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11 Geometría del espacio. Áreas
354
Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO
 Con esta unidad comienza el estudio de la geometría en el espacio. En particular, esta unidad se centra en el cálculo de las áreas de diferentes cuerpos geométricos.Se empieza trabajando el concepto de cuerpo geométrico en el espacio así como las diferentes posiciones relativas de rectas y planos.
La unidad continúa con el estudio de las áreas de poliedros y cuerpos de revolución. Por un lado se estudia el área de prismas y pirámides, 
y por otro, el estudio del área de cilindros, conos y esferas. La unidad termina explicando el cálculo del área de los troncos de cono y los 
troncos de pirámide.
La metodología debe permitir a los alumnos el desarrollo y adquisición de la competencia matemática y también del resto de competencias 
clave. Por esta razón, se presentan en la unidad secciones en las que cobra importancia el trabajo de dichas competencias.
Comunicación lingüística (CL)
Es una de las protagonistas de toda la unidad, teniendo especial importancia en la sección Matemáticas vivas.
Competencia digital (CD)
Se integra a lo largo de la unidad haciendo partícipes a los alumnos de las ventajas que tiene recurrir a los medios informáticos para compren-
der determinados contenidos relacionados con la geometría del espacio y el cálculo de áreas de cuerpos geométricos.
Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología (CMCT)
Se desarrolla a lo largo de toda la unidad y especialmente en la sección Matemáticas vivas donde, partiendo de una situación cotidiana como 
es el mantenimiento de edificios, los alumnos profundizarán en las aplicaciones del cálculo de áreas de cuerpos geométricos.
Competencias sociales y cívicas (CSC)
La consideración de distintas implicaciones en el tema de estudio contribuye a su preparación como ciudadanos informados. 
Competencia aprender a aprender (CAA)
En toda la unidad se considera la necesidad de potenciar en los alumnos su espíritu crítico potenciando el pensamiento creativo. La puesta 
en común de los distintos trabajos constituye una ocasión para la integración de conocimientos adquiridos por distintas vías así como para el 
análisis y la comparación de distintas formas de abordar un mismo objetivo.
Competencia sentido de iniciativa y espíritu emprendedor (CSIEE)
La unidad contiene un gran número de problemas y la resolución de los mismos contribuye a fomentar la autonomía e iniciativa personal, por-
que se utilizan para planificar estrategias, asumir retos y contribuyen a convivir con la incertidumbre, controlando al mismo tiempo los procesos 
de toma de decisiones. Se desarrolla especialmente en varias de las últimas actividades de cada sección (Investiga o Desafío).
El tiempo previsto para el desarrollo de la unidad es de tres semanas, aunque deberá adaptarse a las necesidades de los alumnos, ya que hay 
que tener en cuenta el tiempo necesario para la exposición de los trabajos. 
Objetivos
Los objetivos que los alumnos tienen que alcanzar son:
❚❚ Identificar las tres dimensiones del espacio y los elementos básicos de la geometría del espacio.
❚❚ Reconocer las posiciones relativas de rectas y planos.
❚❚ Reconocer los poliedros como cuerpos geométricos, sus elementos principales e identificar los poliedros regulares.
❚❚ Identificar y clasificar prismas y pirámides. Calcular su área lateral y total.
❚❚ Identificar los cuerpos de revolución, y los elementos principales de cilindros, conos y esferas, y calcular sus áreas.
❚❚ Identificar figuras esféricas y calcular sus áreas.
❚❚ Identificar los troncos de conos y pirámides como una sección de un cono o pirámide mayor, y calcular sus áreas.
GEOMETRÍA DEL 
ESPACIO. ÁREAS11
355
11Geometría del espacio. Áreas
Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO
Atención a la diversidad
Con el fin de atender los distintos ritmos de aprendizaje de los alumnos, se proponen, algunas actividades de refuerzo y de ampliación 
que podrán utilizarse como alternativa o complemento a las que figuran en el libro del alumno. Se establecen actividades diferenciadas a 
modo de fichas de trabajo que pueden servir como adaptación curricular para los casos en que fuera necesario. 
Material complementario
En el material complementario Comprende y resuelve problemas se proponen actividades para trabajar la comprensión y la resolución de 
problemas relacionadas con el estudio de la geometría del espacio y las áreas de cuerpos geométricos.
Por otra parte, el material complementario Practica+ cuenta con un repaso de los contenidos y procedimientos estudiados sobre la geometría 
del espacio y las áreas de cuerpos geométricos, y se proponen actividades para repasar y afianzar dichos contenidos.
Además, para ayudar a los alumnos a comprender y practicar conceptos relacionados con la geometría del espacio y las áreas de cuerpos 
geométricos, pueden acceder a las lecciones 1078, 1106, 1107 y 1122 de la web www.mismates.es.
P R O G R A M A C I Ó N D E L A U N I D A D
Contenidos Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje evaluables
Relación de 
actividades del 
libro del alumno
Competencias 
clave
Geometría del 
espacio
Posiciones relativas de 
rectas y planos
1. Identificar los elementos básicos de la 
geometría del espacio.
2. Determinar la posición relativa entre rectas 
y planos.
1.1. Reconoce objetos unidimensionales, 
bidimensionales y tridimensionales.
2.1. Identifica la posición relativa entre dos 
rectas, dos planos, y una recta y un plano.
1, 4
2, 3
64
CMCT
CL
CSC
CAA
CSIEE
Poliedros
Poliedros regulares
3. Describir, clasificar y desarrollar poliedros. 3.1. Reconoce elementos básicos de poliedros, 
los relaciona y clasifica.
3.2. Identifica y clasifica los poliedros regulares.
5-7
65, 67
G1, G2
8-10
66
CMCT
CL
CSC
CAA
CSIEE
Prismas. Áreas 4. Identificar y distinguir prismas y pirámides.
5. Comprender y aplicar las fórmulas para el 
cálculo del área de prismas y pirámides.
4.1. Reconoce, determina y dibuja elementos 
básicos de prismas y pirámides, y su desarrollo.
5.1. Calcula áreas de prismas y pirámides.
5.2. Relaciona elementos y áreas de prismas y 
pirámides, para resolver problemas.
11, 12
68-71
13, 14, 22-28
72-76
15-21
29
84-86
Matemáticas vivas
CMCT
CD
CL
CSC
CAA 
CSIEE
Pirámides. Áreas
Cuerpos de 
revolución
6. Describir, clasificar y desarrollar cuerpos de 
revolución.
6.1. Reconoce elementos básicos de cuerpos de 
revolución, los relaciona y clasifica.
30-34
77
CMCT
CL
CSC
CAA
CSIEE
Cilindros. Áreas 7. Comprender y aplicar las fórmulas para el 
cálculo del área de cilindros, conos y esferas.
7.1. Calcula áreas de cilindros, conos y esferas.
7.2. Relaciona elementos y áreas de cilindros, 
conos y esferas para resolver problemas.
7.3. Calcula áreas de semiesferas, casquetes, 
zonas y husos esféricos.
7.4. Relaciona elementos y áreas de semiesferas, 
casquetes, zonas y husos esféricos para resolver 
problemas.
35-37, 43-45, 51, 
52, 54
78-80
38-42
46-50
53, 57
87-90
Matemáticas vivas 5
55
81
56
91, 93
CMCT
CD
CL
CSC
CAA
CSIEE
Conos. Áreas
Esferas. Áreas
Figuras esféricas
Troncos de 
pirámides y conos. 
Áreas
8. Comprender y aplicar las fórmulas para el 
cálculo del área de troncos de pirámides y de 
troncos de conos.
8.1. Calcula áreas de troncos de pirámides y de 
troncos de conos.
8.2. Relaciona elementos y áreas de troncos de 
pirámides y de troncos de conos para resolver 
problemas.
58, 60, 61
82, 83
59, 62, 63
92
Matemáticas vivas 5
CMCT
CL
CSC
CAA
CSIEE
Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO
MAPA DE CONTENIDOS DE LA UNIDAD
1. Geometría del espacio
 • Posiciones relativas de rectas y 
planos
2. Poliedros
 • Poliedros regulares
3. Prismas. Áreas
4. Pirámides. Áreas
5. Cuerpos de revolución
6. Cilindros. Áreas
7. Conos. Áreas
8. Esferas. Áreas
 • Figuras esféricas
9. Troncos de pirámides y conos. 
Áreas
Avanza
Área de cuerpos geométricos 
compuestos
PARA EL PROFESOR
MATERIAL COMPLEMENTARIO
PARA EL ALUMNO
Actividades de Refuerzo
Actividadesde Ampliación
Propuesta de Evaluación A
Propuesta de Evaluación B
Matemáticas en el día a día
Contenido WEB. Euclides de Alejandría
Vídeo. Área de prisma
Vídeo. Área de pirámide
GeoGebra. Área lateral de un cilindro
Vídeo. Área de un cono
MisMates.es
Lecciones 1078, 1106, 1107 y 
1122 de la web mismates.es
Practica+
Adaptación curricular
Comprende y resuelve 
problemas
Presentación de la unidad 
Ideas previas
Repasa lo que sabes
356
11 Geometría del espacio. Áreas
¿Qué tienes que saber?
 • Área de un prisma
 • Área de una pirámide
 • Área de un cilindro
 • Área de un cono
Actividades interactivasActividades finales
Matemáticas vivas
Mantenimiento de edificios
 • Estudio de presupuestos de 
mantenimiento de edificios de 
superficies distintas
Trabajo cooperativo
Tarea cuya estrategia es Preparar la 
tarea, adaptación del Laboratorio de 
Innovación Educativa del colegio Ártica 
a partir de David y Roger Johnson
Geometría en el arte
M. C. Escher y sus poliedros
357
11Geometría del espacio. Áreas
Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO
Sugerencias didácticas
La unidad comienza relacionando cuerpos bidimensionales 
con cuerpos tridimensionales. 
En la entrada de unidad se hace referencia a cómo se cons-
truyen las cajas que se utilizan en los servicios de mensaje-
ría. 
Como complemento a la lectura, podemos llevar al aula 
una de estas cajas e investigar cómo se ha podido construir. 
Es muy probable que los alumnos propongan diferentes so-
luciones y, a partir de ellas, se puede establecer un debate 
sobre cuál es la más conveniente y por qué.
Contenido WEB. EUCLIDES DE ALEJANDRÍA
En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recurso 
TIC para complementar la página de inicio con información rela-
tiva a la unidad. 
En este caso se introduce la figura de Euclides y su obra Los Ele-
mentos, el libro de matemáticas más conocido de la historia. 
Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar a 
trabajar la unidad, situando históricamente el estudio de la geo-
metría desde la Grecia clásica, o como ampliación para aquellos 
alumnos que muestren un interés especial.
REPASA LO QUE SABES
1. Dado un triángulo rectángulo, calcula la hipotenusa si los 
catetos miden 5 cm y 12 cm.
2. Halla la apotema de los siguientes polígonos regulares.
a) Un pentágono regular de 4 cm de lado y 3,4 cm de radio.
b) Un hexágono regular de 8 cm de lado.
3. Determina la longitud de una circunferencia de 4 cm de radio 
y el área de un círculo de 6 cm de radio.
223
11
Hoy en día, los servicios de paquetería han aumentado 
notablemente, de tal manera que podemos comprar lo que 
sea en la otra punta del mundo, y un mensajero nos traerá 
una caja con todas nuestras adquisiciones a la misma puerta 
de casa. 
Pero ¿cuál es el proceso de elaboración de estos embalajes? 
Primero hay que cortar las planchas de cartón de modo que 
formen una figura plana para, posteriormente, plegarla y 
crear la caja. 
En el proceso de elaboración, una figura plana se convierte 
en una figura de tres dimensiones. Es decir, se pasa del 
plano al espacio.
La estructura de estas cajas es, básicamente, la misma 
siempre: 6 rectángulos que forman las caras, iguales dos a 
dos. En matemáticas, esta figura recibe el nombre de prisma.
GEOMETRÍA 
DEL ESPACIO. ÁREAS
Hoy en día, los servicios de paquetería han aumentado 
notablemente, de tal manera que podemos comprar lo que 
sea en la otra punta del mundo, y un mensajero nos traerá 
una caja con todas nuestras adquisiciones a la misma puerta 
de casa. 
Pero ¿cuál es el proceso de elaboración de estos embalajes? 
Primero hay que cortar las planchas de cartón de modo que 
formen una figura plana para, posteriormente, plegarla y 
crear la caja. 
En el proceso de elaboración, una figura plana se convierte 
en una figura de tres dimensiones. Es decir, se pasa del 
plano al espacio.
IDEAS PREVIAS
 ❚ Teorema de Pitá
goras.
 ❚ Perímetro y área
 de 
polígonos.
 ❚ Longitud de una
 
