Guía n6 Matemática I Medio

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https://www.youtube.com/watch?v=s7FS9s8I8mw
I. Crecimiento y decrecimiento Exponencial 
b. Decrecimiento Exponencial 
 
En la guía anterior se explicó que el crecimiento exponencial se representaba por 
una expresión algebraica de la forma an, donde n generalmente representa unidades de 
tiempo (segundos, minutos, horas, etc.) cuya base a es un número mayor que uno, que se 
elige dependiendo de la situación que represente. Es decir, el número crecía dependiendo 
del exponente de la base. 
En cambio, en decrecimiento exponencial, la base de la potencia es un número real 
mayor que cero y menor que 1 y el resultado obtenido siempre será menor que el anterior 
en la misma proporción. El cociente obtenido entre los valores obtenidos para dos 
exponentes consecutivos es constante. 
 
 
 
 
Ejemplo 1: 
Las bacterias crecen exponencialmente, lo que les permite colonizar 
rápidamente un cierto medio, normalmente vacío. Luego de alcanzar su máxima población, 
estas también pueden registrar grandes disminuciones de la población, llegando a la 
extinción total de la colonia de bacterias, debido a diferentes causas, por ejemplo, la falta de 
alimento o la acumulación de residuos tóxicos. La disminución de esta sobre población 
también puede ser modelado exponencialmente, pero en este caso, la base de la potencia 
estaría representada por una fracción entre 0 y 1. 
 
Consideremos lo siguiente, una colonia de bacterias tiene 65.536 individuos 
decrece exponencialmente a un 25% de su población diariamente, la tabla siguiente, 
muestra la relación entre los días transcurridos y el número de bacterias. 
 
Días 
Transcurridos 
Factor de 
crecimiento 
Cantidad de 
Bacterias 
0 65.536 
1 16.384 
2 4096 
3 1024 
4 256 
5 64 
 
Si el número de bacterias de un día se divide por el día anterior, obtendremos siempre 0,25, 
si te das cuenta, en el problema se indicaba que la tasa de decrecimiento era de un 25 % 
diario, 25 % = 0,25 = ¼. 
Entonces la situación se puede modelar como: 
 
(
1
4
)
𝑡
 
 
Donde t, representa el número de días transcurridos, desde que la población de bacterias 
disminuye exponencialmente. 
 
Días 
Transcurridos 
Factor de 
crecimiento 
Factor * n° de 
bacterias 
Cantidad de 
Bacterias 
0 (
1
4
)
0
= 1 65536 ⋅ 1 65.536 
1 (
1
4
)
1
= 
1
4
 65536 ⋅
1
4
 16.384 
2 (
1
4
)
2
=
1
16
 65536 ⋅
1
16
 4096 
3 (
1
4
)
3
=
1
64
 
65536 ⋅
1
64
 
 
1024 
4 (
1
4
)
4
=
1
256
 65536 ⋅
1
256
 256 
5 (
1
4
)
5
=
1
1024
 65536 ⋅
1
1024
 64 
 
En base a lo anterior, contesta las siguientes preguntas: 
 
1) ¿Qué día quedaran un total de 16 bacterias? 
 
2) ¿en Qué momento se consideraría a la colonia como extinta? 
 
3) ¿Cuánta bacterias murieron el primer día? 
 
4) ¿Cuántas bacterias han muerto el tercer día? 
 
5) ¿Qué día mueren 3.072 bacterias? 
 
Ejemplo 2: 
 
Decaimiento radioactivo. 
 
 La cantidad de masa del elemento radiactivo cesio137 en un tiempo t (en años) disminuye, 
aproximadamente, como se muestra en la tabla: 
 
Tiempo 1 2 3 4 5 
Cálculo de 
la Masa 
10 ⋅ 0, 9770 10 ⋅ 0, 9771 10 ⋅ 0, 9772 10 ⋅ 0,9773 10 ⋅ 0,977
4 
Masa (g) 10 9,77 9,94009 9,91026 9,880538 
 
Con los datos de la tabla se puede modelar la siguiente expresión 
 
𝑚 = 10 ⋅ 0,977𝑡−1 
 
Donde: 
m = masa 
t = tiempo en años 
1) ¿Cuánta masa de cesio137 había inicialmente? 
 
 
2) ¿Qué cantidad de cesio137 habra en 80 años?, utiliza una calculadora científica para el 
cálculo, no olvides aplicar la formula. 
 
 
3) Realiza un gráfico donde se represente el problema 
 
Ejercicios: 
 
Desarrolla las siguientes situaciones: 
 
1. Un cultivo de bacterias, por efecto de sustancias químicas incorporadas al medio de 
cultivo, se reduce a la mitad cada día. Si inicialmente hay 580.000 bacterias por cada ml 
del medio de cultivo. 
a. Confeccione una tabla que modele la situación anterior, donde se relacionan la cantidad 
de bacterias por cada día transcurrido. 
 
Días 
Transcurridos 
Factor de 
crecimiento 
Factor * n° de 
bacterias 
Cantidad de 
Bacterias 
 
 
 
 
 
 
 
b. ¿Cuántas bacterias hay al terminar el cuarto día? 
 
 
c. ¿Cuántos días debe transcurrir para que solo queden 1000 bacterias en el medio? 
 
 
d. ¿Cuántas bacterias se han eliminado hasta el quinto día? 
 
2. Las diferencias de presiones, que se producen al ascender una montaña, son la causa 
que algunas personas se apunen y tengan fuertes dolores de oídos. Investigaciones 
científicas determinaron que la presión atmosférica está dada por la expresión: 
 
𝑃 = (
9
10
)
ℎ
 
Donde: 
P: presión atmosférica medida en cantidad de atmosferas 
h: altura en miles de metro, ejem. 4000 m  4 
 
a. Realiza una tabla que modele la situación 
 
b. Realiza la gráfica que representa la situación 
 
c. ¿qué presión hay a cuatro mil metros de altura 
 
d. ¿Qué altura debe haber para tener 0,53144 atmosferas? 
 
3. Una colonia de bacteria que llego a su máximo poblacional comienza a morir por falta 
de alimento, muriendo una quinta parte de ellas por cada hora transcurrida. Si al 
momento de comenzar a morir la población de bacteria era de 6000. 
 
a. Indique la expresión algebraica que modela esta situación. 
 
ADICIONALMENTE REALICE LOS EJERCICIOS DEL LIBRO DE TEXTO DE MATEMÁTICA DE LAS 
PAGINAS 58 Y 59. 
 
 
AUTOEVALUACIÓN 
Marca con una x en la columna que corresponda a cada afirmación. 
Criterios No Logrado 
Parcialmente 
Logrado 
Logrado 
Comprendí el Concepto de decrecimiento 
exponencial 
 
Pude relacionar el decrecimiento exponencial 
con potencias de exponente negativo 
 
Comprendo como modelar la Expresión 
Algebraica de una situación 
 
Busque información adicional NO SI 
Le dedique el tiempo suficiente NO SI 
Pedí ayuda cuando la necesité NO SI 
Desarrolle todos los ejercicios NO SI