Agujeros Negros TAZ-TFG-2021-3479

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Universidad de Zaragoza
Facultad de Ciencias
Trabajo de Fin de Grado
Escapar de un agujero negro
Director:
Dr. Javier Redondo Mart́ın
Autor:
Iván Fernández Fernández
10 de septiembre de 2021
Abstract
Una de las caracteŕısticas más notables de los agujeros negros está relacionada con la
absorción de materia y radiación por parte de estos. En los sistemas más simples, una vez
la materia cruza una cierta región, esta deja de ser visible para un observador externo y
jamás saldrá del agujero negro.
En este trabajo se profundizará en el análisis de este suceso para sistemas de agujeros
negros más complejos. Esta complejidad nos obligará a tratar de simplificar el problema
a través de la termodinámica, proporcionando una relación para la entroṕıa de agujeros
negros acelerados que podrá servir como punto de partida para futuros estudios.
I
Índice general
1. Introducción y objetivos 1
2. Agujeros negros estacionarios 4
2.1. Agujero negro de Kerr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1. Proceso de Penrose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.2. Identificación de part́ıculas dentro de la ergosfera . . . . . . . . . . 7
3. Sistemas de agujeros negros 9
3.1. Termodinámica de agujeros negros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1.1. Ejemplos simples de fusión de agujeros negros . . . . . . . . . . . . 11
3.2. Planteamiento del sistema de estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4. Agujeros negros acelerados 15
4.1. Métrica acelerada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.1.1. Sistema de coordenadas aceleradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.1.2. Métrica original . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.1.3. Transformación de la métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.1.4. Caracteŕısticas de la métrica resultante . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2. Entroṕıa del agujero negro acelerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.3. Análisis de la entroṕıa del agujero negro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5. Conclusión 23
Anexo I
A.1. Cálculo de trayectorias en agujeros negros estacionarios . . . . . . . . . . . i
A.2. Proceso de Penrose original . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
II
Caṕıtulo 1
Introducción y objetivos
El desarrollo de la teoŕıa de la Relatividad General permitió predecir uno de los ele-
mentos relativistas por excelencia: los agujeros negros. Un agujero negro es una región
finita del espacio que encierra una masa con densidad extremadamente grande, deforman-
do la curvatura del espacio-tiempo de manera que ni siquiera la luz es capaz de escapar
de dicha región. Estos vienen enteramente caracterizados por cargas locales conservadas,
como su masa M, su momento angular J y su carga eléctrica Q.
Debido a que la estructura interna del agujero negro no afecta (a priori) a las trayecto-
rias que siguen las part́ıculas externas a este, generalmente se modelizan como una masa
puntual [1]. Como consecuencia de esta descripción encontramos una singularidad central
en la que diverge la curvatura del espacio-tiempo. Esta singularidad está encerrada en el
interior de distintos tipos de horizontes, que son regiones del espacio-tiempo en las que se
cumplen unas condiciones preestablecidas debidas a la presencia de la masa central. En
este trabajo distinguiremos:
Horizonte de sucesos: frontera dentro de la cual los eventos no afectan a un obser-
vador externo.
Horizonte aparente: frontera dentro de la cual las trayectorias se dirigen inevitable-
mente hacia su interior; su interior es una región de atrapamiento. Dentro de estos
horizontes siempre hay agujeros negros.
Superficie de ĺımite estacionario: frontera a partir de la cual el vector de Killing ∂/∂t
pasa a ser de tipo espacio [2].
La diferencia entre estos horizontes es sutil. Los horizontes de sucesos están definidos
de manera global como la frontera entre las geodésicas nulas (trayectorias seguidas por los
fotones) que son capaces de “escapar” al infinito y aquellas que irremediablemente acaban
cayendo al agujero negro, por lo que es evidente que debemos conocer todas las trayectorias
1
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS
posibles en el espacio-tiempo para poder identificar el horizonte de sucesos. Los horizontes
aparentes se definen localmente como la superficie sobre la cual el desplazamiento de las
geodésicas nulas salientes es nulo. A partir de aqúı vemos que la principal diferencia
entre ambos horizontes es que ninguna geodésica es capaz de salir del horizonte aparente,
mientras que las geodésicas pueden alejarse del horizonte de eventos antes de caer dentro
del agujero negro [3, 4].
Por otro lado, la superficie de ĺımite estacionario es una superficie en cuyo interior una
part́ıcula es incapaz de mantenerse en reposo respecto a un observador externo. Cuando
una part́ıcula atraviesa esta superficie, esta es arrastrada por el espacio-tiempo debido a
la influencia de la masa central del agujero negro. Sin embargo, esta superficie no impide
que las part́ıculas salgan de la misma [3].
Todos estos horizontes coinciden en las métricas estáticas y estacionarias, como es el
caso de los agujeros negros de Schwazschild (sin rotación ni carga eléctrica). Además, en
el caso de métricas estacionarias los horizontes de sucesos y aparente coinciden. Por este
motivo generalmente son confundidos [2, 3].
Por motivos evidentes, la única forma experimental de estudiar los agujeros negros es
analizando los objetos que caen o se acercan mucho al agujero negro. Por ello, en este
trabajo analizaremos las situaciones en las que un observador externo (nosotros) podŕıa
ver cómo una part́ıcula entra y sale de un agujero negro.
En este estudio supondremos el observador situado en el infinito. A todos los efectos
prácticos, nos encontramos lo suficientemente lejos del agujero negro más relevante como
para que esta aproximación sea válida. Este agujero negro en cuestión es Sagitario A*,
situado en el centro de la Vı́a Láctea; tiene una masa de unos 4 millones de masas solares,
un radio de Schwarzschild de unos 12 millones de kilómetros y se encuentra a unos 26
millones de años luz de la Tierra, lo que equivale a decir que nos encontramos a unos
3, 4 · 108 radios de Schwarzschild del agujero negro.
Bajo esta condición y atendiendo a las definiciones de los distintos horizontes, con-
clúımos que no podremos observar ninguna part́ıcula ni fotón que traspase el horizonte
de sucesos o el horizonte aparente en cáıda libre.
Comenzaremos con un análisis de agujeros negros estacionarios. En esta parte estudia-
remos los agujeros negros de Schwarzschild y de Kerr (con momento angular), haciendo
hincapié en el proceso de Penrose, que permite que las part́ıculas aprovechen la rotación
de los agujeros negros de Kerr para alejarse de la región más cercana al horizonte de su-
cesos. Durante este proceso la part́ıcula gana enerǵıa cinética extrayéndola de la enerǵıa
de rotación del agujero negro.
En esta primera parte estudiaremos las trayectorias de part́ıculas en sistemas con un
solo agujero negro, con el objetivo de encontrar situaciones en las que una part́ıcula se
2
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS
vuelve indetectable por un observador externo lejano al aproximarse al agujero negro para
posteriormente ser capaz de observarla alejándose de este. Para una mejor comprensión
de los argumentos expuestos en esta parte, se recomienda al lector familiarizarse con las
trayectorias resumidas en el Anexo A.1.
