MODELACIÓN, ANÁLISIS NOLINEAL Y DISIPACION DE ENERGIA DE ESTRUCTURAS

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE 
ESCUELA DE INGENIERIA 
Departamento de Ingeniería Estructural y Geotécnica 
 
MODELACIÓN, ANÁLISIS 
NO-LINEAL Y DISIPACIÓN DE 
ENERGÍA DE ESTRUCTURAS 
PLANAS SOMETIDAS A 
TERREMOTOS 
 JUAN PABLO CÁCERES CHOMALI 
 Memoria para optar al título de 
Ingeniero Civil, con Diploma en Ingeniería Estructural 
 Profesor Supervisor: 
RAFAEL RIDDELL C. 
 Santiago de Chile, 2001 
 
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE 
ESCUELA DE INGENIERIA 
Departamento de Ingeniería Estructural y Geotécnica 
 
MODELACIÓN, ANÁLISIS NO-LINEAL 
Y DISIPACIÓN DE ENERGÍA DE 
ESTRUCTURAS PLANAS SOMETIDAS 
A TERREMOTOS 
 JUAN PABLO CÁCERES CHOMALI 
 Memoria presentada a la Comisión integrada por los profesores: 
 
RAFAEL RIDDELL C. 
JUAN CARLOS DE LA LLERA M. 
JORGE CREMPIEN L. 
 
 Quienes recomiendan que sea aceptada para completar las exigencias 
del título de Ingeniero Civil, con Diploma en Ingeniería Estructural 
 Santiago de Chile, 2001 
ii 
 
 
A mi padre, 
A mi madre, por la presencia 
incondicional, y a mis hermanos, 
Para Aisen, quien me mostró el color 
de la ternura, 
A mis amigos de siempre, y a 
Xenakis, por la música. 
 
iii 
AGRADECIMIENTOS 
Gran parte de mi formación como ingeniero se la debo al profesor Juan 
Carlos De la Llera. Su aporte e interés constante en la investigación y la docencia 
son de gran inspiración para desarrollar trabajos como este. También quisiera 
reconocer los aportes realizados por el profesor Rafael Riddell, quien me guió en 
varios aspectos relacionados con el curso de esta investigación, y la disposición a 
participar en este trabajo del profesor Jorge Crempien. 
Agradezco en especial a mi padre Nivaldo Cáceres por su confianza 
siempre infinita, a todos mis compañeros y amigos de la universidad, sin los que mi 
aprendizaje no hubiese sido lo mismo, y en particular el apoyo e interés constante de 
mi amigo y compañero Eduardo Jahnke. 
El desarrollo de esta investigación forma parte del Proyecto FONDECYT 
199012, “Demanda de Disipación de Energía Durante Terremotos y Daño 
Estructural”, el cual es coordinado por el profesor Rafael Riddell. 
 
 
INDICE GENERAL 
Pág. 
DEDICATORIA .......................................................................................................... ii 
AGRADECIMIENTOS .............................................................................................. iii 
INDICE DE TABLAS ................................................................................................ vi 
INDICE DE FIGURAS.............................................................................................. vii 
RESUMEN................................................................................................................ xvi 
I. INTRODUCCIÓN.............................................................................................. 1 
1.1 Motivación y Objetivos.............................................................................. 1 
1.2 Contenido del Estudio ................................................................................ 2 
II. MODELO DE EDIFICO DE CORTE................................................................ 3 
2.1 Sistema Considerado y Ecuación de Movimiento ..................................... 3 
2.2 Propiedades del Sistema............................................................................. 6 
2.3 Expresiones de Energía .............................................................................. 7 
2.4 Ejemplo Numérico ..................................................................................... 8 
III. ENERGÍA DISIPADA EN EDIFICIOS DE CORTE ...................................... 15 
3.1 Modelos Analizados................................................................................. 15 
3.2 Registros de Terremotos Usados.............................................................. 15 
3.3 Ductilidad y Disipación de Energía en Altura ......................................... 17 
3.4 Espectros de Energía por Histéresis......................................................... 38 
3.5 Interpretación de Resultados.................................................................... 43 
IV. MODELO DE EDIFICIO DE MARCO FLEXURAL..................................... 45 
4.1 Sistema Considerado y Ecuación de Movimiento ................................... 45 
4.2 Propiedades del Sistema........................................................................... 47 
V. ELEMENTOS NO-LINEALES Y MÉTODO DE INTEGRACIÓN............... 53 
5.1 Elemento Elastoplástico ........................................................................... 53 
 
5.1.1 Modelación del elemento............................................................... 53 
5.1.2 Implementación ............................................................................. 54 
5.1.3 Ejemplo.......................................................................................... 55 
5.2 Elemento Viga con Plastificación en los Extremos ................................. 56 
5.2.1 Modelación del elemento............................................................... 56 
5.2.2 Implementación ............................................................................. 60 
5.2.3 Validación del modelo................................................................... 62 
5.2.4 Ejemplo.......................................................................................... 63 
5.3 Elemento Columna con Plastificación en los Extremos Definida a 
través de una Curva de Interacción .......................................................... 66 
5.3.1 Modelación del elemento............................................................... 66 
5.3.2 Descripción de la rótula pástica con interacción N-M .................. 69 
5.3.3 Implementación ............................................................................. 72 
5.3.4 Validación del modelo................................................................... 76 
5.3.5 Ejemplo.......................................................................................... 78 
5.4 Método de Integración ............................................................................. 82 
5.4.1 Planteamiento de las ecuaciones.................................................... 82 
5.4.2 Propiedades del sistema en tiempo discreto .................................. 83 
5.4.3 Implementación ............................................................................. 85 
VI. EDIFICIO HOLIDAY INN.............................................................................. 87 
6.1 Descripción del Edificio........................................................................... 87 
6.2 Modelación del Edificio........................................................................... 90 
6.3 Resultados del Análisis ............................................................................ 97 
6.4 Interpretación de resultados ................................................................... 126 
VII. CONCLUSIONES.......................................................................................... 129 
BIBLIOGRAFÍA...................................................................................................... 132 
vi 
INDICE DE TABLAS 
Pág. 
Tabla 2.1: Propiedades edificio de 5 piso .................................................................. 10 
Tabla 3.1: Edificios utilizados con sus períodos (T1) y frecuencias (f1) 
fundamentales ....................................................................................... 15 
Tabla 6.1: Propiedades estructurales de los elementos y materiales ......................... 94 
Tabla 6.2: Enfierraduras de las columnas .................................................................. 95 
Tabla 6.3: Enfierraduras de las vigas ......................................................................... 96 
Tabla 6.4: Masas transalcionalesdel edificio y del marco modelado........................ 96 
Tabla 6.5: Períodos y formas modales elásticos del modelo analizado ..................... 98 
 
