Matemática para Iñaki - Ignacio Zalduendo

Vista previa del material en texto

MATEMÁTICAS
Matemática 
para Iñaki 
243 
L A
C I E N C I A
P A R A 
T O D O S 
I G N A C I O 
Z A L D U E N D O
9786071642653-Zalduendo_Matemática-forro.indd 1 28/06/17 11:45
La Ciencia
para Todos
En 1984 el Fondo de Cultura Económica concibió el proyecto
editorial La Ciencia desde México con el propósito de divul-
gar el conocimiento científico en español a través de libros bre-
ves, con carácter introductorio y un lenguaje claro, accesible y
ameno; el objetivo era despertar el interés en la ciencia en un
público amplio y, en especial, entre los jóvenes.
Los primeros títulos aparecieron en 1986; y si bien en un
principio la colección se conformó por obras que daban a cono-
cer los trabajos de investigación de los científicos de lengua espa-
ñola radicados en México, diez años más tarde la convocatoria
se amplió a todos los investigadores hispanohablantes y cambió
su nombre por el de La Ciencia para Todos.
Con el desarrollo de la colección, el Fondo de Cultura Eco-
nómica estableció dos certámenes: el concurso de lectoescritu-
ra “Leamos La Ciencia para Todos”, que busca promover la lec-
tura de la colección y el surgimiento de vocaciones entre los
estudiantes de educación media, y el Premio Internacional de
Divulgación de la Ciencia Ruy Pérez Tamayo, cuyo propósito
es incentivar la producción de textos de científicos, periodistas,
divulgadores y escritores en general cuyos títulos puedan incor-
porarse al catálogo de la colección.
Hoy, La Ciencia para Todos y los dos concursos bienales se
mantienen y aun buscan crecer, renovarse y actualizarse, con
un objetivo aún más ambicioso: hacer de la ciencia parte funda-
mental de la cultura general de los pueblos hispanoamericanos.
Comité de selección de obras
Dr. Antonio Alonso
Dr. Francisco Bolívar Zapata
Dr. Javier Bracho
Dr. Juan Luis Cifuentes
Dra. Rosalinda Contreras
Dra. Julieta Fierro
Dr. Jorge Flores Valdés
Dr. Juan Ramón de la Fuente
Dr. Leopoldo García-Colín Scherer (†)
Dr. Adolfo Guzmán Arenas
Dr. Gonzalo Halffter
Dr. Jaime Martuscelli
Dra. Isaura Meza
Dr. José Luis Morán López
Dr. Héctor Nava Jaimes
Dr. Manuel Peimbert
Dr. José Antonio de la Peña
Dr. Ruy Pérez Tamayo
Dr. Julio Rubio Oca
Dr. José Sarukhán
Dr. Guillermo Soberón
Dr. Elías Trabulse
Primera edición, 2017
Zalduendo, Ignacio
Matemática para Iñaki / Ignacio Zalduendo. — México : FCE, SEP,
Conacyt, 2017
255 p. ; ilus. ; 21 × 14 cm— (Colec. La Ciencia para Todos ; 243)
ISBN 978-607-16-4265-3
1. Matemáticas — Enseñanza y aprendizaje 2. Matemáticas — Uso y
aplicación 3. Divulgación científica I. Ser. II. t.
LC QA39 Dewey 508.02 C569 V. 243
Diseño de portada: Laura Esponda.
Ilustración elaborada a partir de la fotografía de iStock.com/den-belitsky
La Ciencia para Todos es proyecto y propiedad del Fondo de Cultura Económica,
al que pertenecen también sus derechos. Se publica con los auspicios
de la Secretaría de Educación Pública y del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología.
D. R. © 2017, Fondo de Cultura Económica
Carretera Picacho-Ajusco, 227; 14738 Ciudad de México
www.fondodeculturaeconomica.com
Comentarios: editorial@fondodeculturaeconomica.com
Tel. (55) 5227-4672
Se prohíbe la reproducción total o parcial de esta obra, sea cual fuere
el medio, sin la anuencia por escrito del titular de los derechos.
ISBN 978-607-16-4265-3 (rústico)
ISBN 978-607-16-5171-6 (electrónico-pdf)
Hecho en México • Made in Mexico
www.fondodeculturaeconomica.com
mailto:editorial@fondodeculturaeconomica.com
Para Iñaki, claro. . .
ÍNDICE GENERAL
Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
I. La matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
La matemática y las ciencias . . . . . . . . . . . . . . 19
La matemática y la sociedad . . . . . . . . . . . . . . 22
La matemática y el individuo . . . . . . . . . . . . . 24
¿Cómo aprender matemática? . . . . . . . . . . . . . 31
La matemática y el lenguaje . . . . . . . . . . . . . . 35
II. 1, 2, 3, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Los números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Un poco de aritmética de los números naturales . . 45(⋆)Un poco más de aritmética de los números na-
turales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
III. Fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Los números racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
La recta racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Pendientes y proporciones . . . . . . . . . . . . . . . 60
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
IV. Ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Un poco de triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
11
El teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Puntos (y agujeros) en la recta . . . . . . . . . . . . . 76
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
V. Cuadrados y polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Ecuaciones cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
VI. La recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Serie geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
(⋆) Desarrollos diádicos y la recta real R . . . . . . . 102
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
VII. El plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
El plano R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Rectas en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Puntos alineados y segmentos . . . . . . . . . . . . . 118
Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . 120
(⋆) Convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
VIII. El círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Arco capaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
El teorema de las cuerdas . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Cuadriláteros cíclicos y teorema de Ptolomeo . . . . 138
(⋆) Línea de Simson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
IX. Los triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Las funciones circulares . . . . . . . . . . . . . . . . 146
(⋆) Alturas, bisectrices y medianas . . . . . . . . . . 155
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
X. Sucesiones y diferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
La sección dorada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
Sucesión de Fibonacci, dinero y otros intereses . . . 167
Ecuaciones en diferencias . . . . . . . . . . . . . . . 170
12
Ecuaciones de primer orden . . . . . . . . . . . . . . 171
(⋆) Ecuaciones de segundo orden . . . . . . . . . . . 173
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
XI. Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Desigualdad de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Medias aritméticas, geométricas y armónicas . . . . 180
Desigualdad aritmético-geométrico-armónica . . . 182
(⋆) Desigualdad isoperimétrica . . . . . . . . . . . . 184
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
XII. Cilindro, cono y esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Principio de Cavalieri . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Volumen de un cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Volumen de la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
XIII. Aprender a contar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 211
La fórmula binomial y el triángulo de Pascal . . . . 214
Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Probabilidad condicional y teorema de Bayes . . . . 222
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
XIV. Relojes y espías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Aritmética modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Mensajes secretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
(⋆) Sistemas de llave pública . . . . . . . . . . . . . . 235
El teorema chino del resto . . . . . . . . . . . . . . . 238
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
Epílogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Índice analítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
13
PRÓLOGO
Algunos amigos a quienes di a leer versiones preliminares de
este libro me han preguntado para quién está escrito. Curiosa
pregunta, cuando uno considera que la respuesta está en el tí-
tulo. Y sin embargo, es una pregunta válida si se considera un
universo pluripersonal de posibles lectores. Pero antes de con-
testarla, debo empezar por el principio.
En el año 2010, el comienzo de un período de gestión como
vicerrector de la Universidad Torcuato Di Tella me proporcionó
la posibilidad de una labor de construcción institucional grati-
ficante, la oportunidad de conocer y trabajar con una variedad
de personas interesantes, pero también la destrucción total de
mi tiempo de investigación.
Durante más de treinta años de vida profesional como
matemático, dedicada a la investigación y a la enseñanza uni-
versitaria, nunca había tomado conciencia de mi necesidad de
matemática. A poco de comenzar mis tareas de gestión mi abs-
tinencia matemática ya era tal, que se me hizo costumbre apro-
vechar media hora libre entre una reunión y la siguiente para
tomar un ejercicio al azar de un libro al azar e intentar hacerlo.
Los ratos sueltos—en general, cortos— queme aparecían libres
resultaban inútiles para el trabajo de investigación enmatemáti-
ca, que requiere un tiempo de sumersión en el tema y una tran-
quilidad de espíritu con los que ya no contaba.
15
Al mismo tiempo, mi hijo fue entrando en la adolescencia
y comprendí que, salvo que siguiera luego una carrera científi-
ca, mi oportunidad de transmitirle algo de matemática se iba
desvaneciendo.
Fue así que decidí escribir, en mis ratos libres, un libro para
que Iñaki aprendiera matemática.
¿Quématemática? Pues la matemática elemental que me pa-
rece que toda persona culta debería conocer. Fui eligiendo los
temas por el valor estético, pragmático o histórico que encuen-
tro en ellos. Así, espero haber dejado de lado lo que es feo, inútil
y trivial. Y fui engarzando los temas de manera de poder hacer
una presentación razonada. Para ir aproximando una respuesta
a la pregunta inicial, diré qué no es este libro.
Este no es un libro de texto. No podría serlo, ya que desco-
nozco a qué apuntan y de qué se componen los programas que
se utilizan en la escuela media. No he mirado sus contenidos.
Conozco, sí, los resultados obtenidos en la educación de los jó-
venes que egresan de la escuela. Por lo general, no han visto al-
gunas de las partes más bellas de la matemática, saben poco de
su estructura y de su historia, les cuesta mucho utilizarla, y lo
que creen saber en realidad no lo comprenden.
Este no es un libro de divulgación. Este es un libro en el que
casi todo lo que se dice viene acompañado de una demostración,
a veces compleja. Incluye también ejercicios y problemas. Los
libros de divulgaciónno son así, quizás por temor a la pérdida de
lectores en medio de las dificultades. Los libros de divulgación
son necesarios, pero ya hay muchos y buenos.
Este es, simplemente, un libro para Iñaki. Y por extensión,
también para otros —jóvenes o adultos— que, como él, tienen
viva aún su curiosidad, disfrutan de los desafíos y encuentran
placer en el descubrimiento.
Arriba dije “matemática elemental”. Debo hacer dos aclara-
ciones. La primera es que por “elemental” no quiero decir fá-
cil, sino que se encuentra cerca de las bases, la matemática con
la que uno se encuentra primero, si va recorriendo el edificio
16
matemático de abajo hacia arriba. La segunda es que he dejado
fuera temas que sin duda son elementales, y para los que simple-
mente no encontré un buen lugar en mi exposición. También
he pecado en la otra dirección, y cuando un par de temas no ele-
mentales se me pusieron a tiro, no resistí la tentación de incluir-
los. Así, por ejemplo (casi me da vergüenza admitirlo) hay una
construcción detallada del número real, una descripción del sis-
tema RSA de criptografía de llave pública, y una seudodemos-
tración de la desigualdad isoperimétrica.
