Corrientes Marítimas Modulo-I 1 3 11

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Módulo I: Motores de la Biosfera
Capítulo 11
Modelos generales de circulación 
oceánica 
Joaquim Ballabrera
Unitat de Tecnologia Marina, CSIC, Barcelona
joaquim@cmima.csic.es
3. Circulación Oceánica y 
Clima
Introducción
Se sabe que el clima de la Tierra ha cambiado y seguirá
cambiando en el futuro. 
Se sabe que hay factores “externos” (radiación solar, 
concentración de gases atmosféricos, …) que interactúan 
con las variables usadas para definir el clima 
(temperatura, densidad, humedad, salinidad, etc.)
Se sabe que dichas interacciones siguen ciertas leyes 
físicas como la conservación de la energía, la 
conservación de la masa, y la conservación de momento.
Estos axiomas son la base de los intentos de estudiar los 
cambios del clima y modelizar su futura (y pasada) 
evolución. 
Introducción
Las leyes físicas que intervienen en la interacciones 
climáticas se expresan en la forma de ecuaciones de 
evolución temporal.
Dichas ecuaciones son, en general, tridimensionales y 
no lineales.
Las diferentes interacciones climáticas se acoplan las 
unas con las otras. 
Cualquier cambio en una variable se traduce en un 
cambio en otras variables que, a su vez, pueden modificar 
la variable original (retroacción).
Históricamente, las componentes del sistema climático 
(atmósfera, océano, hielo, vegetación) se han estudiado 
por separado.
A finales del siglo XVII, 
Isaac Newton publicó el 
libro más relevante de la 
historia de las ciencias 
físicas: “Philosophiae
Naturalis Principia 
Mathematica” donde 
enuncia su ley de la 
gravitación universal y las 
leyes del movimiento.
Ecuaciones de base
Las tres leyes de Newton son:
Objetos en reposo tienden a continuar en reposo 
mientras que objetos en movimiento uniforme tienden a 
permanecer en movimiento si ninguna fuerza actúa sobre 
ellos.
Cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo, dicho cuerpo 
sufre un cambio de velocidad proporcional a la magnitud y 
dirección de la fuerza aplicada.
Por cada acción hay una reacción de igual magnitud y 
sentido opuesto.
m
u1
F
Tiempo, t
m
2
um F
t
Δ
=
Δ
( )2 1 2 1u u t t F= + − u2
t1 t2
Ecuaciones de base
En dinámica de fluidos, las ecuaciones no se escriben en 
términos de diferencias finitas Δt, sino en términos de 
diferencias infinitesimales (Δt→0). Por otra parte, las 
ecuaciones no se escriben respecto elementos de masa 
m, sino en función de unidades de volumen ( m = ρ x V ): 
1du F
dt ρ
=
2
1
2 1
1 ( )
t
t
u u F t dt
ρ
= + ∫
um F
t
Δ
=
Δ
Ecuaciones de base
Para poder ser aplicada al océano (o a la atmósfera), la 
segunda ley de Newton debe modificarse para incluir los 
efectos de la (i) rotación terrestre y el hecho que las 
fuerzas que actúan sobre el fluido son: (ii) variaciones de 
presión en el fluido, (iii) la fuerza de gravedad, y (iv) 
fricción:
1 2d
dt ρ
= − − ×
u F Ω u
p ρ ρ= −∇ − ∇Φ +F D
Fuerza sobre el 
fluido
Fuerza de 
Coriolis (i)
Una notación
alternativa
para vectores: 
negrita.
(ii) (iii) (iv) 
, ,
x y z
⎛ ⎞∂ ∂ ∂
∇ ≡ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
Esta ecuación permite predecir el 
campo de velocidades de un fluido 
en función de los campos de 
densidad, presión, y geopotencial
(potencial gravitatorio más la fuerza 
centrífuga que aparece debida a la 
rotación terrestre). 