circunferencia y á
rea 
de un círculo.
Euclides de Alejandría (ca. 325-270 a.C.), matemático 
griego, escribió una colección de trece libros llamados 
Los Elementos en los que se explican los conceptos 
fundamentales de la geometría en dos y en tres 
dimensiones.
Matemáticas en el día a día ][
ma2e42
Repasa lo que sabes
Soluciones de las actividades
1. Dado un triángulo rectángulo, calcula la hipotenusa si los catetos miden 5 cm y 12 cm.
 h2 = 52 + 122 → h2 = 25 + 144 = 169 → h = 169 = 13 cm
2. Halla la apotema de los siguientes polígonos regulares.
a) Un pentágono regular de 4 cm de lado y 3,4 cm de radio.
b) Un hexágono regular de 8 cm de lado.
a) ap
2 + 22 = 3,42 → ap
2 = 11,56 − 4 = 7,56 = 2,75 cm
b) ap
2 + 42 = 82 → ap
2 = 64 − 16 = 48 = 6,93 cm
3. Determina la longitud de una circunferencia de 4 cm de radio y el área de un círculo de 6 cm de radio.
 l = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 4 = 25,12 cm
 A = 3,14 ⋅ 62 = 113,04 cm2
11 Geometría del espacio. Áreas
358
Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO
1. Geometría del espacio
225
11Actividades11 Geometría del espacio. Áreas
224
1. GEOMETRÍA DEL ESPACIO
El espacio en el que nos movemos consta de tres 
dimensiones: ancho, largo y alto. Este balón, por 
ejemplo, es un objeto tridimensional.
Sin embargo, existen objetos que solo tienen dos 
dimensiones: ancho y largo. Un folio o un trozo de tela 
fina, por ejemplo, son bidimensionales.
También existen cuerpos con una sola dimensión. Así, solo medimos el largo de 
una cuerda o de un hilo.
Observa cómo podemos generar las tres dimensiones a partir de un punto.
1 Señalamos un punto.
2 Movemos el punto y se genera 
una recta.
3 Movemos la recta y se genera un 
plano.
4 Movemos el plano y se genera el 
espacio.
Posiciones relativas de rectas y planos
 ❚ Dos rectas en el espacio pueden ser:
Paralelas: no se cortan 
y tienen la misma 
dirección.
Secantes: se cortan en 
un punto.
Se cruzan: no se cortan 
y tienen direcciones 
distintas.
 ❚ Una recta y un plano en el espacio pueden ser:
Paralelos: la recta y el 
plano no se cortan.
Secantes: la recta y el 
plano tienen un punto 
de corte.
Recta contenida en 
el plano: todos los 
puntos de la recta están 
contenidos en el plano.
 ❚ Dos planos en el espacio pueden ser:
Paralelos: no se cortan. Secantes: se cortan en una recta.
•
•
• •
• • •
•
•
• •
•
• •
•
Aprenderás a…
 ● Identificar las tres 
dimensiones del espacio.
 ● Identificar los elementos 
básicos de la geometría del 
espacio.
 ● Reconocer las posiciones 
relativas de rectas y planos.
Cuando estudiamos la 
posición relativa de dos 
elementos del espacio, 
ya sean rectas o planos, 
lo que queremos saber 
es cómo se encuentra un 
elemento en relación con 
el otro.
Lenguaje matemático
Clasifica estos objetos en unidimensionales, bidimensionales o tridimensionales.
¿Qué posición relativa tienen las dos rectas en cada caso?
a) a) c) c) e) e)
b) b) d) d) f) f)
Observa este cuerpo geométrico y averigua la posición relativa de los elementos 
que se indican.
A
C
D
E
F
B
a) El plano ABC y el BEFC. d) El plano ABED y el plano ADFC.
b) La recta AB y el plano BEFC. e) La recta BF y la recta EC.
c) La recta AC y la recta DF. f) La recta CF y el plano BEFC.
1
2
3
Investiga
Un teseracto o hipercubo es una figura formada por dos cubos 
tridimensionales desplazados en un cuarto eje dimensional. Como 
no conocemos esa cuarta dimensión, existen diferentes formas 
de realizar este hipercubo en las tres dimensiones en las que nos 
movemos.
Investiga la presencia de este hipercubo en la arquitectura y el arte.
4
Soluciones de las actividades
1 Clasifica estos objetos en unidimensionales, bidimensionales o tridimensionales.
 
❚❚ Unidimensionales: 
cable
❚❚ Bidimensionales: 
marcapáginas, partituras
❚❚ Tridimensionales: 
taza, globo terráqueo
Sugerencias didácticas
El salto de trabajar en el plano a trabajar en el espacio no es 
tan sencillo para los alumnos como parece.
Es importante ir introduciendo poco a poco los conceptosy confirmar que todos consiguen dominar la percepción 
espacial que van necesitando para comprender el objeto 
de estudio.
Por este motivo es bueno llevar al aula diferentes modelos 
de cuerpos geométricos para que los alumnos los manipu-
len y conozcan.
Sería interesante trabajar con cuerpos geométricos de plás-
tico donde se pueda observar el desarrollo plano de dichas 
figuras. De esta manera es fácil comprender cómo están 
formados estos cuerpos.
Puede ser muy útil trabajar con cubos construidos solo por 
sus aristas. Con ayuda de varillas y cartulinas, se puede 
comprobar cómo se forman las diferentes posiciones relati-
vas de planos y rectas en el espacio.
359
11Geometría del espacio. Áreas
Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO
2 ¿Qué posición relativa tienen las dos rectas en cada caso?
a) a) c) c) e) e)
b) b) d) d) f) f)
a) Se cruzan. c) Son secantes. e) Son secantes.
b) Se cruzan. d) Se cruzan. f) Son paralelas.
3 Observa este cuerpo geométrico y averigua la posición relativa de los elementos que se indican.
 
A
C
D
E
F
B
a) El plano ABC y el BEFC. 
b) La recta AB y el plano BEFC. 
c) La recta AC y la recta DF. 
d) El plano ABED y el plano ADFC.
e) La recta BF y la recta EC.
f) La recta CF y el plano BEFC.
a) Se cortan en una recta.
b) Se cortan en un punto.
c) Son paralelas.
d) Se cortan en una recta.
e) Se cortan en un punto.
f) La recta está contenida en el plano.
Investiga
4 Un teseracto o hipercubo es una figura formada por dos cubos tridimensionales 
desplazados en un cuarto eje dimensional. Como no conocemos esa cuarta 
dimensión, existen diferentes formas de realizar este hipercubo en las tres 
dimensiones en las que nos movemos.
 Investiga la presencia de este hipercubo en la arquitectura y el arte.
Respuesta abierta.
11 Geometría del espacio. Áreas
360
Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO
2. Poliedros
227
11Actividades11 Geometría del espacio. Áreas
226
2. POLIEDROS
La lata de atún y la caja de cartón 
donde viene la lata tienen forma de 
distintos cuerpos geométricos.
Ambos envases son muy diferentes: 
la caja está formada por polígonos, lo 
que no ocurre con la lata, que tiene 
caras circulares y superficies curvas.
Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por cuatro o más polígonos.
Los elementos principales de un poliedro son: 
 ❚ Caras: son cada uno de los polígonos que 
limitan el poliedro.
 ❚ Aristas: son los lados de las caras del 
poliedro. Dos caras tienen una arista en 
común.
 ❚ Vértices: son los vértices de cada una de las 
caras del poliedro. Tres caras coinciden en 
un mismo vértice.
 ❚ Diagonales: son segmentos que unen dos vértices que no están en la misma 
cara.
 ❚ Ángulos diedros: formados por dos caras que tienen una arista en común.
 ❚ Ángulos poliedros: formados por tres o más caras con un vértice común.
Poliedros regulares
Raquel utiliza polígonos para construir los poliedros regulares.
Un poliedro regular es aquel cuyas caras son polígonos regulares e iguales, y en 
cuyos vértices concurre el mismo número de caras.
Tetraedro
En cada vértice se unen 
3 triángulos equiláteros.
Octaedro
En cada vértice se unen 
4 triángulos equiláteros.
Icosaedro
En cada vértice se unen 
5 triángulos equiláteros.
Hexaedro
En cada vértice se unen 
3 cuadrados.
Dodecaedro
En cada vértice se unen 
3 pentágonos regulares.
No existen más poliedros regulares porque, si fuera posible utilizar otros 
polígonos, sus ángulos poliedros sumarían 360º o más, y sería imposible construir 
el poliedro.
Aprenderás a…
 ● Reconocer los poliedros 
como cuerpos geométricos.
 ● Identificar los elementos 
principales de los poliedros.
 ● Identificar los poliedros 
regulares.
Presta atención
En un poliedro, los ángulos 
poliedros miden menos de 360°.
Indica cuáles de estos objetos tienen forma de poliedro y cuáles no.
Copia el dibujo en tu cuaderno y escribe el nombre de los elementos señalados 
en este poliedro. 
3
5 6
1 2
4
Dibuja los siguientes poliedros. 
a) Tiene una cara que es un triángulo rectángulo.
b) Todas sus caras son rectángulos.
c) Una de sus caras es un pentágono y las demás caras son triángulos.
d) Tiene dos caras que son hexágonos.
Copia y relaciona cada poliedro regular con la característica que cumple.
Poliedro regular Característica
Tetraedro Tiene 30 aristas.
Hexaedro Tiene 6 vértices.
Octaedro No tiene diagonales.
Dodecaedro Tiene 12 caras.
Icosaedro Todos sus ángulos diedros son de 90º.
¿Es esta figura un poliedro regular? Explica por qué.
5
26
7
8
9
POLIEDRONO POLIEDRO
Cara
Diagonal
Ángulo
diedro
Ángulo
poliedro
Vértice
Arista
Investiga
Copia y completa la tabla con el número de caras, vértices y aristas de cada poliedro. 
Tetraedro Octaedro Hexaedro Dodecaedro Icosaedro
N.º de caras O O O O O
N.º de vértices O O O O O
N.º de aristas O O O O O
El matemático Leonhard Euler descubrió que hay una relación entre el número de caras, vértices y aristas 
de algunos poliedros. Busca cuál es esa relación y comprueba que los poliedros regulares sí la cumplen.
10
Soluciones de las actividades
5 Indica cuáles de estos objetos tienen forma de poliedro y cuáles no.
 
❚❚ Tienen forma de poliedro: 
rompecabezas de colores y caja
❚❚ No tienen forma de poliedro: 
catalejo y gorro de fiesta
6 Copia el dibujo en tu cuaderno y escribe el nombre de los elementos señalados en este poliedro. 
 
3
5 6
1 2
4
1. Vértice 4. Ángulo poliedro
2. Arista 5. Diagonal
3. Cara 6. Ángulo diedro
Sugerencias didácticas
Una vez conocido el concepto de poliedro, se puede pedir 
a los alumnos que traigan de casa un objeto con forma de 
poliedro y otro que no tenga forma de poliedro.
Jugar con todos los objetos: clasificarlos, describirlos, ave-
riguar cómo son a través del tacto y con los ojos cerrados, 
etcétera.
Con un material similar al que aparece en el epígrafe, los 
polígonos regulares encajables, se puede pedir a los alum-
nos que intenten construir diferentes poliedros con las ca-
racterísticas de los poliedros regulares. Cuando terminen 
las diferentes construcciones, realizar una puesta en común 
de los resultados obtenidos: tipo de poliedro y repaso de 
características.
361
11Geometría del espacio. Áreas
Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO
7 Dibuja los siguientes poliedros. 
a) Tiene una cara que es un triángulo rectángulo.
b) Todas sus caras son rectángulos.
c) Una de sus caras es un pentágono y las demás caras son triángulos.
d) Tiene dos caras que son hexágonos.
Respuesta abierta. Comprobar que los dibujos de los alumnos respetan las condiciones que se piden en cada caso.
8 Copia y relaciona cada poliedro regular con la característica que cumple.
Poliedro regular Característica
Tetraedro Tiene 30 aristas.
Hexaedro Tiene 6 vértices.
Octaedro No tiene diagonales.
Dodecaedro Tiene 12 caras.
Icosaedro Todos sus ángulos diedros son de 90º.
Tetraedro: No tiene diagonales.
Hexaedro: Todos sus ángulos diedros son de 90º.
Octaedro: Tiene 6 vértices.
Dodecaedro: Tiene 12 caras.
Icosaedro: Tiene 30 aristas.
9 ¿Es esta figura un poliedro regular? Explica por qué.
 
