10.geometria basica

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Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
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 GEOMETRÍA BÁSICA 
Historia 
 
La geometría (Del griego: γεωμετρία: geo = Tierra, Metria = medida) es el campo del 
conocimiento dedicado a las relaciones espaciales. Junto a la teoría de números conforma el 
antecedente más claro de la matemática moderna. 
 
El principal ámbito de aplicación de la geometría clásica fue la construcción de edificios, 
canalizaciones y la distribución del terreno. La geometría primordial se basaba en una colección 
de enunciados descubiertos empíricamente en relación con longitudes, ángulos, áreas, y 
volúmenes de diversos objetos, y que fueron desarrollados para satisfacer necesidades en 
agrimensura, construcción, astronomía y artesanía. Entre estos principios algunos destacan por 
ser sorprendentemente sofisticados, hasta el punto de que su justificación ha requerido una 
compleja elaboración incluso para la matemática y el cálculo moderno. 
 
En la actualidad, los conceptos geométricos han alcanzado un alto nivel de abstracción y 
complejidad debido a la influencia del cálculo y el álgebra, de modo que la geometría moderna 
es apenas reconocible como heredera de la antigua. 
 
Es razonable pensar que los orígenes de la Geometría se encuentran en los primeros 
pictogramas del hombre primitivo (prehistoria, + 3300 a. C.), que de esta forma clasificaba 
inconscientemente los objetos que le rodeaban atendiendo a su forma o dimensiones. En la 
abstracción de estas formas comienza el primer acercamiento intuitivo e informal a la geometría. 
 
Un pictograma es un signo que representa esquemáticamente un símbolo, objeto real o figura, 
es el nombre con el que se denomina a los signos de los sistemas alfabéticos basados en dibujos 
significativos. Son los precursores de los posteriores jeroglíficos en diferentes culturas. Los 
pictogramas deben ser fácilmente comprensibles y omitir detalles superfluos. Hemos de 
entenderlos como signos claros y esquemáticos que sintetizan mensajes sobrepasando la 
barrera del lenguaje con el objetivo de informar y/o señalizar. 
 
 
Ejemplo de pictograma 
 
El desarrollo de la geometría primitiva fue paralelo al de los números y la aritmética. La 
introducción de los numerales fue un paso decisivo en la abstracción que dejaba atrás las marcas 
de cuenta utilizadas por los hombres primitivos. Uno de los primeros esfuerzos serios datados 
se remonta a la antigua Mesopotamia hace 6000 años. A continuación, repasaremos sus logros 
más importantes. 
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Personajes Históricos 
Tales de Mileto Matemático griego (630-545 a.C.) 
Es uno de los 7 sabios de la antigüedad, se destacó tanto en filosofía como en matemáticas. Se 
le atribuyen las primeras demostraciones de teoremas geométricos mediante el razonamiento 
lógico. Fundó la geometría como una ciencia que compila una colección de proposiciones 
abstractas acerca de formas ideales y pruebas de estas proposiciones. Fue el primero en ser 
capaz de calcular la altura de las pirámides de Egipto. 
 
Pitágoras de Samos Matemático griego (582-500 a.C.) 
Se piensa que fue discípulo de Tales. Fundó su famosa escuela pitagórica en Crotona, al sur de 
Italia. En aquel centro de estudios se discutía filosofía, matemáticas y ciencias naturales. Las 
enseñanzas se transmitían por vía oral y todo se atribuía al venerado fundador. Entre otros 
aspectos estudiaron los números enteros y su clasificación. También se les atribuye la 
demostración del teorema de Pitágoras y como consecuencia, el descubrimiento de los números 
irracionales como √2, √3, etc. En estos tiempos aún no hay una distinción muy clara entre la 
aritmética y la geometría 
 
Herodoto Historiador griego (484-425 a.C.) 
Utilizó por primera vez la palabra griega geometría (medida de la tierra) en su gran épica sobre 
las guerras persas, en donde escribe que en el antiguo Egipto fue usada "la geometría" para 
encontrar la distribución adecuada de la tierra después de los desbordamientos anuales del Nilo. 
Eudoxo de Cánidos Matemático griego (408-355 a.C.) 
Es conocido por sus trabajos sobre la teoría de la proporción y el llamado método de exhausción, 
aportaciones que hicieron posible determinar áreas y volúmenes rigurosamente, y fueron el 
antecedente del Cálculo Integral. 
 
 
Euclides Matemático griego (325-265 a.C.) 
La geometría clásica griega ha sobrevivido a través de la famosa obra escrita por él, conocida 
como los Elementos de Euclides. Esta obra está compuesta de trece libros y es considerada 
como la obra más famosa de la historia de las matemáticas. Es considerado por ello como el 
padre de la Geometría. 
 
 
 
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Arquímedes de Siracusa Matemático griego (287-212 a.C.) 
Realizó importantes aportaciones a la geometría. Inventó la forma de medir el área de superficies 
limitadas por figuras curvas y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas. 
También elaboró un método para calcular una aproximación al número π. 
Apolonio de Perga Matemático griego (262-190 a.C.) 
Escribió un tratado en ocho tomos sobre las cónicas y estableció sus nombres: 
elipse, parábola e hipérbola. 
Este tratado sirvió de base para el estudio de la geometría de estas curvas hasta los tiempos del 
filósofo y científico francés René Descartes en el siglo XVII. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Segmentos 
 
Igualdad y desigualdad de segmentos: 
 
Sean los segmentos AB y CD; si transportamos el segmento AB sobre el segmento CD, de 
manera que el segmento A coincida con el C puede ocurrir. 
 
1º. Que el extremo B coincida con de D entonces se dice que AB es igual a CD 
 
 
 
 
 
AB̅̅ ̅̅ = CD̅̅ ̅̅ 
 
2º. Que el extremo B resulte punto interior al CD, entonces se dice que AB es menor que CD. 
 
 
 
 
 
AB̅̅ ̅̅ < CD̅̅ ̅̅ 
 
3º. Que el extremo B resulte punto exterior al CD, entonces el segmento AB es mayor que CD. 
 
 
 
 
 
AB̅̅ ̅̅ > CD̅̅ ̅̅ 
 
Propiedades de igualdad de segmentos. La igualdad de segmentos como toda igualdad goza 
de las propiedades: 
1. Identidad Todo segmento es igual a sí mismo 
 
AB̅̅ ̅̅ < AB̅̅ ̅̅ 
 
2. Reciprocidad. Si un segmento es igual a otro, este es igual al primero 
 
AB̅̅ ̅̅ = CD̅̅ ̅̅ ∧ CD̅̅ ̅̅ = AB̅̅ ̅̅ 
A B 
A B 
C D 
A B 
A B 
C D 
A B 
C D 
A B 
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3. Transitividad. Si un segmento es igual a otro y este es igual al tercero el primero es igual al 
tercero. 
AB̅̅ ̅̅ = CD̅̅ ̅̅ ∧ CD̅̅ ̅̅ = EF̅̅̅̅ → AB̅̅ ̅̅ = EF̅̅̅̅ 
 
Segmentos Consecutivos. 
Se dice que dos segmentos son consecutivos, si tienen un extremo común y los demás puntos 
son comunes, pertenecen a semirrectas opuestas. 
 
 
 
 AB̅̅ ̅̅ y BC̅̅̅̅ Son segmentos consecutivos 
Operaciones con segmentos: 
Suma. 
Para sumar dos o más segmentos, transportamos sobre una recta, y a partir de un punto 
cualquiera, segmentos consecutivos, respectivamente iguales a los dados. 
El segmento que tiene por origen el origen del primero y como extremo el extremo del último. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diferencia. 
Para obtener el segmento diferencia se transporta el segmento sustraído sobre el segmento 
minuendo de manera que considera sus orígenes. 
 
 
 
 
 
 
 
A B C 
A B 
E F 
C D 
A B 
C D 
E F 
A B 
C D 
A B 
C D B 
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Producto. 
El producto deun segmento por un número natural se obtiene llevando sobre una recta, y a partir 
de un punto cualquiera de ella, tantos segmentos consecutivos iguales al lado como indica el 
número natural. 
 
División. 
Para dividir un segmento en partes iguales seguimos el procedimiento que se ilustra a 
continuación: 
- Sea el segmento AB que se quiere dividir en cinco partes iguales, a partir de los 
extremos del segmento dado trazamos una semirrecta AC con cualquier 
inclinación sobre AC y a partir de A se lleva el segmento de longitud arbitraria a 
tantas veces como indica el divisor en este caso es cinco, determinamos así los 
puntos D, E, F, G y H. 
- El extremo de segmento B se traza paralelas al segmento HB por los puntos D, 
E, F y G y obtenemos los puntos M, N, O, P, que son extremos comunes de 
segmentos consecutivos de igual longitud b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejercicios resueltos 
 
1. 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son tres puntos consecutivos de una recta si: 𝐴𝐵 = 2 𝐵𝐶 + 1 y 𝐴𝐶 = 31 
determinar la longitud del segmento 𝐵𝐶 
 
Solución 
 
✓ Graficar la recta y sus segmentos considerar la incognita del segmento 𝐵𝐶 = 𝑥 
 
 
 
 
 
✓ Del grafico se obtiene 
 
 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 ; 2𝑥 + 1 + 𝑥 = 31 ; 3𝑥 = 30 ; 𝑥 = 10 
 
✓ La longitud del segmento 𝐵𝐶 = 10 unidades 
 
 
 
2. 𝐴,𝑀, 𝐵 y 𝐶 pertenecen a la misma recta, 𝑀 es el punto medio de la recta 𝐴𝐶 
sí: 𝐴𝐵 − 𝐵𝐶 = 32 determinar la longitud del segmento 𝑀𝐵 
 
Solución 
 
✓ Graficar la recta y sus segmentos considerar la incognita del segmento 𝑀𝐵 = 𝑥 
Además 𝐵𝐶 = 𝑎 
 
 
 
 
 
 
✓ Del grafico donde el punto medio es 𝑀 entonces se obtiene 
 
 𝑀𝐶 = 𝑥 + 𝑎 y 𝐴𝑀 = 𝑥 + 𝑎 
 
✓ La longitud 𝐴𝑀 = 𝑀𝐵 el punto medio 𝑀 de la recta 𝐴𝐶 remplazando datos en la 
ecuación condición 
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 𝐴𝐵 − 𝐵𝐶 = 32 ; (𝑥 + 𝑎 + 𝑥) − ( 𝑎) = 32 ; 2𝑥 = 32 ; 𝑥 = 16 
 
✓ La longitud del segmento es : 𝑀𝐵 = 16 unidades 
 
3. Sean los puntos colineales 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 sí 2𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 y 
𝐴𝐶
𝐵𝐸
=
1
5
 determinar 
𝐶𝐸
𝐴𝐵
 
 
Solución 
 
✓ Graficar la recta y sus segmentos considerar 𝐵𝐶 = 2𝐴𝐵 incógnitas 
 
 
 
 
 