Entre los temas más notoriamente ausentes se encuentran
las funciones. Si bien aparecen acá polinomios, senos y cosenos,
no lo hacen como funciones, y he preferido dejar de lado tanto
una presentación formal del tema como el estudio de algunas
funciones elementales, por considerar que corresponderíanmás
bien a un curso preparatorio para el cálculo. Sospecho que parte
de la culpa de la monotonía con que aprendenmatemática nues-
tros jóvenes proviene de tener como finalidad la “preparación”
para el cálculo: temas como casos de factorización e inecuacio-
nes con valor absoluto son difíciles de justificar de otra manera.
Y quizás incluso de esa. . . En todo caso, lo he dejado para un
futuro Cálculo para Iñaki.
Al final de cada capítulo hay unos pocos problemas para el
lector serio. No se puede aprender matemática sin sentarse a ha-
cer problemas, y por eso no quise que estuvieran ausentes. Traté
de poner ejercicios interesantes, evitando lo rutinario y las cuen-
tas. Y no es que las cuentas sean innecesarias; simplemente no
me gustan. El grado de dificultad de los problemas es variable:
los hay fáciles y también bastante difíciles. Mi actitud con res-
pecto a los ejercicios es que son para practicar, y que su utilidad
consiste en dar ganas de estar un rato pensando. El aprendizaje
se produce con el intento de resolverlosmás que con su solución
efectiva, de manera que si alguno no sale, no se pierde nada y
algo se habrá ganado.
Decía que en este libro hay demostraciones. Creo que si no
las hubiera, no sería un libro de matemática. Encuentro todos
17
los días chicos que saben que ángulos opuestos por el vértice
son iguales, que la raíz cuadrada de dos es un número irracio-
nal, que el área de un círculo es π por radio al cuadrado, pero
que no tienen ni la menor idea de por qué. Éstas son cosas cu-
yas demostraciones son simples, y creo que es injustificable ha-
berlas omitido de su educación. La educación matemática debe
incluir demostraciones. Las demostraciones constituyen ejem-
plos de razonamientos lógicos creativos, aportan herramientas
útiles para la resolución de problemas, ejemplifican la estructu-
ra de la matemática y —no pocas veces— dan pie para hablar
de su historia.
Así, he procurado dar —con diversos grados de formali-
dad— al menos alguna justificación o argumentación para casi
todos los resultados contenidos en este libro. También, preten-
diendo que la lectura se pueda hacer de manera ágil, he inten-
tado mantener un tono coloquial y evitar caer en una sucesión
de enunciado-demostración. . . Así y todo, en algunos capítulos
incluí, preferentemente hacia el final, algún material más duro
y complejo. Estas secciones están indicadas con (⋆), y pueden
saltarse con impunidad.
Varias personas leyeron este libro y me lo devolvieron me-
jorado: María Argerich, Gustavo Corach, Betina Duarte, María
Silvia Etcheverry, Maite Fernández Unzueta, Damián Pinasco,
Angelines Prieto Yerro, Susana Zalduendo. También hay quie-
nes desconocen la existencia de este libro y aun así me ayuda-
ron a escribirlo: Pancho Liernur me invitó a diseñar un curso
de Matemática para Arquitectos, obligándome a aprender casi
toda la geometría que hay acá; Baldomero Rubio y RicardoMo-
reno Castillo me regalaron sus propios libros, algunas de cuyas
páginas revolotean sobre éstas. No menos real es mi deuda con
colegas y alumnos con los que he discutido y aprendidomuchos
de estos temas a lo largo de los años. Mi deuda con todos ellos
es clara para mí. A todos, mi agradecimiento.
Buenos Aires, marzo de 
18
I. La matemática
La matemática y las ciencias
Con la acumulación de conocimiento, a lo largo de la historia los
diversos campos del saber se han ido separando, agrupándose
por su objeto de estudio o por sumetodología. Así, por ejemplo,
la biología estudia a los seres vivos, y la astronomía, astros, ga-
laxias y planetas. No es que esto sea clarísimo: no está tan claro
qué es un ser vivo, y tanto el biólogo como el astrónomo deben
saber también algo de química y de física.
Las ciencias físicas y sociales estudian objetos y partes del
mundo real. Lo hacen mediante la observación de esos objetos
o de sus consecuencias sobre otros; imaginan explicaciones y
diseñan y llevan a cabo experimentos para convencerse de que
sus explicaciones son verosímiles. Esas explicaciones y resulta-
dos van formando parte de teorías que se condicen con la reali-
dad observada del objeto de estudio. Con el tiempo, esas teorías
son perfeccionadas o desechadas tras nuevas observaciones, o
se descubren sus límites, o se encuentra que son casos particu-
lares de teorías más generales.
En todo caso, por lo general, las ciencias estudian aspec-
tos del mundo real, obtienen resultados verosímiles y teorías
que finalmente son perfeccionadas o reemplazadas por otras
mejores.
La matemática no es así. La matemática estudia objetos
formales que no existen en el mundo real. Obtiene sobre ellos
19
resultados necesarios. Y por esto sus resultados y teorías no pier-
den validez; se acumulan.
Trataré de explicar esto mejor. Los objetos de estudio de la
matemática no pertenecen al mundo real. Son objetos forma-
les, que sólo existen en la imaginación de la persona que los
piensa. Ejemplo: el número dos no existe en la realidad. Exis-
ten esas dos manzanas, dos ventanas, dos personas. . . , pero el
número dos no está en el mundo real, sino en tu imaginación.
Lo mismo ocurre con cualquier otro número, con el conjun-
to de los números enteros, con una recta, un triángulo o un
círculo.
Conviene distinguir acá entre objetos formales y abstraccio-
nes. Más adelante hablaremos de la utilidad de la matemática, y
de sus aplicaciones almundo real. Toda aplicación de lamatemá-
tica se da a través de una abstracción. Con abstracción quiero de-
cir dejar de lado aspectos de un objeto real para ver su similitud
con un objeto formal. Digamos que querés calcular la superficie
de un terreno que tiene forma triangular. Medís sus tres lados
y utilizás la fórmula de Herón (que verás en el capítulo ix) para
calcular su superficie. Pero ese terreno estaba en la Provincia de
Buenos Aires, pertenecía a un amigo tuyo, en una esquina tenía
un farol y en realidad uno de los lados no era tan recto. . . Todas
cosas que no te importaron y que abstrajiste al usar la fórmula
de Herón, pues el objeto de estudio de la matemática no es el
terreno, sino el triángulo.
Recuerdo una conversación que tuve una vez con Rolf Man-
tel, economista, en la que yo trataba de convencerlo de que lo
que él hacía era muchomás abstracto que lo que hacía yo: “Rolf,
cuando vos decís ‘Sea X un mercado’ perdiste todas las ansias,
temores y caprichos de las personas que comercian en ese mer-
cado; cuando yo digo ‘Sea X un espacio de Banach’, X es un
espacio de Banach. Y lo tengo ahí, enterito sobre mi escritorio.
¿Quién es más abstracto?”
Hay que tener claro que las abstracciones y simplificaciones
que se hacen en cualquier ciencia física o social son inevitables,
20
ya que las realidades que estudian son complejísimas; mucho
más que los objetos matemáticos formales, que son, en compa-
ración, entes muy simples y bien definidos. A la hora de apli-
car la matemática, es esta simplicidad la que le da utilidad, ya
que diversos objetos reales (tras abstracciones y simplificacio-
nes) pueden adecuarse a un mismo objeto o teoría matemática.
Por decirlo con el ejemplo anterior, a cualquier terreno triangu-
lar se le podrá aplicar la fórmula de Herón.
Hemos dicho que la matemática obtiene resultados necesa-
rios. Me refiero a lógicamente necesarios. Los resultados mate-
máticos se obtienen como conclusiones ineludibles a partir de
unas pocas definiciones previas y a través de cadenas de razona-
mientos lógicos rigurosos.
Resultados así obtenidos no pierden validez. Puede ocurrir,
y ocurre, que pierdan interés frente a otros resultados más
fuertes o más interesantes. Pero nunca dejan de ser válidos, y
siempre se pueden obtener otros resultados basándose en ellos.
Así, la matemática se va construyendo, como un edificio, sobre
resultados anteriores, que no caducan.
Ese “edificio” matemático, o cualquiera de sus partes, se
suele presentar como una sucesión de definiciones y resultados
(proposiciones, teoremas, corolarios) en donde, partiendo de
resultados y definiciones anteriores, se arriba a nuevos resul-
tados que se deducen lógicamente de aquéllos. Esta es la for-
ma en que se ordena, se muestra y se explica. La palabra teo-
rema, que tiene la misma raíz que la palabra teatro, significa
“contemplar”.
Pero no es así como el matemático obtiene esos resultados.
En realidad, procede de manera no muy distinta que el biólogo
o economista: mira ejemplos, busca ordenar, se va haciendo una
idea de qué puede ser cierto y qué no; intuye un enunciado y tra-
ta de probarlo, agregando hipótesis o cambiando el enunciado a
medida que lo necesita.Muchas veces ocurre que al encontrar la
llave de la solución al problema planteado, todos los elementos
parecen caer en su lugar y ubicarse solos, como sucede con un
21
rompecabezas cuando se pone la pieza clave. Finalmente, quita
a su presentación todo elemento innecesario y queda un enun-
ciado y una demostración despojada, en la que no siempre se ve
el camino que llevó a intuir el resultado.
Jacques Hadamard, en su libro Psicología de la invención en
el campo matemático, discute muy a fondo cómo es el proce-
so creativo del matemático, sus semejanzas y diferencias con el
de otros intelectuales. Una pregunta que surge en ese libro es
la siguiente: los resultados matemáticos ¿se inventan o se des-
cubren? Su necesidad lógica pareciera indicar que tienen una
existencia independiente, que preexisten y deben ser descubier-
tos. Y muchas veces cuando uno llega a demostrar un enun-
ciado matemático tiene la sensación de que eso ya estaba allí,
sólo que uno no lo veía. . . Sin embargo, su búsqueda es una
actividad creativa en la que reina la libertad y en la que la in-
tuición es guiada por consideraciones estéticas tanto como
lógicas.
Pero quizás toda actividad creativa tiene esta doble faceta
de invención y descubrimiento. . . Como dijo Jean Cocteau con
respecto a la poesía: “El poeta no inventa. Escucha”.
