IntroduccionGeometriaDiferencial

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Introducción a la
GEOMETRÍA DIFERENCIAL
DE VARIEDADES
Miguel Sánchez Caja
José Luis Flores Dorado
Depto. Geometŕıa y Topoloǵıa,
Universidad de Granada, 2003
Déposito Legal: GR-1558/04
Índice general
1. Topoloǵıa básica 1
1.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Construcción de topoloǵıas . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Axiomas de numerabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. Ĺımites. Espacios Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6. Espacios topológicos métricos . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7. Conexión y arcoconexión . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.8. Compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2. El concepto de variedad diferenciable 23
2.1. Concepto de variedad topológica . . . . . . . . . . . . . 23
2.2. Variedades diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3. Aplicaciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4. Hipersuperficies regulares de Rn . . . . . . . . . . . . . 34
2.5. Subvariedades regulares de Rn . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6. Apéndice 1: atlas en §2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.7. Apéndice 2: coordenadas en R3 . . . . . . . . . . . . . 44
3. Espacio tangente 49
3.1. Concepto de vector tangente . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.1. Vector tangente como clase de equivalencia de
curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.2. Vector tangente por coordenadas . . . . . . . . 52
3.1.3. Vector tangente como derivación . . . . . . . . . 53
3.2. Estructura del espacio tangente . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.1. Vectores tangentes inducidos por los entornos co-
ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
i
ii ÍNDICE GENERAL
3.2.2. Estructura de espacio vectorial de TpQ . . . . . 57
3.3. Variedad tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4. Apéndice: Mecánica Lagrangiana . . . . . . . . . . . . 62
3.4.1. Lagrangianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.4.2. Curvas cŕıticas de la acción . . . . . . . . . . . 64
4. Aplicaciones diferenciables 67
4.1. Diferencial de una función . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.1.1. Concepto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.1.2. Expresión en coordenadas . . . . . . . . . . . . 69
4.1.3. Cambio de coordenadas . . . . . . . . . . . . . 70
4.2. El espacio cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3. Diferencial de una aplicación . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.4. Teoremas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.5. Apéndice: el espacio dual . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5. Campos vectoriales 85
5.1. Concepto de campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2. Estructura de los campos vectoriales . . . . . . . . . . 86
5.3. Paralelizabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.4. Curvas integrales. Flujos . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.5. Grupo uniparamétrico de difeomorfismos . . . . . . . . 91
5.6. Corchete de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.7. Apéndice: Grupos y Álgebras de Lie . . . . . . . . . . . 99
6. Tensores y formas diferenciales 105
6.1. Tensores en un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . 105
6.1.1. Concepto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.1.2. Producto tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.1.3. Tensores tipo (r, s) con r + s = 2 . . . . . . . . 108
6.1.4. Tensores tipo (r, s) . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.1.5. Tensores simétricos y antisimétricos tipo (2, 0) . 111
6.2. Tensores sobre variedades . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.2.1. Tensores en un espacio vectorial tangente . . . . 112
6.2.2. Campos tensoriales . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.3. Formas diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.4. La diferencial exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.4.1. Formas exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
ÍNDICE GENERAL iii
6.4.2. Diferencial de formas. Lema de Poincaré . . . . 119
6.5. Circulación de una forma diferencial . . . . . . . . . . . 122
6.6. Apéndice 1: conexión simple . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.7. Apéndice 2: Termodinámica . . . . . . . . . . . . . . . 127
7. Campos tensoriales métricos 131
7.1. Métricas riemannianas y lorentzianas . . . . . . . . . . 131
7.2. Gradiente de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.3. Campos conservativos e irrotacionales . . . . . . . . . . 137
7.4. Circulación de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . 138
7.5. Isometŕıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.6. Distancia en el caso riemanniano . . . . . . . . . . . . 141
7.7. Apéndice 1: bemol y sostenido . . . . . . . . . . . . . . 142
7.8. Apéndice 2: M. Lagrangiana y Hamiltoniana . . . . . . 144
8. Integración en Variedades 155
8.1. Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
8.2. Integración de n−formas diferenciales . . . . . . . . . . 159
8.2.1. El problema de la integración sobre una variedad 159
8.2.2. Integración de n-formas en entornos coordenados 161
8.2.3. Integración general de n−formas . . . . . . . . 163
8.2.4. Particiones de la unidad e integración . . . . . . 165
8.3. Integración de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.3.1. Elementos de volumen e integración de funciones 167
8.3.2. Integración en variedades semi-riemannianas . . 167
8.4. Teoŕıa de la medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
8.4.1. Nota previa sobre la integral de Riemann . . . . 169
8.4.2. Medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . 171
8.4.3. Integral de Lebesgue en Rn . . . . . . . . . . . 172
8.4.4. Conjuntos de medida nula y espacio de medida
en una variedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.4.5. Integración en una variedad . . . . . . . . . . . 176
8.5. Apéndice 1: álgebra exterior sobre V (R) . . . . . . . . 178
8.6. Apéndice 2: Elementos de volumen en V (R) . . . . . . 183
8.6.1. Elemento de volumen y orientación . . . . . . . 183