vii 
INDICE DE FIGURAS 
Pág. 
Figura 2.1: Modelo de edificio de corte con columnas elastoplásticas........................ 3 
Figura 2.2: Deformación lateral de columnas.............................................................. 4 
Figura 2.3: Modelo elastoplástico................................................................................ 4 
Figura 2.4: Registro Sylmar, componente N00E (1994) ............................................. 8 
Figure 2.5: Edificio de corte de cinco pisos con sus propiedades ............................. 10 
Figura 2.6: Historia de desplazamientos .................................................................... 11 
Figura 2.7: Historia de esfuerzos de corte por piso ................................................... 12 
Figura 2.8: Curvas fuerza-deformación por piso ....................................................... 13 
Figura 2.9: Ductilidad por piso .................................................................................. 14 
Figura 2.10: Energía disipada por histéresis por piso ................................................ 14 
Figura 3.1: Registro de El Centro, componente S00E (1940) ................................... 16 
Figura 3.2: Registro de Sylmar, componente N00E (1994)....................................... 16 
Figura 3.3: Registro de Melipilla, componente N00E (1985).................................... 17 
Figura 3.4: Registro de Llolleo, componente N10E (1985)....................................... 17 
Figura 3.5: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para El Centro, 
componente S00E (1940) ................................................................................. 18 
Figura 3.6: Energía disipada por histéresis de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 
pisos para El Centro, componente S00E (1940)............................................... 18 
viii 
Figura 3.7: Ductilidad de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para El 
Centro, componente S00E (1940) .................................................................... 19 
Figura 3.8: Energía disipada por histéresis de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 
13 pisos para El Centro, componente S00E (1940).......................................... 19 
Figura 3.9: Ductilidad de los edificios de 14, 15, 16, 17, 18 y 19 pisos para El 
Centro, componente S00E (1940) .................................................................... 20 
Figura 3.10: Energía disipada por histéresis de los edificios de 14, 15, 16, 17, 
18 y 19 pisos para El Centro, componente S00E (1940).................................. 20 
Figura 3.11: Ductilidad de los edificios de 21, 24, 28, 33, 39 y 45 pisos para El 
Centro, componente S00E (1940) .................................................................... 21 
Figura 3.12: Energía disipada por histéresis de los edificios de 21, 24, 28, 33, 
39 y 45 pisos para El Centro, componente S00E (1940).................................. 21 
Figura 3.13: Ductilidad de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para El 
Centro, componente S00E (1940) .................................................................... 22 
Figura 3.14: Energía disipada por histéresis de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 
100 pisos para El Centro, componente S00E (1940)........................................ 22 
Figura 3.15: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Sylmar, 
componente N00E (1994)................................................................................. 23 
Figura 3.16: Energía disipada por histéresis de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 
pisos para Sylmar, componente N00E (1994) .................................................. 23 
Figura 3.17: Ductilidad de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para 
Sylmar, componente N00E (1994) ................................................................... 24 
Figura 3.18: Energía disipada por histéresis de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 
y 13 pisos para Sylmar, componente N00E (1994) .......................................... 24 
ix 
Figura 3.19: Ductilidad de los edificios de 14, 15, 16, 17, 18 y 19 pisos para 
Sylmar, componente N00E (1994) ................................................................... 25 
Figura 3.20: Energía disipada por histéresis de los edificios de 14, 15, 16, 17, 
18 y 19 pisos para Sylmar, componente N00E (1994) ..................................... 25 
Figura 3.21: Ductilidad de los edificios de 21, 24, 28, 33, 39 y 45 pisos para 
Sylmar, componente N00E (1994) ................................................................... 26 
Figura 3.22: Energía disipada por histéresis de los edificios de 21, 24, 28, 33, 
39 y 45 pisos para Sylmar, componente N00E (1994) ..................................... 26 
Figura 3.23: Ductilidad de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para 
Sylmar, componente N00E (1994) ................................................................... 27 
Figura 3.24: Energía disipada por histéresis de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 
100 pisos para Sylmar, componente N00E (1994) ........................................... 27 
Figura 3.25: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Melipilla, 
componente N00E (1985)................................................................................. 28 
Figura 3.26: Energía disipada por histéresis de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 
pisos para Melipilla, componente N00E (1985)............................................... 28 
Figura 3.27: Ductilidad de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para 
Melipilla, componente N00E (1985) ................................................................ 29 
Figura 3.28: Energía disipada por histéresis de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 
y 13 pisos para Melipilla, componente N00E (1985)....................................... 29 
Figura 3.29: Ductilidad de los edificios de 14, 15, 16, 17, 18 y 19 pisos para 
Melipilla, componente N00E (1985) ................................................................ 30 
Figura 3.30: Energía disipada por histéresis de los edificios de 14, 15, 16, 17, 
18 y 19 pisos para Melipilla, componente N00E (1985).................................. 30 
x 
Figura 3.31: Ductilidad de los edificios de 21, 24, 28, 33, 39 y 45 pisos para 
Melipilla, componente N00E (1985) ................................................................ 31 
Figura 3.32: Energía disipada por histéresis de los edificios de 21, 24, 28, 33, 
39 y 45 pisos para Melipilla, componente N00E (1985).................................. 31 
Figura 3.33: Ductilidad de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para 
Melipilla, componente N00E (1985) ................................................................ 32 
Figura 3.34: Energía disipada por histéresis de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 
100 pisos para Melipilla, componente N00E (1985)........................................ 32 
Figura 3.35: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Llolleo, 
componente N10E (1985)................................................................................. 33 
Figura 3.36: Energía disipada por histéresis de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 
pisos para Llolleo, componente N10E (1985) .................................................. 33 
Figura 3.37: Ductilidad de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para 
Llolleo, componente N10E (1985) ................................................................... 34 
Figura 3.38: Energía disipada por histéresis de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 
y 13 pisos para Llolleo, componente N10E (1985) .......................................... 34 
Figura 3.39: Ductilidad de los edificios de 14, 15, 16, 17, 18 y 19 pisos para 
Llolleo, componente N10E (1985) ...................................................................35 
Figura 3.40: Energía disipada por histéresis de los edificios de 14, 15, 16, 17, 
18 y 19 pisos para Llolleo, componente N10E (1985) ..................................... 35 
Figura 3.41: Ductilidad de los edificios de 21, 24, 28, 33, 39 y 45 pisos para 
Llolleo, componente N10E (1985) ................................................................... 36 
Figura 3.42: Energía disipada por histéresis de los edificios de 21, 24, 28, 33, 
39 y 45 pisos para Llolleo, componente N10E (1985) ..................................... 36 
xi 
Figura 3.43: Ductilidad de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para 
Llolleo, componente N10E (1985) ................................................................... 37 
Figura 3.44: Energía disipada por histéresis de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 
100 pisos para Llolleo, componente N10E (1985) ........................................... 37 
Figura 3.45: Espectro de energía por histéresis para El Centro, componente 
S00E (1940) ...................................................................................................... 39 
Figura 3.46: Espectro de energía por histéresis para Sylmar, componente N00E 
(1994)................................................................................................................ 40 
Figura 3.47: Espectro de energía por histéresis para Melipilla, componente 
N00E (1985) ..................................................................................................... 41 
Figura 3.48: Espectro de energía por histéresis para Llolleo, componente N10E 
(1985)................................................................................................................ 42 
Figura 4.1: Modelo de edificio de marco flexural ..................................................... 46 
Figura 4.2: Curva de interacción................................................................................ 47 
Figura 4.3: Largo de plastificación de las vigas ........................................................ 48 
Figura 4.4: Largo de plastificación de las columnas.................................................. 48 
Figura 4.5: Definición de deformaciones de las rótulas de las columnas .................. 49 
Figura 4.6: Definición del elemento elástico de largo Lp .......................................... 49 
Figura 4.7: Curva de interacción típica de una sección de hormigón armado........... 51 
Figura 4.8: Procedimiento para obtener la curva de interacción de una sección 
de hormigón armado para ser utilizada en el modelo de marco flexural.......... 52 
Figura 5.1: Definición del elemento elastoplástico................................................... 53 
Figura 5.2: Relación fuerza-deformación elastoplástica............................................ 54 
xii 
Figura 5.3: Historia de deformaciones del elemento elastoplástico .......................... 55 
Figura 5.4: Historia de fuerzas del elemento elastoplástico ...................................... 55 
Figura 5.5: Curva fuerza-deformación elemento elastoplástico ................................ 56 
Figura 5.6: Definición del macro-elemento viga ....................................................... 57 
Figura 5.7: Deformación de la rótula ......................................................................... 58 
Figura 5.8: Relación fuerza-deformación de la rótula en vigas ................................. 59 
Figura 5.9: Definición del elemento elástico interno de la viga ................................ 62 
Figura 5.10: Historia de deformaciones del macro-elemento viga ............................ 64 
Figura 5.11: Historia de fuerzas del macro-elemento viga ........................................ 65 
Figura 5.12: Curvas de momento-rotación para las rótulas elastoplásticas ............... 65 
Figura 5.13: Definición del macro-elemento columna .............................................. 66 
Figura 5.14: Definición de la rótula de las columnas ................................................ 67 
Figura 5.15: Deformación elástica de la rótula con interacción ................................ 70 
Figura 5.16: Deformación elástica y plástica de la rótula con interacción ................ 71 
Figura 5.17: Vértice en la curva de interacción ......................................................... 72 
Figura 5.18: Definición del macro-elemento columna para ser utilizado como 
macro-elemento viga ........................................................................................ 75 
Figura 5.19: Obtención de momento plástico (Mp) de las rótulas para utilizar el 
macro-elemento viga ........................................................................................ 76 
Figura 5.20: Geometría del elemento elástico interno viga ....................................... 77 
Figura 5.21: Historia de deformaciones del macro-elemento columna ..................... 79 
xiii 
Figura 5.22: Historia de fuerzas del macro-elemento columna ................................. 80 
Figura 5.23: Curvas de interacción e historias de fuerzas M-N de las rótulas 
plásticas ............................................................................................................ 81 
Figura 5.24: Curvas fuerzas-deformaciones de las rotulas plásticas ......................... 82 
Figura 6.1: Planta típica del edificio .......................................................................... 89 
Figura 6.2: Elevación transversal típica..................................................................... 90 
Figura 6.3: Modelación geométrica del marco resistente correspondiente al eje 
transversal A: numeración de elementos .......................................................... 93 
Figura 6.4: Dimensiones de elementos y extremos rígidos ....................................... 94 
Figura 6.5: Disposición geométrica de las enfierraduras de las columnas ................ 95 
Figura 6.6: Registro medido en la base del edificio (Northridge, 1994) ................... 97 
Figura 6.7: Formas modales elásticas del modelo analizado ..................................... 99 
Figura 6.8: Historias de desplazamientos relativos a la base................................... 100 
Figura 6.9: Historia de deformaciones de entrepisos (drifts)................................... 101 
Figura 6.10: Historia de esfuerzos de corte por piso ............................................... 102 
Figura 6.11: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en 
el extremo inferior de las columnas del 1º piso.............................................. 103 
Figura 6.12: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en 
el extremo superior de las columnas del 1º piso............................................. 104 
Figura 6.13: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en 
el extremo inferior de las columnas del 2º piso.............................................. 105 
Figura 6.14: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en 
el extremo superior de las columnas del 2º piso............................................. 106 
xiv 
Figura 6.15: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en 
el extremo inferior de las columnas del 3º piso.............................................. 107 
Figura 6.16: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en 
el extremo superior de las columnas del 3º piso............................................. 108 
Figura 6.17: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en 
el extremo inferior de las columnas del 4º piso.............................................. 109 
Figura 6.18: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en 
el extremo superior de las columnas del 4º piso............................................. 110 
Figura 6.19: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en 
el extremo inferior de las columnas del 5º piso..............................................111 
Figura 6.20: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en 
el extremo superior de las columnas del 5º piso............................................. 112 
Figura 6.21: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en 
el extremo inferior de las columnas del 6º piso.............................................. 113 
Figura 6.22: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en 
el extremo superior de las columnas del 6º piso............................................. 114 
Figura 6.23: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en 
el extremo inferior de las columnas del 7º piso.............................................. 115 
Figura 6.24: Curvas de interacción, historias de esfuerzos axial y momento en 
el extremo superior de las columnas del 7º piso............................................. 116 
Figura 6.25: Curvas de momento-deformación en rótulas de vigas del 1º piso....... 117 
Figura 6.26: Curvas de momento-deformación en rótulas de vigas del 2º piso....... 118 
Figura 6.27: Curvas de momento-deformación en rótulas de vigas del 3º piso....... 119 
Figura 6.28: Curvas de momento-deformación en rótulas de vigas del 4º piso....... 120 
xv 
Figura 6.29: Curvas de momento-deformación en rótulas de vigas del 5º piso....... 121 
Figura 6.30: Curvas de momento-deformación en rótulas de vigas del 6º piso....... 122 
Figura 6.31: Curvas de momento-deformación en rótulas de vigas del 7º piso....... 123 
Figura 6.32: Energía disipada en cada piso por hitéresis de las columnas .............. 124 
Figura 6.33: Energía disipada en cada piso por hitéresis de las vigas ..................... 124 
Figura 6.34: Energía total disipada por hitéresis en cada piso................................. 125 
Figura 6.35: Gráfico comparativo de las energías disipadas por hitéresis en 
cada piso ......................................................................................................... 125 
Figura 6.36: Espectro de energía por histéresis para el registro medido en la 
base del edificio (Northridge, 1994), componente horizontal; y energía 
disipada por histéresis para el marco analizado (*)........................................ 128 
 