Dicha ecuación se llama de Navier-
Stokes y es una de las ecuaciones 
más utilizadas en el ámbito científico, 
y es la que se utiliza para predecir el 
estado del océano y la atmósfera.
1 2d p
dt ρ
= − ∇ −∇Φ − × +
u Ω u D
Ecuaciones de base
1 2d p
dt ρ
= − ∇ − × + ∇Φ +
u Ω u D
( )
( )
, ,
, ,
0 y z y z z y
x y z
u v w
d u v w
dt t x y z t
w v u u
u v w
⎛ ⎞∂ ∂ ∂
∇ ≡ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
≡
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
≡ + + + = + ⋅∇
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
× = Ω Ω = Ω −Ω + Ω − Ω
u
u
i j k
Ω u i j k
Donde:
Ω
Ω
ΩzΩy
φ Ecuador
cos
sin
y
z
φ
φ
Ω = Ω
Ω = Ω
Ecuaciones de base
Problema con calculadora: Calcular la velocidad de 
rotación de la tierra en unidades de radianes por 
segundo.
2
1 día (en segundos)
π
Ω =
2
86400
π
=
17.27 rad s−=
Ecuaciones de base
( )2
3
μμ= ∇ + ∇ ∇⋅D u u
El agua (al igual que el aire) forma parte de una familia de 
fluidos llamados newtonianos que se caracterizan por 
tener una viscosidad de la forma:
Existe un problema: La ecuación de Navier-Stokes es 
nolineal. 
Ecuaciones de base
Suponer el siguiente problema de condiciones iniciales (P)
1 1( )
( )
( , )
t
P d t
dt
=⎧
⎪
⎨
=⎪⎩
x x
x F x
El teorema de Picard (1890) nos asegura 
que si la función F es continua y si la 
variable x siempre toma valores finitos, 
entonces:
Existe una solución al problema (P).
La solución es única.
Ecuaciones de base
La idea de utilizar las ecuaciones de Navier-Stokes para 
predecir el estado de la atmósfera como un problema de 
condiciones iniciales fue propuesta por Vilhelm Bjerknes
(físico y meteorólogo noruego) en 1904, décadas antes 
de que se aplicara para predecir la circulación oceánica.
Bjerknes mostró que las ecuaciones 
dinámicas (Navier-Stokes) debían 
combinarse con las termodinámicas: 
1. Ecuación de estado para gases ideales.
2. Conservación de la masa.
3. Conservación de la energía.
4. Conservación del vapor de agua.
Ecuaciones de base
El primer intento de pronóstico del 
tiempo siguiendo las ideas de 
Bjerknes, fue desarrollado por 
Lewis F. Richardson en 1922, 
quien había desarrollado un 
esquema en diferencias finitas 
para estudiar el flujo de agua a 
través de la turba mientras 
trabajaba en la National Peat
Industries. 
El éxito del método le llevó a aplicar dicho método para la 
predicción meteorológica cuando empezó a trabajar para el 
Meteorological Office y tener conocimiento de las ideas de 
Bjerknes. 
Richardson discretizó las 
ecuaciones. En lugar de 
predecir la temperatura en 
cualquier punto de Europa, se 
limitó a predecir la temperatura 
en los vértices de una cuadricula 
predeterminada (los valores en 
puntos intermedios se hallan por 
interpolación espacial).
Los cálculos (hechos a mano) fueron tan costosos que 
se estimó que se necesitaría 60.000 personas para poder 
finalizar los cálculos con suficiente antelación.
Los resultados fueron un fracaso ya que no se 
correspondieron con las observaciones posteriores.
Nadie se aventuró a seguir sus pasos por casi 25 años.
Ecuaciones de base
Al final de la SGM, John von
Newmann, que trabajaba en la 
simulación numérica de la bomba 
atómica, juntó a un selecto grupo de 
meteorólogos teóricos para retomar 
el problema de la predicción 
meteorológica. Se dio cuenta que 
uno de los errores de Richardson 
fue el de utilizar directamente las 
ecuaciones de Navier-Stokes. 
