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OBJETIVIDAD MATEMÁTICA, 
HISTORIA Y EDUCACIÓN MATEMÁTICA∗∗∗∗ 
 
 
LUIS CARLOS ARBOLEDA∗∗ 
 
 
 
INTRODUCCIÓN 
 
Hace veinticinco años, en el marco de las actividades fundacionales de la Sociedad 
Latinoamericana de Historia de las Ciencias y la Tecnología, se adelantaron en la región 
una serie de iniciativas que con el paso del tiempo conformarían un ambicioso programa 
de enseñanza de la historia de las ciencias. Si bien el objeto principal de estos 
emprendimientos era contribuir a crear las mejores condiciones de profesionalización de 
nuestro campo de estudios, en varios congresos y reuniones se hizo usual presentar 
experiencias de cursos y estrategias educativas en historia de las ciencias tratando de 
evidenciar en cada caso un marco de referencia conceptual. 
 
En un artículo de la época1, al describir el programa de enseñanza de historia de las 
matemáticas y de las ciencias que adelantábamos con varios colegas en la Universidad 
del Valle, aproveché para plantear algunas preocupaciones sobre la relación entre 
historia y enseñanza de las matemáticas. Con el paso del tiempo he constatado que 
varios de los puntos de vista y estrategias entonces formulados, se han revelado difíciles 
de aplicar porque los procesos de profesionalización e institucionalización de nuestra 
área de estudios han tomado rumbos que entonces no podíamos prever. Otros no son 
más sostenibles, al menos desde la posición conceptual a donde me han llevado mis 
investigaciones y mis actividades docentes en nuestra área de estudios. 
 
Pero el principal motivo de mi preocupación sobre la relación entre historia y enseñanza 
de las ciencias sigue estando vigente después de 25 años: 
 
¿Cuál es el tipo de historia susceptible de ser apropiada en la educación matemática y 
que contribuya efectivamente al diseño de estrategias didácticas para la formación de 
pensamiento matemático? 
 
La respuesta que más me satisface en la actualidad, es la que ya entonces se esbozaba de 
manera general: 
 
Entre todas las historias practicables prefiero aquella que le permita al alumno vivir 
experiencias de reconstrucción de teorías. 
 
 
∗ Trabajo elaborado en el marco del proyecto “La constitución histórica de los números reales en la perspectiva de 
formación de docentes”. Colciencias, Universidad del Valle, 1106-11-17688. 
∗∗ Grupo de Historia de las Matemáticas, Universidad del Valle, Instituto de Educación y Pedagogía, Cali, Colombia, 
arboleda@univalle.edu.co 
 
1 Luis Carlos Arboleda (1984). Historia y Enseñanza de las Matemáticas. Quipu. Revista Latinoamericana de 
Historia de las Ciencias y la Tecnología. Vol.1, Nº 2; 194-167. 
 2 
El criterio de base para mantener inmodificable esta posición es el mismo que sostuve 
entonces: 
 
La historia es un medio para tomar conciencia del funcionamiento de la investigación 
en matemáticas (…) y puede ser utilizada a favor de la formación matemática de 
quienes enseñarán las matemáticas sin jamás proponerse una investigación en 
matemáticas. 
 
En el presente trabajo expondré los argumentos de los que ahora dispongo para 
continuar defendiendo las anteriores ideas. Trataré de mostrar que, al margen de las 
diferencias de objeto y método que caracteriza una y otra área del conocimiento, hay 
algunas problemáticas cruciales de la actividad matemática de cuyo discernimiento la 
historia y la educación pueden sacar provecho. En general se trata de problemáticas 
relacionadas con la búsqueda de la objetividad matemática y los procesos de 
constitución de los objetos matemáticos en tanto actividades especializadas de 
individuos que, enfrentados a la explicación de determinados problemas, movilizan 
actos de razonamiento de cierta naturaleza. 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. COMPRENDER LAS RAZONES DE SER DE LA LÓGICA INTERNA DE 
LAS TEORÍAS MATEMÁTICAS 
 
En un artículo reciente consagrado a estudiar las relaciones entre historia, filosofía y 
educación matemática, Michael Otte señala que 
 
“uno de los grandes problemas de la educación matemática es el carácter 
aparentemente estático e infalible del conocimiento matemático. El significado de 
cualquier cosa se reduce a: P = P. Este principio de identidad reside en el corazón de 
la lógica y de las ciencias exactas, y obviamente va en contravía de toda consideración 
histórica o evolucionista. ¡ P significa solo P !”
 2. 
 
Pero en tanto producto de la actividad humana a lo largo del tiempo, las matemáticas no 
podrían reducirse a la lógica ni a un simple cálculo proposicional. La historia de las 
matemáticas muestra que esta actividad se adelanta dentro de propósitos determinados y 
de acuerdo con procedimientos cuyas razones de ser son objeto de la reflexión filosófica 
y epistemológica. Desde los propios orígenes de la ciencia griega, la filosofía supo 
reconocer, por ejemplo en el Teeteto, que el acto de razón que apunta al conocimiento 
no puede consistir solo en expresar la opinión de las cosas en un lenguaje, ya que la 
razón se refiere a la naturaleza íntima del entendimiento y no tan solo a la manera de 
organizar nuestros enunciados. 
 
 
2 Michael Otte (2007). Mathematical history, philosophy and education, Educational Studies on Mathematics 
66:243–255. 
 3 
Al estudiar los procesos de constitución de objetos, teorías, estructuras, a partir de la 
actividad de solución de problemas, el historiador de las matemáticas sabe muy bien 
que los discursos son trazas de construcciones producto de la actividad de matemáticos 
en situaciones determinadas. Esta actividad es un acto de constitución que difícilmente 
podría reducirse al mero acto de descubrir algo ya existente. Más adelante volveremos 
sobre esta problemática de construcción y descubrimiento en matemáticas. 
 
Lo que en este contexto interesa tener en cuenta para la reflexión sobre las relaciones 
entre historia y educación matemática, es que una vez constituidas las matemáticas 
parecen obedecer a una lógica interna independiente de sus orígenes. Sin embargo, el 
trabajo de reconstitución de los orígenes permite aclarar esta lógica interna, siempre y 
cuando el historiador esté preparado para comprender los intríngulis de esta lógica. En 
primer lugar, esto significa reconocer que, como ya lo planteaba Frege en su crítica a 
Kant, la lógica no es irreductiblemente formal. Es decir, no es simplemente un ensamble 
de formas vacías de contenido, ya que la lógica hereda un contenido semántico de 
conceptos y relaciones entre objetos del mundo concreto. Es por ello mismo que la 
lógica puede permitirnos avanzar en el conocimiento y no tan solo representar lo ya 
construido. La generalidad indispensable a la lógica no se traduce en indiferencia con 
respecto a las características particulares de los objetos. 
 