xvi 
RESUMEN 
Diferentes herramientas se han creado para predecir el comportamiento 
no-lineal de estructuras durante un movimiento sísmico. Este trabajo aborda el 
problema para estructuras planas, donde se implementan y analizan modelos 
correspondientes a dos tipos básicos, edificios de corte y marcos flexurales. 
El modelo de edificio de corte considera columnas con constitutiva 
elastoplástica en todos los pisos. Para este tipo estructural se utilizan cuatro registros 
sísmicos, para los cuales se analizan edificios entre dos y cien pisos. Con esto se 
obtienen distribución de ductilidades y energía disipada por histéresis en altura para 
cada modelo. Además se realizan espectros de energía para cada registro, los que se 
comparan con los espectros correspondientes a sistemas de un grado de libertad. 
Por su parte, el modelo de marco flexural se conforma de elementos en 
los que la plastificación se concentra en rótulas de sus extremos. Las vigas tienen 
rótulas elastoplásticas, mientras que las columnas poseen rótulas que dan cuanta del 
estado límite de plastificación. En estas la fluencia ocurre cuando se alcanza alguna 
de las combinaciones de carga axial y flexural definidas a través de una curva de 
interacción. 
El modelo de marco flexural implementado se utiliza para analizar un 
marco de un edificio real, el cual sufrió daños estructurales severos durante el 
terremoto de Northridge. Con los resultados obtenidos se calcula la distribución de 
energía disipada por histéresis en altura, y así poder compararla con los espectros 
estudiados para los edificios de corte. Además se muestra que el comportamiento de 
la estructura analizada predice en forma bastante correcta el comportamiento real, 
con una modelación sencilla y transparente para el usuario. 
Para integrar todos los modelos de este estudio, se ha escogido un 
método de tipo predictor-corrector orden 2, con las ecuaciones de movimiento 
expresadas en espacio estado. 
1 
 
I. INTRODUCCIÓN 
1.1 Motivación y Objetivos 
La filosofía de diseño sísmico en boga establece un marco conceptual de 
comportamiento, según el cual se generan los códigos y diseñan las estructuras. Este 
es que para sismos de baja intensidad la estructura debe comportarse en forma 
elástica, para movimientos moderados a fuertes se admiten incursiones en el rango 
inelástico y daños no estructurales limitados, mientras que para sismos severos de 
baja probabilidad de ocurrencia en la vida útil de la estructura se aceptarán daños 
importantes pero sin colapso. 
Por esto, dado que el daño es el parámetro clave de diseño, el análisis no-
lineal cobra una importancia fundamental en la predicción del comportamiento de 
una estructura sometida a un movimiento sísmico. 
La presencia de elementos dúctiles permite diseñar estructuras para 
esfuerzos menores a los que requeriría un diseño elástico. Esto se debe a la capacidad 
que tienen estos elementos de disipar energía sin llegar a la rotura o al colapso. Por 
consiguiente un parámetro clave en el diseño y análisis sismorresistente es la 
predicción y control de la disipación de energía por histéresis. Lo que se busca es 
establecer cuales son los elementos que disiparán energía para así diseñarlos 
conforme a ello. 
El estudio del comportamiento no-lineal de estructuras puede llevarse a 
cabo utilizando métodos de variada complejidad, tanto en la modelación como en el 
análisis. Estos van desde los que utilizan factores de reducción y amplificación de los 
parámetros de la respuesta elástica de la estructura, hasta la utilización de elementos 
finitos o elementos fibra. 
Los principales objetivos de la presente investigación son: 
1. Determinar la distribución de ductilidades y energía disipada por histéresis en 
altura de varios edificios de corte no-lineales, y además desarrollar espectros de 
energía disipada por histéresis de estos edificios y compararlos con los de un 
grado de libertad. 
2 
 
2. Desarrollar e implementar elementos no-lineales para modelar marcos flexurales 
planos. Estos deben dar cuanta del comportamiento real de un edificio 
estructurado en basa a marcos con la mayor precisión posible, pero manteniendo 
una modelación sencilla y transparente para el usuario, además de lograr que la 
integración numérica sea de bajo costo. 
 
1.2 Contenido del Estudio 
El desarrollo de este estudio se divide principalmente en tres bloques 
temáticos: 
1. En el Capítulo II se describen los modelos de edificios de corte utilizados, 
mientras que la distribución de ductilidades y energía disipada por histéresis en 
altura, así como los espectros, se muestran y discuten en el Capítulo III. 
2. La modelación general de los marcos flexurales se describe en el Capítulo IV. El 
Capitulo VI contiene un ejemplo para un edificio real, en el cual se utiliza un 
marco flexural modelado como se explica en el Capítulo IV. 
3. En el Capítulo V se explica la modelación e implementación de cada uno de los 
elementos no-lineales utilizados en el estudio. Este capítulo contiene además el 
método de integración tipo predictor-corrector orden 2 que se utiliza para analizar 
todos los modelos, tanto los edificios de corte como los marcos flexurales. 
Las principales conclusiones obtenidas, así como algunas sugerencias 
para investigaciones futuras se incluyen en el Capítulo VII. 
3 
 
II. MODELO DE EDIFICO DE CORTE 
El modelo de edifico de corte consiste en un marco en el cual las vigas se 
suponen infinitamente rígidas, mientras que toda la deformación y ductilidad se 
concentra en las columnas, las que se consideran axialmente rígidas. Por ello estas 
columnas son elementos de una deformación, que corresponde a la deformación de 
entrepiso. 
2.1 SistemaConsiderado y Ecuación de Movimiento 
Los sistemas estudiados son edificios de corte no-lineales de diferentes 
números de pisos. La Figura 2.1 muestra el típico modelo general utilizado en este 
estudio. 
m
m
m
m
m
u2
un-1
u3
un
u1
Vigas Rígidas
( )tgu&&
Columnas
Elastoplásticas 
h
h
h
h
m
m
m
m
m
u2
un-1
u3
un
u1
Vigas Rígidas
( )tgu&&
Columnas
Elastoplásticas 
h
h
h
h
m
m
m
m
u2
un-1
u3
un
u1
Vigas Rígidas
( )tgu&&
Columnas
Elastoplásticas 
h
h
h
h
 
Figura 2.1: Modelo de edificio de corte con columnas elastoplásticas 
La relación fuerza-deformación para cada piso corresponde a una 
constitutiva elastoplástica. Esta se define a través de una rigidez elástica inicial total 
4 
 
k y a una fuerza de fluencia total del piso Fy (Figs. 2.2 y 2.3). La deformación lateral 
de entrepiso se define como “v”. 
F
F
k/2 k/2
v F
F
k/2 k/2
v
 
Figura 2.2: Deformación lateral de columnas 
1
k
1
k
1
k
F(v)
v
Fy
-Fy
uy
1
k
1
k
1
k
F(v)
v
Fy
-Fy
uy
 
Figura 2.3: Modelo elastoplástico 
La ecuación del movimiento de este sistema, cuando se le somete a un 
movimiento sísmico en la base, puede escribirse como 
( ) ( ) ( ) ( )ttt gT urMvFLuCuM &&&&& ⋅⋅−=⋅+⋅+⋅ (2.1) 
donde M es la matriz de masas; C es la matriz de amortiguamiento; u es el vector de 
desplazamientos relativos de las masas con respecto al suelo; v=L⋅u, en que L es la 
matriz de transformación cinemática; F es el vector de fuerzas de los elementos no-
lineales; v es el vector de deformaciones de los elementos no-lineales; gu&& es la 
aceleración del suelo; y r es el vector de influencia. 
5 
 
 El amortiguamiento viscoso, el cual disipa energía durante todas las fases 
de respuesta (elásticas y plásticas), fue modelado a través de una matriz de 
amortiguamiento C clásica. El modelo considera una razón de amortiguamiento 
constante para todos los modos, correspondiente a ξ = 5%. 
Para calcular la matriz de amortiguamiento C, se obtiene primero la 
solución al problema de valores y vectores propios generalizado del par MK, , en 
donde la matriz de rigidez K se calcula utilizando las rigideces iniciales (en rango 
elástico) de cada columna. Para obtener los valores y vectores propios del sistema se 
resuelve la ecuación 
i
2
ii φ⋅⋅ω=φ⋅ MK (2.2) 
donde φi corresponde a la i-ésima forma modal del sistema y ωi a la frecuencia 
propia del modo. 
Conocidas las razones de amortiguamiento modal es posible obtener la 
matriz C realizando la operación 
ΦΦC ⋅
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅ω⋅ξ⋅
⋅ω⋅ξ⋅
⋅ω⋅ξ⋅
⋅= −
nnn
222
111
1
M2
M2
M2
O
 (2.3) 
donde [ ]n21 φφφ= LΦ es la matriz de formas modales; ξi es la razón de 
amortiguamiento del i-ésimo modo y Mi es la masa correspondiente al modo i 
Es una conocida propiedad del álgebra lineal que los modos de vibración 
son ortogonales con respecto a la matrices K y M. Por lo tanto, las masas modales 
Mi se obtienen de la ecuación 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=⋅⋅
n
2
1
T
M
M
M
O
ΦMΦ (2.4) 
6 
 
2.2 Propiedades del Sistema 
La relación constitutiva fuerza-deformación de cada columna queda 
definida por su rigidez k en el rango elástico y su fuerza de fluencia Fy. 
Los valores iniciales de la rigidez (elástica) se determinan de modo que 
satisfagan dos condiciones: 
(a) se debe obtener un periodo fundamental T1, considerando la masa total del 
edificio como unitaria. La masa de cada piso es entonces m=1/n, donde ‘n’ es el 
número de pisos, y 
(b) la aplicación de las fuerzas estáticas laterales equivalentes del código UBC-1994 
debe producir un incremento lineal en las deformaciones de los pisos, i.e., los 
drift de entrepiso deben ser iguales en todo el edificio. 
La distribución de las fuerzas estáticas laterales equivalentes del código 
UBC-1994 se determina utilizando la fórmula 
( )
∑
=
⋅
⋅
−= N
1i
jj
jj
tbj
hw
hw
FVF (2.5) 
donde wj es el peso del piso j; hj es la altura del piso j; Vb es el esfuerzo de corte 
basal; y Ft es la fuerza adicional del último piso. Esta última se define como 
6.3T
6.3T7.0
7.0T
 
