Tema-VI-Aplicacion-de-Funciones-Lineales-eBook

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ÁREA DE APOYO ACADÉMICO 
MATERIALES DE INSTRUCCIÓN SUPLEMENTARIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
APLICACIONES 
DE LA FUNCIÓN LINEAL 
A LA ECONOMÍA 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 
Caracas ,2021 
 
2 
 
 
 
Ejercicios Resueltos 
3 
Definiciones 
2 
3 
1 
Tabla de Contenido 
3 Ejercicios Propuestos 
 
https://stock.adobe.com/es/images/calculatrice/766049
 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Las empresas continuamente deben informar sobre los 
resultados que obtienen y, para ello, deben evaluar los 
procesos que se emplean en las actividades que realizan y 
la relación en el mercado correspondiente a los productos 
(servicios) que producen y ofrecen. 
 
 
Introducción 
En estos problemas se aplican fórmulas que se relacionan 
con la economía y se emplean las funciones lineales 
(antes estudiadas) para ello. 
 
 
 
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Funciones de costo, ingreso y beneficio 
Definiciones 
 
La diferencia entre ingresos y costos es lo que se gana, es 
decir, el beneficio, ganancia o utilidad. 
 
 
Las empresas, en sus actividades realizan ventas (por las que 
generan ingresos) y compras (que representan costos o 
gastos). 
 
Los ingresos (I) de una empresa se calculan por el número de 
unidades vendidas (q) multiplicadas por el precio al que se 
venden (p). 
 
𝑰 = 𝒑. 𝒒 
 
 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Son aquellos que sí dependen de la cantidad producida (q) y 
aumentan o disminuyen junto a la producción. 
 
Los gastos o costos totales (CT) de una empresa se dividen 
en: 
Costos Totales (CT) 
Son aquellos que se deben desembolsar (pagar) 
independientemente de la cantidad producida, es decir, 
siempre son los mismos. 
 
 
Costos Fijos (CF) 
Costos Variables (CV) 
Pueden expresarse como una cantidad de costo por unidad 
producida, (siendo “c” el coste variable por unidad, que 
siempre debe ser inferior al precio para que la empresa 
pueda tener beneficios o, al menos, cubrir costos). 
 
𝑪𝑻 = 𝑪𝑽 + 𝑪𝑭 
 
 𝑪𝑻 = 𝒄. 𝒒 + 𝑪𝑭 
 
 
 
 
6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Es la diferencia entre los ingresos y los costos. 
Si el beneficio es cero, es decir, en donde los ingresos solo 
cubren los costos, se representa de la siguiente forma: 
 
 
𝑰 = 𝑪𝑻 
 
El beneficio, puede ser positivo (si los ingresos son mayores que los 
costos) o negativo (si los costos son mayores que los ingresos). En 
el segundo caso, se dice que la empresa incurre en pérdidas. 
 
Ganancia (G) 
𝑮 = 𝑰 − 𝑪𝑻 
 
 
7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P r o b l e m a s d e F u n c i o n e s L i n e a l e s 
Ejercicio Resuelto 
1 
Para resolver estos problemas lo primero que debe hacerse 
es analizar cuáles son los datos de entrada y cuáles son los de 
salida para identificar a las variables, dependiente e 
independiente, y formular la ecuación correctamente. 
 
Ecuación de ingreso. 
 
Si la empresa obtiene 6 U.M. al vender 2 productos, ese 6 es “y” y 2 
es el vector “x”. 
 
Primer problema 
Una empresa de productos de limpieza obtiene como ingresos 6 
U.M. cuando vende 2 productos y 9 U.M. cuando vende 3 
productos. Asimismo, para producir un producto de limpieza, la 
empresa necesita de 2 U.M. y para 6 productos necesita de 12 
U.M. Los costos fijos son de 8 U.M. Obtenga el punto de equilibrio y 
la ecuación de beneficio. 
 
 
1 
 
 
 
 
Se hallan las ecuaciones de ingreso y costos aplicando la 
fórmula de la pendiente y de punto pendiente. 
 
 
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Punto uno = [𝑥1; 𝑦1] = [2;6] 
Punto dos = [𝑥2; 𝑦2] = [3;9] 
 
Con los datos anteriores calcular la pendiente. 
 
𝒎 =
𝒚𝟐−𝒚𝟏
𝒙𝟐−𝒙𝟏
 
Costo variable 
 
Si para producir un producto se necesitan 2 U.M., ese sería el vector 
“y” y un producto es el vector de “x” en ese punto. 
 
𝒎 =
𝟗−𝟔
𝟑−𝟐
 
𝒎 = 𝟑 
Ecuación de ingreso, aplicando la fórmula de punto pendiente. 
 