El asunto delicado, por supuesto, es ponerse de acuerdo en lo que se quiere decir cuando 
se afirma que la representación lógica de la realidad “hereda contenido semántico”. La 
historia de las matemáticas nos revela que, en su actividad, el matemático parece 
adoptar espontáneamente el punto de vista de Poincaré sobre lógica y matemáticas, 
según el cual, no porque las expresiones lógicas se “formalicen” en tratados 
especializados, pierden el carácter intuitivo que uno les reconoce en los discursos 
matemáticos. De acuerdo con Poincaré, los principios lógicos no son más que juicios 
sintéticos disfrazados. Recordemos de paso que esta posición es inaceptable, entre otros, 
para quienes consideran que la lógica no tiene soporte ontológico y que mal podría 
fundarse en afirmaciones de existencia. 
 
Como quiera que sea, la sola explicación de la lógica formal de una teoría matemática 
no da cuenta de aspectos de fondo para la historia o para la educación matemática, como 
lo es la función que esta misma lógica cumple en el sistema de conocimiento. En 
consecuencia, el historiador y el educador se ven conducidos a indagar por las razones 
deser del proceso de constitución de la teoría. Esta indagación puede, por ejemplo, 
orientarse a algún tipo de explicación sobre la naturaleza de los problemas a los que tal 
o cual teoría da respuesta. Para el caso de reconstrucciones de un campo teórico 
formalizado, se trataría de mostrar cómo las expresiones particulares de una cultura 
matemática elemental adquirieron estatus universal al convertirse en propiedades de la 
axiomática de la teoría. 
 
Afortunadamente cada vez son más frecuentes este tipo de reconstrucciones sobre los 
orígenes empíricos de las teorías formales. Un caso notable es el curso para filósofos 
sobre la constitución formal de los sistemas numéricos, dictado durante varios años por 
Marco Panza en la Universidad de Nantes. De acuerdo con el autor, 
 
“no se trata de enseñar, por ejemplo, que la suma de los números naturales es 
conmutativa, sino de mostrar cómo la conmutatividad de la suma sobre los números 
 4 
naturales se conecta con un sistema de axiomas y de definiciones dictado por el 
esfuerzo de fijar la naturaleza lógica de una progresión”.3 
 
Todo matemático por formalista que sea está dispuesto a aceptar la importancia que 
reviste para la enseñanza el trabajo de reconstitución de su teoría. En el capítulo de sus 
memorias consagrado a reflexionar sobre, lo que él llama, su “invención” de la Teoría 
de la Distribuciones, Laurent Schwartz se refiere al fenómeno antes mencionado de que, 
una vez formalizadas, las teorías ocultan la actividad matemática compleja que las 
produjo, y propone la intervención de la historia de las matemáticas para ayudar a los 
lectores a reconocer las huellas de esta actividad 4. 
 
Schwartz observa que generalmente las personas se representan los procesos 
constitutivos de las teorías de una manera muy diferente a como ocurrieron. La imagen 
predominante es que “se progresa de principio a fin mediante razonamientos rigurosos, 
perfectamente lineales, en un orden bien determinado y único que corresponde a una 
lógica perfecta. No se reconocen los zig zags”. Ello es lamentable, dice Schwartz, 
porque si se considera que en las matemáticas y las ciencias en general no hay derecho a 
dudas y errores, entonces ellas serán percibidas como demasiado rígidas, menos 
humanas y más inaccesibles. 
 
Por el contrario, en el desarrollo de una indagación sobre un problema, lo más frecuente 
es que la respuesta demore en obtenerse. Generalmente después de una primera 
investigación, viene la fatiga. A veces se continúa pero sin éxito: 
 
“y se guarda el problema en alguna parte de la cabeza para reflexionar sobre ello más 
tarde. De pronto se encuentra algo, pero tal vez no es necesariamente interesante y no 
merece desarrollarse ni publicarse. Así, uno puede continuar planteándose cuestiones 
conexas o incluso diferentes, hasta conformar un acervo de interrogantes. A menudo se 
encuentran soluciones simultáneas a muchos de tales problemas”. 
 
Más adelante, Schwartz vuelve a referirse a la necesidad de ir más allá de las primeras 
apreciaciones sobre la naturaleza del trabajo científico, y fija de la siguiente manera una 
posición que nos suena a música celestial a historiadores y educadores de las 
matemáticas: 
 
“El lector que lee un libro bien escrito no reconoce cuáles han sido las alegrías y 
sufrimientos de su autor. Puede ser instructivo develárselas. No se dispondría de 
tiempo en el liceo para estudiar las ciencias junto con su historia. La mayor parte del 
tiempo es necesario enseñar de manera imperativa y dogmática. Pero de tiempo en 
tiempo se debería hacer no solamente que los alumnos investiguen, sino también que 
conozcan la historia de las ciencias. Un poco de historia resulta fecundo en la 
exposición de una teoría nueva. Y no se hace suficiente historia de las matemáticas con 
los alumnos del liceo, como para mostrarles la extensión de los espacios franqueados 
por nuestros predecesores hasta llegar al estado actual de perfección. Igualmente es 
necesario que sepan que si una teoría está bien hecha aunque algunos aspectos suyos 
 
3 Marco Panza (2007). Nombres: éléments de mathématiques pour philosophes. Cahiers d’Histoire et de Philosophie 
des Sciences. ENS Éditions, Lyon. 
4 Laurent Schwartz (1997). Un mathématicien aux prises avec le siècle. Editions Odile Jacob, Paris. Ver sobre este 
tema el capítulo « L’invention des Distributions », pp. 223-266. 
 
 5 
permanezcan inciertos, probablemente éstos serán los más interesantes para futuras 
investigaciones. El propósito de una ciencia no es atragantar con ideas bien hechas y 
bien acabadas, sino imaginar concepciones nuevas. Y éstas generalmente se engendran 
al superar obstáculos internos”. 
 
 
 
2. INDAGAR SOBRE MODALIDADES DE OBJETIVACIÓN DE TEORÍAS 
CONCRETAS: EL CASO DE LOS REALES 5 
 
Tomemos por caso la presentación de una teoría tan fundamental para la formación 
matemática de la educación media superior y universitaria como el sistema numérico de 
los reales. De acuerdo con lo anterior, el objetivo inmediato no sería tanto enfrentar 
directamente al estudiante con las propiedades algebraicas de este sistema en tanto 
cuerpo ordenado arquimediano y completo. Más bien se trataría de permitirle, a través 
de experiencias didácticas diseñadas con un uso adecuado de la historia, que tome 
conciencia de las condiciones históricas y epistemológicas que posibilitaron la 
constitución de los números reales como objeto matemático. 
 