Dichas ecuaciones contienen gran cantidad de procesos 
posibles. Si no se tiene cuidado, procesos de pequeña escala 
destruyen las soluciones del modelo.
Hay que filtrar las ecuaciones para inhibir dichos procesos
Ecuaciones Primitivas (EP)
Al igual que en meteorología, las ecuaciones de base de la 
dinámica oceánica se basan en las ecuaciones de Navier-
Stokes, de conservación de masa y energía para un fluido 
en rotación.
Sin embargo, aquí nos interesamos en 
movimientos de gran escala, 
fuertemente influenciados por la 
rotación terrestre.
Para medir cuán importante es la rotación 
terrestre de usa el número de Rossby
(en honor al meteorólogo Carl-Gustav 
Rossby) que compara la intensidad de los 
cambios locales de velocidad con la el 
termino de la aceleración de Coriolis.
Ecuaciones Primitivas (EP)
Para definir dicho (y otros) números característicos de las 
ecuaciones dinámicas, se introduce el concepto de escala 
característica especificando cuales son los rangos de 
variabilidad de las soluciones.
Nos interesamos a movimientos con 
una velocidad característica U, que 
fluctúan a partir de distancias L, y tras 
un intervalo de tiempo T. Por otra 
parte, la rotación de la Tierra se 
caracteriza por la velocidad angular Ω. 
Ω
5 11 rotación 2 7.3 10 s
24 horas 86400 s
π − −Ω = = = ×
Ecuaciones de base
Problema con calculadora: Calcular ladistancia en 
kilómetros correspondiente a 1 grado de longitud an
el ecuador. El radio de la Tierra es de 6371 km.
21 ( )
360
o
o
Rkm π=
2 6371 km
360
π
=
111.2 km=
Ecuaciones Primitivas (EP)
2 cos( )1 (km)
360 
2 6371 cos( ) km
360
111.2 cos( ) km
o TRπ φ
π φ
φ
≡
=
=
Ω
2 2 6371 km1 (km) 111.2 km
360 360
o TRπ π≡ = =
En el ecuador
φ
cos( )TR φ
TR
En latitud φ
En Santa Marta de Ortigueira (43.41N, A Coruña), un grado 
de distancia significa viajar 81 km, mientras que en Tarifa 
(36.01N, Cádiz) la misma distancia angular supone un viaje 
de 90 km.
2.5 (at 40N) 2.5 111.2 cos(40) 215 kmoL ≈ = ⋅ ⋅ =
from Tomczak and Godfrey (2003)
1 10.5ms 1msU − −> ≈
(a) Potential temperature
(°C) and sea level (m), 
(b) salinity, 
(c) geostrophic current (m/s) 
relative to sea floor, 
(d) mean current (m/s) as 
derived from a 
combination of drifters, 
subsurface floats, and
current meter moorings. 
55oW section through the Gulf Stream and its countercurrents
Ecuaciones de base
Problema con calculadora: A cuantos km por hora 
corresponde una velocidad de 1 metro por segundo?
m m 1 km 3600 s1 1
s s 1000m 1 hora
=
3600 km1
1000 hora
=
3.6 km/hora=
Ecuaciones Primitivas (EP)
El tiempo que tarda un elemento de fluido moviéndose a 
velocidad U para recorrer una distancia L es L/U. Si dicho 
lapso de tiempo es mucho más pequeño que el periodo de 
rotación terrestre, entonces el elemento de fluido no se da 
cuenta de que la Tierra gira.
Por el contrario, si L/U es mucho más grande que el 
periodo de rotación de la Tierra, entonces la dinámica será
modificada por la rotación.
Movimientos de interés
1
1 1
/
L
U L U
−
− ΩΩ ⇔
1
2
U
L
ε =
Ω
Número de Rossby,
Ecuaciones Primitivas (EP)
Si L=215 km y U = 1 m/s, el número de Rossby es 0.03, y 
corrientes como el Gulf Stream están fuertemente 
influenciadas por la rotación terrestre.