 
✓ Del grafico se muestras las incógnitas si : 𝐴𝐵 = 𝑥 . entonces 𝐵𝐶 = 2𝑥 
 
✓ D acuerdo a la condición 
𝐴𝐶
𝐵𝐸
=
1
5
 entonces: 
 
 𝐵𝐸 = 5(𝐴𝐶) ; 𝐵𝐸 = 5( 3𝑥) ; 𝐵𝐸 = 15𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
✓ Del grafico se determina para responder a la pregunta 
𝐶𝐸
𝐴𝐵
 
 
 Si: 𝐵𝐸 = 15𝑥 , entonces 𝐶𝐸 = 15𝑥 − 2𝑥 = 13𝑥 
 
✓ La proporción 
𝐶𝐸
𝐴𝐵
=
13𝑥
𝑥
 será: 
𝐶𝐸
𝐴𝐵
= 13 
 
 
 
 
 
 
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4. Si puntos 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 𝑦 𝐸 son colineales y consecutivos sí se cumple que: 
 2𝐴𝐵 = 3𝐵𝐶 = 4𝐶𝐷 = 5𝐷𝐸 y 𝐴𝐸 + 𝐵𝐷 = 56 Determinar la longitud del segmento 𝐴𝐵 
 
Solución 
 
✓ Graficar la recta y sus segmentos considerar las condiciones 
 
 
 
 
 
 
✓ Del grafico se obtiene las siguientes proporciones 
 
 
 2𝐴𝐵 = 𝑥 entonces 𝐴𝐵 =
𝑥
2
 ; 3𝐵𝐶 = 𝑥 entonces 𝐵𝐶 =
𝑥
3
 
 
 4𝐶𝐷 = 𝑥 entonces 𝐶𝐷 =
𝑥
4
 ; 5𝐷𝐸 = 𝑥 entonces 𝐷𝐶 =
𝑥
5
 
 
 
✓ D acuerdo a la condición 𝐴𝐸 + 𝐵𝐷 = 56 se determina la longitud de 𝐴𝐵 
 
 (
𝑥
2
+
𝑥
3
+
𝑥
4
+
𝑥
5
) + (
𝑥
3
+
𝑥
4
) = 56 ; 
28𝑥
15
= 56 ; 𝑥 = 30 
 
 
✓ El segmento 𝐴𝐵 =
𝑥
2
 entonces 𝐴𝐵 = 
30
2
 la longitud será: 𝐴𝐵 = 15 
 
Ejercicios Propuestos LIBRO GORDO 
 
CALCULO 
Ejercicio N°1 (falta grafica). Pág. 47 
 
1, Los puntos colineales y consecutivos 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝑦 𝐷, son tales que: 
 𝐴𝐷 = 18, 𝐵𝐷 = 13 𝑦 𝐴𝐶 = 12 
Hallar 𝐵𝐶. 
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 5 
Respuesta (b). 
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Ejercicio N° 2 (falta grafica). Pag.48 
2. Se tiene puntos colineales y consecutivos 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 tales que: 
𝑨𝑫 = 𝟐𝟒 𝑨𝑪 = 𝟏𝟔 y 
𝑨𝑩
𝑩𝑪
=
𝑨𝑫
𝑪𝑫
 
Hallar 𝐵𝐶. 
a) 3 b)4 c)6 d)3,6 e) 5 
Respuesta (b). 
 
Ejercicio N° 3 (falta grafica). Pag.49 
3. 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶, son puntos colineales y consecutivos, tales que 7𝐴𝐵= 8𝐵𝐶 y 𝐴𝐶 =45. 
Hallar 𝐵𝐶 
a) 25 b) 19 c)23 d) 21 e) ninguna 
Respuesta (d) 
 
Ejercicio N° 4 3 (falta grafica). Pag.50 
4.En una recta que tienen los puntos consecutivos 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, cumpliendo la relación: 4 
𝐴𝐵 −2𝐶𝐷=4. 
Hallar 𝐴𝐷, si 𝐴𝐵=3 y 𝐴𝐶=5. 
 a)5 b) 6 c) 8 d) 9 e)7 
 Respuesta (e). 
 
 
Ejercicio N° 5 (falta grafica). Pag.51 
5.En una recta se ubican los puntos consecutivos 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 𝑦 𝐸, siendo C, punto medio de 
 𝐴𝐵, además 𝐴𝐵 = 𝐶𝐷. Calcular la longitud de 𝐵𝐷, 𝑠𝑖 𝐴𝐸 =18. 
 a)6 b)7 c)8 d)9 e) 10 
Respuesta (d). 
 
Ejercicio N° 6 (falta grafica). Pag.51 
6.𝑀,𝑁, 𝑅, son puntos colineales y consecutivos, tales que 2𝑀𝑁+ 3𝑁𝑅 = 81. 
Hallar 𝑁𝑅, 𝑠𝑖 𝑀𝑅 = 36 
a)12 b)11 c)10 d) 8 e)9 
Respuesta (e). 
 
Ejercicio N° 7 (falta grafica). Pag.53 
7.Sobre una recta se toman los puntos consecutivos 𝑃, 𝑄 y 𝑅. Entre los puntos 𝑄 y 𝑅 se toma 
un punto 𝐻, tal que: 𝑃𝐻 = 
𝐻𝑅
4
 y 𝑄𝑅 − 4𝑃𝑄 = 28 
Hallar 𝑄𝐻. 
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a)7 b)5,6 c)4,8 d)4,5 e) n.a 
Respuesta (b). 
 
Ejercicio N° 8 (falta grafica). Pag.53 
8.Sean los puntos colineales y consecutivos 𝐴, 𝐸, 𝐵, 𝑃 𝑦 𝐶; 𝐸, es un punto medio de 𝐴𝐵 y 𝑃 lo 
es de 𝐸𝐶. 
Hallar 𝑃𝐶, Si: 𝐴𝐵 + 2𝐵𝐶 =36. 
a)8 b)16 c)18 d)9 e)12 
Respuesta 𝑃𝐶 = 9 ….(d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Angulo. 
Una figura formada por dos semirrectas con un extremo común A, este punto común se llama 
vértice del ángulo. 
 
 
 
 
 
Los ángulos pueden nombrarse de tres formas distintas. 
1. Por las letras mayúsculas correspondientes a las semirrectas, colocando la letra vértice al 
medio 𝐂𝐀�̂� 
2. Por la letra griega colocada en la abertura 𝛼 
3. Por la letra del vértice  
 
Medida de ángulo. 
Medir un ángulo o determinar su magnitud es comparar con otro, que forma como unidad, un 
ángulo se puede medir en grados sexagesimales y radianes. 
Grados sexagesimales. 
Se considera una circunferencia divida en 360 partes iguales y un ángulo de un grado, es el que 
tiene el vértice en el centro y sus lados pasan por dos divisiones consecutivas, cada división de 
la circunferencia se denomina grado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cadagrado se considera dividido por 60 partes iguales llamado minutos y cada minuto es 60 
partes iguales denominados segundos, se simboliza de la siguiente manera 
• Grado o 1º = 60´ 
• Minuto ´ 1´ = 60´´ 
• Segundo ´´ 
A B 
C 
 
1º 
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Sistema radiánico 
Otro sistema es el circular o radiánico, que se usa como unidad el ángulo llamado radian, un 
radian es el ángulo cuyos lados corresponden a un arco, cuya longitud es igual al radio de la 
circunferencia. 
 
 
 
 
 
Bisectriz de un ángulo. 
 Es la semirrecta que tiene como origen el vértice y divide al ángulo en dos ángulos iguales. 
 
 
 
 
 
 
 
Clasificación de ángulo. los ángulos se clasifican: 
 
a) por su medida angular se clasifican en: 
 Angulo Llano. Es el ángulo formado por dos semirrectos opuestas sobre una línea recta, su 
amplitud es de media circunferencia es decir 180º. 
 
 
 
 
 
 
Angulo Recto. Cuando uno de los lados de un ángulo está en un cuarto de la circunferencia, 
el ángulo mide 90º 
 
 
 
 
 
 
r 
1 radián 
r 
r 
A 
B 
C 
D 
 
 
180º 
0 
90º 
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Angulo Obtuso. Es el ángulo cuya amplitud es mayo que 90º y menor que 180º. 
 
 
 
 
 90° < α < 180° 
 
Angulo Agudo. Es todo ángulo cuya amplitud sea menor que 90º 
 
 
 α < 90° 
 
 
Angulo Cóncavo. Es todo ángulos cuya medida es mayor a 180º y menor a 360º. 
 
 
 
 
 
Angulo Convexo. Es todo ángulo cuya medida es mayor que 0º y menor que 180º. 
 
 
 
 
 
b) Por la suma de sus medidas: 
Complementario. Son los que sumados valen 90º, cada ángulo se llama complemento del 
otro así el ángulo α es complemento del ángulo β o viceversa. 
 
 
 
 
 
 
Angulo Suplementario. Son los que sumados valen 180º, cada ángulo es suplemento del 
otro, así el ángulo α es suplemento del ángulo β o viceversa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  + 
 
 
90º 
= 
 +  = 90º 
 
 
+ =  
 
 +  = 180º 
180º 
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c) Por la posición de sus lados: 
Ángulo Consecutivo. Se denomina así; si tienen un lado común, que separe a los otros dos 
ángulos, varios ángulos son consecutivos, si cada uno es consecutivo del siguiente. 
 
 
 
 
Teoremas: 
1. Los ángulos consecutivos formados a un lado de una recta, suman 180º 
 
 
 
 
 
 
2. La suma de los ángulos consecutivos alrededor de un punto es igual a 360º 
Angulo adyacente. 
Dos ángulos son adyacentes cuando tienen lados en común y los otros dos lados son semirrectas 
opuestas. 
 
 
 
 
Los ángulos adyacentes son complementarios, es decir α + β = 180° 
Ángulos opuestos. 
Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando los lados de uno de ellos, son las semirrectas 
opuestas de los lados del otro 
 
 
 
 
 
 
 α y β son opuestos por el vértice 𝛂 = 𝛃 ; δ y θ son opuestos por el vértice 𝛅 = 𝟎 
 
  
 
 
 
 
 
 +  = 180º 
  
 
 
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Angulo central. 
Es aquel ángulo que está formado por dos radios de la circunferencia y su vértice coincide con 
el centro de la misma. 
 
 
 
 
 
Angulo Inscrito. 
Es aquel que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados en el interior de la misma. 
 
 
 
 
 
 
 
Angulo positivo. Es aquel que se genera en sentido contrario de las agujas del reloj. 
 