No, porque hay vértices en los que concurren 3 caras y otros en los que concurren 4 caras.
Investiga
10 Copia y completa la tabla con el número de caras, vértices y aristas de cada poliedro. 
Tetraedro Octaedro Hexaedro Dodecaedro Icosaedro
N.º de caras O O O O O
N.º de vértices O O O O O
N.º de aristas O O O O O
 El matemático Leonhard Euler descubrió que hay una relación entre el número de caras, vértices y aristas de algunos 
poliedros. Busca cuál es esa relación y comprueba que los poliedros regulares sí la cumplen.
La relación es: Caras + Vértices = Aristas + 2
Tetraedro Octaedro Hexaedro Dodecaedro Icosaedro
N.º de caras 4 8 6 12 20
N.º de vértices 4 6 8 20 12
N.º de aristas 6 12 12 30 30
4 + 4 = 6 + 2 8 + 6 = 12 + 2 6 + 8 = 12 + 2 12 + 20 = 30 + 2 20 + 12 = 30 + 2
11 Geometría del espacio. Áreas
362
Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO
3.Prismas. Áreas
229
11Actividades11 Geometría del espacio. Áreas
228
3. PRISMAS. ÁREAS 
Samuel ha comprado una caja de 
bombones. La tapa y la base de la caja 
tienen la misma forma de pentágono 
regular. Además, todas las caras laterales 
son rectángulos. 
Un prisma es un poliedro que tiene dos caras paralelas llamadas bases que 
son polígonos iguales, mientras que el resto de caras son paralelogramos y 
reciben el nombre de caras laterales.
Los prismas se nombran según el número de lados de las bases: prisma triangular, 
cuadrangular, pentagonal…
Atendiendo a la forma de sus caras laterales, los 
prismas se clasifican en:
 ❚ Prismas rectos: sus caras laterales son 
rectángulos o cuadrados. 
 ❚ Prismas oblicuos: sus caras laterales son 
paralelogramos que no son rectángulos ni 
cuadrados.
Además, los prismas rectos se clasifican en:
 ❚ Prismas regulares: sus bases son polígonos 
regulares.
 ❚ Prismas irregulares: sus bases son polígonos irregulares.
Samuel toma las medidas necesarias en la caja para construirla con cartulina. 
Tiene que dibujar el desarrollo plano del prisma pentagonal regular.
Así pues, Samuel necesita 333,90 cm2 de cartulina para construir la caja.
El área lateral de un prisma es el perímetro de la base por la altura del prisma. 
AL = P ⋅ h
El área total de un prisma es la suma del área lateral más el área de las dos 
bases. 
AT = AL + 2AB
Aprenderás a…
 ● Identificar y clasificar 
prismas.
 ● Calcular el área lateral y el 
área total de un prisma.
Los paralelepípedos son 
prismas de 6 caras que son 
paralelogramos, paralelas 
e iguales dos a dos.
 ❚ Cubo: sus caras son 
cuadrados. 
 ❚ Ortoedro: sus caras son 
rectángulos.
 ❚ Romboedro: sus caras 
son rombos.
 ❚ Romboidedro: sus caras 
son romboides.
Lenguaje matemático
Identifica qué cuerpos geométricos son prismas y 
clasifícalos.
a) d) 
b) e) 
c) f) 
Dibuja el desarrollo plano de estos prismas.
a) b) 
Calcula el área total de estas figuras.
a) 
7 cm
3 
cm
1 cm
 c) 
6 cm
3 
cm
6 cm
b) 
4 cm
7 
cm
2 cm
 d) 
5 cm
4 
cm
6 cm
11
12
13
¿Cuál es el área total de estos prismas rectos 
regulares?
a) Base pentagonal de 3 cm de lado y 2,06 cm de 
apotema, y 10 cm de altura.
b) Base octogonal de 4 cm de lado y 4,83 cm de 
apotema, y 2 cm de altura.
Con los datos del plano, unos pintores tienen 
que reparar la fachada de un torreón de planta 
pentagonal que tiene una altura de 8,5 m. Si cobran 
30 €/m2, ¿a cuánto dinero ascenderá la obra?
María quiere comprar un acuario con las siguientes 
medidas: 50 cm de largo, 30 cm de ancho y 
40 cm de alto. Por cada metro cuadrado de cristal 
le cobran 37 €. ¿Cuánto le costará el acuario?
Un prisma de base cuadrada y 7 dm de altura tiene 
un área total de 252 dm2. ¿Cuánto mide el lado de 
la base del prisma?
Calcula cuánto mide la arista de un cubo cuya área 
total es 294 dm2. 
¿Cuál es el área total de un prisma de base hexagonal 
regular de 6 cm de lado y 4 cm de altura?
6 cm
4 cm
Una empresa de instrumentos musicales va a diseñar 
cajas en forma de prisma triangular para guardar 
sus flautas. Si la base es un triángulo equilátero de 
5 cm de lado y la caja mide 35 cm de largo, ¿cuánto 
material se necesita para fabricar una?
14
15
16
17
18
19
20
ma2e43
DESAFÍO
Simón tiene un cubo formado por 27 cubitos más pequeños, como muestra la 
figura.
Recolocando los cubitos pequeños, ¿cuántos prismas diferentes podrías construir?
21
Soluciones de las actividades
11 Identifica qué cuerpos geométricos son prismas y clasifícalos.
a) c) e) 
b) d) f) 
a) No es un prisma
b) Prisma. Cubo
c) Prisma cuadrangular 
irregular recto
d) Prisma cuadrangular 
irregular recto
e) No es un prisma
f) Prisma hexagonal regular 
oblícuo
Sugerencias didácticas
Para el trabajo con áreas de cuerpos geométricos, resulta 
muy útil fabricar estos cuerpos con cartulina. De esta for-
ma, los alumnos pueden estudiar su desarrollo y calcular 
sobre él las áreas de los polígonos que los forman.
También es conveniente recordar las unidades de medida 
de superficie y cómo se transforma una unidad en otra.
Vídeo. ÁREA DE PRISMA
En el vídeo se muestra el cálculo del área total de un prisma recto 
pentagonal regular, indicando el procedimiento completo.
Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación de esta 
página o como recurso para que los alumnos repasen más tarde 
el cálculo de áreas de prismas.
363
11Geometría del espacio. Áreas
Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO
12 Dibuja el desarrollo plano de estos prismas.
a) b) 
Comprobar que los alumnos dibujan correctamente cada uno de los desarrollos.
13 Calcula el área total de estas figuras.
a) 
7 cm
3 
cm
1 cm
 b) 
4 cm
7 
cm
2 cm
 c) 
6 cm
3 
cm
6 cm
 d) 
5 cm
4 
cm
6 cm
a) AB = 7 ⋅ 1 = 7 cm
2 AL = (2 ⋅ 7 + 2 ⋅ 1) ⋅ 3 = 48 cm
2 AT = 48 + 2 ⋅ 7 = 62 cm
2
b) AB = 4 ⋅ 2 = 8 cm
2 AL = (2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 2) ⋅ 7 = 84 cm
2 AT = 84 + 2 ⋅ 8 = 100 cm
2
c) AB = 6 ⋅ 6 = 36 cm
2 AL = (4 ⋅ 6) ⋅ 3 = 72 cm
2 AT = 72 + 2 ⋅ 36 = 144 cm
2
d) AB = 5 ⋅ 6 = 30 cm
2 AL = (2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 6) ⋅ 4 = 88 cm
2 AT = 88 + 2 ⋅ 30 = 148 cm
2
14 ¿Cuál es el área total de estos prismas rectos regulares?
a) Base pentagonal de 3 cm de lado y 2,06 cm de apotema, y 10 cm de altura.
b) Base octogonal de 4 cm de lado y 4,83 cm de apotema, y 2 cm de altura.
a) AB = 
(5 ⋅3) ⋅2,06
2
 = 15,45 cm2 AL = (5 ⋅ 3) ⋅ 10 = 150 cm
2 AT = 150 + 2 ⋅ 15,45 = 180,9 cm
2
b) AB = 
(8 ⋅ 4) ⋅ 4,83
2
 = 77,28 cm2 AL = (8 ⋅ 4) ⋅ 2 = 64 cm
2 AT = 64 + 2 ⋅ 77,28 = 218,56 cm
2
15 Con los datos del plano, unos pintores tienen que reparar la fachada de un torreón de planta pentagonal que tiene una 
altura de 8,5 m. Si cobran 30 €/m2, ¿a cuánto dinero ascenderá la obra?
 