8.6.2. Determinante de un endomorfismo . . . . . . . 184
8.6.3. El elemento de volumen métrico orientado . . . 185
8.7. Apéndice 3: r−formas y orientación . . . . . . . . . . . 186
iv ÍNDICE GENERAL
8.7.1. El álgebra de r−formas diferenciales . . . . . . 186
8.7.2. Orientación de una variedad . . . . . . . . . . . 187
8.7.3. El recubridor de dos hojas orientable . . . . . . 189
9. Teorema de Stokes 191
9.1. Derivaciones y antiderivaciones . . . . . . . . . . . . . 191
9.1.1. Derivación tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . 191
9.1.2. Antiderivación tensorial . . . . . . . . . . . . . 194
9.1.3. Teorema de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . 198
9.2. Variedades con borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
9.2.1. Diferenciabilidad en abiertos de Rn+ . . . . . . . 200
9.2.2. Concepto de variedad con borde . . . . . . . . . 201
9.2.3. Orientación en el borde . . . . . . . . . . . . . . 204
9.3. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
9.4. Primeras aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
9.4.1. Fórmula de Green-Riemann en el plano . . . . . 209
9.4.2. Teorema integral de Cauchy . . . . . . . . . . . 210
9.4.3. Teorema clásico de Stokes . . . . . . . . . . . . 211
9.5. Teorema de la Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . 214
9.6. Aplicaciones del T. de la Divergencia . . . . . . . . . . 216
9.7. Fórmulas de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
9.8. Apéndice: producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . 223
9.8.1. Isomorfismos especiales en (V 3(R), µ0). . . . . . 223
9.8.2. El rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
10.Conexiones afines 225
10.1. Concepto de conexión af́ın . . . . . . . . . . . . . . . . 225
10.2. Śımbolos de Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
10.3. Derivada covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
10.4. Transporte paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
10.5.Geodésicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
10.6. Conexiones simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
10.7. Aplicación exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
11.Curvatura 241
11.1. Concepto de curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
11.2. Tensor de curvatura 4-covariante . . . . . . . . . . . . 242
11.3. Curvatura seccional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
ÍNDICE GENERAL v
11.4. Tensor de Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
11.5. Curvatura escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
11.6. Significado de la curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . 246
11.6.1. Oŕıgenes geométricos . . . . . . . . . . . . . . . 246
11.6.2. Cómo la curvatura determina la métrica . . . . 250
11.6.3. Ecuación de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . 252
11.6.4. Otras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
12.Algunas notas sobre Relatividad 255
12.1. Relatividad Especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
12.1.1. Espacios vectoriales lorentzianos . . . . . . . . . 255
12.1.2. El grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . 257
12.1.3. L4 como modelo de espaciotiempo . . . . . . . . 259
12.1.4. La constancia de la velocidad de la luz . . . . . 261
12.1.5. Algunas consecuencias del modelo . . . . . . . . 263
12.2. Relatividad General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
12.2.1. El modelo matemático . . . . . . . . . . . . . . 265
12.2.2. Causalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
12.2.3. Maximización por geodésicas causales . . . . . . 269
12.2.4. Ecuación de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . 270
12.2.5. Modelos cosmológicos de Robertson-Walker . . 273
12.2.6. Espaciotiempo de Schwarzschild . . . . . . . . . 275
vi ÍNDICE GENERAL
Nota introductoria
El presente volumen recoge los apuntes del curso “F́ısica Matemática III:
Ga Diferencial y Variedades” impartido por el primero de los autores en
la licenciatura de F́ısica desde el año 00/01. Su objetivo es ofrecer una
introducción rápida a la Geometŕıa Diferencial que provea al estudian-
te de una base geométrica para la Mecánica Racional, la Relatividad
General y otras ramas de la F́ısica.
Con este objetivo, hacemos especial hincapié en la reflexión sobre
los conceptos y estructuras geométricas, ilustrándolos con ejemplos co-
munes en F́ısica. Las demostraciones también están orientadas a este
fin, por lo que se seleccionan aquéllas que permiten profundizar en los
conceptos o resolver problemas concretos. No obstante, aunque se ex-
cluyan demostraciones, a menudo se dan esquemas o ideas intuitivas
de ellas, que aporten más seguridad a los conocimientos adquiridos.
Estos apuntes también se han revelado útiles para alumnos de Matemá-
ticas como los de doctorado, los cuales, una vez concluida la licen-
ciatura, han necesitado reordenar sus conocimientos geométricos. No
obstante, conviene que los lectores de formación matemática tengan
presente las siguientes dos advertencias:
(1) El objetivo de las frecuentes “Notas” o “Apéndices” sobre cues-
tiones de motivación f́ısica no es enseñar éstas a quien se las tope por
primera vez: si éste es el caso, resulta preferible saltárselas. Su modesto
objetivo es permitir, a quien ya las ha estudiado alguna vez (aunque,
probablemente, con un lenguaje muy diferente) ubicarlas en el contexto
geométrico apropiado.
(2) Aunque los conceptos se suelen definir del modo intŕınseco “libre
de coordenadas” usual en la Matemática moderna, se hace especial
hincapié en las expresiones en coordenadas (incluso desde el punto
de vista de los fundamentos). Ello suele ser especialmente útil para
vii
viii ÍNDICE GENERAL
los f́ısicos, pero no creemos que deba obviarlo un matemático. Por el
contrario, en nuestra opinión, éste debe adquirir suficiente soltura en
cálculos concretos usando coordenadas.
Partimos de un conocimiento básico de Cálculo Diferencial e Integral
en varias variables, aśı como de Álgebra Lineal. No obstante, algunos
temas de ésta, que no suelen conocerse con mucha profundidad (espacio
dual, tensores) se repasan en secciones espećıficas. No presuponemos,
sin embargo, ningún conocimiento previo de topoloǵıa, por lo que,
brevemente, el Tema 1 se dedica a ella.