 
 
Angulo Negativo. Es aquel que se genera en el sentido de las agujas del reloj 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ángulo positivo 
 
Ángulo negativo 
 
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Angulo formado por dos rectas paralelas y una recta secante: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una secante se forman los siguientes ángulos. 
• Ángulos Internos. Son los que están en las paralelas d, c, e y f. 
• Ángulos Externos. son los que están fuera de las paralelas a, b, h y g. 
• Ángulos Alternos Internos. Son los ángulos internos situados a distintos lados de la recta 
secante y no adyacente d = f; c = e 
• Ángulos Alternos Externos. Son los externos situados a distintos lados de la secante y no 
adyacentes a = g; h = b 
Ángulos Correspondientes. Son dos ángulos uno interno y el otro externo situado al mismo 
lado de las secantes y no adyacente a = e; b = f; h = d; c = g 
• Ángulos Colaterales Internos. Son ángulos internos situados al mismo lado de la secante 
d y e; c y f; además d + e = 180º; c + f = 180º 
• Ángulos Colaterales Externos. Son dos ángulos externos al mismo lado de la secante a y 
h; b y g además a + h = 180º; b y g = 180º 
• Ángulos Con Lados Paralelos O Perpendiculares: 
Teorema: 
1. Dos ángulos, obtusos o agudos que tienen sus lados respectivamente paralelos, son iguales 
entre sí: L // L´ y K // K´ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b 
a 
d 
c 
f 
e 
h 
g 
L2 
L1 
L3 
 
L 
 
L 
K 
K 
 
L 
 
L 
K 
K 
 =   =  
 
 L 
L 
K 
K 
 =  
 
 L 
L 
K 
K 
 =  
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2. Si dos ángulos, un ángulo agudo y otro obtuso, tienen sus lados respectivamente paralelos, 
entonces son suplementarios 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Dos ángulos obtusos o agudos, que tienen sus lados respectivamente iguales, son iguales 
entre si. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Dos ángulos, uno agudo y otro obtuso que tienen sus lados respectivamente perpendiculares 
son suplementarios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L 
 
L 
K 
K 
L // L 
K // K 
 = Angulo agudo 
 = Angulo obtuso 
  +  = 180º 
 
L 
 
L 
K 
K 
 =  
 
 L 
L 
K 
 =  
K 
L ⊥ L 
K ⊥ K 
 
L 
 
L 
K 
K 
L ⊥ L 
K ⊥ K 
 = Angulo agudo 
 = Angulo obtuso 
  +  = 180º 
 
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Ejercicios resueltos 
 
1.Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC, COD si 2(AOB)= 3 (COD) ; AOC=92º y 
BOD=76º determinar la medida del ángulo BOC 
 
Solución 
 
✓ Graficar los ángulos consecutivos 
 
 
 
 
 
 
 
✓ Interpretar en el grafico la condición 
 
 2(AOB)= 3 (COD) 
 
 2(92𝑜 − 𝑥) = 3(76 − 𝑥) 
 
✓ Resolver la ecuación para determinar el ángulo 𝑥 
 
 184 − 2𝑥 = 228 − 3𝑥 ; 3𝑥 − 2𝑥 = 228 − 184 ; 𝑥 = 44 
 
 
✓ El valor del ángulo pedido será: 𝑥 = 44𝑜 
 
 
 
2. El doble del complemento de un ángulo más el triple del suplemento del mismo es 600𝑜 
determinar la medida del ángulo 
 
Solución 
 
✓ Sea 𝑥 ángulo que se busca 
 
✓ interpretar ángulo complementario 90𝑜 − 𝑥 además ángulo suplementario 180𝑜 − 𝑥 
 
✓ Interpretar la condición de la pregunta 
 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
20 
 
 2(90𝑜 − 𝑥 ) + 3(180𝑜 − 𝑥) = 600𝑜 
 
✓ Resolver la ecuación para determinar el ángulo 𝑥 
 
 180 − 2𝑥 + 540 − 3𝑥 = 500 ; 5𝑥 = 140 ; 𝑥 = 28 
 
✓ El valor del ángulo pedido será: 𝑥 = 28𝑜 
 
 
 
3. Si las rectas: 𝑟 es paralela a 𝑠 y 𝑠es paralela a 𝑡 determinar el valor de 𝛼 + 𝛽Solución 
 
 
✓ Aplicar la definición de ángulo adyacentes 
 
 
 ∝ +150° = 180° y 𝛽 + 160° = 180° 
 
✓ La suma de ángulos consecutivos alrededor de un punto es 360° 
 
 
 ∝ +150° + 𝛽 + 160° = 360 entonces el resultado es ∝ +𝛽 = 50° 
 
 
4. Si la recta 𝑟 es paralela a la recta 𝑠, determinar el valor del ángulo 𝛼 es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝛼 
𝛽 
150⁰ 
160⁰ 
𝑟 
𝑠 
𝑡 
52⁰ 
3 𝛼 120⁰ 
𝑟 
𝑠 
𝛽 3𝛼 
𝛽 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
21 
 
Solución 
 
 
✓ Como 𝑟 es paralela a 𝑠 entonces el ángulo 3𝛼 es el mismo 
 
 
✓ De la gráfica aplicando la definición de ángulos adyacentes se obtiene 
 
 
 𝛽 + 52° + 3 ∝= 180° y 120° + 𝛽 = 180° 
 
 
✓ formar el sistema de ecuaciones para determinar 𝛼 
 
 
 {
𝛽 + 52° + 3 ∝= 180° 
 120° + 𝛽 = 180°
 ; {
3 ∝ +𝛽 = 128°
 𝛽 = 60°
 
 
 
✓ Resolviendo el sistema el ángulo pedido será: 𝛼 = 22°40′ 
 
 
5. Según el grafico, calcular el valor del ángulo 𝑥 en grados sexagesimales 
 
 
 
 
 
 
Solución: 
✓ Prolongando las rectas e indicando los ángulos en cada triangulo que se forma 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Triángulo LHB 20𝑜 + 𝜑 = 90𝑜 ; 𝜑 = 70𝑜 
 Angulos internos alternos 𝜑 = 𝛽 = 70𝑜 
 Suma de angulos 140𝑜 + 𝜔 = 180𝑜 ; 𝜔 = 40𝑜 
 Triangulo MCD 60𝑜 + 𝜔 + 𝛼 = 180𝑜 ; 𝛼 = 80𝑜 
 Triangulo BAC 70𝑜 + 80 + 𝜃 = 180𝑜 ; 𝜃 = 30𝑜 
 Triángulo AGE 𝜃 + 𝛾 = 90𝑜 ; 𝛾 = 60𝑜 
 
✓ Luego se observa donde se encuentra el valor de 𝒙 que se pide en el enunciado 
 
 𝒙 + 𝟔𝟎𝒐 = 180𝑜 ; 𝑥 = 130𝑜 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
22 
 
6. En el rectángulo 𝑀𝑁𝑂𝑃 la diagonal es duplo del ancho, y 𝑀𝑃 = 𝑃𝑄; la suma de los 
ángulos “𝑥” e “𝑦” es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución: 
 
✓ Según el enunciado la diagonal 𝑃𝑁 es el duplo del ancho 𝑀𝑃, además 𝑀𝑃 = 𝑃𝑄 
entonces 𝑄𝑂 = 𝑃𝑁 = 2𝑀𝑃 
 
 
✓ Del triángulo rectángulo𝑃𝑂𝑄 tenemos cateto opuesto sobre hipotenusa 
 
 
 𝑠𝑒𝑛𝑥 =
𝑃𝑄
𝑄𝑂
 
 
✓ Reemplazando 𝑄𝑂 por 2𝑀𝑃 y 𝑃𝑄 por 𝑀𝑃 
 
 𝑠𝑒𝑛𝑥 =
𝑀𝑃
2𝑀𝑃
 
 
✓ Simplificando y despejando “𝑥” 
 
 𝑠𝑒𝑛𝑥 =
1
2
 ; 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (
1
2
) ; 𝑥 = 30º 
 
✓ Como el ángulo “𝑦” es recto, entonces: 
 
 𝑦 = 90º 
 
✓ luego 𝑥 + 𝑦 = 30º + 90º = 120º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
M N 
O 
Q 
P 
x 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
23 
 
Ejercicios propuestos DEL LIBRO ANILLADO 
 
CALCULO ANGULOS 
 
Ejercicio N°1 (falta grafica pág. 93). 
 
1. Se tienen los ángulos consecutivos 𝐴𝑂𝐵 y 𝐵𝑂𝐶, donde 𝐴𝑂𝐶 = 102°. Se traza la 
bisectriz 𝑂𝑀⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ del 𝐴𝑂𝐵. Hallar la medida del 𝐵𝑂𝐶, si 𝐵𝑂𝐶 − 𝑀𝑂𝐵 = 36°. 
a) 51° b) 66° c)68° d)48° 
e) 58° 
Respuesta (e). 
 
Ejercicio N°2 (falta grafica pág. 95). 
2. En la figura adjunta: 𝑋 − 𝑌 = 12° Hallar el valor de a. 
a) 6° b) 24° c)18° d)18° 
e) 9° 
Respuesta (d). 
 
Ejercicio N°3 
3. El doble de la medida de un ángulo es igual al triple de la medida de su complemento. 
Hallar la medida del ángulo. 
a) 54° b) 36° c)32° d)27° 
e) 58° 
Respuesta (a). 
 
Ejercicio N°4 
4. Las medidas de dos ángulos suplementarios son entre sí, como 3 𝑎 7. Hallar el 
complemento del menor 
a) 54° b) 32° c)52° d)36° 
e) n.a 
Respuesta (d). 
 
 
 
 
Ejercicio N°5 
5. Si los 3/2 del complemento de un ángulo 𝑎 es igual al suplemento del complemento del 
mismo ángulo. Hallar 𝑎.. 
a) 15° b) 28° c)18° d)5° 
e) 8° 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
24 
 
Respuesta (c). 
 
Ejercicio N°6 
6. El suplemento del complemento de un ángulo es igual a 3/2 de la diferencia entre el 
suplemento y el complemento de dicho ángulo. 
Hallar el ángulo. 
a) 38° b) 42° c)45° d)48° 
e) 50° 
Respuesta (c). 
 
Ejercicio N°7 
7. La suma de las medidas de los ángulos es 80° y el complemento de la medida del primero 
es igual al doble de la medida del segundo. Calcular la diferencia de dichos ángulos. 
a) 50° b) 60° c)65° d)70° 
e) 72° 
Respuesta (b). 
Ejercicio N°8 (falta grafica pág. 111). 
8. En la figura: 𝐿1⃡⃗⃗⃗ //𝐿2⃡⃗⃗⃗ Hallar el valor de 𝑋. 
a) 54° b) 64° c)44° d)94° 
e) 84° 
Respuesta (e). 
Ejercicio N°9 
 
9. En el triángulo ADB si 𝐴𝐶 = 2( 𝐵𝐷). La medida del ángulo 𝑎 es: 
 
 
 
 
 
 
a) 15° b) 16° c) 24° d) 32° e) 8° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
25 
 
Ejercicio N°10 
 
10. El el pentágono estrellado al calcular el valor del ángulo 𝑎 es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 40° b) 50° c) 30° d)45° e) 60° 
 
Ejercicio N°11 
11. El gráfico muestra que la recta 𝑙 es paralela a la recta 𝑚 al calcular el valor del ángulo 𝑥 
es: 
 
 
 
 
 
 
a) 85° b) 80° c) 75° d)60° e) 45° 
 
Ejercicio N°12 
12. Si la suma de ángulos 𝛼 + 𝛽 = 300° Además la recta 𝑙 es paralela a la recta 𝑚 el valor 
del ángulo 𝑥 es 
 
 
 
 
 
 
 
a) 20° b) 30° c) 40° d)50° e) 60° 
 
 
 
 
 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
26 
 
Triángulos 
Un triángulo es una figura plana que se determinan tres puntos no colineales y se forma al unirlos 
con segmentos de línea recta. 
 