Dado el valor de U, las escalas espaciales a partir de las 
cuales no pueden despreciarse (ε<0.1) son L > 10*U/(2Ω). 
Así, si U=0.1 m/s, L > 7 km. Si U=1 m/s, L > 70 km.
De aquí en adelante nos interesaremos a procesos para 
los cuales las escalas espaciales son del orden de 100 km
(o mayores), es decir procesos oceánicos en los cuales la 
fuerza de Coriolis es un término preponderante en la 
ecuación de conservación de momento.
Ecuaciones Primitivas (EP)
Por otra parte la profundidad promedio del océano es de 
3844 m. La relación entre el valor de la escala vertical 
respecto la escala horizontal es el
parámetro de aspecto, H
L
δ =
3.8 km 0.04 1
100 km
δ = ≈
Ecuaciones Primitivas (EP)
El océano se calienta por arriba. A escalas de 100 km, el 
océano se observa establemente estratificado: agua 
caliente (ligera) encima de agua fría (densa). 
fr
om
Pe
ix
ot
o
an
d
O
or
t(
19
92
)
Ecuaciones Primitivas (EP)
En caso de estratificación estable los movimientos según 
la dirección local de la gravedad son fuertemente inhibidos. 
A grandes escalas, los movimientos del océano son casi 
bidimensionales.
Las variaciones de densidad en el 
océano son relativamente pequeñas, 1 
kg/m3 en la parte estratificada. El valor 
promedio en esta región es 27.5 kg/m3. 
oρ ρ ρ= + Δ
3
3
1 kg m 0.04
27.5 kg mo
ρ
ρ
−
−
Δ
≈ ≈
Ecuaciones Primitivas (EP)
En resumen, los valores característicos de la circulación 
oceánica de gran escala son:
5
3
1 1
10 m
10 m
10 ms
L
H
U − −
≈
≈
≈
2
2
2
10
10
2
10
o
H
L
U
L
δ
ε
ρ
ρ
−
−
−
= ≈
= ≈
Ω
Δ
≈
Filtrando las Ecuaciones Primitivas
Estas escalas características permiten 
escribir las ecuaciones de circulación 
oceánica en función de variables sin 
dimensiones (la utilidad la veremos en 
un par de transparencias):
( )
( )
/' 1
' ' '
/' 1
' ' '
x Lx
x x x x x L x
t Tt
t t t t t T t
∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= = =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= = =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
( , ) ( ', ')
'
'
( , ) ( ', ')
'
'
'
x y Lx Ly
z Hz
t Tt
u v Uu Uv
w Ww
p Pp
=
=
=
=
=
=
Ω ≡ ΩΩRegla de la cadena:
Filtrando las Ecuaciones Primitivas (EP)
La ecuación de Navier-Stokes
22d p
dt
ρ ρ ρ νρ+ × = −∇ + ∇Φ + ∇u Ω u u
se puede escribir en forma adimensional:
( )
2
2
2
' ' ' 2 ' ' ' '
'
U U P UU p g
T t L L L
ρ ρ νρρ ρ∂ + ⋅∇ + Ω × = − ∇ − + ∇
∂
u u u Ω u k u
( ) 22
1 '2 ' ' ' ' ' '
2 ' 2
U P UU p g
T t L L L
νρρ ρ∂⎡ ⎤Ω + ⋅∇ + × = − ∇ − + ∇⎢ ⎥Ω ∂ Ω⎣ ⎦
u u u Ω u k u
Filtrando las Ecuaciones Primitivas
( ) 22
1 '2 ' ' ' ' ' '
2 ' 2
U P UU p g
T t L L L
νρρ ρ∂⎡ ⎤Ω + ⋅∇ + × = − ∇ − + ∇⎢ ⎥Ω ∂ Ω⎣ ⎦
u u u Ω u k u
( ) 1O ε <<( ) 1tO ε << (1)O
Se desprecian términos 
de primer orden 
respecto al número de 
Rossby
2
22 ' ' ' '
P UU p g
L L
νρρ ρΩ × = − ∇ − + ∇Ω u k u
Ecuaciones Primitivas (EP)
Tamaño relativo 
entre Coriolis y 
disipación:
2
22 ' ' ' '
P UU p g
L L
ρνρ ρΩ × ≈ − ∇ − + ∇Ω u k u
2
2
/
2 2
U L
U L
ρν ν
ρ
=
Ω Ω
Número de Ekman
La disipación molecular del agua es del orden de 10-6 m2s-1
14
2 (10 )2
O
L
ν −=
Ω
2 ' ' 'PU p g
L
ρ ρΩ × ≈ − ∇ −Ω u k
Despreciando términos de primer orden en Rossby y Ekman, 
la circulación de gran escala es casi estacionaria e inviscible.