V25.0
VT07.0
0
F
1
1
1
b
b1t
≥
<<
≤
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⋅
⋅⋅= (2.6) 
y su propósito es él de considerar el efecto dinámico de los modos superiores. 
En este estudio se ha supuesto que el valor objetivo del periodo 
fundamental del edificio sea 
10
nT1 = (2.7) 
7 
 
 Las fuerzas de fluencia de los elementos se determinan utilizando el 
espectro de respuesta no-lineal de un grado de libertad para el registro sísmico 
requerido. Para esto se elige una ductilidad objetivo de diseño (p.e., µ=5), con lo que 
se determina la pseudo-aceleración Ay correspondiente al periodo fundamental T1. 
Consecuentemente, el esfuerzo de corte basal Vby se calcula como 
W
g
A
V yby ⋅= (2.8) 
donde W es el peso total del edificio y Ay es la pseudo-aceleración del espectro de 
respuesta inelástico correspondiente al periodo fundamental T1 y a un 
amortiguamiento viscoso ξ = 5%. 
El esfuerzo de corte basal Vby corresponde también a la fuerza de 
fluencia Fy del primer piso. Para obtener la fuerza de fluencia del resto de los pisos 
se multiplica este esfuerzo de corte por los factores de esfuerzo de corte en cada piso 
según la distribución de fuerzas estáticas del UBC (Ecs. (2.5) y (2.6)). 
2.3 Expresiones de Energía 
Durante un movimiento sísmico, el suelo transmite energía a la estructura 
a través de su base. Parte de esa energía es almacenada temporalmente en la 
estructura en forma de energía cinética y de deformación. El resto se disipa por 
amortiguamiento y deformación inelástica, esta última correspondiente a la energía 
disipada por la histéresis de las columnas. 
La variable estudiada en esta sección es la energía disipada por histéresis 
EH. El objetivo es hacer una comparación de la energía disipada en sistemas de un 
grado de libertad con los edificios de múltiples grados de libertad. Para esto se 
compara la energía disipada en edificios con igual periodo fundamental que los 
sistemas correspondientes de un grado de libertad. El análisis y estudio de los 
espectros de energía de los sistemas de un grado de libertad se encuentran en el 
trabajo de García y Riddell (1995). 
8 
 
La energía disipada por histéresis corresponde a la suma de las áreas 
encerradas en cada ciclo por las curvas de fuerza-deformación de cada piso de los 
edificios. La energía disipada por histéresis corresponde a 
( ) dtv)v(Fdv)v(FE
ft
0
u
0
i
H ⋅⋅=⋅= ∫∫ & (2.9) 
donde ( )iHE es la Energía disipada por histéresis en el piso i; v es la deformación de 
entrepiso; y F(v) es la fuerza del elemento en función de su deformación v. 
Para obtener la energía disipada por histéresis total ( totHE ) del edificio, se 
realiza la sumatoria de las energías disipadas en cada piso 
( )∑
=
=
n
1i
i
H
tot
H EE (2.10) 
2.4 Ejemplo Numérico 
A continuación se presenta un ejemplo para explicar en detalle el 
procedimiento por el cual se calculan las propiedades del sistema. Este corresponde a 
un edificio de corte de 5 pisos con masa total unitaria. Como input se utiliza el 
registro de Sylmar, componente N00E, terremoto de Northridge, California, 17 de 
enero de 1994. 
0 10 20 30 40 50 60 70
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tiempo (seg)
ac
el
er
ac
ió
n 
(g
)
 
Figura 2.4: Registro Sylmar, componente N00E (1994) 
9 
 
El periodo fundamental objetivo del edificio es 
seg 5.0
10
5
10
pisosºNT1 === 
con lo que se obtiene del espectro inelástico de Sylmar para una ductilidad objetivo 
µ=5, una deformación de fluencia 
uy = 2.7377 cm. 
La pseudo-aceleración correspondiente es 
Ay = ω2⋅uy = (2π/0.5)2⋅2.7377 = 0.4407 g 
El peso total del edificio con masa unitaria m=1 kgf⋅seg2/cm es 
W = m⋅g = g 
Y entonces el esfuerzo de corte basal es 
Vby= 432.3149 kgf 
Para obtener la distribución delas fuerzas laterales estáticas equivalentes 
del código UBC-1994, se realiza el procedimiento explicado en la Sección 2.2, con 
lo que se obtienen las fuerzas estáticas equivalentes indicadas en la Tabla 2.1. 
La rigidez de cada piso se determina de modo que la aplicación de las 
fuerzas estáticas equivalentes produzcan un incremento lineal en las deformaciones 
de los pisos. Es decir, los drift de entrepiso deben ser iguales en todo el edificio. 
Además el período fundamental del edificio T1 debe ser igual a 0.5 seg. Con esto se 
obtienen las rigideces indicadas en la Tabla 2.1. 
Por último, las fuerzas de fluencia de cada piso se obtienen multiplicando 
el esfuerzo de corte basal Vby por los factores de esfuerzo de corte en cada piso 
según la distribución de fuerzas estáticas (Tabla 2.1). 
10 
 
Tabla 2.1: Propiedades edificio de 5 piso 
 Fj (kgf) kj (kgf/cm) Fjy (kgf) 
5º piso 144.1050 157.9137 144.1050 
4º piso 115.2840 284.2446 259.3889 
3º piso 86.4630 378.9928 345.8519 
2º piso 57.6420 442.1583 403.4939 
1º piso 28.8210 473.7410 432.3149 
 
m
m
m=1/5 kgf⋅seg2/cm 
m
m
u2
u4
u3
u5
u1
432.3473.7
403.5442.2
345.9379.0
259.4284.2
144.1157.9
Fjy (kgf)kj (kgf/cm)
m
m
m=1/5 kgf⋅seg2/cm 
m
m
u2
u4
u3
u5
u1
432.3473.7
403.5442.2
345.9379.0
259.4284.2
144.1157.9
Fjy (kgf)kj (kgf/cm)
432.3473.7
403.5442.2
345.9379.0
259.4284.2
144.1157.9
Fjy (kgf)kj (kgf/cm)
403.5442.2
345.9379.0
259.4284.2
144.1157.9
Fjy (kgf)kj (kgf/cm)
 
Figure 2.5: Edificio de corte de cinco pisos con sus propiedades 
En las figuras siguientes se presentan los resultados del análisis del 
edificio. La respuesta incluye las historias de desplazamientos y fuerzas, las curvas 
fuerza-deformación, las ductilidades y la energía disipada en cada piso. 
11 
 
-20
-10
0
10
20
Piso 5
-20
-10
0
10
20
Piso 4
-20
-10
0
10
20
Piso 3
D
es
pl
az
am
ie
nt
o 
(c
m
)
-20
-10
0
10
20
Piso 2
0 10 20 30 40 50 60
-20
-10
0
10
20
Piso 1
Tiempo (seg)
 
Figura 2.6: Historia de desplazamientos 
12 
 
-500
0
500
Piso 5
-500
0
500
Piso 4
-500
0
500
Piso 3
E
sf
ue
rz
o 
de
 C
or
te
 (k
gf
)
-500
0
500
Piso 2
0 10 20 30 40 50 60
-500
0
500
Piso 1
Tiempo (seg)
 
Figura 2.7: Historia de esfuerzos de corte por piso 
13 
 
-500
0
500
Columnas piso 5
-500
0
500
Columnas piso 4
-500
0
500
Columnas piso 3
E
sf
ue
rz
o 
de
 C
or
te
 (k
gf
)
-500
0
500
Columnas piso 2
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-500
0
500
Columnas piso 1
Deformación (cm)
 
Figura 2.8: Curvas fuerza-deformación por piso 
14 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
N
úm
er
o 
de
 P
is
o
µ (cm)
 
Figura 2.9: Ductilidad por piso 
500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
0
1
2
3
4
5
N
úm
er
o 
de
 P
is
o
EH (kgf cm) 
Figura 2.10: Energía disipada por histéresis por piso 
15 
 
III. ENERGÍA DISIPADA EN EDIFICIOS DE CORTE 
3.1 Modelos Analizados 
Para poder representar una amplia gama de períodos fundamentales, se 
selecciona una muestra de edificios de corte de diferente número de pisos. En cada 
uno, el período fundamental corresponde a un décimo del número de pisos, como se 
explicó en la Sección 2.2. Para cada registro utilizado se analizaron 29 edificios de 
corte. La selección se realiza de forma que las frecuencias fundamentales se 
distribuyan en forma aproximadamente equitativa en la escala logarítmica. Los 
edificios utilizados se muestran en la Tabla 3.1. 
Tabla 3.1: Edificios utilizados con sus períodos (T1) y frecuencias (f1) 
fundamentales 
Nº Pisos 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
T1 (seg) 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
f1 (hz) 5.00 3.33 2.50 2.00 1.67 1.43 1.25 1.11 1.00 0.91 0.83 0.77 0.71 0.67 0.63
Nº Pisos 17 18 19 21 24 28 33 39 45 53 62 73 85 100
T1 (seg) 1.7 1.8 1.9 2.1 2.4 2.8 3.3 3.9 4.5 5.3 6.2 7.3 8.5 10
f1 (hz) 0.59 0.56 0.53 0.48 0.42 0.36 0.30 0.26 0.22 0.19 0.16 0.14 0.12 0.10 
 
El diseño de cada edificio se realizó en la forma explicada en la Sección 
2.2. La ductilidad objetivo para todos los modelos es µ=5. 
3.2 Registros de Terremotos Usados 
Los registros utilizados en este Capítulo corresponden a cuatro 
acelerogramas, dos de ellos registrados en Chile en 1985 (Melipilla y Llolleo), y los 
otros dos registrados en California, uno en 1940 (El Centro) y el otro en 1994 
(Sylmar). 
Para corregir los valores iniciales del movimiento del suelo se prefija un 
pulso de aceleración de dos segundos para cada registro. Con esto se logra que todas 
16 
 
las condiciones iniciales (aceleración, velocidad y desplazamiento) sean iguales a 
cero. 
En las figuras siguientes se muestran los registros utilizados. 
0 10 20 30 40 50 60
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
tiempo (seg)
ac
el
er
ac
ió
n 
(g
)
 