El historiador de las matemáticas es bien conciente de que éste es uno de los asuntos 
que mayormente ha jalonado el desarrollo de las matemáticas, desde la geometría de los 
griegos, pasando por el álgebra de los árabes, la geometría cartesiana, el cálculo 
infinitesimal de Newton y Leibniz, el análisis de Euler, Lagrange, Fourier y Cauchy, la 
aritmetización de Bolzano, Dedekind y Weierstrass, la teoría de conjuntos y la topología 
de Bolzano, Cantor y Dedekind, la teoría de funciones de Baire, Borel, Lebesgue y 
Fréchet, y la fundamentación de la aritmética de Peano, Frege y Russell. 
 
Sin embargo, este largo proceso de objetivación de R escapa a la escolaridad. En el 
grado 11 de la educación media, en donde sería más pertinente que se presentaran los 
fundamentos de la construcción de los números reales, el problema se deshace en una 
presentación seudo formal. En la formación básica universitaria, R se introduce de 
manera axiomática y el estudiante termina por no entender la naturaleza y función de las 
propiedades de R, tanto en su propia objetivación matemática como en la estructuración 
de las teorías sobre los reales que constituyen el referente principal del currículo 
universitario. 
 
Esta presentación axiomática formal en la cual se diluye la necesidad de dar cuenta de 
cualquier característica del proceso de objetivación de R, es un procedimiento “natural” 
empleado por los docentes para presentar los reales. Como ocurre en otras instancias de 
la didáctica inercial que domina en la escuela, una enseñanza de vuelve natural e 
incuestionable cuando se ha revelado insustituible a lo largo de muchos años. Y aún si 
algunos le reconocen dificultades epistemológicas y pedagógicas a este enfoque, no es 
menos cierto que otras presentaciones del pujante campo de investigaciones históricas y 
didácticas sobre los reales, o bien no son suficientemente conocidas por los docentes o 
no son percibidas como alternativas con capacidad de organizar el currículo y las 
prácticas escolares. 
 
 
5 Un estudio más detallado de las ideas expuestas en este y otros apartes, se encuentra en: Arboleda, L. C. (2007), 
Modalidades constructivas y objetivación del cuerpo de los reales. Revista Brasileira de História da Matemática. 
Especial nº 1- Festschrift Ubiratan D’Ambrosio; pp. 215-230. 
 6 
Así pues, dado que el estudiante solo tiene una idea “intuitiva” de algunas de las 
propiedades de R por sus cursosde Álgebra elemental y ante la obligación de exponer 
los fundamentos del cálculo infinitesimal, termina por imponerse una presentación 
seudo formal en la cual se toman los reales como “elementos primitivos” y se 
axiomatizan algunas de sus propiedades más importantes del cálculo, sobre todo 
aquellas que no son tan familiares al lector como el axioma de continuidad o del 
extremo superior. Este es el punto de partida del cálculo de Apostol, uno de los textos 
que más ha influido en la enseñanza universitaria en los últimos treinta años dada su 
reputación de obra esmerada y rigurosa. No obstante, Apostol no deja de reconocer que 
este procedimiento de la enseñanza no es totalmente riguroso a nivel epistemológico, y 
que: 
 
“un estudio en sí mismo del sistema de los números reales llevado a cabo como una 
totalidad, es un tema muy interesante pero un tanto largo, de forma que requiere un 
pequeño volumen para su completa exposición”.6 
 
Para el historiador, un estudio de estas características está orientado sobre todo a 
mostrar un aspecto esencial de la objetivización de los reales y de las matemáticas en 
general: que los axiomas y al menos ciertas propiedades elementales de su estructura, 
formalizan técnicas y procedimientos operatorios que se encuentran sedimentados en la 
experiencia humana de siglos de reflexión sobre la naturaleza del continuo real, los 
cuales, bajo determinadas condiciones del contexto de las matemáticas de la segunda 
mitad del siglo XIX, se reactivaron y dieron lugar, primero a las construcciones de R y, 
luego, a la formalización de R como objeto matemático. Por fuerza debemos hacer 
algunas consideraciones matemáticas sin las cuales no es posible entender el sentido 
epistemológico de la cuestión, aunque en esta exposición no viene al caso entrar en los 
detalles técnicos. 
 
En los procedimientos históricos empleados en la extensión de números racionales Q a 
los reales R, sea por las cortaduras de Dedekind o mediante las sucesiones 
fundamentales de Cantor, el matemático apeló a propiedades de la estructura de Q para 
llenar dos lagunas operatorias de vieja data, una de naturaleza algebraica (Q no es 
cerrado por la operación raíz cuadrada), otra topológica (Q no es cerrado con la 
operación de paso al límite).7 Dado que las propiedades de orden y densidad de la 
estructura de Q se cumplen de manera correlacionada, no fue posible llenar la laguna 
algebraica sin llenar al mismo tiempo la laguna topológica. En breve, la extensión de los 
racionales consistió en última instancia, en construir el dominio de los reales como 
objeto explícito a partir de operaciones permitidas por la estructura de los racionales, 
principalmente de orden y densidad. 
 
El momento decisivo en el proceso de construcción de R a partir del dominio previo Q, 
tiene que ver con la exigencia de hacer intervenir una operación entre racionales que 
genere a los reales como representantes de clases de equivalencia de sucesiones de 
Cauchy de racionales. Esta operación es compatible con la estructura de Q y determina 
el dominio de existencia de R. Todo esto aparecerá luego encapsulado en el cuerpo de la 
teoría axiomática de los reales, principalmente en un teorema que es una cruz de los 
cursos universitarios de análisis: 
 
6 Tom M. Apostol (1972). Cálculo con funciones de una variable, con una introducción al álgebra lineal. 2ª edición. 
Volumen I, Editorial Reverté, Barcelona, Buenos Aires, México, 1972; p. 12. 
7 Jean-Toussaint Desanti (1968). Les Idéalités Mathématiques. Seuil, Paris. 
 7 
 
“Una sucesión { }ns de números reales es convergente (con un número real como límite) 
si y sólo es una sucesión de Cauchy”. 
 
A lo largo de una penosa familiarización con técnicas y procedimientos formales, el 
estudiante termina en el mejor de los casos por apropiarse de un teorema que es piedra 
angular de su cultura matemática, sin que este conocimiento esté fundamentado en 
algún tipo de experiencia que le permita entender la naturaleza del proceso de 
objetivación de R. Para ello habría tenido que ejercitar un abordaje histórico-
epistemológico de la extensión de Q con un patrón de razonamiento que cumpliera 
exigencias lógicas como las siguientes: 
 
a) Resolución de un problema; en este caso, llenar las lagunas operatorias de Q 
 
b) Utilización de procedimientos de investigación; es decir, movilizar técnicas y 
procedimientos operatorios definidos sobre Q 
 
c) Creación de un objeto matemático nuevo; o sea obtener a R como extensión de 
propiedades de la estructura de Q 
 
d) Autonomización del nuevo objeto; es decir, constatar que R adquiere, en la 
teoría formal, una realidad independiente de las circunstancias previas en que 
fue introducido. 
 
