CLASE 3 25-08-2018 Teorema de Pitagoras y su Reciproco-1

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Academia Sabatina de “Jóvenes Talento” 
Nicaragua 2018 
 
I. Datos Generales. 
Disciplina: Teoría de Triángulos Rectángulos 
Nivel: IV 
Fecha: sábado 25 de agosto del 2018 
Trimestre Nº: II 
Encuentro N°: 3 
Clase Nº: 3 
Docente: Ricardo Antonio Esteban Molina 
 
II. Contenidos: 
 Teorema de Pitágoras y su demostración euclídea 
 Reciproco del Teorema de Pitágoras. 
 Ejercicios 
 
III. Objetivos: 
 
 Comprender la demostración del teorema de Pitágoras. 
 Comprender el teorema de Pitágoras y su reciproco, y aplicarlo en la solución 
de ejercicios. 
 Desarrollar habilidades y destrezas en la resolución de ejercicios donde aplique 
el teorema de Pitágoras y su reciproco. 
 
IV. Introducción. 
En el papiro de Kahun, de alrededor del 2200 a. C., se encuentran las cuatro 
ternas pitagóricas siguientes: 
 
62 + 82 = 102 
122 + 162 = 202 
(1 1 2⁄ )
2
+ 22 = (2 1 2⁄ )
2
 
(3 4⁄ )
2
+ 12 = (1 1 4⁄ )
2
 
 
Todas remiten a la terna 32 + 42 = 52 , en el caso de las dos primeras se obtienen 
a partir de esta por sucesivas duplicaciones, las dos últimas por sucesivas 
divisiones entre dos. 
 
 
 
 
2 
 
 
 
 
 
Para algunos historiadores esto es indicio de que 
los egipcios estaban en conocimiento tanto del 
teorema de Pitágoras como de su recíproco, al 
menos en el caso del triángulo de lados 3, 
4, 5 y que este conocimiento era usado para la 
construcción de ángulos rectos mediante una 
cuerda a la que se le ataban once nudos 
igualmente espaciados. 
 
Otros autores sostienen que para trazar 
perpendiculares no es necesario recurrir al 
triángulo de lados 3, 4, 5. 
 
“Basta construir dos oblicuas iguales a partir de la recta en la que se quiere 
levantar la perpendicular y unir el punto de intersección de estas dos oblicuas 
con el centro de esta recta.” 
 (Rey, 1959, pág. 150) 
 
 
 
 
V. Desarrollo 
1.- Teorema de Pitágoras: El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de 
los cuadrados de los catetos. 
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 
 
Antes de iniciar con el desarrollo del contenido te invito que observe el siguiente 
video que aparece en la siguiente dirección web: 
 
https://www.youtube.com/watch?v=iyhhotDX0D8 
 
https://www.youtube.com/watch?v=iyhhotDX0D8
 
 
 
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A continuación, se demostrará el teorema de Pitágoras utilizando la 
semejanza de triángulos y la relación 
entre sus partes. 
 
Se tiene el triángulo rectángulo ∆𝐴𝐶𝐵 , 
donde el ángulo recto está en C. El lado 
opuesto al vértice B se ha denominado 
por 𝑏, el opuesto al vértice 𝐴 se ha 
denominado 𝑎, y el opuesto a C se 
denominó 𝑐. 
Se traza una recta perpendicular a 𝑐 
que pase por el vértice C; esta recta 
corta al lado 𝑐, en un punto D. Se 
forman de esta manera dos triángulos rectángulos dentro del triángulo inicial; los 
triángulos ∆𝐶𝐷𝐵 y ∆𝐴𝐷𝐶, en los cuales el ángulo recto está en D. 
 
