1 Funciones (introducción)

Vista previa del material en texto

Modalidad virtual
Matemática
UBA XXI – MÁTEMATICA - Funciones
1
FUNCIONES
Introducción Con frecuencia nos encontramos en situaciones en las que varias magnitudes están
relacionadas entre sí en el sentido en que los valores que toman algunas de ellas
dependen de los valores de las demás.
Por ejemplo:
• El precio total que pagamos por las fotocopias depende de la cantidad de
fotocopias.
• Los valores en que varía la longitud de una circunferencia dependen de su radio.
• La presión de un gas depende de la temperatura.
La relación entre dos magnitudes puede expresarse mediante una gráfica, tabla o
una fórmula.
Este gráfico se refiere al movimiento de un
corredor.
En el eje horizontal se representa el tiempo
(en horas) durante el cual el corredor se
desplaza.
En el eje vertical la velocidad promedio,
medida en km/h, que desarrolla el corredor
a medida que transcurre el tiempo.
En esta situación se relacionan dos variables: el tiempo y la velocidad promedio del
corredor. Observamos que a cada intervalo de tiempo le corresponde un único valor de
la velocidad.
• El tiempo transcurrido es la
variable independiente.
• La velocidad es la variable
dependiente.
• A cada valor de la variable
independiente (tiempo) le
corresponde un solo valor de la
variable dependiente (velocidad)
Representamos:
• La variable independiente sobre
el eje de abscisas (eje
horizontal).
• Y la variable dependiente sobre
el eje de ordenadas (eje
vertical).
En estos casos, es habitual decir que una magnitud varía en función de la otra.
En el ejemplo se puede decir que la velocidad promedio varía en función del tiempo.
O bien que la velocidad es función del tiempo.
Para que una relación entre dos variables sea una función es condición que a cada
valor de la variable independiente le corresponda un único valor de la variable
dependiente.
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática
UBA XXI – MÁTEMATICA - Funciones 2
No siempre una relación de dependencia entre magnitudes define una función
En el gráfico se representa la
temperatura media mensual de una
ciudad y el volumen de gas
consumido en la calefacción de
oficinas, entre los meses de marzo y
octubre.
La variable independiente es la
temperatura promedio y la variable
dependiente el gas consumido
mensualmente.
Se puede observar que para una
temperatura de 8 ºC el volumen de
gas consumido es de 25 m3.
Pero a una temperatura de 2 ºC le corresponde dos valores de gas consumido: 55 m3 y
60 m3. Ocurre algo similar para una temperatura de 14 ºC.
Por otra parte, para otras temperaturas, como 3 ºC; 5 ºC ó 12 ºC, no les corresponde
ningún valor de gas consumido.
Esta relación, no es una función, ya que a algún elemento de la variable independiente
le corresponde más de uno de la variable dependiente o ninguno.
Definición Dados dos conjuntos A y B, se llama función de A en B a una regla que a todo
elemento de A le hace corresponder uno y sólo uno elemento de B.
Una función queda determinada por:
• El conjunto A, que se denomina dominio.
Puede ser numérico o no, finito o infinito.
Está formado por todos los valores que toma la variable independiente.
Se lo simboliza mediante Dom (f).
• El conjunto B, que se denomina codominio.