La matemática y la sociedad
Según Graham Greene, el libro de G. H. Hardy, Apología de un
matemático, es la mejor muestra de lo que significa ser un artis-
ta creativo. No dejes de leerlo. Hardy fue un gran matemático
inglés de la primera mitad del siglo xx. En su apología, Hardy
sostiene que la matemática es inútil. Él escribe en la Inglaterra
de entreguerras, y la inutilidad que asigna a la matemática es
su manera de defenderla como inocua: inútil para la guerra (a
diferencia de la química o la física, por ejemplo) e inútil para
causar daño a nuestros semejantes. Por supuesto que la mate-
mática ya se usaba en cantidad de aplicaciones de ingeniería,
que incluían la fabricación de armas y la balística. Pero Hardy
22
defendía otra parte de la matemática (más pura y más cercana
a su propia obra), para la cual no había aplicaciones concretas.
La defendía como expresión elevada del espíritu humano, sin
pragmatismo alguno.
Hoy en día el argumento deHardy no puede hacerse, e inclu-
so su propia área (la teoría analíticade números) ha encontrado
aplicación en el cifrado electrónico de datos, con los que prote-
gen sus comunicaciones tanto los bancos como los ejércitos.
Nuestra sociedad utiliza hoy no sólo la matemática que
Hardy consideraba “ingenieril”. Una enorme cantidad de resul-
tados matemáticos sofisticados son aplicados a diario en comu-
nicaciones, transporte, finanzas, medicina y prácticamente cual-
quier actividad industrial. Desde el vuelo de los aviones hasta la
música que escuchamos, desde los pagos que realizamos por in-
ternet hasta sacar una foto, desde una llamada telefónica hasta
una resonancia magnética; todo pone en movimiento sistemas
que no existirían sin el uso de teoremas bastante sofisticados. La
utilidad de la matemática proviene precisamente de su forma-
lidad. Las teorías matemáticas forman estructuras lógicas que
pueden resultar aplicables a muchas y variadas situaciones del
mundo real.
Pero tampoco pienses que los matemáticos van construyen-
do teorías y teoremas guiados solamente por su curiosidad per-
sonal y sentido estético. Algunos sí lo hacen, pero también hay
muchos matemáticos que trabajan junto con los ingenieros,
físicos, biólogos y economistas que les presentan sus necesida-
des concretas. Se mantiene así una vía de comunicación entre
las personas que demuestran los teoremas y las que los utilizan.
Y eso es afortunado, porque no es que quien va a aplicar la ma-
temática conoce los resultados que necesita, sino que termina
usando lo que conoce.
23
La matemática y el individuo
Está claro, entonces, que lamatemática afecta demanera profun-
da la vida de todos nosotros. Pero lo hace de manera indirecta.
Vivimos en una sociedadmágica en el siguiente sentido: casi na-
die comprende realmente cómo funciona casi nada en nuestra
vida cotidiana. Para cada aspecto de nuestra civilización, hay ex-
pertos que se ocupan de ello. Muchos de estos expertos necesi-
tan conocer y utilizar algo dematemática. Pero, a los demás, ¿les
sirve de algo estudiar matemática? Yo creo que a toda persona
le sirve estudiar matemática. Hace algunos años publiqué en el
diario La Nación la siguiente nota sobre este punto:
Por qué aprender matemática
Mientras describo, por ejemplo, la función logaritmo, un alumno
levanta la mano y dice: “Profe, ¿y esto para qué me va a servir?”
¿Cómo le explico que la única vez en mi vida que usé un lo-
garitmo fue para elegir mi afjp (administradora de fondos de ju-
bilaciones y pensiones)?
La pregunta también surge regularmente en cuanto unomen-
ciona el nombre del teorema que se propone explicar. Es unamuy
buena pregunta. Y no sólo para el alumno, ya que el profesor tam-
bién debe saber para qué enseña matemática y, en consecuencia,
qué ha de enseñar y cómo conviene hacerlo.
Sí, claro, la matemática es muy útil. Es fácil mostrar ejemplos.
Sin matemática no habría autos, remedios, teléfonos, encuestas,
tomografías. . . No habría transporte, ni finanzas ni comunicación
ni producción de casi nada. Pero la respuesta no es ésa, porque el
chico quiere saber para qué le va a servir la matemática a él, no
para qué le va a servir al mundo moderno.
Para algunos—los que en su vida profesional se ocuparán del
diseño o la gestión de las actividades mencionadas arriba—, la
respuesta es que una parte de lo que están aprendiendo será una
herramienta en su quehacer cotidiano o será el sustento teórico
24
necesario sobre el que construirán otras herramientas más espe-
cializadas. De éstos, a los más creativos la matemática les resulta-
rá más útil por aquello de que uno termina echando mano de lo
que sabe, y cuanto más sepa, mejor.
Pero hay otra parte de la respuesta sobre la utilidad de apren-
der matemática que debería ser aplicable absolutamente a todos,
y reside en el poder formativo que tiene su estudio. Aquí no se tra-
ta de descubrir la pólvora: Platón exaltaba ese poder formativo en
la República.
Consideremos el siguiente testimonio: “Finalmente me dije:
jamás seré abogado si no entiendo lo que significa demostrar;
dejé Springfield y regresé a casa de mi padre, donde permanecí
hasta que pude demostrar cada proposición de los seis libros de
Euclides. Entonces supe lo que significa demostrar, y volví a mis
estudios de leyes”. Abraham Lincoln llegó a ser mucho más que
un buen abogado, y aunque no afirmo que fue porque estudió a
Euclides, lo cierto es que cuandouno lee sus cartas y discursos per-
cibe claramente unamente con una sólida formaciónmatemática.
Más cerca, Manuel Belgrano fue un gran impulsor de la matemá-
tica, a la que consideraba “la llave maestra de todas las ciencias
y artes”.
Seme dirá quemis ejemplos son del siglo xix y que hoy en día
se requieren habilidades distintas. No lo creo.Mirar dos pantallas
a la vez mientras se habla de una cosa, se escribe otra paseando
los dedos sobre un teclado y se toma una decisión puede ser una
habilidad útil para un piloto de caza, pero los demás nos vemos
enfrentados diariamente a problemas sutiles y complejos que re-
quieren nuestra atención indivisa y para los cuales tenemos, por
suerte, bastante más de tres segundos. “La educación es lo que
queda tras haber olvidado todo lo que se nos enseñó”, dijo Albert
Einstein. Y la matemática, cuando se enseña bien, deja hábitos y
habilidades intelectuales básicos, esenciales para cualquier perso-
na y de indudable valor social.
¿Por qué es formativa la matemática? En primer lugar, por
su estructura lógica. Para hacer matemática (demostrar algo,
25
resolver un problema) se necesitan muy pocos conceptos, pero
bien definidos y que se han demanejar con un discurso razonado
y despojado de prejuicios. Será importante distinguir lo esencial
de lo accesorio, buscar analogías, cambiar el punto de vista y cap-
tar relaciones escondidas. Todo esto ha de producirse dentro de
una frontera delimitada por reglas claras. Reglas que no admiten
doblez ni excepción.
En segundo lugar, por la creatividad que fomenta. Porque
dentro de esas fronteras bien delimitadas que acabo de mencio-
nar reina la libertad más absoluta. Vale todo. Sobra lugar para
la imaginación y la creatividad (hay, por dar un ejemplo, más de
350 demostraciones del teorema de Pitágoras). Nos guiamos por
nuestra intuición y sentido estético. Así, la matemática es perso-
nal. Tanto que no pocas veces, cuando se lee un teorema se adi-
vina la mano del autor tal como se adivina al pintor cuando se
mira su obra.
En tercer lugar, la matemática obliga a la honestidad. Es difí-
cil engañar a otros sin engañarse antes uno mismo, y en matemá-
tica esto simplemente no se puede: los desvíos, las falsedades, no
encuentran lugar. Existe la posibilidad de error, pero esos errores
nos explotan en la cara. La cuenta da lo que da, y si no nos gusta
el resultado habrá que reconocer que tiene una existencia propia
que escapa a nuestra preferencia y a nuestra voluntad.
En cuarto lugar, la matemática enseña paciencia, tenacidad
y la aceptación de los tiempos humanos. Las máquinas son muy
rápidas, pero ninguna piensa ni puede generar una idea. Para eso
hace falta sopesar alternativas, dejarlas decantar, encontrar un ca-
mino, seguirlo y, cuando falle, buscar otro. “Que venga la inspi-
ración no depende de mí. Lo único que puedo hacer es asegu-
rarme de que me encuentre trabajando”, decía Pablo Picasso. Lo
mismo enseña el hecho de enfrentarse con un buen problema
matemático.
Por último, la matemática nos hace humildes. Porque en ella
encontramos todos, tarde o temprano, los límites claros de nues-
tra fuerza y habilidad. Límites que se podrán superar con tiempo,
26
esfuerzo y estudio, ¡y esto también es formativo! Pero siempre
para encontrar, más allá, nuestros nuevos límites.
Discursos razonados, reglas claras sin excepción, libertad den-
tro de la ley, creatividad, honestidad, paciencia y humildad no son
cosas que nos estén sobrando hoy a los argentinos. Así, llega la
respuesta a la primera pregunta: “Esto te va a servir para ser más
humano, mejor ciudadanoy mejor persona”.
Todo resultadomatemático tiene un contenido (el resultado
en sí) y una forma (la estructura lógica de su justificación). Por
lo general, la utilidad social de la matemática se da a través de
los contenidos, mientras que la utilidad individual se produce a
través de las formas.
Pongamos un ejemplo con un problemamatemático simple
—de contenido trivial, pero forma interesante— y veamos qué
aprendemos de su resolución.
El problema es éste: Supongamos que cada punto del plano es
o bien azul o rojo (pero no sabemos cuál). Hay que mostrar que
hay un triángulo equilátero que tiene los tres vértices del mismo
color.
Iré separando la solución en pasos, para luego poder hacer
comentarios sobre lo que nos enseña cada paso.
Primer paso: he aquí nuestro plano (figura i.):
Figura i.
¿Qué hacemos? Pues algo. Porque si no hacemos nada, no
nos va a salir.
27
Segundo paso: ya que hay que hacer algo, apoyemos el lápiz so-
bre el papel y marquemos un punto (figura i.).
1
Figura i.
¿De qué color es? O azul o rojo, pero no sabemos. ¿Importa
mucho de qué color es? No se nos pide encontrar un triángulo
equilátero con vértices azules. . . , ni se nos pide encontrar uno
con vértices rojos, sino que sean del mismo color, sea cual sea.