Se observa que el triángulo ∆𝐴𝐶𝐵 es semejante al triángulo ∆𝐶𝐷𝐵, porque tienen 
ángulos de igual medida. (Los ángulos C y D son rectos; y el ángulo B es 
compartido por ambos triángulos, luego los ángulos A y C respectivos son 
congruentes). Esta semejanza significa que, sus lados correspondientes son 
proporcionales, es decir: 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝐶𝐷̅̅ ̅̅
=
𝐶𝐵̅̅ ̅̅
𝐷𝐵̅̅ ̅̅
=
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐶𝐵̅̅ ̅̅
 
Es posible reemplazar el segmento por su medida, de modo que la igualdad 
quedará: 
 
𝑏
ℎ
=
𝑎
𝑐 − 𝑥
=
𝑐
𝑎
 
La primera parte de la igualdad se puede omitir y se tendría únicamente las dos 
primeras razones: 
𝑎
𝑐 − 𝑥
=
𝑐
𝑎
 (1) 
Ahora se observa que el triángulo ∆𝐴𝐶𝐵 también es semejante al triángulo 
∆𝐴𝐷𝐶. 
 
 
 
 
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Por igualdad en la medida de sus ángulos (el mismo razonamiento anterior), de 
modo que se obtiene por proporcionalidad que: 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
𝐴𝐷̅̅ ̅̅
=
𝐶𝐵̅̅ ̅̅
𝐷𝐶̅̅ ̅̅
=
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐴𝐶̅̅ ̅̅
 
Reemplazamos los segmentos por sus medidas y tendremos: 
𝑏
𝑥
=
𝑎
ℎ
=
𝑐
𝑏
 
Descartamos la segunda parte de la igualdad y queda: 
𝑏
𝑥
=
𝑐
𝑏
 (2) 
La ecuación (1) se transforma en: 
𝑎2 = 𝑐(𝑐 − 𝑥) 
Y la ecuación (2) en: 𝑏2 = 𝑐𝑥 
Sumando término a término las dos ecuaciones se obtienen: 
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐(𝑐 − 𝑥) + 𝑐𝑥 
Lo cual es equivalente a: 
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 
Que es el teorema de Pitágoras. Este procedimiento consiste en una 
demostración de carácter algebraico fundamentada en la semejanza de 
triángulos, existen otras demostraciones del teorema desde otras perspectivas. 
En general, se dice que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al 
cuadrado de la hipotenusa. Y este hecho es usado en numerosos contextos de 
la matemática, la geometría, el cálculo, la trigonometría, etc., por lo cual se 
convierte en uno de los saberes necesarios del área. 
2.- Reciproco del Teorema de Pitágoras 
 
El recíproco del teorema de Pitágoras sería el inverso de este teorema que 
podemos enunciarlo de la siguiente manera: 
 
 
https://teoremapitagoras.com/teorema/teorema-de-pitagoras
 
 
 
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“Si en un triángulo se cumple que el cuadrado del lado de mayor longitud es 
igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces dicho 
triángulo es un triángulo rectángulo”. 
 
Ejemplos. 
Problema 1. Una cancha de fútbol olímpica es un rectángulo de 100 metros de 
largo y 70 metros de ancho. ¿Qué longitud tiene la diagonal de la cancha? 
 
Solución: 
 
La diagonal es la hipotenusa de un triángulo 
rectángulo, con catetos de longitudes 70 m y 100 
m. Utilizando el Teorema de Pitágoras para 
encontrar la longitud de la diagonal. 
 
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 
 
Sustituye los valores conocidos: 
 
(70)2 + (100)2 = 𝑐2 
4 900 + 10 000 = 𝑐2 
𝑐2 = 14 900 
√𝑐2 = √14 900 
𝑐 = 122 
La diagonal tiene una longitud aproximada de 122 metros. 
 
 
Problema 2: ¿Cuál es el área de un triángulo rectángulo con un cateto de 5 pies 
de longitud y una hipotenusa de 13 pies de longitud? 
 
Solución: 
 
Considerando los dos catetos como la base y la altura 
del triángulo. La longitud de un cateto es 5 pies. Para 
encontrar la longitud del otro cateto, se utiliza el 
Teorema de Pitágoras. 
 
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2 
 
 
 
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Sustituye los valores conocidos: 
 
(5)2 + 𝑏2 = (13)2 
25 + 𝑏2 = 169 
𝑏2 = 169 − 25 
√𝑏2 = √144 
𝑏 = 12 
El otro cateto tiene de longitud 12 pies de longitud, pero como nos piden 
calcular el área del triángulo, entonces: 
 
𝐴 =
𝑏ℎ
2
=
12 ∙ 5
2
= 30 
El área del triángulo es 30 pies cuadrados. 
 