A continuación se trató de realizar cálculos de trayectorias en sistemas más complejos
mediante relatividad numérica. Sin embargo, no se contaba con la potencia computacional
requerida para poder llevar a cabo estas simulaciones de forma satisfactoria, por lo que se
han tenido que utilizar argumentostermodinámicos para poder hacer análisis simplificados
de sistemas complejos de agujeros negros.
Estos argumentos termodinámicos no son capaces de proporcionarnos resultados tan
precisos como los que nos proporciona el estudio de trayectorias. Por lo tanto el primer
paso que daremos en esta segunda parte será comprobar que estos argumentos son capaces
de predecir los resultados obtenidos en la primera parte. A continuación aplicaremos este
procedimiento a un agujero negro acelerado como primera aproximación a un sistema de
dos o más agujeros negros, y veremos qué efecto tiene la aceleración sobre el agujero negro
buscando situaciones similares a las buscadas en la primera parte.
3
Caṕıtulo 2
Agujeros negros estacionarios
En este apartado analizamos las trayectorias en la métrica de Kerr, obteniendo las de
la métrica de Schwarzschild haciendo tender el momento angular del agujero negro a 0.
En todo el trabajo utilizaremos la signatura (−,+,+,+) y trabajaremos en unidades
geométricas (c = G = 1).
La métrica de un agujero negro de Kerr en las coordenadas de Boyer-Lindquist es [3]:
ds2 =gµνdx
µdxν =
=−
(
1− 2Mr
Σ
)
dt2 − 4Mra sin
2 θ
Σ
dtdφ+
Σ
∆
dr2 + Σ dθ2+
+
(
r2 + a2 +
2Mra2
Σ
sin2 θ
)
sin2 θ dφ2
Σ = r2 + a2 cos2 θ
∆ = r2 − 2Mr + a2
(2.1)
Las coordenadas espaciales hacen el papel de coordenadas esféricas con origen en la
singularidad del agujero negro, donde r ∈ [0,∞) es el radio, φ ∈ [0, 2π) y θ ∈ [0, π).
El parámetro a es el parámetro de momento angular, definido como a = J/M , con M
la masa del agujero negro; este parámetro debe cumplir a2 < M2 para evitar tener una
singularidad desnuda. En el caso de tener que a2 > M2, los horizontes del agujero negro
desaparecen y la singularidad central del agujero negro seŕıa observable desde el exterior,
violando la hipótesis de censura cósmica.
Los agujeros negros de Schwarzschild han sido extensamente estudiados debido a su
simplicidad. En esta situación tenemos que todos los horizontes definidos anteriormente
coinciden, de manera que, sin excepción, veremos cómo la imagen de las part́ıculas que
caigan al agujero negro se va desvaneciendo sin llegar a ver cómo ésta cruza el horizonte
de sucesos; esto se debe a que el factor de redshift (cociente entre frecuencia de emisión
4
CAPÍTULO 2. AGUJEROS NEGROS ESTACIONARIOS
y detección) es proporcional a g
−1/2
tt . A pesar de que la part́ıcula cruza el horizonte en
un tiempo propio finito, desde nuestro sistema de referencia mediremos que ésta tarda un
tiempo infinito.
Utilizando los resultados del Apéndice 1 A.1 y suponiendo que la part́ıcula se desplaza
desde una distancia R hasta r = 0, encontramos que efectivamente la part́ıcula tarda
un tiempo propio finito en llegar a la singularidad τ = π
2
R
√
R
2M
. Sin embargo, podemos
comprobar que el intervalo temporal que medimos desde nuestro sistema de referencia
diverge en el horizonte y su velocidad se anula (A.7), por lo que para un observador
externo las trayectorias nunca llegan a cruzar el horizonte. Obtenemos unos resultados
similares si aplicamos el mismo procedimiento a un fotón (A.9).
Por tanto, podemos concluir que en esta situación será imposible observar que una
part́ıcula entre y salga del agujero negro.
2.1. Agujero negro de Kerr
La métrica de Kerr está definida sobre un sistema de coordenadas esferoidales oblatas,
por lo que la singularidad central es una singularidad en forma de anillo en θ = π/2 con
un radio |a|.
Los horizontes de sucesos y aparente coinciden en el radio para el que se anula ∆:
rH = M ±
√
M2 − a2, donde el signo + corresponden al horizonte externo y el signo
− al horizonte interno (también denominado horizonte de Cauchy). Por otro lado, y
como anticipamos, la superficie de ĺımite estático se encuentra fuera del horizonte de
sucesos en el radio para el que se anula el componente puramente temporal de la métrica:
rE = M±
√
M2 − a2 cos2 θ , donde de nuevo aparece un horizonte interior y otro exterior.
Como veremos más adelante, estos dos últimos horizontes se corresponden también con
los horizontes de blueshift y de redshift infinito, respectivamente.
Una región de interés, cuya importancia se hará patente más adelante, es la ergosfera.
Esta es la región comprendida entre el horizonte de sucesos externo y el horizonte de
redshift infinito. La caracteŕıstica más relevante de esta región es la incapacidad de que
un observador para permanecer en reposo dentro de la misma; la rotación del agujero
negro arrastra consigo el espacio-tiempo, provocando que dentro de la ergosfera rote con
una velocidad superior a la de la luz.
Al analizar las ecuaciones del movimiento (A.13) vemos que el comportamiento en-
contrado para el agujero negro de Schwarzschild (la part́ıcula cruza la superficie en un
tiempo propio finito, pero para un observador externo esta tarda un tiempo infinito) se
repite en el horizonte de sucesos, por lo que a priori concluiŕıamos que la superficie de
ĺımite estacionario no es un horizonte de redshift infinito. Sin embargo, podemos encon-
5
CAPÍTULO 2. AGUJEROS NEGROS ESTACIONARIOS
trar de nuevo una divergencia del factor de redshift en la superficie de ĺımite estacionario
[6], de modo que a partir de esta superficie no seremos capaces de observar la trayectoria
de la part́ıcula que la ha cruzado.
A diferencia del caso del agujero negro de Schwarzschild, en general en este caso śı que
seŕıamos capaces de observar cómo la part́ıcula cruza esta superficie en un tiempo finito,
aunque debido al redshift no podŕıamos precisar cuándo lo cruza. Además, al situar al
observador tan lejos del agujero negro veremos que la part́ıcula se introduce en la sombra
de este antes de desaparecer.
En este contexto, se entiende por sombra de un agujero negro la silueta que percibe
un observador externo cuando un agujero negro se interpone entre este y una fuente de
luz. Cuando esta fuente de luz se supone de un tamaño angular grande desde el punto de
vista del observador (como la producida por un fondo de estrellas) y se sitúa al observador
en el infinito, el contorno de la sombra, denominado anillo de fotones, viene determinado
por las órbitas esféricas inestables para fotones. En un agujero negro de Kerr estas órbitas
dependen del sentido de propagación de los fotones en relación con el sentido de rotación
del agujero negro, permitiéndonos distinguir dos tipos de órbitas: las órbitas progradas (o
directas), en las que el fotón se propaga en el mismo sentido de rotación que el agujero
negro, y las órbitas retrógradas, en las que se propaga en el sentido opuesto. Cuando el
fotón del fondo se aproxima al observador en el infinito siguiendo una órbita directa sigue
una trayectoria más cercana a la singularidad central que cuando lo hace a través de una
órbita retrógrada, de modo que la rotación del agujero negro deforma la sombra circular
que tendŕıa un agujero negro de Schwarzschild. Para profundizar, véase [5].