Calculamos el área lateral:
AL = (2 + 2 + 1,5 + 3 + 3) ⋅ 8,5 = 11,5 ⋅ 8,5 = 97,75 m
2
Por tanto, el precio de la obra será: 97,75 ⋅ 30 = 2 932,50 €
16 María quiere comprar un acuario con las siguientes medidas: 50 cm de largo, 30 cm de ancho y 40 cm de alto. Por cada 
metro cuadrado de cristal le cobran 37 €. ¿Cuánto le costará el acuario?
Calculamos el área lateral más el área de una base:
AL + AB = (2 ⋅ 50 + 2 ⋅ 30) ⋅ 40 + 50 ⋅ 30 = 6 400 + 1 500 = 7 900 cm
2 = 0,79 m2
Por tanto, el acuario le costará: 0,79 ⋅ 37 = 29,23 €
11 Geometría del espacio. Áreas
364
Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO
17 Un prisma de base cuadrada y 7 dm de altura tiene un área total de 252 dm2. ¿Cuánto mide el lado de la base del prisma?
AT = AL + 2 ⋅ AB = PB ⋅ h + 2 ⋅ AB = 4l ⋅ 7 + 2 ⋅ l
2 = 2l2 + 28l
2l2 + 28l = 252 → l2 + 14l = 126 → l2 + 14l − 126 = 0 
→ l =
−14 ± 142 − 4(−126)
2
=
−14 ± 196 + 504
2
=
−14 ± 700
2
=
−14 ± 26,46
2
= +6,23
−20,23
⎧
⎨
⎪⎪
⎩⎪⎪
La solución negativa no es válida porque se refiere a la medida del lado de la base.
Por tanto: l = 6,23 dm
18 Calcula cuánto mide la arista de un cubo cuya área total es 294 dm2. 
Como todas las caras de un cubo son iguales e iguales a su base, entonces: AT = 6 ⋅ AB
294 = 6 ⋅ l2 → l2 = 294 : 6 = 49 → l = 7
La arista del cubo mide 7 dm.
19 ¿Cuál es el área total de un prisma de base hexagonal regular de 6 cm de lado y 4 cm de altura?
Primero, calculamos la apotema de la base.
ap
2 + 32 = 62 → ap
2 = 36 − 9 = 27 → ap = 27 = 5,2 cm
Después, calculamos el área de la base.
AB = 
(6 ⋅6) ⋅5,2
2
 = 93,6 cm2
Por último, hallamos el área total:
AT = AL + 2 ⋅ AB = (6 ⋅ 6) ⋅ 4 + 2 ⋅ 93,6 = 331,2 cm
2
20 Una empresa de instrumentos musicales va a diseñar cajas en forma de prisma triangular para guardar sus flautas. Si la 
base es un triángulo equilátero de 5 cm de lado y la caja mide 35 cm de largo, ¿cuánto material se necesita para fabricar 
una?
Para calcular el material que se necesita para fabricar una caja, calculamos su área total: AT = AL + 2 ⋅ AB
AL = (3 ⋅ 5) ⋅ 35 = 525 cm
2
AB = 
5 ⋅h
2
Para hallar el área de la base, necesitamos calcular la altura de la misma.
Calculamos la altura del triángulo equilátero de lado 5 cm:
h2 + 2,52 = 52 → h2 = 25 − 6,25 = 18,75 →h = 18,75 = 4,3 cm
Por tanto: AB = 
5 ⋅ 4,3
2
 = 10,75 cm2
Finalmente:
AT = AL + 2 ⋅ AB = 525 + 2 ⋅ 10,75 = 546,5 cm
2
Se necesitan 546,5 cm2 de material para fabricar una de las cajas.
Desafío
21 Simón tiene un cubo formado por 27 cubitos más pequeños, como muestra la figura. 
 Recolocando los cubitos pequeños, ¿cuántos prismas diferentes podrías construir?
Dos más, uno formado por 1 × 1 × 27 cubitos, y las diferentes formas de colocar los 
27 cubitos con dos caras unidas, y otro formado por 3 × 9 × 1 y las diferentes formas 
de colocar los 3 o los 9 cubitos con dos caras unidas.
6 cm
4 cm
365
11Geometría del espacio. Áreas
Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO
4. Pirámides. Áreas
Sugerencias didácticas
De manera análoga al epígrafe anterior, la construcción de 
una pirámide en cartulina a partir de su desarrollo puede 
ayudar a la comprensión de la fórmula del área de dicha 
figura. Es importante recordar a los alumnos la diferencia 
que existe entre la apotema de la pirámide y la apotema de 
la base, así como mostrarles que la apotema de la pirámide 
es la hipotenusa de un triángulo rectángulo y la apotema 
de la base, el cateto de otro triángulo rectángulo.
Video. ÁREA DE PIRÁMIDE
En el vídeo puede verse cómo hallar el área total de una pirámide 
recta hexagonal regular, indicando el cálculo del área lateral, el de 
la base y el área total.
Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación de esta 
página o como recurso para que los alumnos repasen más tarde 
el cálculo de áreas de pirámides.
Soluciones de las actividades
22 Calcula el área lateral de estas pirámides.
a) 
6 cm
9 cm
 b) 
4 cm
11 cm
 c) 
10 cm
5 cm
 d) 
12
 c
m
8 cm
a) AL = 
(5 ⋅6) ⋅9
2
 = 135 cm2 c) AL = 
(3 ⋅5) ⋅10
2
 = 75 cm2
b) AL = 
(6 ⋅ 4) ⋅11
2
 = 132 cm2 d) AL = 
(4 ⋅8) ⋅12
2
 = 192 cm2
231
11Actividades11 Geometría del espacio. Áreas
230
4. PIRÁMIDES. ÁREAS
Estos cuerpos están apoyados sobre 
un cuadrilátero y tienen un vértice en 
el que concurren el resto de caras, que 
son triángulos.
Una pirámide es un poliedro una de cuyas caras, llamada base, es un 
polígono, mientras que el resto de caras son triángulos que concurren en un 
vértice común llamado cúspide o vértice de la pirámide.
Las pirámides se nombran según el número de lados de la base: triangular, 
cuadrangular, pentagonal…
Según la forma de sus caras laterales, las pirámides se clasifican en:
 ❚ Pirámides rectas: sus caras laterales son 
triángulos isósceles.
 ❚ Pirámides oblicuas: sus caras laterales son 
triángulos escálenos.
La altura, h, de una pirámide es la distancia de la 
cúspide a su base. 
Además, las pirámides rectas se clasifican en:
 ❚ Pirámides regulares: sus bases son polígonos 
regulares.
 ❚ Pirámides irregulares: sus bases son polígonos 
irregulares.
La apotema, ap, de una pirámide regular recta es 
la altura de los triángulos que conforman las caras laterales.
Samuel calcula el área de la base y el área lateral de esta pirámide. 
El área lateral de una pirámide es la suma de las áreas de los triángulos 
que forman sus caras laterales.
AL =
P ⋅ ap
2
El área total de una pirámide es la suma del área lateral más el área de la base.
AT = AL + AB
Aprenderás a…
 ● Identificar y clasificar 
pirámides.
 ● Calcular el área lateral y el 
área total de una pirámide.
Pirámide pentagonal 
oblicua
Pirámide pentagonal 
regular
Pirámide pentagonal 
irregular
Lenguaje matemático
Calcula el área lateral de estas pirámides.
a) 
6 cm
9 cm
 c) 
10 cm
5 cm
b) 
4 cm
11 cm
 d) 
12
 c
m
8 cm
Halla el área lateral y el área total de las siguientes 
pirámides, cuya base es un cuadrilátero.
a) 
8 
cm
3 cm 2 cm
 b) 
12
 c
m
3 cm7 cm
¿Cuál es él área de una pirámide cuya base es 
un cuadrado de 3,2 cm de lado y que tiene una 
apotema de 8 cm?
Halla el área total de estas pirámides regulares.
a) 
6 cm
11 cm4,1 cm
 b) 
3 cm
11,5 cm
2,6 cm
22
23
24
25
Calcula el área lateral de una pirámide regular de 
base hexagonal de 10 cm de lado, y de 15 cm de 
altura.
Halla el área total de estas figuras.
a) Pirámide triangular de lado 3 cm y apotema de 
la pirámide 9 cm.
b) Pirámide pentagonal de lado 5 cm, apotema de 
la base 3,44 cm y altura 10 cm.
Halla el área de las siguientes pirámides.
a) 
8 cm
15 cm
 b) 
4 cm
20 cm
26
27
28
ma2e44
EJERCICIO RESUELTO
 } Calcula el área total de una pirámide regular 
cuya base es un hexágono de 6 cm de lado y 
7 cm de altura.
Solución
Primero calculamos la apotema de la base.
aB
2 + 32 = 62 
aB
2 = 36 − 9 = 27
aB = 27 = 5,2 cm
El área de la base es: AB =
6 ⋅6 ⋅5,2
2
= 93,6 cm2
A continuación, calculamos la apotema 
de la pirámide.
ap
2 = 5,22 + 72
ap
2 = 27 + 49 = 76
ap = 76 = 8,7 cm
El área lateral es:
AL = 6 ⋅
6 ⋅8,7
2
= 156,6 cm2
El área total es: 
AT = AL + AB = 156,6 + 93,6 = 250,2 cm
2
6
3
7
5,2
DESAFÍO
La pirámide del museo del Louvre de París es una de las más 
famosas del mundo. Se trata de una estructura piramidal 
de vidrio que tiene una base cuadrada de 35 m de lado y 
una altura de 20,6 m. ¿Cuánto mide la superficie de esta 
estructura?
29
11 Geometría del espacio. Áreas
366
Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO
23 Halla el área lateral y el área total de las siguientes pirámides, cuya base es un cuadrilátero.
a) 
8 
cm
3 cm 2 cm
 b) 
12
 c
m
3 cm7 cm
a) AL = 
(2 ⋅3 + 2 ⋅2) ⋅8
2
 = 40 cm2 AB = 3 ⋅ 2 = 6 cm
2 AT = 40 + 6 = 46 cm
2
b) AL = 
(2 ⋅7 + 2 ⋅3) ⋅12
2
 = 120 cm2 AB = 7 ⋅ 3 = 21 cm
2 AT = 120 + 21 = 141 cm
2
24 ¿Cuál es él área de una pirámide cuya base es un cuadrado de 3,2 cm de lado y que tiene una apotema de 8 cm?
AL = 
(4 ⋅3,2) ⋅8
2
= 51,2 cm2 AB = 3,2
2 = 10,24 cm2 AT = 51,2 + 10,24 = 61,44 cm
2
25 Halla el área total de estas pirámides regulares.
a) 
6 cm
11 cm4,1 cm
 b) 
3 cm
11,5 cm
2,6 cm
a) AL = 
(6 ⋅6) ⋅11
2
 = 198 cm2 AB = 
(6 ⋅6) ⋅ 4,1
2
 = 73,8 cm2 AT = 198 + 73,8 = 271,8 cm
2
b) AL = 
(6 ⋅3) ⋅11,5
2
 = 103,5 cm2 AB = 
(6 ⋅3) ⋅2,6
2
 = 23,4 cm2 AT = 103,5 + 23,4 = 126,9 cm
2
26 Calcula el área lateral de una pirámide regular de base hexagonal de 10 cm de lado, y de 15 cm de altura.
El área lateral de la pirámide se calcula mediante esta fórmula: AL = 
P ⋅ ap
2
Tenemos que hallar la apotema de la pirámide y, para ello, previamente calculamos la apotema de la base.
ab
2 + 52 = 102 → ab = 8,7
ap
2 = 152 + 8,72 → ap
2 = 225 + 75 = 300 → ap = 300 = 17,3 cm
Por tanto: AL = 
(6 ⋅10) ⋅17,3
2
= 519 cm2
27 Halla el área total de estas figuras.
a) Pirámide triangular de lado 3 cm y una apotema de la pirámide 9 cm.
b) Pirámide pentagonal de lado 5 cm, apotema de la base 3,44 cm y altura 10 cm.
a) Calculamos el área de la base y el área lateral.
 Para hallar el área de la base, calculamos la altura del triángulo de la base:
 h2 + 1,52 = 32 → h2 = 9 − 2,25 = 6,75 → h = 6,75 = 2,6 cm
 AB = 
3 ⋅2,6
2
 = 3,9 cm2 AL = 
(3 ⋅3) ⋅9
2
 = 40,5 cm2 AT = AL + AB = 40,5 + 3,9 = 44,4 cm
2
367
11Geometría del espacio. Áreas
Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO
b) AB = 
(5 ⋅5) ⋅3,44
2
 = 43 cm2
 Para hallar el área lateral, calculamos la apotema de la pirámide:
 ap
2 = 102 + 3,442 → ap
2 = 100 + 11,83 = 111,83 → ap = 111,83 = 10,57 cm
 AL = 
(5 ⋅5) ⋅10,57
2
 = 132,13 cm2
 AT = AL + AB = 132,13 + 43 = 175,13 cm
2
28 Halla el área de las siguientes pirámides.
a) 
8 cm
15 cm
 b) 
4 cm
20 cm
a) Calculamos la apotema de la base:
 ab
2 + 42 = 82 → ab
2 = 64 − 16 = 48 → ab = 48 = 6,9 cm
 AB = 
(6 ⋅8) ⋅6,9
2
 = 165,6 cm2
 Calculamos la apotema de la pirámide:
 ap
2 = 152 + 6,92 → ap
2 = 225 + 47,61 = 272,61 → ap = 272,61 = 16,5 cm
 AL = 
(6 ⋅8) ⋅16,5
2
 = 396 cm2
 Por tanto, el área total es:
 AT = AL + AB = 396 + 165,6 = 561,6 cm
2
b) Calculamos la apotema de la base:
 ab
2 + 22 = 42 → ab
2 = 16 − 4 = 12 → ab = 12 = 3,5 cm
 AB = 
(6 ⋅ 4) ⋅3,5
2
 = 42 cm2
 Calculamos la apotema de la pirámide:
 ap
2 = 202 + 3,52 → ap
2 = 400 + 12,25 = 412,25 → ap = 412,25 =20,3 cm
 AL = 
(6 ⋅ 4) ⋅20,3
2
 = 243,60 cm2
 Por tanto, el área total es:
 AT = AL + AB = 243,6 + 42 = 285,6 cm
2
Desafío
29 La pirámide del museo del Louvre de París es una de las más famosas del mundo. Se trata de una estructura piramidal 
de vidrio que tiene una base cuadrada de 35 m de lado y una altura de 20,6 m. ¿Cuánto mide la superficie de esta 
estructura?
Para calcular cuánto mide la superficie de la estructura, tenemos que hallar el área lateral de la pirámide.
Calculamos la apotema de la pirámide:
ap
2 = 20,62 + 17,52 → ap
2 = 424,36 + 306,25 = 730,61 → ap = 730,61 = 27,03 m
Por tanto, el área lateral es: AL = 
(4 ⋅35) ⋅27,03
2
 = 1 892,1 m2
11 Geometría del espacio. Áreas
368
Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO
5. Cuerpos de revolución
Soluciones de las actividades
30 Indica cuáles de estos cuerpos son de revolución. Explica por qué.
 