El codominio de la función contiene a todos los valores que puede tomar la variable
dependiente. Es el conjunto que contiene a todos los valores que puede tomar la
función.
• Una ley que a cada elemento del domino A le hace corresponder un único
elemento del codominio B. Esta ley puede presentarse en un gráfico en una tabla
o mediante una fórmula.
Para designar una función f que tiene dominio A y codominio B se utiliza
generalmente la notación:
f: AB
 Cada elemento y del codominio que está asociado a un elemento x del dominio
de la función se llama imagen de x y se escribe y = f(x).
La notación y = f(x) expresa que “y es imagen por f de x”
 Al conjunto formado por todas las imágenes de los elementos del dominio de f se
lo llama imagen de f y se lo simboliza Imf.
Im f = {yB / existe x A con f(x) = y}
El conjunto imagen está contenido en el codominio de la función.
V
ol
um
en
G
as
(e
n
m
3 )
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática
UBA XXI – MÁTEMATICA - Funciones 3
Otras formas
de definir una
función
Funciones
definidas por
tablas
En los ejemplos trabajamos con gráficos para mostrar cómo se relacionaban las
variables.
Una función también puede definirse mediante una tabla donde se registra
explícitamente cuál es el valor de la variable dependiente que corresponde a cada valor
de la variable independiente.
Ejemplo 1.
Un globo sonda lleva incorporado un termómetro para medir las temperaturas (en
grados centígrados) a distintas alturas (en metros) desde el nivel del mar y hasta los
2400 metros.
Algunos registros de estas mediciones se muestran en la tabla, donde llamamos x a la
altura del globo con respecto al nivel del mar, e y a la temperatura a dicha altura.
x 10 100 200 500 1000 2400
y 9,95 9,5 9 7,5 5 -2
Observando la tabla es posible realizar algunos comentarios:
 los registros se muestran desde los 10 metros a los 2400 metros sobre el nivel del
mar.
 a mayor altura es menor la temperatura,
 a 100 metros de altura, la temperatura es de 9,5 ºC
 cuando el termómetro marca 9ºC, la altura es de 200 metros sobre el nivel del mar.
Pero no podemos saber cuál es la temperatura cuando el globo está por ejemplo a 400
metros de altura sobre el nivel del mar, aunque supongamos que es menor que cuando
el globo está a 500 metros. Ni tampoco a qué altura la temperatura es de 0ºC.
En definitiva, la tabla sólo aporta información parcial, sobre todo si la función está
definida para todos los valores intermedios a los dados.
Funciones
definidas
mediante
fórmulas
Ejemplo 2.
Sin embargo, si en vez de tener una tabla, se nos dice que la temperatura a distintas
alturas sobre el nivel del mar, varían mediante la expresión:
10x
200
1
)x(f 
lograríamos mayor información.
Por ejemplo, podríamos representar la variación de la temperatura desde el nivel del
mar hasta los 2400 metros:
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática
UBA XXI – MÁTEMATICA - Funciones 4
Y contestar a las preguntas que no pudimos contestar antes:
 ¿qué temperatura marcará e termómetro a 400 m?
 ¿a qué altura la temperatura es de 0ºC?
Veamos :
 ¿qué temperatura marcará el termómetro a 400 m?
Como la altura es la variable independiente (x), para hallar la temperatura a esa
altura hacemos:
8
102
10400
200
1)400(f