Recopilando, en un agujero negro de Kerr tenemos un horizonte a partir del cual no
somos capaces de observar a las part́ıculas que lo cruzan pero que, a su vez, no impide la
salida de las mismas. Por lo tanto, es lógico plantear las siguientes dos preguntas:
¿Puede una part́ıcula cualquiera salir de esta región del espacio-tiempo?
¿Somos capaces de identificar la existencia de part́ıculas dentro de la ergosfera?
2.1.1. Proceso de Penrose
Para contestar a la primera cuestión podemos acudir al llamado proceso de Penrose
[3].
Este proceso f́ısico se basa en las caracteŕısticas especiales de la ergosfera. En esta
región el momento generalizado pt del lagrangiano que define las trayectorias, que viene
dado por 2L = gµν dx
µ
dτ
dxν
dτ
, puede pasar a ser de tipo espacio. Este momento generalizado
es una cantidad conservada que se identifica con la enerǵıa de la part́ıcula, lo que indica
que la part́ıcula seŕıa percibida por un observadorexterno como una part́ıcula con enerǵıa
6
CAPÍTULO 2. AGUJEROS NEGROS ESTACIONARIOS
negativa; para ello, es necesario que el momento angular de la part́ıcula Lz tenga un signo
opuesto a a. Bajo esta condición, es posible extraer enerǵıa y momento angular del agujero
negro.
Originalmente, Penrose planteó una situación en la que una part́ıcula se adentra en
la ergosfera sobre el plano ecuatorial con las condiciones adecuadas para que se detenga
(ṙ) en un punto del interior de esta región. Una vez alcanzase este punto, esta part́ıcula
se desintegraŕıa en dos fotones, uno de los cuales caeŕıa dentro del agujero negro (con
enerǵıa negativa) y el otro escapaŕıa del agujero negro (con enerǵıa positiva) con una
enerǵıa superior a la de la part́ıcula inicial. Se muestran los cálculos resumidos en A.2.
Siguiendo procedimiento similar, podemos obtener resultados similares para cualquier
tipo de desintegración. Por tanto, podemos concluir que podemos observar part́ıculas que
salen de la ergosfera. Pero, ¿podemos ver salir a la misma part́ıcula que vimos entrar?
Efectivamente, este proceso puede darse por colisión entre part́ıculas [7]. Aśı que,
siempre que los valores de a y M sean lo suficientemente grandes como para que la
part́ıcula en cuestión sea capaz de entrar por completo en la ergosfera sin desintegrarse
por las fuerzas de marea del agujero negro, podŕıamos ver cómo esta part́ıcula entra y
sale del agujero negro.
Podemos concluir que, aunque las condiciones que deben darse para que se dé el
proceso de Penrose son muy restrictivas, śı que es posible ver cómo un objeto desaparece
dentro de un agujero negro de Kerr y posteriormente sale de él pasado un cierto tiempo
finito.
2.1.2. Identificación de part́ıculas dentro de la ergosfera
Es evidente que si imponemos que el agujero negro sea muy masivo (lo que es necesario
para que las fuerzas de marea no afecten a la estructura de la part́ıcula entrante) y que la
part́ıcula a la que hacemos referencia tiene una masa y momento angular muy pequeños
en relación con las del agujero negro, podemos minimizar los efectos que tiene la part́ıcula
sobre la métrica.
El efecto más notable de la presencia de la part́ıcula en la ergosfera es la distorsión de la
sombra del agujero negro, ya que esta vendŕıa dada por la deformación de las trayectorias
de los fotones observables por el observador externo lejano que pasan más próximas a
la part́ıcula. Si la part́ıcula está lo suficientemente alejada del anillo de fotones, no se
apreciará una deformación de la sombra.
Dado que la part́ıcula se encontraŕıa dentro de la ergosfera, podemos estimar la po-
sición de la part́ıcula respecto del anillo de fotones calculando la distancia mı́nima entre
el anillo de fotones y la superficie externa de la ergosfera. El radio mı́nimo al que un
observador externo lejano observa el anillo de fotones viene dado por la órbita esférica
7
CAPÍTULO 2. AGUJEROS NEGROS ESTACIONARIOS
inestable para fotones en órbitas directas. La diferencia de radios d entre este radio ĺımite
y la superficie externa de la ergosfera viene dado por (véase [5]):
d = 2M cos
[
2
3
arc cos
(
−|a|
M
)]
(2.2)
Esta distancia se anula para |a|
M
=
√
2
2
≈ 0,71. Podemos asumir entonces que si el valor
de a no es grande y la masa de la part́ıcula suficientemente pequeña, esta distancia mı́nima
será lo suficientemente grande como para que la métrica perturbada sea equivalente a un
agujero negro de masas y momentos angulares suma.
Entonces podemos concluir que existe la posibilidad de que no podamos identificar
la existencia de part́ıculas dentro de la ergosfera si la masa y el momento angular de la
part́ıcula entrante son pequeñas.
A la vista de lo expuesto, se puede afirmar que en agujeros negros de Kerr el proceso de
Penrose permite a observadores externos lejanos ver cómo part́ıculas desaparecen dentro
del agujero negro y posteriormente salir de este sin ser capaces de seguir su trayectoria.
8
Caṕıtulo 3
Sistemas de agujeros negros
Hemos podido comprobar que existe la posibilidad de observar cómo un pequeño objeto
desaparece dentro de un agujero negro estacionario en rotación y posteriormente salir de
éste si se dan una ciertas condiciones. Ahora trataremos de encontrar resultados similares
en sistemas que involucren más de un objeto con una masa relevante; en otras palabras,
más de un agujero negro.
Para este propósito plantearemos el siguiente sistema. Supondremos un agujero negro
súpermasivo y un objeto adicional con una masa no despreciable, que llamaremos “masa
distorsionante” y modelizaremos como un agujero negro de masa pequeña. Cuando la
masa distorsionante se acerque lo suficiente al horizonte de eventos del agujero negro
súpermasivo se producirá un desplazamiento de los diferentes horizontes respecto de la
situación estacionaria.
A priori podemos esperar que la superficie de redshift infinito se aleje del agujero negro
súpermasivo. Esta superficie está relacionada con el potencial gravitatorio a través de la
componente puramente temporal de la métrica. Al acercarse la masa distorsionante al
agujero negro el potencial aumentará en magnitud en la región comprendida entre ambas
masas, provocando el efecto mencionado.