Son cuerpos de revolución: el cilindro (azul), el cono (rosa) y la esfera (verde claro); porque se generan al hacer girar una 
figura geométrica plana sobre uno de sus lados.
Sugerencias didácticas
Para que los alumnos vean cómo se forman los cuerpos 
de revolución, se pueden recortar figuras planas, pegarlas 
sobre una varilla y hacerlas girar. De esta forma los alumnos 
visualizan y reconocen el cuerpo geométrico que se genera.
Para los cuerpos que se estudian en el epígrafe (cilindro, 
cono y esfera) es conveniente marcar, en la figura plana que 
los genera, los elementos que luego aparecen en el cuerpo 
geométrico.
233
11Actividades11 Geometría del espacio. Áreas
232
5. CUERPOS DE REVOLUCIÓN
Mónica hace girar una moneda en el suelo. Raúl, que 
está a su lado, observa sorprendido cómo la forma 
plana de la moneda se pierde con ese movimiento y se 
genera un cuerpo geométrico.
La moneda, al girar sobre un diámetro, genera 
un cuerpo geométrico nuevo cuyas caras no son 
polígonos. En este caso, se ve una esfera.
Un cuerpo de revolución es un cuerpo geométrico que se obtiene a partir 
de una figura plana que gira alrededor de un eje.
Mónica experimenta con los cuerpos de revolución. Corta distintas formas de 
cartulina y las pega en un palillo. Al hacerlas girar sobre el palillo, se forman 
distintos cuerpos geométricos.
 ❚ Un rectángulo que gira alrededor de uno de sus lados genera un cilindro.
hg
r
El cilindro es un cuerpo de revolución que se obtiene al hacer girar un 
rectángulo sobre uno de sus lados. El segmento que genera el cilindro se 
denomina generatriz, y la distancia entre sus bases, altura.
 ❚ Un triángulo rectángulo que gira alrededor de un cateto genera un cono.
g h
r
El cono es un cuerpo de revolución que se obtiene al hacer girar un triángulo 
rectángulo sobre uno de sus catetos. El segmento que genera el cono se 
llama generatriz, y la distancia entre el vértice y su base, altura.
 ❚ Una semicircunferencia que gira sobre su diámetro genera una esfera.
d
La esfera es un cuerpo de revolución que se obtiene al hacer girar un 
semicírculo sobre su diámetro.
Aprenderás a…
 ● Identificar los cuerpos de 
revolución.
 ● Identificar los elementos 
principales de cilindros, 
conos y esferas.
Indica cuáles de estos cuerpos son de revolución. Explica por qué.
Señala la figura que se genera al hacer girar estos polígonos en torno al eje. 
Calcula la medida del radio y la de su generatriz.
a) c) e) 
 4 cm
5 cm
3 cm
 
11 cm
2 cm
 
13 cm
12 cm
5 cm
b) 
7 cm 1,
5 
cm
 d) f) 
3 cm
3 cm
 
6 cm
10 cm
8 cm
 
Indica el radio y el área del círculo máximo de las esferas que se forman al 
hacer rotar estos semicírculos.
a) 
3 cm
 b) 
3 c
m
 c) 
2 cm
¿Cuáles son las dimensiones de las figuras planas con las que han sido 
generados los siguientes cuerpos de revolución?
a) b) c) 
 
17 cm
8 cm
 
8 cm•
 
5 cm
13 cm 
h
30
31
32
33
DESAFÍO
Los alfareros utilizan un torno para hacer girar un plato sobre el que se pone una pieza de arcilla. 
El alfarero, con sus manos, le va dando forma a la arcilla según va girando. ¿Cuáles de las siguientes 
piezas de alfarero no se han hecho con un torno?
a) b) c) d)
 
34
Presta atención
En un cilindro, la longitud de la 
generatriz y la de la altura es la 
misma.
Al cortar una esfera con 
un plano que pasa por 
el centro se obtiene un 
círculo que se denomina 
círculo máximo.
Lenguaje matemático
369
11Geometría del espacio. Áreas
Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO
31 Señala la figura que se genera al hacer girar estos polígonos en torno al eje. Calcula la medida del radio y la de su 
generatriz.
a) 
4 cm
5 cm
3 cm
 c) 
11 cm
2 cm
 e) 
13 cm
12 cm
5 cm
b) 
7 cm 1,
5 
cm
 d) 6 cm
10 cm
8 cm
 f) 
3 cm
3 cm
a) Cono de radio 4 cm, altura 3 cm y generatriz 5 cm d) Cono de radio 8 cm, altura 6 cm y generatriz 10 cm
b) Cilindro de radio 1,5 cm y altura 7 cm e) Cono de radio 5 cm, altura 12 cm y generatriz 13 cm
c) Cilindro de radio 11 cm y altura 2 cm f) Cilindro de radio 3 cm y altura 3 cm
32 Indica el radio y el área del círculo máximo de las esferas que se forman al hacer rotar estos semicírculos.
a) 
3 cm
 b) 
3 
cm
 c) 
2 cm
a) Radio 1,5 cm. Área del círculo máximo: 3,14 ⋅ 1,52 = 7,065 cm²
b) Radio 3 cm. Área del círculo máximo: 3,14 ⋅ 32 = 28,26 cm²
c) Radio 1 cm. Área del círculo máximo: 3,14 ⋅ 12 = 3,14 cm2
33 ¿Cuáles son las dimensiones de las figuras planas con las que han sido generados los siguientes cuerpos de revolución?
a) 
17 cm
8 cm b) 
8 cm•
 c) 
5 cm
13 cm 
h
a) Rectángulo de lados 8 cm y 17 cm
b) Semicírculo de radio 8 cm
c) Triángulo rectángulo de catetos 5 cm y h cm, e hipotenusa 13 cm. 
 Calculamos la altura del triángulo: h2 + 52 = 132 → h2 = 169 − 25 = 144 → h = 144 = 12 cm
 Por tanto, la figura plana es un triángulo rectángulo de lados 5 cm, 12 cm y 13 cm.
Desafío
34 Los alfareros utilizan un torno para hacer girar un plato sobre el que se pone una pieza de arcilla. 
 El alfarero, con sus manos, le va dando forma a la arcilla según va girando. ¿Cuáles de las siguientes piezas de alfarero no 
se han hecho con un torno?
a) b) c) d) 
Con un torno de alfarero no se pueden hacer las figuras de los apartados b) y d).
11 Geometría del espacio. Áreas
370
Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO
6. Cilindros. Áreas
Soluciones de las actividades
35 Estos son los desarrollos de dos cilindros. Calcula el área de sus bases, las áreas laterales y el área total de cada cilindro.
a) 
4 cm
5 cm
 b) 
8 cm
3 cm
Tenemos en cuenta que: 
AB = π ⋅ r
2
AL = 2 ⋅ π ⋅ r
 ⋅ h
AT = AL + 2 ⋅ AB
a) AB = 78,5 cm
2 AL = 125,6 cm
2 AT = 282,6 cm
2
b) AB = 28,26 cm
2 AL = 150,72 cm
2 AT = 207,24 cm
2
Sugerencias didácticas
Es muy importante que los alumnos manipulen el desarrollo 
plano de cilindros para comprender bien cómo calcular el 
área de este cuerpo geométrico.
Especial relevancia tiene la relación entre la longitud de la 
circunferencia de las bases con uno de los lados del rectán-
gulo que forma la cara lateral del cilindro.
Se puede reforzar esta relación comprobando que dicho 
lado del rectángulo equivale a algo más de 3 veces el diá-
metro de la base del cilindro. 
GeoGebra. ÁREA LATERAL DE UN CILINDRO
En este recurso se muestra el desarrollo del área lateral de un cilin-
dro que aparece al mover el deslizador verde de la parte izquierda 
de la pantalla. Este deslizador controla un punto de la circunferen-
cia de una de las bases del cilindro.
Puede utilizarse en clase como apoyo a la explicación del área del 
cilindro o para que los alumnos investiguen y reflexionen sobre la 
relación entre la longitud de la circunferencia de una de las bases 
del cilindro y las dimensiones del rectángulo que resulta al realizar 
el desarrollo plano del mismo.
235
11Actividades11 Geometría del espacio. Áreas
234
6. CILINDROS. ÁREAS
El departamento de marketing de una empresa 
cosmética ha diseñado el envase para su nuevo 
perfume. 
El envase es muy simple: se trata de un cilindro 
de 12 cm de alto y bases de 4 cm de radio.
El departamentode producción necesita saber 
cuánto material tienen que encargar para la 
construcción de cada envase. A fin de calcularlo, dibujan el desarrollo del cilindro 
y calculan el área de su superficie.
12 cm
4 cm
4 cm
 ❚ Área de una de las bases del cilindro: es el área de un círculo de 4 cm de 
radio.
 AB = r
2 = 3,14 ⋅ 42 = 50,24 cm2
 ❚ Área lateral del cilindro: es el área de un rectángulo. El largo del rectángulo 
coincide con la longitud de la circunferencia de la base, y el alto, con la altura 
del cilindro.
 AL = (2r) ⋅ h = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 4 ⋅ 12 = 301,44 cm
2
 ❚ Área total del cilindro: es la suma del área lateral más el área de las dos bases.
 AT = AL + 2AB = 301,44 + 2 ⋅ 50,24 = 401,92 cm
2
Para construir el envase, necesitan 401,92 cm2 de material.
El área lateral de un cilindro recto es el área de un rectángulo cuyo largo 
es la longitud de la circunferencia de la base y cuyo alto es la altura del 
cilindro.
AL = 2rh
El área total es la suma del área lateral más las áreas de las dos bases.
AT = AL + 2AB = 2rh + 2r
2 = 2r (h + r)
Aprenderás a…
 ● Calcular el área lateral y el 
área total de un cilindro.
Estos son los desarrollos de dos cilindros. Calcula el área de sus bases, las áreas 
laterales y el área total de cada cilindro.
a) b) 
 
4 cm
5 cm
 
8 cm
3 cm
¿Cuál es el área total de los siguientes cilindros?
a) b) c) 
8 
cm
17 cm
 
16 cm
6 cm
 
5 cm
2 cm
 
Halla el área total de los cilindros con los siguientes datos.
a) Altura de 4,5 cm y radio de 12 cm.
b) Diámetro de 15 cm y altura de 8,5 cm.
c) Altura de 8,3 cm y radio de 5,2 cm.
Calcula la altura de un cilindro sabiendo que la superficie de la base mide 
314 cm2 y que el área lateral es 1 256 cm2.
La altura de un cilindro mide 8 m y su área lateral es 10 048 cm2. ¿Cuánto 
mide el radio de la base?
Calcula la cantidad de metal necesaria para fabricar las siguientes latas de 
conserva.
9 
cm
4 cm
10
 c
m
5 cm
7,
5 
cm
7 cm
Paolo tiene que pintar con aislante un depósito cilíndrico de 75 cm de radio y 
2,5 m de altura. ¿Cuántos metros cuadrados tiene que pintar?
35
36
37
38
39
40
41
ma2e45
DESAFÍO
¿Cuánto mide la varilla de mayor longitud que se puede introducir en este cilindro 
sin que sobresalga? Explica tu respuesta.
42
8 
cm
30 cm
371
11Geometría del espacio. Áreas
Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO
36 ¿Cuál es el área total de los siguientes cilindros?
a) 
16 cm
6 cm
 b) 
5 cm
2 cm c) 
8 
cm
17 cm
a) AB = 113,04 cm
2 b) AB = 78,50 cm
2 c) AB = 226,865 cm
2
 AL = 602,88 cm
2 AL = 62,80 cm
2 AL = 427,04 cm
2
 AT = 828,96 cm
2 AT = 219,80 cm
2 AT = 880,77 cm
2
37 Halla el área total de los cilindros con los siguientes datos.
a) Altura de 4,5 cm y radio de 12 cm.
b) Diámetro de 15 cm y altura de 8,5 cm.
c) Altura de 8,3 cm y radio de 5,2 cm.
a) AB = 3,14 ⋅ 12
2 = 452,16 cm2 AL = (2 ⋅ 3,14 ⋅ 12) ⋅ 4,5 = 339,12 cm
2 AT = 1 243,44 cm
2
b) AB = 3,14 ⋅ 7,5
2 = 176,625 cm2 AL = (2 ⋅ 3,14 ⋅ 7,5) ⋅ 8,5 = 400,35 cm
2 AT = 753,6 cm
2
c) AB = 3,14 ⋅ 5,2
2 = 84,9056 cm2 AL = (2 ⋅ 3,14 ⋅ 5,2) ⋅ 8,3 = 271,0448 cm
2 AT = 440,856 cm
2
38 Calcula la altura de un cilindro sabiendo que la superficie de la base mide 314 cm2 y que el área lateral es 1 256 cm2.
Para calcular la altura del cilindro, necesitamos el radio y el área lateral, porque: AL
 = (2 ⋅ 3,14 ⋅ r) ⋅ h
Como conocemos el área de la base, podemos calcular el radio: AB = 3,14 ⋅ r
2 → 314 = 3,14 ⋅ r2 → r = 10 cm
Como ahora conocemos el radio y el área lateral, podemos calcular la altura:
AL
 = (2 ⋅ 3,14 ⋅ r) ⋅ h → 1 256 = (2 ⋅ 3,14 ⋅ 10) ⋅ h → 1 256 = 62,8 ⋅ h → h = 20 cm
39 La altura de un cilindro mide 8 m y su área lateral es 10 048 cm2. ¿Cuánto mide el radio de la base?
La altura del cilindro, mide: 8 m = 800 cm
Conocida el área lateral y la altura, podemos calcular el radio de la base:
AL = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h → 10 048 = 2 ⋅ 3,14 ⋅ r ⋅ 800 → r = 10 048 : (2 ⋅ 3,14 ⋅ 800) = 2 cm
40 Calcula la cantidad de metal necesaria para fabricar las siguientes latas de conserva.
 
