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MATEMÁTICAMATEMÁTICAMÁTICA Gerente editorial Daniel Arroyo Jefe del área de Matemática Gabriel H. Lagoa Autores Roxana Abálsamo Adriana Berio Cintia Kotowski Lourdes Liberto Silvana Mastucci Nora Quirós Foto Activados: Laura Pezzatti Corrector de estilo Gabriel Valeiras Coordinadora de Diseño Natalia Udrisard Diseñadora de maqueta Patricia Cabezas Diagramación Pablo Alarcón y Alberto G. Scotti para Cerúleo Ilustradores Wally Gómez Viñetas de humor: Claudio Kappel Fotografías Archivo de imágenes de Grupo Macmillan Thinkstock Gerente de Preprensa y Producción editorial Carlos Rodríguez Matemática 3. fotoactivados / Roxana Abálsamo ... [et.al.]. - 1a ed. 1a reimp. - Boulogne: Puerto de Palos, 2013. 256 p.: il.; 28 x 20 cm - (Activados) ISBN 978-987-547-529-8 1. Matemática. 2. Enseñanza Secundaria. I. Abálsamo, Roxana CDD 510.712 © Editorial Puerto de Palos S.A., 2013. Editorial Puerto de Palos S.A. forma parte del Grupo Macmillan. Av. Blanco Encalada 104, San Isidro, provincia de Buenos Aires, Argentina. Internet: www.puertodepalos.com.ar Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723. Impreso en Argentina. Printed in Argentina. ISBN 978-987-547-529-8 La presente obra se ha elaborado teniendo en cuenta los aportes surgidos de los encuentros organizados por el “Instituto Nacional contra la Discriminación, la Xenofobia y el Racismo” (INADI) con los editores de texto. No se permite la reproducción parcial o total, el almacenamiento, el alquiler, la transmisión o la transformación de este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante fotocopias, digitalización y otros métodos, sin el permiso previo del editor. Su infracción está penada por las leyes 11.723 y 25.446. Primera edición, primera reimpresión. Esta obra se terminó de imprimir en enero de 2014, en los talleres de Impresiones Sud América, Andrés Ferreyra 3769, Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina. Gerente editorial Daniel Arroyo Jefe del área de Matemática Gabriel H. Lagoa Autores Roxana Abálsamo Adriana Berio Cintia Kotowski Lourdes Liberto Silvana Mastucci Nora Quirós Foto Activados: Laura Pezzatti Corrector de estilo Gabriel Valeiras Coordinadora de Diseño Natalia Udrisard Diseñadora de maqueta Patricia Cabezas Diagramación Pablo Alarcón y Alberto G. Scotti para Cerúleo Ilustradores Wally Gómez Viñetas de humor: Claudio Kappel Fotografías Archivo de imágenes de Grupo Macmillan Thinkstock Gerente de Preprensa y Producción editorial Carlos Rodríguez Matemática 3. Fotoactivados. Versión para el docente / Roxana Abálsamo ... [et. al.]. - 1a ed. - San Isidro: Puerto de Palos, 2013. 256 p.: il.; 28 x 20 cm - (Activados) ISBN 978-987-547-532-8 1. Matemática. 2. Guía Docente. I. Abálsamo, Roxana CDD 371.1 © Editorial Puerto de Palos S.A., 2013. Editorial Puerto de Palos S.A. forma parte del Grupo Macmillan. Av. Blanco Encalada 104, San Isidro, provincia de Buenos Aires, Argentina. Internet: www.puertodepalos.com.ar Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723. Impreso en Argentina. Printed in Argentina. ISBN 978-987-547-532-8 La presente obra se ha elaborado teniendo en cuenta los aportes surgidos de los encuentros organizados por el “Instituto Nacional contra la Discriminación, la Xenofobia y el Racismo” (INADI) con los editores de texto. No se permite la reproducción parcial o total, el almacenamiento, el alquiler, la transmisión o la transformación de este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante fotocopias, digitalización y otros métodos, sin el permiso previo del editor. Su infracción está penada por las leyes 11.723 y 25.446. Primera edición. Esta obra se terminó de imprimir en febrero de 2013, en los talleres de F P Compañía Impresora, Beruti 1560, Florida, provincia de Buenos Aires, Argentina. MATEMÁTICA MATEMÁTICA Es una nueva propuesta que facilita el aprendizaje de la matemática a través de 711 actividades que favorecen la comprensión de los distintos temas. En formato binarizado, la sección Foto Activados conecta la matemática con la vida cotidiana a través de la fotografía. Foco y Mira son los personajes de esta serie. Les gusta mucho sacar fotos, principalmente de todo aquello que los hace recordar algún tema de matemática. Así, le encuentran sentido a todas las cosas que aprenden día a día en la escuela. Apertura: cada capítulo comienza con una actividad ilustrada relacionada con la foto que aparece en la sección Foto Activados. En la situación inicial de aprendizaje se introduce el tema del capítulo a través de una estrategia de resolución de problemas. En el cuadro de contenidos aparecen los temas numerados para su fácil identificación. InfoActiva: brinda definiciones, clasificaciones, procedimientos básicos y ejemplos de cada contenido que facilitan la comprensión. Conector: invita a repasar conceptos explicados en páginas anteriores. Test de comprensión: incluye preguntas básicas que permiten evaluar la comprensión de la teoría y revisar errores comunes. LOS CAPÍTULOS INCLUYEN LAS SIGUIENTES SECCIONES Y PLAQUETAS: Mira Foco todas las cosas que aprenden día a día en la escuela. Actividades: para cada tema se proponen distintas actividades que están organizadas de manera secuencial (las actividades de cada capítulo llevan una numeración independiente a la de los otros). menteACTIVA: propone situaciones problemáticas con un mayor nivel de complejidad. Integración: incluye más actividades para resolver en la carpeta. Autoevaluación: propone más actividades para que cada alumno pueda evaluar los conocimientos adquiridos durante el capítulo. Trabajos prácticos: incluyen más actividades para practicar los temas del capítulo. Foto ACTiVAdos: en esta sección, Laura Pezzatti, especialista en el área de la matemática, ofrece una serie de actividades que conectan la matemática con la vida cotidiana a través de la fotografía. Foco y Mira presentan las fotos que obtuvieron para que podamos advertir cuánta matemática hay a nuestro alrededor. foto Capítulo 1: NÚMEROS REALES ..................... 8 1. Números enteros. ................................. 9 2. Números racionales. ............................ 11 3. Operaciones con números racionales. 13 4. Potenciación y radicación. ................. 17 5. Operaciones combinadas. .................. 19 Integración .......................................... 23 6. Números irracionales. ......................... 25 7. Aproximación y notación científica. ... 27 8. Intervalos reales. ................................ 29 Integración .......................................... 31 Autoevaluación ................................ 33 Capítulo 2: LENGUAJE ALGEBRAICO .......... 34 9. Expresiones algebraicas. .................... 35 10. Propiedad distributiva. ....................... 39 11. Cuadrado y cubo de un binomio. ...... 41 Integración .......................................... 43 12. Ecuaciones I. ...................................... 45 13. Ecuaciones II. ..................................... 49 14. Problemas con ecuaciones. ................ 51 15. Inecuaciones. ...................................... 53 Integración .......................................... 55 Autoevaluación ................................ 57 Capítulo 3: FUNCIONES ............................. 58 16. Interpretación de gráficos. ................. 59 17. Función. .............................................. 61 18. Función lineal. .................................... 63 19. Ecuación de la recta. .......................... 67 20. Rectas paralelas y perpendiculares. .. 71 Integración .......................................... 73 21. Función cuadrática. ............................ 75 22. Resolución gráfica de los sistemas de ecuaciones. .................................... 77 23. Sistemas de ecuaciones. ....................81 Integración .......................................... 85 Autoevaluación ................................ 87 Capítulo 4: FIGURAS PLANAS .................... 88 24. Circunferencia y círculo. ..................... 89 25. Ángulos inscriptos y semiinscriptos. .. 91 26. Puntos notables de un triángulo. ...... 95 27. Teorema de Pitágoras. ....................... 97 Integración .......................................... 99 28. Propiedades de los cuadriláteros. .... 101 29. Propiedades de los polígonos. ........ 105 30. Construcciones geométricas. ............ 107 31. Perímetro y área. .............................. 109 Integración ......................................... 111 Autoevaluación ............................... 113 Capítulo 5: RAZONES Y PROPORCIONES . 114 32. Razones y proporciones aritméticas. 