Respecto a los horizontes de sucesos y aparente, pensaŕıamos que ambos se retraeŕıan
por el efecto gravitatorio de la masa distorsionante. Si bien esta intuición es correcta en el
caso del horizonte aparente (siempre que la masa distorsionante no esté demasiado cerca),
es errónea para el comportamiento del horizonte de sucesos. Como podemos comprobar
en [8] es la distribución de las masas de nuestro sistema la que determina la localiza-
ción del horizonte de sucesos, provocando que este se expanda ligeramente hacia la masa
distorsionante.
La principal diferencia entre ambos horizontes viene dada por las definiciones. El ho-
rizonte aparente se define localmente, de manera que al acercarse la masa distorsionante
disminuye la intensidad gravitatoria que siente la part́ıcula de prueba en la región com-
prendida entre ambas masas. La definición del horizonte de sucesos es global y se basa
9
CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE AGUJEROS NEGROS
en las trayectorias que siguen las part́ıculas de prueba; de esta manera, las part́ıculas
que pasan entre ambas masas sienten el tirón gravitatorio generado por ambas masas,
modificando su trayectoria y pudiendo provocar que acaben cayendo en alguna de los dos
agujeros negros.
Si bien se puede tratar estos sistemas de masas como una perturbación de la métrica
del agujero negro súpermasivo [9] [10], este método no proporciona expresiones manejables
salvo para casos concretos. Por lo tanto, si queremos tratar sistemas complejos estaremos
forzados a utilizar relatividad numérica.
Tras estudiar varios softwares de simulación (Einstein Toolkit [11], GR Chombo [12]
y FANTASY [13]) se llegó a la conclusión de que no se contaba con la potencia compu-
tacional necesaria para poder llevar a cabo las simulaciones requeridas en un periodo de
tiempo aceptable, por lo que fue necesario reenfocar el trabajo con la finalidad de ser
capaces de obtener un resultado en el caso de sistemas más complejos.
3.1. Termodinámica de agujeros negros
Como alternativa a la relatividad numérica realizaremos un tratamiento termodinámi-
co. Este tratamiento no será capaz de darnos resultados precisos, pero śı que nos propor-
cionará ĺımites para los que el sistema propuesto inicialmente no será válido y que serán
un punto de partida para futuros estudios. Obtendremos este ĺımite aplicando la segunda
ley de la termodinámica, que estipula que un sistema completo sólo puede conservar o
aumentar su entroṕıa (jamás puede disminuir).
En el caso de que encontrásemos este ĺımite en un sistema que únicamente involucrase
masas grandes existiŕıa la posibilidad de que nos estuviese indicando que el sistemano
está descrito por completo; esto podŕıa ocurrir al estudiar la fusión de dos agujeros negros
mediante argumentos termodinámicos, indicándonos (por ejemplo) que la generación de
ondas gravitacionales es relevante en el sistema planteado. Si este ĺımite aparece al intro-
ducir una part́ıcula de prueba en el sistema (puede tener una masa tan pequeña como
queramos, pudiendo despreciar las posibles correcciones) con constantes de movimiento
pequeñas (por ejemplo un momento angular pequeño), podremos concluir que la situación
planteada simplemente no podrá ocurrir. Nos centraremos en buscar estos ĺımites en este
último tipo de situaciones.
A pesar de no ser una teoŕıa completamente formada ya que siguen existiendo proble-
mas de compatibilidad con la teoŕıa cuántica, numerosos estudios relacionan la entroṕıa
de los agujeros negros con el área de su horizonte de sucesos (véase [14, 15]). Posterior-
mente se introdujeron correcciones a esta relación definiendo un “área generalizada” en
términos del escalar de Ricci, y que entran en juego en sistemas dinámicos o perturbados.
10
CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE AGUJEROS NEGROS
Por el momento nos olvidaremos tanto de la corrección al área generalizada como
de las constantes que acompañan al área del horizonte de sucesos en la expresión de la
entroṕıa. De esta manera, podremos calcular la entroṕıa según
S ∝ AH =
∫ 2π
0
∫ π
0
√
gθθ gφφ − g2θφ
∣∣∣
rH
dθ dφ (3.1)
Aqúı, rH es el radio del horizonte de sucesos y g hace referencia a las distintas com-
ponentes de la métrica del sistema en cuestión.
Es sencillo comprobar que este área para los agujeros negros de Schwarzschild (masa
M ) y de Kerr (masa M y parámetro de momento angular a) viene dada por:
Schwarzschild : AH = 16πM
2
Kerr : AH = 8πM
(
M +
√
M2 − a2
) (3.2)
Una propiedad importante es que la entroṕıa del agujero negro se mantiene invariante
bajo transformaciones de Lorentz. Por tanto, tendremos que esta será la misma indepen-
dientemente de si el agujero negro se encuentra estático o se desplaza con una velocidad
constante.
Por otro lado, la relación entre los cambios en la masa, la entroṕıa y el momento angular
del agujero negro viene dada por la primera ley de la termodinámica para agujeros negros
sin carga:
dM = T dS + Ω dJ (3.3)
donde T es la temperatura del sistema, J su momento angular y Ω su frecuencia
angular.
3.1.1. Ejemplos simples de fusión de agujeros negros
Para comprobar la utilidad de los argumentos termodinámicos aproximaremos las
situaciones estudiadas en el Caṕıtulo 2 a la fusión de dos agujeros negros haciendo que la
masa de uno de los dos agujeros negros sea much́ısimo menor que la del otro, pudiendo
despreciar correcciones al sistema.
El primer sistema que analizaremos es la fusión de dos agujeros negros de Schwarzs-
child. Supondremos el agujero negro de mayor masa M estático y será el agujero negro
de menor masa m el que caerá en su interior rotando alrededor de este con un momento
angular L.
11
CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE AGUJEROS NEGROS
La diferencia de entroṕıa entre el estado final (un agujero negro de Kerr de masa M
′
=
M + m parámetro angular a = L/M
′
) y el inicial (dos agujeros negros de Schwarzschild
de masas M y m) vendrá dado por:
∆S = Sfinal − Sinicial ∝ 8πM
′
(
M
′
+
√
(M ′)2 − a2
)
− 16π
(
M2 +m2
)
(3.4)
Esta diferencia se anula para el siguiente valor del momento angular L:
a2 =
8mM (M2 +m2)
(M ′)2
→ L2 = 8mM
(
M2 +m2
)
(3.5)
Para el caso que nos ocupa, m�M , vemos que el momento angular L crece con M3/2,
haciendo patente que seŕıan necesarios momentos angulares muy grandes para que el cam-
bio de entroṕıa sea negativo. Esta condición no proporciona ningún resultado concluyente:
al requerir un momento angular muy grande existe la posibilidad de que el resultado nos
indique que se emiten ondas gravitacionales.
Ahora repetimos el proceso suponiendo que ahora el agujero negro de masa M tiene un
momento angular intŕınseco, con parámetro angular a. En este caso, el agujero negro resul-
tante de la fusión, de masa M
′
= M+m, tendrá un parámetro angular a
′
=
∣∣∣M~a+ ~L∣∣∣ /M ′ .
