1_Límites de funciones

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1. LÍMITES DE FUNCIONES
CÁLCULO DIFERENCIAL 
FIM / BMA01
jganoza
Índice
1.1. Vecindad, entorno. Punto de acumulación. Punto aislado. 
Aplicaciones.
1.2. Definición de límite. Límite de: suma, producto y cociente de 
funciones.
1.3. Límites laterales. Teoremas sobre límites.
1.4. Existencia y unicidad del límite. Límites trigonométricos.
Historia
Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos
XVII y XVIII, la notación moderna del límite de una función
se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases
de la técnica épsilon() – delta(). Sin embargo, su trabajo
no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso
límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber
expresado la esencia de la idea, pero no de una manera
sistemática. La primera presentación rigurosa de la técnica
hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850 y 1860
y desde entonces se ha convertido en el método estándar
para trabajar con límites. La notación de escritura usando
la abreviatura lim con la flecha debajo es debida a Hardy
en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.
Fuente: Wikipedia
Vecindad
Se llama vecindad de centro en x0 y radio , con
>0 al intervalo abierto de centro x0 y extremos
x0 -  y x0 + ; se denota por V (x0) y define por:
V (x0) = { x  R/ x0 -  < x < x0 + }
Ejemplo. Sea  = 0.5 y x0 = 4, su vecindad es:
Ejemplo. Determine  y x0 para el intervalo 
abierto < -1, 2>
Vecindad o entorno
Se llama entorno del punto x0 a cualquier 
conjunto o intervalo abierto que contenga a x0. 
Esto implica que x0 no es necesariamente el 
punto medio del intervalo abierto. Se le denota 
por N(x0).
Ejemplo. Dada la función f(x) = 3x - 4, ¿Es 
posible que si x V0.5(4)  f(x)  V0.8(9)?
Vecindad reducida
Es el conjunto resultante de quitarle el punto
central x0 a la V’(x0).
La vecindad reducida de centro en x0 y radio ,
con >0; se denota y define por:
V’ (x0) = { x  R/ x0 -  < x < x0  x0 < x < x0 + }
Es decir:
x  < x0-, x0 > U < x0, x0+ >
Para cada  > 0 existe un  > 0 (que depende 
de  y x0 ) tal que:
[ 0 < |x – x0| <   x  Df ]  |f(x) – L|< 
Punto de acumulación
X0 que no necesariamente pertenece al Dom f, es punto de acumulación del conjunto A=Dom f si
toda vecindad V (x0) contiene puntos x1 del Dom f, diferentes de x0.
Ejemplo. Si x0 = 2 y A = <2, 4>. ¿Es x0 punto de acumulación de A = <2, 4>?
Solución:
AV’ (2) = <2, 4> {< 2-, 2> <2, 2+>}
AV’ (2) = {<2, 4> < 2-, 2>} {<2, 4> <2, 2+>}
AV’ (2) = <2, > /  = min {4, 2+}
Si 0 <  < 1
AV’ (2) = <2, 2+>    x0 = 2 Es punto de acumulación de A.
Punto de acumulación
X0  R es punto de acumulación del dominio de f (Dom f = A  ) si todo intervalo abierto que
contiene a x0 también contiene un punto x, distinto de x0, del dominio de f. Es decir:
x0 R es P.A. de Dom f = A   x0 <a,b>  x  <a,b>, x  x0 / x  A.
Ejemplo. Si x0 = 2 y A = {0, 1, 2, 3, 4}. ¿Es x0 punto de acumulación de A?
Solución:
AV’ (2) = {0, 1, 2, 3, 4} {< 2-, 2> <2, 2+>} / 0 <  < 1
AV’ (2) = {{0, 1, 2, 3, 4} < 2-, 2>} {{0, 1, 2, 3, 4} <2, 2+>}
AV’ (2) = =
Por lo tanto; x0 = 2 NO es punto de acumulación de A.
Otra forma que complementa lo anterior es la siguiente:
Con: 0 <  < 1 0 > - > -1 1 < 2- < 2 Entonces {0, 1, 2, 3, 4} < 2-, 2> =
Con: 0 <  < 1 2 < 2+ < 3 Entonces {0, 1, 2, 3, 4} <2, 2+> =.
Por lo tanto; x0 = 2 NO es punto de acumulación de A.