El docente que se priva en su práctica de utilizar este patrón de razonamiento objetivo, 
olvida que el mismo Hilbert, la persona responsable de la moderna axiomatización de 
los reales,8 fue explicito sobre el valor pedagógico de estudiar las circunstancias previas 
de constitución de los objetos matemáticos. Hilbert decía que hay dos maneras de 
considerar a R: 
 
a) Según el método genético: Por sucesivas extensiones del campo numérico hasta 
llegar a la cortadura o sucesión fundamental 
 
b) Según el método axiomático: Partiendo de un dominio de objetos que cumplen 
un sistema de axiomas que reglan relaciones entre ellos, y mostrando la 
consistencia y completitud del sistema. 
 
El método genético, dice Hilbert, tiene un gran valor pedagógico y heurístico. Por su 
parte, el método axiomático es el más indicado para la investigación lógica sobre los 
fundamentos de las matemáticas y sus aplicaciones; en particular, un asunto prioritario 
para el programa de Hilbert de comienzos del siglo XX era estudiar las condiciones que 
garantizan que la aplicación de los axiomas de una teoría no conduzcan a contradicción, 
o lo que es lo mismo, que el sistema de axiomas sea lógicamente consistente. Hilbert 
ciertamente creía que la existencia matemática de los números reales dependía de la 
prueba directa de no contradicción de los axiomas que le aseguran a R su estructura de 
cuerpo ordenado arquimediano y completo. 
 
 
8 Paul Bernays (1935). Hilbert’s investigations of the foundations of arithmetic. Bernays Proyect, text 114: 
www.phil.cmu.edu/projects/bernays/Pdf/bernays14_2003-05-08.pdf 
 8 
Pero, al mismo tiempo, Hilbert sabía que el concepto de número (real) no se podía 
subsumir en una reducción lógica y que era “absolutamente necesario tomar en 
consideración el recurso a una donación intuitiva de la sucesión de números y de la 
multiplicidad de magnitudes”9. Contrariamente a las concepciones de Dedekind, Frege y 
otros logicistas, Hilbert declaraba estar convencido de “que ciertas representaciones e 
ideas intuitivas son previamente necesarias a la posibilidad del conocimiento 
científico”.10 
 
El repaso anterior al interesante capítulo de la historia de las matemáticas sobre la 
formalización de los números reales, nos ofrece una serie de consideraciones útiles para 
la enseñanza. En primer lugar, insistamos en el hecho de que las matemáticas no 
podrían reducirse a la lógica, a un simple cálculo proposicional, según el argumento del 
Teeteto anteriormente citado. Más allá de la importante labor que consiste en levantar 
repertorios de resultados en tratados y publicaciones, la historia de las matemáticas y, en 
general la historia de las ciencias, se enfoca a la comprensión de los procesos de 
constitución de objetos, teorías y estructuras matemáticas. 
 
 
 
3. VALORAR ADECUADAMENTE EL PAPEL DE LAS CONCEPCIONES DE 
LOS MATEMÁTICOS EN SU ACTIVIDAD 
 
Es bien conocido que muchos matemáticos han compartido y comparten la creencia de 
que sus objetos poseen una “realidad profunda”. A los historiadores matemáticos nos 
resulta particularmente útil en el estudio del desarrollo de las matemáticas como 
actividadhumana, considerar la naturaleza y función de las concepciones de los 
matemáticos en su trabajo. Igualmente, los educadores matemáticos no pueden 
prescindir de tener en cuenta este componente ideológico en el diseño y ejecución de 
estrategias viables de intervención en el aula, al cual lo ubican en el mundo de la 
noosfera, una dimensión de las ideas tan importante para la educación como el mismo 
mundo de los saberes matemáticos. 
 
Así pues, a historiadores y educadores nos resultan particularmente llamativas 
profesiones de fe como la de Laurent Schwartz en sus memorias, cuando afirma que 
esta “realidad profunda” se manifiesta ante todo en que los conocimientos matemáticos, 
una vez adquiridos, se organizan dentro de un campo de conciencia dotado de una 
“estructura rígida”. Además de responder a una lógica interna, el campo de 
conocimientos que conforma el patrimonio intelectual del matemático está regido por 
un ideal de belleza; de ahí que Schwartz hable de tal campo en términos de “mi palacio 
o castillo interior”. 
 
Para Schwartz, no es posible hacer matemáticas, es decir, recorrer cierto camino dentro 
del campo (como consecuencia de la acción de una red de conexiones neuronales), sino 
se respeta la estructura ordenada. Cualquier intento de transgredir este orden 
conservador es visto por la conciencia como una agresión del exterior. Si se plantea por 
la necesidad de incorporar un conocimiento nuevo, tomará tiempo a la conciencia 
asimilar tal necesidad, pues ello implica “reordenar toda una serie de fenómenos e 
 
9 Bernays citado por H. Sinaceur en: F. Rivenc et Ph. De Rouilhan (ed.) (1992). Logique et fondements des 
mathématiques. Anthologie (1850-1914). Payot, Paris ; p. 251. 
10 Citado por Sinaceur en Rivenc et Rouilhan (1992), op. cit, p. 251. 
 9 
imbricar lo que acabo de aprender en mis propios esquemas. Mi castillo estará entonces 
más perfeccionado que antes”. 
 
Los objetos matemáticos, dice Schwartz, poseen una “realidad profunda” que se impone 
a nuestro entendimiento. Descubrimos los enteros, los primos y su ley de distribución, 
los racionales, los números e y π, la recta, etc. Pero las operaciones de “descubrimiento” 
e “invención” se interrelacionan en la constitución de conceptos o teorías. Un objeto 
matemático que se manifiesta en un primer momento como resultado de una invención 
o hallazgo de algo nuevo –algo que no existía antes y sobre lo cual tenemos gran 
libertad de escogencia-, pasa luego a convertirse en descubrimiento –es decir, en 
hallazgo de algo externo a nosotros frente a lo cual disponemos de mínimas 
posibilidades de escogencia. 
 
Se puede considerar a los complejos como una invención desde el punto de vista de su 
representación x iy+ . Pero en cuanto demostramos que el anillo de los polinomios 
reales módulo ( )2 1x + es un cuerpo que denotamos por C, entonces se nos impone C con 
las leyes de su estructura. Las teorías de Weierstrass y Cauchy sobre las funciones 
holomorfas, el teorema de residuos y el teorema de Picard nos permiten descubrir la 
realidad profunda de C y comunicarla a los matemáticos del mundo (incluso a 
extraterrestres inteligentes como sugería Freudhental) mediante el uso de otras 
invenciones tecnológicas. 
 