Siguiendo el mismo procedimiento, llegamos a la siguiente relación para la anulación de
la entroṕıa:
L2 + 2M |~a|
∣∣∣~L∣∣∣ cosα = 2mM (2M2 + 4m2 +mM + (2M −m)√M2 − a2) (3.6)
Lo primero que observamos es la dependencia del valor de L con el ángulo α formado
por este vector y el que indica el eje de giro del agujero negro ~a. Este es el comportamiento
observado en las órbitas directas y retrógradas en la métrica de Kerr, que indica que una
part́ıcula requiere de un momento angular menor para escapar de la influencia del agujero
negro si el sentido de rotación de la part́ıcula es el mismo que el del agujero negro.
Sin necesidad de hacer cálculos, se puede concluir que es posible aproximarse más a un
agujero negro de Kerr antes de llegar a un punto de no retorno si nuestra trayectoria está
contenida en el plano ecuatorial y rotamos en la misma dirección que el agujero negro.
Finalmente, podemos aproximar la expresión a primer orden en m para observar gráfi-
camente este comportamiento. Resolviendo la ecuación cuadrática, mostramos los valores
(a, α) para los que se cumple (3.6) en la figura 3.1 para distintos valores de L. Se muestran
todos los valores por unidad de M para un valor de m = 10−10M .
Podemos ver cómo para ángulos α pequeños (órbitas directas) y valores grandes de a
el momento angular
∣∣∣~L∣∣∣ requerido para que se anule la diferencia de entroṕıa disminuye.
12
CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE AGUJEROS NEGROS
Figura 3.1: Valores de (a, α) para los que se anula la entroṕıa con un momento angular
L de 10−9 M2 (azul), 10−8 M2 (morado), 10−7 M2 (verde), 0, 05 M2 (naranja), 0, 5 M2
(rojo) y 1, 5 M2 (negro).
Esta situación cumple las condiciones necesarias para poder despreciar la generación de
ondas gravitacionales (masa y momento angular pequeños), por lo que podemos asumir
que en agujeros negros de Kerr con parámetro angular a grande existirá un cierto valor
de
∣∣∣~L∣∣∣ para el que la part́ıcula podrá escapar de la influencia del agujero negro.
Estos resultados también nos permiten entrever el proceso de Penrose colisional. Su-
ponemos que la part́ıcula se introduce en la ergosfera con un momento angular pequeño,
del orden del momento angular requerido para que el argumento termodinámico indique
que la entroṕıa disminuye para órbitas directas, siguiendo una trayectoria entrante. Una
vez en la ergosfera, la part́ıcula sufre una colisión que modifica su momento angular li-
geramente en dirección y módulo; si el momento angular final se orienta en la dirección
adecuada y con el módulo adecuado, el argumento termodinámico nos indicará que la
entroṕıa disminuye y, por tanto, la part́ıcula no caerá dentro del agujero negro.
Aśı, hemos sido capaces de acotar los aspectos a tener en cuenta en nuestro problema
con unos pocos cálculos previos sencillos.
13
CAPÍTULO 3. SISTEMAS DE AGUJEROS NEGROS
3.2. Planteamiento del sistema de estudio
Hemos podido comprobar que a través de un análisis termodinámico podemos intuir la
existencia de procesos con comportamientos especiales en referencia a la posibilidad de que
un objeto escape del agujero negro desde trayectorias que se dirigen a su interior. Siguiendo
la misma filosof́ıa, trataremos de modelizar un sistema compuesto con interacción entre
las masas relevantes de la forma más simple posible.
Si queremos describir un sistema realista debeŕıamos calcular la métrica compuesta de
dos agujeros negros, pero en general requiere de cálculo numérico para poder obtenerla.
Para simplificar al máximo el sistema nos centraremos en el efecto más caracteŕıstico de
la interacción gravitatoria entre dos masas: las masas sufrirán una aceleración. Por tanto,
estudiaremos la métrica resultante de acelerar un agujero negro.
Respecto a “cómoaceleramos” la métrica, podŕıamos estar tentados de aplicar una
aceleración que fuese realista, con origen en algún punto y que se anulase en el infinito. Si
aplicásemos una aceleración con esta forma la transformación se diferenciaŕıa muy poco de
la composición de dos métricas de agujeros negros, por lo que no estaŕıamos simplificando
realmente los cálculos.
La forma más sencilla de abordar el problema es la de aplicar una aceleración constante
en todos los puntos del espacio. De esta forma simplificaremos enormemente los cálculos,
aunque tendremos que analizar cuidadosamente la métrica resultante para poder identi-
ficar qué condiciones serán necesarias para que el cambio de coordenadas sea válido y los
resultados obtenidos sean correctos.
14
Caṕıtulo 4
Agujeros negros acelerados
En este caṕıtulo analizaremos los aspectos básicos que tendremos que considerar en
la métrica acelerada del agujero negro. Después procederemos al cálculo y análisis de la
entroṕıa del mismo.
4.1. Métrica acelerada
Antes de realizar cálculos en una métrica transformada debemos comprender la trans-
formación y las caracteŕısticas de la métrica engendrada.
En esta sección analizaremos:
El sistema de coordenadas aceleradas.
La selección de la métrica original que transformaremos posteriormente.
La transformación de la métrica.
Las caracteŕısticas de la métrica resultante.
4.1.1. Sistema de coordenadas aceleradas
Inspirados en [2] utilizaremos las llamadas coordenadas de Kottler-Moller. Este siste-
mas de coordenadas describe la aceleración de un sistema de coordenadas cartesianas en
la dirección de uno de los ejes coordenados según:
t̂ =
(
x+ g−1
)
sinh (gt)
x̂ =
(
x+ g−1
)
cosh (gt)− g−1
ŷ =y
ẑ =z
(4.1)
15
CAPÍTULO 4. AGUJEROS NEGROS ACELERADOS
Aqúı las variables con “ ˆ ” hacen referencia al sistema de coordenadas original y g
es la aceleración, que en nuestros sistema de unidades tiene unidades de M−1. Se puede
comprobar que una traslación temporal equivale a un boost en la dirección x.
Es importante hacer notar que esta transformación se comporta mal si la aceleración
g y/o el tiempo t son muy grandes. Este problema se puede explicar por un lado porque
esta transformación no impide velocidades mayores que las de la luz, y por otro porque
la aceleración provoca la aparición de un horizonte de sucesos ligado a esta.
Por tanto, si queremos tener resultados aceptables, tendremos que restringirnos a
tiempos y aceleraciones pequeñas. Con las restricciones que implica este cambio de sistema
de coordenadas estaremos sacrificando la posibilidad de obtener soluciones que describan
más fielmente la realidad en favor de la simplicidad a la hora de realizar los cálculos.
4.1.2. Métrica original
Llegados a este punto tendremos que elegir entre simplicidad y utilidad.
Por un lado tenemos los agujeros negros de Schwarzschild. Esta métrica es muy sencilla
y las coordenadas admiten una transformación directa desde un sistema cartesiano. Sin
embargo, si partimos de esta métrica el resultado tendrá pocas aplicaciones; ya hemos
comprobado que el caso de un agujero negro de Schwarzschild estático no tiene ningún
interés en el caso que nos ocupa, y además sólo podŕıamos considerar trayectorias de
part́ıculas de prueba radiales, es decir, sin momento angular.