Ahora podemos decir que a 400 metros sobre el nivel del mar la
temperatura es de 8 º C.
 ¿a qué altura la temperatura es de 0ºC?
En este caso nos dan f(x) = y (la temperatura) debemos ver para qué valor de x
(altura) es y = f(x) = 0
Reemplazando en la fórmula
10x
200
10 
De donde
x2000
x200.10
x
200
1
10



Lo que significa que la altura es de 2000 metros sobre el nivel del mar cuando la
temperatura es de 0ºC.
Trabajemos sobre algunos ejemplos.
Ejemplo 3.
La función f está dada por el gráfico.
a) Determiná f(0); f(1); f(2); f(5)
b) Determiná el valor de x si f(x) = 0; f(x) = 1
Solución
a) Determiná f(0); f(1); f(2); f(5)
La información la tomamos del gráfico de f.
• f(0) indica el valor que toma la función cuando x = 0. Es la ordenada al origen y su
imagen está sobre el eje y.
f(0) = -1 (equivale a decir que la ordenada al origen es –1).
En el gráfico, le corresponde el punto (0; -1)
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática
UBA XXI – MÁTEMATICA - Funciones 5
f(1) indica el valor que toma la función cuando x = 1. En este punto el gráfico corta al eje
de abscisas. Esto significa que x = 1 es un cero de la función.
Luego f(1) = 0.
El punto sobre el gráfico es (1; 0)
• Para hallar f(2) y f(5) nos ayudarnos, dibujando segmentos de recta paralelos al eje de
ordenadas, hasta cortar la gráfica de la función y segmentos de rectas paralelos al eje
de abscisas hasta cortar al eje de ordenadas.
En el gráfico se marcaron los puntos que
quedan determinados.
Se ve que, aproximadamente:
f(2) =1 y f(5) = 0,5
b) Determiná el valor de x si f(x) = 0; f(x) = 1
 Encontrar los x tales que f(x) = 0 significa encontrar los elementos del dominio para
los que la función es igual a cero.
Se presentan dos casos:
f(x) = 0 para x1 = 1 y para x2 = 6
que son los puntos de intersección de la
gráfica con el eje de abscisas, y además
x1 = 1 y x2 = 6 son los ceros de la función.
 Para encontrar los x tales que f(x) = 1 nos ayudamos con rectas paralelas a los ejes.
Encontramos que para x = 2 y x = 4 es f(x) = 1.
Ejemplo 4.
Si f (x) = x3 – 5x + 1 decidí si pertenecen al grafico de la función los puntos:
a) (-1; 5) b) (2; 1)
Solución:
a) Si el punto (-1; 5) pertenece al gráfico de la función, entonces cuando
reemplazamos en la fórmula por x = -1 debemos encontrar que f(-1) = 5.
Lo hacemos:
f(-1) = (-1)3 – 5(-1) + 1
= -1 + 5 + 1
= 5
Entonces como f(-1) = 5, el punto (-1; 5) pertenece al gráfico de f.
b) Del mismo modo resolvemos para el punto (2; 1)
f(2) = 23 – 5. 2 + 1
= 8 – 10 + 1
= -1
Entonces como f(2) = -1 el punto (2; 1) no pertenece al gráfico de f.
(el que sí pertenece es el punto (2; -1)
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática
UBA XXI – MÁTEMATICA - Funciones 6
Antes de continuar …
Precisamos
conceptos  Para designar una función f que tienedominio en A y codominio en B se
utiliza la siguiente notación:
f: A B
Se lee “f de A en B”
 En general simbolizaremos con x a los
elementos del dominio, y con y a los
elementos del codominio.
 El dominio de una función f es el
conjunto de valores que puede tomar
x.
• Cada elemento y que está asociado a
un elemento x del dominio de f se
denomina imagen de x y se simboliza
f(x) = y
Se lee la imagen de x mediante la
función f es igual a y.
• A x se la denomina preimagen de y.
• El conjunto formado por todas las
imágenes de los elementos del dominio
de f se llama conjunto imagen de f o
simplemente imagen de f y se
simboliza Im(f).
• El conjunto imagen está contenido en
el codominio de f.
Importante Para que una relación entre dos conjuntos A y B sea una función se deben cumplir dos
condiciones:
 Para todo elemento x de A existe y en B tal que f(x) = y (condición de
existencia)
 La imagen de x mediante la función f es única (condición de unicidad). Es
decir:
f(x) = y1 y f(x) = y2 entonces y1 = y2
Ejemplo 5.
Hallar el dominio de las siguientes funciones.
a) f(x) = -3x + 2
b) x)x(f 
c) f(x) = x - x-1
d)
2x
3)x(f


Solución
Recordemos que el dominio de una función f es el conjunto de valores que puede
tomar x.
a) f(x) = -3x + 2
Las operaciones que debemos hacer para hallar la imagen de cualquier x
del dominio son suma y multiplicación. Esta operaciones son válidas para
cualquier número real. Por lo tanto
Dom (f) =
● 
● 
● 
● 
*
*
f
● f(x1)
● f(x2)
x1
x2
A B
Im(f)
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática
UBA XXI – MÁTEMATICA - Funciones 7
b) x)x(f 
La raíz cuadrada sólo está definida para los números reales mayores o
iguales a cero. Por lo tanto el dominio de f es son los números reales
mayores o iguales a cero.
Dom(f) = {x/ x 0} = [0; +)
c) f(x) = x - x-1
Reemplacemos en la fórmula
x
1
porx 1 . Resulta:
x
1
x)x(f 
El primer término de la fórmula podemos reemplazarlo por cualquier número
real.
Pero, el segundo término expresa una división y como no podemos dividir
por cero, cero no pertenece al dominio de la función. Luego
Dom(f) = - {0}
d)
2x
3)x(f


La raíz cuadrada está definida para los números reales mayores o iguales
que cero.
Para nuestra función esto se traduce en resolver la inecuación
0
2x
3