Aparte de este primer tema sobre topoloǵıa, y del último, que pro-
porciona una introducción geométrica a la Teoŕıa de la Relatividad, el
volumen puede dividirse en cuatro partes:
Parte I. Temas 2–4. Se introducen los “fundamentos” del concepto de
variedad, mostrando cómo el Cálculo Diferencial puede extenderse a
espacios mucho más generales que los abiertos de Rn. Merece comen-
tarse:
(a) Aunque el concepto de variedad diferenciable pueda introducirse
de manera bastante más directa (“conjunto dotado de un atlas dife-
renciable maximal”) preferimos detenernos primero en el de variedad
topológica. La topoloǵıa que subyace a toda variedad diferenciable orig-
ina muchas de sus propiedades, y los preliminares del Tema 1 permiten
entenderla con rigor.
(b) Tampoco presuponemos un conocimiento previo de superficies
de R3, por lo que éstas y, en general, las subvariedades de Rn, apare-
cerán a menudo como ejemplos de variedades. Sin embargo, aunque se
estudien en particular sus propiedades, nuestro punto de vista es el de
la geometŕıa intŕınseca, al resultar ésta esencial en los fundamentos de
la F́ısica Teórica. La geometŕıa extŕınseca de curvas y superficies, mu-
cho más intuitiva (y de utilidad práctica en problemas más cotidianos)
no la desarrollamos por razones de espacio. No obstante, hay excelentes
manuales sobre ella, como el libro de do Carmo [dC2]. Recomendamos
al alumno que nunca la haya estudiado, consultar la bibliograf́ıa para
formarse una mejor idea de conjunto, y para que su aproximación a la
Geometŕıa Diferencial resulte más gradual.
(c) Los vectores tangentes y aplicaciones diferenciables se intro-
ducen de diversas maneras, progresivamente más abstractas, aśı: vec-
tores como clases de equivalencia de curvas / vectores por coordenadas
ÍNDICE GENERAL ix
/ derivaciones. A pesar de las redundancias y poca economı́a lógica que
esto supone, creemos que aśı se hacen más asimilables esos conceptos.
Parte II. Temas 5–7. Se estudian objetos geométricos elementales sobre
una variedad diferenciable, hasta un primer contacto con la geometŕıa
riemanniana. Aparte del tratamiento algebraico de campos tensoriales
sobre la variedad, se introducen: (i) campos vectoriales (curvas inte-
grales, flujos), (ii) formas diferenciales (circulación, formas cerradas y
exactas) y (iii) métricas riemannianas o, con más generalidad, semi-
riemannianas. Ponemos especial interés en mostrar cómo, fijada una
tal métrica, los conceptos asociados a formas diferenciales pueden apli-
carse a campos vectoriales (y viceversa). La utilidad de las métricas
riemannianas, y su fácil asimilación intuitiva, hacen que anticipemos
algunos conceptos, como el de distancia asociada, que se estudian con
más detalle posteriormente. Aśı, al terminar esta segunda parte, el lec-
tor habrá adquirido unas nociones mı́nimas de geometŕıa riemanniana.
Parte III. Temas 8–9. Se estudia integración en variedades, tanto desde
el punto de vista de la integración de n-formas diferenciales en varieda-
des orientadas, como del de la integración de funciones en un espacio
de medida, definido éste de manera natural a partir de una métrica
semi-riemanniana. El motivo de desarrollar ambos enfoques se debe a
que el alumno, probablemente, se tropezará antes o después con los
dos, aunque en las referencias al uso suelan escoger sólo uno. Se pre-
tende, pues, que se adquiera una visión de conjunto sobre integración.
Los conceptos relacionados de álgebra exterior de formas diferenciales y
orientación (para el primer enfoque) o de integración de Lebesgue (para
el segundo) se explican sucintamente. En el Tema 9, dedicado al Teo-
rema de Stokes, también desarrollamoslos conceptos de derivaciones y
antiderivaciones tensoriales. Muchas de las consecuencias del Teorema
de Stokes tienen utilidad práctica, tanto en partes de la F́ısica (electro-
magnetismo, Teoŕıas de Campos...) como más puramente matemáticas
(cálculo de áreas, valores propios del laplaciano...), y nos centramos en
las más clásicas.
La Parte III resulta independiente de la Parte IV posterior, con lo
que el lector interesado en ésta puede leerla directamente después de
la I y II, sin pérdida de continuidad.
Parte IV. Temas 10–11. Se estudia la conexión de Levi-Civita asociada
a una métrica (y, en general, conexiones afines), aśı como sus elemen-
x ÍNDICE GENERAL
tos geométricos asociados: derivada covariante, geodésicas, curvatura...
Estos conceptos matemáticos son más sutiles que el de métrica rie-
manniana, y su desarrollo histórico fue largo y complejo. De ah́ı que
hayamos preferido sacrificar (parcialmente) la intuición, introduciendo
los conceptos de una manera “lógicamente económica”. No obstante,
se intenta justificar la naturalidad de las definiciones, aunque sea a
posteriori. Aśı, p. ej., el Tema 11 concluye con un repaso puramente
intuitivo del concepto de curvatura en Geometŕıa, con el objetivo de
hacer más asimilable la muy abstracta definición de (tensor) curvatura
de una variedad riemanniana.
Concluimos con un tema introductorio a la Relatividad General (y,
por completitud, también a la Especial). Se pretende ilustrar aśı la
aplicabilidad de la geometŕıa aprendida a esta parte fundamental de
la F́ısica, que la genialidad de Einstein pudo desarrollar gracias a la
Geometŕıa Diferencial preexistente.