Por otro lado, los agujeros negros de Kerr son de mayor interés pero las coordenadas
del sistema son esferoidales oblatas, por lo que la aplicación de la transformación es más
complicada.
La elección más inteligente en este caso será aquella que preserve su simplicidad a la
vez que nos permita manejar el mayor número de parámetros posible. Por esta razón selec-
cionaremos la métrica de Kerr con parámetro de momento angular pequeño, aproximando
a primer orden en a la métrica de Kerr. De esta manera, el sistema de coordenadas se
aproximará a coordenadas esféricas y mantendremos el efecto de la rotación en la métrica.
Esta métrica será:
ds2 = −
(
1− 2M
r
)
dt2 − 4Ma sin
2 θ
r
dtdφ+
r
r − 2M
dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θ dφ2 (4.2)
4.1.3. Transformación de la métrica
Antes de aplicar la transformación de la métrica a un sistema de coordenadas ace-
leradas es importante notar que ahora tendremos dos direcciones especiales: la definida
16
CAPÍTULO 4. AGUJEROS NEGROS ACELERADOS
por la aceleración g y la definida por la rotación del agujero negro a. Dado que existe la
posibilidad de que haya una interacción entre ambas magnitudes es conveniente aplicar
una rotación previa a la aceleración, de manera que podamos observar esta interacción en
relación al ángulo que formen estas dos magnitudes.
Por tanto, en primer lugar aplicaremos una rotación de la métrica en torno al eje y,
que es la dirección perpendicular tanto al eje de rotación del agujero negro como a la
dirección en la que este es acelerado. Esta transformación viene descrita por:
t̂ =t
x̂ =x cosα + z sinα
ŷ =y
ẑ =− x sinα + z cosα
(4.3)
Aqúı, α es el ángulo de rotación. Para α = 0 las dos direcciones mencionadas será
perpendiculares, y para α = π/2 estas serán coincidentes e irán en la misma dirección.
Tras este preámbulo, aplicamos consecutivamente esta transformación seguida de (4.1)
y finalmente cambiamos a coordenadas esféricas, lo que facilitará el cálculo de la entroṕıa
del agujero negro. Una vez hechos los cálculos, llegamos al siguiente sistema de ecuaciones
que nos permite llevar a cabo el cambio de coordenadas:
t̂ =
(
r sin θ cosφ+ g−1
)
sinh (gt)
r̂2 =r2 + r2 sin2 θ cos2 φ sinh2 (gt) + 2r sin θ cosφ cosh (gt)
cosh (gt)− 1
g
+
+
(
cosh (gt)− 1
g
)2
r̂2 sin2 θ̂ =r2 sin2 θ sinφ+
(
r cos θ sinα +
((
r sin θ cosφ+ g−1
)
cosh (gt)− g−1
)
cosα
)2
tan θ̂ =
√
r2 sin2 θ sinφ+ (r cos θ sinα + ((r sin θ cosφ+ g−1) cosh (gt)− g−1) cosα)2
r cos θ cosα− ((r sin θ cosφ+ g−1) cosh (gt)− g−1) sinα
tan φ̂ =
r sin θ sinφ
r cos θ sinα + ((r sin θ cosφ+ g−1) cosh (gt)− g−1) cosα
(4.4)
Por último debemos tener en cuenta que la masa del agujero negro cambiará con la
transformación. Denotamos como M la masa del agujero negro en el sistema de referen-
cia original, en el que supondremos estático, y M
′
la masa en el sistema de referencia
17
CAPÍTULO 4. AGUJEROS NEGROS ACELERADOS
transformado. Dado que nos estamos restringiendo a tiempos y aceleraciones pequeñas
(de modo que gt es pequeño), podemos aproximar la relación entre ambas masas a la
obtenida en las transformaciones de Lorentz, esto es:
M
′ ≈ M√
1− (gt)2
(4.5)
Siempre que la velocidad que alcance el agujero negro sea pequeña respecto a la velo-
cidad de la luz en nuestra aproximación, esta relación será válida.
Por último obtendremos las componentes de la métrica final gµν aplicando la relación
entre esta y la métrica original ĝab:
gµν = ĝab
dx̂a
dxµ
dx̂b
dxν
(4.6)
4.1.4. Caracteŕısticas de la métrica resultante
El primer aspecto relevante de esta métrica es que no limita la velocidad que puede
alcanzar el agujero negro. Como hemos apuntado anteriormente, este hecho nos limita a
la hora de seleccionar la aceleración que sufre el agujero negro y el tiempo máximo que
podemos considerar, obligándonos a imponer que tanto la aceleración como el tiempo que
transcurre sean pequeños.
La siguiente caracteŕıstica que debemos tener en cuenta también hace referencia a la
aceleración y acota el rango de validez de la transformación. Se trata del hecho de que,
al aplicar la transformación, el espacio-tiempo en su totalidad está acelerado en la misma
dirección y con la misma magnitud. Esta situación es irreal, por lo que tendremos que
relacionar la situación que queremos representar con la métrica que hemos obtenido para
poder realizar cálculos válidos.
La razón por la que introdujimos la aceleración fue para modelizar la interacción de un
agujero negro sobre otro. Idealmente, esta aceleración disminuiŕıaen un factor r−2 desde
el punto en el que situaramos al otro agujero negro, pero incluir este comportamiento
complicaŕıa la obtención y manipulación de la métrica final. Dado que tenemos impuesto
que la aceleración debe ser pequeña y que la aceleración es constante en las inmediaciones
del agujero negro, la situación que más se ajusta es la siguiente: los dos agujeros negros
están lo suficientemente alejados como para que la interacción gravitatoria sea pequeña y
casi constante. A pesar de que esta situación se aleja un poco del sistema que se planteó
al comienzo del caṕıtulo 3, nos servirá como una primera aproximación al problema.
Adicionalmente, sólo podremos considerar la región cercana al agujero negro. De esta
manera evitaremos los problemas que acarrea la aceleración del espacio-tiempo completo.
18
CAPÍTULO 4. AGUJEROS NEGROS ACELERADOS
Como consecuencia de esta acotación podremos suponer nula la curvatura escalar de Ricci,
ya que situaremos el sistema en el vaćıo y por tanto el tensor enerǵıa-momento será nulo
en todos los puntos del espacio-tiempo salvo en aquellos donde se encuentren las masas
centrales de los agujeros negros [1]. Haciendo esto sortearemos las correcciones al área
generalizada mencionadas anteriormente [15] y podremos calcularlo como se especifica en
(3.1).
Por último tenemos que estudiar el cálculo del horizonte de sucesos. Si bien podemos
encontrar un método de cálculo en [4], tenemos que recordar que este horizonte se define
globalmente y nuestro sistema está definido localmente. Aqúı encontramos el primer pro-
blema: el hecho de que el espacio-tiempo completo esté acelerado nos imposibilita obtener
un resultado válido del horizonte de sucesos.