𝒎(𝒒 − 𝒙𝟏) = 𝑰 − 𝒚𝟏 
𝟑(𝒒 − 𝟐) = 𝑰 − 𝟔 
𝟑𝒒 − 𝟔 = 𝑰 − 𝟔 
𝑰 = 𝟑𝒒 
Ecuación de costos 
 
Punto uno = [𝑥1; 𝑦1] = [1;2] 
Punto dos = [𝑥2; 𝑦2] = [6;12] 
 
 
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Con los datos anteriores calcular la pendiente. 
 
𝑪𝑽 = 𝟐𝒒 
Ecuación de costos 
 
𝑪𝑻 = 𝟐𝒒 + 𝟖 
Ecuación de beneficio 
 
𝑩 = 𝑰 − 𝑪𝑻 
𝑩 = 𝟑𝒒 − (𝟐𝒒 + 𝟖) 
𝑩 = 𝟑𝒒 − 𝟐𝒒 − 𝟖 
𝑩 = 𝒒 − 𝟖 
𝒎 =
𝒚𝟐−𝒚𝟏
𝒙𝟐−𝒙𝟏
 
𝒎 =
𝟏𝟐−𝟐
𝟔−𝟏
 
𝒎 =
𝟏𝟎
𝟓
= 𝟐 
Aplicando la fórmula de punto pendiente. 
 
𝟐(𝒒 − 𝟏) = 𝑪𝑽 − 𝟐 
𝟐𝒒 − 𝟐 = 𝑪𝑽 − 𝟔 
𝒎(𝒒 − 𝒙𝟏) = 𝑰 − 𝒚𝟏 
 
10 
 
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12
In
gr
e
so
 -
C
o
st
o
 T
o
ta
l
Productos producidos y vendidos
Ingreso y Costos
ingresos costo total
Equilibrio (Break Even)
-4
-2
0
2
4
6
8
10
0 5 10 15 20
B
e
n
e
fi
ci
o
Cantidades producidas y vendidas
Beneficio
beneficio
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En el punto de equilibrio la empresa no tiene pérdidas ni 
beneficios, por ello, B = 0. 
 
𝟎 = 𝒒 − 𝟖 
𝒒 = 𝟖 
Gráficas. 
 
2 
 
 
 
 
Equilibrio 
 
11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funciones de Oferta y Demanda 
 
Cuanto mayor sea el precio que se cobra por un bien, menor 
será la cantidad que una persona está dispuesta a comprar y 
cuanto menor sea el precio, mayor será el número de 
unidades que se quieren comprar. 
Función de demanda 
 
Función de oferta 
 
 
La cantidad que una persona comprará de un bien, 
dependerá de su precio. 
 
 
Es la relación entre el precio de mercado de un bien y la 
cantidad que los productores están dispuestos a producir y 
vender, manteniéndose todo lo demás constante. 
 
Punto de equilibrio 
 
Los productores como los consumidores están de acuerdo en 
cuanto al precio y la cantidad de artículos. 
Cuando aumenta el precio de un bien, aumenta la cantidad 
ofrecida. 
 
 
 
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A cualquier precio mayor que el de equilibrio, la cantidad que 
los productores desean ofrecer excede la cantidad que los 
demandantes desean adquirir, en este escenario hay un 
exceso de oferta y, la competencia entre los vendedores hará 
que el precio baje. 
 
Por el contrario, si el precio es menor que el de equilibrio, la 
cantidad que los demandantes desean adquirir es mayor que 
la ofrecida por los productores, es decir, hay exceso de 
demanda. En éste caso los compradores que no hayan podido 
obtener la cantidad deseada del producto presionan al alza 
del precio tratando de adquirir la cantidad deseada. 
 
 
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Ejercicio Resuelto 
1 
𝒎 =
𝒚𝟐−𝒚𝟏
𝒙𝟐−𝒙𝟏
 
Segundo problema 
Un vendedor de chicha está dispuesto a vender 5 chichas por 15 
U.M. y 10 chichas por 30 U.M., mientras que los consumidores de la 
misma están dispuestos a comprar 20 chichas por 80 U.M. y 30 
chichas por 70 U.M. Hallar el punto de equilibrio, ecuación de 
oferta, demanda y graficar. 
 
 
La variable dependiente es la cantidad ofertada y la variable 
independiente es el precio. 
 Punto uno = [𝑥1; 𝑦1] = [15;5] 
Punto dos = [𝑥2; 𝑦2] = [30;10] 
 
1 
 
 
 
 
Se hallan las ecuaciones
de ingreso y costos aplicando la 
fórmula de la pendiente y la de punto pendiente. 
 
Oferta 
𝒎 =
𝟏𝟎−𝟓
𝟑𝟎−𝟏𝟓
 
𝒎 =
𝟓
𝟏𝟓
=
𝟏
𝟑
 
 
14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando la fórmula de punto pendiente. 
 