115 33. Propiedades de las proporciones. .... 119 34. Proporcionalidad directa e inversa. .. 121 Integración ........................................ 125 35. Teorema de Thales. .......................... 127 36. Aplicaciones del teorema de Thales. 131 37. Razones trigonométricas. ................. 133 38. Resolución de triángulos rectángulos. ...................................... 135 Integración ........................................ 139 Autoevaluación ............................... 141 Capítulo 6: CONGRUENCIA Y SEMEJANZA 142 39. Congruencia y semejanza. ................ 143 40. Congruencia de triángulos y de polígonos. ................................ 145 41. Semejanza de triángulos. ................. 149 42. Construcción de figuras a escala. .... 153 Integración ........................................ 155 Autoevaluación .............................. 157 Índice general Capítulo 7: MOVIMIENTOS EN EL PLANO .................................... 158 43. Traslación. ........................................ 159 44. Rotación. ............................................ 161 45. Simetría central. ............................... 163 46. Simetría axial. ................................... 165 47. Eje de simetría de figuras planas. ... 167 48. Composición de movimientos. ......... 169 49. Homotecia. ........................................ 173 Integración ........................................ 175 Autoevaluación .............................. 177 Capítulo 8: ESTADÍSTICA ......................... 178 50. Organización de la información. ...... 179 51. Frecuencias. ....................................... 181 52. Intervalos. ......................................... 183 53. Gráficos. ............................................ 185 Integración ........................................ 187 54. Medidas de posición. ....................... 189 55. Media y moda en intervalos. ............ 191 Integración ........................................ 193 Autoevaluación .............................. 195 Capítulo 9: COMBINATORIA Y PROBABILIDAD .............................. 196 56. Factorial. Permutaciones. ................. 197 57. Variaciones. ...................................... 199 58. Combinaciones. ................................ 201 Integración ........................................ 203 59. Probabilidad. .................................... 205 60. Probabilidades condicionadas. ........ 207 Integración ........................................ 209 Autoevaluación ............................... 211 Trabajos prácticos .................................... 212 Trabajo práctico 1 ............................. 213 Trabajo práctico 2 ............................ 215 Trabajo práctico 3 ............................ 217 Trabajo práctico 4 ............................ 219 Trabajo práctico 5 ............................ 221 Trabajo práctico 6 ............................ 223 Trabajo práctico 7 ............................ 225 Trabajo práctico 8 ............................ 227 Trabajo práctico 9 ............................ 229 Control de resultados ............................... 231 foto 8 Números reales Contenidos 1. Números enteros. 2. Números racionales. 3. Operaciones con números racionales. 4. Potenciación y radicación. 5. Operaciones combinadas. 6. Números irracionales. 7. Aproximación y notación científica. 8. Intervalos reales. 1 Situación inicial de aprendizaje 1. Observen la imagen y resuelvan. La pareja de turistas quiere realizar la excursión a los Glaciares y revisan cuánto dinero en efecti- vo tienen disponible. a. Si la cuenta del bar es igual al 60% de lo que cuesta la excursión por persona (sin el des- cuento) más una propina del 10%, ¿cuánto abonaron? ¿Cuánto dinero les quedó para hacer la excursión si antes de pagar tenían $650 entre los dos? b. Modifiquen los datos de la situación para que luego de pagar en efectivo el bar y la excur- sión, les queden $102. c. Comparen las respuestas con las de sus compañeros. capítulo EXCURSIÓN “PASEO GLACIARES” $180 por persona 15% de descuento por pago en efectivo a. 60% de $180 = $108; 110% de $108 = 118,80. $650 – $118,80 = $531,20. b. Por ejemplo, se puede decir que antes de pagar tenían $526,80 en efectivo. $526,80 – $118,80 – 0,85 . $360 = $102 9 3 4 5 7 86 9 Números enteros El conjunto de los números enteros está formado por los números negativos, los positivos y el cero. Propiedades de la potenciación y la radicación Propiedad En símbolos Producto de potencias de igual base. an . am = an+m Cociente de potencias de igual base. an : am = an–m Potencia de otra potencia. (an)m = am.n Propiedad distributiva. (a . b)n = an . bn (a : b)n = an : bn Propiedad En símbolos Simplificación de índices y exponentes. n √ ___ am = n : b √ ____ a m : b con b ≠ 0 Propiedad distributiva. n √ _____ a . b = n √ __ a . n √ __ b n √ _____ a : b = n √ __ a : n √ __ b Si n es par, a ≥ 0 y b ≥ 0. Cálculos combinados Para resolver cálculos combinados se separa en términos con los signos + y –. Luego, se resuelven las potencias y raíces, a continuación las multiplicaciones y divisiones y, finalmente, las sumas y las restas. Si un cálculo combinado tiene paréntesis, se resuelven primero los cálculos que ellos encierran. Divisibilidad Un número entero a es divisible por otro b (distinto de cero), cuando la división entre sus valores absolutos tiene resto 0. También se dice que a es múltiplo de b. El divisor común mayor (dcm) entre dos o más números es el mayor divisor positivo que tienen en común esos números. El múltiplo común menor (mcm) entre dos o más números es el menor múltiplo positivo que tienen en común esos números. 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Se puede aplicar la propiedad distributiva de la potenciación con respecto a la suma de números enteros? b. ¿Se puede aplicar la propiedad distributiva de la radicación con respecto a la división de números enteros positivos? c. ¿Cómo se simplifica el índice con el exponente en el cálculo 4 √ __ 58 ? d. ¿Cuál es el dcm entre dos o más números primos? 9 1 2 Nombre: Curso: Fecha: / / test de comprensión infoactiva a. No, no existe ninguna propiedad que asegure esa igualdad. b. Sí. c. Se dividen el índice y el expo- nente por un mismo número; en este caso, por 4. d. El dcm entre números primos es el 1. 10 1. Apliquen propiedades para obtener una expresión más simple. a. (a3 . a2)3 = c. b3 : b2 = b. a5 . b5 = d. 4 √ __ a : 4 √ __ b = 2. Resuelvan de dos formas diferentes. a. 32 . 32 = c. 23 : 2 = b. √ ______ 9 . 25 = d. √ ________ 100 : 25 = 3. Resuelvan teniendo en cuenta las propiedades. a. √ __ 2 . √ __ 2 – 5 5 : 5 3 + ( 2 3 ) 2 = d. √ __________ 60 + 12 . 7 + 3 √ ___ 48 . 3 √ ___ 36 – ( 3 3 ) 2 : 3 6 = b. 315 : 313 + √ ________5 + 5 . 4 – (3 + 20 . 3)0 = e. – √ __ 4 . (– √ __ 9 ) + ( 2 3 ) 5 : 8 5 – 4 √ ________ 16 . 625 = c. 3 √ ________ 27 . 125 – 3 √ ____ 125 – ( –1 ) 3 + 32 0 = f. – 3 √ ____ –27 – √ ____ 324 – ( –2 + 3 ) 2 + 12 : ( 2 + 2 2 ) = 4. Calculen el mcm y dcm en cada caso. a. 36 y 1 = d. 84 y 140 = b. 7 y 11 = e. 600; 108 y 420 = c. 495 y 525 = f. 132; 18 y 22 = 1 Números enterosACTIVIDADES 10 (a5)3 = a15 b3–2 = b (a . b)5 4 √ _____ a : b 32+2 = 34 = 81 23–1 = 22 = 4 9 . 9 = 81 8 : 2 = 4 √ __ 9 . √ ___ 25 = 3 . 5 = 15 √ ____ 100 : √ ___ 25 = 10 : 5 = 2 √ ____ 225 = 15 √ __ 4 = 2 41 23 13 –3 12 –14 mcm (36;1) = 36 mcm (84;140) = 420 dcm (36;1) = 1 dcm (84;140) = 28 mcm (7;11) = 77 mcm (600;108;420) = 37 800 dcm (7;11) = 1 dcm (600;108;420) = 12 mcm (495;525) = 17 325 mcm (132;18;22) = 396 dcm (495;525) = 15 dcm (132;18;22) = 2 11 1 4 5 6 8 97 10 Números racionales Nombre: Curso: Fecha: / / 11 2 3 Un número racional es una expresión de la forma a __ b donde a y b son números enteros, con b distinto de cero. Todo número racional se puede expresar en forma de fracción o como expresión decimal. Para transformar una fracción en una expresión decimal se calcula el cociente entre el numerador y el denominador. 3 __ 4 = 0,75 Las expresiones decimales se clasifican en: • Exactas: tienen un número finito de cifras decimales. Una fracción irreducible tiene una expresión decimal exacta (E. D. E.), cuando los factores primos del denominador son potencias de 2, de 5 o de ambos. 1 __ 5 = 0,2 3 __ 2 = 1,5 1 ___ 10 = 0,1 • Periódicas: tienen cifras decimales que se repiten infinitamente. Pueden ser periódicas puras (todas sus cifras decimales son periódicas) o periódicas mixtas (tienen una parte decimal no perió- dica seguida de otra periódica). 0,23 = 23 – 2 _____ 90 = 21 ___ 90 Para pasar una expresión decimal periódica mixta (E. D. P. M.) a fracción, se escribe en el nume- rador la parte periódica y no periódica y se resta la parte no periódica. En el denominador se escriben tantos nueves como cifras periódicas, y ceros como cifras no periódicas tenga la expresión. 