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Complementos de Análisis. Año 2014.
Práctica 1: Números Reales.
1. a) Sea I = [a, b] un intervalo real cerrado. Probar que existe una familia (Jn)n∈N de
intervalos reales abiertos tales que ∀n, Jn+1 ⊂ Jn y tal que
∩
n∈N Jn = I.
b) Sea J = (a, b) un intervalo abierto de números reales. Probar que existe una familia
(In)n∈N de intervalos reales cerrados tales que ∀n, In ⊂ In+1 y tal que
∪
n∈N In = J .
2. Hallar cotas superiores e inferiores, ı́nfimo, supremo, máximo y mı́nimo (si existen) de los
siguientes conjuntos de números reales.
a) { 1n ;n ∈ N}
b) {y ∈ IR : y < x0} x0 ∈ IR fijo
c) {x > 0 : x(1− x) > 0}
d) {1 + (−1)n + (−1)
n
n ; n ∈ N}
e) { x
1 + x2
; x ∈ IR}
f ) { t
1 + t
; t > 0}
3. Sea r un número racional y ϵ un número real positivo. Probar que existe un número
irracional x tal que |r − x| < ϵ.
4. Probar que existe un número real x tal que x3 = 5 y que tal número es irracional.
5. Sean A ⊂ IR y B ⊂ IR dos conjuntos acotados y sea C = {a+ b : a ∈ A, b ∈ B}. Probar
que ı́nf C = ı́nf A+ ı́nf B.
6. Sea (Aα)α∈L una familia de subconjuntos acotados de IR. Supongamos que
∩
α∈LAα =
A ̸= ∅. Sea, para cada α, xα = supAα y sea B = {xα : α ∈ L}.
Demostrar que supA ≤ ı́nf B. Dar un ejemplo en el que supA = ı́nf B y otro en el que
supA < ı́nf B.
7. Sean A ⊂ IR y B ⊂ IR dos conjuntos acotados. Se sabe que para todo a ∈ A y para todo
ϵ > 0, existe b ∈ B tal que |b − a| < ϵ. Probar que supA ≤ supB. Dar un ejemplo en
el que valga supA = supB y otro en el que supA < supB, tal que en ambos ejemplos
A ∩B = ∅.
8. Sean f : [0, 1] → IR y g : [0, 1] → IR dos funciones acotadas y sea h : [0, 1] → IR dada
por h(x) = f(x) + g(x).
Probar que supx∈[0, 1] h(x) ≤ supx∈[0, 1] f(x) + supx∈[0, 1] g(x). Dar un ejemplo donde valga
la igualdad y otro donde no valga.
9. Sea A un conjunto acotado de números reales, y sean
B = {x2 : x ∈ A}; A1 = {|x| : x ∈ A}
Probar que supB = (supA1)
2. Vale que supB = (supA)2?
1
10. Probar que el conjunto Z de los números enteros es numerable.
11. Def.: dos conjuntos A y B se dicen coordinables, si se puede establecer entre ellos una
biyección.
Probar que dos cualesquiera intervalos reales cerrados [a, b] y [c, d] son coordinables.
12. Def.: Un número α se llama algebraico si es ráız de un polinomio con coeficientes racionales.
Probar que el conjunto de todos los números algebraicos es numerable.
Ejercicios adicionales de la práctica 1
Sea F un cuerpo ordenado completo. Mostrar que la propiedad arquimediana en F equivale
a:
(a) si x e y ∈ F , con 0 < x < y, entonces existe k ∈ N tal que kx > y
(b) Si x ∈ F, x > 0, entonces existe n ∈ N tal que 0 < 1n < x.
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