Filtrando las Ecuaciones Primitivas
Por 
componentes
2 p gρ ρ× ≈ −∇ +Ω u k
En la primera ecuación, el término con la componente 
meridional de Coriolis se puede ignorar si H/L << 1
( )2
2
2
y z
z
y
pw v
x
pu
y
pu g
z
ρ
ρ
ρ ρ
∂
Ω −Ω ≈ −
∂
∂
Ω ≈ −
∂
∂
− Ω ≈ − −
∂
Tamaño relativo 
velocidad 
vertical y 
horizontal
/ 1
/
w w H T HO O O O
u v L T L
δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = = <<⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Filtrando las Ecuaciones Primitivas
En la tercera ecuación, el término con la componente 
meridional de Coriolis se puede ignorar si H/L << 1
2
2
2
z
z
y
pv
x
pu
y
pu g
z
ρ
ρ
ρ ρ
∂
− Ω ≈ −
∂
∂
Ω ≈ −
∂
∂
− Ω ≈ − −
∂
( )2P O U Lρ= Ω
Si queremos que u y 
v sean diferente de 
zero, debe existir un 
balance entre ambos 
miembros. 
Tamaño relativo 
Coriolis y 
gradiente 
vertical de 
presión
2 2 1
/ 2 /
yu U HO O
p z UL H L
ρ ρ δ
ρ
Ω ⎛ ⎞Ω ⎛ ⎞= = = <<⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ Ω ⎝ ⎠⎝ ⎠
Filtrando las Ecuaciones Primitivas
En la dinámica a grandes escalas, 
cuando H/L<<1, sólo la componente 
vertical de la rotación terrestre es 
dinámicamente significativa.
2
2
z
z
pv
x
pu
y
pg
z
ρ
ρ
ρ
∂
Ω ≈
∂
∂
− Ω ≈
∂
∂
− ≈
∂
Equilibrio quasi-
geostrófico
Equilibrio quasi-
hidrostático
Ω
Ω
ΩzΩy
φ Ecuador
cos 0
sin
y
z f
φ
φ
Ω = Ω ≈
Ω = Ω =
El parámetro de Coriolis f (efecto de 
la rotación) es función de la latitud.
Ecuaciones Primitivas (EP)
Las ecuaciones de conservación de momento lineal y de 
masa son:
1
1
, 2 sin
0
x
r
y
r
u u u u pu v w fv D
t x y z x
v v v v pu v w fu D
t x y z y
p g f
z
u v w
x y z
ρ
ρ
ρ φ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + − = − +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + + = − +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂
= − = Ω
∂
∂ ∂ ∂
+ + =
∂ ∂ ∂
Modelización numérica
Durante la primera mitad del siglo XX, se buscaron 
soluciones analíticas para casos particulares de las 
Ecuaciones Primitivas (se eliminaban los términos 
termohalinos y los términos no-lineales):
Ekman (1905) estudia la influencia de la rotación 
terrestre sobre las corrientes inducidas por el viento.