Definición de límite de una función
lim f(x) = L  {   > 0,   > 0 / x – x0 <   f(x) – L <  }
x  x0
Sea f una función con dominio Df, y x0 es 
punto de acumulación de este dominio. 
Donde x0 Df  x0 Df; entonces tomando 
valores arbitrarios de ε, podemos elegir un δ 
para cada uno de estos, de modo que f(x) 
y L se acerquen a medida que x tiende a x0 .
Se tendrá que δ = f(ε).
Ejercicios. Empleando la definición de límite demostrar que:
Propiedades de los límites (leyes de los límites)
Sean las funciones f y g, x0 un punto de acumulación de DfDg y “c” 
una constante.
1. lim [f(x)  g(x)] = lim f(x)  lim g(x)
xx0 xx0 xx0
2. lim [c . f(x)] = c . lim f(x) 
xx0 xx0 
3. lim [f(x) . g(x)] = lim f(x) . lim g(x)
xx0 xx0 xx0
Propiedades de los límites (leyes de los límites)
Sean las funciones f y g, x0 un punto de acumulación de DfDg y “c” una 
constante.
4. lim [f(x) / g(x)] = lim f(x) / lim g(x) ; Si lim g(x)  0
xx0 xx0 xx0 xx0
5. lim [ f(x) ]
n
= [ lim f(x) ]
n
;  n Z
+
xx0 xx0
6. lim [ c ] = c
xx0
7. lim x
n
= x
0
n Y lim
n
 x = 
n
 x
0 
;  n Z
+
xx0 xx0
Propiedades de los límites (leyes de los límites)
Sean las funciones f y g, x0 un punto de acumulación de DfDg y “c” 
una constante.
8. lim
n
 f(x) = 
n
 lim f(x) ;  n Z+
xx0 xx0
9. lim |f(x)| = | lim f(x) |
xx0 xx0 
10. Si f(x) = an.x
n + an-1.x
n-1 + an-2.x
n-2 + ………+ a0;
con ai independiente de x e i  N 
lim f(x) = an.x0
n + an-1.x0
n-1 + an-2.x0
n-2 + ………+ a0
xx0
Límite de la forma indeterminada 0/0
El problema tiene su origen al pretender determinar
el valor de una expresión de la forma F(x)/G(x)
cuando x = x0, pero al reemplazar se tiene F(x0) =
G(x0) = 0.
El interés radica en examinar el cociente F(x)/G(x)
cuando x x0.
Ya que x  x0 entonces x - x0 0 siendo (x - x0) el
factor que genera la indeterminación. Por ello
debemos formular las expresiones como sigue:
F(x) = (x - x0) f(x)
G(x) = (x - x0) g(x)
Ejercicios. Calcular los límites siguientes:
Ejercicios. Calcular los límites siguientes:
Límites laterales
Límite por la derecha
El límite de la función f en x0
restringido al intervalo <x0, +> se
denomina límite de f(x) por la derecha
de x0.
Límite por la izquierda
El límite de la función f en x0 restringido al
intervalo <-, x0> se denomina límite de f(x)
por la izquierda de x0.
Teoremas
Teorema: Unicidad del límite
Si el límite de una función f(x)
existe cuando xx0, éste es
único.
Teorema del Sandwich
Sean f y g funciones reales de variable real y
x0 un punto de acumulación que pertenece
a Dom(f)Dom(g) si f(x) < h(x) < g(x) y
lim f(x) = L1 y lim f(x) = L2  L1 = L2
x  x0 x  x0
Teorema
lim f(x) = L y lim f(x0+h) = L 
x  x0 h  0
lim f(x) = lim g(x) = L  lim h(x) = L 
x  x0 x  x0 x  x0
Ejercicios. Calcular los límites siguientes:
Recordar que…
Conclusiones
• …
Referencias
• Zill, D. & Wright, W. Calculus. Jones & Barlett Publishers, 2011.
• Stewart, James. Cálculo de una variable 7E. Cengage Learning, 2012.
• Lázaro, M. & Castillo, A. Análisis matemático I. Ed. Moshera, 2017.
• Guichard, D. & Koblitz, N. Single variable calculus. Creative Commons,
2018.
• Wikipedia.
• https://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:S%C3%ADmbolos_matem%C3%
A1ticos
• Apuntes Piraeus university.