Recordamos por lo visto en inecuaciones que
)0b0a()0b0a(0
b
a 
Usando esta propiedad, planteamos:
( 3 0  x – 2 > 0)  ( 3 0  x – 2 > 0)
Y resolvemos
3 0
se cumple para
todo número real x .
Y x – 2 > 0 se
cumple si x > 2
Luego
S1 = (2; +)
3 0
es falso para
cualquier número
real.
Luego es
S2 = 
Por lo que la solución de la inecuación es S = (2; +)
Luego es:
Dom(f) = S1 = (2; +)
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática
UBA XXI – MÁTEMATICA - Funciones 8
Ejemplo 5.
Se afirma que la siguiente relación es una función ¿es cierta esta afirmación? Justificá la
respuesta.
9x
x
)x(f;:f
2 

Solución
El dominio de la relación son los números reales pero la fórmula que la define es
una división por lo que para que esté definida debe ser x2 – 9 distinto de cero ya
que no podemos dividr por cero.
Y esto es cierto si x es distinto de 3 y x distinto de -3, con lo que para que sea
función el dominio debería ser:
Dom(f) = – {-3; 3}
Luego la afirmación es falsa.
Ejemplo 6.
Determinar cuáles de las siguientes gráficas corresponden a una función f: .
a) b)
c) d)
Solución
Para que un gráfico represente una función, debemos tener en cuenta que se verifiquen
las condiciones de existencia y unicidad:
 Para todo elemento del dominio (), exista un elemento del codominio ()
relacionado con él. (Existencia)
 Un elemento del dominio esté asociado con sólo un elemento del codominio.
(Unicidad).
Gráficamente, para determinar si para cada elemento del dominio existe un único
valor del codominio relacionado con él, trazamos rectas paralelas al eje de
ordenadas (eje y) por todos los valores del dominio. Si todas cortan a la curva y lo
hacen en un solo punto, entonces la gráfica corresponde a una función.
De acuerdo con lo anterior, respondemos:
x
y
a b c d
x
y
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática
UBA XXI – MÁTEMATICA - Funciones 9
a) La recta paralela al eje y que pasa por uno de loselementos del dominio corta a la gráfica en dos
puntos.
Luego, la gráfica no representa una función f:  ,
ya que no se cumple la condición de unicidad.
b) Vemos en el gráfico, que si a y b son elementos del
dominio, a la izquierda de a, cualquier recta paralela al
eje y que dibujemos no corta a la curva. Lo mismo
ocurre a la derecha de b.
Por lo tanto hay elementos del dominio para los
cuales no está definida la relación (no se cumple la
condición de existencia). Por lo que el gráfico no
representa una función de en .
c) Por cada elemento del dominio podemos dibujar una
recta que corta a la gráfica en un solo punto.
Por lo que se cumplen las dos condiciones: existencia
y unicidad.
Por lo que el gráfico representa una función f: .
d) Este caso es similar al segundo. Al dibujar rectas
paralelas a la izquierda de a y a la derecha de d las
mismas no cortan al gráfico.
Por lo que no se cumple la condición de existencia y
afirmamos que el gráfico no representa una función
de  .
Ejemplo 7 1
Sea
x31
1x2)x(f


a) Calcular el dominio de f
b) Si el punto (5; a) pertenece al gráfico de f calcular a
c) Decidir si – 2 pertenece al Imf
Solución
a) Calcular el dominio de f
La fórmula de f está dada por una expresión decimal, por lo que para que la
función esté definida debe ser el denominador distinto de cero.
Por tanto debe ser 1 + 3x distinto de cero, y esto es cierto para x distinto de
3
1
Entonces el Dom(f) =






3
1
1 De Matemática Práctica, CBC, Enseñar Ciencia, Edit CCC; Buenos Aires, 2004
x
y
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática
UBA XXI – MÁTEMATICA - Funciones 10
b) Si el punto (5; a) pertenece al gráfico de f calcular a
Si el punto (5; a) pertenece al gráfico de f entonces se cumple que f(5) = a .
(Equivale a encontrar la imagen de 5 mediante la función f )
Luego
a
5.31
15.2)5(f 


Y resolvemos
a
16
9
151
110)5(f 


Entonces si el punto (5; a) pertenece al gráfico de f debe ser a
16
9 
c) Decidir si – 2 pertenece al Imf
Debemos ver si existe algún x del dominio de f para el que es f(x) = -2
Hacemos
2
x31
1x2