No queremos terminar sin expresar nuestra gratitud a nuestros alumnos
quienes, con agudas preguntas y disparatados comentarios, han ayu-
dado en buena medida a enfocar estos apuntes. En particular, agrade-
cemos a Jorge de Blas Mateo que nos prestara sus apuntes correspon-
dientes al primer año en que impartimos la asignatura.
Los autores somos conscientes de la no escasa dificultad que, prob-
ablemente, hallarán los alumnos a quienes en primer lugar se dirige
el presente volumen. Pero les animamos a perseverar: si, como dećıa
Galileo, el libro de la Naturaleza está escrito “in lingua matematica”
pocas tareas resultarán tan gratificantes como dominar esta lengua.
Caṕıtulo 1
Topoloǵıa básica
1.1. Generalidades
Intuitivamente la Topoloǵıa es la rama de las matemáticas que es-
tudia las propiedades de los objetos que se conservan cuando estos se
deforman sin “cortar” ni “pegar” (con la excepción de que es posible
“cortar” si luego se “pega” por el mismo sitio). Por ejemplo, la super-
ficie de una bola es topológicamente equivalente a la de una pelota de
rugby o la de una barra, aunque no lo es a la de un toro, puesto que este
último tiene un agujero. Este último es topológicamente equivalente a
un toro “anudado” como el de la Figura 1. En el presente caṕıtulo es-
tudiaremos algunos preliminares topológicos, que pueden encontrarse
en cualquier libro elemental de Topoloǵıa (p. ej., véase [AMR, Chapter
1] o [Ar]).
1
2 CAPÍTULO 1. TOPOLOGÍA BÁSICA
Figura 1
Definiciones 1.1.1 Dado un conjunto X diremos que una colección
de subconjuntos τ de X es una topoloǵıa si verifica:
(i) ∅, X ∈ τ .
(ii) Si U, V ∈ τ entonces U ∩ V ∈ τ (o, equivalentemente, la inter-
sección finita de elementos de τ pertenece a τ).
(iii) La unión arbitraria de elementos de τ pertenece a τ .
Al par (X, τ) lo llamaremos espacio topológico. A cada elemento de la
topoloǵıa τ lo llamaremos abierto.
Ejemplos:
(1) Dado un conjunto X definimos la topoloǵıa trivial de X como
τ = {X, ∅}.
(2) Dado un conjunto X definimos la topoloǵıa discreta de X como
τ = P(X) (conjunto de las partes de X, esto es, colección de
todos los subconjuntos de X).
1.1. GENERALIDADES 3
(3) Dado X = R definimos la topoloǵıa usual τ de R como la colec-
ción de todos los conjuntos que son intervalos abiertos o uniones
arbitrarias de ellos.
(4) Dado X = R2 definimos la topoloǵıa usual de R2 como la colec-
ción de todos los rectángulos sin borde ]a, b[×]a′, b′[ o uniones
arbitrarias de ellos. Ello es claramente generalizable a Rn, n ∈ N,
cuyos abiertos para la topoloǵıa usual se definen como uniones
arbitrarias de n−rectángulos, cada uno de éstos definido como el
producto cartesiano de n intervalos abiertos. Salvo especificación
contraria, Rn se considerará dotado siempre de la topoloǵıa usual.
Como ejemplo veamos que (3) es una topoloǵıa. Obviamente, se verif-
ican los axiomas (i) (∅ =]a, a[, R =] −∞,∞[) y (iii). Por tanto, sólo
resta comprobar (ii). Para ello es suficiente demostrar que si U, V son
abiertos y x ∈ U ∩ V entonces existe un intervalo abierto Ix ⊆ U ∩ V
tal que x ∈ Ix (pues en este caso U ∩V = ∪x∈U∩V Ix ∈ τ). Como x ∈ U
(resp. x ∈ V ), que es abierto, existe ]a1, b1[⊆ U (resp. ]a2, b2[⊆ V ) tal
que x ∈]a1, b1[ (resp. x ∈]a2, b2[). Por tanto, basta tomar Ix =]a, b[ con
a = Max{a1, a2}, b = Min{b1, b2}.
Definición 1.1.2 Sea (X, τ) un espacio topológico, decimos que A ⊆
X es cerrado si su complemento en X (es decir, X − A = {x ∈ X :
x 6∈ A}) es abierto.
Ejemplos:
(1) ∅ y X son cerrados.
(2) En R con la topoloǵıa usual el subconjunto [0, 1] es cerrado ya
que R− [0, 1] =]−∞, 0[∩]1,∞[ es abierto. Sin embargo, los sub-
conjuntos [0, 1[ y ]0, 1[∪[2, 7] no son cerrados ni abiertos.
(3) En un conjunto arbitrario X con la topoloǵıa trivial los únicos
subconjuntos cerrados o abiertos son ∅ y X.
(4) En un conjunto arbitrario X con la topoloǵıa discreta todo sub-
conjunto es cerrado y abierto.
(5) En R3 se ha definido la topoloǵıa usual como la colección de todos
los subconjuntos del tipo ]a1, b1[×]a2, b2[×]a3, b3[ (3-rectángulos)
4 CAPÍTULO 1. TOPOLOGÍA BÁSICA
o uniones arbitrarias de ellos. No es dif́ıcil comprobar que la esfera
unidad S2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1} ⊂ R3 es un
cerrado.
Las propiedades de los cerrados se deducen inmediatamente de las
definiciones:
(1) ∅ y X son cerrados.
(2) La intersección arbitraria de cerrados es un cerrado.
(3) Si U y V son cerrados entonces U ∪ V también lo es (o, equiva-
lentemente, la unión finita de cerrados es un cerrado).