9 
cm
4 cm
10
 c
m
5 cm
7,
5 
cm
7 cm
41 Paolo tiene que pintar con aislante un depósito cilíndrico de 75 cm de radio y 2,5 m de altura. ¿Cuántos metros cuadrados 
tiene que pintar?
Expresamos el radio del cilindro en metros: 75 cm = 0,75 m
AB = 3,14 ⋅ 0,75
2 = 1,77 m2 AL = (2 ⋅ 3,14 ⋅ 0,75) ⋅ 2,5 = 11,78 m
2 AT = 15,32 m
2
Desafío
42 ¿Cuánto mide la varilla de mayor longitud que se puede introducir en este cilindro sin que 
sobresalga? Explica tu respuesta.
La mayor varilla que se puede introducir es la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo 
de catetos 30 cm y 8 cm → a2 = 302 + 82 → a = 31,05 cm
Tenemos en cuenta que: 
AB = π ⋅ r
2
AL = 2 ⋅ π ⋅ r
 ⋅ h
AT = AL + 2 ⋅ AB
AB = 50,24 cm
2 AB = 78,5 cm
2 AB = 153,86 cm
2
AL = 226,08 cm
2 AL = 314 cm
2 AL = 329,7 cm
2
AT = 326,56 cm
2 AT = 471 cm
2 AT = 637,42 cm
2
8 
cm
30 cm
11 Geometría del espacio. Áreas
372
Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO
7. Conos. Áreas
Soluciones de las actividades
43 Calcula el área de los siguientes conos.
a) 
7 cm
2 cm
 b) 
9 cm
6 cm
 c) 
6 dm
3 dm
a) AL = π ⋅ r
 ⋅ g = 43,96 cm2 b) AL = π ⋅ r
 ⋅ g = 169,56 cm2 c) AL = π ⋅ r
 ⋅ g = 56,52 dm2
 AB = π ⋅ r
2 = 12,56 cm2 AB = π ⋅ r
2 = 113,04 cm2 AB = π ⋅ r
2 = 28,26 dm2
 AT = AL + AB = 56,52 cm
2 AT = AL + AB = 282,6 cm
2 AT = AL + AB = 84,78 dm
2
Sugerencias didácticas
Es muy importante que los alumnos manipulen el desarrollo 
plano de conos para comprender bien cómo calcular el área 
de este cuerpo geométrico.
Especial relevancia tiene la relación entre la longitud de la 
circunferencia de la base con el arco del sector circular que 
forma la cara lateral del cono.
Se puede reforzar esta relación comprobando que dicho 
arco equivale a algo más de 3 veces el diámetro de la base 
del cono. 
Vídeo. ÁREA DE UN CONO
En el vídeo se muestra el cálculo del área total de un cono recto 
del que se conocen la altura y el diámetro, por lo que en primer 
lugar se aplica el teorema de Pitágoras, para determinar su gene-
ratriz, y después se hallan el área lateral, el de la base y la total.
Puede reproducirse en clase como apoyo a la explicación de esta 
página o como recurso para que los alumnos repasen el cálculo 
de áreas de conos más tarde.
237
11Actividades11 Geometría del espacio. Áreas
236
7. CONOS. ÁREAS
Un artesano ha creado unos 
pisapapeles con forma de cono que 
tienen una capa de pintura que brilla 
en la oscuridad. El diámetro del cono 
mide 16 cm, y su generatriz, 10 cm.
En el almacén, el artesano tiene un 
bote de pintura con el que puede 
pintar 50 dm2 de superficie; dispone, 
además, de 10 conos fabricados, 
listos para el proceso de pintura. 
Con objeto de saber si tendrá suficiente con un bote de pintura, dibuja el 
desarrollo del cono y calcula el área de la superficie de cada parte.
 ❚ Área de la base del cono: es el área de un círculo cuyo radio mide 8 cm.
 AB = r
2 = 3,14 ⋅ 82 = 200,96 cm2
 ❚ Área lateral del cono: es la de un sector circular cuyo radio es la generatriz del 
cono y cuyo arco tiene la longitud de la circunferencia que forma la base. 
 El área de un sector circular se escribe de forma similar al de un triángulo.
 
A =
b ⋅h
2
=
(2 ⋅ π ⋅ r ) ⋅ g
2
= πrg
 Por tanto, el área lateral del cono es: 
 AL = rg = 3,14 ⋅ 8 ⋅ 10 = 251,2 cm
2
 ❚ Área total del cono: es la suma del área lateral más el área de la base.
 AT = AL + AB = 251,2 + 200,96 = 452,16 cm
2
Cada cono tiene una superficie de 452,16 cm2, que equivalen a 4,5216 dm2. 
Por tanto, para los 10 conos necesitará 45,22 dm2. 
El área lateral de un cono recto es el área de un sector circular de radio g 
y cuya amplitud es la longitud de la circunferencia de la base.
AL = rg
El área total es la suma del área lateral más el área de la base.
AT = AL + AB = rg + r
2 = r (g + r)
Aprenderás a…
 ● Calcular el área lateral y el 
área total de un cono.
Calcula el área de los siguientes conos.
a) b) c) 
 
7 cm2 cm
 
9 cm
6 cm
 
6 dm
3 dm
Halla el área de la base, el área lateral y el área total de estos conos. 
a) b) c) 
 
15 cm
17 cm
 
5 cm
13 cm
 
37 cm
35 cm
Calcula el área de los conos que tienen las siguientes dimensiones.
a) Generatriz de 26 m y altura de 24 m.
b) Radio de la base de 11 cm y altura de 61 cm.
c) Generatriz de 21 dm y radio de la base de 19 dm.
¿Cuánto mide el radio de un cono cuya área lateral es 339,2 cm2 si su generatriz 
es tres veces su radio? Explica cómo lo has calculado.
Dos conos de 12 cm de radio se han unido por sus bases. Uno de los conos 
mide 5 cm de altura, y el otro, 35 cm. Si queremos pintar la superficie de la 
figura así formada, ¿cuántos centímetros cuadrados tendremos que pintar?
Calcula el área de un cono generado por un triángulo rectángulo isósceles 
cuyos lados iguales miden 8 cm.
Una empresa comercializa conos de galleta para helados. Cada cono tiene una 
base con un diámetro de 3 cm, así como una altura de 10 cm. Para envolver 
los conos, se utiliza papel de color dorado que cuesta 12 € el metro cuadrado. 
¿Cuánto dinero cuesta el papel que se necesita para envolver los 1 200 conos 
que se fabrican en un día?
43
44
45
46
47
48
49
8 cm
10 cm
10 cm
8 cm
 } Calcula el área de un cono de 12 cm de altura 
y 10 cm de diámetro.
Solución
Para calcular el área del cono hallamos el área lateral y 
el área de la base.
EJERCICIO RESUELTO
ma2e46
DESAFÍO
Dibuja en tu cuaderno el desarrollo de esta figura. ¿Cuál es su área total? 
Explica tu respuesta.
50
18 cm
24
 c
m
373
11Geometría del espacio. Áreas
Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO
44 Halla el área de la base, el área lateral y el área total de estos conos.
a) 
15 cm
17 cm
 b) 
5 cm
13 cm
 c) 
37 cm
35 cm
a) Primero calculamos el radio:
 r2 + 152 = 172 → r2 = 289 − 225 = 64 → r = 8 cm
 AL = π ⋅ r
 ⋅ g = 427,04 cm2
 AB = π ⋅ r
2 = 200,96 cm2
 AT = AL + AB = 628 cm
2
b) AL = π ⋅ r
 ⋅ g = 204,1 cm2
 AB = π ⋅ r
2 = 78,5 cm2
 AT = AL + AB = 282,6 cm
2
c) Primero calculamos la generatriz:
 g2 = 372 + 352 → g = 372 + 352 = 50,93 cm
 AL = π ⋅ r
 ⋅ g = 5 917,05 cm2
 AB = π ⋅ r
2 = 4 298,66 cm2
 AT = AL + AB = 10 215,71 cm
2
45 Calcula el área de los conos que tienen las siguientes dimensiones.
a) Generatriz de 26 m y altura de 24 m.
b) Radio de la base de 11 cm y altura de 61 cm.
c) Generatriz de 21 dm y radio de la base de 19 dm.
a) Calculamos el radio:
 r2 + 242 = 262 → r2 = 676 − 576 = 100 → r = 10 m
 AL = 3,14 ⋅ 10 ⋅ 26 = 816,4 m
2
 AB = 3,14 ⋅ 10
2 = 314 m2
 AT = AL + AB = 816,4 + 314 = 1 130,4 m
2
b) Calculamos la generatriz:
 g2 = 612 + 112 → g = 612 + 112 = 61,98 cm
 AB = 3,14 ⋅ 11
2 = 379,94 cm2
 AL = 3,14 ⋅ 11 ⋅ 61,98 = 2 140,79 cm
2
 AT = 2 140,79 + 379,94 = 2 520,73 cm
2
c) AB = 3,14 ⋅ 19
2 = 1 133,54 dm2
 AL = 3,14 ⋅ 19 ⋅ 21 = 1 252,86 dm
2
 AT = 1 252,86 + 1 133,54 = 2 386,40 dm
2
46 ¿Cuánto mide el radio de un cono cuya área lateral es 339,2 cm2 si su generatriz es tres veces su radio? Explica cómo lo 
has calculado.
Si llamamos r al radio y 3r a la generatriz, se tiene que:
AL = 3,14 ⋅ r ⋅ g → AL = 3,14 ⋅ r ⋅ 3r → 339,2 = 3,14 ⋅ 3 ⋅ r
2 → r2 = 36 → r = 6 cm
11 Geometría del espacio. Áreas
374
Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO
47 Dos conos de 12 cm de radio se han unido por sus bases. Uno de los conos mide 5 cm de altura, y el otro, 35 cm. 
Si queremos pintar la superficie de la figura así formada, ¿cuántos centímetros cuadrados tendremos que pintar?
Calculamos el área lateral de los dos conos. Para ello, se necesita la generatriz de ambos conos.
g1
2 = 122 + 52 → g1
2 = 144 + 25 = 169 → g1 = 13 cm
g2
2 = 122 + 352 → g2
2 = 144 + 1 225 = 1 369 → g2 = 37 cm 
AL1 = 3,14 ⋅ 12 ⋅ 13 = 489,84 cm
2
AL2 = 3,14 ⋅ 12 ⋅ 37 = 1 394,16 cm
2
Tienen que pintar: AL1 + AL2 = 489,84 + 1 394,16 = 1 884 cm
2
48 Calcula el área de un cono generado por un triángulo rectángulo isósceles cuyos lados iguales miden 8 cm.
Calculamos la generatriz del cono: g2 = 82 + 82 → g2 = 64 + 64 = 128 → g = 11,31
AL = 3,14 ⋅ 8 ⋅ 11,31 = 284,11 cm
2
AB = 3,14 ⋅ 8
2 = 200,96 cm2
AT = 284,11 + 200,96 = 485,07 cm
2
49 Una empresa comercializa conos de galleta para helados. Cada cono tiene una base con un diámetro de 3 cm, así 
como una altura de 10 cm. Para envolver los conos, se utiliza papel de color dorado que cuesta 12 € el metro cuadrado. 
¿Cuánto dinero cuesta el papel que se necesita para envolver los 1 200 conos que se fabrican en un día?
Primero calculamos la generatriz de estos conos:
g2 = 1,52 + 102 → g2 = 2,25 + 100 = 102,25 → g = 10,1 cm
Calculamos el área lateral de uno de estos conos, expresada en metros cuadrados:
AL = 3,14 ⋅ 1,5 ⋅ 10,1 = 47,571 cm
2 = 0,0047571 m2
Multiplicamos el área lateral por el número de conos y por el precio del metro cuadrado de papel:
0,0047571 ⋅ 12 ⋅ 1 200 = 68,50224
El papel cuesta 68,50 €.
Desafío
50 Dibuja en tu cuaderno el desarrollo de esta figura. ¿Cuál es su área total? 
 Explica tu respuesta.
Comprobar que el dibujo de los alumnos es correcto: 
está formado por dos sectores circulares y dos triángulos rectángulos.
AB = 
3
4
(3,14 ⋅182 ) = 763,02 cm2
AL = 
3
4
(3,14 ⋅18 ⋅ 30) + 2 ⋅
18 ⋅ 24
2
= 1271,7 + 432 = 1703,7 cm2
AT = AB + AL = 763,02 cm
2 + 1 703,7 cm2 = 2 466,72 cm2
18 cm
24
 c
m
375
11Geometría del espacio. Áreas
Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO
8. Esferas. Áreas 
Soluciones de las actividades
51 Calcula el área de una superficie esférica que tiene estos radios.
a) 3 cm b) 10 dm c) 2,8 dam d) 0,25 km e) 3,2 m f) 0,125 hm
a) A = 4 ⋅ 3,14 ⋅ 32 = 113,04 cm2 c) A = 4 ⋅ 3,14 ⋅ 2,82 = 98,4704 dam2 e) A = 4 ⋅ 3,14 ⋅ 3,22 = 128,6144 m2
b) A = 4 ⋅ 3,14 ⋅ 102 = 1256 dm2 d) A = 4 ⋅ 3,14 ⋅ 0,252 = 0,785 km2 f) A = 4 ⋅ 3,14 ⋅ 0,1252 = 0,19625 hm2
52 Halla el área de estas superficies esféricas.
a) 
•
18
 cm
 b) 
• 7 dm
 c) 
•
12
 m
a) A = 4 ⋅ 3,14 ⋅ 92 = 1 017,36 cm2 b) A = 4 ⋅ 3,14 ⋅ 3,52 = 153,86 dm2 c) A = 4 ⋅ 3,14 ⋅ 122 = 1 808,64 m2
Sugerencias didácticas
Para calcular el área de una superficie esférica, llevar unas 
pelotas de tenis al aula, por ejemplo, y pedir a los alum-
nos que recorten en un papel una forma con la que pue-
dan cubrir toda la esfera, sin que sobre ni falte papel. De 
esta manera, los alumnos comprobarán la imposibilidad de 
construir el desarrollo plano de la esfera.
Puede ser muy útil realizar en clase la experiencia descrita 
en el epígrafe. Existen medias esferas de corcho o poliespán 
con las que se puede realizar ese ejemplo fácilmente.
Para estudiar las partes de una esfera, se puede construir 
una esfera de plastilina y realizar los cortes necesarios para 
comprobar cómo es el cuerpo del que se va a calcular el 
área.
239
11Actividades11 Geometría del espacio. Áreas
238
8. ESFERAS. ÁREAS
Teo quiere envolver un balón para regalárselo a Juana, pero, por más que lo 
intenta, no logra que quede bien. El problema es que la esfera no tiene desarrollo 
plano y no puede cortar un trozo de papel que la cubra de forma exacta.
Para calcular el área de una esfera, podemos realizar este experimento.
1 Cortamos una esfera 
en dos partes 
iguales.
2 Enrollamos una 
cuerda sobre el 
círculo de una base.
3 Recubrimos la 
otra zona con otra 
cuerda.
Al estirar las cuerdas, observamos que la que cubre la semiesfera mide el doble 
que la que cubre el círculo de la base.
Por tanto, el área de la superficie esférica es cuatro veces la del círculo máximo.
A = 4 ⋅ πr2( ) = 4πr2
El área de una superficie esférica de radio r es: 4r2
Figuras esféricas
Teo toma otra esfera y realiza los siguientes cortes. 
 ❚ Corte por un solo plano: la esfera queda 
dividida en dos partes llamadas casquetes 
esféricos. 
 El área de un casquete esférico es: 
 Acasquete esférico = 2rh
 ❚ Corte por dos planos paralelos: la parte de 
la superficie esférica situada entre estos dos 
planos paralelos se llama zona esférica. 
 El área de una zona esférica es: 
 Azona esférica = 2rh
 ❚ Corte por dos planos secantesque pasan por 
el centro: la parte de la superficie esférica 
localizada entre estos dos planos paralelos 
se llama huso esférico. 
 El área de un huso esférico es:
 