Para este problema, las palabras azul o rojo son intercambiables.
Da lo mismo de qué color es ese punto. Digamos que es azul (o
si preferís, llamemos “azul” al color del punto).
Tercer paso: ¿habrá otro punto azul? Si lo hay, marquémoslo. ¿Y
si no lo hubiera? Pues entonces todos los puntos del plano salvo
el primero que marcamos son rojos, y ya hemos terminado: bas-
ta tomar cualquier triángulo equilátero que no tenga ese punto
azul por vértice. Seamos pesimistas y digamos que hemos en-
contrado otro punto azul (figura i.).
Cuarto paso: estamos buscando un triángulo equilátero; tene-
mos dos puntos; fijémonos en los puntos que forman, con estos
dos que ya tenemos, un triángulo equilátero (figura i.).
¿De que color serán? Si alguno es azul, ya hemos termina-
do. Si ambos son rojos, miremos un quinto punto que con estos
dos rojos forme un triángulo equilátero. Si éste fuera rojo, listo.
28
1 2
Figura i.
1 2
3
4
Figura i.
Si es azul, marquemos un sexto punto que con los dos azules
de la derecha forme un triángulo equilátero. Si fuera azul, lis-
to. Digamos que es rojo. Y ahora marquemos un séptimo
punto que con los dos rojos de abajo forme un triángulo equilá-
tero (figura i.).
Quinto paso: si es rojo, ya está. ¿Y si es azul? ¡También!. . . , pues
forma un triángulo equilátero con el primero y el quinto. Sea
del color que sea, hay algún triángulo equilátero con todos los
vértices del mismo color. Terminamos.
29
1 2
3
4
5
6
7
Figura i.
Ahora bien: ¿a quién le importa que haya o no un triángulo
con los vértices delmismo color? ¡Anadie! ¿Puede un contenido
ser más inútil? Y sin embargo, mirá todo lo que aprendimos de
la forma en cada paso:
1) Hacé algo. Lo que sea. La inactividad no produce nada.
2) Distingue entre lo esencial y lo accesorio para cada situación
particular.
3) Algo de lógica (simple pero muy importante): si no existe
uno azul, es que todos son rojos.
4) Concentrate en los elementos de nuestro problema (acá sólo
hay triángulos equiláteros). Insiste. ¡A no rendirse!
5) Está atento. Las oportunidades aparecerán.
30
¿Cómo aprender matemática?
Hoy en día es más difícil aprender matemática que cuando yo
tenía tu edad. La principal razón es que vivimos en una socie-
dad que nos ha acostumbrado a la rapidez, al multitasking, a la
superficialidad y a la imprecisión al hablar. Y aprender matemá-
tica requiere tiempo, concentración, profundidad y precisión en
el lenguaje.
Dirán que soy antiguo: yo creo que la televisión atenta con-
tra la profundidad y la concentración; la computadora, contra la
concentración y el manejo de los tiempos humanos; Facebook
y Twitter, contra la concentración y el lenguaje. Más: en los úl-
timos quince años se ha notado una disminución en la capaci-
dad de los jóvenes para visualizar lo tridimensional (por ejem-
plo, ¿cómo se intersecan dos cilindros?), que algunos atribuyen
a haber pasado mucho tiempo ante una pantalla (bidimensio-
nal). Se nota también una dificultad cada vez mayor para con-
centrar la atención durante más que unos pocos minutos.
No cabe duda de que tanto la televisión como las compu-
tadoras son herramientas extraordinarias, que abren posibilida-
des educativas enormes. Y en este sentido, hay productos exce-
lentes en ambos. Pero por lo general son medios mal utilizados.
Bueno. Es lo que hay. Pero ¿cómo se aprende matemática?
Yo tuve un profe, Enzo Gentile, que decía: “La matemática es
como el piano: se aprende tocando”. Digamos que te aprendiste
a la perfección la partitura entera del Claro de luna de Debussy.
Además, sabés muy bien a qué tecla del piano corresponde cada
nota. ¿Te sentás al piano y te sale? No. De la misma manera, po-
dés estudiarte todos los movimientos de Del Potro, y aprender
cada uno de sus golpes y ver horas de tenis. . . Pero entrar a la
cancha es otra cosa. Para aprender matemática no alcanza con
estudiar todos los teoremas y ver cómo otros resolvieron los pro-
blemas. Hay que sentarse a intentar resolver los problemas uno
mismo. Intentar aprender matemática sin lápiz y papel es como
intentar aprender a andar en bicicleta sin subirse a la bici.
31
Se aprende matemática resolviendo problemas, o tratando
de demostrar enunciados matemáticos. Y a resolver problemas
también se aprende. Hace falta, eso sí, la guía personal de un
maestro que lo pueda hacer, y esos maestros no abundan. Son
más los que dan una lista de cuentas para hacer, como si la ma-
temática fuera hacer cuentas. . . ; y así unos hacen como que
enseñan y los otros hacen como que aprenden, y todos conten-
tos. Pero no se aprende evitando las dificultades, sino enfren-
tándolas.
George Pólya, en su libro Cómo plantear y resolver proble-
mas, da buenas indicaciones sobre cómo encarar la resolución
de un problema. Acá va una versión resumida y adaptada de
las indicaciones de Pólya y algunos pasos que pueden resultarte
útiles:
1) Entendé el problema.
• Distinguí bien entre lo dado (datos) y lo que se quiere pro-
bar o construir (incógnita). ¿Conocés bien las definiciones
y conceptos involucrados?
• ¿Los datos determinan la incógnita? ¿O habrá más de una
solución? En general, es mas fácil encontrar una solución
cuando es única que cuando hay varias posibles.
• Hacé un dibujo. Variá el dibujo. Introducí notación ade-
cuada y simple. Reformulá el problema con tus propias pa-
labras y tu propia notación.
2) Formulá un plan de ataque.
• ¿Has visto antes el problema? Recordá fórmulas, teoremas,
otros problemas relacionados. ¿Has visto otro problema si-
milar? ¿Podés usar aquel resultado, o usar la demostración
de aquel resultado?
• ¡Mirá la incógnita! Es el mejor lugar desde donde comen-
zar a pensar una solución. Si se pide construir algo, imagi-
ná que ya lo tenés: ¿cómo es?
32
• Achicá la distancia entre datos e incógnita: si tuvieras qué
cosa podrías hallar la incógnita. Y los datos ¿cómo se rela-
cionan con esa cosa? ¿Hay una construcción o problema
intermedio que te puede ser útil?
• Variá el problema. ¿Podés resolverlo con datos o incógnita
ligeramente distintos? ¿Podés resolver un problema más
específico? ¿Uno más general?
3) Llevá a cabo el plan.
• Hacé cada paso con cuidado. ¿Dudas de algún paso? Un
paso en falso puede indicar un punto clave.
• ¿Está mal el plan? Muchas veces en la ejecución nos da-
mos cuenta de nuestros errores. Volvé atrás y, si hace falta,
cambiá el plan.
4) Mirá hacia atrás.
• Una vez que te salió, ¿podés identificar los puntos claves
de la solución?
• ¿Podés ver la solución en un pantallazo, de forma global?
• ¿Qué aprendiste? Recordalo. Pasa a formar parte de tu “ca-
ja de herramientas”.
Es claro que no en todo problema deberás (o podrás) utilizar
cada paso que he enunciado. Son simplemente una indicación
de cosas que pueden ayudarte.No hay que encerrarse en ningún
“método”; al contrario, debes estar atento y abierto a cualquier
buena idea que se te ocurra.
Pero intentemos resolver un problema simple teniendo pre-
sentes algunas de las indicaciones que acabo de dar. Acá va el
problema: Tenemos tres jarras con capacidad para 8 litros, 5 li-
tros y 3 litros. No tienen ninguna marca ni forma que nos permi-
ta medir ninguna cantidad de líquido que no sea su capacidad
total (8, 5 y 3 litros). La de 8 litros está llena de agua, y lo que se
nos pide es separar 4 litros.
33
8
5
3
Figura i.
Entendamos el problema: Te-
nemos las tres jarras con las re-
feridas capacidades (figura i.) y
sinmarca alguna, demanera que
la única forma de medir es con
esas cantidades y sus diferencias
(si trasvasamos, por ejemplo, de
la primera a la tercera hasta lle-
narla, sabemos que en la prime-
ra quedan 8−3 = 5). Estas posibles diferencias son importantes,
pues son lo único que tenemos. . . Hay que trasvasar líquido de
manera ordenada hasta poder asegurar que en alguna jarra hay
4 litros. Nos va a convenir usar una notación adecuada: la terna
a b c
indicará que hay en las tres jarras, a, b y c litros respectivamente.
Así, la situación inicial es
8 0 0
y si trasvasamos, digamos, de la primera a la tercera escri-
biremos
8 0 0
5 0 3.
Los tres números deberán siempre sumar 8, que son los litros
de agua que hay. Además, no podemos sobrepasar el 5 en la se-
gunda columna, ni el 3 en la última, ¡porque no caben!
Formulemos un plan de ataque: Notemos que con los reci-
pientes que tenemos es fácil separar 3 litros o 5 litros. ¿Qué nos
pondría cerca de resolver el problema? Si pudiéramos separar
1 litro, con sumarlo a 3 (o restarlo de 5), tendríamos 4. Busque-
mos entonces separar 1 litro. Nos serviría tener en la jarra gran-
de 6 litros, ya que llenando la segunda estaríamos quitando 5 y
nos quedaría 1 litro. A su vez, para separar 6, nos servirá poder
34
separar 2, ya que 8− 2 = 6. Entonces, busquemos poder separar
primero 2, luego 6, luego 1 litro. Ahora tenemos, además de una
notación adecuada, un plan.
Llevemos a cabo el plan: Usando nuestra notación, comence-
mos a buscar 2, 6, y 1 litro. . .
8 0 0
3 5 0
3 2 3 tenemos el 2
6 2 0 tenemos el 6
6 0 2
1 5 2 tenemos el 1
1 4 3 . . . ya está.
4 4 0 ¡Más elegante!
Miremos hacia atrás: Fue muy importante ir de atrás hacia
adelante al pensar nuestro plan, considerando qué situación nos
ponía cerca de una solución. Y la notación facilitó bastante las
cosas.
La matemática y el lenguaje
La matemática no es un lenguaje. Es un cuerpo de conocimien-
tos y de métodos con los que manejar esos conocimientos. Se
expresa en algún lenguaje; por ejemplo, castellano. Como todo
cuerpo de conocimientos, aporta palabras al lenguaje, o toma
de él palabras para designar sus objetos de estudio. La palabra
agudo es una voz del idioma castellano. En matemática, cuan-
do se dice, por ejemplo, ángulo agudo significa uno que mide
menos que un recto. Estas palabras no son matemática. No son
importantes, y si no te gustan, las cambias.