Sin embargo, como hemos hecho notar anteriormente, la localización de las masas
dentro del sistema es uno de los factores clave para determinar la localización del horizonte.
Las condiciones impuestas para validar los cálculos con esta métrica suponen que los
agujeros negros están suficientemente alejados, por lo que el efecto de la configuración
del sistema sobre el cálculo del horizonte de sucesos es mı́nimo. En este caso podemos
suponer que el horizonte de sucesos y el horizonte aparente son casi coincidentes.
De esta manera, podemos utilizar el horizonte aparente como aproximación al horizon-
te de sucesos, aprovechando que este está definido localmente. Su cálculo es más simple
si recordamos que es una región de atrapamiento, por lo que nos bastará con calcular la
región en la que la componente puramente radial grr cambia de signo. Bajo esta defini-
ción es fácil ver que todas las trayectorias radiales interiores a esta región se dirigirán
irremediablemente hacia el interior del agujero negro.
4.2. Entroṕıa del agujero negro acelerado
Una vez sentadas las bases, podemos proceder a calcular la entroṕıa del agujero negro
a través del calculo del área del horizonte aparente de este. Para realizar los cálculos se ha
utilizado el software libre “WxMaxima” [16], similar a Mathematica, y se proporcionará
el código utilizado a petición.
Antes de mostrar los resultados obtenidos se indica que para calcular el horizonte
aparente se ha aproximado la componente puramente espacial grr a segundo orden en el
tiempo e igualado a 0 para obtener el radio al que se encuentra el horizonte.
Una vez ejecutado el programa, encontramos las siguientes expresiones para los térmi-
nos de orden 0, 1 y 2 en t para
√
gθθ gφφ − g2θφ
∣∣∣
rH
:
19
CAPÍTULO 4. AGUJEROS NEGROS ACELERADOS
Orden 0 : 4M2 |sin θ|
Orden 1 : 2agM cos(α) sin(φ) sin(θ) |sin(θ)| t
Orden 2 : − 1
2
[((
a2g2 sin2(α) sin4(φ) +
(
a2g2 − 3a2g2 sin2(α)
)
sin2(φ) + 2a2g2 sin2(α)−
−a2g2
)
sin4(θ) +
(
2a2g2 cos(α) sin(α) cos(φ) sin2(φ)−
−2a2g2 cos(α) sin(α) cos(φ)
)
cos(θ) sin3(θ) +
((
2a2g2 sin2(α) + 4M2g2) sin2(φ)−
−3a2g2 sin2(α) +
(
a2 − 4M2
)
g2
)
sin2(θ) + (2a2g2 cos(α) sin(α) cos(φ) cos(θ)−
−4Mg cos(φ)) sin(θ) + a2g2 sin2(α) + 4M2g2
)
|sin(θ)|
]
t2
(4.7)
Ahora analizaremos los distintos términos del área del horizonte:
Orden 0 Si integramos la expresión correspondiente de (4.7) encontramos que el área
a tiempo 0 del horizonte viene dado por
AH,0 = 16πM
2 (4.8)
Como se puede ver en (3.2), esta expresión es la misma que la del área de un agujero
negro de Schwarzschild. Nuestra métrica transformada part́ıa de la métrica de un agujero
negro de Kerr con a pequeño y, como se puede comprobar, el área de un agujero negro
con estas caracteŕısticas es la misma que la de un agujero negro de Schwarzschild con la
misma masa.
Conclúımos entonces que el resultado obtenido nos indica que, a orden 0, la entroṕıa
del agujero negro es la propia de ese agujero negro si se encontrase en reposo.
Orden 1 En este caso, al integrar la expresión de (4.7) encontramos que el término de
primer orden en t se anula.
AH,1 = 0 (4.9)
Este término de la entroṕıa está relacionado con la velocidad del agujero negro. Como
hemos indicado anteriormente, un boost del agujero negro no modifica el área del hori-
zonte de sucesos, por lo que su entroṕıa no cambia. El resultado obtenido muestra este
comportamiento.
Orden 2 Finalmente, la integral sobre el término de orden 2 de (4.7) nos proporciona:
20
CAPÍTULO 4. AGUJEROS NEGROS ACELERADOS
AH,2 = −
4πa2g2 sin2 α + (12πa2 + 80πM2) g2
15
t2 (4.10)
De este resultado podemos extraer tres conclusiones:
La entroṕıa disminuye con el tiempo por efecto de la aceleración.
La entroṕıa disminuye incluso cuando el agujero negro considerado es un agujero
negro de Schwarzschild.
Existe una interacción aceleración-momento angular que modifica la disminución de
la entroṕıa.
4.3. Análisis de la entroṕıa del agujero negro
Como hemos visto, la entroṕıa del agujero negro acelerado viene dada por:
S ∝ 16πM2 − 4πa
2g2 sin2 α + (12πa2 + 80πM2) g2
15
t2 (4.11)
El efecto más relevante de la aceleración es la disminución de la entroṕıa con el tiempo,
independientemente de si el efecto de la aceleración es el de aumentar o disminuir la
velocidad del agujero negro de estudio. Este efecto también ha sido observado en [8].
Volviendo a (3.3) vemos que este cambio en la entroṕıa también puede afectar a la
masa y el momento angular del agujero negro. Dado que la disminución de entroṕıa
también ocurre para agujeros negros de Schwarzschild, podemos concluir que provocará
una disminución de la masa del agujero negro, emitiéndola al exterior en alguna forma
de enerǵıa (ya sea térmica o mediante ondas gravitacionales). Dado que consideramos
aceleraciones y tiempos pequeñas, esta emisión de enerǵıa será de una magnitud muy
pequeña.
También encontramos una relación con a: a mayor a mayor será la disminución de
entroṕıa, por lo que el agujero negro tenderá a disminuir su momento angular intŕınseco
para que la disminución de entroṕıa, y por tanto de masa, sea lo menor posible en módulo.
Por otro lado, vemos una dependencia con el ángulo entre ~a y ~g que indica que el agujero
negro tenderá a alinear su eje de rotación con la dirección de aceleración (α = π/2).
De esta manera vemos que el agujero negro modificará su orientación y disminuirá
su momento angular intŕınseco para minimizar la cantidad de masa que emite en forma
de enerǵıa debido a la disminución de entroṕıa. Estos cambios espontáneos modifican
sustancialmente las trayectorias de las part́ıculas de prueba en la métrica: por un lado la
reorientación del agujero negro (considerando que es un agujero negro de Kerr) modificará
21
CAPÍTULO 4. AGUJEROS NEGROS ACELERADOS
las localizaciones de la ergosfera y del plano ecuatorial, y por otro lado el cambio en la
magnitud a y la masa M del agujero negro modifican la localización de los horizontes de
sucesos y aparente.
A estos cambios en la orientación del agujero negro hay que añadir la emisión de
enerǵıa. Esta emisión provoca que la región cercanaal agujero negro no pueda considerarse
como “vaćıo”, por lo que modificará el tensor enerǵıa-momento y por tanto la métrica, y
nos obligará a incluir las correcciones mencionadas anteriormente al cálculo del área del
horizonte.