Ahuso esférico =
4πr2 nº
360°
r
h
rh
r
nº
Aprenderás a…
 ● Calcular el área de la 
superficie esférica.
 ● Identificar las intersecciones 
que se obtienen al cortar 
la esfera por uno o más 
planos.
 ● Calcular el área de figuras 
esféricas.
Presta atención
El área de un casquete esférico 
y de una zona esférica coinciden 
con el área lateral de un cilindro 
de la misma altura y el mismo 
diámetro.
•h r
hr•
Presta atención
El área de una esfera es igual al 
área lateral del cilindro que se 
ajusta por completo a ella.
• r2r
AL cilindro = 2πr ⋅ 2r = 4πr
2
Calcula el área de una superficie esférica que tiene estos radios.
a) 3 cm c) 2,8 dam e) 3,2 m
b) 10 dm d) 0,25 km f) 0,125 hm
Halla el área de estas superficies esféricas.
a) b) c) 
 
•
18
 cm
 
• 7 dm
 
•
12
 m
Una cuadrilla de pintores tiene que pintar un depósito esférico de 12 m de 
diámetro. ¿Cuánto mide la superficie del depósito en metros cuadrados?
La superficie de una esfera mide 803,84 cm2. ¿Cuánto mide su radio?
Calcula las siguientes áreas.
a) Un casquete esférico de 2 cm de altura en una esfera de 6 cm de radio.
b) Una zona esférica de 1 cm de altura en una esfera de 8 cm de radio.
c) Un huso esférico de 15º en una esfera de 10 cm de radio.
51
52
53
54
55
Calcula el área de las siguientes figuras esféricas. 
a) Casquete esférico b) Zona esférica c) Huso esférico de 45º
13 cm
12 cm
8 cm
6 cm 8 cm
56
 } Calcula el área de media esfera de 16 cm de radio.
Solución
El área de una semiesfera equivale al área de media superficie esférica más el 
área de su círculo máximo.
= +16 cm 16 cm
16 cm
A = 
4πr2
2
 + πr2 = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 162 + 3,14 ⋅ 162 = 2 411,52 cm2
EJERCICIO RESUELTO
Investiga
La Tierra es una especie de esfera achatada en los polos que no tiene un desarrollo en el plano. Las 
proyecciones cartográficas son el método con el que se representa la superficie de la Tierra sobre un plano 
y resultan esenciales para la confección de mapas. Investiga sobre las distintas proyecciones existentes.
57
11 Geometría del espacio. Áreas
376
Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO
53 Una cuadrilla de pintores tiene que pintar un depósito esférico de 12 m de diámetro. ¿Cuánto mide la superficie del 
depósito en metros cuadrados?
A = 4 ⋅ 3,14 ⋅ 62 = 452,16 m2
La superficie del depósito mide 452,16 m2.
54 La superficie de una esfera mide 803,84 cm2. ¿Cuánto mide su radio?
803,84 = 4 ⋅ 3,14 ⋅ r2 → r2 = 64 → r = 8 cm
55 Calcula las siguientes áreas.
a) Un casquete esférico de 2 cm de altura en una esfera de 6 cm de radio.
b) Una zona esférica de 1 cm de altura en una esfera de 8 cm de radio.
c) Un huso esférico de 15º en una esfera de 10 cm de radio.
a) A = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 6 ⋅ 2 = 75,36 cm2
b) A = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 8 ⋅ 1 = 50,24 cm2
c) A = 
4 ⋅3,14 ⋅102 ⋅15
360
 = 52,3 cm2
56 Calcula el área de las siguientes figuras esféricas.
a) Casquete esférico b) Zona esférica c) Huso esférico de 45º
 
13 cm
12 cm
 
8 cm
6 cm
 
8 cm
a) Acasquete esférico = 2 ⋅ 3,14 ⋅ r ⋅ h
 
13 cm
12 cm
13 cmx
h
Calculamos la altura del casquete esférico: h + x = 13 cm
x2 + 122 = 132 → x = 5; h + 5 = 13 → h = 8 cm
Acasquete esférico = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 13 ⋅ 8 = 653,12 cm
2
b) Azona esférica = 2 ⋅ 3,14 ⋅ r ⋅ h
 
8 cm
6 cm r
Calculamos el radio de la esfera:
r2 = 82 + 62 → r2 = 64 + 36 = 100 → r = 10 cm
Azona esférica = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 10 ⋅ 6 = 376,80 cm
2
c) Ahuso esférico = 
4πr2nº
360º
=
4 ⋅3,14 ⋅82 ⋅ 45
360
 = 100,48 cm2
Investiga
57 La Tierra es una especie de esfera achatada en los polos que no tiene un desarrollo en el plano. Las proyecciones 
cartográficas son el método con el que se representa la superficie de la Tierra sobre un plano y resultan esenciales para la 
confección de mapas. Investiga sobre las distintas proyecciones existentes.
Respuesta abierta. 
Existen diversos tipos de proyeccciones, como la cónica, cilíndrica, etcétera.
377
11Geometría del espacio. Áreas
Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO
9. Troncos de pirámides y conos. Áreas
Soluciones de las actividades
58 ¿Cuál es el área de estos troncos de cono? Calcula.
a) R = 7 cm, r = 4 cm, g = 5 cm b) R = 10 cm, r = 6 cm, g = 10 cm c) R = 4 cm, r = 3 cm, g = 9 cm
a) Abases
 = 204,1 cm2 b) Abases
 = 427,04 cm2 c) Abases
 = 78,5 cm2
 AL = 172,7 cm
2 AL = 502,4 cm
2 AL = 197,82 cm
2
 AT = 376,8 cm
2 AT = 929,44 cm
2 AT = 276,32 cm
2
59 Halla el área lateral de los siguientes troncos de cono.
a) 2 cm
5 cm
4 cm
 b) 10 cm
5 cm
22 cm
 c) 
24 cm
5 cm
12 cm
Sugerencias didácticas
Los troncos de pirámide y los troncos de cono suelen crear 
bastantes dificultades a los alumnos. A la hora de construir-
los, su desarrollo suele ser bastante más complejo que el 
de otros cuerpos geométricos. Se pueden crear pirámides o 
conos de plastilina, pues se pueden cortar fácilmente y los 
alumnos observan cómo se forman dos cuerpos: uno simi-
lar al original pero más pequeño, y otro nuevo, el tronco de 
pirámide o tronco de cono.
Con esta construcción, los alumnos intuyen cómo deben 
proceder para calcular el área de un tronco de pirámide o el 
área de un tronco de cono: restar del área lateral de la pirá-
mide o del cono originales, el área lateral de la pirámide o 
del cono pequeños, y añadir el área de la base de estas últi-
mas figuras. También sería interesante construir los troncos 
de pirámides y conos en cartulina para comprender cómo 
son sus desarrollos planos.
241
11Actividades11 Geometría del espacio. Áreas
240
9. TRONCOS DE PIRÁMIDES Y CONOS. ÁREAS
Roberto está construyendo pirámides 
y conos de arcilla. 
Corta cada pirámide y cada cono 
por un plano paralelo a sus bases y 
obtiene dos cuerpos en cada caso: una 
pirámide y un cono más pequeños, 
por un lado, y, por otro, dos nuevos 
cuerpos llamados tronco de pirámide 
y tronco de cono, respectivamente. 
Al cortar una pirámide o un cono por un plano paralelo a sus bases, el cuerpo 
comprendido entre los dos planos se llama tronco de pirámide o tronco de 
cono, respectivamente.
Para hallar el área del tronco de cono y la del tronco de pirámide, dibujamos sus 
desarrollos y calculamos el área de cada figura.
 ❚ Área del tronco de cono
2 cm
5 cm
8 cm
g
r R
◗ Área de las bases: es el área de dos círculos.
ABASES = πR
2 + πr2 = 78,5 + 12,56 = 91,06 cm2
◗ Área lateral: es el área de un trapecio circular. 
AL =
(2 ⋅ π ⋅ R + 2 ⋅ π ⋅ r ) ⋅ g
2
= π (R + r )g = 3,14 ⋅ (5 + 2) ⋅ 8 = 175,84 cm2
◗ Área total: es el área de las bases más el área lateral.
AT = ABASES + AL = 91,06 + 175,84 = 266,9 cm
2
 ❚ Área del tronco de pirámide
5 cm
8 cm
7 
cm
h
B
b
◗ Área de las bases (en este tronco): es el área de dos cuadrados.
ABASES = L
2 + l2 = 64 + 25 = 89 cm2
◗ Área lateral: es la suma del área de los trapecios de las caras laterales. 
AL = 4 ⋅
(B + b ) ⋅h
2
= 4 ⋅
(8 + 5) ⋅7
2
= 4 ⋅91 = 182 cm2
◗ Área total: es el área de las bases más el área lateral.
AT = ABASES + AL = 89 + 182 = 271 cm
2
Aprenderás a…
 ● Identificar los troncos de 
conos y pirámides como 
una sección de un cono o 
pirámide mayor.
 ● Calcular el área lateral y 
el área total de un tronco 
de cono y un tronco de 
pirámide.
Presta atención
El área de un trapecio circular se 
calcula de la misma forma que 
el área de un trapecio rectilíneo 
con las mismas bases y altura. 
B
b
h
A =
(B + b ) ⋅h
2
Presta atención
Para calcular el área lateral de 
un tronco de cono, del que se 
conocen los radios y la altura, se 
calcula la generatriz aplicando el 
teorema de Pitágoras. 
g
h
r
R
Presta atención
Para calcular el área lateral 
de un tronco de pirámide, del 
que se conocen las bases y la 
altura, se calcula la apotema del 
tronco aplicando el teorema de 
Pitágoras.
h ap
Presta atención
El área lateral de un tronco de 
cono o de pirámide se puede 
calcular restando del área del 
cono o de lapirámide mayor el 
área del cono o de la pirámide 
menor.
¿Cuál es el área de estos troncos de cono? Calcula.
a) R = 7 cm, r = 4 cm, g = 5 cm
b) R = 10 cm, r = 6 cm, g = 10 cm 
c) R = 4 cm, r = 3 cm, g = 9 cm
Halla el área lateral de los siguientes troncos de cono. 
a) b) c) 
 