Sverdrup (1947) presenta su teoría sobre el 
transporte barotrópico inducido por el viento.
Stommel (1948) explica la intensificación de las 
corrientes de frontera occidentales.
Munk (1950) presenta una solución analítica al 
problema lineal de la circulación oceánica inducida por 
el viento.
Modelización numérica
Las teorías lineales pueden llegar a producir una visión 
cualitativamente razonable, pero cuantitativamente 
errónea. La necesidad de introducir explícitamente los 
términos de advección (no-lineales) lleva a problemas 
analíticos de difícil resolución.
A pesar de la existencia de un cierto número de trabajos 
analíticos que tienen en cuenta la influencia de los 
términos de advección (Fofonoff, 1954; Charney, 1955; 
Moore, 1963; Veronis, 1967), las simulaciones numéricas 
han sido la herramienta primordial para el estudio de las 
soluciones explícitas de la circulación oceánica.
Modelizaciónnumérica
Como ya hiciera Richardson en 1921, las soluciones 
numéricas de las Ecuaciones Primitivas se pueden 
calcular sobre los vértices de una cuadrícula 
preestablecida (sea mediante diferencias finitas o por 
medio de elementos finitos).
Una alternativa es el uso de métodos espectrales
(muy utilizados en meteorología) por la cual las soluciones 
del modelo se expresan mediante la combinación lineal de 
funciones ortogonales (las ecuaciones dinámicas 
proporcionan un sistema algebraico para determinar los 
coeficientes de la combinación lineal).
Modelización numérica
En el método de diferencias finitas, valores aproximados 
de las derivadas (espaciales y temporales) se expresan 
mediante relaciones derivadas del teorema de Taylor:
11
11
−+
−+
−
−
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
ii
ii
i xxx
ψψψ
( )
2' ''( ) ( ) ... ...
1! 2! !
n
nx x x x x x
n
ψ ψ ψψ ψ+ Δ = + Δ + Δ + + Δ +
2( ) ( )'( ) ( )x x xx O x
x
ψ ψψ + Δ −= + Δ
Δ
Modelización numérica
El método de las diferencias finitas aproxima las 
ecuaciones. Las soluciones de las ecuaciones 
discretizadas pueden, o no, ser representativas de las 
soluciones de las ecuaciones dinámicas originales. Ello 
depende de:
Convergencia: la solución a las ecuaciones discretas 
debe aproximarse a la solución “analítica” a medida 
que la retícula se hace más fina.
Estabilidad: Las soluciones son funciones acotadas 
que dependen de la condición inicial cuando los 
incrementos temporales son pequeños.
Modelización numérica
Cada término de las Ecuaciones Primitivas puede 
discretizarse de muchas formas diferentes. Tómese el 
ejemplo:
0c cU
t x
∂ ∂
+ =
∂ ∂
Si la derivada temporal se representa mediante un 
esquema de Euler:
1
1 1 0
2
n n n n
i i i ic c c cU
t x
+
+ −− −+ =
Δ Δ
( )1 1 12
n n n n
i i i i
U tc c c c
x
+
+ −
Δ
= − −
Δ
Sin embargo, 
¡este esquema 
es inestable!
tiempo
espacio
Modelización numérica
Para ver que es inestable, se escribe la solución como:
en n ikllc C=
De donde,
1 1 ( ) 1 sin
2
n n ik ik nU t U tC C e e C i k
x x
+ −Δ Δ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
La amplitud 
de cualquier 
modo crece a 
cada paso de 
tiempo.