La convicción sobre la existencia independiente o “realidad profunda” parece incluso 
imponerse a la conciencia constructiva que resulta de la propia experiencia. 
Independientemente de cómo el matemático se represente y estudie sus objetos, éstos 
terminan por imponérsele por las leyes de su estructura, como reconoce el propio 
Schwartz. Esta es una actitud corriente entre los matemáticos por lo menos a partir de 
las profundas transformaciones operadas en los procesos de generalización y 
diversificación de estructuras del siglo XIX, y ha sido identificada como característica 
del “platonismo ingenuo” de los matemáticos. En palabras de Hermite en carta a 
Stieltjes11: 
 
“Creo que los números y las funciones del análisis no son el producto arbitrario de 
nuestro entendimiento; pienso que existen por fuera de nosotros con el mismo carácter 
de necesidad que las cosas de la realidad objetiva, y los reencontramos o los 
descubrimos, y los estudiamos, como los físicos y los zoólogos”. 
 
La historia de las matemáticas nos permite constatar que opiniones como ésta han sido 
objeto de reparos de distintas clases. Por ejemplo, alguien desde una orilla próxima a 
una ontología logicista, podría estar de acuerdo con Hermite en que los objetos de la 
matemática (en concreto los números y las funciones del análisis) no son un producto 
arbitrario de nuestro entendimiento y que existen independientemente de nosotros e 
independientemente de sus modos de representación. Pero su existencia, como dice 
 
11 B. Baillaud y H. Bourget (ed.)(1905). Correspondance d’Hermite et de Stieltjes. 2 vols., Gauthiers-Villars, Paris. 
En este mismo sentido se puede citar la carta 166 sin fecha: “Confieso que no admito ninguna solución de 
continuidad, ninguna ruptura, entre las matemáticas y la física, y que los números enteros me parece que existen por 
fuera de nosotros y que se imponen con la misma necesidad y la misma fatalidad que el sodio, el potasio, etc.” Op. 
cit., vol. 1, pp. 331-332. Ver también las interesantes cartas que sobre esta cuestión dirige Hermite a Mittag-Leffler el 
24 de diciembre de 1880 y el 28 de noviembre de 1882 EN: Charles Hermite (1984). Lettres à Gösta Mittag-Leffler, 
publiées et annotées par P. Dugac. Cahiers du Séminaire d’Histoire des Mathématiques, 5, 49-285. 
 10 
Gardies12 en la misma línea de ideas de Frege, dista mucho de ser comparable a la 
existencia de los objetos de los físicos, los zoólogos, los botánicos o los geógrafos. 
Estos últimos pertenecen al primer orden de existencia, en el sentido de que sus 
propiedades constitutivas se expresan en predicados de sustancias primeras. Por su 
parte, la existencia objetiva de los números y las funciones no podría ni siquiera 
equipararse con la existencia de los objetos de la geometría euclidiana, pues sus 
propiedades constitutivas se expresan en términos de predicados de predicados en la 
lógica de segundo orden. 
 
Desde nuestra posición sobre la constitución de las matemáticas a partir de la 
explicación de problemas o fenómenos de la realidad natural, el carácter particular de 
los objetos matemáticos con respecto a otros cuya existencia está más “próxima” de esa 
realidad, radicaría en lo que Thurston ha llamado su “abstracción hipostática”.13 Esto es, 
que los actos de razonamiento que conducen al nuevo objeto están encadenados de tal 
manera, que un razonamiento de nivel inferior es objeto de otro de nivel lógico superior 
y así sucesivamente, como ocurre con la extensión de los sistemas numéricos. 
 
Las tematizaciones sucesivas incorporan no solamente propiedades de objetos de los 
niveles previos, sino fundamentalmente técnicas y procedimientos de generalización. 
Según Otte, la abstracción hipostática implica abstracción a partir de la acción, más que 
de los mismos objetos. De aquí se pueden derivar al menos dos consideraciones de 
interés para las estrategias educativas de formación de pensamiento matemático. La 
primera es que la abstracción hipostática conlleva una tremenda economía de 
pensamiento. La segunda tiene que ver con la necesidad de precisar la expresión 
“construcción matemática” que se utiliza frecuentemente para designar este tipo 
particular de procesos de abstracción. En lo que sigue vamos a desarrollar ambas ideas. 
 
Hemos comentado anteriormente que el platonismo ingenuo parece relacionarse con el 
sentimiento de los matemáticos de que una vez emerge el nuevo objeto, su existencia 
parece imponerse únicamente por las leyes de la estructura formal. La estructura 
encapsula y hace opaca la laboriosa actividad humana desplegada en su constitución. 
Nadie como el propio matemático para dar testimoniode este fenómeno. En un artículo 
dirigido a mostrar que la educación matemática no podrá hacer avances sustanciales en 
sus propósitos si no entiende la naturaleza de las matemáticas, Thurston se refiere al 
fenómeno antes mencionado: 
 
“Las matemáticas son de una admirable compresibilidad. Durante un período largo se 
trabaja de manera ardua, paso a paso y desde distintos enfoques, en un proceso o idea. 
Pero una vez se entiende realmente (la cuestión) y se dispone de la perspectiva mental 
para considerarla en su conjunto, a menudo se presenta una tremenda compresión 
mental. Se la puede registrar por separado, recordarla inmediatamente cuando sea 
necesario, y utilizarla simplemente en un paso de algún otro proceso mental. La 
perspicacia (insight) que acompaña esta compresión es uno de los mayores disfrutes de 
las matemáticas”. 
 
 
 
 
12 Jean-Louis Gardies. (2004) Du mode d’existence des objets de la mathématique. Vrin, Paris. 
13Thurston, W. (1990). Mathematical education. Notices of the American Mathematical Society, 37, 844–850. Citado 
en Otte (2007), op. cit, p. 246. 
 11 
4. EL IDEAL DE LO SIMPLE EN LA INTELIGIBILIDAD MATEMÁTICA 
 
Para los matemáticos la presentación axiomática de las estructuras es un recurso 
obligado precisamente por la inigualable percepción que ella ofrece de conocimiento 
global y de economía de pensamiento. Esta creencia fundamentó el ambicioso programa 
estructuralista de investigación y formación avanzada que la escuela francesa de 
matemáticas promovió a nivel internacional alrededor de los años 1930 y 1940. En el 
artículo sobre la Arquitectura de las Matemáticas que Bourbaki incluye en la obra 
colectiva de Le Lionnais14, aclara su posición de por qué las estructuras son un 
dispositivo obligado de investigación. 
 