1,2 = 12 – 1 _____ 9 = 11 ___ 9 Para pasar una expresión decimal periódica pura (E. D. P. P.) a fracción se escriben en el nume- rador todas las cifras, periódicas y no periódicas, y se resta la parte no periódica. En el denominador se escriben tantos nueves como cifras tenga el período. 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. La fracción 3 ___ 50 ¿tiene una expresión decimal finita? b. ¿Cuál es la diferencia que existe entre una fracción y la que resulta de multiplicar el nume- rador y el denominador por un mismo número? ¿Cómo son esas fracciones? c. El número 1,2345678… ¿es un número periódico? d. ¿Qué diferencia existe entre una expresión periódica pura y una mixta? infoactiva test de comprensión a. Sí, porque 50 = 2 . 52. b. Ninguna. Son fracciones equivalentes. c. No, porque no existen cifras deci- males que se repitan. d. En una expresión periódica pura, las cifras decimales se repiten periódicamen- te, y en una mixta, hay una parte periódica y una no periódica. 5. Escriban la expresión decimal de los siguientes números racionales. a. 8 __ 3 = c. 2 __ 5 = e. 25 ___ 27 = b. 12 ___ 6 = d. 8 __ 9 = f. 195 ____ 90 = 6. Coloquen una X donde corresponda. Expresión decimal... Fracción 3 __ 5 112 ___ 44 75 ___ 40 126 ____ 54 12 ___ 45 ... exacta ... periódica pura ... periódica mixta 7. Escriban la fracción que corresponde a cada expresión decimal. a. 10,5 = c. 2,3 = e. 1,42 = b. –0,4 = d. 3,6 = f. 1,15 = 8. Completen con los números que faltan para obtener fracciones equivalentes. a. 105 ____ 165 = _____ 33 = 7 _____ = _____ 55 c. 210 ____ 112 = 105 _____ = _____ 8 = 30 _____ b. 36 ___ 24 = 3 _____ = _____ 12 = 108 _____ d. 30 ___ 54 = _____ 27 = 10 _____ = _____ 9 9. Ordenen de menor a mayor los siguientes números racionales. –3,2; – 7 __ 2 ; 5 __ 3 ; 1,6; –3,21; 3 __ 2 ; – 17 ___ 5 ; 1,42 10. Escriban un número que se encuentre entre los números dados. a. 3,4 3,8 c. –0,3 –0,29 e. 0,7 7 __ 9 b. 3 __ 5 4 __ 5 d. 4,6 4,7 f. –2,5 –2,3 11. Simplifiquen para obtener la fracción irreducible en cada caso. a. 84 ____ 108 = b. 322 ____ 266 = c. 858 ____ 330 = d. 4 500 _____ 4 800 = e. 2 584 _____ 3 192 = 2 Números racionalesACTIVIDADES 12 2,6 0,4 0,925 2 0,8 2,16 X X X X X 21 7 64 2 3 45 –2 11 52 5 3 45 21 35 15 11 56 16 18 15 5 2 72 18 – 7 __ 2 < – 17 ___ 5 < –3,21 < –3,2 < 1,42 < 3 __ 2 < 1,6 < 5 __ 3 3,5 –0,295 0,76 0,7 4,65 –2,4 7 23 13 15 17 9 19 5 16 21 5 6 7 Operaciones con números racionales Nombre: Curso: Fecha: / / 13 2 3 4 98 1110 Adición Sustracción 1 __ 3 + 4 __ 9 = 3 __ 9 + 4 __ 9 = 7 __ 9 Equivalentes 9 es el mcm entre 3 y 9. 4 __ 5 – 1 __ 2 = 8 ___ 10 – 5 ___ 10 = 3 ___ 10 Equivalentes 10 es el mcm entre 5 y 2. Multiplicación División 4 __ 5 . 10 ___ 12 = 4 . 10 ______ 5 . 12 = 2 __ 3 Antes de realizar la operación, se puede simplificar cualquier numerador con cualquier denominador. 4 __ 9 : 5 __ 6 = 4 __ 9 . 6 __ 5 = 8 ___ 15 La división es igual a la multiplicación entre el primer número y el inverso multiplicativo del segundo. División de expresiones decimales Para dividir dos expresiones decimales, se transforma la operación en una división donde el divisor es un número entero. . 10 En este ejemplo se multiplica por 10 16,86 : 1,2 = 168,6 : 12 = 14,05 al dividendo y al divisor para que este último sea un número entero. . 10 Operaciones combinadas con fracciones y expresiones decimales Para resolver una operación combinada con fracciones y expresiones decimales, se puede pasar cada expresión decimal a fracción. Luego, se resuelven las operaciones separando previamente en términos. 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Para multiplicar dos fracciones, ¿se puede simplificar antes de hacer la operación? ¿Se obtiene el mismo resultado si se simplifica luego de hacer la operación? b. En la división de números racionales, ¿se cumple la propiedad conmutativa? c. ¿Cuál es el inverso multiplicativo de 3 __ 5 ? ¿Y de 5? d. ¿Cómo se resuelve un cálculo combinado con fracciones y expresiones decimales? infoactiva test de comprensión En la página 11 pueden repasar cómo se pasan a fracción las expresiones decimales. 2 3 21 1 3 a. Sí, es equivalente. b. No. c. El inverso multiplicativo de 3 __ 5 es 5 __ 3 . El inverso multiplicativo de 5 es 1 __ 5 . d. Por ejemplo, se pueden pasar las expresiones decimales a fracción y luego se resuelve. 12. Completen con la operación que corresponde para obtener el resultado indicado. a. 7 ___ 12 3 __ 2 = 7 ___ 18 c. 7 __ 3 9 __ 2 = 21 ___ 2 e. – 5 __ 3 3 ___ 15 = – 25 ___ 3 b. 12 ___ 7 49 ___ 18 = 14 ___ 3 d. 3 __ 2 – 1 __ 2 = 1 f. – 2 __ 5 – 2 __ 3 = 4 ___ 15 13. Resuelvan. a. 3 __ 5 + 2 __ 3 . 6 ___ 14 = e. – 2 __ 3 . ( 5 __ 2 : 5 __ 2 + 3 __ 4 ) – ( – 1 __ 4 ) = b. 3 __ 5 . ( 2 + 3 __ 4 ) : 4 __ 3 = f. 5 __ 3 + ( 3 __ 2 + 1 __ 4 . 8 __ 3 ) – ( – 1 __ 4 ) = c. 5 __ 3 – ( 1 __ 4 +2 . 3 __ 5 ) = g. [ ( 3 + 1 __ 5 ) . 3 – ( 2 + 3__ 5 : 2 ___ 25 ) ] : 6 ___ 15 = d. 5 __ 2 + ( 3 __ 4 – 3 __ 5 . 15 ___ 2 ) : 3 = h. { [ ( 4 + 5 __ 3 . 2 ) : 11 + 2 __ 5 ] . 3 __ 2 } : 6 = 14. Indiquen si las siguientes igualdades son verdaderas. En caso de no serlo, escríbanlas correcta- mente. a. 2 __ 5 : 4 __ 3 = 2 . 4 _____ 5 . 3 c. 2 __ 5 + 1 __ 4 : 3 = 13 ___ 20 : 3 b. 2 + 3 _____ 3 = 2 __ 3 + 3 d. 3 __ 5 + 2 _____ 6 = 3 __ 5 __ 6 + 1 __ 3 3 Operaciones con números racionalesACTIVIDADES 14 : . : . + – y · 31 ___ 35 – 11 ___ 12 99 ___ 80 49 ___ 12 13 ___ 60 1 __ 4 5 __ 4 4 ___ 15 No. 2 __ 5 : 4 __ 3 = 2 __ 5 . 3 __ 4 No. 2 __ 5 + 1 __ 4 : 3 = 2 __ 5 + 1 ___ 12 No. 2 __ 3 + 3 __ 3 = 2 __ 3 + 1 Sí. 15. Escriban un par de paréntesis para obtener el resultado indicado. a. 3 __ 2 + 5 . 2 + 1 __ 4 = 53 ___ 4 c. 3 __ 2 – 5 . 2 + 1 __ 4 = – 35 ___ 4 b. 3 __ 2 + 5 . 2 + 1 __ 4 = 51 ___ 4 d. 3 __ 2 – 5 . 2 + 1 __ 4 = – 27 ___ 4 16. Resuelvan los siguientes cálculos combinados. a. ( 0,6 . 20 ___ 7 + 3 ___ 14 ) . 1,5 = c. 0,3 – ( 25 ___ 3 . 0,75 + 1 __ 2 ) + 0,83 = b. 0,3 . 9 __ 5 – ( 2 __ 5 + 0,3 . 5 ) = d. 3,5 : 3,8 + ( 3 + 5 __ 2 ) : ( 7 – 3,3 ) = 17. Escriban el cálculo y resuelvan. a. La suma entre el triple de 1,3 y su opuesto. b. El cociente entre el triple de 2,3 y su doble. c. La diferencia entre 3,6 y su inverso. d. El inverso de la suma entre 2,7 y su siguiente número entero. 18. Escriban la expresión simbólica que corresponde. a. La diferencia entre a y su inverso, siendo a un número racional, distinto de cero. b. El opuesto del inverso de la tercera parte de 1 __ a . c. El cociente entre un número racional a (distinto de cero) y su inverso. d. El opuesto de la cuarta parte del inverso de a, siendo a un número racional distinto de cero. 3 Operaciones con números racionalesACTIVIDADES 15 Nombre: Curso: Fecha: / / ( ) ( ) ( ) ( ) 3 – 67 ___ 12 – 13 ___ 10 12 ___ 5 3 . 1,3 + (–1,3) = 2,6 (3 . 2,3 ) : (2 . 2,3 ) = 1,5 11 __ 3 – 3 __ 11 = 112 ___ 33 (2,7 + 3)–1 = 9 ___ 52 a – 1 __ a –3a a : 1 __ a = a 2 – 1 __ 4 . 1 __ a = – 1 ___ 4a 3 Operaciones con números racionalesACTIVIDADES 16 19. Resuelvan. a. 0,2 . ( 3 + 9 __ 5 ) – 1,5 . 4 __ 5 = f. –3 . ( 1,3 – 7 __ 3 ) – 9 __ 5 . ( 0,3 – 5 __ 3 ) = b. ( 5 __ 3 + 2,6 ) . 2 ___ 13 – 0,3 + 5 __ 6 = g. 2 . ( 3 + 1 __ 5 ) – ( 0,32 : 0,02 . 1 ___ 56 + 3 ) = c. 0,04 . 15 ___ 2 + 2,1 . ( 3 ___ 19 – 1 ) = h. { [ – ( 1,5 + 0,3 : 1 __ 2 ) + 23 ___ 12 : 0,3 ] : 0,25 } . 2 ___ 43 = d. 0,83 . 2 ___ 15 . ( 2 + 1 __ 3 : 1,6 + 1 ) = i. 2 : ( 3 __ 5 + 0,25 ) – (0,3 – 5,3) : 17 ____________________________ –0,52 . 90 + 2 = e. 7,2 . 3,3 – ( 23 ___ 3 + 7 __ 2 : 0,3 ) = j. ( 9 __ 4 . 0,5 + 3 ) : 34 . ( 3 __ 5 – 2,3) _____________________________ [ ( 0,04 : 0,03 – 2 ) – ( 0,2 + 1 __ 3 ) ] . 2 __ 3 = – 2 ___ 15 27 ___ 5 7 __ 6 109 ___ 35 – 13 ___ 9 2 __ 3 16 ___ 45 – 1 ___ 17 17 ___ 3 13 ___ 48 Potenciación y radicación Nombre: Curso: Fecha: / / 17 6 7 8 109 12113 4 5 Potenciación Radicación • ( 2 __ 3 ) 2 = 2 2 __ 3 2 = 4 __ 9 • ( 2 __ 3 ) 0 = 1 • ( 2 __ 3 ) 1 = 2 __ 3 • ( 2 __ 3 ) –2 = ( 3 __ 2 ) 2 • √ ___ 9 ___ 25 = 3 __ 5 • 3 √ ___ 27 ___ 8 = 3 __ 2 La radicación también se puede escribir como exponente fraccionario. n √ __ am = a m __ n Propiedades Para la potenciación y la radicación de números racionales se verifican las mismas propiedades que para los números enteros. • Producto o cociente de potencias de igual base. ( 2 __ 3 ) 2 . ( 2 __ 3 ) . ( 2 __ 3 ) 2 = ( 2 __ 3 ) 2+1+2 = ( 2 __ 3 ) 5 ( 5 __ 4 ) 7 : ( 5 __ 4 ) 2 : ( 5 __ 4 ) 3 = ( 5 __ 4 ) 7–2–3 = ( 5 __ 4 ) 2 • Potencia de otra potencia. [ ( 3 __ 4 ) 2 ] –1 = ( 3 __ 4 ) 2.(–1) = ( 3 __ 4 ) –2 • Simplificación de índices y exponentes. 