1 1 ( 1) ( 1)
1 1e , e , e
n n ikl n n ik l n n ik l
l l lc C c C c C
+ + + −
+ −= = =
2 21
21 sin 1
n
n
C U t k
C x
+ Δ⎛ ⎞= + >⎜ ⎟Δ⎝ ⎠
Modelización numérica
Sin embargo, la misma ecuación puede discretizarse de 
manera estable utilizando un esquema de diferencias 
centradas en el tiempo (Leap-frog):
1 1
1 1 0
2 2
n n n n
i i i ic c c cU
t x
+ −
+ −− −+ =
Δ Δ
( )1 1 1 1n n n ni i i iU tc c c cx
+ −
+ −
Δ
= − −
Δ
1 1 2 sinn n n U tC C iC k
x
+ − Δ= −
Δ
en n ikllc C=
Despejando:
La estabilidad de la recurrencia se puede resolver poniendo: 
n nC γ=
índice temporal n-ésima potencia
estable si 1γ ≤
Modelización numérica
2 2 2 2sin / 1 sin /iU t k x U t k xγ ± = − Δ Δ ± − Δ Δ
1 1U t
x
γ ±
Δ
< ⇒ =
Δ
Reordenando:
1 2 siniU t k
x
γ γ − Δ= −
Δ
2 2 sin 1 0iU t k
x
γ γΔ+ − =
Δ
Solución:
Si ¡Estable!
2
1 para 
2
U t U ti k
x x
πγ ±
⎛ ⎞Δ Δ⎛ ⎞⎜ ⎟⇒ = ± − =⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ⎝ ⎠⎝ ⎠
Si 
¡Hay 
soluciones 
inestables!
1U t
x
Δ
>
Δ
Modelización numérica
1U t
x
Δ
<
Δ
Para la ecuación de advección (lineal ya que U es una 
constante), el esquema temporal centrado (Leap-frog) da 
soluciones estables si se toman pasos de tiempo (Δt) 
suficientemente pequeños de tal manera que se 
verifique
Condición de estabilidad CFL 
(Courant, Friedrich y Lewly, 1928)
Modelización numérica
Diferentes modelos oceánicos se pueden construir 
según la representación vertical de la columna de agua: 
Niveles: Todos los puntos de la retícula que 
pertenecen a un mismo nivel tienen la misma 
profundidad (isohipsas): Coordenadas z.
Capas: La columna de agua se divide en capas de 
densidad constante (isopicnas): Coordenadas σ.
Fracciones: La columna se divide en regiones 
verticales las cuales tienen asignada una fracción de la 
profundidad total (isomeras): Coordenadas s.
Modelización numérica
© The COMET Program
Modelización numérica
Coordenadas z son las más utilizadas: económica y fácil 
de programar; facilidad para el cálculo de gradientes de 
presión, la ecuación de estado, sin problemas para 
modelizar regiones poco estratificadas. Sus desventajas 
son la dificultad para representar la topografía.
Coordenadas σ permiten una mejor representación de la 
batimetría, pero complican el uso de la ecuación de estado 
no lineal. La resolución vertical decrece en regiones poco 
estratificadas.
Coordenadas s permiten representar la topografía. Sus 
principales problemas son errores en el cálculo del 
gradiente de presión y una excesiva difusión donde los 
gradientes topográficos son importantes. 
Modelización numérica
El océano delimita con la atmósfera y continentes o 
islas. En simulaciones regionales, se requieren fronteras 
virtuales con otras masas de agua.
Océano-atmósfera: Flujos de masa y momento entre 
océano y atmósfera. Desplazamiento de la superficie marina.
Fronteras sólidas: Costas y fondos marinos impermeables: 
sin flujos de masa o temperatura. Velocidades tangenciales 
en costa y fondo marino dependen de la resolución espacial.
Fronteras abiertas: Simular el comportamiento del océano 
fuera de la región de interés. Ondas generadas en el interior 
no deben ser reflejadas hacia dentro por la presencia de la 
frontera virtual.
Modelización numérica
Ejemplo: flujos de calor 
en la superficie océano-
atmósfera. La radiación 
solar se procesa como un 
flujo en la superficie:
0
1
NETO
z r pw
TK Q
z Cρ=
∂⎛ ⎞ =⎜ ⎟∂⎝ ⎠
NETO SW LW LAT SENQ Q Q Q Q= + + +
( )( )1 1 0.7SW SWO cQ Q nα= − −
( )( )4 1/2 20.985 0.39 0.05 1 0.6LW S a cQ T e nσ= − −
( )SEN a p H s s aQ c c W T Tρ= −( )LAT a E v s s aQ c L W q qρ= −
Modelización numérica
El tamaño de las celdas de la retícula no permite 
resolver explícitamente todas las estructuras espaciales 
que conforman la dinámica oceánica.