Lo que sí es importante es que entendamos lo que decimos
o escribimos, y que otros lo entiendan cuando lo escuchan o
leen. Por eso hay que ponerse de acuerdo sobre los nombres de
los objetos matemáticos formales de los que tratamos, y sobre
la notación que usaremos al referirnos a ellos.
35
Conviene tener en cuenta que el uso que hace la matemática
de los nombres de sus objetos suele ser de una gran precisión, y
que esos nombres designan cosasmuy bien definidas. Una elipse,
Figura i.
por ejemplo, no es una forma “más
o menos” como la figura i., sino
la intersección entre un cono y un
plano. Una elipse es un objeto tan
bien definido, que una vez fijados
cinco de sus puntos, todos los de-
más quedan determinados: no los
podés elegir.
Recuerdo que una vez en una charla con un arquitecto, és-
te mencionó la palabra “óvalo”. Le pregunté qué era un óvalo.
Asombrado por mi ignorancia, me explicó que un óvalo era un
círculo achatado. . . Pero ¿cómo se achata un círculo? ¿Se achata
en una dirección? ¿En varias? Al achatarse, ¿puede dejar de ser
convexo? ¿Alguna parte de su borde puede quedar transforma-
da en un segmento? Si lo achato desde tres lados, ¿quedará un
triángulo? ¿Un triángulo es un óvalo? Como yo no sé cómo se
achata un círculo, no sé lo que es un óvalo. Ignoro en qué con-
cepto estaba pensando el arquitecto, pero sin duda su óvalo no
era un objetomatemático. Ahora bien, si dos arquitectos hablan
de óvalos, puede ocurrir que tengan en mente conceptos distin-
tos. Y puede ocurrir que no importe, y que su comunicación sea
suficientemente eficaz. . . Si dos matemáticos hablan de elipses,
están pensando en la misma cosa.
La precisión del lenguaje es una de las mayores dificultades
que presenta el aprendizaje de la matemática, ya que el lengua-
je cotidiano pocas veces requiere tal precisión. Pero debes acos-
tumbrarte a que en matemática es así. Las cosas son lo que su
definición dice. Ni más, ni menos.
Además de expresarse en algún lenguaje, la matemática uti-
liza notaciones que—sin llegar a constituir un nuevo lenguaje—
deben, como cualquier otro texto, ser leídas correctamente pa-
ra ser comprendidas. Por ejemplo, = se lee es igual a, < dice es
36
menor que, y ≤ dice es menor o igual a. Una oración completa
deberá contener algo que se lea como un verbo. . . Si escribo
n + 2
(enemás dos), no estoy afirmando nada. Simplemente estoy con-
siderando un número que es dos más que un número descono-
cido n. Si escribo
7
(siete), eso es un siete, pero no estoy diciendo nada sobre el siete.
En cambio, cuando escribo
n + 2 = 7
(ene más dos es igual a siete), esto sí es una oración completa, y
estoy afirmando algo. Esto es información. Tanta, que con esa
información puedo ahora determinar el valor de n, que era an-
tes un número desconocido: si restamos dos de cada lado de
la ecuación (o si preferís, pasamos el 2 restando del otro lado)
quedará una nueva ecuación que dice lo mismo que la anterior,
pero más claramente:
n = 7 − 2;
o sea, que n es cinco. El signo igual (=) se lee como un verbo, y
eso dio significado a la oración.
37
II. 1, 2, 3, . . .
Los números naturales
Tengo entendido que hay comunidades humanas —o las hubo
hasta hace relativamente poco— que carecen de nombres para
los números mayores a tres. Cuentan: “Uno, dos, tres, . . . mu-
chos”. Y las cantidades que siguen se apelotonan en una masa
indistinguible.
Lamatemática, y quizás la civilización, empieza cuando uno
siempre puede distinguir. Cuando uno más no da lo mismo.
Cuando se cuenta con los números naturales:
1, 2, 3, 4, 5, . . .
La esencia de este conjunto de números que usamos para con-
tar es precisamente que empieza con la unidad: 1, y que dado
uno cualquiera de estos números, hay otro que le sigue inme-
diatamente y que es distinto de aquél. Así, los números natura-
les forman una sucesión interminable, como puntos uno detrás
del otro:
1 2 3 4 5 6● ● ● ● ● ● ● ● ●
Los números naturales están ordenados: dados dos distintos,
uno es mayor que el otro. Es usual representarlos ordenados de
menor a mayor, de izquierda a derecha, como en la ilustración
38
anterior semuestra. No hay un número natural que sea elmayor
de todos, pero todo subconjunto de números naturales contie-
ne a uno que es el menor de ese conjunto, el que está más a la
izquierda.
Cuentan que cuando Carl Friedrich Gauss era chico, en su
grado un día hicieron tanto lío, que la maestra se hartó y los
castigó a todos poniéndolos a sumar los primeros 100 números
naturales: 1 + 2 + 3 + ⋯ + 99 + 100. El pequeño Carl entregó
el resultado enseguida y sin ninguna cuenta: 5 050. Lo que ha-
bía hecho este niño fue ordenar bien su suma: el primero más
el último, el segundo más el penúltimo. . . , o sea: (1 + 100) +(2 + 99) + ⋯ + (50 + 51). Cada uno de estos pares suma 101 y
hay 50 de ellos, así que la suma da 50 × 101 = 5 050.
Gauss (1777-1855) había nacido enBraunschweig, donde su
padre era albañil. Tuvo la suerte de que su enormetalento fue
reconocido por susmaestros y finalmente apoyado por el duque
de Braunschweig, quien becó a Gauss para que pudiera estudiar.
Llegó a ser uno de los más grandes matemáticos de la historia,
y tuvo un profundo impacto en el álgebra, la geometría y otras
ramas de la matemática, la astronomía y la física.
Pero volvamos a nuestra suma. Unamanera ligeramente dis-
tinta de mirar la solución de Carl es poner los números en fila
de menor a mayor y, abajo, de mayor a menor:
1 2 3 ⋯ 99 100
100 99 98 ⋯ 2 1
Cada columna suma 101, y hay 100 columnas; la suma total es
100×101, pero comohemos puesto cada número dos veces (una
vez en cada fila), la suma que buscábamos es la mitad:
1 + 2 +⋯+ 99 + 100 = 100 × 101
2
.
De la misma manera podemos sumar los primeros n números
naturales. Pongamos en una primera fila los números de 1 a n,
39
y abajo de éstos, los mismos números en orden decreciente, de
n a 1:
1 2 3 ⋯ n − 1 n
n n − 1 n − 2 ⋯ 2 1
Sumar todos estos números (los de ambas filas) es lo mismo
que sumar todas las columnas. La sumade cada columna es n+1,
y hay n de ellas, o sea que el total es n(n + 1). Cada fila sumará
entonces la mitad:
n(n+1)
2
. Así,
1 + 2 +⋯+ (n − 1) + n = n(n + 1)
2
.
Habrás notado que usé la letra n para hablar de un número
natural cualquiera. Cuando digo “cualquiera”, quiero decir que
de él no sabemos nada, más allá del hecho de ser un número na-
tural. Lo que sabemos (o lo que suponemos) de un número trata-
mos de reflejarlo en la notación que usamos para representarlo.
Así, por ejemplo, si se trata de un número par, lo podría llamar
2k (porque sé que es 2 multiplicado por algo), y si se trata de
un cuadrado (como 4, 9, 16, 25. . . ) que no sé cuál es, podría lla-
marlo k2. Si supiera que es un siete, probablemente lo llamaría 7.
Pero si digo un número n, es que no sé nada de él. Al que le
sigue, lo llamaría n+1. . . Vos dirás: “pero de éste tampoco sabés
nada. ¿Por qué no lo llamás n también?” Buena pregunta. Pero
es que si a los dos los llamo n, de alguna manera estoy afirman-
do que son iguales. . . En todo caso, para hablar de un número
natural del que no sé nada, si ya usé el nombre n, al nuevo le
pondría, por ejemplo, m. En este caso, no es tan cierto que del
siguiente de n no sé nada: sé que es el que le sigue a uno al que
ya le puse un nombre. Y si quisiera hablar —por ejemplo— del
triple de n, lo llamaría 3n (fijate que de éste ya sé algo: sé que es
múltiplo de 3). Así, tratamos siempre de que los nombres y las
notaciones que utilizamos expresen lo que conocemos.
40
Vamos a hacer otra demostración de la fórmula anterior
usando un método que resulta muy útil cuando de números
naturales se trata. El método se llama inducción, y la idea es la
siguiente. Ya hemos dicho que todos los números naturales se
obtienen a partir del 1 y de la idea de “pasar al siguiente”, o sea,
sumar 1. Digamos ahora que queremos probar algo para todos
los números naturales. Podemos hacerlo así:
a) probarlo para el 1, y
b) suponiendo que vale para un número natural, probarlo para
el siguiente.
Así, por a) vale para 1, luego por b) valdrá para 2, otra vez
por b) valdrá para 3, y luego para 4, para 5. . . Para todos.
Como ejemplo, probemos con este método la fórmula que
ya vimos:
1 + 2 +⋯+ (n − 1) + n = n(n + 1)
2
.
Queremos ver que esto vale para todo valor de n.
a) Veamos que vale para n = 1:
1 = 1(1 + 1)
2
,
efectivamente, vale la fórmula. Ahora,
b) supongamos que vale para n (esto se llama la hipótesis induc-
tiva) y de ahí tratemos de pasar al caso n + 1; o sea, supone-
mos que vale
1 + 2 +⋯+ (n − 1) + n = n(n + 1)
2
y tratamos de probar que vale
1 + 2 +⋯+ n + (n + 1) = (n + 1)(n + 2)
2
41
(que es lo mismo pero habiendo reemplazado n por n + 1).
Veamos que vale esto último:
1 + 2 +⋯+ n + (n + 1) = n(n + 1)
2
+ (n + 1)
= n(n + 1) + 2(n + 1)
2= (n + 2)(n + 1)
2
,
listo. Acá, en el primer renglón, hemos usado la hipótesis in-
ductiva, es decir lo que suponemos válido para n. En el se-
gundo hemos puesto al 2 como común denominador, y en el
tercero hemos sacado (n + 1) como factor común.