6 √ _____ ( 3 __ 2 ) 15 = ( 3 __ 2 ) 15 5 ____ 6 2 = √ ____ ( 3 __ 2 ) 5 3 √ ____ ( 7 __ 8 ) 6 = ( 7 __ 8 ) 6 2 ___ 3 1 = ( 7 __ 8 ) 2 • Producto o cociente de raíces de igual índice. √ __ 1 __ 3 . √ __ 6 __ 2 = √ ____ 1 __ 3 . 6 __ 2 3 √ __ 3 __ 4 : 3 √ __ 2 __ 9 = 3 √ ____ 3 __ 4 : 2 __ 9 • Raíz de otra raíz. √ _____ 3 √ ____ 729 ____ 64 = 2.3 √ ____ 729 ____ 64 = 6 √ ____ 729 ____ 64 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Es lo mismo ( 3 __ 5 ) 2 y 3 __ 5 2 ? b. Si un número racional negativo está elevado a un número negativo, ¿el resultado es un número negativo? c. ¿Es cierto que 4 √ _____ ( – 1 __ 4 ) 6 = √ _____ ( – 1 __ 4 ) 3 ? d. La raíz de una suma, ¿es igual a la suma de las raíces? infoactiva test de comprensión 7__ 8 ) 2 ____ a. No. En el segundo caso solo el numerador está elevado al cuadrado. b. No siempre; el exponente negativo indica que se debe invertir la base. c. No, porque la primera tiene solución y la segunda, no. d. No, la propiedad distributiva no se verifica para la suma. 20. Unan con flechas las expresiones equivalentes. a. ( 2 __ 3 ) 1 __ 3 • 3 √ __ 3 __ 2 b. 2 2 __ 3 • 2 3 __ 2 c. √ __ 23 • 3 √ __ 1 __ 2 d. ( 3 __ 2 ) 1 __ 3 • ( 3 __ 2 ) – 1 __ 3 e. 2 – 1 __ 3 • 9 √ __ 26 21. Resuelvan de dos maneras diferentes, aplicando propiedades cuando sea posible. a. ( 2 __ 3 ) 2 : 2 __ 3 = e. √ _______ 4 ___ 25 . 9 ___ 36 = b. ( 1 __ 2 . 1 __ 2 ) 2 = f. 4 √ ____ ( 9 __ 4 ) 2 = c. [ ( 3 __ 2 ) 2 ] –1 = g. √ _______ 121 ___ 4 : 36 ___ 9 = d. ( 3 __ 2 + 1 __ 3 ) 2 = h. √ ______ 9 ___ 16 + 1 = 22. Resuelvan aplicando propiedades. a. [ ( 3 __ 5 ) 2 . ( 5 __ 3 ) 3 ] –1 = f. [ ( √ __ 81 ___ 16 ) 1 __ 2 ] –1 = b. [ ( 2 __ 5 ) –2 . ( 5 __ 2 ) 4 ] 1 __ 2 = g. ( √ ___ 5–4 ) 1 __ 2 . ( 1 __ 5 ) –2 = c. [ ( 2 __ 3 ) 2 . ( 2 __ 3 ) 3 ] 2 : ( 2 __ 3 ) 8 = h. √ ____ √ __ 81 ___ 16 . ( 3 __ 2 ) 2 · ( 2 __ 3 ) –1 = d. [ ( 1 __ 4 ) 7 : ( 1 __ 4 ) 4 ] : [ ( 1 __ 4 ) 2 . 4 ] = i. [ ( 2 __ 3 ) 2 . ( 0,6 ) –1 ] : ( 3 __ 2 ) –4 = e. [ ( 1 __ 3 ) –1 . ( 1 __ 3 ) 3 . 3–2 ] : 3 √ ___ 1 ___ 27 = j. [ ( 3 __ 5 ) 3 __ 2 . √ __ 5 __ 3 . (0,6) 3 __ 2 ] –2 = 23. Resuelvan mentalmente. a. 2,4 . 102 = c. 0,25 . 10 3 = e. 134 : 1 ___ 102 = b. 34,5 . 103 = d. 0,0008 . 10 4 = f. 23 : 10 3 = 4 Potenciacióny radicaciónACTIVIDADES 18 ( 2 __ 3 ) 2–1 = 2 __ 3 √ ___ 4 ___ 25 . √ ___ 9 ___ 36 = 2 __ 5 . 3 __ 6 = 1 __ 5 4 __ 9 : 2 __ 3 = 2 __ 3 √ ___ 1 ___ 25 = 1 __ 5 ( 1 __ 2 ) 2 . ( 1 __ 2 ) 2 = 1 ___ 16 √ __ 9 __ 4 = 3 __ 2 ( 1 __ 4 ) 2 = 1 ___ 16 4 √ ___ 81 ___ 16 = 3 __ 2 ( 3 __ 2 ) 2.(–1) = 4 __ 9 √ ____ 121 ___ 4 : √ ___ 36 ___ 9 = 11 __ 2 . 3 __ 6 = 11 __ 4 ( 9 __ 4 ) –1 = 4 __ 9 √ ____ 121 ___ 16 = 11 __ 4 ( 9 + 2 _____ 6 ) 2 = ( 11 __ 6 ) 2 = 121 ___ 36 √ ___ 25 ___ 16 = 5 __ 4 ( 3 __ 5 ) –2 . ( 5 __ 3 ) –3 = 3 __ 5 ( 4 √ ___ 81 ___ 16 ) –1 = 2 __ 3 ( 2 __ 5 ) –1 . ( 5 __ 2 ) 2 = 5 __ 2 . ( 5 __ 2 ) 2 = 125 ____ 8 ( 1 __ 5 ) 4 __ 2 . 1 __ 2 . ( 1 __ 5 ) –2 = ( 1 __ 5 ) 1–2 = 5 ( 2 __ 3 ) (2+3).2–8 = ( 2 __ 3 ) 2 = 4 __ 9 4 √ ___ 81 ___ 16 . ( 3 __ 2 ) 2 . 3 __ 2 = ( 3 __ 2 ) 1+2+1 = 81 ___ 16 ( 1 __ 4 ) 7–4 : ( 1 __ 4 ) 2–1 = ( 1 __ 4 ) 3–1 ( 2 __ 3 ) 2–1–4 = 27 ___ 8 = 1 ___ 16 ( 1 __ 3 ) –1+3+2 : 1 __ 3 = ( 1 __ 3 ) 4–1 ( 3 __ 5 ) –3 . ( 5 __ 3 ) –1 . ( 3 __ 5 ) –3 = 1 ___ 27 = ( 5 __ 3 ) 3–1+3 = 3 125 _____ 243 240 250 13 400 34 500 8 0,023 7 8 9 1110 13124 5 6 Operaciones combinadas Nombre: Curso: Fecha: / / 19 Para resolver un cálculo combinado con todas las operaciones vistas, pueden seguir estos pasos. (–0,7)3 . 10 ___ 21 . 20 + √ ____ 0,4 : 10 ___ 11 – 1,05 = 1. Se separa en términos. ( – 7 ___ 10 ) 3 . 10 ___ 21 . 20 + √ __ 4 __ 9 : 10 ___ 11 – 95 ___ 90 = 2. Se pasan las expresiones decimales a fracción. – 343 ______ 1 000 . 10 ___ 21 . 20 + 2 __ 3 : 10 ___ 11 – 95 ___ 90 = 3. Se resuelven las potencias y raíces. – 49 ___ 15 + 22 ___ 30 – 19 ___ 18 = 4. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones. = – 323 ____ 90 5. Se resuelven las sumas y restas. El siguiente cálculo se puede resolver de dos formas diferentes. √ ______ 25 ___ 16 . 36 ___ 4 – ( 5 __ 2 + 3 __ 7 – 7 __ 4 ) = √ ______ 25 ___ 16 . 36 ___ 4 – ( 5 __ 2 + 3 __ 7 – 7 __ 4 ) = √ ______ 25 ___ 16 . 36 ___ 4 – 33 ___ 28 = √ ___ 25 ____ √ ___ 16 . √ ___ 36 ____ √ __ 4 – 5 __ 2 – 3 __ 7 + 7 __ 4 = √ ____ 225 ____ 16 – 33 ___ 28 = 5 __ 4 . 6 __ 2 – 5 __ 2 – 3 __ 7 + 7 __ 4 = 15 ___ 4 – 33 ___ 28 = 18 ___ 7 15 ___ 4 – 5 __ 2 – 3 __ 7 + 7 __ 4 = 18 ___ 7 El siguiente cálculo se puede resolver aplicando propiedades de la potenciación y la radicación. 4 √ ____ ( 2 __ 7 ) 8 + ( 3 __ 2 ) 10 : ( 3 __ 2 ) 8 – √ __ 5 __ 4 . √ ___ 10 ___ 2 = ( 2 __ 7 ) 8 __ 4 + ( 3 __ 2 ) 2 – √ ___ 25 ___ 4 = ( 2 __ 7 ) 2 + 9 __ 4 – 5 __ 2 = 4 ___ 49 + 9 __ 4 – 5 __ 2 = – 33 ____ 196 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. En los cálculos combinados con potencias y raíces, ¿en qué orden se deben resolver las operaciones? b. ¿Cuál es el resultado de √ __ 8 . √ __ 2 ? c. El cálculo ( 4 __ 7 + 2,7 ) 3 , ¿se puede resolver de dos formas diferentes? infoactiva test de comprensión a. Primero se resuelven las potencias y raíces; luego, las multiplicaciones y divisiones y finalmente, las sumas y restas. b. Es igual a la raíz cuadrada de 16, que es 4. c. No, ya que no se puede aplicar la propiedad distributiva. 5 Operaciones combinadasACTIVIDADES 20 24. Resuelvan. a. ( 1 __ 3 ) –1 . 3–2 – 2 __ 3 . ( 1 __ 2 + 6 ) = d. 5 __ 6 . 0,416 – 0,25 . ( 2 – 5 __ 4 ) = b. 0,4 . 5 __ 4 + 3 __ 2 . ( 4 __ 3 ) 2 – 2,16 = e. 3 __ 8 . 0,4 + 5 __ 6 . ( 1 – 3 __ 2 ) = c. 8 __ 5 . 5 __ 4 + ( 1 __ 2 ) 2 . 8 __ 3 – √ __ 16 ___ 9 = f. √ ___ 25 ___ 16 . 5–1 + 3 __ 8 . 2 __ 6 – 5 __ 2 = 25. Expresen en lenguaje simbólico y luego resuelvan. a. La diferencia entre la suma de 0,3 y 0,02 y la suma entre 2 y el opuesto de 1,21 . b. La raíz cuadrada de la diferencia entre 1,89 y la suma de 0,7 y el opuesto de 1 __ 2 . c. La raíz cúbica del producto entre el opuesto de 1 ____ 625 y 0,185 . d. La suma entre la raíz cuadrada de 5 __ 2 al cuadrado y el producto de 2,3 y el inverso de 23 ___ 2 . e. La suma entre 5 __ 3 y el producto entre 0,7 y su inverso. f. El cuadrado de la suma entre 3 __ 5 y su consecutivo. 26. Escriban un par de paréntesis para obtener el resultado indicado. a. 8 __ 5 . 8 __ 3 + 1 __ 32 – √ ___ 4 ___ 25 . 5 = 127 ____ 45 c. 8 __ 5 . 8 __ 3 + 1 __ 32 – √ ___ 4 ___ 25 . 5 = 179 ____ 9 b. 8 __ 5 . 8 __ 3 + 1 __ 32 – √ ___ 4 ___ 25 . 5 = 22 ___ 9 d. 8 __ 5 . 8 __ 3 + 1 __ 32 – √ ___ 4 ___ 25 . 5 = 56 ___ 45 –4 23 ____ 144 1 – 1 __ 4 4 __ 3 – 17 ___ 8 (0,3 + 0,02 ) – [2 + (–1,21 )] = – 7 ___ 15 √ _________________ 1,89 – [ 0,7 + ( – 1 __ 2 ) ] = 13 ___ 10 3 √ _________ – 1 ____ 625 . 5 ___ 27 = – 1 ___ 15 √ ____ ( 5 __ 2 ) 2 + 2,3 . 2 ___ 23 = 27 ___ 10 5 __ 3 + 0,7 . 9 __ 7 = 8 __ 3 No es posible porque los números racionales no tienen siguiente. ( ) ( ) ( ) ( ) 5 Operaciones combinadasACTIVIDADES 21 Nombre: Curso: Fecha: / / 27. Resuelvan. a. 2 – { 3 __ 2 – [ ( 3 __ 2 ) 2 + 1 __ 5 ] } = e. ( 3 __ 5 ) 2 : ( 5 __ 3 ) –1 . ( 25 ___ 81 ) 1 __ 2 + 3,2 = b. 3 __ 2 – { √ ___ 25 ___ 4 – [ ( 3 __ 7 – √ ___ 36 ___ 49 ) + 3 ] } = f. { 1 __ 8 – [ ( 3 __ 2 + 5 __ 4 ) 2 + √ __ 1 ___ 16 ] } –1 = c. { 0,4 2 . [ ( 2 __ 5 ) 3 ] –2 . 4 ___ 25 } – 1 __ 2 = g. 03 + { √ ___ 64 ____ 100 – [ 2 + ( 3 __ 2 + 2 __ 7 ) –1 ] – 3 __ 4 } = d. { [ ( 3 __ 6 – 12 ___ 7 ) – ( 1 + 1 __ 3 ) ] + 51 ___ 14 } – 1 __ 7 = h. { [ ( 0,6 + 1 __ 4 ) : 3 __ 5 + 2 ] . 2 ___ 41 + 1,5 } : 10 ___ 7 = Observen los ejemplos y respondan. 1 __ 2 + 1 __ 4 = 3 __ 4 1 __ 2 + 1 __ 4 + 1 __ 8 = 7 __ 8 ¿Qué estrategia pueden utilizar para resolver los siguientes cálculos? 1 __ 2 + 1 __ 4 + 1 __ 8 + 1 ___ 16 = 1 __ 2 + 1 __ 4 + 1 __ 8 + 1 ___ 16 + 1 ___ 32 = menteACTIVA 59 ___ 20 32 ___ 9 11 __ 7 – 16 ____ 123 2 __ 5 – 251 ____ 100 20 ___ 21 7 __ 6 15 ___ 16 31 ___ 32 5 Operaciones combinadasACTIVIDADES 28. Resuelvan aplicando propiedades, cuando sea posible. a. ( 4 __ 9 : 16 ___ 18 ) –1 + ( – 2 __ 3 ) 3 : (–0,6) – 3 √ ____ – 8 ___ 27 : 1,6 = e. { 1 __ 4 – [ ( 9 ____ 225 ) 1 __ 2 – ( – 3 __ 5 + 0,2 ) ] –1 } : 0,17 =b. [ ( –2 ) –3 + ( – 1 ___ 64 ) 1 __ 3 ] . √ ________ 1 – 0,84 + ( 2 __ 3 ) –1 = f. – { – [ 3 –2 – ( √ _________ 3 __ 2 + 1 __ 4 + 6 ___ 12 + 1 __ 3 ) ] – 5 __ 9 } = c. √ ______ 5 __ 6 + 19 ___ 36 + √ ______ 64 ___ 81 : 16 ___ 9 – [ 3 – 2 __ 5 . ( 5 __ 3 ) 2 ] – ( 5 __ 3 ) 2 = g. { ( 49 ___ 9 ) 2 : ( 49 ___ 9 ) 3 __ 2 + [ 3 – ( 0,6 – 1 ) ] 2 } 1 __ 2 = d. [ 2 + ( 0,2 + √ ___ 4 ____ 100 ) . ( √ ___ 441 ____ 4 + 3 __ 2 . 2 __ 3 ) ] –1 = h. ( 3 __ 2 ) –2 – { 3 __ 5 – ( 5 __ 3 ) –1 . [ – ( √ ___ 144 ____ 100 + 1 __ 2 ) – 1 __ 2 ] – 6 __ 5 } = 22 Santiago y Sabrina tuvieron evaluación de Matemática. Una de las actividades era resolver el cálculo 3 __ 5 + 5 __ 2 . 