 
 
 
 
 
Vértices: son los puntos de intersección de las rectas que forman el triángulo A, B, C 
Lados: son los segmentos a, b, c 
Ángulos Interiores: son los que forman los lados , ,  
Perímetro: es la suma de sus lados 
 P = AB + BC + CA = a + b + c 
Semiperímetro: es la suma de sus lados dividido entre 3 
 
Clasificación de Triángulos: se clasifican por sus lados y por sus ángulos 
AB̅̅ ̅̅ ≠ BC̅̅̅̅ ≠ AC̅̅̅̅ 
 
 
a) Por sus lados: se clasifican en: 
Equilátero: si tiene sus tres lados iguales. 
Isósceles: si tiene dos lados iguales. 
Escaleno: si tiene sus tres lados diferentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b 
a 
C 
c 
B 
A 
 
𝛾 
C 
B 
A 
 
 
 
C 
B 
A 
  
 
EQUILÁTERO 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ = 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 
Además  = 60º 
ISOCELES 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≠ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 
Además  < 90º 
C 
B 
A 
 
 
 
ESCALENO 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≠ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≠ 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 
Además      
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
27 
 
b) Por sus Ángulos: se clasifican en: 
Acutángulo: si tiene sus tres lados agudos. 
obtuso ángulo: si tiene un ángulo obtuso. 
Rectángulo: si tiene un ángulo recto, en este triángulo los lados que forman el ángulo recto se 
llaman cateto y el lado opuesto al ángulo recto es la hipotenusa. 
AC̅̅̅̅ y BC̅̅̅̅ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propiedades Básicas. En todo triangulo: 
1º Las medidas los ángulos interiores suman 180º. 
 
 
 
 
 
 
 
2º Cualquier ángulo exterior mide igual a la suma de dos interiores no adyacentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
B 
 
RECTÁNGULO 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 𝑦 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 
Catetos 
Además  = 90º 
 
 
A C 
ACUTÁNGULO 
  < 90º;  < 90º ;  < 90º 
B 
 
C 
A 
 
 
B 
 
 
OBTUSO ANGULO 
90º <  < 180º 
  < 90º ;  < 90º  
C A 
C 
B 
A 
 
 
 
X 
 +  = x 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
28 
 
3º la medida de los ángulos exteriores, uno por vértice suma 360º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4º en un mismo triangulo, a mayor lado se opone mayor ángulo y viceversa 
 
 
 
 
 
 
 
5º Los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales o viceversa. 
 
 
 
 
 
 
6º la suma de dos de sus lados es mayor que el tercero; y la diferencia de cualquiera de sus 
lados es menor que el tercer lado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
C 
B 
A 
 
 
 
X 
 X + Y + Z = 360º 
Y 
Z 
C 
B 
A 
 
 
 
Si: AB̅̅ ̅̅ > BC̅̅̅̅ 
Entonces:  >  
C 
B 
A 
  
 Si: AB̅̅ ̅̅ = AC̅̅̅̅ 
Entonces:  =  
a + b > c a – b < c 
a + c > b a – c < b 
b + c > a c – b < a 
C 
B 
A 
 
 
 
b 
c a 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
29 
 
Líneas notables del triangulo 
Mediana: segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto el punto de 
intersección de las tres medianas se llama baricentro. 
 
 
 
 
 
 
 
Altura: segmento perpendicular a un lado, trazado desde el vértice opuesto, el punto de 
intersección de las alturas se llamó ortocentro. 
 
 
 
 
 
Bisectriz: segmento que divide al ángulo interior en dos partes iguales, el punto de intersección 
de los bisectrices se llama incentro. 
 
 
 
 
 
 
Mediatriz: Es la perpendicular en el punto medio de cada lado, el punto de intersección de las 
tres mediatrices se llama circuncentro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C 
B 
A 
G 
mb 
b 
c a 
ma 
mc 
G = baricentro 
C 
B 
A 
O 
hb 
b 
c a 
ha hc 
O = Ortocentro 
C 
B 
A 
I 
b 
c a 
I = Incentro 
 
 
  
 
 
C 
B 
A 
K 
b 
c a 
K = Circuncentro 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
30 
 
Ceviana: Es el segmento de la recta que une un vértice con punto cualquiera del lado opuesto 
de su prolongación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Igualdad de triángulos 
Un triángulo es igual a otro si tiene todo sus lados y ángulos respectivamente iguales a los lados 
y ángulos del otro. Al superponer dos triángulos iguales, sus vértices coinciden. Para demostrar 
que dos triángulos son iguales, no es necesario comprobar la igualdad que todos sus elementos 
puesto que se cumplen tres de ellas, siempre que por lo menos una se refiera a los lados, 
necesariamente los demás elementos resultan iguales 
Criterios de igualdad de triángulos 
1º Dos triángulos son iguales si tienen iguales un lado y los dos ángulos adyacentes a el. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐵𝑃̅̅ ̅̅ : Ceviana interior relativa a 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 
𝐵𝑄̅̅ ̅̅ : Ceviana exterior relativa a 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 
C 
B 
A P b 
c a 
Q 
C 
B 
A 
 
 
 
C 
B 
A 
 
 
 
c 
a 
b 
c 
a 
b 
b = b ;  =  ;  = ; entonces ∆ABC = ∆A′B′C′ 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
31 
 
2º Dos triángulos son iguales si tienen iguales lados y el ángulo comprendido entre ellos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3º Dos triángulos son iguales si tienen sus tres lados respectivamente iguales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observación si dos triángulos tienen sus tres ángulos respectivamente iguales, no podemos 
asegurar que sean iguales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a = a ; b = b ;  =  ; entonces ∆ABC = ∆A′B′C′ 
C 
B 
A 
 
 
 
c a 
b 
C 
B 
A 
 
 
 
c a 
b 
C 
B 
A 
a 
b 
c 
C 
B 
A 
a 
b 
c 
a = a ; b = b ; c = c ; entonces ∆ABC = ∆A′B′C′ 
 
C 
B 
A 
 
  
C 
B 
A 
 
 
 
a 
b 
c 
a 
b 
c 
 =  ;  =  ;  = ; pero ∆ABC ≠ ∆A′B′C′ 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
32 
 
 
Teorema de Pitágoras: En todo triangulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a 
la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos. 
Hipótesis: ABC es un triángulo rectángulo en C. 
Tesis: c2 = a2 + b2 
 
 
 
 
 
Demostración: Tomando el segmento AB como uno de sus lados, construimos un cuadrado 
ABDE. 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1 figura 2 
Por E trazamos una perpendicular al lado EA̅̅̅̅ (prolongado) y trazamos una perpendicular al lado 
CD̅̅ ̅̅ (prolongado), quedan así de unidades por puntos F, G, H Figura 2 
 
 
Probaremos ahora que los triángulos ABC, BDF, DEG, AHE son iguales 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C 
B 
A 
a 
b 
c 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
33 
 
De las igualdades establecidas obtenemos:  =  =  = y ;  =  = x = z ① 
Por construcción del cuadrado: AB = BD = EA = DE = C ② 
De ① y ② se tiene los siguientes triángulos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
El área del cuadrado C F G H; es igual al área del cuadrado A B D E más el área de los cuatro 
triángulos. 
 (a + b)2 área del cuadrado C F G H 
 C2 + 4
ab
2
 ; área del cuadrado ABDE más cuatro triángulos 
 (a + b)2 = c2 + 2a luego a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab 
 c2 = a2 + b2 c. q. d. 
 
Teorema de THALES Si tres rectas paralelas son cortadas por dos transversales, dos 
segmentos cualesquiera de una de estas son proporcionales a los dos segmentos 
correspondientes de la otra 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BM̅̅ ̅̅ ̅
AM̅̅ ̅̅ ̅
=
B´M´̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
A´M´̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
 
 
A 
M 
B 
L L 
B 
M 
A 
a 
b 
c 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
34 
 
Semejanza de triángulos: 
Dos figuras geométricas son semejantes si las dimensiones del uno guardan una relación 
constante con las dimensiones correspondiente del otro. Por ejemplo, cada parte de una 
ampliación de una fotográfica es semejante a la parte correspondiente de su negativo. 
Dos triángulos son semejantes si los tres ángulos del uno son iguales a los tres ángulos del otro. 
Criterios de semejanza de triángulos: Dos triángulos son semejantes si: 
1. Dos triángulos de uno son respectivamente iguales a dos ángulos del otro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Dos lados del uno son proporcionales a los lados del otro y el ángulo correspondido es igual. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C 
B 
A 
  
 
 
 
C 
B 
A 
  
 
 
 
  =  ;  = ; entonces ∆ABC = ∆A′B′C′ 
C 
B 
A 
 
 
 
 
 
C 
B 
A 
 
 
 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
=
𝐴´𝐵´̅̅ ̅̅ ̅̅
𝐵´𝐶´̅̅ ̅̅ ̅̅
 y  =  ; entonces ∆ABC ≈ ∆A′B′C′ 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
35 
 
3. Sus lados homólogos están en la misma relación. 
AB̅̅ ̅̅
A′B′̅̅ ̅̅ ̅
=
BC̅̅̅̅
B′C′̅̅ ̅̅ ̅
=
AC̅̅̅̅
A′C′̅̅ ̅̅ ̅
 
Entonces 
∆ABC ≈ ∆A′B′C′ 
4. Sus lados homólogos respectivamente paralelos o perpendiculares. 
Teorema: Si dos triángulos son semejantes, entonces: 
a) Sus ángulos son respectivamente iguales. 
b) Sus lados homólogos son proporcionales. 
 
Cuadriláteros. Son figuras planas limitada por cuatro segmentos rectilíneos y pueden ser 
conexos, no conexos, equiláteros, equiángulos, etc. 
I. Paralelogramos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Paralelogramo. Es un cuadrilátero en el cual sus lados opuestos son paralelos entre si. 
Rombo. Es un cuadrilátero que tiene cuatro lados iguales. 
Rectángulo. Es un paralelogramo que tiene sus cuatro lados iguales de 90. 
Cuadrado. Tiene cuatro lados y cuatro ángulos respectivamente iguales de 90. 
Propiedades: 
1. En todo paralelogramo los ángulos y los lados opuestos, son respectivamente 
congruentes. 
2. Las diagonales de todo paralelogramo se interceptan en un punto medio. 
3. Las diagonales del rectángulo son congruentes. 
4. Las diagonales del rombo son perpendiculares y bisectrices. 
5. s diagonales del cuadrado son congruentes, perpendiculares y bisectrices. 
 