Definiciones 1.1.3 Sea (X, τ) un espacio topológico. Un entorno abier-
to de x ∈ X es un abierto U tal que x ∈ U . Un entorno de x es un
conjunto N ⊆ X que contiene a un entorno abierto de x.
Definiciones 1.1.4 Sean (X, τ) un espacio topológico, A ⊆ X y x ∈
X. Diremos que:
(1) x es un punto interior de A si existe un entorno de x incluido en
A. Usaremos la notación Å= {x ∈ A : x es punto interior de A}.
(2) x es un punto adherente de A si todo entorno de x interseca a A.
Usaremos la notación A = {x ∈ X : x es punto adherente de A}.
Se dice que A es denso en X is A = X.
(3) x es un punto frontera de A si es adherente de A y de X − A.
Usaremos la notación ∂A = {x ∈ X : x es punto frontera de A}.
(4) x es un punto de acumulación de A si todo entorno de x interseca
a A en puntos distintos de x. Usaremos la notación A′ = {x ∈
X : x es punto de acumulación de A}.
(5) x es un punto aislado de A si existe un entorno N de x tal
que N ∩ A = {x}. Usaremos la notación Ais(A) = {x ∈ A :
x es punto aislado de A}.
Ejercicio. Clasif́ıquense los puntos del subconjunto A ⊂ R2 de la
Figura 2 definido como la unión del punto p, la curva γ (con un extremo
incluido) y la región interior de la curva ρ junto con parte de esta curva.
Algunas propiedades inmediatas:
1.2. CONSTRUCCIÓN DE TOPOLOGÍAS 5
Figura 2
(1) Å ⊆ A ⊆ A
(2) ∂A = A ∩ (X − A)
(3) A = A ∪ ∂A =Å∪∂A
(4) Å coincide con la unión de todos los abiertos incluidos en A (Å
es el abierto “más grande” incluido en A).
(5) A coincide con la intersección de todos los cerrados que contienen
a A (A es el “menor cerrado” que contiene a A).
Ejercicio. Clasif́ıquense los puntos del conjunto A = [0, 1[∪{7}∪ (]−
3, 0[−]− 2,−1[) ⊂ R.
Ejercicio. Clasif́ıquense los puntos de un subconjunto arbitrario A ⊆X con cardinal mayor que 1 cuando se considera para X: (i) la topoloǵıa
discreta, (ii) la topoloǵıa trivial.
1.2. Algunos modos de construcción de
topoloǵıas
Existen diferentes modos de definir una topoloǵıa sobre un conjunto
X que pueden ser útiles dependiendo de la manera en que viene dado
dicho conjunto:
6 CAPÍTULO 1. TOPOLOGÍA BÁSICA
A. Bases topológicas. Dado un espacio topológico (X, τ) una base
topológica o de entornos suya es un conjunto de abiertos B ⊆ τ tal
que todo abierto (no vaćıo) U ∈ τ se puede expresar como unión de
elementos de B.
Ejemplos:
(1) En R con la topoloǵıa usual una base topológica es la colección
de todos los intervalos abiertos de R.
(2) En Rn con la topoloǵıa usual una base topológica es la colección
de todos los n-rectángulos abiertos de Rn.
(3) En Rn con la topoloǵıa usual una base topológica es la colección
de todas las bolas abiertas Bp(r) = {x ∈ Rn : ‖x− p‖ < r}, p ∈
Rn, r > 0.
No es dif́ıcil comprobar que, dado un conjunto X y una colección ar-
bitraria B de subconjuntos de X tal que X = ∪B∈BB, se verifica: B
es una base topológica para alguna topoloǵıa τ de X si y sólo si para
cualesquiera B1, B2 ∈ B la intersección B1∩B2 se puede escribir como
unión de elementos de B. En este caso1, τ está determinada de manera
única, y sus abiertos se construyen como uniones de elementos de B.
B. Subespacios topológicos. Dado un espacio topológico (X, τ)
y un subconjunto A ⊆ X definimos la topoloǵıa inducida en A por τ
como la topoloǵıa de A: τA = {A ∩ U : U ∈ τ}. Aśı todo subcon-
junto arbitrario de R3 (por ejemplo, superficies como la esfera S2 =
{(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 + z2 = 1}) tiene una topoloǵıa natural, que
es la inducida por la usual de R3. Cabe destacar que los abiertos de A
con τA no tienen por qué ser abiertos de X con τ . Aśı, p. ej.: (a) los
abiertos de S2 no lo son de R3 (salvo el ∅), o (b) un abierto de [0, 1]
(con la topoloǵıa inducida de R) es ]1/2, 1].
C. Topoloǵıa producto. Sean (X, τ), (X ′, τ ′) dos espacios topoló-
gicos, se define la topoloǵıa producto en X×X ′ como aquella topoloǵıa
1En el caso de que no se verificara esta condición, se puede demostrar que los
elementos de B junto con las intersecciones finitas de ellos (y, eventualmente, el
total X), determinan una base topológica; se dice entonces que B es una subbase
topológica. La topoloǵıa aśı generada se puede caracterizar como la menos fina (la
que tiene menos abiertos) de entre las que contienen a B o, equivalentemente, como
la intersección de todas las topoloǵıas que contienen a B
1.2. CONSTRUCCIÓN DE TOPOLOGÍAS 7
que admite por base topológica los productos U ×U ′, donde U,U ′ son
abiertos de τ, τ ′, respectivamente. Por ejemplo, la topoloǵıa usual de
R2 coincide con la topoloǵıa producto de R× R.