𝒎(𝒑 − 𝒙𝟏) = 𝑰 − 𝒚𝟏 
𝟏
𝟑
(𝒑 − 𝟏𝟓) = 𝒒 − 𝟓 
𝒎 =
𝒚𝟐−𝒚𝟏
𝒙𝟐−𝒙𝟏
 
La variable dependiente es la cantidad demandada y la 
variable independiente es el precio que se paga. 
 Punto uno = [𝑥1; 𝑦1] = [70;30] 
Punto dos = [𝑥2; 𝑦2] = [80;20] 
 
Demanda 
𝒎 =
𝟐𝟎−𝟑𝟎
𝟖𝟎−𝟕𝟎
 
𝒎 = −
𝟏𝟎
𝟏𝟎
= −𝟏 
𝒑
𝟑
− 𝟓 = 𝒒 − 𝟓 
𝒒 =
𝒑
𝟑
− 𝟓 + 𝟓 
𝒒 =
𝒑
𝟑
 
 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando la fórmula de punto pendiente. 
 
𝒎(𝒑 − 𝒙𝟏) = 𝑰 − 𝒚𝟏 
−𝟏(𝒑 − 𝟕𝟎) = 𝒒 − 𝟑𝟎 
−𝒑 + 𝟕𝟎 = 𝒒 − 𝟑𝟎 
𝒒 = −𝒑 + 𝟕𝟎 + 𝟑𝟎 
𝒒 = −𝒑 + 𝟏𝟎𝟎 
Demanda 
 
 
Oferta 
 
 
𝒑
𝟑
 
 
−𝒑 + 𝟏𝟎𝟎 
 
Equilibrio 
𝑶𝒇𝒆𝒓𝒕𝒂 = 𝑫𝒆𝒎𝒂𝒏𝒅𝒂 
𝒑
𝟑
+ 𝒑 = 𝟏𝟎𝟎 
𝟒𝒑 = 𝟑𝟎𝟎 
𝒑 + 𝟑𝒑 = 𝟑𝟎𝟎 
𝒑
𝟑
= −𝒑 + 𝟏𝟎𝟎 
 
16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
5
10
15
20
25
30
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81
P
re
ci
o
Cantidad
Equilibrio
oferta demanda
Gráfica. 
 
2 
 
 
 
 
𝒑 =
𝟑𝟎𝟎
𝟒
 
𝒑 = 𝟕𝟓 
𝒒 =
𝒑
𝟑
 
𝒒 = 𝟐𝟓 
𝒒 =
𝟕𝟓
𝟑
 
Exceso de oferta 
Equilibrio 
Exceso de demanda 
 
17 
 
 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
 
4. 
 
 
 
 
 
Ejercicios Propuestos 
 
Una empresa que fabrica radios tiene costos fijos de 
$3.000 y el costo de la mano de obra y del material es 
de $15 por radio. Determine la función de costo, es 
decir, el costo total como una función del número de 
radios producidos. Si cada radio se vende por $25, 
encuentre la función de ingresos y la función de 
utilidades. 
 
La ecuación de demanda del producto de una 
compañía es 2𝑝 + 3𝑥 = 16, en donde x unidadeses de 
(100 + 2𝑥) dólares, exprese la utilidad 𝑈 como función 
de: 
a) La demanda x. 
b) El precio p. 
 
A un precio de $2.200, la oferta de cierto bien es de 110 
unidades, mientras que su demanda es 530 unidades. 
Determine las ecuaciones de oferta y demanda y el 
precio y la cantidad de equilibrio. 
 
Si la función de costo de una compañía viene dada por 
𝐶(𝑥) = 10−6𝑥3 − ((3)(10−3)𝑥2 + 36𝑥 + 2000) 
Calcule el costo de producir: 
a) 2.000 unidades. 
b) 500 unidades. 
 
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Arya, J. y Lardner, R. (2009). Matemáticas 
Aplicadas a la Administración y a la 
Economía. Quinta Edición. México: 
Editorial Pearson Educación. 
 
Campos, J. (s/f). Unidad IV. Tema 1: 
Funciones. Guías de Apoyo 
Matemática I. Caracas, Venezuela: 
UCAB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referencias 
Cierre 
 
Las funciones lineales permiten 
que se estudien, de forma 
matemática, escenarios que se 
presentan en la economía. 
Para así aplicar estrategias, 
procesos adecuados, de 
acuerdo a los objetivos de las 
empresas. 
 
 
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Esto es un aporte de: 
 
 
En el marco del Programa de 
 Apoyo Personal Académico. 
 
 
 
Profesor Asesor: 
Jenifer Campos 
 
Estudiante IS: 
Nardy Zambrano 
 
Edición y Montaje: 
José Ucha 
Sof ía Sandoval 
 
 
 
MATEMÁTICA I 
Caracas ,2021