Suponer que la velocidad tiene se factoriza en el valor 
resuelto por la retícula (um) y el valor no resuelto (us): 
( ) ( ) ( ) 0m s m sm s
u u u uu uu u u
t x t x
∂ + ∂ +∂ ∂
+ ≡ + + =
∂ ∂ ∂ ∂
0m m m s s sm
u u u u u uu
t x x x
∂ ∂ ∂ ∂
+ + + =
∂ ∂ ∂ ∂
La evolución de la velocidad resuelta por el modelo se 
modifica por las correlaciones con las componentes de 
subescala. Necesidad de simular los efectos de las 
escalas no resueltas (difusión explícita turbulenta).
Modelización numérica
El océano se halla en un estado de turbulencia 
desarrollada. Esto se traduce por la presencia de 
remolinos que se superponen a las corrientes oceánicas y 
las modifican. Mecanismos que generan inestabilidades:
Inestabilidad barotropa (cizalla horizontal): Se 
observa cuando existe un fuerte cizallamiento de la 
corriente (βoL2/U<<1). Si U=O(1)m/s, L=O(220 km).
Inestabilidad baroclina (cizalla vertical): Cuando la 
escala de movimiento L es grande en comparación del 
radio de deformación interno (Ri=NH/f). 
Estimaciones de dicho radio dan Ri=400, 40, y 10 km
en el ecuador, 30oN, y 60oN respectivamente.
Modelización numérica
Un modelo oceánico se llama de alta resolución si su 
retícula permite resolver el radio interno de deformación.
Ω
φ
cos( )TR φ
TR
2 cos( ) 2 6371 cos( ) km1
360 360
111.2 cos( ) km
o TRπ φ π φ
φ
≡ =
=
30 N , 1 111.2 cos(30) = 96.3 km
60 N , 1 111.2 cos(60) = 55.6 km
o o
o o
φ
φ
⎡ ⎤= =⎣ ⎦
⎡ ⎤= =⎣ ⎦
¿Qué resolución espacial debe tener un modelo 
oceánico para ser considerado de alta resolución?
Evolución de los modelos oceánicos
En resumen, las primeras simulaciones se centraron en 
las grandes escalas, con modelos de baja resolución 
espacial que representaban una dinámica lineal y difusiva. 
La evolución temporal de la investigación con modelos 
numéricos de oceanografía (y meteorología) ha ido 
acompañada por un aumentado la resolución espacial, 
que ha permitido reducido la difusividad explícita 
turbulenta en dichos modelos, permitiendo poner en 
evidencia el papel de los efectos no-lineales en la 
circulación oceánica.
B
ryan
 a
nd
C
ox
, 1
97
2.
 M
od
el
o 
2º
, 9
 n
iv
el
es
.
E
ar
th
 S
im
ul
at
or
. M
od
el
o 
 1
/1
0º
, 5
4 
ni
ve
le
s.
Resumen
• La evolución temporal de un fluido en un planeta sigue
las ecuaciones de Navier-Stokes (Segunda ley de 
Newton adaptada a un fluido en rotación).
• Las ecuaciones de Navier-Stokes son no-lineales, tienen
comportamientos caóticos (alta sensibilidad a las
condiciones iniciales.
• Las ecuaciones de Navier-Stokes no tienen una solución
analítica general, sólo es posible encontrar
aproximaciones numéricas a soluciones particulares.
• El nivel de aproximaciones depende dé:
– Filtrado de las ecuaciones
– Discretización de las ecuaciones resultantes
– Parameterizacón de las escalas no resueltas