Y resolvemos la ecuación.
Como es 1 + 3x distinto de cero (por el ítem a) se puede multiplicar miembro a
miembro por 1 + 3x. Y queda:
2x – 1 = -2 (1 + 3x)
2x – 1 = - 2 – 6x
2x + 6x = -2 + 1 Agrupando términos semejantes.
8x = -1
8
1x  Dividiendo miembro a miembro por 8
Entonces para
8
1x  es f(x) = -2 (verificarlo)
Ceros de una
funciónCeros de una función
Los ceros o raíces de una función son
aquellos valores del dominio cuya
imagen es cero.
x es un cero de f  f(x) = 0
Al conjunto de los ceros de una
función lo denotamos C0:
C0 = {xDom(f) /f(x) = 0}
Gráficamente son los puntos en los
que la curva interseca al eje x. Las
abscisas de estos puntos se llaman
ceros de la función.
Por ejemplo, en la función del gráfico es
0)1(f
2
1f)1(f 





El conjunto de ceros es:





 1;
2
1
;1C0
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática
UBA XXI – MÁTEMATICA - Funciones 11
Ejemplo 8.
Damos los ceros para cada una de las siguientes funciones
a)
Esta función tiene 4 ceros ya que la
gráfica corta al eje de abscisas en 4
puntos.
Los ceros de esta función son:
x1 = -4 x2 = -1 x3 = 2 x4 = 3
b)
Esta función tiene 2 ceros.
En los puntos de abscisas -1 y 1 la
imagen es cero:
f(-1) = f(1) = 0
Entonces os ceros de esta función son:
x1 = - 1 x2 = 1
c)
Esta función no tiene ceros.
No hay ningún elemento del dominio
cuya imagen sea cero.
Ejemplo 9.
Encontrá los ceros de las siguientes funciones.
a) f(x) = 3x – 5 b) f(x) = x3 – x2 c) 4
x
12)x(f  d)
xx
x)x(f
2 

Solución
Recordamos que los ceros de cada función son los valores de x para los que f(x) = 0
a) f(x) = 3x – 5
Debemos resolver la ecuación 3x – 5 = 0
3
5x5x305-3x 
(Sumamos primero 5 a ambos miembros y luego dividimos por 3)
El único cero de la función es
3
5x  ya que 05
3
5.3
3
5f 





Observación
Una función puede
tener un cero, varios
ceros o ninguno.
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática
UBA XXI – MÁTEMATICA - Funciones 12
b) f(x) = x3 – x2
Debemos resolver la ecuación x3 – x2 = 0
Escribimos
x3 – x2 = x2 (x – 1) = 0
Para que el producto de varios factores sea cero debe ser algunos de los factores
igual a cero.
f(x) = 0  x2 = 0 ó x – 1 = 0  x = 0 ó x = 1
Los ceros de la función son:
x1 = 0 y x2 = 1
(Conviene verificarlo)
c) 4
x
12)x(f 
En la resolución de los dos ítems anteriores no tuvimos en cuenta el dominio ya
que dimos por supuesto que las funciones estaban definidas para cualquier
número real y así es.
En este caso, en la fórmula tenemos una expresión racional en cuyo denominador
está la variable x. Como no podemos dividir por cero, el dominio de la función es:
Dom(f) =  - {0}
Ahora sí, resolvemos la ecuación 04
x
12

4
x
12
04
x
12

Multiplicamos por x a ambos lados ya que x 0
x34:x44:12x412
x4x.
x
12
4
x
12


luego x = 3 es un cero de la función.
(Observar que verifica la condición de ser x 0)
d)
xx
x)x(f
2 

Comencemos por encontrar el dominio de la función. Para que esté definida debe
ser x2 + x distinto de cero.
Como x2 + x = 0 para x = 0 y x + 1 = 0; ya que x2 + x = x( x+ 1) el dominio de f es
Dom(f) =  - {0; -1}
Ahora resolvemos la ecuación: 0
xx
x
2


Para que el cociente sea cero debe ser el numerador igual a cero, esto es debe
ser x = 0.
Pero esto no es posible ya que 0 no pertenece al dominio.
Luego la función no tiene ceros.
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática
UBA XXI – MÁTEMATICA - Funciones 13
Conjuntos de positividad y negatividad
El conjunto de positividad (C+) de una
función es el subconjunto del dominio
cuyas imágenes son números positivos.
0}f(x)/Dom(f){xC 
Gráficamente son los elementos del
dominio para los que la curva se
encuentra por encima del eje x.
El conjunto de negatividad ( C ) de una
función es el subconjunto del dominio
cuyas imágenes son números negativos.
0}f(x)/Dom(f){xC 
Gráficamente son los elementos del
dominio para los que la curva se
encuentra por debajo del eje x.
Para la función del gráfico es Dom(f ) = 
Con rojo señalamos los elementos del
dominio para los que la imagen es
mayor que cero.
);1(
2
1;;1C 




Con naranja señalamos los elementos
del dominio para los que la imagen es
menor que cero.
  