 
 
 
 
  
  
Rombo 
Rectángulo Paralelogramo Cuadrado 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
36 
 
II. Trapecios: Tienen dos lados paralelos, llamados bases, la altura del trapecio es la distancia 
entre las bases, se clasifican en: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trapecio Isósceles. Sus lados no paralelos son congruentes. 
Trapecio Escaleno. Sus lados no paralelos tienen diferente longitud. 
Trapecio Rectángulo. Uno de sus lados es perpendicular a las bases. 
Propiedades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. El segmento que une los puntos medios de sus lados no paralelos se llama “base media”, 
“mediana” o “paralela media”, es paralelo a las bases y media la semisuma de ellas. 
 
MN =
AD̅̅ ̅̅ + BC̅̅̅̅
2
 
 
2. El segmento que une los puntos medios de las diagonales se ubica sobre la mediana y 
mide la semidiferencia de las bases. 
 
 
 PQ =
AD̅̅ ̅̅ − BC̅̅̅̅
2
 
 
 
 
  
Trapecio 
Isósceles 
Trapecio Escaleno Trapecio Rectángulo 
A D 
B C 
M N 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
37 
 
III. Trapezoides. No tienen los lados paralelos 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios resueltos 
 
 
1. En el triángulo dado determinar el valor de 𝑥 en el vértice C: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solución 
 
 
✓ Considerar que en todo triangulo la suma de sus tres ángulos interiores es 180° 
 
 
 2𝑥 + 3𝑥 + 𝑥 = 180° 
 
✓ Resolver la ecuación para determinar el valor de 𝑥 
 
 
 
 6𝑥 = 180 ; 𝑥 = 30 
 
 
✓ Entonces el ángulo del vértice C sera: 𝑥 = 30° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐴 
𝐵 𝐶 
2𝑥 
3𝑥 𝑥 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
38 
 
 
2. En el triángulo determinar el valor del ángulo 𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución: 
 
✓ El triángulo 𝐴𝐵𝐶 es isósceles de base 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 
 
✓ La suma de los ángulos interiores es igual a 180𝑜 
 
 2𝑥 + 40° = 180° 
 
✓ Resolver la ecuación para obtener el valor del ángulo resulta 𝑥 = 70° 
 
 
3. En el gráfico: 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶, 𝐵𝑀 = 𝐵𝑀 determinar el ángulo 𝑥. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución: 
 
Triangulo 𝐴𝐵𝐶 es isósceles, entonces 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 los ángulos �̂� = �̂� = 𝛼 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑨 
𝑩 C 
40⁰ 
𝑥 𝑥 
𝐵 
𝐴 𝐶 
𝑀 
𝑁 
30⁰ 
𝑥 
 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
39 
 
 
Triangulo 𝑀𝐵𝑁 isósceles �̂� = �̂� = 𝑥 + 𝛼 aplicando propiedad de ángulos exterior 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 En el triángulo𝐴𝐵𝑀 aplicar la propiedad de ángulo exterior que dice la suma de los ángulos 
adyacentes del triángulo es igual al ángulo exterior 
 
 
 
 
 ∝ +30𝑜 = 𝑥+∝ +𝑥 
 
 
 
 
 
 
 Resolver la ecuación entonces el valor del ángulo sera: 2𝑥 = 30 ; 𝑥 = 30𝑜 
 
 
4. La suma de dos ángulos internos de un polígono es 2340°. Calcular la cantidad de 
diagonales que se puede construir en el polígono. 
 
 
Solución: 
 
✓ Aplicando propiedades de polígono: Suma de las medidas de los ángulos anteriores 
para determinar el número de lados es: 
 𝑆 = 180°(𝑛 − 2) 
 
✓ La pregunta dice que la suma de ángulos internos es: 
 
 180°(𝑛 − 2) = 2340° ; Entonces 𝑛 = 15 
 
✓ El número total de diagonales de un polígono se determina sustituyendo 𝑛 en la formula 
 
 
 𝑑 =
n(n−3)
2
 , 
✓ Entonces numero de diagonales del polígono es 𝑑 = 90 diagonales 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
40 
 
 
 
5. En el triángulo 𝐴𝐵𝐶 determinar la longitud 𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
 
✓ En el triangulo 𝐴𝐵𝐶 se tiene: ángulo recto en 𝐵 y en 𝑀, los ángulos en 𝐶 y en 𝑁 son 
aproximadamente iguales. 
 
 �̂� = �̂� 
 
✓ Si el triangulo 𝐴𝑀�̂� es semejante al triangulo 𝐴𝐵�̂� entonces se puede decir que: 
 
 
𝑀𝑁
𝐵𝐶
=
𝐴𝑁
𝐴𝐶
 (1) 
 
✓ Del triángulo 𝐴𝐵�̂� se tiene los siguientes datos: 
 
 {
𝑀𝑁 = 1
𝐵𝐶 = 3
𝐴𝑁 = 2
 𝐴𝐶 = 𝑥 + 2
 
 
✓ Reemplazando en la igualdad (1) los datos se forma la ecuación al resolver 
 se obtiene 𝑥 
 
 
1
3
=
2
𝑥+2
 ; 𝑥 + 2 = 6 entonces 𝑥 = 4 
 
 
✓ La longitud de 𝑥 en el triángulo es 𝑥 = 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. . 
C 
A B 
N 
M 
𝑥 
2 
1 
3 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
41 
 
6. Dos triángulos rectángulos son semejantes. La hipotenusa del primero es de 6 metros y su 
área es 9 metros cuadrados, la hipotenusa del segundo es 8 m. Determinar la altura 
relativa de la hipotenusa del segundo triángulo. 
 
Solución: 
 
✓ Graficar los triángulos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
✓ Utilizando la fórmula de área de un triángulo se determina la altura del primer 
triangulo: 
 
 𝐴 =
𝑏 · ℎ
2
 = 
6 · ℎ
2
 ; 9 =
6 · ℎ
2
 ; entonces ℎ = 3 
 
✓ Utilizando semejanza de triángulos se forma la ecuación al resolver se determina la 
altura del segundo triangulo: 
 
 
ℎ
𝑥
=
6
8
 ; 
3
𝑥
=
6
8
 ; 3 ∙ 8 = 6 ∙ 𝑥 entonces : 𝑥 = 24
6
 
 
✓ La altura del segundo triangulo sera: 𝑥 = 4 metros 
 
7. En la figura determinar la longitud 𝑥. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
 
✓ De la figura en el cuadrado ABMD se tiene los siguientes datos: 
 
 𝐴𝐵 = 5 ⇒ 𝐷𝑀 = 5 ; 𝐴𝐷 = 4 ⇒ 𝐵𝑀 = 4 
 
✓ Se determina la longitud 𝑀𝐶 con los datos de la figura 
 
 
 Si: 𝐷𝐶 = 8 entonces 𝐷𝑀 + 𝑀𝐶 = 8 ; 5 + 𝑀𝐶 = 8 ; 𝑀𝐶 = 3 
 
✓ En el triángulo 𝐵𝑀𝐶 aplicar el teorema de Pitágoras para determinar 𝑥 
 
 (BM)2 + (MC)2 = (BC)2 ; 42 + 32= 𝑥2 ; 𝑥 = √16 + 9 
 
✓ La longitud de x en la figura sera: 𝑥 = 5 unidades 
 
D 
A B 
C 
8 
M 
4 
5 
𝑥 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
42 
 
 
8. Determinar el área del trapecio ABCD con los datos de la figura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
 
✓ De la figura se tiene lo siguientes datos: 
 
 𝐷𝐶 = 6 ⇒ 𝐴𝑀 = 6 
 
✓ Se determina la longitud 𝑀𝐵 con los datos de la figura 
 
 
 Si: 𝐴𝐵 = 10 entonces 𝐴𝑀 + 𝑀𝐵 = 10 ; 6 + 𝑀𝐵 = 10 ; 𝑀𝐵 = 4 
 
 
✓ En el triángulo 𝐶𝑀𝐵 aplicar el teorema de Pitágoras para determinar la altura 𝐶𝑀 
 
 
 𝐶𝑀2 + 𝑀𝐵2 = 𝐵𝐶2 ; 𝐶𝑀2 + 42 = 52 ; 𝐶𝑀 = √25 − 16 ; 𝐶𝑀 = 3 
 
 
✓ El área del trapecio será: 
 
 𝐴 =
(𝐵+𝑏).ℎ
2
=
(10+6).3
2
 ; 𝐴 = 24 unidades 
 
 
Ejercicios propuestos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
D C 
M B 
6 m 
5 m 
10 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
43 
 
Circunferencia y Círculo 
Circunferencia. Es una curva cerrada y plana, que tiene todos sus puntos a la misma distancia 
de otro punto interior llamado centro. 
 
 
Arco. Es una porción limitada de la circunferencia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Semicircunferencia. Es la mitad de la circunferencia, ósea un arco de 180º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Posiciones relativas de dos circunferencias. Dos circunferencias pueden ser: 
Concéntricas. Son las circunferencias que tienen el mismo centro. 
 
 
 
 
 
 
 
R 
 
Centro 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
44 
 
 
Excéntricas. Son las circunferencias que tienen distinto centro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Secantes. Son circunferencias que se cortan en dos puntos. 
Tangentes. Son circunferencias que solo se interceptan en un punto. 
 
 
 
Círculo. Es la superficie plana limitada por la circunferencia que es solamente, la línea exterior. 
 