Figura 3.1: Registro de El Centro, componente S00E (1940) 
0 10 20 30 40 50 60 70
-1
-0.5
0
0.5
1
tiempo (seg)
ac
el
er
ac
ió
n 
(g
)
 
Figura 3.2: Registro de Sylmar, componente N00E (1994) 
17 
 
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
-1
-0.5
0
0.5
1
tiempo (seg)
ac
el
er
ac
ió
n 
(g
)
 
Figura 3.3: Registro de Melipilla, componente N00E (1985) 
0 20 40 60 80 100 120
-1
-0.5
0
0.5
1
tiempo (seg)
ac
el
er
ac
ió
n 
(g
)
 
Figura 3.4: Registro de Llolleo, componente N10E (1985) 
3.3 Ductilidad y Disipación de Energía en Altura 
El análisis de los edificios permite obtener los dos parámetros relevantes 
de esta sección, la ductilidad y la energía disipada por histéresis en cada piso. En esta 
sección se muestran los gráficos correspondientes a la distribución en altura de las 
ductilidades y la disipación de energía por histéresis de los 29 edificios de corte 
analizados con cada registro (Figs. 3.5 a 3.44), lo que resulta en un total de 116 
sistemas analizados. 
18 
 
0
0.5
1
2 pisos 3 pisos
0
0.5
1
4 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a 5 pisos
0 2 4 6 8 10 12
0
0.5
1
6 pisos
Ductilidad µ
0 2 4 6 8 10 12
7 pisos
Ductilidad µ
 
Figura 3.5: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para El Centro, 
componente S00E (1940) 
0
0.5
1
2 pisos 3 pisos
0
0.5
1
4 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a 5 pisos
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
0
0.5
1
6 pisos
EH (kgf cm)
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
7 pisos
EH (kgf cm) 
Figura 3.6: Energía disipada por histéresis de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 
pisos para El Centro, componente S00E (1940) 
19 
 
0
0.5
1
8 pisos 9 pisos
0
0.5
1
10 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a 11 pisos
0 2 4 6 8 10
0
0.5
1
12 pisos
Ductilidad µ
0 2 4 6 8 10
13 pisos
Ductilidad µ
 
Figura 3.7: Ductilidad de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para El 
Centro, componente S00E (1940) 
0
0.5
1
8 pisos 9 pisos
0
0.5
1
10 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a 11 pisos
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
0
0.5
1
12 pisos
EH (kgf cm)
0 200 400 600 800 1000 1200 1400
13 pisos
EH (kgf cm) 
Figura 3.8: Energía disipada por histéresis de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 
13 pisos para El Centro, componente S00E (1940) 
20 
 
0
0.5
1
14 pisos 15 pisos
0
0.5
1
16 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a 17 pisos
0 5 10 15 20 25 30
0
0.5
1
18 pisos
Ductilidad µ
0 5 10 15 20 25 30
19 pisos
Ductilidad µ
 
Figura 3.9: Ductilidad de los edificios de 14, 15, 16, 17, 18 y 19 pisos para El 
Centro, componente S00E (1940) 
0
0.5
1
14 pisos 15 pisos
0
0.5
1
16 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a 17 pisos
0 200 400 600 800 1000
0
0.5
1
18 pisos
EH (kgf cm)
0 200 400 600 800 1000
19 pisos
EH (kgf cm) 
Figura 3.10: Energía disipada por histéresis de los edificios de 14, 15, 16, 17, 
18 y 19 pisos para El Centro, componente S00E (1940) 
21 
 
0
0.5
1
21 pisos 24 pisos
0
0.5
1
28 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a 33 pisos
0 10 20 30 40 50 60
0
0.5
1
39 pisos
Ductilidad µ
0 10 20 30 40 50 60
45 pisos
Ductilidad µ
 
Figura 3.11: Ductilidad de los edificios de 21, 24, 28, 33, 39 y 45 pisos para El 
Centro,componente S00E (1940) 
0
0.5
1
21 pisos 24 pisos
0
0.5
1
28 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a 33 pisos
0 100 200 300 400 500 600 700 800
0
0.5
1
39 pisos
EH (kgf cm)
0 100 200 300 400 500 600 700 800
45 pisos
EH (kgf cm) 
Figura 3.12: Energía disipada por histéresis de los edificios de 21, 24, 28, 33, 
39 y 45 pisos para El Centro, componente S00E (1940) 
22 
 
0
0.5
1
53 pisos 62 pisos
0
0.5
1
73 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a
0 50 100 150
85 pisos
Ductilidad µ
0 50 100 150
0
0.5
1
100 pisos
Ductilidad µ
 
Figura 3.13: Ductilidad de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para El 
Centro, componente S00E (1940) 
0
0.5
1
53 pisos 62 pisos
0
0.5
1
73 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a
0 50 100 150 200 250
85 pisos
EH (kgf cm)
0 50 100 150 200 250
0
0.5
1
100 pisos
EH (kgf cm) 
Figura 3.14: Energía disipada por histéresis de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 
100 pisos para El Centro, componente S00E (1940) 
23 
 
0
0.5
1
2 pisos 3 pisos
0
0.5
1
4 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a 5 pisos
0 5 10 15
0
0.5
1
6 pisos
Ductilidad µ
0 5 10 15
7 pisos
Ductilidad µ
 
Figura 3.15: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Sylmar, 
componente N00E (1994) 
0
0.5
1
2 pisos 3 pisos
0
0.5
1
4 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a 5 pisos
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
0
0.5
1
6 pisos
EH (kgf cm)
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
7 pisos
EH (kgf cm) 
Figura 3.16: Energía disipada por histéresis de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 
pisos para Sylmar, componente N00E (1994) 
24 
 
0
0.5
1
8 pisos 9 pisos
0
0.5
1
10 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a 11 pisos
0 5 10 15 20
0
0.5
1
12 pisos
Ductilidad µ
0 5 10 15 20
13 pisos
Ductilidad µ
 
Figura 3.17: Ductilidad de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para 
Sylmar, componente N00E (1994) 
0
0.5
1
8 pisos 9 pisos
0
0.5
1
10 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a 11 pisos
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
0
0.5
1
12 pisos
EH (kgf cm)
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000
13 pisos
EH (kgf cm) 
Figura 3.18: Energía disipada por histéresis de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 
y 13 pisos para Sylmar, componente N00E (1994) 
25 
 
0
0.5
1
14 pisos 15 pisos
0
0.5
1
16 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a 17 pisos
0 5 10 15 20 25
0
0.5
1
18 pisos
Ductilidad µ
0 5 10 15 20 25
19 pisos
Ductilidad µ
 
Figura 3.19: Ductilidad de los edificios de 14, 15, 16, 17, 18 y 19 pisos para 
Sylmar, componente N00E (1994) 
0
0.5
1
14 pisos 15 pisos
0
0.5
1
16 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a 17 pisos
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
0
0.5
1
18 pisos
EH (kgf cm)
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000
19 pisos
EH (kgf cm) 
Figura 3.20: Energía disipada por histéresis de los edificios de 14, 15, 16, 17, 
18 y 19 pisos para Sylmar, componente N00E (1994) 
26 
 
0
0.5
1
21 pisos 24 pisos
0
0.5
1
28 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a 33 pisos
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0
0.5
1
39 pisos
Ductilidad µ
0 5 10 15 20 25 30 35 40
45 pisos
Ductilidad µ
 
Figura 3.21: Ductilidad de los edificios de 21, 24, 28, 33, 39 y 45 pisos para 
Sylmar, componente N00E (1994) 
0
0.5
1
21 pisos 24 pisos
0
0.5
1
28 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a 33 pisos
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
0
0.5
1
39 pisos
EH (kgf cm)
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
45 pisos
EH (kgf cm) 
Figura 3.22: Energía disipada por histéresis de los edificios de 21, 24, 28, 33, 
39 y 45 pisos para Sylmar, componente N00E (1994) 
27 
 
0
0.5
1
53 pisos 62 pisos
0
0.5
1
73 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a
0 50 100 150
85 pisos
Ductilidad µ
0 50 100 150
0
0.5
1
100 pisos
Ductilidad µ
 
Figura 3.23: Ductilidad de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para 
Sylmar, componente N00E (1994) 
0
0.5
1
53 pisos 62 pisos
0
0.5
1
73 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a
0 100 200 300 400 500 600 700 800
85 pisos
EH (kgf cm)
0 100 200 300 400 500 600 700 800
0
0.5
1
100 pisos
EH (kgf cm) 
Figura 3.24: Energía disipada por histéresis de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 
100 pisos para Sylmar, componente N00E (1994) 
28 
 
0
0.5
1
2 pisos 3 pisos
0
0.5
1
4 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a
5 pisos
0 5 10 15
0
0.5
1
6 pisos
Ductilidad µ
0 5 10 15
7 pisos
Ductilidad µ
 
Figura 3.25: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Melipilla, 
componente N00E (1985) 
0
0.5
1
2 pisos 3 pisos
0
0.5
1
4 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a 5 pisos
0 1000 2000 3000 4000 5000
0
0.5
1
6 pisos
EH (kgf cm)
0 1000 2000 3000 4000 5000
7 pisos
EH (kgf cm) 
Figura 3.26: Energía disipada por histéresis de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 
pisos para Melipilla, componente N00E (1985) 
29 
 
0
0.5
1
8 pisos 9 pisos
0
0.5
1
10 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a 11 pisos
0 5 10 15 20 25
0
0.5
1
12 pisos
Ductilidad µ
0 5 10 15 20 25
13 pisos
Ductilidad µ
 