El principio de equivalencia afirma que un sistema afectado por un campo gravitatorio
es indistinguible de un sistema de referencia no inercial acelerado, por lo que el resultado
obtenido es equivalente al que obtendŕıamos si nuestro agujero negro estuviese bajo la
influencia de otro agujero negro (lo suficientemente alejado como para que la aceleración
sea la misma en todo el espacio cercano al agujero negro). Puesto que en la fusión de dos
agujeros negros se emiten ondas gravitacionales, es plausible afirmar que por lo menos
parte de la enerǵıa emitida será mediante ondas gravitacionales. Este detalle modificará
la forma en la que la radiación emitida modifica las trayectorias de las part́ıculas de
prueba, ya que estas ondas distorsionan las direcciones perpendiculares a su dirección de
propagación.
Dado que sólo podemos afirmar que al menos parte de la enerǵıa emitida será en forma
de ondas gravitacionales, existe la posibilidad de que otra parte de la enerǵıa emitida sea
en forma de enerǵıa térmica, es decir, fotones. Esta densidad de enerǵıa que emitirá el
agujero negro modificará las trayectorias cercanas a la región cercana a este, añadiendo
una presión de radiación que podŕıa disminuir la atracción gravitatoria.
A todo esto hay que añadir que, al haber un cambio de la métrica con el tiempo, existe
la posibilidad de que la absorción de una part́ıcula por parte del agujero negro dependa
del tiempo que le costaŕıa a la part́ıcula atravesar el horizonte de sucesos. Este fenómeno
seŕıa observable con part́ıculas que caen al agujero negro con momentos angulares altos o
con velocidades radiales pequeñas.
A la vista de los comportamientos expuestos, existe la posibilidad de encontrar las
situaciones que buscamos (que un observador externo lejano sea capaz de ver materia
desaparecer en el agujero negro y posteriormente salir de la región) en agujeros negros de
Kerr acelerados.
22
Caṕıtulo 5
Conclusión
Tras un breve análisis de las métricas de agujeros negros estacionarios hemos en-
contrado una situación satisfactoria en lo que respecta al resultado que esperabamos: el
proceso de Penrose. Este proceso es ampliamente conocido y se ha utilizado para explicar
(parcialmente) los jets que emiten los cuásares.
Posteriormente hemos podido observar los efectos de una aceleración sobre un agujero
negro. Esta situación abre la posibilidad de encontrar los efectos buscados, por lo que se
propone para futuros trabajos:
El estudio de la entroṕıa para un agujero negro de Kerr acelerado con a grande.
Extender la aplicabilidad de la métrica obtenida a tiempos mayores para poder
estudiar las trayectorias y compararlas con las del mismo agujero negro estacionario.
Comprobar los efectos de esta aceleración cuando se introduce en el sistema del
agujero negro un disco de acreción.
La inclusión de los efectos de reorientación y emisión de enerǵıa de los agujeros
negros acelerados en la fusión de dos agujeros negros, comparando las predicciones
que realiza con las medidas realizadas.
En definitiva, podemos afirmar que en nuestras observaciones desde la Tierra podemos
llegar a ver cómo pequeñas cantidades de materia escapan de un agujero negro desde su
interior.
23
Bibliograf́ıa
[1] S. Weinberg, Gravitation and Cosmology. Principles and Applications of the General
Theory of Relativity, John Wiley & Sons (1972).
[2] C. W. Misner, K. S. Thorne, J. A. Wheeler, Gravitation, San Francisco: W.
H. Freeman (1973).
[3] S. Chandrasekhar, The Mathematical Theory of Black Holes, Oxford University
Press (1983).
[4] M. Alcubierre, Introduction to 3+1 Numerical Relativity, Oxford University Press
(2008).
[5] P. V. P. da Cunha, Black Hole Shadows, Master Thesis, University of Coimbra
(2015).
[6] A. Herrera-Aguilar, U. Nucamendi, Kerr black hole parameters in terms of
red/blue shifts of photons emitted by geodesic particles, arXiv:1506.05182v1 [gr-qc]
[7] J. D. Schnittman, The Collisional Penrose Process, arXiv:1910.02800v1 [astro-
ph.HE]
[8] R. Emparan, M. Mart́ınez, Exact Event Horizon of a Black Hole Merger, ar-
Xiv:1603.00712v3 [gr-qc]
[9] K. Martel, E. Poisson, Gravitational perturbations of the Schwarzschild spacetime:
A practical covariant and gauge-invariant formalism, arXiv:gr-qc/0502028v1
[10] S. O’Sullivan, S. A. Hughes, Strong-field tidal distortions of rotating black holes:
Formalism and results for circular, equatorial orbits, arXiv:1407.6983v3 [gr-qc]
[11] M. Zilhão, F. Löffler, An Introduction to the Einstein Toolkit, ar-
Xiv:1305.5299v2 [gr-qc]
24
https://arxiv.org/pdf/1506.05182v1.pdf
https://arxiv.org/pdf/1910.02800.pdf
https://arxiv.org/pdf/1910.02800.pdf
https://arxiv.org/pdf/1603.00712
https://arxiv.org/pdf/1603.00712
https://arxiv.org/pdf/gr-qc/0502028
https://arxiv.org/pdf/1407.6983v3
https://arxiv.org/pdf/1305.5299v2
https://arxiv.org/pdf/1305.5299v2
BIBLIOGRAFÍA
[12] K. Clough, P. Figueras, H. Finkel, M. Kunesch, E. A. Lim, S. Tunya-
suvunakool, GRChombo: Numerical Relativity with Adaptative Mesh Refinement,
arXiv:1503.03436v3 [gr-qc]
[13] P. Christian, C. Chan, FANTASY: User-Friendly Symplectic Geodesic Integrator
for Arbitrary Metrics with Automatic Differentiation, arXiv:2010.02237v4 [gr-qc]
[14] R. M. Wald, The Thermodynamics of Black Holes, arXiv:gr-qc/9912119v2
[15] A. C. Wall, A Survey of Black Hole Thermodynamics, arXiv:1804.10610v2 [gr-qc]
[16] http://wxmaxima-developers.github.io/wxmaxima/
25
https://arxiv.org/pdf/1503.03436v3
https://arxiv.org/pdf/2010.02237v4
https://arxiv.org/pdf/gr-qc/9912119v2
https://arxiv.org/pdf/1804.10610v2
http://wxmaxima-developers.github.io/wxmaxima/
	Introducción y objetivos
	Agujeros negros estacionarios
	Agujero negro de Kerr
	Proceso de Penrose
	Identificación de partículas dentro de la ergosfera
	Sistemas de agujeros negros
	Termodinámica de agujeros negros
	Ejemplos simples de fusión de agujeros negros
	Planteamiento del sistema de estudio
	Agujeros negros acelerados
	Métrica acelerada
	Sistema de coordenadas aceleradas
	Métrica original
	Transformación de la métrica
	Características de la métrica resultante
	Entropía del agujero negro acelerado
	Análisis de la entropía del agujero negro
	Conclusión
	Anexo