 
 
 
 
 
Líneas notables en la circunferencia. En el grafico muestra los siguientes elementos 
notables 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
secante tangentes 
Centro 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
45 
 
 
Centro. Es el punto origen O 
Radio. Es la recta que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia, todos los radios 
de la circunferencia son iguales. 𝑟 
Diámetro. Es la recta que, pasando por el centro termina en dos puntos de la circunferencia 𝑄𝑆̅̅̅̅ . 
El diámetro divide a la circunferencia en dos partes iguales y equivale a dos radios. 𝐷 = 2 𝑅 
Cuerda. Es la recta que une dos puntos 𝑄𝑃̅̅ ̅̅ de la circunferencia. La mayor cuerda que puede 
trazarse en una circunferencia es el diámetro. 
Sagita. Es la perpendicular levantada en medio de una cuerda 𝐹𝑀̅̅̅̅̅ y que termina en el arco 
correspondiente. 
Secante. Es la recta que corta a la circunferencia en dos puntos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , viene a ser una cuerda 
prolongada. 
Tangente. Es la una recta 𝑛 que tiene sólo un punto T común con la circunferencia, aunque se 
la prolongue indefinidamente. 
Ángulos de la circunferencia 
Angulo central Angulo Inscrito Angulo Ex inscrito 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Angulo Semi inscrito Angulo Interior 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0  
0: Centro
 
  =  
 
 
𝛼 =
𝛽
2
 
 
 
C 
 
 
A 
B 
𝛼 =
𝜔 + 𝛿
2
 
 
 
T 
B 
𝛼 =
𝜔
2
 
 
𝛼 =
𝛽 + 𝜔
2
 
  
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
46 
 
 
Angulo exterior 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema de poncelet. 
En todo triángulo rectángulo, la suma de longitudes de los catetos, es igual a la suma de las 
longitudes de la hipotenusa y el diámetro de la circunferencia inscrita. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema de Pitoth. 
En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la suma de la longitud de dos lados 
opuestos es igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados 
 
 
A 
C 
D 
a 
B 
R 
0 
b 
c 
d 
a + c = b + d 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
47 
 
 
 
 
 
 
Relaciones métricas en la circunferencia 
Teorema de las cuerdas. 
Al trazar en una circunferencia dos cuerdas secantes en un punto interior, se cunple que los 
productos de las longitudes de los segmentos determinados en cada cuerda son iguales. 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema de las secantes. 
Al trazar desde un punto exterior dos rectas secantes a una circunferencia, se cumple que los 
productos de las longitudes de los segmentos secantes con sus respectivas partes externas son 
iguales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
C B 
D 
m 
n 
a 
b 
𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑚 ∙ 𝑛 
 
P 
D 
x 
H 
m n 
𝑋2 = 𝑚 ∙ 𝑛 
 
A 
C 
D 
a 
B 
R 
0 
b 
P 
m 
n 
𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑚 ∙ 𝒏 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
48 
 
 
Relaciones métricas en el triángulo rectángulo 
 
Proyección ortogonal. 
 
La proyección ortogonal de un punto sobre una recta es el pie de la perpendicular trazada desde 
dicho punto hacia la recta. 
Además la proyección ortogonal de un segmento sobre una rexta es el segmento que une las 
proyecciones ortogonales de los extremos del segmento dado. 
 
 
 
 
 
 
 
➢ Proyección ortogonal de P sobre L es P. 
➢ Proyección ortogonal de AB̅̅ ̅̅ sobre L es A′B′̅̅ ̅̅ ̅ 
 
 
 
 
 
 
 
Teoremas en el triángulo rectángulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A 
B 
L 
P 
P B A 
 
h 
 
C 
B 
A 
a 
b 
m n 
c 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
49 
 
AH̅̅ ̅̅ y HC̅̅ ̅̅ : Proyecciones ortogonales de AB̅̅ ̅̅ y BC̅̅̅̅ sobre AC̅̅̅̅ respectivamente. 
teorema 1. El cuadrado de la dongitud de un catero es igual al producto de las longitudes de la 
hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa en el triángulo ABC. 
 
 
 
teorema 2. En todo triángulo rectángulo, el producto de las longitudes de los catetos es igual al 
producto de las longitudes de la hipotenusa y la altura relativa a esta en el triángulo ABC. 
 
 
teorema 3. En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la altura relativa a la 
hipotenusa es igual al producto de las longitudes de las proyecciones de los catetos sobre la 
hipotenusa, en el triángulo ABC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C2 = b · m a2 = b · m 
a · c = b · h 
h2 = m · n 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
50 
 
 
Polígonos 
Se dá el nombre de polígono a toda superficie plana limitada en todos los sentidos por líneas 
rectas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lado. Segmentos de la recta que separan el interior del exterior del polígono. 
Vértice. Punto de interseccioón de los lados A, B, C, D, E, F. 
Diagonales. Segmentos de la recta cuyos extremos son dos vértices no consecutivos AC̅̅̅̅ . 
Ángulo interior.  son ángulos cuyo vértice son los vértices del polígono y sus lados, los lados 
del polígono. 
Ángulo exterior.  son formados por uno cualquiera de los lados del polígono y la prolongación 
del lado adyacente. 
Apotema. Es la recta perpendicular desde el centro a cualquiera de sus lados OG̅̅ ̅̅ . 
Tomando en cuenta el número de lados de un polígono se denomina. 
Triángulo 3 lados 
Cuadrilátero 4 lados 
Pentáguno 5 lados 
Exágono 6 lados 
Eptágono7 lados 
Octógono 8 lados 
Nonágono 9 lados 
Decágono 10 lados 
Endecágono 11 lados 
Dodecágono 12 lados 
Icoságono 20 lados 
0 
A 
B 
E 
C 
D 
F 
Centro 
 
 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
51 
 
 
clasificación de los polígonos 
 
1. Equilátero. tiene todos sus lados congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Equiángulo. tiene todos sus ángulos congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Regular. Sus lados y ángulos son respectivamente congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Nota . Todo polígono regular puede ser inscrito y circunscrito a dos circunferencias que tienen 
el mismo centro. 
 
 
 
  
  
  
 
0 
 = ángulo central 
𝛼 =
360
𝑛
 
n = Número de 
lados del polígono 
Hexágono regular 
inscrito 
Pentágono regular 
circunscrito 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
52 
 
 
 
 
 
4. Alabeado. Sus lados están contenidos en diferentes planos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Estrellado. Se origina al prolongar los lados de un polígono convexo. El pentágono es 
el polígono estrellado de menor númeto de lados. 
 
 Pentágono estrellado ABCDE 
 Lados: AC̅̅̅̅ , CE̅̅̅̅ , BE̅̅̅̅ , AD̅̅ ̅̅ 
 Vértice, puntas A, B, C, D, E. 
 Ángulo Interior.  
 Ángulo Exterior.  
 
 
 
 
 
 
 
A 
C 
D 
B 
E 
F 
Hexágono alabeado A, B, C, D, E, F y 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ es una diagonal 
 
 
 
 
 
 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
53 
 
Propiedades de un polígono 
 
1. En todo polígono el número de sus lados es igula al número de ángulos interiores. 
2. En todo polígono de “n” lados, desde cada vértice se pueden trazar (n – 3) diagonales, el 
número total de diagonales es: 
 D =
n(n−3)
2
 
3. La suma de las medidas de los ángulos interiores S∠ = 180°(n − 2) 
es válido para todo polígono convexo y no convexo, a excepción de los estrellados y alabeados. 
 
 
 
 
 
 
4. En todo polígono convexo las medidas de los ángulos exteriores, uno por vértice suman 360º 
5. La medida de un ángulo central en una polígono regular es α =
360°
n
 
6. En polígonos equiángulos cada ángulo interior mide: α =
180°(n−2)
n
 y β =
360°
n
 
 
7. En un polígono estrellado, los ángulos interiores, suman 180°(n − 4) y los exteriores 720°. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
54 
 
Perímetro 
Es la medida de la longitud de la línea que conforma el borde o contorno de una región, se denota 
como P, seguidamente se muestra el perímetro de las principales regiones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Area de regiones triangulares 
 
Fórmula Básica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Formula de Herón Formula trigonométrica Triángulo Equilátero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a 
a 
a 
b 
Cuadrado Rectángulo 
P = 2a + 2a P = 2a + 2b 
a b 
Triángulo 
P = a + b + c 
Círculo 
P = 2.r 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
55 
 
 
Area de una region limitada por : 
 
 Cuadrado Rectángulo Rombo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Romboide 
 
 
 
 
 
 
 
 Trapecio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L
º 
d
º 
ÁREA 
 
 A = 𝐋2 O 𝐴 =
𝑑2
2
 
 
 
L
º 
b 
a 
ÁREA 
 
 
𝑨 = 𝒃 ∙ 𝒂 
 
ÁREA 
 
𝐴 =
𝑑1∙𝑑2
2
 
 
d1 
d2 
ÁREA 
 
𝑨 = 𝒃 ∙ 𝒉 O 𝑨 = 𝒂 ∙ 𝒎 
 
a 
b 
m 
b 
h 
a 
ÁREA 
 
𝐴 = ൬
𝑎 + 𝑏
2
൰ ℎ 
 
 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
56 
 
 
Area de regiones circulares 
 
 círculo corona circular sector circular 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Segmento circular Trapecio Circular 
 
 
 
 
 
 
Área del triángulo en función del semiperímetro P y el radio r 
 
 
 
 
 
 
 
Area de un cuadrilátero circuncrito 
 
 
 
 
 
 
 
 
R 
0 d 
ÁREA 
 
𝐴 = 𝜋𝑅2 O 𝐴 =
𝜋𝑑2
4
 
 
 
R 
0 
A 
B 
ÁREA 
 
𝐴 =
𝜋𝑅2𝛼
360°
− 𝑅
2𝑠𝑒𝑛𝛼
2
 
 : Grados sexagesimales 
 
d 
R 
0 
r 
R 
r 
0 
 
ÁREA 
 
𝐴 =
𝜋𝑅2𝜽
360°
− 𝜋𝑟
2𝜽
360°
 
 : Grados sexagesimales 
c a 
b 
R 
0 
a 
b 
c 
d 
R 
0 
ÁREA 
 
𝐴 = 𝑃𝑟 
 
 Donde P es el Semiperímetro: 
 𝑃 =
𝑎+𝑏+𝑐
2
 
d 
R 
0 r 
ÁREA 
 
𝐴 = 𝜋(𝑅 − 𝒓)2 
 
 
ÁREA 
 
𝐴 = 𝑃𝑟 
 
Donde P es el Semiperímetro: 
 𝑃 =
𝑎+𝑏+𝑐
2
 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
57 
 
Paralelepípedo Rectangular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a: Largo 
 𝒃: Ancho 
 𝑐: Alto 
 Diagonal: d = √a2 + b2 + c2 
 
 Volumen : Area : 
 
 
Cilindro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Volumen: Área: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝒂 
Aristas 
𝒃 
Vértices 
𝒄 
d 
b 
a 
c 
a 
H 
R 
R = Radio 
H = Altura 
H 2  R H 
  R2 
  R2 
𝑉 = 𝜋 ∙ 𝑅2 ∙ 𝐻 
= 2 a c 
c 
b 
= 2 𝑎 b 
= 2 b c 
𝐴 = 2𝑏𝑐 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 𝑉 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐 
𝐴 = 2𝜋𝑅𝐻 + 2𝜋𝑅2 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
58 
 
 
Cono 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Area Volumen 
Al = π ∙ R ∙ g Área lateral 
Ab = π ∙ R
2 Área basal 
A = Al + Ab 
A = π ∙ R ∙ g + π ∙ R2 
A = π ∙ R ∙ √R2 + h2 + π ∙ R2 
 
 
Esferoide 
 
 
 
 Área: 
 
 
 Volumen: 
 
 
 
 
 
 
 
R: Radio 
H: Altura 
g: Generatriz 
R 
h 
g 
2  R 
  R2 
g 
𝑉 =
𝜋 ∙ 𝑅2 ∙ ℎ
3
 
Polo 
Polo 
𝑉 =
4
3
𝜋 ∙ 𝑅3 
𝑉 = 4 𝜋 ∙ 𝑅2 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
59 
 