Figura 3.27: Ductilidad de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para 
Melipilla, componente N00E (1985) 
0
0.5
1
8 pisos 9 pisos
0
0.5
1
10 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a 11 pisos
0 500 1000 1500
0
0.5
1
12 pisos
EH (kgf cm)
0 500 1000 1500
13 pisos
EH (kgf cm) 
Figura 3.28: Energía disipada por histéresis de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 
y 13 pisos para Melipilla, componente N00E (1985) 
30 
 
0
0.5
1
14 pisos 15 pisos
0
0.5
1
16 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a 17 pisos
0 10 20 30 40 50
0
0.5
1
18 pisos
Ductilidad µ
0 10 20 30 40 50
19 pisos
Ductilidad µ
 
Figura 3.29: Ductilidad de los edificios de 14, 15, 16, 17, 18 y 19 pisos para 
Melipilla, componente N00E (1985) 
0
0.5
1
14 pisos 15 pisos
0
0.5
1
16 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a 17 pisos
0 200 400 600 800 1000 1200
0
0.5
1
18 pisos
EH (kgf cm)
0 200 400 600 800 1000 1200
19 pisos
EH (kgf cm) 
Figura 3.30: Energía disipada por histéresis de los edificios de 14, 15, 16, 17, 
18 y 19 pisos para Melipilla, componente N00E (1985) 
31 
 
0
0.5
1
21 pisos 24 pisos
0
0.5
1
28 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a 33 pisos
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0
0.5
1
39 pisos
Ductilidad µ
0 5 10 15 20 25 30 35 40
45 pisos
Ductilidad µ
 
Figura 3.31: Ductilidad de los edificios de 21, 24, 28, 33, 39 y 45 pisos para 
Melipilla, componente N00E (1985) 
0
0.5
1
21 pisos 24 pisos
0
0.5
1
28 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a 33 pisos
0 200 400 600 800 1000
0
0.5
1
39 pisos
EH (kgf cm)
0 200 400 600 800 1000
45 pisos
EH (kgf cm) 
Figura 3.32: Energía disipada por histéresis de los edificios de 21, 24, 28, 33, 
39 y 45 pisos para Melipilla, componente N00E (1985) 
32 
 
0
0.5
1
53 pisos 62 pisos
0
0.5
1
73 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a
0 20 40 60 80 100
85 pisos
Ductilidad µ
0 20 40 60 80 100
0
0.5
1
100 pisos
Ductilidad µ
 
Figura 3.33: Ductilidad de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para 
Melipilla, componente N00E (1985) 
0
0.5
1
53 pisos 62 pisos
0
0.5
1
73 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a
0 50 100 150 200 250 300 350
85 pisos
EH (kgf cm)
0 50 100 150 200 250 300 350
0
0.5
1
100 pisos
EH (kgf cm) 
Figura 3.34: Energía disipada por histéresis de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 
100 pisos para Melipilla, componente N00E (1985) 
33 
 
0
0.5
1
2 pisos 3 pisos
0
0.5
1
4 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a 5 pisos
0 5 10 15 20
0
0.5
1
6 pisos
Ductilidad µ
0 5 10 15 20
7 pisos
Ductilidad µ
 
Figura 3.35: Ductilidad de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 pisos para Llolleo, 
componente N10E (1985) 
0
0.5
1
2 pisos 3 pisos
0
0.5
1
4 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a 5 pisos
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
0
0.5
1
6 pisos
EH (kgf cm)
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
7 pisos
EH (kgf cm) 
Figura 3.36: Energía disipada por histéresis de los edificios de 2, 3, 4, 5, 6 y 7 
pisos para Llolleo, componente N10E (1985) 
34 
 
0
0.5
1
8 pisos 9 pisos
0
0.5
1
10 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a 11 pisos
0 5 10 15 20 25
0
0.5
1
12 pisos
Ductilidadµ
0 5 10 15 20 25
13 pisos
Ductilidad µ
 
Figura 3.37: Ductilidad de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 y 13 pisos para 
Llolleo, componente N10E (1985) 
0
0.5
1
8 pisos 9 pisos
0
0.5
1
10 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a 11 pisos
0 1000 2000 3000 4000 5000
0
0.5
1
12 pisos
EH (kgf cm)
0 1000 2000 3000 4000 5000
13 pisos
EH (kgf cm) 
Figura 3.38: Energía disipada por histéresis de los edificios de 8, 9, 10, 11, 12 
y 13 pisos para Llolleo, componente N10E (1985) 
35 
 
0
0.5
1
14 pisos 15 pisos
0
0.5
1
16 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a
17 pisos
0 5 10 15 20 25 30
0
0.5
1
18 pisos
Ductilidad µ
0 5 10 15 20 25 30
19 pisos
Ductilidad µ
 
Figura 3.39: Ductilidad de los edificios de 14, 15, 16, 17, 18 y 19 pisos para 
Llolleo, componente N10E (1985) 
0
0.5
1
14 pisos 15 pisos
0
0.5
1
16 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a 17 pisos
0 500 1000 1500 2000
0
0.5
1
18 pisos
EH (kgf cm)
0 500 1000 1500 2000
19 pisos
EH (kgf cm) 
Figura 3.40: Energía disipada por histéresis de los edificios de 14, 15, 16, 17, 
18 y 19 pisos para Llolleo, componente N10E (1985) 
36 
 
0
0.5
1
21 pisos 24 pisos
0
0.5
1
28 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a
33 pisos
0 5 10 15 20 25 30 35 40
0
0.5
1
39 pisos
Ductilidad µ
0 5 10 15 20 25 30 35 40
45 pisos
Ductilidad µ
 
Figura 3.41: Ductilidad de los edificios de 21, 24, 28, 33, 39 y 45 pisos para 
Llolleo, componente N10E (1985) 
0
0.5
1
21 pisos 24 pisos
0
0.5
1
28 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a 33 pisos
0 500 1000 1500 2000
0
0.5
1
39 pisos
EH (kgf cm)
0 500 1000 1500 2000
45 pisos
EH (kgf cm) 
Figura 3.42: Energía disipada por histéresis de los edificios de 21, 24, 28, 33, 
39 y 45 pisos para Llolleo, componente N10E (1985) 
37 
 
0
0.5
1
53 pisos 62 pisos
0
0.5
1
73 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a
0 10 20 30 40 50 60 70 80
85 pisos
Ductilidad µ
0 10 20 30 40 50 60 70 80
0
0.5
1
100 pisos
Ductilidad µ
 
Figura 3.43: Ductilidad de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 100 pisos para 
Llolleo, componente N10E (1985) 
0
0.5
1
53 pisos 62 pisos
0
0.5
1
73 pisos
A
ltu
ra
 re
la
tiv
a
0 100 200 300 400 500 600 700 800
85 pisos
EH (kgf cm)
0 100 200 300 400 500 600 700 800
0
0.5
1
100 pisos
EH (kgf cm) 
Figura 3.44: Energía disipada por histéresis de los edificios de 53, 62, 73, 85 y 
100 pisos para Llolleo, componente N10E (1985) 
38 
 
3.4 Espectros de Energía por Histéresis 
Para representar en forma conveniente la energía disipada por histéresis 
por unidad de masa EH para cada uno de los modelos, se utilizan espectros de 
energía. Un estudio detallado de los espectros de energía para sistemas de un grado 
de libertad se encuentra en el estudio realizado por García y Riddell (1995). Los 
espectros de energía se representan mediante un gráfico logarítmico en el que en las 
ordenadas se muestra la raíz de la energía disipada por histéresis por unidad de masa, 
HE . Esta cantidad tiene unidades de velocidad. 
El objetivo es hacer una comparación cualitativa entre la energía disipada 
por histéresis de los edificios de corte de varios pisos con los sistemas de un grado de 
libertad, analizados en el estudio antes mencionado. Por esto en los espectros de 
energía se incluyen las curvas correspondientes a ductilidades µ=1.5; µ=2; µ=3; µ=5; 
µ=10. 
Las Figuras 3.45 a 3.48 muestran los espectros de energía para cada uno 
de los registros analizados. 
 
 
 
39 
0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10 20 50 100
0.2
0.5
1
2
5
10
20
50
100
200
Edificios (objetivo µ=5)→
µ=1.5
µ=2
µ=3
µ=5
µ=10
Frecuencia (Hz)
E
h1
/2
 (c
m
/s
eg
)
 
Figura 3.45: Espectro de energía por histéresis para El Centro, componente S00E (1940) 
 
 
40 
0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10 20 50 100
0.2
0.5
1
2
5
10
20
50
100
200
Edificios (objetivo µ=5)→
µ=1.5
µ=2
µ=3
µ=5
µ=10
Frecuencia (Hz)
E
h1
/2
 (c
m
/s
eg
)
 
Figura 3.46: Espectro de energía por histéresis para Sylmar, componente N00E (1994) 
 
 
41 
0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10 20 50 100
0.2
0.5
1
2
5
10
20
50
100
200
Edificios (objetivo µ=5)→
µ=1.5
µ=2
µ=3
µ=5
µ=10
Frecuencia (Hz)
E
h1
/2
 (c
m
/s
eg
)
 
Figura 3.47: Espectro de energía por histéresis para Melipilla, componente N00E (1985) 
 
 
42 
0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10 20 50 100
0.2
0.5
1
2
5
10
20
50
100
200
Edificios (objetivo µ=5)→
µ=1.5
µ=2
µ=3
µ=5
µ=10
Frecuencia (Hz)
E
h1
/2
 (c
m
/s
eg
)
 
Figura 3.48: Espectro de energía por histéresis para Llolleo, componente N10E (1985)
43 
 
