 
 
El desarrollo de competencias en las clases de ciencias y matemáticas 
saber la solución para cualquier cantidad de sobres: “Tenemos que encontrar una manera de 
no tener que ir pensando cada vez cuántos pasos se necesitan”. En el ejemplo con el 
problema de la máquina de giro, cuando los estudiantes empiezan a generalizar, se dan 
cuenta de que necesitan conocer y aplicar propiedades matemáticas; de otro modo, podrían 
haber resuelto el problema con la ayuda del GeoGebra y sin recurrir a ninguna propiedad. 
Podemos continuar comentando consideraciones sobre el papel de la generalización en 
la construcción de la competencia de argumentación matemática, tal como se muestra en 
(Morera, 2010). Sin embargo, ésta no es la intención del capítulo. Intencionadamente 
hemos querido ofrecer un capítulo que sea al mismo tiempo introductorio y reflexivo, 
dirigido al profesorado de matemáticas de enseñanza secundaria, para contribuir a revisar y 
ampliar nuestra mirada profesional al concepto de argumentación matemática y a su uso en 
el aula. En el contexto de los dos Proyectos de Investigación mencionados al inicio de este 
capítulo, se están recogiendo y analizando datos de aula sobre procesos de argumentación 
en entornos de resolución de problemas. Para los respectivos análisis, se están realizando 
distintas acciones, entre ellas la reconstrucción de los esquemas de Krummheuer (2007), 
sobre relaciones entre argumentación e interacción social en el aula. Este capítulo responde 
a los esfuerzos en paralelo para hacer llegar al profesorado algunos de los supuestos básicos 
sobre los que estamos trabajando y, sobre todo, para poner de relieve que las prácticas de 
argumentación matemática se inician en el momento mismo de descripción de los 
elementos que constituyen una situación problemática. Generalizar, por ejemplo, es sin 
duda una habilidad que debe trabajarse y que ayuda a la elaboración de argumentaciones; 
pero también debemos fijarnos en el trabajo de otras habilidades –describir, narrar, 
explicar, argumentar parcialmente, justificar…–, además de tener en cuenta qué garantías y 
refutaciones aportamos en cada cadena de construcción de conclusiones. 
 
AGRADECIMIENTOS 
Además de los agradecimientos al Ministerio de Ciencia e Innovación de España por la 
financiación a los dos Proyectos mencionados en la nota a pie de página, queremos dejar 
constancia de los comentarios de Josep Maria Fortuny a una versión inicial del texto. 
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BIBLIOGRAFÍA 
JORBA, J. (2000). La comunicación y las habilidades cognitivo-lingüísticas. En J. Jorba, I. 
Gómez y À. Prat (coords.), Hablar y escribir para aprender: Uso de la lengua en 
situación de enseñanza-aprendizaje desde las áreas curriculares, pp. 29-49. Madrid: 
Síntesis. 
KRUMMHEUER, G. (2007). Argumentation and participation in the primary mathematics 
classroom: Two episodes and related theoretical abductions. The Journal of 
Mathematical Behavior, 26 (1), 60-82. 
MORERA, L. (2010). Momentos clave en el aprendizaje de isometrías. Trabajo de 
Maestría.Bellaterra: Universidad Autónoma de Barcelona. 
PLANAS, N.; IRANZO, N. (2009). Cuestiones metodológicas para la interpretación de 
procesos de interacción en el aula de matemáticas. RELIME-Revista Latinoamericana de 
Investigación en Matemática Educativa, 12 (2), 7-28. 
PLANTIN, C. (1998). La argumentación. Barcelona: Ariel. 
SARDÀ, A. (2003). Argumentar: propasar i validar models. En N. Sanmartí (coord.), 
Aprendre ciències tot aprenent a escriure ciència, pp. 121-148. Barcelona: Edicions 62. 
TOULMIN, S. (1958). The uses of argument. Cambridge: Cambridge University Press 
[publicado en español por Ediciones Península, 2007].