9) Factorización de Expresiones Algebraicas - Casos 1 y 2

Vista previa del material en texto

Factorización de Expresiones Algebraicas - Factor común y Factor común en grupos 
Prof. Magaly Egea Ruiz 
Página 1 de 4 
 
Factorización de Expresiones Algebraicas 
Factorizar una expresión algebraica (como los polinomios) significa transformarlo en 
multiplicaciones, debemos transformarlo en un producto de expresiones algebraicas primas. 
Ya sabemos factorizar un número en factores primos, por ejemplo: 12 = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 22 ∙ 3, esto 
es lo que haremos ahora con los polinomios. 
Para factorizar polinomios existen diferentes formas de hacerlo, a cada una de estas formas se 
le llama “Casos de factoreo” y se usan, uno u otro, según se necesite. 
Caso 1: Factor común 
 Se trata de encontrar un factor (número o letra que multiplica) que esté presente en todos los 
términos (común), por ejemplo: 
(Los objetos separados por + y – son términos, luego en cada término los objetos se multiplican 
entre sí) 
+ - + 
Si esto fuera un polinomio, para poder sacar Factor común debemos buscar el/los objeto/s que 
se repiten en todos los términos: 
+ - + 
Vemos que y están presentes en cada uno de los términos, multiplicándolos uno a uno, 
por ello vamos a sacarlos, para que desde “afuera” multipliquen a todos, es una operación 
inversa a la propiedad distributiva: 
 ( + - + ) 
Vamos ahora a hacerlo con expresiones algebraicas: 
2𝑎3 + 6𝑎2𝑏𝑐 + 4𝑎𝑏 = 
La parte de las letras es fácil, ya que están bien visibles, sólo hay que tomar en cuenta las 
potencias, por ello, cuando “sacamos una letra que se repite en todos”, sólo podemos sacar la 
más pequeña de todas: 
2𝑎3 + 6𝑎2𝑏𝑐 + 4𝑎𝑏 = 
𝑎 (2𝑎2 + 6𝑎𝑏𝑐 + 4𝑏) 
¿Por qué sólo la más pequeña?, porque es la que realmente se está repitiendo en todos: 
2𝑎3 + 6𝑎2𝑏𝑐 + 4𝑎𝑏 = 
2𝑎𝑎𝑎 + 6𝑎𝑎𝑏𝑐 + 4𝑎𝑏 = 
𝑎 (2𝑎𝑎 + 6𝑎𝑏𝑐 + 4𝑏) = 𝑎 (2𝑎2 + 6𝑎𝑏𝑐 + 4𝑏) 
Factorización de Expresiones Algebraicas - Factor común y Factor común en grupos 
Prof. Magaly Egea Ruiz 
Página 2 de 4 
 
Ahora bien, es necesario factorizar todo, eso significa que no es solamente las letras, debemos 
factorizar los números también y ver que parte se repite en todos, vamos desde el inicio otra 
vez, pero ahora sólo con los números: 
2𝑎3 + 6𝑎2𝑏𝑐 + 4𝑎𝑏 = 
2𝑎3 + 2 ∙ 3 𝑎2𝑏𝑐 + 2 ∙ 2 𝑎𝑏 = 
Buscamos el número que se repite en todos: 
2𝑎3 + 2 ∙ 3 𝑎2𝑏𝑐 + 2 ∙ 2 𝑎𝑏 = 
2 (𝑎3 + 3 𝑎2𝑏𝑐 + 2 𝑎𝑏) 
Bien, ahora vamos a hacerlo todo completo que es el modo correcto de hacerlo: 
2𝑎3 + 6𝑎2𝑏𝑐 + 4𝑎𝑏 = 
2𝑎3 + 2 ∙ 3 𝑎2𝑏𝑐 + 2 ∙ 2 𝑎𝑏 = 
2𝑎 (𝑎2 + 3 𝑎𝑏𝑐 + 2𝑏) = 
Ejemplo: 
10𝑥𝑦𝑧 − 25𝑥𝑦 + 15𝑥𝑦2 − 5𝑥2𝑦 = 
2 ∙ 5 𝑥𝑦𝑧 − 5 ∙ 5 𝑥 𝑦 + 3 ∙ 5 𝑥 𝑦 𝑦 − 1 ∙ 5 𝑥 𝑥 𝑦 = 
He desarmado todo para explicarlo, ustedes pueden hacerlo directo si prefieren 
2 ∙ 5 𝑥 𝑦 𝑧 − 5 ∙ 5 𝑥 𝑦 + 3 ∙ 5 𝑥 𝑦 𝑦 − 1 ∙ 5 𝑥 𝑥 𝑦 = 
5 𝑥 𝑦 (2𝑧 − 5 + 3𝑦 − 1𝑥 ) = 
 