3.5 Interpretación de Resultados 
Los espectros de energía para sistemas de varios grados de libertad 
(edificios de corte) muestran una tendencia similar a los de un grado de libertad. Esto 
se aprecia en que la mayor disipación de energía se concentra en la región central de 
frecuencias, donde los registros tienen mayor potencia en su espectro en frecuencia 
(Fourier). Para las frecuencias extremas la disipación es menor. 
En los registros de carácter impulsivo de las Figuras 3.45 y 3.46 (El 
Centro y Sylmar), la mayor disipación de energía se concentra entre 0.5 y 3 Hz. En 
estos registros la curva de varios grados de libertad se aproxima bastante al espectro 
para µ=5, entre las frecuencias 0.3 y 3 Hz. Esto es particularmente notorio en el 
espectro de Sylmar (Fig. 3.46), registro que consiste en prácticamente un impulso. 
Para frecuencias fundamentales correspondientes a los edificios entre 5 y 33 pisos 
(0.3 y 2 Hz), el espectro de Sylmar de edificios y un grado de libertad con µ=5 son 
prácticamente coincidentes. En este mismo rango de frecuencias también existe un 
buen ajuste para El Centro. Esto se debe a que en estos edificios la variación de la 
disipación de energía en altura es aproximadamente lineal. Esto se puede apreciar 
claramente en los edificios entre 13 y 18 pisos analizados para el registro de Sylmar 
(Figs. 3.18 y 3.20). Además para estos mismos edificios la ductilidad en altura se 
mantiene dentro del mismo rango de valores, con excepción del primer piso (Figs. 
3.17 y 3.19). Esto implica que el comportamiento de esto edificios esta regido 
principalmente por el modo fundamental de la estructura. Como la ductilidad de 
“diseño” fue escogida a partir de la frecuencia fundamental de cada edificio, es de 
esperar que si estos se comportan de acuerdo a ese modo, la disipación de energía de 
los sistemas de un grado de libertad esté en directa correspondencia con los edificios 
de corte. 
Los registros chilenos (Melipilla y Llolleo) concentran su mayor 
disipación de energía en frecuencias más altas que los registros americanos. El 
espectro obtenido para el registro de Melipilla (Fig. 3.47) muestra que la mayor 
disipación de energía se produce en el rango de frecuencias comprendido entre 2 y 5 
Hz, mientras que para el registro de Llolleo (Fig. 3.48) concentra su disipación entre 
1 y 5 Hz. En esta misma zona de frecuencias, la aproximación del espectro de 
44 
 
edificios con el espectro para µ=5 es adecuada. La zona de buen ajuste corresponde 
para el registro de Melipilla a los edificios entre 2 y 5 pisos (2 y 5 Hz), mientras que 
para el registro de Llolleo a los edificios entre 2 y 8 pisos (1.25 y 5 Hz) 
aproximadamente. Al igual que en el caso de los registros americanos, estos edificios 
se comportan de acuerdo a su primer modo de vibración, los que se aprecia en la 
poca variación que tiene la ductilidad en altura (Fig. 3.25 para Melipilla y Fig. 3.35 
para Llolleo). 
En la zona de frecuencias bajas, correspondiente a los sistemas más 
flexibles de varios pisos, existe en general una mayor disipación en los edificios que 
en los sistemas de un grado de libertad. Esto se produce ya que en este rango de 
frecuencias la influencia de los modos altos se hace cada vez más importante a 
medida que el edificio crece en altura. Esto se ve, p.e., en la distribución de 
ductilidades de los edificios de gran altura analizados para Llolleo(Figs. 3.39, 3.41 y 
3.43). En estos gráficos se aprecia la desproporción existente entre las ductilidades 
de los pisos superiores e inferiores en comparación con los pisos intermedios. Por 
esto la disipación de energía no responde a una distribución correspondiente al modo 
fundamental, y como el “diseño” se realiza de acuerdo a ese modo, la energía 
disipada para sistemas de un grado de libertad no corresponde a la de estos edificios. 
45 
 
IV. MODELO DE EDIFICIO DE MARCO FLEXURAL 
El modelo de edificio de marco flexural es el que representa en forma 
más precisa el comportamiento de un marco real de columnas y vigas. La 
modelación consta de elementos con deformación por corte y flexural (la 
deformación axial de las vigas está restringida por la losa rígida), y con columnas 
que además se deforman axialmente. 
4.1 Sistema Considerado y Ecuación de Movimiento 
Para dar cuenta del comportamiento no-lineal de un marco flexural, se 
optó por una modelación en la cual la plastificación se concentra en rótulas plásticas 
que se forman en los extremos de los elementos. Este supuesto se basa en el 
comportamiento de estructuras reales luego de movimientos sísmicos. En ellas se 
observa que la rótula se producen general en los extremos de las vigas y columnas, 
donde se concentra la fluencia del acero y la plastificación del hormigón. 
En el caso de las vigas la plastificación ocurre cuando se supera el 
momento de fluencia en el extremo del elemento. Este momento queda definido por 
los materiales y la sección de cada viga. 
En las columnas de la estructura el efecto de la fuerza axial es 
considerable, por lo que la rótula plástica debe considerar la interacción entre el 
momento flector M y la carga axial N. Esto se debe a que un incremento de la carga 
axial produce una variación en el momento plástico de la sección. Las 
combinaciones entre carga axial y momento para las cuales se produce la 
plastificación de la sección se conoce habitualmente como curva de interacción del 
elemento (superficie de fluencia en el caso tridimensional). Esta superficie queda 
definida para una sección en base a su geometría y materiales. 
La Figura 4.1 muestra el modelo típico de marco flexural considerado en 
este estudio. En este se aprecia que cada piso tiene un solo grado de libertad 
horizontal, mientras que el resto de los nodos (achurados) del modelo tienen además 
grados de libertad verticales y rotacionales. Los nodos no-achurados son nodos 
internos de los elementos, donde se forman las rótulas plásticas. 
46 
 
 
Figura 4.1: Modelo de edificio de marco flexural 
La ecuación que gobierna el movimiento del marco flexural bajo la 
acción de un movimiento sísmico en la base, se expresa como 
( ) ( ) ( ) ( )ttt gT urMvFLuCuM &&&&& ⋅⋅−=⋅+⋅+⋅ (4.1) 
donde M es la matriz de masas; C es la matriz de amortiguamiento; u es el vector de 
desplazamientos relativos de las masas con respecto al suelo; L es la matriz de 
transformación cinemática (v = L⋅u); F es el vector de fuerzas de los elementos no-
lineales; v es el vector de deformaciones de los elementos no-lineales; gu&& es la 
aceleración del suelo, la cual puede tener una componente horizontal y otra vertical; 
y r es vector de influencia. 
Los elementos no-lineales utilizados en la modelación corresponden a 
vigas y columnas. 
47 
 
Las vigas consideran deformación por corte y flexural. Los extremos del 
elemento corresponden a rótulas elastoplásticas, en las que se define su rigidez 
elástica k y su momento de fluencia My. 
Por su parte, las columnas consideran deformación axial, flexural y de 
corte. En sus extremos existen rótulas elastoplásticas, definidas a través de una 
superficie de interacción (M-N). En la Figura 4.2 se muestra un modelo de curva de 
interacción. 
M
N
Curva de Interacción
M
N
Curva de Interacción
 
Figura 4.2: Curva de interacción 
4.2 Propiedades del Sistema 
Los modelos analizados en este estudio corresponden a marcos de 
hormigón armado. Para ajustar las propiedades de vigas y columnas, es necesario 
definir un criterio a través del cual asignar las propiedades de las rótulas en los 
extremos de los elementos. 
Para determinar las propiedades de las rótulas plásticas se define un largo 
de plastificación del elemento, Lp. Este corresponde a la menor de las dimensiones 
entre el alto y el ancho de la sección del elemento. Con esto se define además L que 
es la longitud del elemento elástico central, como se muestra en la Figura 4.3. 
48 
 
Lp LpLLp LpL 
Figura 4.3: Largo de plastificación de las vigas 
Para obtener las propiedades de las columnas, definimos un largo de 
plastificación del elemento Lp y un largo L del elemento elástico igual al definido 
para las vigas, como se muestra en la Figura 4.4. 
L
Lp
Lp
L
Lp
Lp
 
Figura 4.4: Largo de plastificación de las columnas 
Para determinar las propiedades de rigidez inicial de las rótulas, se 
analiza primero el caso de las columnas que es más general. De hecho, la rigidez 
elástica de las vigas se deduce de la misma forma que la de las columnas, sin 
considerar los esfuerzos axiales, que están desacoplados de los flexurales. 
49 
 
El objetivo es determinar la rigidez elástica de la rótula, definida como se 
indica en la Figura 4.5, a partir del elemento elástico de largo Lp que se muestra en la 
Figura 4.6. 
 
θ
δ
θ
δ 
Figura 4.5: Definición de deformaciones de las rótulas de las columnas 
θ1
Lp
θ2
δ1 δ2
θ1
Lp
θ2
δ1 δ2
 
Figura 4.6: Definición del elemento elástico de largo Lp 
La matriz de rigidez Kr del elemento de largo Lp resulta 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
θ
θ
δ
δ
⋅
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
⋅⋅−
⋅−⋅
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
2
1
2
1
pp
pp
pp
pp
2
1
2
1
r
LIE4LIE200
LIE2LIE400
00LEALEA
00LEALEA
M
M
N
N
444444444 3444444444 21
K
 (4.2) 
Como las rigideces axiales y flexurales están desacopladas, podemos 
escribir la siguiente relación 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
δ
δ
⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅⋅−
⋅−⋅
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
δ
2
1
pp
pp
2
1
LEALEA
LEALEA
N
N
4444 34444 21
K
 (4.3) 
Una de las posibles relaciones cinemáticas entre las deformaciones de la 
rótula y las deformaciones del elemento elástico (existen infinitas, sin embargo, 
todas dan el mismo resultado) es 
50 
 
{
δ⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
δ
δ
r
1
0
2
1
a
 (4.4) 
Luego, la rigidez axial de la rótula es 
pr
T
r LEAk ⋅=⋅⋅=δ aKa 
lo cual es coherente con la rígidez axial de un elemento elástico de largo Lp. 
Para determinar la rigidez flexural de la rótula, no es posible realizar un 
procedimiento similar al caso anterior. Esto se debe a que no existe una relación 
cinemática inequívoca entre las deformaciones de la rótula y las del elemento 
elástico que produzca una rigidez desacoplada entre θ1 y θ2. Es por eso que en este 
caso se utiliza la deformada en la viga que provoca que no exista esfuerzo de corte. 
Esta es la correspondiente a θ1 = -1 y θ2 = 1. Con esto, la rigidez flexural de la rótula 
es pLIE2k ⋅⋅=θ . 
Resumiendo, las propiedades de los elementos rótula son pLIE2k ⋅⋅=θ 
para las vigas y pLIE2k ⋅⋅=θ ; pLEAk ⋅=δ para las columnas. 
Los momentos de fluencia para las vigas y las curvas de interacción para 
las columnas se calculan a parir de sus propiedades geométricas y de los materiales 
utilizados. 
En el caso de las columnas, la curva de interacción se define por 
simplicidad a través de un polígono de seis vértices. En la Figura 4.7 se presenta una 
curva de interacción típica para una sección de hormigón armado. En ella My 
corresponde al momento de fluencia con P=0; Pb y Mb a los esfuerzos axial y 
momento para el balance; Pyc es la carga axial de rotura en compresión; y Pyt es la 
carga axial de fluencia en tracción. 
51 
 