Problema 3: Luís quería construir un corral rectangular para su conejillo de Indias. 
Cuando terminó, midió el fondo del corral. Encontró que un lado tenía 54 
pulgadas de largo, el lado adyacente tenía 30 pulgadas de largo y una diagonal 
medía 63 pulgadas de largo. ¿El corral es realmente rectangular? 
 
Solución: 
 
Si el corral es rectangular, entonces dos lados adyacentes y una diagonal 
formarán un triángulo rectángulo. Para ver si éste es el caso, verifica si las 
medidas cumplen con el teorema de Pitágoras. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
302 + 542 = 632 
900 + 2 916 = 3 969 
3 816 ≠ 3 969 
Como las medidas no cumplen con el teorema de Pitágoras, así que el triángulo 
no es un triángulo rectángulo. Por lo tanto, el corral no es rectangular. 
 
 
 
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Problema 4: Compruebe si la siguiente terna de números 5, 7 y 9, forma una 
tripleta Pitagórica. 
 
Solución: 
 
Definición: Una terna pitagórica consiste en un cortejo de tres enteros positivos 
𝑎, 𝑏, 𝑐 que cumplen que 𝑎² + 𝑏² = 𝑐². El nombre deriva del teorema de Pitágoras, 
el cual plantea que, en cualquier triángulo rectángulo, se cumple que 𝑥² + 𝑦² =
𝑧² (siendo 𝑥 e 𝑦 las longitudes enteras de sus catetos y 𝑧 la de la hipotenusa). 
 
Utilizando la definición anterior, entonces: 
 
52 + 72 = 92 
25 + 49 = 81 
74 ≠ 81 
Como la terna de números 5, 7 y 9 no cumple con el teorema de Pitágoras, 
entonces noson una terna Pitagórica. 
 
VI. Asignación. 
 
1. La medida que se utiliza en los televisores es la longitud de la diagonal de la 
pantalla en unidades de pulgadas. Una pulgada equivale a 2,54 centímetros: 
1 𝑝𝑢𝑙𝑔 = 2,54 𝑐𝑚 
Si David desea comprar un televisor para colocarlo en un hueco de 96x79cm, 
¿de cuántas pulgadas debe ser el televisor? 
 
2. Un clavadista está entrenando en una piscina con una plataforma. Cuando 
realiza el salto, cae a una distancia de 1 metro de la plataforma 
sumergiéndose 2,4 metros bajo el agua. Para salir a la superficie, bucea hasta 
el final de la piscina siguiendo una línea transversal de 8,8 metros de longitud. 
 
 
 
 
 
 
Si la longitud desde la parte superior de la plataforma al lugar en donde 
emerge del agua es de 11,2 metros, ¿cuál es la altura de la plataforma 
(desde el nivel del agua)? 
 
 
 
 
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3. Indica cuales de las siguientes ternas de números forman una 
terna pitagórica. 
 
a) 8, 9 y 15 c) 9, 10 y 11 
b) 7, 24 y 25 d) 6, 8 y 10 
 
4. Selecciona el trío de valores que pueden tomar las longitudes de los 
lados de un triángulo para que sea rectángulo. 
 
a) 2; 5 y 6 unidades. 
b) 1,5; 2 y 3 unidades. 
c) 7,5; 10 y 12, 5 unidades. 
d) 10, 1 y 12 unidades. 
 
Reto: Un aparcamiento con forma rectangular de dimensiones 35𝑥98 metros es 
controlado por cuatro cámaras de vigilancia. 
 
La cámara A observa el área 1; la cámara B, el área 2; la cámara C, el área 3; y 
la cámara D, el área 4. Calcule el porcentaje del área del aparcamiento que no 
es vigilada por ninguna cámara. 
VII. Crédito Extra. 
Utilizando el teorema de Pitágoras, calcule la altura del siguiente triángulo 
sabiendo que sus lados miden , y su base es 3. 
 
 
 
 
 
Nota: enviar las soluciones a los ejercicios a más tardar el martes 4 de septiembre 
a la dirección ricardomolina01@yahoo.es o al wasap 87864014 
 
¡Éxitos! 
mailto:ricardomolina01@yahoo.es