La suma de números se puede interpretar como la yuxtapo-
sición de longitudes: si a una soga de 5 metros le ato otra que
mide 3, tendré una soga de 5 + 3 metros: 8 metros. El producto
de números, en cambio, puede comprenderse como superficie:
un terreno rectangular cuyos lados miden, respectivamente, 5
metros y 3 metros, tendrá una superficie de 5×3metros cuadra-
dos: 15 metros cuadrados.
Teniendo esto en cuenta, la figura ii. ilustra una fórmula
que usaremos muchas veces: (n +m)2 = n2 + 2nm +m2.
n
m
n2
nm m2
nm
n m
Figura ii.
42
Hagamos ahora otro ejemplo del uso del método de induc-
ción. Intentemos ver qué pasa si sumamos los primeros núme-
ros impares.
1 = 1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36.
¿Notamos algo? Los resultados son 1 = 12, 4 = 22, 9 = 32, 16 = 42,
25 = 52. . . ¿Será verdad que si sumamos los primeros n nú-
meros impares obtenemos n2? Vamos a probarlo usando induc-
ción. Usaremos también que el n-ésimo número impar puede
escribirse como 2n − 1 (hacé la prueba para n = 1, 2, 3, 4 . . . );
y que, como vimos arriba con mayor generalidad, (n + 1)2 =
n2 + 2n + 1.
a) Empecemos por ver que vale lo que queremos probar para
n = 1: el primer número impar (no tenemosmás para sumar)
es 1, que es también 12.
b) Ahora supongamos que la suma de los primeros n números
impares es efectivamente n2, es decir, supongamos que
1 + 3 + 5 +⋯+ (2n − 1) = n2,
y tratemos de ver que
1 + 3 + 5 +⋯+ (2n − 1) + (2n + 1) = (n + 1)2.
Veamos:
1 + 3 + 5 +⋯+ (2n − 1) + (2n + 1) = n2 + (2n + 1)= n2 + 2n + 1= (n + 1)2,
43
donde en el primer renglón hemos usado lo que supusimos
para la suma de los primeros n impares.
En esta demostración escribimos los números impares po-
niendo 2n − 1 o 2n + 1. Es una buena oportunidad para comen-
tar la necesidad de las buenas definiciones. No es lo mismo sa-
ber lo que es un número par o impar que tener una definición de
“par” o de “impar” con la que se pueda operar. Todos sabemos
que los números impares son
1, 3, 5, 7, 9, 11 . . .
y que los pares son
2, 4, 6, 8, 10, 12 . . .
e incluso si te doy un número que no está en la lista: 34 279,
seguro me podrás decir si es par o impar. Pero digamos que
quiero probar lo siguiente: Si un número elevado al cuadrado
(llamémoslo k2) es par, entonces es porque el número sin elevar
al cuadrado (es decir, k) también lo era. Podemos mirar nuestra
lista de pares durante horas, que de ahí no sacaremos nada por-
que la afirmación involucra a todo número par, y la lista sólo
llega hasta el 12. . . Debemos entonces usar que los números pa-
res son los que pueden escribirse así: 2n, y los impares (mayores
a 1): 2n + 1.
Acá va una demostración de la afirmación de arriba: si nues-
tro número (sin elevarlo aún al cuadrado) no era par, entonces
era impar y se escribía así: k = 2n + 1. Al elevarlo al cuadrado
entonces daba k2 = (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 = 2(2n2 + 2n) + 1.
Pero este número es impar (es de la forma 2 por algo más 1. . . ),
y por lo tanto el cuadrado tampoco era par. Entonces, si k2 es
par, k también lo es.
44
Un poco de aritmética de los números naturales
Digamos que tenés que caminar una distancia de 12 pies, y tu
paso mide 2 pies. Darás 6 pasos y llegarás. Si esa distancia la
recorrés con pasos que miden 3 pies, llegarás en 4 pasos. Si, en
cambio, tu paso mide 5 pies, darás dos pasos y ya estarás muy
cerca. . . , tanto que si das otro paso te habrás pasado por 3 pies
(figura ii.).
0 1 5 10 1512
Figura ii.
Con pasos de 2 pies o de 3 pies llegarás justito, porque 12
es múltiplo de 2 (12 = 6 × 2) y múltiplo de 3 (12 = 4 × 3). En
cambio, 12 no es múltiplo de 5. Cuando dividimos 12 por 5 no
da justo, sino que queda un resto:
12 = 2 × 5 + 2.
Cuando yo tenía tu edad (que la tuve) la división con resto la
hubiéramos escrito así: − 12 5
10 2
2
Si uno quiere dividir el número n por d, se puede hacer co-
mo en el ejemplo dearriba, con pasos que miden d (figura ii.).
0 d 2d 3d
. . .
kd n
Figura ii.
Siempre hay un último paso (digamos el k-ésimo) tras el
cual —si das un paso más— te pasás. Puede escribirse entonces
n = kd + r,
donde r, el resto, es lo que falta para llegar de kd a n, que es una
distancia menor que d.
45
Así, dados n y d, siempre podrán encontrarse k y r tales que
n = kd + r, con 0 ≤ r < d.
Esto se llama el algoritmo de división. El número k es el mayor
número tal que kd ≤ n, y el resto r es n − kd.
Cuando el resto es cero, o sea, tenemos n = kd, se dice que
d divide a n, o que n es múltiplo de d. Usaremos la notación n
d
para referirnos al número k, entendiendo que n
d
es un número
entero. . . Las fracciones aparecerán en el próximo capítulo. Un
resultado simple:
Si d divide a n y también a m, entonces divide a an + bm.
Veamos,
an + bm
d
= an
d
+ b m
d
,
que es un número entero, pues n
d
y m
d
lo son.
Todos los números son múltiplos de 1 y de sí mismos. Y a
veces ocurre que el 1 y el propio número son los únicos diviso-
res. Por ejemplo, llegar “justito” al 7 sólo lo podrás hacer con
pasos que midan 1 (o 7). Lo mismo ocurre con el 11, el 29, o
el 947. Los números que tienen sólo dos divisores (el 1 y el pro-
pio número) se llaman números primos. Los primeros números
primos son
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, . . .
Estaría bueno tener una fórmula o una expresión para los
números primos, como las que tenemos para los pares o los im-
pares, pero aunque hoy se sabe muchísimo sobre números pri-
mos, no hay una fórmula ni alguna manera de producirlos ha-
ciendo alguna cuenta. Y si la hubiera sería uno de los secretos
mejor guardados del planeta: los servicios de inteligencia y los
ejércitos usan números primos enormes para cifrar sus comuni-
caciones.
Hay infinitos números primos. Es bastante fácil probar es-
to. Hagámoslo: supongamos que hubiera una cantidad finita de
46
números primos, y hagamos una lista completa ordenándolos
de menor a mayor:
2, 3, 5, 7, . . . ,P.
Así, hemos llamado P al mayor número primo (si sólo hay fini-
tos de ellos, alguno es el más grande de todos). Ahora conside-
remos el número
n = (2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11⋯P) + 1.
Cuando dividimos a n por cualquiera de los números primos
de nuestra lista (que es la lista completa), da resto 1. O sea, si q
es un primo de nuestra lista, n = q× todos los otros primos +1.
Pero entonces n no es divisible por ninguno de los primos, y
por lo tanto debe también ser primo. . . Pero no estaba en la lista,
ya que es muchísimo más grande que P. Hemos llegado a una
contradicción (un “absurdo”) por suponer que hay una cantidad
finita de primos. Luego, debe haber infinitos de ellos.
Estamos trabajando con el conjunto
N = {1, 2, 3, . . .}
de los números naturales. Éstos pueden sumarse ymultiplicarse,
con lo cual producen otros números naturales. Pero no todas las
ecuaciones que podemos plantear con números naturales, sus
sumas y productos encuentran solución dentro de N. Por ejem-
plo, no hay número natural n para el cual valga que n + 3 = 2.
Si queremos las soluciones a todas las ecuaciones de este tipo
necesitamos agregar a los números naturales el cero y los ente-
ros negativos. Obtenemos así lo que se llama el conjunto de los
números enteros:
Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, . . .}.
Si además queremos poder encontrar soluciones a ecuaciones
con productos como 3n = 2, necesitamos las fracciones o núme-
ros racionales. De ellos hablaremos en el próximo capítulo.
Pero antes, veamos algunas cosas más sobre aritmética.
47
(⋆) Un poco más de aritmética
de los números naturales
Dijimos antes que unnúmero primo es unnúmero que tiene dos
divisores: el 1 y el propio número. La mayoría de los números
tienen varios divisores. Por ejemplo, 12 es divisible por 1, 2, 3,
4, 6 y 12. Si vas caminando y marcando donde pisas con pasos
de 4 pies, y luego haces lo mismo con pasos de 6 pies, verás que
hay lugares donde las marcas coinciden:
0, 12, 24, 36, . . .
Éstos sonmúltiplos comunes de 4 y de 6. Cualquier par de núme-
ros —digamos a y b— tienen múltiplos comunes. Por ejemplo,
0, ab, 2ab, . . . No hay unmúltiplo comúnque sea elmayor de los
múltiplos comunes, pero sí habrá un número natural que sea el
menor de los múltiplos comunes de a y de b. Este número se lla-
ma el mínimo común múltiplo de a y b. Puede ser más chico que
el producto ab, por ejemplo, el mínimo común múltiplo de 4 y
6 no es 24, sino 12. Pero, además, el mínimo común múltiplo
de dos números es “mínimo” también en otro sentido: divide
todos los múltiplos comunes de los dos números. Veámoslo:
Si m es el mínimo común múltiplo de a y b, y M es otro múl-
tiplo común de a y de b, entonces m divide a M.
Usando el algoritmo de división, podemos poner
M = km + r, con 0 ≤ r < m.
Como r = M − km y a divide tanto a M como a m, entonces a
divide a r. De la misma manera, b también divide a r. Entonces
r es múltiplo común de a y de b. Si r fuera un número natural
(≥ 1), como es r < m, m no sería el mínimo común múltiplo. . .
Como sabemos que r = 0 o un número natural, sólo le queda
ser cero. Entonces M = km, o sea que m divide a M.
Dos números siempre tienen divisores comunes a ambos.
Por ejemplo el 1 es divisor de cualquier número. El 6 y el 10
48
tienen divisores comunes: 1 y 2. Así como nos interesó el me-
nor múltiplo común de a y b, nos interesará también el mayor
divisor común a ellos. Éste se llamará el máximo común divisor
de a y b. Tenemos el siguiente resultado:
Dados dos números a y b, si m es su mínimo común múltiplo
y D es su máximo común divisor, entonces
ab = mD.