Ejercicos resueltos 
1. El cateto𝐴𝐵 del triángulo rectángulo 𝐴𝐵𝐶 se divide en partes congruentes. Por los puntos 
de división se trazan 7 segmentos paralelos al cateto 𝐴𝐶 tal como indica la figura 
mostrada. Si AC = 10, calcular la suma de las longitudes de los 7 segmentos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
 
 
✓ De la figura al trazar las paralelas por los puntos de división; el lado 𝐵𝐶 queda dividido en 
ocho segmentos congruentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
✓ Del grafico se deduce que la longitud BC es: 
 
 8𝑥 = 10 ; 𝑥 =
5
4
 
 
 
✓ La suma de las longitudes de los siete segmentos es: 
 
 
 𝑆 = 𝑥 + 2𝑥 + 3𝑥 + 4𝑥 + 5𝑥 + 6𝑥 + 7𝑥 ; 𝑆 = 28𝑥 
 
 
✓ Reemplazando 𝑥 =
5
4
 en la suma se obtiene la longitud 
 
 𝑆 = 28 ⋅
5
4
 𝑆 = 35 unidades 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B A 
C 
B A 
C 
8x 7x 6x 
5x 
4x 
3x 2x 𝑥 
10 
PreCalculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
60 
 
2. Dentro del cuadrado del lado “a” se dibuja una T, entonces el perímetro de la parte rayada 
es: 
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
 
 
✓ Del enunciado el cuadrado se divide en tres partes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
✓ El perímetro de la parte rayada es: 
 
 𝑃 = 𝑎 +
𝑎
3
+
𝑎
3
+
2𝑎
3
+
𝑎
3
+
2𝑎
3
+
𝑎
3
+
𝑎
3
 
 
✓ Sumando términos semejantes en “a” se tiene el perímetro de la figura que se podía 
calcular por simple inspección 
 
 𝑃 = 4𝑎 
 
3. Calcular el área de la superficie sombreada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solución. 
 
 
✓ El área de un círculo es 𝐴 = 𝜋 𝑟2 
 
✓ Del enunciado de la figura su radio es 𝑟 = 2 
 
✓ De acuerdo a la figura el área 1,2,3 suman una circunferencia completa, entonces el 
área será: 
 
 𝐴 = 𝜋(2)2 ; 𝐴 = 4𝜋 𝑐𝑚2 
 
 
a 
a 
a 
a 
3 
2a 
3 
a 
3 
a 
3 
a 
3 
2a 
3 
a 
3 
4cm 
2cm 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
61 
 
4. El cuadrado ABCD tiene de área 81 m2 y el cuadrado AEGF tiene de lado 3m. ¿Cuál 
es el área de la parte rayada? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solución. 
 
 
✓ De acuerdo a la figura del enunciado el área del cuadrado AEGF de lado 3 es: 
 
 
 𝐴1 = 3 ⋅ 3 
 
 𝐴1 = 9 
 
 
✓ Como el cuadrado ABDC tiene área 81𝑚2 entonces su lado será: 
 
 𝐴 = 81 = 𝑙 ⋅ 𝑙 ; 81 = 𝑙2 ; 𝑙 = 9 
 
✓ El lado de ABDC está dividido en tres partes por lo tanto el área de la figura rayada es 
tres veces el área de AEGF por lo tanto se tiene: 
 
 𝐴1 = 9 ; 𝐴 = 3 𝐴1 𝐴 = 3 ⋅ 9 𝐴 = 27 𝑚
2 
 
5. En la figura determinar el valor de la longitud “𝑦” si ; 𝑩𝑪 = 𝟏𝟓 
 
 
 
 
 
 
 
 Solución. 
 
✓ En el triángulo rectángulo BCD la suma de los ángulos es igual a 180º 
 
 30º + 90º + 𝛼 = 180º 
 
 𝛼 = 180º − 30º− 90º 
 
 𝛼 = 60º 
 
 
✓ Aplicando tangente al triangulo BCD para determinar "𝑥" 
 
 
 𝑡𝑎𝑛 𝛼 =
𝑥
15
 ; 𝑥 = 15 tan 𝛼 ; 𝑥 = 15 tan 60º ; 𝑥 = 15√3 
 
 
 
 
 
 
 
A E B 
D C 
F 
G 
A E 
F G 
 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
62 
 
✓ Aplicando tangente al triangulo CDA con ángulo 60º 
 
 𝑡𝑎𝑛 60º = 
𝑦+15
𝑥
 
 𝑦 + 15 = 𝑥 tan 60º 
 𝑦 + 15 = 15√3(√3) 
 𝑦 = 45 − 15 
 𝑦 = 30 
 
 
✓ La longitud de pedida es 𝑦 = 30 
 
 
 
6. En el triángulo SRM la altura VM = 12 cm. y los lados SM = 13 cm. RM = 15 cm. Calcular 
el área en cm2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solución: 
 
 
✓ En el triángulo MRV por el teorema de Pitágoras: si 𝑉𝑅 = 𝑥 
 
 
 
 152 = 122 + 𝑥2 
 
 𝑥 = √152 − 122 
 
 𝑥 = √81 
 
𝑥 = 9 
 
 
✓ En el triángulo SVM por el teorema de Pitágoras: si 𝑆𝑉 = 𝑦 
 
 
 132 = 122 + 𝑦2 
 
 𝑦 = √132 − 122 
 
 𝑦 = √25 
 
 𝑦 = 5 
 
 
 
 
 
 
15 
R 
S V 
M 
12 13 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
63 
 
✓ Entonces la longitud de lado SR de triangulo será: 𝑆𝑅 = 𝑥 + 𝑦 = 9 + 5 = 14 
 
 
 
✓ El área de un triángulo es: base por la altura dividido entre 2, donde la base es 14 y la 
 
 altura 12, el área del triángulo SRM será: 
 
 
𝐴 =
𝐵𝑎𝑠𝑒⋅𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2
 ; 𝐴 =
14⋅12
2
 ; 𝐴 =
168
2
 ; 𝐴 = 84𝑚2 
 
 
7. En la figura, ABCD es un rectángulo cuya área es 32 cm2. Si E, F, G y H son puntos 
medios de los lados respectivos, entonces el área sombreada es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solución: 
 
✓ Del enunciado dividimos la figura en triángulos con incógnita "𝑎"y "𝑏"que son los lados 
del rectángulo 𝐴𝐵𝐶𝐷: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
✓ El área del rectángulo 𝐴𝐵𝐶𝐷 es: 𝑎 ⋅ 𝑏 = 32𝑐𝑚2 figura 1 
 
✓ En el cuadrado 𝐺𝐶𝐷𝐸 se tiene triángulos equiláteros entonces determinamos el área de 
uno de los triángulos en este caso de 𝐴1; como se muestra en la figura2: 
 
 
 
 𝛢 =
𝑏𝑎𝑠𝑒⋅𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2
 ; 𝛢 =
𝑏
2
⋅
𝑎
4
2
 ; 𝛢1 =
𝑎𝑏
16
 
 
 𝑆𝐼: 𝑎𝑏 = 32 ; 𝛢1 =
32
16
 ; 𝛢1 = 2 
 
 
✓ En el rectángulo 𝐴𝐵𝐶𝐷 existen varios triángulos sombreado todos de área 2𝑚2 , en el 
cuadrado 𝐺𝐶𝐵𝐸 existen tres triángulos sombreados de área 2 ,mientras el cuadrado 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
64 
 
𝐷𝐺𝐸𝐴 existen dos rectángulos sombreados de área 2 y un rectángulo de área 1 que es 
la mitad de los triángulos entonces el área sombreado total será: 
 
 
𝛢1 + 𝛢3 + 𝛢4 + 𝛢5 + 𝛢6 + 𝛢7 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 = 11 
 
 
✓ Entonces el área sombreada en el rectángulo 𝐴𝐵𝐶𝐷 es: 
 
𝐴 = 11 𝑐𝑚2 
 
8. Si la longitud del arco de un sector circular es 20 metros y la del radio es 8 metros. 
Calcular el área de dicho sector circular. 
 
 
 
 
 Solución: 
 
✓ Del enunciado y la gráfica se tiene: 
 
 Área del sector circular 𝐴 =
1
2
𝑟2𝜃 (1) 
 Longitud de arco 𝑙 = 𝑟 · 𝜃 (2) 𝑙 = 20𝑚 ; 𝑟 = 8𝑚 
 
✓ Para determinar 𝜃 despejado de (1) y reemplazando los datos de 𝑙 , 𝑟 
 
 𝜃 =
𝑙
𝑟
=
20
8
=
5
2
 
 
✓ Para determinar el área del sector circular 𝜃 se reemplaza en (1) 
 
 𝐴 =
1
2
(8)2 
5
2
 𝐴 = 16 · 5 𝐴 = 80 𝑚2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝜃 
𝑟 
𝑟 
𝑙 𝐴 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
65 
 
9. El perímetro de un sector circular elevado al cuadrado es igual a 16 veces su área, 
calcular cuánto mide el ángulo central. 
 
 
 
 
 
 Solución 
 
✓ Del enunciado se tiene los siguientes datos 
 
 Longitud de arco: 𝑙 = 𝑟 · 𝛼 
 Área de un sector circular: 𝐴 =
𝑟2𝛼
2
 
 Perímetro de la circunferencia es 𝑃 = 2𝑟 + 𝑙 
 Condición del enunciado 𝑃2 = 16 𝐴 
 
✓ Reemplazando datos para determina el ángulo del sector circular 
 
 (2𝑟 + 𝑙)2 = 16 
𝑟2𝛼
2
 Pero: 𝑙 = 𝑟 · 𝛼 
 (2𝑟 + 𝑟𝛼)2 = 8 𝑟2𝛼 
 
✓ Factorizando 𝑟 simplificando se tiene: 
 
 (2 + 𝛼)2 = 8 𝛼 
 
✓ Resolviendo la ecuación para obtener el valor del ángulo 𝛼 
 
 𝛼2 − 4 𝛼 + 4 = 0 ; 𝛼 = 2 Radianes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝛼 
𝑟 
𝑟 
𝑙 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
66 
 
10. Las bases del trapecio ABCD miden 10 cm. y 20 cm respectivamente calcular el área 
en cm2 de la parte sombreada tomando en cuenta que ( = 3) 
 
 
 
 
 Solución: 
 
✓ Área trapecio 𝐴𝑇 = (
𝑏+𝑎
2
) ⋅ ℎ 
 
 𝑏 = 20𝑐𝑚 base mayor 𝑎 = 10𝑐𝑚. base meno ℎ = 10𝑐𝑚. altura 
 𝐴𝑇 = (
10+20
2
) ⋅ 10 𝐴𝑇 = 150 
 
✓ Área del circuloes: 𝐴𝐶 = 𝜋𝑟
2 donde 
 
 𝑟 =
10
2
= 5 ; 𝑟 = 5 ; 𝐴𝐶 = 𝜋(5)
2 ; 
 
✓ El área de la parte sombreada será: área del trapecio menos al área del circulo 
 
 𝐴 = 𝐴𝑇 − 𝐴𝐶 ; 𝐴 = 150 − 25𝜋 ; como 𝜋 = 3 
 
 𝐴 = 150 − 25(3) ; 𝐴 = 75𝑐𝑚2 
 
11. Calcular el área sombreada, si AB = 10 cm. y el área del triángulo ABC = 24 cm2 
 
 
 
 
 Solución: 
 
✓ En el triángulo BAC si AB =10 ; 𝐵𝐶 = ℎ ;𝐴𝐶 = 𝑎, el área del triángulo rectángulo 
es 24𝑚2 entonces se forma una en incógnitas 𝑎 y ℎ ecuación. 
 