1 __ 5 + 3 √ __ 1 __ 8 . Cuando terminaron, comentaron los resultados. En ese cálculo, Santiago obtuvo como resultado 28 ___ 25 y Sabrina, 8 __ 5 . a. ¿Cuál de los chicos lo resolvió correctamente? b. ¿Qué error pudo haber cometido quien no lo resolvió correctamente? menteACTIVA Sabrina resolvió el cálculo correctamente, el error de Santiago fue que no realizó la separación de térmi- nos en forma adecuada. 128 ____ 45 – 25 ___ 3 27 ___ 20 – 7 __ 6 – 17 ___ 6 11 __ 3 90 ____ 617 – 62 ____ 225 Integración capítulo 11.2.3.4.5CONTENIDOS Nombre: Curso: Fecha: / / 29. Apliquen las propiedades para obtener la expresión más simple. a. a2 . a12 = f. √ __ a . a 1 __ 3 = b. a3 : a5 . a = g. ( a 3 __ 5 ) 5 = c. a0 . a3 : a0 = h. √ __ a . 3 √ __ a = d. a12 : a20 : a32 = i. ( √ __ a ) 4 = e. ( a 4 ) 1 __ 4 = j. 4 √ __ a . 3 √ __ a . √ __ a 5 = 30. Resuelvan los cálculos combinados. a. 2 13 : 2 10 + √ __ 5 . √ __ 5 – 4 = b. ( √ __ 54 ) 2 + 2 3 . 2 2 + 3 0 = c. 3 √ _______ 432 . 4 – ( 3 4 ) 5 : 3 18 + 5 . ( –3 ) = d. 3 √ ___ 54 . 3 √ __ 4 + ( 16 3 ) 2 : 16 5 – √ ____ 100 = e. √ __________ 45 + 5 . 11 – 10 2 : 10 – 3 2 = f. 317 : 315 + √ ___ 16 – (–5)2 = g. √ ___ 27 . √ __ 3 – (–6)2 . (–2) : (–2)2 = h. √ _________ 30 + 3 . 2 – 152 : 15 + 3 . (–5) = i. (42)3 : (22)5 + (–6) . 3 + (–4)2 = j. ( √ __ 18 ) 2 + 73 : 7 – (185 – 43)0 = k. 3 √ ___________________ 102 + 42 + (–5) . (–20) – (23)4 : 210 + (–6) = 31. Hallen el dcm y mcm entre los siguientes números. a. 48; 54 f. 24; 20 b. 60; 75 g. 90; 45 c. 15; 18; 24 h. 360; 84; 60 d. 12; 10; 4 i. 735; 245; 70 e. 392; 28; 147 j. 66; 77; 33 32. Escriban como fracción irreducible las siguientes expresiones decimales. a. 0,12 = f. 12,7 = b. 15,24 = g. 9,16 = c. 6,12 = h. 3,21 = d. 3,6 = i. 11,4 = e. 8,3 = j. 5,23 = 33. Escriban la expresión decimal que corres- ponde a cada fracción. Luego, clasifíquenlas. a. 3 __ 2 = d. 13 ___ 9 = b. 113 ___ 90 = e. 6 __ 7 = c. 7 __ 5 = f. 10 ___ 18 = 34. Completen con <, > o =. a. 3,25 3,25 f. 20 ___ 6 10 ___ 3 b. 3,4 17 ___ 5 g. 7 __ 9 0,7 c. 2,24 2,24 h. 9 ___ 10 0,98 d. 5 __ 3 7 __ 3 i. 1,9 2 e. 2 __ 5 5 __ 2 j. 0,001 0,0010 35. Simplifiquen para obtener la fracción irredu- cible en cada caso. a. 48 ___ 56 = f. 944 _____ 1 180 = b. 96 ____ 216 = g. 2 114 _____ 3 020 = c. 440 ____ 275 = h. 992 _____ 9 348 = d. 858 ____ 792 = i. 5 200 _____ 5 850 = e. 396 ____ 693 = j. 2 244 _____ 660 = 36. Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan. a. El triple del cuadrado de dos tercios. b. El producto de tres medios y siete tercios, aumentado en uno. c. La suma entre el doble de 0,3 y tres cuartos. d. El opuesto del inverso de cuatro. e. El inverso de la diferencia entre menos cinco cuartos y un medio. 37. Resuelvan mentalmente. a. 1,17 . 102 = e. 4 : 10–4 = b. 53,2 : 102 = f. 13 . 1 _____ 1 000 = c. 6 . 10–4 = g. 34,21 . 1 ____ 100 = d. 4,5 . 10–2 = h. 9 : 10–3 = 23 a14 a 5 __ 6 a–1 a3 a3 a 5 __ 6 a–40 a2 a a 37 ___ 12 9 658 –12 12 –9 940 27 –24 2 49 –4 a. 6; 432 b. 15; 300 c. 3; 360 d. 2; 60 e. 7; 1 176 f. 4; 120 g. 45; 90 h. 12; 2 520 i. 35; 1 470 j. 11; 462 3 115 25 9 381 55 25 6 153 289 25 90 11 103 3 9 25 157 3 30 1,5; finita 1,4 ; p. pura 1,25; 0,857142; p. mixta p. pura 1,4; finita 0,5; p. pura > = = > < < < = < < 6 __ 7 4 __ 5 4 __ 9 7 ___ 10 8 __ 5 248 _____ 2 337 13 ___ 12 8 __ 9 4 __ 7 17 ___ 5 e. ( – 5 __ 4 – 1 __ 2 ) –1 a. 3 . ( 2 __ 3 ) 2 b. 3 __2 . 7 __ 3 + 1 c. 2 . 0,3 + 3 __ 4 d. –4 –1 117 40 000 0,532 0,013 0,0006 0,3421 0,045 9 000 24 38. Lean atentamente y respondan. Abigail compró 15 kg de alimento balanceado para alimentar a sus perras. Según las reco- mendaciones del veterinario, cada perra debe comer la misma porción todos los días. A una de las perras debe darle 1,5 kg de alimento diario y a la otra, 0,5 kg. a. ¿Qué cálculo debe realizar para saber cuán- to alimento le queda luego de alimentar por primera vez a sus mascotas? ¿Cuánto alimen- to balanceado le quedó? b. ¿Para cuántos días más le alcanza la comi- da que quedó? 39. Resuelvan. a. [ 3 __ 2 – ( 0,3 + 1 __ 4 ) . 0,6 + 1 ] : 7 ___ 36 = b. 0,6 + 1 __ 2 . ( 1,6 + 1 __ 5 ) + 6 = c. { [ ( 3 __ 2 + 0,2 ) . 5 ] . 5 ___ 34 + 3 } : 1 __ 2 = d. { [ 2 . ( 3 __ 5 + 0,25 ) + 2 __ 3 ] : 71 + 0,06 } : 1 __ 2 = 40. Resuelvan aplicando propiedades de la potenciación. a. [ ( 3 __ 5 ) . ( 3 __ 5 ) ] 2 = b. [ ( 1 __ 3 ) 5 : ( 1 __ 3 ) 2 ] 2 = c. ( 2 __ 3 ) 3 . ( 2 __ 3 ) 2 . ( 3 __ 2 ) 6 . ( 3 __ 2 ) 2 = d. [ ( 5 __ 2 ) 13 : ( 5 __ 2 ) 10 ] : [ 2 __ 5 . ( 5 __ 2 ) 3 ] = e. 4 √ ______ 3 ___ 16 . 3 3 __ 42 = f. 6 √ ________ ( 5 __ 2 . 25 ___ 4 ) 2 = g. √ __ 9 ___ 16 . √ _____ ( 3 __ 2 ) –2 = 41. Lean y resuelvan. a. Una familia gasta 3 __ 5 de sus ingresos en comida, 1 __ 3 en impuestos y servicios y el resto en gastos diarios. ¿Qué fracción de sus ingre- sos la destina a gastos diarios? b. En las elecciones del centro de estudiantes de una escuela, las 2 __ 5 partes de los votos fue- ron para la agrupación A, 1 __ 4 para la B y el resto para la C. Si votaron 1 000 alumnos, ¿cuántos votos recibió cada agrupación? 42. Resuelvan aplicando propiedades. a. – [ – ( 2,90 – 7 __ 5 ) ] + 1,3 = b. ( 3 √ ____ 125 . 1 __ 5 ) : ( 1 __ 8 ) 2 __ 3 + 3 √ __ 1 __ 8 = c. – { 0,46 + [ – ( 1,4 + 2 ) + 3 __ 2 ] } = d. 3 √ ______ 8 . 27 + ( 3 __ 2 ) 5 : ( 3 __ 2 ) 4 – √ __________ 50 + 25 . 2 = e. 3 √ _______ 8 . 125 – √ ___ 25 . 1 __ 5 . 5 3 . 5 . 1 ___ 25 = f. [ (–2) –3 + 3 √ ____ – 1 ___ 64 ] . √ ________ 1 – 0,84 + ( 2 __ 3 ) –1 = g. √ __ 3 __ 2 . √ __ 3 __ 2 + ( 5 __ 3 ) 12 : ( 5 __ 3 ) 10 . 5 __ 3 – √ __ 9 __ 2 = h. [ ( 2 __ 3 ) 3 ] 2 . ( 3 __ 2 ) 4 + 5 √ ____ ( 1 __ 3 ) 5 + 3 : ( 1 __ 2 + 1 ) = i. √ _________ 4 __ 5 – 11__ 5 . 1 __ 5 + ( 3 + 1 __ 4 . 5 ) 0 – 3 √ _____ 1 – 7 __ 8 = 43. Expresen en lenguaje simbólico y resuelvan. a. La suma entre la raíz cúbica del opuesto de 1 __ 8 y el inverso de la diferencia entre 2,5 y 3 __ 2 . b. La diferencia entre el opuesto del cuadra- do de 3 __ 2 y la raíz cuadrada de 0,04. c. La diferencia entre el cuadrado del opuesto de 3 __ 2 y el cociente entre 0,3 y 0,2. d. El producto entre la raíz cuadrada de 0,1 y el cuadrado de la diferencia entre uno y 0,1 . e. El producto entre la raíz cúbica de 0,3 y la raíz cúbica de 0,1 . f. El cociente entre la raíz cuadrada de 1,7 y el cuadrado de 2. g. El cociente entre la suma de 1,5 y 5 __ 2 , y el triple de 0,4. 44. Resuelvan las siguientes operaciones com- binadas. a. { [ – ( 0,6 – 2,3 ) + 1 __ 5 ] : ( 3 __ 2 – 0,2 ) + 2 } : 7 ___ 13 = b. { [ 1,16 – ( 5 __ 3 + 1 __ 4 ) ] : 0,583 + 3 ___ 28 } : 2,75 = c. 2,6 + 5 – [ ( 3 __ 2 + 1 __ 3 ) : ( 1 __ 2 – 2,3 ) + 0,4 ] = d. { √ _______________ – 7 ___ 10 : ( – 7 __ 2 ) . 2 __ 5 : 1 __ 8 _ + [ (–2) –1 ] 2 . (–2) } . 5 ___ 26 = e. – { ( 3 __ 2 + 0,2 ) – [ –0,2 – (0,04) 1 __ 2 ] . √ ____ 225 } = f. { [ (–2) –3 + 3 √ ____ – 1 ___ 64 ] –1 . ( 16 ___ 6 ) –1 + 2 __ 5 } : 3 = g. 1 __ 3 . { [ 1,2 – ( 3 __ 5 + 2 __ 5 ) 1 __ 2 ] : 0,3 + 0,09 } : 100 – 1 __ 2 = h. { [ √ _________ ( 1 __ 2 + 1 __ 3 ) . 5 __ 6 + √ ______ 5 __ 6 + 19 ___ 36 : (–3) ] –1 } –2 = i. [ 3 √ ___________ 1 __ 2 : 0,1 + 3,5 – 1 __ 3 – ( – 5 __ 2 ) 1 ] : 5 __ 3 2 = 24 1,5 + 0,5 = 2; 13 kg Para 6 días más. 76 ___ 7 113 ___ 15 17 ___ 2 1 __ 5 81 ____ 625 1 ____ 729 27 ___ 8 5 __ 2 3 __ 4 5 __ 2 1 __ 2 1 ___ 15 A: 400; B: 250; C: 350 309 ____ 110 9 __ 2 43 ___ 30 – 5 __ 2 –15 27 ___ 20 125 ____ 27 25 ___ 9 11 ___ 10 a. 1 __ 2 b. – 49 ___ 20 c. 3 __ 4 d. 64 ____ 243 e. 1 __ 3 f. 1 __ 3 g. 3 a. 134 ____ 21 b. – 3 __ 7 c. 124 ____ 15 d. 3 ___ 52 e. – 139 ____ 18 f. – 1 __ 5 g. 7 __ 3 h. 16 ___ 81 i. 1 __ 2 Los números irracionales son expresiones decimales con infinitas cifras decimales no periódicas. Un número irracional no se puede expresar como el cociente entre dos números enteros. π = 3,141592654… √ __ 2 = 1,414213562… 3 √ __ 5 = 1,709975947… Se pueden generar números irracionales escribiendo las cifras decimales a partir de alguna regla de formación, para que no sean periódicas. 0,123456789... 1,112233445566... –0,135791113... Para representar el número irracional √ __ 5 en la recta numérica, pueden seguir estos pasos. 