Caso 2: Factor común en grupos 
Es un caso especial del Factor común, (caso 1) en este caso no hay un factor común a todos que 
se pueda ver de manera directa, el factor común puede ser un binomio, trinomio o más 
términos, por eso, se separa en dos (o más) grupos: es decir, se realiza factor común en dos 
grupos por separado buscando que en “uno de los paréntesis quede igual” 
(Los objetos separados por + y – son términos, luego en cada término los objetos se multiplican 
entre sí) 
- + - 
No hay nada que se repita igual en todos los términos, así que probamos en grupos. 
Debemos separarlo en grupos buscando algo que se repita en cada grupo: 
- + - 
Aplicamos factor común en cada grupo 
Factorización de Expresiones Algebraicas - Factor común y Factor común en grupos 
Prof. Magaly Egea Ruiz 
Página 3 de 4 
 
 ( - ) + ( + ) 
A este punto, lo que está dentro de los paréntesis debe ser igual, si no lo es debemos borrar e 
intentar grupos distintos (de lo contrario no se podría resolver con Factor común en grupos) 
 ( - ) + ( - ) 
Como podemos ver, lo que está dentro del paréntesis es un objeto (paréntesis) igual que 
multiplica a los dos términos que quedaron, así que lo sacamos: 
( - ) ( + ) 
Ejemplo 1 (sólo letras): 
Vamos ahora a hacerlo con expresiones algebraicas, empezamos sólo con letras: 
𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 − 𝑐𝑒 = 
Separamos en grupos porque “no hay nada igual en todos los términos” 
𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 + 𝑏𝑑 − 𝑐𝑑 = 
𝑎(𝑏 − 𝑐) + 𝑑(𝑏 − 𝑐) = 
Nos fijamos que el paréntesis sea igual, si lo es continuamos: 
𝑎(𝑏 − 𝑐) + 𝑑(𝑏 − 𝑐) = 
(𝑏 − 𝑐) (𝑎 + 𝑑) 
(Observar que pasamos de una expresión en términos, a otra en donde sólo hay objetos (los 
paréntesis) que se multiplican entre sí 
 
Ejemplo 1 (letras y números, todo junto): 
2𝑚 − 4𝑐 + 3𝑚 − 6𝑐 = 
Separamos en grupos porque “no hay nada igual en todos los términos” 
2𝑚 − 2 ∙ 2 𝑐 + 3𝑚 − 2 ∙ 3 𝑐 = 
2(𝑚 − 2 𝑐) + 3(𝑚 − 2𝑐) = 
Nos fijamos que el paréntesis sea igual, si lo es continuamos: 
2(𝑚 − 2 𝑐) + 3(𝑚 − 2𝑐) = 
(𝑚 − 2𝑐) (2 + 3) = 
(𝑚 − 2𝑐) 5 = 
(Observar que pasamos de una expresión en términos, a otra en donde sólo hay objetos (los 
paréntesis) que se multiplican entre sí 
Factorización de Expresiones Algebraicas - Factor común y Factor común en grupos 
Prof. Magaly Egea Ruiz 
Página 4 de 4 
 
Trabajo Práctico Factorización – Factor común y Factor común en grupos 
 
A) Factoriza las siguientes expresiones algebraicas usando Factor común (Caso 1) 
1) 8ℎ𝑚2𝑝 − 12ℎ2𝑚𝑝 + 4ℎ𝑚𝑝 − 20ℎ𝑚𝑝2 
2) 18𝑎2𝑏2𝑐2 + 12𝑎2𝑏4𝑐3 − 6𝑎3𝑏3𝑐5 + 24𝑎4𝑏2𝑐2 
 
B) Factoriza las siguientes expresiones algebraicas usando Factor común en grupos (Caso 
1) 6𝑥𝑦 + 12𝑥𝑦2 + 14𝑎𝑦2 + 7𝑎𝑦 
2) 2𝑎𝑥 + 2𝑏𝑥 − 𝑎𝑦 + 5𝑎 − 𝑏𝑦 + 5𝑏 
C) Factoriza las siguientes expresiones algebraicas, deberás elegir cuál caso es el que se 
puede usar, el de factor común (caso 1) o factor común en grupos (caso 2) 
1) 5𝑝𝑞 − 15𝑝2 − 21𝑎𝑝2 + 7𝑎𝑝𝑞 
2) 10𝑥2𝑦𝑧3 + 15𝑥3𝑧2 − 5𝑥2𝑧2 + 25𝑥2𝑦2𝑧2