D. Topoloǵıa cociente. Dado un espacio topológico (X, τ) y una
relación de equivalencia ∼ definida en X, sea X/ ∼ el conjunto co-
ciente, esto es, el conjunto de todas las clases de equivalencia, y π la
proyección canónica, es decir,
π : X → X/ ∼
x 7→ [x],
donde [x] denota la clase de equivalencia de x. Definimos la topoloǵıa
cociente en X/ ∼ como aquélla que tiene por abiertos los subconjuntos
del tipo U ⊂ X/ ∼ tales que π−1(U) es un abierto de τ . En efecto,
es inmediato comprobar que aśı se define una topoloǵıa, usando: (i)
π−1(∅) = ∅, π−1(X/ ∼) = X, (ii) π−1(U ∩ V ) = π−1(U) ∩ π−1(V ) y
(iii) π−1(∪αUα) = ∪απ−1(Uα).
Ejemplos:
(1) En X = [0, 1] ⊂ R definimos la relación de equivalencia: x ∼ x
para todo x ∈ [0, 1] y 0 ∼ 1, 1 ∼ 0. El espacio topológico cociente
se puede visualizar como2 una circunferencia.
(2) En X = R2 definimos la relación de equivalencia (x, y) ∼ (x′, y′)
si x− x′ ∈ Z y y − y′ ∈ Z. El espacio topológico cociente R2/ ∼
se puede visualizar como un toro.
(3) En el subespacio topológico [0, 1] × [0, 1] de R2 se considera la
relación de equivalencia que se obtiene a partir de identificar cada
(0, y) con (1, y),∀y ∈ [0, 1]. El cociente puede visualizarse como
un cilindro (con “borde” y sin “tapas”). Si se considera la relación
de equivalencia que se obtiene a partir de identificar cada (0, y)
con (1, 1−y) el cociente puede visualizarse como la popular cinta
de Moebius (que es una superficie de R3 con una sola cara, un
solo borde, y para la que no existe una elección continua posible
2De manera rigurosa, la expresión “poder visualizar como” significa “ser home-
omorfo a” (siendo el codominio del homeomorfismo un subespacio topológico de
R3); véase la Definición 1.5.3.
8 CAPÍTULO 1. TOPOLOGÍA BÁSICA
de un vector normal en cada punto). Si en la cinta de Moebius
además se identifica cada (x, 0) con (x, 1) el cociente (botella de
Klein) no puede visualizarse propiamente como una superficie de
R3.
1.3. Axiomas de numerabilidad
Una condición impĺıcita en muchas topoloǵıas es la siguiente:
Definición 1.3.1 Un espacio topológico (X, τ) verifica el segundo axio-
ma de numerabilidad (ANII) si admite una base topológica numerable,
es decir, finita o con el cardinal de N.
Aún más, esta condición puede relajarse:
Definición 1.3.2 Un espacio topológico (X, τ) verifica el primer axio-
ma de numerabilidad (ANI) si cada punto x ∈ X admite una base nu-
merable de entornos, esto es, una sucesión de entornos abiertos {Un}n
(que puede elegirse de manera que Un+1 ⊂ Un para todo n) tal que:
para todo entorno N de x existe un n ∈ N tal que Un ⊂ N .
Observaciones:
(1) No es dif́ıcil comprobar: ANII⇒ANI. De hecho, la sucesión {Un}n
desempeña el papel de “base topológica numerable” alrededor de
x.
(2) R (y, en general, Rn) con la topoloǵıa usual es ANII (y, por tanto,
ANI). En efecto, una base numerable de la topoloǵıa usual de R
es B = {]x−², x+²[: x, ² ∈ Q} (recordemos que Q es numerable).
(3) R con la topoloǵıa discreta es ANI pero no es ANII. En efecto,
dado x ∈ R tómese, en la definición de ANI, Un ≡ {x} ∀ n ∈ N.
Sin embargo, cualquier base de la topoloǵıa discreta de R debe
contener a cada uno de los números reales como abierto suyo y,
por tanto, no puede ser numerable (el cardinal de R es mayor
que el de N).
1.4. LÍMITES. ESPACIOS HAUSDORFF 9
1.4. Ĺımites. Espacios Hausdorff
Definición 1.4.1 Sea (X, τ) un espacio topológico y {xn}n ⊆ X una
sucesión de elementos de X. Diremos que {xn}n converge a x ∈ X
si para todo entorno N de x existe un n0 ∈ N tal que xn ∈ N para
todo n ≥ n0. En este caso diremos que x es un ĺımite de {xn}n y
escribiremos {xn}n → x.
Ejemplos:
(1) La sucesión {1/n}n ⊂ R converge a 0 con la topoloǵıa usual.
(2) Consideremos en un conjunto X la topoloǵıa trivial. Entonces
cualquier sucesión de X converge a cualquier elemento de X.
Aśı, el ĺımite de una sucesión puede no ser único.
El problema de la posible falta de unicidad de los ĺımites, entre otros,
se evita con el siguiente concepto.
Definición 1.4.2 Se dice que un espacio topológico (X, τ) es Haus-
dorff (ó T2) si para cualesquiera x, y ∈ X x 6= y, existen entornos
Nx, Ny de x e y, respectivamente, tales que Nx ∩Ny = ∅.
Proposición 1.4.3 En todo espacio topológico Hausdorff (X, τ) el ĺı-
mite de una sucesión convergente es único.