1. Se dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 1 unidad (que se elige arbitrariamente) y 2 unidades. Por el teorema de Pitágoras, la hipotenusa mide √ __ 5 . √ __ 5 1 2 12 + 22 = ( √ __ 5 ) 2 2. Se dibuja una recta numérica donde se utilice como escala la unidad elegida. Con el compás, se toma la medida de la hipotenusa y con centro en 0 se traza un arco. El punto que queda determinado representa al número √ __ 5 . Números reales El conjunto de los números reales ( ) está formado por todos los números racionales y los irracionales. El conjunto de los números reales es: • Denso: entre dos números reales siempre existe otro número real. • Continuo: a cada punto de la recta numérica le corresponde un número real. Números irracionales Nombre: Curso: Fecha: / / 25 5 8 9 10 12116 7 1413 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. La raíz cuadrada de 11, ¿es un número racional o irracional? b. El número 1,357911... ¿es irracional? ¿Cuál es la regla de formación? c. Un número irracional, ¿pertenece al conjunto de los números reales? d. ¿Cuántos números reales existen entre 1 y 2? ¿Y entre 1,3 y 1,4? infoactiva test de comprensión 0 1 2 √ __ 5 a. Irracional. No se puede expresar como el cociente entre dos números enteros. b. Sí, tiene infinitas cifras decimales no periódicas. c. Sí. d. Infinitos números, porque el conjunto de los números reales es denso. 6 Números irracionalesACTIVIDADES 26 45. Marquen con una X según corresponda. Número 3,4 3 √ ___ 27 √ ___ 24 √ __ 2 __ 2 –3 . π 1,010101… 1,010203… 1,010203 Racional Irracional 46. Representen en la recta numérica los siguientes números irracionales. a. √ __ 3 b. – √ ___ 13 c. √ ___ 17 d. – √ ___ 29 0 47. Escriban tres números irracionales. Expliquen la regla que usaron para generarlos. 48. Escriban los números enteros entre los cuales está comprendida cada expresión. a. < √ __ 3 < c. < – √ ___ 19 < e. < 1 __ 3 √ __ 3 < b. < – √ ___ 85 < d. < 2 √ ___ 15 < f. < – √ ___ 12 + 1 < 49. Resuelvan aplicando propiedades. a. 10 √ __ 2 5 . √ __ 2 = d. ( √ __ 2 . √ __ 3 ) 2 . ( 3 √ __ 2 . 3 √ __ 4 ) = b. √ __ 5 . ( √ __ 5 + √ ___ 20 ) = e. ( 3 √ _____ 1 125 – 3 √ ___ 72 ) : 3 √ __ 9 = c. √ __ 3 . ( √ ___ 27 + 4 √ ___ 48 2 ) = f. 8 √ ___ 612 . 10 √ __ 65 + √ ___ 75 : 6 √ __ 33 = X X X X X X X X Solución gráfica. Por ejemplo: 5,010010001...; 3,212012001...; 2,4681012... 1 2 –5 –4 0 1 –10 –9 7 8 –3 –2 2 12 15 3 21 41 Aproximación y notación científica Nombre: Curso: Fecha: / / 27 6 9 10 1513 1411 127 8 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Cómo se aproxima por truncamiento a los centésimos el número 12,33333? ¿Y por redondeo? b. La temperatura en el interior del Sol es de aproximadamente 15 000 000 °C. ¿Cómo se escribe esa cantidad en notación científica? c. ¿Qué representa en la calculadora la expresión 9–07? En algunas situaciones no es necesario considerar todas las cifras decimales de un número. Para aproximar un número se pueden utilizar dos métodos: el truncamiento y el redondeo. Truncar un número significa “cortar” ese número en una cifra pedida y desechar las siguientes. 2,346 aproximado por truncamiento a los décimos es 2,3. 2,346 aproximado por truncamiento a los centésimos es 2,34. Redondear un número significa conservar las k cifras después de la coma y desechar las demás teniendo en cuenta que: • Si la primera cifra desechada es mayor o igual que 5, se suma una unidad a la última cifra que se conserva; • Si la primera cifra desechada es menor que 5, la última cifra que se conserva queda igual. 2,346 aproximado por redondeo a los décimos es 2,3. 2,346 aproximado por redondeo a los centésimos es 2,35. Notación científica Un número está escrito en notación científica cuando está expresado como el producto entre una potencia de 10 y un número mayor o igual que 1 y menor que 10. La unidad astronómica (UA) es una unidad de longitud igual a 149597870700 m y equivale aproximadamente a la distancia media entre la Tierra y el Sol. Esa distancia se puede expresar de la siguiente forma, usando la notación científica. 149597870700 = 1,49597870700 . 1011 Por ejemplo, para ingresar el número 1,2 . 10 4 , en algunas calculadoras se pulsan las teclas en este orden. 1 . 2 EXP 4 infoactiva test de comprensión a. 12,33. igual. b. 1,5 . 107. c. Representa en notación científica 9 . 10–7. 7 Aproximación y notación científicaACTIVIDADES 28 50. Completen las siguientes tablas con la aproximación de cada número. a. 34,148 b. 0,071 A los… Truncamiento Redondeo A los… Truncamiento Redondeo enteros enteros décimos décimos centésimos centésimos 51. Lean atentamentey resuelvan. Ramiro tiene que reemplazar un vidrio roto de su casa, que tiene forma rectangular y mide 3,23 m x 2,55 m. a. ¿Cuántos metros cuadrados de vidrio tiene que comprar? Redondeen el resultado a los centésimos. b. Si el metro cuadrado de vidrio cuesta $26,50, ¿cuánto debe pagar si la máquina registradora aproxima por truncamiento a los décimos? 52. Rodeen los números que, al redondear los centésimos, dan como resultado el número A. a. A = 0,34 0,345 0,335 0,349 0,347 b. A = 23,09 23,08 23,091 23,087 23,098 53. Expresen en notación científica las cantidades de cada ítem. a. La distancia del Sol a la Tierra es de 150 000 000 km aproximadamente. b. El planeta Tierra se formó hace 4 567 millones de años. c. Pablo se encuentra a 3 000 000 mm de su casa. 54. Escriban en notación científica los siguientes números. a. 0,006 = c. 34,57 = b. 0,00026 = d. 1 234 000 000 = 55. Resuelvan escribiendo previamente en notación científica. a. 0,004 ______ 0,5 = d. 5 000 . 135 000 ______________ 3 000 . 1 200 = b. 0,0002 . 0,03 ____________ 0,05 = e. 3 200 . 120 __________ 500 . 0,04 = c. 0,35 . 254 __________ 28 = f. 45 000 . 2 000 . 0,0006 ____________________ 540 000 = 34 34 0 0 34,1 34,1 0 0,1 34,14 34,15 0,07 0,07 8,24 m2 $218,3 1,5 . 108 4,567 . 109 3 . 106 6 . 10–3 3,457 . 101 2,6 . 10–4 1,234 . 109 8 . 10–3 1,875 . 102 1,2 . 10–4 1,92 . 104 3,175 1 . 10–1 Intervalos reales Nombre: Curso: Fecha: / / 29 7 10 11 12 14138 9 1615 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Cuántos números reales tiene el intervalo (0;1)? b. ¿Cuál es el menor número del intervalo (2;5]? c. ¿Cuál es el menor número del intervalo [2;5]? d. ¿Los intervalos [ –2;5 ] y [ 5;7 ] tienen algún punto en común? Un conjunto de números reales se puede representar de diferentes maneras: a través del lenguaje coloquial, el lenguaje simbólico, en forma de intervalo o en la recta numérica. Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico Intervalo En la recta numérica Todos los números reales mayores que 1 y menores que 4. x > 1 y x < 4 (1;4) 0 1–3 2–2 3–1 4 5 ( ) Todos los números reales mayores o iguales que –3 y menores o iguales que 5. x ≥ –3 y x ≤ 5 [–3;5] 0 1–3 2–2 3–1 4 5 [ ] Todos los números reales mayores o iguales que 1 y menores que 5. x ≥ 1 y x < 5 [1;5) 0 1–3 2–2 3–1 4 5 [ ) En forma de intervalo, el corchete indica que el número pertenece al conjunto y el paréntesis indica que no pertenece. Esta misma notación se utiliza en la representación en la recta numérica. Hay intervalos que son especiales, ya que en uno de sus extremos aparece el símbolo infinito. Lenguaje coloquial: todos los números mayores o iguales que –2. Lenguaje simbólico: x ≥ –2 Intervalo: [–2;+∞) Recta numérica: 0 1–3 2–2 3–1 4 5 [ Lenguaje coloquial: todos los números menores que 3. Lenguaje simbólico: x < 3 Intervalo: (–∞;3) Recta numérica: 0 1–3 2–2 3–1 4 5 ) infoactiva test de comprensión : todos los números mayores o iguales que –2. : todos los números menores que 3. a. Existen infinitos números reales dentro de cualquier intervalo. b. No se puede saber. c. El 2. d. Sí. El punto 5 pertenece a los dos intervalos. 30 8 Intervalos realesACTIVIDADES 30 56. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según pertenece (∈) o no pertenece (∉) al intervalo. a. 3 ∈ [2;5] c. 3 ∉ [3;5] e. –3 ∈ (–3;5] b. –3 ∉ [–2;4] d. –3 ∈ [–3;3) f. 2 ∈ [2;5] 57. Representen los siguientes intervalos en la recta numérica. a. (–3;2) c. [–3;2] b. (–3;2] d. [–3;2) 58. Escriban el intervalo representado en cada recta. a. –2 5 ( ] c. 2 4 [ ] b. –7 –2 ( ] d. –3 [ 59. Escriban el intervalo que representa cada caso y represéntenlo en la recta numérica. a. Todos los números reales mayores que 3. b. Todos los números reales mayores que 5 y menores que 12. c. Todos los números reales mayores o igua- les que –2 y menores que 7. d. Todos los números reales menores que –1. e. Todos los números reales mayores o igua- les que √ __ 3 . f. Todos los números reales mayores que – 3 √ __ 7 y menores que 3 √ __ 7 . 60. Escriban en lenguaje coloquial y simbólico los siguientes intervalos. a. [3;+∞) b. –6 ] V F F V V V (–2;5] [2;4] (–7;–2] [–3;+∞) 3 1 (3;+∞) (–∞;–1) (5;12) [ √ __ 3 ;+∞) –2 7 – 3 √ __ 7 3 √ __ 7 [–2;7) (– 3 √ __ 7 ; 3 √ __ 7 ) x ≥ 3 x ≤ –6 Todos los números mayores o iguales que 3. Todos los números menores o iguales que –6. –3 2 ( ) –3 2 [ ] –3 2 ( ] –3 2 [ ) ( ) [( ) [ ) ( ) 5 12 √ __ 3 31 61. Marquen con una X los números irracionales. a. √ ____ 169 d. √ __ 9 b. √ ___ 69 e. 1 __ 5 c. 4,23242526... f. √ __ 8 62. Escriban tres números irracionales. Luego, expliquen la regla que usaron para crearlos. 