Guía n5 Matemática IV Medio

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FUNCIÓN CUADRÁTICA 
A la función de segundo grado 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, siendo 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ y 𝑎 ≠ 0 se le denomina función 
cuadrática. 
La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola, simétrica con respecto a una recta paralela al 
eje de las ordenadas. Dicha recta recibe el nombre de eje de simetría. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 La gráfica corresponde a una parábola que abre: 
Hacia arriba si 𝒂 > 𝟎 Hacia abajo si 𝒂 < 𝟎 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir, la 
divide en dos “ramas” congruentes. 
Su ecuación está dada por : 𝒙 = −
𝒃
𝟐𝒂
 
 
 El vértice de la parábola es el punto de intersección de ésta con su eje de simetría. 
Sus coordenadas están dadas por: 𝑽 = (−
𝒃
𝟐𝒂
, 𝒇 (−
𝒃
𝟐𝒂
)) 
 
 
 
 Intersección con el eje Y 
La parábola asociada a la función 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 siempre intersecta al eje de las ordenadas en 𝒚 = 𝒄 
 
 Ceros de la función 
Los ceros de la función cuadrática son los valores 𝒙𝟏 𝒚 𝒙𝟐 para los cuales 
 𝒚 = 𝟎. 
La solución de una ecuación cuadrática de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, viene dada por: 
 𝒙 =
−𝒃±√𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
 
OBSERVACIÓN: No debes olvidar que también puedes resolver la ecuación de segundo grado 
 factorizando. 
 
EJEMPLO 
Al graficar la función ℎ(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 − 6, se tiene : 
 𝒂 = 𝟏 > 𝟎, por tanto, la parábola 
tiene concavidad positiva, sus ramas 
abren hacia arriba. 
 Su eje de simetría es: 
𝒙 = −
𝟏
𝟐
 
 su vértice estará dado por 𝑉 = (−
1
2
, 𝑓 (−
1
2
)), 
entonces 𝑓 (−
1
2
) = (−
1
2
)
2
−
1
2
− 6 
 =
1
4
−
1
2
− 6 
 = −
25
4
 
 Por tanto el vértice es 𝑽 = (−
𝟏
𝟐
, −
𝟐𝟓
𝟒
) 
 Los ceros de la función los obtenemos 
 𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0 
(𝑥 + 3)(𝑥 − 2) = 0 
Entonces 𝒙𝟏 = −𝟑 𝒚 𝒙𝟐 = 𝟐 
 La intersección con el eje de las ordenadas es 𝒉(𝟎) = 𝟔 
 Finalmente el 𝑫𝒐𝒎(𝒉) = ℝ 𝒚 𝑹𝒆𝒄(𝒉) = [−
𝟐𝟓
𝟒
, +∞[ 
 
Practicando lo aprendido 
 
1. Conteste verdadero (V) o falso (F) a las siguientes afirmaciones. 
𝑎. __ 𝐿𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 – 13𝑥 – 10 
 𝑠𝑒 𝑎𝑏𝑟𝑒𝑛 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎. 
𝑏. __ 𝐿𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓(𝑥) = 5𝑥2 – 10 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑎𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (0, −10). 
𝑐. __ 𝐿𝑎 𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑓(𝑥) = 4 – 𝑥2 𝑠𝑒 𝑎𝑏𝑟𝑒𝑛 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎. 
𝑑. __ 𝐿𝑎 𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑦 = −𝑥2 – 4𝑥 – 1 
 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑎𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (0, 1). 
𝑒. __ 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 4𝑥 + 4, 𝑓(2) > 𝑓(0) 
𝑓. ___ 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓(𝑥) = −𝑥2 – 4𝑥 + 4, 𝑓(2) < 0 
𝑔. __ 𝑆𝑖 𝑔(𝑥) = 𝑥2 – 2𝑥 + 1, 𝑦 ℎ(𝑥) = 2𝑥 – 1 – 𝑥2, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑔(1) = ℎ(1) . 
 
 Una función cuadrática también se puede expresar como: 𝒇(𝒙) = 𝒂(𝒙 − 𝒉)𝟐 + 𝒌, donde (𝒉, 𝒌) 
es la coordenada del vértice de la parábola. 
 
 Además se tiene que 𝑫𝒐𝒎 𝒇 = ℝ y su Recorrido está dado por: 
 Si 𝑎 > 0, 𝑅𝑒𝑐 𝑓 = [𝑓 (−
𝑏
2𝑎
)[ , +∞ Si 𝑎 < 0, 𝑅𝑒𝑐 𝑓 = ]−∞, 𝑓(−
𝑏
2𝑎
)] 
 
 
2. Considerando los puntos estudiados de la función cuadrática, grafica las siguientes: 
 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 8𝑥 + 7 
b) ℎ(𝑥) = −𝑥2 + 10𝑥 − 16 
c) 𝑝(𝑥) = (𝑥 + 3)2 − 10 
d) 𝑞(𝑥) = −(𝑥 − 1)2 + 5 
 
PREPARACIÓN PSU 
 
 
 
 
 
Dada la función cuadrática f(x) = 𝑥2 + 2x – a 
ℎ. ___ 𝑆𝑖 𝑎 = 0, 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (0, 0). 
𝑖. ___ 𝑆𝑖 𝑎 > −1, 𝑛𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥. 
𝑗. ___ 𝑆𝑖 𝑎 = −1, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥. 
𝑘. ___ 𝑆𝑖 𝑎 < −1, 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛 2 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Función potencia 
 
La función potencia es una función de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥𝑛 , donde 𝑎 es un número real, distinto de 0, 𝑛 es un 
número natural mayor a 1 y está definida en el conjunto de los números reales. La gráfica y el recorrido de la función 
potencia dependen del valor de 𝑛 y también del valor de 𝑎. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observaciones: 
Si 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝒏 es una función potencia se tiene 
 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ. 
 𝐴 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑛 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒, 
 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑠𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑒 𝑚á𝑠 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 ] − 1, 1[. 
 𝐸𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (1, 𝑎) 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑒𝑐𝑒 𝑎 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎. 
 𝐸𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (0, 0) 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑒𝑐𝑒 𝑎 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎. 
 𝐴 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑞𝑢𝑒 |𝑎|𝑠𝑒 𝑎𝑙𝑒𝑗𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑜, 
 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑐𝑎 𝑎𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦. 
 𝐴 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑞𝑢𝑒 |𝑎|𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑐𝑎 𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜, 
 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑠𝑒 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑐𝑎 𝑎𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑥. 
 𝐴 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑛 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑒𝑟𝑠𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑦. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝒏 es una función potencia se tiene 
1. Si n es par se cumple que: 
 𝑅𝑒𝑐 𝑓 = ℝ0
+ 
 Su gráfica es simétrica respecto al eje y. 
2. Si n es impar se cumple que: 
 𝑅𝑒𝑐 𝑓 = ℝ 
 Su gráfica es simétrica respecto del origen. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios 
Los siguientes gráficos muestran funciones potencia y la tabla adjunta las funciones que generan dichas 
gráficas. Ubique el número de la función correspondiente de la tabla en la línea punteada de cada gráfica. 
 
 
 
 
 
UN POCO DE ANALISIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LA DISCIPLINA Y PERSEVERANCIA SON EL CAMINO HACIA EL ÉXITO, LAS CLAVES TE 
SERÁN ENTREGADAS EN LA PROXIMA GUIA