Las estructuras y los sistemas axiomáticos expresan de la manera más general posible 
propiedades simples de distintas teorías particulares, y regularidades de fenómenos 
diversos del mundo social y natural. Cuando un matemático está en condiciones de 
apropiarse de estos instrumentos teóricos, dispone de un poderoso arsenal de teoremas 
de capacidad de explicación múltiple. Este tipo de matemáticas implica una economía 
de pensamiento con respecto al trabajo laborioso y solitario de otras épocas, disperso en 
problemas y disciplinas sometidas a hipótesis restrictivas y particulares. 
 
“Si en nuestra época hemos dado saltos espectaculares, dirá años después Dieudonné, 
una de las cabezas visibles de los Bourbaki, es porque el arsenal de nociones abstractas 
de que disponemos nos ha permitido concentrarnos en los aspectos de fondo dejando de 
lado los detalles superficiales”. 
 
En esto consiste el “sentido del análisis”: en concentrarse en los principios más que en 
el cálculo15. 
 
Uno de los primeros momentos de la historia de las matemáticas en los cuales se hizo 
evidente este fenómeno, fue cuando Félix Klein introdujo el enfoque estructural para el 
estudio de la geometría en su famoso Programa de Erlangen de 187216. A partir de 
entonces una geometría no es otra cosa que el estudio de aquellas propiedades de las 
figuras que permanecen invariantes bajo la acción de un grupo concreto de 
transformaciones. La geometría euclidiana queda estudiada por el grupo de 
transformaciones de los movimientos rígidos, la geometría afín por el grupo de 
translaciones, la proyectiva por el de las proyecciones, la topología por el de las 
funciones continuas con inversa continua. 
 
La noción de estructura algebraica producirá ese efecto de reorganización y compresión 
teórica de las geometrías al que se refiere Thurston. Toda la historia de más de veinte 
siglos de esfuerzos separados por estudiar geometrías en campos disciplinares distintos 
quedará reducido a la economía de la clasificación jerárquica de las geometrías en 
términos de su correspondiente estructura algebraica. Así, los matemáticos dirán 
simplemente que la geometría afín y la ortogonal, las no euclidianas y la euclidiana, son 
subgrupos del grupo proyectivo. O, en otras palabras, que las tres geometrías clásicas de 
curvatura constante comparten la misma estructura de grupo proyectivo. En este 
contexto, Klein hace la siguiente afirmación que hoy podría parecernos chocante pero 
 
14 François Le Lionnais (ed.) (1948). Les grands courants de la pensée mathématique. Paris, Cahiers du Sud ; p. 42. 
15 Jean Dieudonné (1968). Calcul infinitésimal. Hermann, Paris ; préface. 
16 Félix Klein (1974). Le programme d’Erlangen; considérations comparatives sur les recherches géométriques 
modernes. Préf. de Jean Dieudonné. Postface du P. François Russo. Gauthier-Villars, Paris. 
 12 
que, al margen de todo juicio de valor, revela apropiadamente las creencias de los 
matemáticos: 
 
“Las concepciones de las que nos ocupamos y cuya conexión íntima estudiamos son en 
sí mismas productos de un trabajo prolongado del pensamiento matemático, y están 
muy alejadas de los pensamientos que se utilizan de manera corriente en la vida”. 
 
Por otra parte, si consideráramos esta opinión desde una metáfora cualquiera de la 
construcción, a lo que Klein estaría apuntando es a subrayar que la actividad matemática 
no es una construcción como cualquier otra. Punto éste de indudable significación para 
la educación matemática, pero también para la historia. En efecto, la palabra construir, 
como lo ha observado Gardies17 nos remite a la actividad de un sujeto que elabora un 
objeto que antes no existía por medio de cierto arte. Esta actividad constructiva supone 
una doble existencia, la existencia de un constructor y la existencia de un material 
inicial. Solo que a diferencia de una casa o incluso de un producto más elaborado como 
la estatua de David, no es tan evidente que el contenido de una teoría deductiva 
conserve la homogeneidad de una supuesta materia originaria. 
 
Ya antes hemos aludido a esta cuestión al referirnos al carácter lógico de los 
procedimientos constructivos de las teorías deductivas. Enrico Giusti nos puede ayudar 
a aclarar esta idea18. Los objetos matemáticos provienen, no de abstracciones de objetos 
reales, mediante la descripción de sus características principales, sino de un proceso de 
“objetivación de procedimientos”. Por ejemplo, hay toda una cultura educativa que 
consiste en afirmar que existe una correspondencia estrecha entre los objetos de la 
geometría euclidiana y las operaciones del agrimensor. Proposiciones como la 
definición 4 del libro 1 ilustran este carácter naturalista de la construcción euclidiana. 
Recordemos que tal definición nos dice que “la línea recta es la que yace por igual 
respecto de sus puntos”. 
 
La historia de la tradición pre-euclidiana nos permite reconocer que para distintos 
autores de esta época la línea recta era la distancia mínima entre sus dos extremos 
porque, entre todas las líneas, es aquella que está tensionada al máximo. La idea de 
tensión uniforme de la cuerda entre sus dos puntos habría sido sustituida, en la 
definición euclidiana, por la idea de “yacer por igual entre sus puntos”. En cierto sentido 
la definición euclidiana formaliza operaciones sobre el terreno, Pero igualmente 
responde a la necesidad de liberarse de la referencia a las ideas de métrica y tensión 
física. 
 
La abstracción es la cristalización en un pequeño número de rasgos invariantes de las 
numerosas operaciones efectivamente realizadas. Pero los otros objetos de la geometría 
clásica (circunferencia, esfera, cónicas, curvas, etc.), se construirán por procedimientos 
cada vez menos materiales y cada vez más mentales en el marco de estructuras teóricas. 
El enunciado del postulado 1 de los Elementos de Euclides garantiza un procedimiento 
para trazar una línea recta de un punto a cualquier otro. Por su parte, en los 
Fundamentos de la Geometría, Hilbert traduce los procedimientos técnicos euclidianos 
en afirmaciones de existencia.En efecto, el axioma I,1 afirma: “Existe una recta 
asociada a dos puntos A y B a la cual pertenecen estos dos puntos. El axioma I,2 afirma 
que “no existe más de una recta a la cual pertenezcan dos puntos A y B”. De manera 
 
17 Gardies (2004), op. cit, p. 131 et ss. 
18 Enrico Giusti (2000). La naissance des objets mathématiques. Ellipses, Paris. 
 13 
que la modalidad de la construcción hilbertiana de la geometría es distinta a la 
euclidiana. 
 