Como ab es múltiplo común de a y de b, m divide a ab, por lo
que recién probamos. Entonces podemos escribir
a = ab
m
m
b
y
b = ab
m
m
a
,
de manera que ab
m
es divisor común de a y de b. Luego,
ab
m
≤ D, (II.1)
ya que D es el mayor de los divisores comunes. Por otro lado,
ab
D
= a b
D
y
ab
D
= b a
D
,
de manera que ab
D
es múltiplo común de a y de b; pero como m
es el menor múltiplo común,
m ≤ ab
D
. (II.2)
49
De (II.1) sale que ab ≤ mD, y de (II.2) sale que mD ≤ ab. Final-
mente, entonces,
ab = mD.
Así, el mínimo comúnmúltiplo de a y b será el producto ab
si y sólo si el máximo común divisor es 1. Cuando esto ocurre
(o sea, que el único divisor común es 1), a y b se dicen copri-
mos. Claramente dos primos distintos son coprimos, ya que su
único divisor común es el 1. Pero también son coprimos, por
ejemplo, el 4 y el 21. El siguiente resultado se llama el lema de
Bézout:
Dado cualquier par de números naturales a y b, existen nú-
meros enteros x y y de manera que el máximo común divisor de
a y b se escribe
ax + by.
Llamemos D a esemáximo común divisor. Consideremos el
conjunto formado por todos los números naturales que pueden
escribirse como ax + by, usando valores enteros de x y de y.
Como cualquier conjunto de números naturales, éste tiene un
primer elemento (un mínimo), que llamaremos d (y pongamos
d = ax + by, para algún valor de x y de y).
Veamos que d divide a a: usando el algoritmo de división,
podemos escribir
a = kd + r, donde 0 ≤ r < d.
Veamos cómo es este resto r (recordemos que es menor que d).
Tenemos
r = a − kd= a − k(ax + by)= a(1 − kx) + by< d.
Como es de la forma a por un número entero más b por otro
(a(1 − kx) + by), al ser estrictamente menor que d, no puede
ser un número natural (d era el menor número natural que se
50
escribía de esa manera). Pero, por otro lado, 0 ≤ r < d. Debe
entonces ser r = 0. Esto dice que a = kd, o sea, que d divide a a.
De la misma manera, d divide también a b. Luego, d es un
común divisor de a y de b y es por lo tanto menor o igual al
máximo común divisor: d ≤ D.
Por otro lado, como D divide a a y a b, D divide a ax + by
(que es d). Así, también ocurre que D ≤ d. Entonces D = d, y
D = ax + by.
Esto implica, por ejemplo, que si dos números a y b son co-
primos, existen números enteros x y y tales que
ax + by = 1
(ya que su máximo común divisor es 1).
Otra cosa que podemos afirmar gracias al teorema: ya he-
mosvisto que todo múltiplo de a y b es también múltiplo del
mínimo comúnmúltiplo de estos dos números. De manera aná-
loga podemos ver ahora que todo divisor común a a y b divi-
de también al máximo común divisor: en efecto, sabemos que
D = ax+by. Pero si d divide tanto a a como a b, divide también
a este número ax + by.
La siguiente es una propiedad importante de números copri-
mos, que usaremos para hablar de la descomposición en primos
de un número cualquiera:
Si a y b son coprimos, y a divide a bc, entonces a divide a c.
bc es múltiplo de a, y claramente es también múltiplo de b.
Entonces bc es múltiplo de m. Pero como D = 1, m es ab, de
manera que bc es múltiplo de ab. Tenemos entonces
bc = kab,
y dividiendo por b,
c = ka.
O sea que a divide a c.
51
Si un número primo p divide a un producto de primos q1⋯qs,
entonces p es uno de ellos.
Haremos una demostración utilizando inducción en el nú-
mero s (la cantidad de primos en el producto q1⋯qs).
Para s = 1, lo que debemos probar es que si p divide a q1,
entonces p es igual a q1. Esto es claro, ya que los únicos divisores
de q1 son el 1 y q1.
Supongamos ahora que vale el resultado para el producto
q1⋯qs, y veámoslo para q1⋯qsqs+1. Razonémoslo así: si p
es qs+1, ya está. Si p no es qs+1, entonces p y qs+1 son copri-
mos, por ser primos distintos. Luego, por el resultado anterior,
p divide al producto q1⋯qs. Pero entonces p es uno de estos pri-
mos por nuestra hipótesis inductiva. Así, p es uno de los primos
q1, . . . , qs, qs+1.
El siguiente resultado se llama el teorema fundamental de la
aritmética, y dice que cada número tiene una única descompo-
sición en primos:
Cada número natural mayor que 1 o bien es primo o se escribe
de una única manera como producto de primos.
Supondremos que un número natural se escribe de dos ma-
neras, y veremos que esas dos maneras deben coincidir. Diga-
mos entonces que un número se escribe como p1⋯pr, y también
como q1⋯qs, es decir, que tenemos
p1⋯pr = q1⋯qs.
Utilizaremos inducción para ver que ambas colecciones de pri-
mos son iguales. Supongamos primero que r = 1, es decir, que
p1 = q1⋯qs.
Como p1 divide a q1⋯qs, por nuestro resultado anterior, debe
ser uno de ellos. Pero entonces en el producto que hemos escrito
como q1⋯qs hay un solo primo (o sea, s = 1) y ese primo es p1.
Supondremos ahora que la afirmación del teorema vale para
p1⋯pr, y probémosla para p1⋯pr pr+1. Tenemos entonces
p1⋯pr pr+1 = q1⋯qs.
52
Como pr+1 divide a q1⋯qs, es uno de estos primos q1, . . . , qs.
Digamos (si no, los renombramos) que es q1. Tenemos entonces,
dividiendo por pr+1,
p1⋯pr = q2⋯qs.
Ahora, por la hipótesis inductiva, ambas colecciones de primos
son iguales.
Un último comentario sobre cómo son el máximo común
divisor, D, y el mínimo común múltiplo, m, de dos números
a y b.
Pensemos en las descomposiciones en primos de a y de b.
Si p es un primo común en ellas, y aparece n veces en una y k
veces en la otra (y digamos que n < k), entonces pn divide tanto
a a como a b; luego, también a D. Si q es un primo que divide a
D, entonces como D divide a a y a b, q también divide a ambos
y aparece en las descomposiciones de ambos. Así,
D = producto de primos comunes al menor exponente.
Ya hemos visto que ab = mD. Luego todos los primos de la
descomposición de ab que no aparecen en la descomposición
de D aparecen en la de m:
m = producto de primos comunes y no comunes,
al mayor exponente.
Problemas
1) Encontrá dos números consecutivos que sumen 71.
2) ¿Qué edad tengo ahora si dentro de 12 años tendré el triple
de la edad que tenía hace 8 años?
3) Verificá que
i) (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2 (cuadrado de
un binomio), y
53
ii) (a + b)(a − b) = a2 − b2 (diferencia de cuadrados).
4) Probá, utilizando inducción, lo siguiente:
i) 1 + 2 + 4 + 8 +⋯+ 2n = 2n+1 − 1;
ii) n2 + n es par;
iii) 5n − 1 es múltiplo de 4;
iv) n(n2 + 5) es múltiplo de 6;
v) (1 + 2 + 3 +⋯+ n)2 = 13 + 23 + 33 +⋯+ n3.
5) Juan tiene una colección de caracoles que consta de entre
60 y 70 caracoles. Si los guarda en cajas de 6, le sobran 3,
y si los guarda en cajas de 5, también. ¿Cuántos caracoles
tiene?
6) Tres autobuses pasan por una misma esquina, el primero
cada 9 minutos, el segundo cada 12 y el tercero cada 4. Si
acaban de pasar los tres, ¿cuándo volverán a coincidir en
esa esquina?
7) La abuela quiere usar un viejo mantel de 120 cm por 80 cm
para hacer servilletas. Si las quiere cuadradas y lo más gran-
des posible, ¿de qué tamaño serán y cuántas puede hacer?
8) ¿Cuáles de los siguientes números son pares para todo valor
de n?
i) 3n2 + 1.
ii) n(n + 1).
iii) (n − 1)(n + 1).
iv) n3 − n.
v) n(3n + 1).
vi) (n + 1)(5n + 2).
54
9) Se sabe que los números a, b y c no son múltiplos de 3. Pro-
bá que entonces a2 + b2 + c2 sí lo es.
10) Probá que si kn es par para algún valor de n, entonces k
es par.
11) Probá que
i) n y n + 1 son coprimos, y
ii) si a y b son coprimos, también lo son ab y a + b.
55
III. Fracciones
Los números racionales
Como sabés, una cosa es compartir caramelos, y otra muy dis-
tinta es compartir una pizza. Más allá de que te guste más la
pizza, me refiero al hecho de que los caramelos no se cortan, y
la pizza, sí.
Digamos, para ser concretos, que tenés 8 caramelos y uste-
des son 3 (dos amigos y vos). Repartir estos caramelos tiene que
ver con lo que en el capítulo anterior llamamos el algoritmo de
división. Dividimos 8 por 3, y da 2, con resto 2:
8 = 2 ⋅ 3 + 2.
O sea, dos caramelos para cada uno, y sobran dos con los que
uno no sabe bien qué hacer. La pizza entre tres es más fácil: un
tercio para cada uno, y no va a sobrar nada.
Cuando podemos dividir así, cortando por donde haga falta,
aparecen las fracciones. Un tercio: 1
3
, dos tercios: 2
3
, un medio:
1
2
, siete quintos: 7
5
. . . Acá la barrita significa dividir. Así, 1
3
es el
resultado de dividir uno por tres; 7
5
es el resultado de dividir
7 por 5.
Así comomuchas cuentas dan elmismo resultado (por ejem-
plo, 6 dividido por 3 es 2, lo mismo que 8 dividido por 4), tam-
bién muchas fracciones que escribimos distinto son en realidad
iguales entre sí; por ejemplo, 1
3
= 2
6
: dividir 1 pizza entre 3 da
el mismo resultado que dividir 2 entre 6: a cada uno le toca
56
un tercio de pizza. Si en una fracción multiplicamos arriba y
abajo por un número, la fracción no cambia, estaremos en rea-
lidad multiplicando y dividiendo la fracción por un mismo
número.
Las fracciones son los números —también llamados núme-
ros racionales— que resultan de dividir números enteros k por
números naturales n. Son los números de la forma k
n
. Así, 1
2
, −3
5
,
8
2
, 0
3
, −3
1
, −2
7
. . . son números racionales. Notarás que entre las
fracciones que acabo de escribir hay números enteros (8
2
= 4,
0
3
= 0, −3
1
= −3). Todos los números que ya conocemos son nú-
meros racionales y se pueden escribir como fracciones, aunque
uno normalmente prefiere escribir 4 en lugar de 8
2
y 1 en lugar
de 5
5
. . .