Demostración. Supongamos, por reducción al absurdo, que una suce-
sión {xn}n ⊆ X satisface {xn}n → x, {xn}n → y, siendo x 6= y. Como
X es Hausdorff existen entornos Nx, Ny de x e y respectivamente que
son disjuntos. En consecuencia, existe un n0 (resp. n
′
0) tal que xn ∈ Nx
(resp. xn ∈ Ny) si n ≥ n0 (resp. n ≥ n′0). Entonces, si n = Max{n0, n′0}
tenemos que xn ∈ Nx ∩Ny, lo que contradice que Nx ∩Ny = ∅. 2
Es inmediato comprobar que todo subespacio topológico de un es-
pacio topológico Hausdorff es también Hausdorff.
Ejemplos:
(1) Rn con la topoloǵıa usual (y todos sus subconjuntos con la topolo-
ǵıa inducida) es Hausdorff.
(2) Obviamente, ningún conjunto X con cardinal mayor que uno y
dotado de la topoloǵıa trivial es Hausdorff. Todo conjunto con la
topoloǵıa discreta es Hausdorff.
10 CAPÍTULO 1. TOPOLOGÍA BÁSICA(3) Sea X = R ∪ {0′} donde 0′ es un elemento que no pertenece a
R, y consideremos la topoloǵıa que tiene por base la colección
formada por: (a) los abiertos de R (con la topoloǵıa usual) y
(b) los subconjuntos que resultan de tomar los abiertos de R
que contienen al 0, y reemplazar 0 por 0′. Esta topoloǵıa no es
Hausdorff: los puntos 0 y 0′ no se pueden “separar” por entornos.
1.5. Continuidad
Definición 1.5.1 Sean (X, τ), (X ′, τ ′) dos espacios topológicos y f :
X → X ′ una aplicación entre ellos. Se dice que f es continua en
x0 ∈ X si para todo entorno abierto U ′ de f(x0) existe un entorno
abierto U de x0 tal que f(U) ⊆ U ′. Diremos que f es continua si lo es
en todos los puntos de X (véase la Figura 3).
Figura 3
Por supuesto, en la definición anterior podemos reemplazar la expre-
sión “entorno abierto” por “entorno” (compruébese). También es fácil
comprobar:
Proposición 1.5.2 Una aplicación entre dos espacios topológicos f :
X → X ′ es continua si y sólo si f−1(U ′) es abierto de (X, τ) para todo
abierto U ′ de (X ′, τ ′).
1.5. CONTINUIDAD 11
Definición 1.5.3 La aplicación f : X → X ′ se dice que es un home-
omorfismo si es biyectiva y tanto f como f−1 son continuas.
Dos espacios topológicos (X, τ), (X ′, τ ′) son homeomorfos si existe
un homeomorfismo entre ellos (f : X → X ′ o, equivalentemente, g :
X ′ → X).
El concepto de homeomorfismo es uno el modo riguroso de expresar
la idea de cuándo dos espacios topológicos son “equivalentes” y que
tratábamos de apuntar con ideas intuitivas al principio de este caṕıtu-
lo, como las de que dos espacios topológicos son “equivalentes” si se
pueden obtener uno de otro deformando sin cortar ni pegar3. Dos espa-
cios topológicos homeomorfos poseen las mismas propiedades topológi-
cas.
Observaciones: Sean (X, τ), (X ′, τ ′) y (X ′′, τ ′′) tres espacios topológi-
cos.
(1) La composición g ◦ f : X → X ′′ de dos aplicaciones continuas
f : X → X ′ y g : X ′ → X ′′ es también continua.
(2) La restricción f |A⊆X : A → X ′ de una aplicación continua f :
X → X ′ es también continua (consideramos la topoloǵıa inducida
en A por X). Aśı, por ejemplo, la inclusión i : A ⊆ X → X es
continua ya que coincide con la restricción a A de la aplicación
identidad en X. También son continuas las aplicaciones
ix′0 : X → X ×X ′
x 7→ (x, x′0)
ix0 : X
′ → X ×X ′
x′ 7→ (x0, x′).
para cada x′0 ∈ X ′, x0 ∈ X.
(3) En el espacio topológico producto de (X, τ) y (X ′, τ ′) son con-
tinuas las proyecciones:
p : X ×X ′ → X
(x, x′) 7→ x
p′ : X ×X ′ → X ′
(x, x′) 7→ x′.
En efecto, la continuidad de p es consecuencia de que si U es un
abierto de (X, τ) entonces f−1(U) = U × X ′ es un abierto de
X ×X ′.
3Otro concepto relevante en este contexto es el de equivalencia homotópica, en
el que no entraremos.
12 CAPÍTULO 1. TOPOLOGÍA BÁSICA
(4) Si (X, τ) es un espacio topológico entonces la proyección π :
X → X/ ∼ es continua (consideramos la topoloǵıa cociente para
X/ ∼). En efecto, por la definición de la topoloǵıa cociente, si
U es un abierto de X/ ∼ entonces π−1(U) es un abierto de X.
Más aún, dado otro espacio topológico (X ′, τ ′), una aplicación
f : (X/ ∼) → X ′ será continua si y sólo si lo es la composición
f ◦ π : X → X ′.
Ejercicio. (1) Sean (X, τ) un espacio topológico ANI, A ⊆ X y
x ∈ X. Pruébese que x ∈ A si y sólo si existe una sucesión {xn}n ⊆ A
que converge a x.
(2) Sea f : X → X ′ una aplicación entre dos espacios topológicos
siendo (X, τ) ANI, y sea x0 ∈ X. Pruébese que f es continua en x0 si
y sólo si para toda sucesión {xn}n ⊆ X que converge a x0 la sucesión
{f(xn)}n converge a f(x0).
(3) Compruébese que la relación “ser homeomorfo a” en la clase de
todos los espacios topológicos es de equivalencia.