Así mismo, la construcción deductiva de la aritmética es diferente a la de la geometría. 
A partir de Cantor y Frege los números son, ya lo hemos señalado, predicados de 
predicados. En la edificación de los sistemas numéricos hay una elevación progresiva de 
los órdenes lógicos de existencia. Los números naturales se construyen mediante una 
relación de equivalencia sobre el dominio de las magnitudes. A partir de los naturales se 
edifican lógicamente, unos a partir de otros, los relativos, los racionales y los reales. A 
diferencia de la existencia en el mundo de los objetos sensibles, en la aritmética la 
existencia en los distintos niveles apela únicamente a cuantificadores universales. Cada 
sistema numérico, en particular los naturales, se caracteriza tan solo por las propiedades 
de su estructura, prescindiendo totalmente de la naturaleza de sus elementos. 
 
El patrón común a la colección de naturales consiste en postular tres condiciones: una 
relación de sucesor entre sus elementos, la existencia de un primer elemento único, y el 
principio de inducción. En rigor el número 2 no es otra cosa que la segunda posición en 
la estructura de los naturales, el 6 es la sexta posición, etc. Es decir, que los números no 
poseen una realidad ontológica independiente sino una especie de identidad estructural. 
Richard Dedekind, quien introdujo de manera sistemática este enfoque estructural en la 
aritmética, es responsable de la creencia, muy común entre los matemáticos y docentes, 
de adjudicarle a la imaginación el poder de sustituir el arduo trabajo de las actividades 
constitutivos: 
 
“Considerando esta liberación de sus elementos con respecto a cualquier contenido 
(abstracción), se puede llamar a los números, con derecho, creación libre del espíritu 
humano”
19. 
 
La edificación de los sistemas numéricos es un caso significativo de los procesos de 
abstracción hipostática en matemáticas, o modalidad constructiva por medio de una 
“cascada de tematizaciones”. Según Jean Cavaillès, quien introdujo el término para 
distinguir la edificación lógica de las teorías de una simple generalización, la 
tematización es el proceso por el cual una operación que previamente se ha realizado 
sobre un campo de objetos, es objeto de una segunda operación, la cual se vuelve a su 
vez objeto de una tercera operación, y así sucesivamente20. 
 
El arte específico de la construcción matemática es la tematización. Pero a los objetos 
matemáticos no se llega por abstracciones de objetos reales mediante la descripción de 
sus características principales, sino por un encadenamiento de operaciones lógicas que 
se realizan sobre dominios matemáticos preconstituidos. Entonces es permisible hablar 
de construcción matemática si tenemos en cuenta: 
 
a) que los objetos matemáticos cuya existencia se dice que ha sido construida 
presuponen modos previos de existencia, y 
 
 
19 José Ferreirós (ed)(1998): Richard Dedekind: ¿Qué son y para qué sirven los números? y otros escritos sobre los 
fundamentos de la matemática. Alianza Editorial, Madrid. 
20 Pierre Cassou-Noguès (2001). De la expérience mathématique. Essai sur la philosophie des sciences de Jean 
Cavaillès. Vrin, Paris. 
 14 
b) que el contenido de estos “constructos” no es homogéneo con algún material 
originario. 
 
Nosotros creemos firmemente que una historia de las matemáticas con este enfoque, 
contribuye a la comprensión de lo simple de la definición formal recreando las 
características objetivas de la actividad matemática constructiva. Estamos convencidos 
que el efecto educativo de esta estrategia es muy superior al de aquellas didácticas que 
se fundamentan en exhibir situaciones concretas que justifican la definición formal. Esta 
modalidad de apropiación de la historia es objeto en este momento de las más fecundas 
investigaciones en enseñanza de las matemáticas a nivel internacional. Rudolf Bkouche 
ha resaltado la importancia de esta historia particularmente en cuanto la inteligibilidad 
de lo simple de la construcción estructural se logra en el contexto de la comprensión 
global de la actividad matemática constructiva. 
 
La siguiente cita de Bkouche me permite reencontrar la pregunta de la introducción de 
esta charla, sobre el tipo de historia de las matemáticas más apropiada para la formación 
de pensamiento matemático: 
 
“Es justamente el rol de una reflexión epistemológica sobre la significación de la 
simplicidad en la ciencia lo que puede permitirle a quien enseña de tomar en cuenta en 
su enseñanza la construcción de esta simplicidad y conducir a quienes son enseñados a 
comprender el sentido de esta simplicidad, a comprender hasta qué punto la 
construcción de esta simplicidad es difícil, pero a comprender también por qué vale la 
pena echarse encima tal dificultad”
21. 
 
 
 
5. OBJETIVIDAD Y APROPIACIÓN DE TEORÍAS EN CONTEXTOS 
DIVERSOS: UNA HISTORIA DUAL PARA LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA 
 
Los historiadores y los educadores interesados en la formación de pensamiento 
matemático en entornos concretos, sabemos muy bien que los estudios históricos 
regionales le proporcionan al educador matemático motivos inspiradores para su 
quehacer, en cuanto permiten apreciar, por ejemplo, los esfuerzos de nuestros 
antecesores para viabilizar en colegios y universidades una enseñanza de las 
matemáticas de acuerdo con el ideal de rigor antes mencionado. 
 
En búsqueda de la respuesta más adecuada a los interrogantes planteados en la 
Introducción de este trabajo, hay que señalar que en estos últimos veinticinco años 
hemos producido con varios colegas de la región diferentes estudios sobre distintos 
episodios de la formación de cultura matemática en los fundamentos rigurosos del 
análisis en Colombia y otros países. Voy a referirme a uno de mis trabajos más recientes 
en esta línea que viene a complementar mis preocupaciones filosóficas y 
epistemológicas de carácter general sobre objetividad matemática y constitución de 
objetos matemáticos. Se trata de una investigación sobre la enseñanza del ingeniero 
Jorge Acosta Villaveces en la Facultad de Matemáticas e Ingeniería durante los años 
1930 y 1940, la cual tiene como hecho significativo el haber dado lugar a la publicación 
 
21 Rudolf Bkouche (1997). Epistémologie, histoire et enseignement des mathématiques. For the learning of 
mathematics, vol. 17, n°1. february 1997 
 15 
del primer texto colombiano de Análisis Matemático en 1951 que más se aproximaba en 
su momento a un patrón moderno de rigor22. 
 
Durante los cien años que van desde que el ingeniero francés André Bergeron enseñó su 
curso de cálculo diferencial en el Colegio Militar de Bogotá, hasta la publicación del 
libro de Acosta en la Universidad Nacional de Colombia, se aclimató en el país una 
cultura sobre los fundamentos del análisis de corte esencialmente francesa. Los planes 
de estudio de los colegios e instituciones universitarias legitimaron esta influencia, por 
lo menos en lo que se refiere al último año de la formación en cálculo diferencial, 
integral, ecuaciones diferenciales (en épocas más recientes) y mecánica racional. En 
nuestras instituciones circularon textos de análisis de varias generaciones que venían 
precedidos del prestigio de haber sido empleados para la enseñanza en escuelas y 
facultades francesas. 
 