Eso sí, tenemos ahora muchísimos números que antes no
teníamos: números enteros entre el 0 y el 1 no hay ninguno; sin
embargo, números racionales hay infinitos, por ejemplo: 1
2
, 2
3
,
3
4
, 4
5
. . .
A veces es difícil ver a simple vista que dos fracciones son
iguales. Por ejemplo, 7
9
es igual a 91
117
. También puede ser compli-
cado comparar dos fracciones. ¿Cuál es mayor: 2
4
o 1
3
?
Comparar y sumar fracciones presentan una dificultad si-
milar cuando las fracciones tienen distinto denominador: por
ejemplo, 2
4
+ 1
3
es “dos cuartos más un tercio”. Sumar cuartos
más tercios es como sumar manzanas con naranjas. . . Cuartos y
tercios no son inmediatamente comparables, así que convendrá
expresarlos en términos de las mismas unidades.
Hubieras tenido un problema parecido al cortar la pizza si
había otro amigo que no estaba seguro de venir: no sabés si van
a ser tres o cuatro los que comerán la pizza. ¿La cortas en ter-
cios o en cuartos? La mejor respuesta es en ambos: la cortas en
doceavos.
Si el último amigo llega, les tocará3
12
a cada uno, y si no,
4
12
. Es que 12 es múltiplo tanto de 3 como de 4, y así tanto los
tercios como los cuartos se pueden expresar en términos de do-
ceavos. . .
57
Tanto comparar como sumar fracciones es más fácil si tie-
nen el mismo denominador. Para sumar 2
4
+ 1
3
, convendrá es-
cribir
2
4
= 6
12
y
1
3
= 4
12
,
para luego sumar: 2
4
+ 1
3
= 6
12
+ 4
12
= 10
12
. Y para compararlas:
2
4
= 6
12
> 4
12
= 1
3
,
ya que 6 es mayor que 4.
En general, para sumar fracciones hacemos
a
b
+ c
d
= ad + bc
bd
.
Notemos que si b y d son los denominadores, cualquiermúltiplo
común a ambos podría funcionar comoun común denominador.
Por ejemplo,
7
30
+ 5
21
= 49
210
+ 50
210
= 99
210
.
Para multiplicar fracciones, recordemos que siempre podemos
cambiar el orden de multiplicaciones y divisiones:
(a
b
) ⋅ ( c
d
) = (a ⋅ c)(b ⋅ d) ,
que escribimos más simplemente, sin puntos medios de multi-
plicación ni paréntesis,
a
b
c
d
= ac
bd
.
Basta con tener bien claro qué es lo que está multiplicando, y
qué dividiendo. Por ejemplo, 3
4
2
3
= 6
12
= 1
2
.
58
Ya que arriba hemos comparado dos fracciones, cabe acá un
comentario sobre inecuaciones. Si tenemos una desigualdad, di-
gamos a < b y multiplicamos ambos lados por un número na-
tural (o cualquier número positivo), la desigualdad se mantie-
ne: na < nb. Y vale también al revés, de manera que na < nb
si y sólo si a < b. Entonces, otra manera de comparar fraccio-
nes es multiplicar ambas por números naturales hasta ver qué
desigualdad resulta. . . Si tenemos
2
4
y
1
3
,
multiplicando por 12 obtenemos
2
4
12 y
1
3
12, que es
6 y 4.
Como 6 > 4, entonces 2
4
> 1
3
. También puede pensarse que uno
“pasa” el 4 multiplicando al lado derecho, y el 3 lo “pasa” multi-
plicando al lado izquierdo.
Hay, sin embargo, que tener cuidado, pues si unomultiplica
una desigualdad por un número negativo, la desigualdad debe
cambiar de dirección. Es que si a < b, restando a y b de ambos
lados tenemos
a < b,
a − a − b < b − a − b,−b < −a,
que es − a > −b;
así que multiplicar por −1 da vuelta a la desigualdad. De esto
deducimos otra cosa importante: para cualquier número x, su
cuadrado x2 es mayor o igual a cero (y es cero sólo cuando x era
cero). Es que si x ≥ 0, multiplicando por x, tenemos x2 ≥ 0; y si
x ≤ 0, multiplicando por x, tenemos x2 ≥ 0 también.
59
La recta racional
Ya mencioné que entre el 0 y el 1 hay infinitos números raciona-
les. Pero no es sólo eso: si imaginamos todos los números que
conocemos ordenados como puntos de una recta (la recta racio-
nal, que notaremos con la letraQ),
−1 − 13 0 13 12 23 34 1 43 53 2
a b
resulta que los números racionales están “por todos lados”; son
densos en la recta. Quiero decir con esto lo siguiente: dados dos
puntos de la recta, a y b (como en el dibujo), ubicados donde
sea, y por más juntitos que estén, entre ellos dos hay números
racionales.
Vamos a hacer una demostración de este hecho: es claro que
si uno toma un número natural grande, n, entonces 1
n
es muy
chico, y cuanto más grande sea n, más chico es 1
n
. Digamos que
queremos que 1
n
< b − a. Bastará tomar entonces n > 1
b−a . Con-
sideremos ahora los números racionales que obtenemos a par-
tir del 0, sumando 1
n
: 0, 1
n
, 2
n
, 3
n
, . . . , k
n
, . . . Como la distancia en-
tre cualquiera de éstos y el siguiente es siempre igual a 1
n
, que
es menor que b − a, esta sucesión no puede “saltar por encima”
del segmento ab: para algún valor de k, k
n
cae en el segmento.
Tenemos entonces
a < k
n
< b,
un número racional entre a y b.
Pendientes y proporciones
Subís caminando una colina por un camino recto de tal manera
que por cada cuatrometros que avanzás horizontalmente, ganás
uno en altura. Así, si el camino tiene a lo largo de todo su reco-
rrido la misma pendiente, al avanzar ochometros subirás dos, y
al avanzar veinte, subirás cinco. Precisamente, lo que llamamos
60
pendiente—yque en este camino es siempre igual—es el cocien-
te entre lo que subís y lo que avanzás: 1
4
= 2
8
= 5
20
(figura iii.).
1
2
5
4 8 20
Figura iii.
¿Cuánto subirás si avanzás 16 metros? ¿Cuánto habrá que
avanzar si lo que querés es subir 10 metros? Como la fracción
lo que subís
lo que avanzás
= 1
4
,
es siempre igual —igual a la pendiente— este tipo de pregun-
tas puede plantearse como la igualdad entre dos fracciones (lo
que se llama una proporción): ¿Cuánto subirás (llamémoslo y)
si avanzás 16 metros?
y
16
= 1
4
,
de donde y = 4; ¿cuánto habrá que avanzar (llamémoslo x) si lo
que querés es subir 10 metros?
10
x
= 1
4
,
de donde x = 40.
Un obrero levanta una pared (una pared chiquita) en una
hora. ¿Cuántas levantará en dos horas? Pues dos. Cuando pen-
samos así estamos pensando que la cantidad de paredes levanta-
das es proporcional al tiempo de trabajo: el número de paredes
crecerá siempre al mismo ritmo con las horas de trabajo, como
61
la altura que ganabas avanzando por el camino en pendiente.
Como en aquel caso, podemos escribir la relación entre las dos
cosas
cantidad de paredes
horas de trabajo
= 1,
o dicho de otra manera
cantidad de paredes = horas de trabajo.
Lo esencial acá es que hay una relación que no cambia entre las
dos variables: una es unmúltiplo de la otra, como en el problema
anterior
lo que subís = 1
4
de lo que avanzás.
Cuando tus variables (digamos x y y) están ligadas por una re-
lación como y = 1
4
x, o más generalmente,
y = ax, o lo que es lo mismo y
x
= a,
donde a es un número fijo; decimos que x y y son directamente
proporcionales.
Volvamos a los obreros, las paredes y las horas. Pero en lugar
de dejar fijo el número de obreros, dejemos fija la cantidad de
paredes, y preguntemos: dos obreros levantan una pared, ¿cuán-
to tiempo tardarán? Suena razonable pensar que si uno tardaba
una hora, trabajando los dos tardarán la mitad, media hora. Y si
fueran tres obreros. . . , veinte minutos. El número de obreros y
las horas de trabajo necesarias para levantar una pared no son
directamente proporcionales, sino inversamente proporcionales:
número de obreros = 1
horas de trabajo
.
Variables inversamente proporcionales están ligadas por una re-
lación que podemos escribir así:
y = a
x
, o bien xy = a.
62
Quizás recuerdes, de tus clases de fisicoquímica, las leyes
de Boyle-Mariotte y Gay-Lussac, que explican la relación entre
volumen, temperatura y presión de un gas ideal:
V = aT
P
, o bien PV = aT .
Presión y temperatura son directamente proporcionales entre
sí, como volumen y temperatura, pero volumen y presión son
inversamente proporcionales. Para los obreros, las paredes y las
horas de trabajo escribiríamos:
O = P
H
, o bien OH = P.
Pongamos un par de ejemplos:
Con 14 latas de pintura se ha podido pintar una verja de 210 me-
tros de largo. ¿Cuántas latas serán necesarias para pintar una de
300 metros?
Se nos pregunta por la cantidad de latas que harán falta. Lla-
memos x a este número. El número de latas es directamente pro-
porcional a los metros que podremos pintar con ellas, de mane-
ra que lo que es constante es la fracción
latas
metros
.
Teniendo esto en cuenta, igualemos la fracción que contiene x
con la que ya conocemos:
x
300
= 14
210
.
De acá despejamos x = 14×300
210
= 20. Se necesitarán 20 latas.
12 obreros construyen una larga pared en 6 días. ¿Cuántos hubie-
ran sido necesarios para construirla en 4 días?
63
Llamemos x a la cantidad de obreros que se necesitarán. El
número de obreros es inversamente proporcional a la cantidad
de días, de manera que lo que es constante es el producto
días × obreros.
Así, igualemos la expresión con x a la ya conocida:
4 × x = 6 × 12,
de donde x = 6×12
4
= 18. Se hubieran necesitado 18 obreros.
Va una receta de una torta para que la comas con tus amigos,
los de la pizza (en este libro, la única receta es para cocinar):
Torta simple
6 huevos
180 gramos de azúcar
180 gramos de harina
Mezclar todo; meter, en un molde enmantecado,
al horno a temperatura media, 40 minutos.
Más fácil no hay.