2 cm
5 cm
4 cm
 
10 cm
5 cm
22 cm
 
24 cm
5 cm
12 cm
Calcula el área de la figura que se genera al hacer girar los siguientes trapecios 
rectángulos sobre el eje que se indica en cada caso.
a) b) 
 
3 cm
8 cm
5 cm
 
2 cm
8 cm
4 cm
Calcula el área de los siguientes troncos de pirámide. 
a) b) 
 
15 cm
9 cm
7 cm
 
3 cm
7 cm
8 cm
¿Cuánto mide la superficie de estos troncos de pirámide?
a) b) 
 
6 cm
4 cm
12 cm
 
5 cm
12 cm
15 cm
58
59
60
61
62
DESAFÍO
Calcula el área total de un tronco de pirámide de base rectangular 
como el de la figura.
63 5 cm4 cm
12 cm
14 cm23 cm
11 Geometría del espacio. Áreas
378
Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO
a) g2 = 42 + (5 − 2)2 → g = 5 cm AL = 3,14 ⋅ (2 + 5) ⋅ 5 = 109,9 cm
2
b) g2 = 52 + (22 − 10)2 → g = 13 cm AL = 3,14 ⋅ (22 + 10) ⋅ 13 = 1 306,24 cm
2
c) g2 = 242 + (12 − 5)2 → g = 25 cm AL = 3,14 ⋅ (12 + 5) ⋅ 25 = 1 334,5 cm
2
60 Calcula el área de la figura que se genera al hacer girar los siguientes trapecios rectángulos sobre el eje que se indica 
en cada caso.
a) 3 cm
8 cm
5 cm
 b) 
2 cm
8 cm
4 cm
a) Calculamos la generatriz: g2 = 52 + (8 − 3)2 → g2 = 50 → g = 7,07 cm
 Abases = 229,22 cm
2 AL = 244,20 cm
2 AT = 473,42 cm
2
b) Calculamos la generatriz: g2 = 42 + (8 − 2)2 → g2 = 52 → g = 7,21 cm
 Abases = 213,52 cm
2 AL = 226,40 cm
2 AT = 439,92 cm
2
61 Calcula el área de los siguientes troncos de pirámide. 
a) 
15 cm
9 cm
7 cm
 b) 3 cm
7 cm
8 cm
a) Abases
 = 306 cm2 AL = 336 cm
2 AT = 642 cm
2
b) Abases
 = 58 cm2 AL = 160 cm
2 AT = 218 cm
2
62 ¿Cuánto mide la superficie de estos troncos de pirámide?
a) 6 cm
4 cm
12 cm
 b) 5 cm
12 cm
15 cm
a) Calculamos la altura del trapecio: h2 = 42 + (6 − 3)2 → h = 5 cm
 Abases = 180 cm
2 AL = 180 cm
2 AT = 360 cm
2
b) Calculamos la altura del trapecio: h2 = 122 + (7,5 − 2,5)2 → h = 13 cm
 Abases = 250 cm
2 AL = 520 cm
2 AT = 770 cm
2
Desafío
63 Calcula el área total de un tronco de pirámide de base rectangular como el de la figura.
Calculamos las alturas de los trapecios que forman las caras.
h1
2 = 122 + (11,5 − 2,5)2 → h1
2 = 144 + 81 = 225 → h1 = 15 cm
h2
2 = 122 + (7 − 2)2 → h2
2 = 144 + 25 = 169 → h2 = 13 cm
Abases
 = 5 · 4 + 23 ⋅ 13 = 342 cm2
AL = 2 ⋅
(5 + 23) ⋅13
2
+ 2 ⋅
(4 + 14) ⋅15
2
 = 634 cm2
AT = Abases + AL = 342 + 634 = 976 cm
2
5 cm4 cm
12 cm
14 cm23 cm
379
11Geometría del espacio. Áreas
Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO
Sugerencias didácticas
En esta sección se destacan los procedimientos más importantes que los alumnos deben haber aprendido tras estudiar esta 
unidad. En este momento, los alumnos deben ser capaces de:
❚❚ Calcular el área lateral y total de prismas y de pirámides.
❚❚ Calcular el área lateral y total de cilindros y de conos.
Actividades finales
Soluciones de las actividades
64 Imagina que varios folios y varillas se encuentran sobre las caras de un dado de 6 caras. Indica sus posiciones relativas 
teniendo en cuenta que, en un dado, la suma de los puntos de las caras opuestas siempre suman 7.
a) Dos varillas que están sobre sendas caras que suman 7.
b) Un folio y una varilla sobre dos caras que no suman 7.
c) Dos folios sobre dos caras que suman 7.
a) Paralelas b) Secantes en un punto c) Paralelos
65 Señala cuáles de estos cuerpos geométricos son poliedros. Explica tu respuesta.
a) 
•
 b) c) 
•
 d) 
Son poliedros las figuras de los apartados b) y d), ya que son cuerpos geométricos limitados por polígonos.
¿Qué tienes que saber?
242 243
¿QUÉ11 tienes que saber? Actividades Finales 11
Halla el área total de un prisma de 9 cm de altura, con una base rectangular 
cuyos lados miden 12 cm y 5 cm, respectivamente.
AL = 2 ⋅ (12 + 5) ⋅ 9 = 306 cm
2
AB = 12 ⋅ 5 = 60 cm
2
AT = AL + 2AB = 306 + 2 ⋅ 60 = 426 cm
2
Área de un prismaTen en cuenta
Prisma: poliedro con dos bases 
paralelas que son polígonos 
iguales y cuyas caras laterales son 
paralelogramos.
 ❚ Área lateral
AL = P ⋅ h
 ❚ Área total 
AT = AL + 2AB
Determina el área total de un cilindro de 5 cm de radio y 18 cm de altura.
AL = 2 ⋅ π ⋅ 5 ⋅ 18 = 565,2 cm
2
AB = π ⋅ 5² = 78,5 cm
2
AT = AL + 2AB = 565,2 + 2 ⋅ 78,5 = 722,2 cm
2
Área de un cilindroTen en cuenta
Cilindro recto: cuerpo geométrico 
que se obtiene al hacer girar 
un rectángulo sobre un eje que 
contiene a uno de sus lados.
 ❚ Área lateral
AL = 2πrh
 ❚ Área total 
AT = AL + 2AB = AL + 2πr
2
Calcula el área total de un cono recto de 6 cm de radio y 12 cm de generatriz.
AL = π ⋅ 6 ⋅ 12 = 226,08 cm
2
AB = π ⋅ 6
2 = 113,04 cm2
AT = AL + AB = 226,08 + 113,04 = 339,12 cm
2
Área de un conoTen en cuenta
Cono recto: cuerpo geométrico 
que se genera al hacer girar un 
triángulo rectángulo sobre un eje 
que contiene a uno de sus catetos.
 ❚ Área lateral
AL = πrg
 ❚ Área total 
AT = AL + AB = AL + πr
2
Calcula el área total de una pirámide hexagonal regular sabiendo que el lado 
de la base mide 12 cm, la apotema de la base, 10,4 cm, y la apotema de la 
pirámide, 20 cm.
AL =
(6 ⋅12) ⋅20
2
= 720 cm2
AB =
(6 ⋅12) ⋅10,4
2
= 374,4 cm2
AT = AL + AB = 720 + 374,4 = 1 094,4 cm
2
Área de una pirámideTen en cuenta
Pirámide: poliedro cuyas caras 
laterales son triángulos que 
comparten un único vértice 
llamado cúspide o vértice de 
la pirámide, y cuya base es un 
polígono.
 ❚ Área lateral
AL =
Pbase ⋅ ap
2
 ❚ Área total 
AT = AL + AB
Cuerpos en el espacio
Imagina que varios folios y varillas se encuentran 
sobre las caras de un dado de 6 caras. Indica sus 
posiciones relativas teniendo en cuenta que, en un 
dado, la suma de los puntos de las caras opuestas 
siempre suman 7.
a) Dos varillas que están sobre sendas caras que 
suman 7.
b) Un folio y una varilla sobre dos caras que no 
suman 7.
c) Dos folios sobre dos caras que suman 7.
Señala cuáles de estos cuerpos geométricos son 
poliedros. Explica tu respuesta.
a) c) 
 
•
 
•
b) d) 
 
Clasifica estos poliedros según sean regulares o 
no. Indica el nombre de los que sí lo son.
a) c) 
 
b) d) 
 
Dibuja un poliedro en tu cuaderno y señala los 
siguientes elementos.
a) Cara
b) Arista
c) Vértice
d) Diagonal
e) Ángulo diedro
f) Ángulo poliedro
64
65
66
67
Prismas y pirámides. Áreas
Clasifica estos poliedros según sean prismas o 
pirámides. Indica su nombre en cada caso.
a) c) 
 
b) d) 
 
¿Son ciertas o falsas estas afirmaciones?
a) En un prisma recto, todas las caras laterales son 
cuadrados.
b) Una pirámide tiene dos caras iguales.
c) Una pirámide pentagonal recta tiene cinco 
triángulos isósceles por caras laterales.
d) Un prisma hexagonal regular tiene 8 caras.
Estos son los desarrollos planos de dos cuerpos 
geométricos. Dibújalos e indica sus nombres.
a) b) 
 
¿Cómo se llaman los elementos señalados en esta 
pirámide?
a
b
c
d
e
68
69
70
71
11 Geometría del espacio. Áreas
380
Unidades didácticas Matemáticas 2.º ESO
66 Clasifica estos poliedros según sean regulares o no. Indica el nombre de los que sí lo son.
a) b) c) d) 
Poliedros regulares: apartados a) (octaedro) y c) (dodecaedro) Poliedros no regulares: apartados b) y d)
67 Dibuja un poliedro en tu cuaderno y señala los siguientes elementos.
a) Cara b) Arista c) Vértice d) Diagonal e) Ángulo diedro f) Ángulo poliedro
Comprobar que los alumnos dibujan un poliedro y sus elementos correctamente.
68 Clasifica estos poliedros según sean prismas o pirámides. Indica su nombre en cada caso.
a) b) c) d) 
a) Pirámide oblicua de base rectangular c) Prisma irregular recto de base un cuadrilátero
b) Pirámide regular recta de base hexagonal d) Prisma regular recto de base pentagonal
69 ¿Son ciertas o falsas estas afirmaciones?
a) En un prisma recto, todas las caras