Sin embargo, las concepciones de los pioneros de esta enseñanza, las prácticas 
pedagógicasde naturaleza operatoria e instrumental, los débiles intercambios con los 
medios matemáticos internacionales, la precariedad de monografías y memorias 
originales en nuestras bibliotecas y la casi inexistente demanda interna de 
conocimientos avanzados en matemáticas puras y aplicadas, favorecieron que esta 
cultura llevara la impronta del libro más influyente del período estudiado por nosotros: 
el curso de Sturm, una obra de segunda generación en los fundamentos del análisis que 
si bien fue apropiada para la enseñanza del cálculo por parte de Garavito a comienzos 
del siglo XX, treinta y cuarenta años después ya no correspondía al patrón europeo de 
enseñanza moderna del análisis. 
 
El estudio de este anacronismo tiene la mayor importancia tanto para la historia como 
para la educación matemática en Colombia. Nos interesa indagar por las circunstancias 
en las cuales prevaleció la enseñanza del Sturm y no fue posible reemplazarla por cursos 
de tercera generación como el Goursat o el Humbert. Estos libros se encontraban de 
tiempo atrás en las bibliotecas públicas y privadas en donde nuestros profesores y 
estudiantes más aventajados los consultaron para su formación personal; pero no por 
ello se generó algún interés en apropiarse de tales obras para transformar 
cualitativamente las muy conservadoras prácticas pedagógicas. 
 
Una situación algo distinta se presentaba por la misma época en otros países 
latinoamericanos. En Perú, por ejemplo, en donde el estudio de las matemáticas en la 
Universidad Católica de Lima era entonces reconocido por su alto nivel, se publicó en 
1945 un completo curso en dos volúmenes de análisis matemático. Por su factura esta 
obra parece ubicarse en el nivel de tercera generación. Su autor, Cristóbal Losada y 
Puga, catedrático de esa universidad y célebre hombre público, se doctoró en ciencias 
matemáticas en la Universidad de San Marcos de Lima en 1923 con una tesis sobre 
teoría de curvas. También se graduó de Ingeniero de Minas en la Escuela de Ingenieros. 
Como resultado de la enseñanza de varios años en estas instituciones y en la 
Universidad Católica, produjo su Curso de Análisis Matemático, tal vez la más 
conocida de sus publicaciones. 
 
22 Luis Carlos Arboleda (2006). Los tratados franceses en la enseñanza del análisis en Colombia (1851-1951). 
Unión, Revista Iberoamericana de Educación Matemática, nº 8 (diciembre de 2006) 
http://www.fisem.org/paginas/union/revista.php IN: Wagner Rodríguez Valente (ed.): A matemática moderna nas 
escolas iberoamericanas. En prensa. 
 
 16 
 
En el prólogo, Losada y Puga explica que éste se originó en la necesidad de “poner al 
alcance de mis alumnos aquellos puntos teóricos que no suelen encontrarse tratados en 
los textos corrientes de cálculo”; se refiere a los fundamentos de la teoría de conjuntos, 
la teoría de los números reales y la teoría de funciones continuas. En particular reconoce 
las filiaciones de los capítulos de su tratado sobre las funciones continuas, con el “gran 
Cours d’Analyse Mathématique del maestro francés Édouard Goursat”. 
 
También dice haber consultado en la elaboración de su libro todos los tratados clásicos 
de análisis franceses que “como todos lo saben y reconocen, (es en esto) la maestra del 
mundo”. El curso de Losada y Puga responde al desideratum de su autor de presentar a 
sus alumnos en español “una exposición amplia y rigurosa del Análisis, que permita 
abordar primero el estudio de las obras monográficas y luego el de las memorias 
originales de los investigadores, así como por otra parte resolver las cuestiones –a 
menudo arduas- que plantean las ciencias aplicadas”. 
 
Sin embargo, una obra como la de Losada y Puga que en la introducción se reclamaba 
del paradigma francés de tratado moderno de análisis y que, tanto por la claridad y rigor 
de su exposición como por la calidad de su edición, aspiraba a justo título a servir de 
texto de enseñanza en el Perú y otros países, apela de hecho a principios intuitivos en la 
explicación de los fundamentos del cálculo, contraviniendo así el programa europeo de 
expresar tales fundamentos estrictamente en principios lógicos y aritméticos. 
 
Para el historiador y el educador matemático interesados en el desarrollo del 
pensamiento matemático formal en nuestros países, es significativo tener en cuenta 
casos de apropiación del patrón europeo de rigor con las libertades y el sentido práctico 
que imponían las circunstancias de nuestras instituciones de la época. Losada y Puga en 
Perú y Acosta Villaveces en Colombia, diseñaron y aplicaron estrategias pedagógicas 
apelando a la intuición geométrica de lo infinitesimal cada vez que ello les pareció 
necesario en la enseñanza, incluso siendo concientes de que al hacerlo iban en contravía 
de uno de los propósitos centrales del patrón de texto francés. 
 
Al educador matemático en nuestros países puede serle útil el tener en cuenta que, desde 
el punto de vista histórico, la cuestión de determinar el nivel de rigor de la organización 
del material de los cursos de cálculo diferencial e integral, ni mucho menos su 
aplicación en estrategias de enseñanza, admiten respuestas simples ni uniformes en 
contextos institucionales y profesionales tan diferentes como los de las universidades de 
Bogotá, Lima y París. 
 
En resumen, abogamos por el efecto pedagógico que tiene la combinación de al menos 
los tipos de historias de las matemáticas: la historia que apunta a reconocer las 
actividades de razonamiento que subyacen a la constitución de los objetos matemáticos, 
y los estudios históricos que explican las estrategias de formación de pensamiento 
matemático puestas en práctica en ciertos momentos significativos de la historia de 
educación en nuestros países. 
 
Creo que este el mismo punto de vista que hace veinticinco años nos permitía imaginar 
un programa de historia y educación matemática y ciencias que permitiera, de una parte 
tomar conciencia de la actividad de investigación matemática en general y, por otra 
parte, proveer recursos para recrear tal actividad en ambientes escolares. Esta historia 
 17 
por lo menos dual, puede abrir nuevas líneas de indagación para la investigación 
pedagógica, sobre todo en un momento en que se manifiesta tanta inconformidad entre 
los actores sociales de la educación por el fracaso de la institución escolar en el 
cumplimiento de las metas de formación de capacidades de pensamiento matemático 
autónomo en nuestros países, y cuando los propios docentes se debaten en toda suerte 
de insatisfacciones y perplejidades frente a las estrategias pedagógicas que movilizan en 
el aula, todas ellas subsidiarias de una didáctica de transmisión autoritaria de saberes 
seudoformales.