63. Representen en la recta numérica los siguientes números. a. √ ___ 18 d. √ ___ 50 b. √ ___ 45 e. √ ___ 38 c. √ ___ 65 f. √ ___ 54 64. Completen con < o >. a. √ __ 6 √ __ 7 d. 3 √ __ 3 3 √ __ 5 b. 3 √ __ 3 √ __ 2 e. 1 __ 2 √ __ 8 2 √ __ 2 c. √ __ 5 5 √ __ 1 f. 4 √ __ 2 5 √ __ 2 65. Escriban lo pedido en cada caso y luego respondan. a. Un número irracional comprendido entre 3 y 4. b. Un número irracional comprendido entre –2 y –1,5. c. Un número irracional mayor que 10 y menor que 11. d. En los ítems anteriores, ¿la solución es única? ¿Por qué? 66. Resuelvan aplicando propiedades. a. 3 √ __ 5 2 . 3 √ __ 5 = b. 15 √ __ 2 5 . 3 √ __ 3 = c. √ __ 3 . ( √ __ 2 + √ __ 5 ) = d. ( √ __ 3 – √ __ 2 ) . √ __ 3 = e. √ __ 5 . ( √ __ 5 + √ __ 3 ) – √ __ 3 . ( √ __ 3 + √ __ 5 ) = f. ( √ __ 2 + √ __ 6 ) . √ __ 2 + ( √ __ 3 . √ __ 2 ) 2 = g. 3 √ __ 69 + √ __ 3 . ( √ __ 3 + √ ___ 27 ) = h. √ __ 7 . ( √ __ 3 ) 4 + √ __ 7 = 67. Lean atentamente y respondan. a. El perímetro de un octógono regular es de 23,34 cm. ¿Cuánto mide cada lado? Aproximen el resultado a los décimos. b. ¿Cuál es el volumen de un cilindro si su diámetro es de 15 m y la altura es de 11 m? Aproximen el resultado a los centésimos. c. Si se trunca un número a los centésimos, se obtiene 4,34. ¿Cuál es el número? ¿Existe una única solución? d. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado cuya área es igual a 2 cm2? e. El volumen de un prisma de base cuadrada es igual a 20 cm3. Si su altura es igual a 4 cm, ¿cuánto miden los lados de la base? 68. Redondeen a los centésimos los siguientes números. a. 3,345 d. 1,943 b. 23,564 e. 3,991 c. –0,345 f. –45,096 69. Realicen el truncamiento a los décimos de los siguientes números. a. 23,456 d. 1,67 b. –24,788 e. 0,04 c. 2,98 f. –0,45 70. Ordenen de menor a mayor. 3,4 . 103; 3,4 . 10–2; 3,4 . 10–5; 3,4 . 10; 3,4 . 104 71. Expresen en notación científica cada uno de los siguientes números. a. 0,004 d. 0,0036 b. 30 000 e. 0,0009 c. 2 300 000 f. 34 200 000 72. Escriban los siguientes números expresa- dos en notación científica. a. 2,3 . 104 d. 3 . 10–5 b. 3 . 106 e. 1,3 . 10–5 c. 1,23 . 105 f. 1,1 . 1010 31 Integración capítulo 16.7.8CONTENIDOS Nombre: Curso: Fecha: / / X X X Solución a cargo del alumno. Solución gráfica. < < > < > > Solución a cargo del alumno. a. 5 b. 3 √ __ 6 c. √ __ 6 + √ ___ 15 d. 3 – √ __ 6 e. 2 f. 8 + √ ___ 12 g. 228 h. 10 √ __ 7 a. 2,9 cm b. V = 1 942,88 m3 c. 4,348. Infinitas soluciones d. √ __ 2 cm e. √ __ 5 cm a. 3,35 b. 23,56 c. –0,35 d. 1,94 e. 3,99 f. –45,10 a. 23,4 b. –24,7 c. 2,9 d. 1,6 e. 0 f. –0,4 3,4 . 10–5 < 3,4 . 10–2 < 3,4 . 10 < 3,4 . 103< 3,4 . 104 a. 4 . 10–3 b. 3 . 104 c. 2,3 . 106 d. 3,6 . 10–3 e. 9 . 10–4 f. 3,42 . 107 a. 23 000 b. 3 000 000 c. 123 000 d. 0,00003 e. 0,000013 f. 11 000 000 000 32 73. Resuelvan escribiendo previamente en notación científica. a. 320 . 430 000 = b. 450 000 . 600 000 = c. 24 000 000 . 12 000 = d. 0,00004 ________ 2 000 = e. 0,0001 . 0,007 _____________ 0,00014 = f. 0,003 . 0,006 ____________ 0,02 . 0,3 = g. 900 000 : 3 000 + 750 = h. 160 000 : 400 _____________ 0,002 + 0,006 = i. 0,055 + 0,005 _____________ 0,0001 = 74. Lean atentamente y resuelvan. a. El recorrido de la luz en un segundo es de 300 000 km. ¿Cuál es la expresión en nota- ción científica? b. Se quiere hacer una fila de cubos de 1 cm de arista. Si la línea debe medir 30 km, ¿cuántos cubos se tendrán que colocar? Expresen la respuesta en notación científica. 75. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. a. 3 ∈ (3;5) b. √ __ 5 ∈ (2;3) c. –4 ∉ [–4;5] d. – √ ___ 12 ∉ [–2;3] e. 1 __ 2 ∈ (0;1) 76. Escriban un intervalo que cumpla con la condición indicada en cada caso. a. Que incluya los números –5 y 7. b. Que incluya el número 2 y no incluya el 5. c. Que uno de sus extremos sea 2, pero que no esté incluido en el intervalo. d. Que sus dos extremos estén incluidos en el intervalo. e. Que incluya los números mayores o iguales que –5 y los menores que 3. f. Que incluya números mayores que –8 y menores o iguales que 4. 77. Escriban el intervalo que corresponde a cada situación. Luego, represéntenlo en la recta numérica. a. Todos los números reales mayores que –3. b. Todos los números reales mayores que 5 y menores o iguales que 12. c. Todos los números reales menores o igua- les que 4. d. Todos los números reales mayores o igua- les que –2 y menores o iguales que 0. 78. Escriban en lenguaje coloquial y como inter- valo. Luego, realicen la representación en la recta numérica. a. x < 10 e. –3 < x < 3 b. x > –2 f. 5 ≥ x ≥ –1 c. x ≥ 1 g. 2 ≤ x < 7 d. 1 ≥ x h. –4,5 < x ≤ –1 79. Escriban el intervalo y la expresión simbóli- ca que corresponde a cada recta. a. ] 7 b. –2 4 ( ) c. 3 9 [ ] d. 2 ( e. –2 3 [ ) f. 6 9 ( ] 80. Rodeen el intervalo que corresponde a cada representación. a. 0 6,5 ( ) [0;6,5) (0,6;5) (0;6,5) b. –4 10 ( ] [–4;10) [–4;10] (–4;10] c. –8 [ (–8;+∞) [–8;+∞) [–8;10) 32 1,376 . 108 2,7 . 1011 2,88 . 1011 2 . 10–8 5 . 10–3 3 . 10–3 1,05 . 103 5 . 104 6 . 102 3 . 105 km/s 3 . 106 F V F V V Solución a cargo del alumno. a. (–3;+∞) b. (5;12] c. (–∞;4] d. [–2;0] Solución a cargo del alumno. (–∞;7] x ≤ 7 (–2;4) x > –2 y x < 4 [3;9] x ≥ 3 y x ≤ 9 (2;+∞) x > 2 [–2;3) x ≥ –2 y x < 3 (6;9] x > 6 y x ≤ 9 Autoevaluación 1 81. Resuelvan aplicando propiedades, cuando sea posible. a. 2 3 . 2 5 ______ 2 4 . 2 2 + ( 5 __ 4 ) 3 . ( 5 __ 4 ) 2 : ( 5 __ 4 ) . ( 4 __ 5 ) 3 = b. ( 3 √ ___ 125 ____ 27 – 3 √ _____ – 125 ____ 8 ) . ( 5 __ 2 ) –1 + ( 3 + 4 __ 5 . 3 __ 2 ) 0 = 82. Completen la tabla. Expresión decimal 3,4 0,98 Expresión fraccionaria 29 ___ 9 9 __ 4 Clasificación 83. Representen los siguientes números irracionales en la recta numérica. √ ___ 13 y √ ___ 14 0 84. Resuelvan expresando previamente en notación científica. a. 0,003 . 0,02 ___________ 0,00002 = b. 720 000 _______________ 60 000 . 20 000 = 85. Completen la siguiente tabla. Lenguaje coloquial Lenguale simbólico Intervalo Representación en la recta Todos los números reales mayores que 3 y menores o iguales que 5. 8 ( [–2;1) x ≥ 7 y x ≤ 10 capítulo 33 21 ___ 4 8 __ 3 3,2 2,25 17 ___ 5 89 ___ 90 E. D. E. E. D. P. P. E. D. P. M. E. D. E. Solución gráfica. 3 6 . 10–4 x > 3 y x ≤ 5 (3;5] 3 5 ( ] Todos los números reales mayores que 8. x > 8 (8;∞) Todos los números reales mayores o iguales que –2 y menores que 1. x ≥ –2 y x < 1 –2 1 [ ) Todos los números reales mayores o igua- les que 7 y menores o iguales que 10. [7;10] 7 10 [ ] 34 Lenguaje algebraico Contenidos 9. Expresiones algebraicas. 10. Propiedad distributiva. 11. Cuadrado y cubo de un binomio. 12. Ecuaciones I. 13. Ecuaciones II. 14. Problemas con ecuaciones. 15. Inecuaciones. 2 Situación inicial de aprendizaje 1. Observen la imagen y resuelvan. En la cocina, todos los azulejos tienen el mismo tamaño. Algunos están formados por dos cuadradi- tos blancos y dos azules y otros son rojos. a. Si la medida del lado de cada cuadradito azul es b, marquen con una X las expresiones correctas. • El área de cada cuadradito azul es b2. • El perímetro de cada azulejo es 8b. • El área de cada azulejo es 2b. • El área de cuatro azulejos es 16b. b. Escriban correctamente las expresiones que quedaron sin marcar. capítulo b. El área de cada azulejo es 4b2. El área de cuatro azulejos es 16b2. X X 35 Expresiones algebraicas Una expresión algebraica es una combinación de letras y números relacionados entre sí por una o más operaciones. En una expresión algebraica los números se denominan coeficientes y las letras con sus exponentes forman la parte literal. coeficiente 3x4 parte literal Cuando la expresión algebraica está formada por un solo término, se denomina monomio; cuando está formada por dos términos, binomio. En una expresión algebraica se denominan términos semejantes a los que tienen la misma parte literal. –4x3 + x + 3 __ 2 x – 3 Son términos semejantes. Valor numérico El valor numérico de una expresión algebraica se obtiene reemplazando todas las letras por números; luego, se resuelven las operaciones. Para s = 2, el valor numérico de 3s2 + s + 1 es 15 porque 3 . 22 + 2 + 1 = 15. Las expresiones algebraicas 5 . (a + b) y 5a + 5b son equivalentes, ya que para cualquier par de números reales a y b, al reemplazarlos en cada una, se obtiene el mismo valor numérico. Se puede escribir entonces 5 . (a + b) = 5a + 5b. Operaciones con expresiones algebraicas Operación Ejemplo Para sumar o restar monomios semejantes, se suman o se restan los coeficientes y se escribe a continuación la misma parte literal. 3a + 5a = 8a 5a + 3b – b = 5a + 2b Para multiplicar o dividir dos monomios, se multiplican o se dividen los coeficientes y las partes literales. 6a . 