 1;
2
1
1;C
Observar que los extremos de los intervalos no pertenecen a los conjuntos de positividad y
negatividad, porque en ellos la función es cero.
Ejemplo 10
Hallá analíticamente los conjuntos de positividad y negatividad de las siguientes funciones.
a) f(x) = |x + 2| b) f(x) = x2 – 1
Solución
Para hallar los conjuntos de positividad y negatividad de la función debemos hallar los
elementos del dominio en los que es, respectivamente
f(x) > 0 y f(x) < 0
a) f(x) = |x + 2|
Para hallar el conjunto de positividad planteamos
f(x) > 0  |x + 2| > 0
Por definición de módulo sabemos que |a| 0 para todo número real a.
Entonces es |x + 2| 0 para todo número real. Por lo que es Dom(f) = 
Nos interesa cuáles son los elementos del dominio para los que es |x + 2| > 0.
Como para x = -2 es |x + 2| = 0, es |x + 2| > 0 para todo x distinto de -2.
Luego:
 2C 
Para hallar el conjunto de negatividad planteamos
f(x) < 0  |x + 2| < 0
Pero como el valor absoluto de un número real es siempre mayor o igual que cero,
esta inecuación no tiene solución. Por lo que es
C
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática
UBA XXI – MÁTEMATICA - Funciones 14
b) f(x) = x2 – 1
El dominio de la función son los números reales.
Para hallar el conjunto de positividad planteamos:
f(x) > 0  x2 – 1 > 0
Y resolvemos:
x2 – 1 > 0  x2 > 1
Tomando raíz cuadrada en ambos miembros es:
1|x|1x2 
Pero 1xó1x1|x| 
Por lo que es
);1()1;(C 
Para hallar el conjunto de negatividad planteamos:
f(x) < 0  x2 – 1 < 0
Y resolvemos:
x2 – 1 < 0  x2 < 1
Tomando raíz cuadrada en ambos miembros es:
1|x|1x2 
Pero 1x11|x| 
Por lo que es
)1`;1(C 
Noción de continuidad
Las funciones representadas a continuación, muestran una diferencia: la primer función
tiene un salto en los valores de y, mientras que en la segunda no lo hay.
Las funciones que presentan saltos en los
valores de y son funciones discontinuas.
Las funciones que no presentan saltos en
los valores de y son funciones continuas.
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática
UBA XXI – MÁTEMATICA - Funciones 15
Ejemplo 11.
Hacer un gráfico aproximado de la función f: si se sabe que:
a) f es continua.
b) f(-2) = 2; y f(2) = 3
c) Los únicos ceros de f son –1 y 1.
d) Im(f) = [0; + )
Solución
Que f(-2) = 2 significa que el punto
(-2; 2) pertenece a la gráfica de f.
Y f(2) = 3 significa que el punto ( 2; 3)
pertenece a la gráfica de f.
Además si los únicos ceros de f son
–1 y 1, la gráfica interseca al eje de
abscisas en los puntos (-1; 0) y
(1; 0).
Ubicamos estos puntos en un sistema de
ejes coordenados.
Sobre el eje de ordenadas marcamos el
conjunto de imágenes: Im(f) = [0; + ).
Como las imágenes de f son siempre
mayores o iguales que cero, la gráfica de
f nunca va a estar por debajo del eje x.
Además la gráfica tiene dos puntos de
intersección con el eje x (sólo toca al eje
y vuelve a quedar sobre él).
Teniendo en cuenta lo anterior una posible
solución es la que mostramos en el gráfico.
-2 -1 1 2
2
3
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática
UBA XXI – MÁTEMATICA - Funciones 16
Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Un intervalo A incluido en el dominio
de la función es un intervalo de
crecimiento de la función si para todo
x1; x2 que pertenecen a A, y x1< x2 es
f(x1) < f(x2)
Análogamente un intervalo B incluido
en el dominio de la función es un
intervalo de decrecimiento de la misma
si para todo x1; x2 que pertenecen a A,