 𝐴 =
𝑎⋅ℎ
2
 ; 24 =
𝑎⋅ℎ
2
 ; 𝑎 ⋅ ℎ = 48 (1) 
 
 
 
✓ Aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo ABC se forma la ecuación: 
25=CA
A B 
C D 
A 
B 
C 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
67 
 
 
 𝐴𝐶
2
+ 𝐵𝐶
2
= 𝐴𝐵
2
 𝑎2 + ℎ2 = 102 𝑎2 + ℎ2 = 100 (2) 
 
✓ Resolviendo el sistema de ecuación de (1) y (2) 
 
 {
𝑎 ⋅ ℎ = 48 (1)
𝑎2 + ℎ2 = 100 (2)
 𝑎 =
48
ℎ
 (3) 
 
(3) reemplazo en (2) se obtiene los valores de ℎ = 8 ; ℎ = 6 y 𝑎 = 6 ; 𝑎 = 8 
 
✓ De acuerdo a la figura la base es mayor que la altura, entonces: ℎ = 6 ; 𝑎 = 8 
✓ El área en cada semicírculo determinamos con 𝐴 =
𝜋⋅𝑟2
2
 y el radio diámetro dividido 
por 2 o sea 𝑟 =
𝐷
2
 
• radio 𝑟 = 𝐴𝐵 =
10
2
= 5 ; área: 𝐴𝐼 =
𝜋(5)2
2
=
25
2
𝜋 
• radio ℎ = 𝐵𝐶 =
6
2
= 3 ; área: 𝐴𝐼𝐼 =
𝜋(3)2
2
=
9
2
𝜋 
• radio 𝑎 = 𝐴𝐶 =
8
2
= 4 ; área: 𝐴𝐼𝐼𝐼 =
𝜋(4)2
2
= 8𝜋 
 
✓ Finalmente sumando todas las áreas tenemos el área sombreada de la figura 
 
 𝐴 = 𝐴𝐼 + 𝐴𝐼𝐼 + 𝐴𝐼𝐼𝐼 𝐴 =
25
2
𝜋 + 8𝜋 +
9
2
𝜋 𝐴 = 25𝜋 𝑐𝑚2 
 
12. Hallar el área del cuadrado BGHI si la diagonal AD mide 5√2 m. 
 
 
 
 
 
 Solución: 
 
✓ De la figura con el teorema de Pitágoras obtenemos los lados del cuadrado ABCD 
𝐴𝐶
2
+ 𝐶𝐷
2
= 𝐴𝐷2 Como: 𝐴𝐶 = 𝐶𝐷 
 
𝐶𝐷
2
+ 𝐶𝐷
2
= (5√2)
2
 2𝐶𝐷
2
= 25 ⋅ 2 
 
✓ Según la figura 𝐶𝐷 = 𝐸𝐶 entonces 𝐸𝐶 = 5 
 
 𝐸𝐶 + 𝐶𝐷 = 𝐷𝐺 ; 5 + 5 = 𝐷𝐺 ; 𝐷𝐺 = 10 
25=CD 5=CD
A B 
C 
D 
E 
F G 
H 
I 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
68 
 
✓ Como 𝐶𝐷 = 𝐵𝐷 entonces 
 
 𝐵𝐺 = 𝐷𝐺 + 𝐵𝐷 ; 𝐵𝐺 = 10 + 5 ; 𝐵𝐺 = 15 
✓ Finalmente, el área del cuadrado BGHI será: 
 𝐴 = 15 ⋅ 15 ; 𝐴 = 225𝑚2 
 
13. La figura RSTU está formada por tres triángulos equiláteros congruentes, además MN 
es la mitad de UT y paralela a ella, si MN = 12 cm. Calcular el perímetro del polígono 
pintado 
 
 
 
 
 
 
 
 Solución: 
 
✓ Si 𝑀𝑁 es la mitad de 𝑈𝑇 y 𝑀𝑁 = 12 entonces 𝑈𝑇 = 24 
 
✓ Si 𝑀𝑁 = 12 la condición anterior entonces 𝑇𝑁 = 12 y 𝑈𝑀 = 12 
 
✓ Si 𝑈𝑇 = 24 los triángulos son equiláteros entonces 𝑇𝑆 = 24;𝑈𝑅 = 24;𝑃𝑆 = 24;𝑅𝑃 = 24 
 
✓ Finalmente, el perímetro de la parte sembrada será: 
 
 𝑃 = 3(12) + 4(24) 𝑃 = 36 + 96 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 = 132𝑐𝑚 
 
14. De una tabla de 18 cm por 36 cm se obtiene una flecha de dos puntas. El largo de la 
tabla se divide en tres partes iguales y su ancho se divide en dos partes iguales, el 
vástago de la flecha mide 6 cm. Calcular el perímetro de la flecha en cm. 
 
 
 
 
 Solución: 
 
✓ El largo de la tabla es 36𝑐𝑚 entonces dividido entre 3 cada parte será12𝑐𝑚 
✓ El ancho de la tabla es 18𝑐𝑚 dividido entre 2cada parte será 9𝑐𝑚 
✓ Cada punta de la fecha forma un triángulo de base de 18𝑐𝑚 y altura 12𝑐𝑚 
 
 
 
 
 
 
 
U T 
S R 
M N 
P 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
69 
 
✓ De acuerdo a la figura 1 el valor de 𝑎 = 6 entonces en la figura 2 determinar el valor de 
𝑙 aplicando el teorema de Pitágoras 
 
 𝑙2 = 92 + 122 𝑙 = √81 + 144 𝑙 = √225 𝑙 = 15 𝑐𝑚 
 
✓ El perímetro de la fecha de dos puntos será: 
 
 𝑃 = 4𝑙 + 4𝑎 + 2(12) ; 𝑃 = 4(15) + 4(6) + 2 ; 𝑃 = 60 + 24 + 24 ; 𝑃 = 108 
 
15. Los lados del rectángulo SRTQ miden SR=16 cm. y RT = 12 cm.; los lados�̄��̄�, �̄��̄� y �̄��̄� 
se dividen en dos partes iguales; el lado �̄��̄� se divide en tres partes iguales. calcular 
El perímetro de la flecha mide en cm. 
 
 
 
 
 
Solución: 
✓ De acuerdo al enunciado el largo 𝑅𝑇 Y 𝑅𝑆 se divide en dos partes y el ancho 𝑅𝑇 en tres 
partes 
 
 
 
 
 
 
 
 
✓ Para hallar el valor de 𝑙 en la figura se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras como 
un triángulo rectángulo 
 
 𝑙2 = 62 + 82 𝑙2 = 36 + 64 𝑙 = √100 𝑙 = 10 
 
✓ El perímetro de la flecha será: 
 
 𝑃 = 3(4) + 2(8) + 2𝑙 ; 𝑃 = 12 + 16 + 2(10) ; 𝑃 = 28 + 20 ; 𝑃 = 48 𝑐𝑚 
 
 
 
 
Q T 
S R 
8cm 
6cm 
10 
4 cm 
4 cm 
4 cm 
6 cm 
8 cm 
𝑙 
8 cm 
𝑙 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
70 
 
16. Para alfombrar la escalera de M hasta N se necesita una longitud de: 
 
 
 
 
 
Solución. 
 
✓ De acuerdo al enunciado la longitud de la alfombra será el perímetro 𝑀𝑁 
 
 
 
 
 
 
 
 
✓ Dividiendo la longitud horizontal en “𝑎” partes: y la longitud vertical en "𝑙" partes donde 
no es necesario conocer el valor de "𝑙"y “a” 
 
 4𝑎 = 4 𝑚 ; 4𝑙 = 3 𝑚 
 
✓ Entonces la longitud de 𝑀𝑁 será: 
 
 4𝑎 + 4𝑙 = 4 + 3 ; 4𝑎 + 4𝑙 = 7 𝑚 
17. La figura es Una Circunferencia de centro 0 y diámetro 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ = 𝟏𝟐 cm; si 𝝅 = 𝟑 
calcular el perímetro de la figura rayada 
 
 Solución: 
 
✓ Datos y esquema del problema 
 
 Perímetro media circunferencia 
 𝑃 = 𝜋 𝑟 ; 𝑟 = 6 𝜋 = 3 ; 𝑃 = 18 
 Longitud arco con Angulo central 
 𝒍 = 𝒓 𝜶 ; 𝜶 = 𝟖𝟎𝒐
𝝅
𝟏𝟖𝟎𝒐
=
𝟒
𝟗
𝝅 ; 𝒍 = (𝟔)(
𝟒
𝟗
 𝟑) ; 𝒍 = 𝟖 
 
 
M 
N 
4 m 
3 m 
M 
a N 
4𝑚 
3 𝑚 
 
a  
a  
a 
 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
71 
 
✓ El perímetro de la parte rayada correspondiente a la circunferencia será: 
 
 2𝑠 = 𝑃 − 𝑙 = 10 
✓ El perímetro de la toda la parte rayada como se pide en la pregunta es: 
 
 𝑃𝑇 = 2𝑠 + 4𝑟 ; 𝑃𝑇 = 10 + 4(6) ; 𝑃𝑇 = 34 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 
 
 
18. Si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 18 cm., M y N son puntos medios, entonces el 
área de la región sombreada es: 
 
 
 
 
 
 
 
 Solución: 
 
✓ Trazando diagonales en el cuadrado ABCD con baricentro en G se muestra el área S 
de cada región 
 
 
 
 
 
 
 
✓ Del grafico se muestra en el cuadrado ABCD el área total 
 
𝐴 = 12 𝑆 
✓ Si el lado del cuadrado es 18 cm entonces el área del cuadrado será: 
 
𝐴 = 18 ∗ 18 = 324 
 
✓ Con este se obtiene el valor de S 
 
 𝐴 = 324 ; 324 = 12𝑆 ; 𝑆 =
324
12
 ; 𝑆 = 27 
 
✓ El área de la región sombreada que se pide será: 
 
 𝐴𝑠 = 8 𝑆 ; 𝐴𝑠 = 8 (27) ; 𝐴𝑠 = 216 cm 
 
 
 
M 
N A 
B C 
D 
Pre Calculo 2020 Eudal Avendaño Gonzales 
 
 
72 
 
 
19. Si el lado del cuadrado ABCD es 6 metros calcular el área de la región sombreada 
 
 
 
 
 
 
Solución: 
 
✓ Trazando diagonales y ordenando dentro del cuadrado ABCD se muestra