4a3 = 24a4 15a6 : 5a2 = 3a4 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Es cierto que x + x = x2? b. ¿Es verdadera la siguiente equivalencia? a5 + a2 = a7 c. ¿Cuál es el valor numérico de 3x2 para x = 2? d. Las expresiones 4x2b y 4xb2, ¿tienen el mismo coeficiente y parte literal? test de comprensión 35 11 12 13 15 16149 108 17 infoactiva Nombre: Curso: Fecha: / / a. No, es igual a 2x. b. No, no se pueden sumar términos con distinta parte literal. c. El valor numérico es 12. d. Tienen el mismo coeficiente, pero no la misma parte literal. 9 Expresiones algebraicasACTIVIDADES 36 1. Unan con flechas con la expresión correspondiente. a. El doble de la suma entre un número y 7. • 3x – 1 b. El doble de un número, aumentado en 7. • 2 . (x + 7) c. El anterior del triple de un número. • 3 . (x – 1) d. El triple del anterior de un número. • 4x e. El cuádruple de un número. • 2x + 7 2. Escriban en lenguaje simbólico. a. La diferencia entre el anterior de un número entero y la raíz cuadrada de sesenta y cuatro. b. La suma entre el doble del siguiente de un número entero y el triple de ocho. c. La quinta parte del siguiente de cuatro, más el anterior del triple de un número. 3. Escriban la expresión coloquial que corresponde en cada caso. a. (x + 1) . 3 b. 4n – 1 c. 1 __ 2 . (x + 1)2 d. 2x + (2x + 2) 4. Rodeen los monomios semejantes. a. 9b2 9b –8b2 b . b 7c b. 4b 5ab –7ab 9a ba c. 5m2x 8x2m –3m2xmx (mx)2 5. Encuentren el valor numérico de cada expresión, siendo a = – 3 y b = 1 __ 2 . a. a – b = d. –a – 2 __ 3 b + 1 = b. a + 2b = e. 1 __ 6 a + b 2 + b = c. 2 . (a + b) = f. –2a + 3b – (b – a) = (x – 1) – √ ___ 64 El triple del siguiente de un número entero. 2 . (x + 1) + 3 . 8 El anterior del cuádruple de un número entero. 1 __ 5 . (4 + 1) + (3x – 1) La mitad del cuadrado del siguiente de un número entero. La suma de dos números pares consecutivos. – 7 __ 2 –2 –5 11 __ 3 1 __ 4 4 9 Expresiones algebraicasACTIVIDADES 37 Nombre: Curso Fecha / / 6. Resuelvan las siguientes sumas y restas. a. 7a + a – 3a = f. 6a – (–a) + (–9a2) = b. 2 __ 3 b + 5 __ 6 b – b = g. 1,2m 4 + 3,2m2 – 0,8m4 = c. 7m – 3m + 2 = h. 9 __ 2 a + b – 7 __ 3 a – 3 __ 5 b = d. 2a + 3 __ 2 b – 4 __ 5 a = i. ab + 3ac – 5ab – 2ca – 1 = e. 2x2 + 5x + 9x2= j. 2x – ( 2 __ 3 x2 – 1 __ 2 x ) + 1 __ 6 x2 = 7. Resuelvan las siguientes multiplicaciones y divisiones. a. 3x . 6x = f. 15x : 5x = b. 3x . 6y = g. 27x8 : 9x3 = c. 7x4 . x2 = h. 48x5 : 12x3 = d. 3a . a5 . a2 = i. –36a2b4 : 6ab2 = e. (–6x) . (–x2) . y3 = j. –120a 7 ______ –6a3 = 8. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas. a. 5ab – 3a . 1 __ 2 b = d. 7t 3 + t2 . (2t + 3t) = b. (y + 5y – 3y) . 2 __ 3 y 2 = e. ( 2 __ 9 x2 + 1 __ 3 x2 ) : ( 5 __ 6 x – 4 __ 3 x ) = c. 24m6 : 4m2 + m . (–m3) = f. (–2,2a + 7,2a) . (a + 3,2a – 2a) = 5a 1 __ 2 b 4m + 2 6 __ 5 a + 3 __ 2 b 11x2 + 5x 18x2 18xy 7x6 3a8 6x3y3 7 __ 2 ab 2y3 5m4 7a – 9a2 0,4m4 + 3,2m2 13 ___ 6 a + 2 __ 5 b –4ab + ac – 1 5 __ 2 x – 1 __ 2 x 2 3 3x5 4x2 –6ab2 20a4 12t3 – 10 ___ 9 x 11a2 38 9 Expresiones algebraicasACTIVIDADES 38 9. Escriban las expresiones que representan el perímetro y el área de cada figura, en su forma más sencilla. a. d. 2a 1— 3 a 2a 5a 1— 2 a a Perímetro = Perímetro = Área = Área = b. e. 3x x 3 — 4 x 6p 2p Perímetro = Perímetro = Área = Área = c. f. 4c 5c 3c 8b 4b Perímetro = Perímetro = Área = Área = 10. Escriban las expresiones indicadas en cada caso, en su forma más sencilla. a. Rectángulo. b. Triángulo isósceles. La base supera en 4 cm a la altura (x). Cada lado igual mide 7 cm menos que el doble de la base (x). Base = Lado = Altura = Base = Perímetro = Perímetro = Escriban la expresión más sencilla que corresponde al perímetro y al área de cada una de las caras de color rojo, verde y azul, la del área total y la del volumen del cuerpo. Tengan en cuenta que las caras opuestas son del mismo color. menteACTIVA 3x x 2x 14 ___ 3 a 8x 12c Área cara azul: 3x2; área cara verde: 2x2; área cara roja: 6x2; área total: 22x2; perímetro cara roja: 10x; perí- metro cara verde: 6x; perímetro cara azul: 8x; volumen: 6x3 9a 32p 24b 2 __ 3 a 2 5 __ 2 x 2 6c2 7 __ 4 a 2 44p2 24b2 x + 4 x 4x + 8 2x – 7 x 5x – 14 39 Propiedad distributiva Nombre: Curso: Fecha: / / 39 9 12 13 14 161510 11 1817 La multiplicación es distributiva con respecto a la suma y a la diferencia. Las siguientes expresiones representan el área pintada. (a + b) . c = a . c + b . c c ba c . (a + b) = c . a + c . b (3b + 2) . 4b = 3b . 4b + 2 . 4b (3b + 2) . (b + 1) = 3b . b + 3b . 1 + 2 . b + 2 . 1 La división es distributiva solo cuando la suma y la resta están en el lugar del dividendo. (4a + 8) : 4 = 4a : 4 + 8 : 4 4 : (2a + 4) No se puede aplicar la propiedad distributiva. Factor común Las siguientes sumas o restas se pueden expresar como una multiplicación. 50 + 10 = 10 . 5 + 10 . 1 50b2 – 10b = 10 . 5 . b . b – 10 . 1 . b = 10 . (5 + 1) = 10b . (5b – 1) 10 es el dcm entre 50 y 10. Para obtener el factor común de la parte literal se 10 se denomina factor común. escribe la letra que aparece en todos los términos con su menor exponente. 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Es cierto que la suma es distributiva respecto de la resta? b. ¿Se puede distribuir la división respecto de una suma si esa suma está en el lugar del divisor? c. Si se aplica la propiedad distributiva para multiplicar un binomio por un trinomio, ¿cuántos términos tiene la expresión que se obtiene antes de operar entre términos semejantes? d. En la siguiente expresión, ¿se obtuvo correctamente el factor común? a2 + a = a . (a) test de comprensión infoactiva a. No, la suma no es distributiva con respecto a ninguna operación. b. No, solo se puede si está en el lugar del dividendo. c. La nueva expresión tiene seis términos. d. No, falta sumar 1 dentro del paréntesis. 11. Apliquen la propiedad distributiva. a. 3x . (x + 2) = f. (2x2 – 4x) : 2x = b. (4 – y2) . (–2y) = g. ( 3 __ 5 y6 + 10y3 ) : 1 __ 5 y2 = c. 4x . (5x – 2x2 + 1) = h. ( –4a + 2 __ 3 a2 ) : (–2a) = d. 3 __ 2 b 2 . (4b + 1 __ 3 b 3 – 2b2) = i. (2 – x) . (3x + 1) = e. – 1 __ 4 y . (– 2 __ 3 + 16y 2 – 4 __ 5 y) = j. (y 2 + 2y) . (3y – 4) = 12. Obtengan el factor común. a. 4x2 + 2x – 10 = d. 18a3 – 6a5 = b. x4 + x = e. 2 __ 5 b 6 + 3 ___ 10 b 4 = c. 3y2 – 5y5 = f. √ __ 9 m3x – √ __ 9 ma2 = 13. Completen para que se verifique la igualdad. a. (3x2 + 2x) . = –3x5 – 2x4 d. 2 __ 7 pr 2 . ( – 9 __ 4 r6 ) = 18 ___ 7 p3r4 – 9 ___ 14 pr8 b. ( –x2 + ) . xy2 = –x3y2 + 3xy3 e. 1,5n2 – 4,5n5 = . (1 – 3n3) c. 6x8y5z3 + 8x5y2z4 = . (3x3y3 + 4z) f. 3ab2 + = ab . ( + 2 ) 14. Expresen de dos formas diferentes el área total de las siguientes figuras. a. b. b x a ba c d 10 Propiedad distributivaACTIVIDADES 40 3x2 + 6x –8y + 2y3 20x2 – 8x3 + 4x 6b3 + 1 __ 2 b 5 – 3b4 1 __ 6 y – 4y 3 + 1 __ 5 y 2 2 . (2x2 + x – 5) x . (x3 + 1) y2 . (3 – 5y3) x – 2 3y4 + 50y 2 – 1 __ 3 a 2 – 3x2 + 5x 3y3 + 2y2 – 8y 6a3 . (3 – a2) 1 __ 5 b 4 . ( 2b2 + 3 __ 2 ) √ __ 9 m . (m2x – a2) (a + b + c) . d ad + bd + cd x . (a + b) xa + xb –x3 9p2r2 3y 3 __ 2 n 2 2x5y2z3 2ab 3b Cuadrado y cubo de un binomio Nombre: Curso: Fecha: / / 41 10 13 14 15 171611 12 1918 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ¿Es cierto que ( x + 2) 2 = x2 + 4? b. ¿Qué nombre recibe el polinomio que se obtiene al resolver un cuadrado de binomio? c. ¿Cuál es el desarrollo de (3x – 2) 3 ? d. ¿Es cierto que (x – 2) 2 = (x + 2) . (x – 2)? test de comprensión infoactiva (a + b) 2 = (a + b) . (a + b) (a + b) 2 = a . a + a . b + b . a + b . b (a + b) 2 = a 2 + 2 . a . b + b 2 a b ab b bb a aa a . b2 b . a2 (a + b) 3 = b 3 + a 3 + 3 . a . b 2 + 3 . b . a 2 b3 a3 Diferencia de cuadrados Una diferencia de cuadrados se puede expresar como el producto de dos binomios. a 2 – b 2 = (a + b) . (a – b) a I II b I II a b a – b Si al cuadrado de área a2 se le quita el Las figuras I y II se pueden acomodar cuadrado de área b 2 , queda la figura para formar el rectángulo de base a + b pintada de naranja. y altura a – b. a. No, la potenciación no es distributiva con respecto a la suma. b. Un trinomio. c. 27x3 – 54x2 + 36x – 8 d. No. (x – 2)2 = (x – 2) . (x – 2) = x2 – 4x + 4. 42 11 Cuadrado y cubo de un binomioACTIVIDADES 42 15. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. Expliquen la respuesta. a. (x + 5) 2 = x 2 + 25 c. (x + 1) . (x – 1) = x2 – 1 b. (x – 3) 3 = x 3 – 27 d. (2x – 1) 2 = 2x2 – 4x + 1 16. Desarrollen los siguientes cuadrados y cubos de un binomio. a. (3x + 2) 2 = e. (x + 2) 3 = b. (5 – 3a2) 2 = f. ( y + 3 __ 2 ) 3 = c. ( 3 __ 4 b – 1 __ 3 b2 ) 2 = g. (–2 – b2) 3 = d. ( √ __ 3 p – √ __ 2 ) 2 = h. (4c – 2) 3 = 17. Escriban el cuadrado o el cubo
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