M
P
Pyc
Pyt
My Mb-Mb -My
Pb
M
P
Pyc
Pyt
My Mb-Mb -My
Pb
 
Figura 4.7: Curva de interacción típica de una sección de hormigón armado 
Para utilizar la curva deinteracción en el modelo de marco flexural, es 
necesario tener en cuenta dos aspectos. Primero, la curva de interacción mostrada en 
la Figura 4.7 considera la carga de compresión P como positiva en compresión, 
mientras que en el modelo de la rótula la carga positiva corresponde tracción 
(Sección 5.3). Por esto es necesario invertir los signos de la carga axial en la curva, 
como se indica en la Figura 4.8. 
Cuando la estructura se encuentra en reposo, las columnas soportan una 
carga de compresión estática. Esta es la carga inicial con la que la estructura inicia su 
movimiento durante un terremoto. Para considerar la carga axial de compresión 
inicial en las columnas, que afecta directamente al momento flector en que la 
columna se plastifica, se optó por realizar una translación vertical de la curva. La 
magnitud de esta translación corresponde a la carga inicial N0. Este procedimiento se 
ilustra esquemáticamente en la Figura 4.8. 
52 
 
M
N
Curva de Interacción para ser 
utilizada en el Modelo de 
Marco Flexural
Translación Vertical N0
M
N
Curva de Interacción para ser 
utilizada en el Modelo de 
Marco Flexural
Translación Vertical N0
Curva de Interacción con N= -P
M
N
Curva de Interacción para ser 
utilizada en el Modelo de 
Marco Flexural
Translación Vertical N0
M
N
Curva de Interacción para ser 
utilizada en el Modelo de 
Marco Flexural
Translación Vertical N0
Curva de Interacción con N= -P
 
Figura 4.8: Procedimiento para obtener la curva de interacción de una sección de 
hormigón armado para ser utilizada en el modelo de marco flexural 
53 
 
V. ELEMENTOS NO-LINEALES Y MÉTODO DE INTEGRACIÓN 
En esta investigación se implementaron tres elementos no-lineales. El 
elemento elastoplástico se utiliza para modelar las columnas en los edificios de corte. 
Para la modelación de los marcos flexurales se crearon dos macro-elementos, uno 
utilizado para modelar las vigas y el otro para las columnas. 
La implementación computacional se realiza en MATLAB, utilizando 
algunas rutinas y la estructura organizacional del toolbox de análisis estructural 
MECANO. 
5.1 Elemento Elastoplástico 
El primer elemento utilizado en este estudio es el correspondiente al 
unidimensional elástoplastico. La deformación δ y la fuerza F del elemento pueden 
corresponder a una geometría axial (N-u), geometría de corte (V-v), a una geometría 
asociada a momento y giro (M-θ), así como a cualquier relación geométrica de una 
dimensión. 
5.1.1 Modelación del elemento 
El elemento elastoplástico puede ser modelado de la siguiente manera: 
δδ
 
Figura 5.1: Definición del elemento elastoplástico 
La constitutiva elastoplástica queda definida por una rigidez elástica k y 
una fuerza de fluencia Fy. Al inicio de la carga el sistema es lineal elástico con 
rigidez k, mientras no se exceda la fuerza de fluencia Fy. La deformación para la cual 
la fluencia comienza es δy. Cuando el elemento alcanza Fy fluye, manteniéndose la 
fuerza constante mientras la deformación avance en la misma dirección. En esta 
etapa la rigidez tangente es cero. 
54 
 
La Figura 5.2 muestra un ciclo típico de carga, descarga y nueva carga 
para un elemento elastoplástico. Las cargas y descargas se producen siempre con la 
misma rigidez elástica k. Además la deformación de fluencia Fy es simétrica, es decir 
para las dos direcciones de deformación, el elemento fluye con la misma fuerza. 
1
k
1
k
1
k
F(δ)
δ
Fy
-Fy
δy
1
k
1
k
1
k
F(δ)
δ
Fy
-Fy
δy
 
Figura 5.2: Relación fuerza-deformación elastoplástica 
5.1.2 Implementación 
Se considera que la integración se encuentra en un instante k, en el cual 
se conoce el estado del elemento, es decir su deformación δk y su fuerza Fk. Interesa 
conocer el estado del elemento en el instante siguiente k+1, en el que se conoce (a 
través de un predictor) la deformación δk+1 del elemento. En ese instante se quiere 
determinar su fuerza Fk+1. 
El algoritmo utilizado para calcular la fuerza es el siguiente: 
Etapa i): 
Se evalúa la fuerza tentativa en el instante k+1 tal que 1kF̂ + = Fk + k⋅(δk+1 - δk). 
 
Etapa ii): 
si 1kF̂ + > Fy, entonces Fk+1 = Fy 
si 1kF̂ + < -Fy, entonces Fk+1 = -Fy 
55 
 
si -Fy ≤ 1kF̂ + ≤ Fy entonces Fk+1 = Fk + k⋅(δk+1 - δk). 
 
5.1.3 Ejemplo 
A continuación se muestra un ejemplo de un elemento elastoplástico con 
rigidez elástica k=1 y fuerza de fluencia Fy=1. Para eso se le impone una historia de 
deformaciones, y se evalúan las fuerzas del elemento. Los resultados se presentan en 
las figuras siguientes. 
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
-3
-2
-1
0
1
2
3
D
ef
or
m
ac
ió
n 
( δ
)
Instante k 
Figura 5.3: Historia de deformaciones del elemento elastoplástico 
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
-1
-0.5
0
0.5
1
Fu
er
za
 (F
)
Instante k 
Figura 5.4: Historia de fuerzas del elemento elastoplástico 
56 
 
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Fu
er
za
 (F
)
Deformación (δ)
 
Figura 5.5: Curva fuerza-deformación elemento elastoplástico 
5.2 Elemento Viga con Plastificación en los Extremos 
El macro-elemento viga creado debe dar cuanta del efecto de 
plastificación en los extremos de las vigas, en los que se produce una relación 
elastoplástica. 
5.2.1 Modelación del elemento 
El macro-elemento viga consta de tres elementos ensamblados en serie. 
El elemento central es una viga flexural, con propiedades elásticas. En los extremos 
se conectan rótulas (i y j) en las que su relación giro y momento (M-θ) es 
elastoplástica. La modelación considera la siguiente distribución de grados de 
libertad (GDLs): 
57 
 
v1
v6v5 v4
v3
v2
i j
v1
v6v5 v4
v3
v2
i j
 
Figura 5.6: Definición del macro-elemento viga 
Los primeros cuatro GDLs corresponden a las deformaciones conocidas 
e impuestas sobre el elemento, y en los cuales se aplican las fuerzas externas. Estos 
cuatro GDLs serán llamados GDLs externos. Las deformaciones de los dos GDLs 
restantes, 5 y 6, son desconocidas y son calculadas a partir de la condensación 
estática realizada. A estos se les llama GDLs internos. 
Las propiedades del elemento central elástico son un largo L, momento 
de inercia I, módulo de elasticidad E, un módulo de corte G y un área de corte As. La 
matriz de rigidez elástica del elemento (sin considerar las rigideces de los elementos 
no-lineales) es 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
Φ+⋅
⋅⋅Φ+
Φ+⋅
⋅⋅Φ−
Φ+⋅
⋅⋅
−
Φ+⋅
⋅⋅
Φ+⋅
⋅⋅Φ−
Φ+⋅
⋅⋅Φ+
Φ+⋅
⋅⋅
−
Φ+⋅
⋅⋅
Φ+⋅
⋅⋅
−
Φ+⋅
⋅⋅
−
Φ+⋅
⋅⋅
Φ+⋅
⋅⋅
−
Φ+⋅
⋅⋅
Φ+⋅
⋅⋅
Φ+⋅
⋅⋅
−
Φ+⋅
⋅⋅
=
1L
IE4
1L
IE20
1L
IE60
1L
IE6
1L
IE2
1L
IE40
1L
IE60
1L
IE6
000000
1L
IE6
1L
IE60
1L
IE120
1L
IE12
000000
1L
IE6
1L
IE60
1L
IE120
1L
IE12
22
22
2233
2233
elK (5.1) 
con 2
s LAG
IE12
⋅⋅
⋅⋅=Φ (5.2) 
Los nodos i y j corresponden a rótulas elástoplásticas con un grado de 
libertad rotacional θ y rigidez en rango elástico k. La deformación de la rótula se 
define en sentido positivo, como se indica en la Figura 5.7. 
58 
 
θθ
 
Figura 5.7: Deformación de la rótula 
La matriz de transformación cinemática L entre los GDLs del macro-
elemento y las rótulas no-lineales es: 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
θ
θ
6
5
4
3
2
1
j
i
v
v
v
v
v
v
101000
010010
4444 34444 21
L
 (5.3) 
Cuando el macro-elemento se encuentra en rango elástico, es decir las 
rótulas plásticas no fluyen, podemos utilizar la matriz de rigidez elástica completa 
del elemento. Esta se obtiene ensamblando la rigidez de las rótulas ki y kj, de la 
siguiente forma: 
LLKK ⋅⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅+=
j
iT
el
el
tot k0
0k
 (5.4) 
Cuando alguna de las dos rótulas entra en fluencia, se obtiene la matriz 
de rigidez tangente del macro-elemento. El ensamblaje se realiza de igual forma, 
utilizando las rigideces