y x1< x2 es f(x1) > f(x2).
Dom f = [-3; 3]
La función crece en los intervalos
(-2; 0) y (2; 3)
Y decrece en los intervalos
(-3; -2) y (0; 2)
Decimos
La función f de A en  (donde A es
un subconjunto de ) se dice que
es creciente si al aumentar los
valores de la variable x también
aumentan los valores de f(x).
f: A   es creciente si se verifica
que para todo x1, x2 pertenecientes
al dominio de la función, si x1< x2 es
f(x1) < f(x2).
La función f de A en  (donde A es
un subconjunto de ) se dice que
es decreciente si al aumentar los
valores de la variable x disminuyen
los valores de f(x).
f: A   es decreciente si se
verifica quepara todo x1, x2
pertenecientes al dominio de la
función, si x1< x2 es f(x1) > f(x2).
Dom(f) = 
La función f es creciente en todo su
dominio.
Dom(f) = -{0}
La función f es decreciente en todo
su dominio.
Dom(f) =  Esta función no es creciente ni
decreciente.
Para algunos intervalos del dominio
es:
Decreciente: si x(-2; 0)
Creciente: si x(-; -2)  (0; +)
Constante en (-; -2) (todos los
elementos del dominio tienen la
misma imagen)
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática
UBA XXI – MÁTEMATICA - Funciones 17
Maximos y mínimos de una función
• Maximo absoluto: Consideremos un x0 en el dominio de f. Decimos que f tiene
un máximo absoluto en x0 si f(x0) f(x) para todos los x del dominio.
• Máximo relativo: Decimos que f tiene un máximo relativo (o local) en x0 que
pertenece al dominio de f, si puede encontrarse un intervalo al que pertenece x0
en donde f(x0) f(x) para todos los x del intervalo.
• Mínimo absoluto: Dado x0 en el dominio de f decimos que f tiene un mínimo
absoluto en x0 si f(x0) f(x) para todos los x del dominio.
• Mínimo relativo: Decimos que f tiene un mínimo relativo (o local) en x0 que
pertenece al dominio de f, si puede encontrarse un intervalo en donde f(x0) f(x)
para todos los x del intervalo.
La función tiene un
máximo absoluto en
x = 1.
La función no tiene
máximo ni mínimo
absoluto.
La función tiene un mínimo
absoluto en x = 0
La función f tiene
• Un máximo absoluto en x = 0.
• Máximo relativo en x = -2, en x = 3
y en x = 0.
• Mínimo relativo en x = -1 y en x = 2
UBA XXI Modalidad virtual
Matemática
UBA XXI – MÁTEMATICA - Funciones 18
Ejemplo 12
Una cierta función f es creciente. Su dominio es [-4; 3] y su imagen [2; 5].
a) Calcular f(-4) y f(3).
b) La función ¿alcanza un valor máximo? ¿Y un valor mínimo? En caso
afirmativo señalar para qué valores de x.
¿Hay una única función con esta característica?
Solución
Marcamos sobre los ejes:
 el dominio de la función: [-4; 3]
 la imagen de la función: [2; 5].
a) La función f es creciente, luego para todo
x1, x2 pertenecientes al dominio de la
función, si x1< x2 es f(x1) < f(x2).
Como x1 = - 4 es el menor elemento del
dominio (porque es el extremo inferior del
dominio de f) debe ser f(-4) menor o igual
que cualquiera de las imágenes de los
demás elementos del dominio.
Y como el menor valor que toman la
imágenes es 2, es f(-4) = 2
Razonando en forma similar afirmamos que
f(3) = 5
b) La función alcanza su valor mínimo en el extremo inferior del intervalo [-4; 3], o sea en
x = - 4 y su valor máximo en el extremo superior del mismo, para x = 3.
Las coordenadas del punto mínimo son: (-4; 2). Lo anotamos así:
Mín= (-4; 2)
Las coordenadas del punto máximo son (3; 5). Lo anotamos así:
Máx= (3; 5)
c) La función no es única. Dos ejemplos se muestran en los siguientes gráficos.