1.6. Espacios topológicos métricos
En el espacio eucĺıdeo Rn estamos familiarizados con el uso de la
distancia (usual) definida por d0(x, y) = (
∑n
i=1(xi−yi)2)1/2, siendo x =
(x1, . . . , xn) e y = (y1, . . . , yn) dos puntos cualesquiera de Rn. Veamos
cómo se puede generalizar este concepto a conjuntos arbitrarios:
Definición 1.6.1 En un conjunto X definimos una distancia o métri-
ca como una aplicación d : X ×X → R que verifica:
(i) d(x, y) ≥ 0 para todo x, y ∈ X, con igualdad si y sólo si x = y.
(ii) d(x, y) = d(y, x) para todo x, y ∈ X.
(iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) para todo x, y, z ∈ X.
En este caso al par (X, d) se le llama espacio métrico.
Es inmediato comprobar que cada A ⊂ X hereda una distancia por
restricción de d a A×A. Se dice entonces que A (o, más propiamente,
A con la restricción de la distancia) es un subespacio métrico de X.
1.6. ESPACIOS TOPOLÓGICOS MÉTRICOS 13
Ejemplo. Una distancia en R2 muy distinta a la usual es la siguiente
aplicación d′ : R2 × R2 → R (“distancia de la Renfe”):
d′(x, y) =
{ ‖x− y‖ si x, y están en una recta que pasa por (0, 0),
‖x‖+ ‖y‖ en caso contrario.
Definiciones 1.6.2 Sea (X, d) un espacio métrico y x0 ∈ X. Defini-
mos la bola abierta de centro x0 y radio r ≥ 0 como Bx0(r) = {x ∈
X : d(x, x0) < r}. Análogamente, definimos la bola cerrada de centro
x0 y radio r ≥ 0 como Bx0(r) = {x ∈ X : d(x, x0) ≤ r}.
Definición 1.6.3 Sea (X, d) un espacio métrico. Llamaremos topolo-
ǵıa métrica asociada a (o inducida por) d en X a aquélla que admite
por base topológica todas las bolas abiertas (de cualquier centro y de
cualquier radio) para dicha métrica.
Ejercicio. (1) Pruébese que las bolas abiertas constituyen, efectiva-
mente, una base para una topoloǵıa.
(2) Sea U un abierto de (X, d) para la topoloǵıa métrica. Pruébese
que para todo x ∈ U existe un ² > 0 tal que Bx(²) ⊂ U .
Es fácil comprobar que la topoloǵıa inducida por una métrica es siem-
pre ANI y Hausdorff, aunque no necesariamente ANII.
Ejemplo. Sea X un conjunto y consideremos la distancia
d(x, y) =
{
0 si x = y,
1 si x 6= y.
La topoloǵıa asociada a d es la discreta. Por tanto, si X no es nume-
rable, la topoloǵıa asociada no resultará ANII.
Un espacio topológico (X, τ) se dice metrizable si existe alguna distan-
cia d cuya topoloǵıa métrica sea τ . Estaremos especialmente interesa-
dos en tales espacios topológicos, pero destaquemos que, en general, la
distancia d no está fijada de modo único o canónico por τ .
Ejemplo. En R2 (y en cualquier Rn) la topoloǵıa métrica asociada a la
distancia usual d0 es la topoloǵıa usual. Considérese la nueva distancia
sobre R2, d((x, y), (x′, y′)) = |x− x′|+ |y− y′| (¿cómo son sus bolas?).
La topoloǵıa métrica asociada a d también coincide con la usual. Sin
14 CAPÍTULO 1. TOPOLOGÍA BÁSICA
embargo, la topoloǵıa métrica asociada a la “distancia de la Renfe” d′
es diferente.
Todo espacio métrico (X, d) se considerará siempre como espacio topoló-
gico métrico, esto es, como una terna (X, d, τ) donde τ es la topoloǵıa
métrica asociada a d. Para espacios topológicos métricos podemos ree-
scribir los conceptos de ĺımite y continuidad. Las siguientes dos proposi-
ciones se pueden comprobar con facilidad.
Proposición 1.6.4 Sea (X, d) un espacio métrico. Una sucesión {xn}n
⊆ X converge a x0 ∈ X si y sólo si para todo ² > 0 existe un n0 ∈ N
tal que si n ≥ n0 entonces d(xn, x0) < ².
Nótese que el ĺımite, si existe, es único pues la topoloǵıa métrica es
Hausdorff.
Proposición 1.6.5 Sean (X, d), (X ′, d′) dos espacios métricos, f :
X → X ′ una aplicación y x0 ∈ X. Son equivalentes:
(i) f es continua en x0.
(ii) Si {xn}n ⊆ X converge a x0 entonces {f(xn)}n converge a f(x0).
(iii) Para todo ² > 0 existe un δ > 0 tal que si d(x, x0) < δ entonces
d′(f(x), f(x0)) < ².
Nótese que la equivalencia entre (i) y (ii) se mantiene en todo espacio
topológico ANI (véase el ejercicio de la Sección 1.5).
Definición 1.6.6 De un homeomorfismo f : X → X ′ entre dos es-
pacios métricos (X, d), (X ′, d′) que verifique d(x, y) = d′(f(x), f(y)),
para todo x, y ∈ X, se dice que es una isometŕıa. En este caso, se dice
que los dos espacios métricos son isométricos.
Espaciosmétricos isométricos tienen iguales todas sus propiedades re-
lativas a la distancia. La relación “ser isométrico a” en la clase de todos
los espacios métricos es de equivalencia.
Ejercicio. Compruébese que, en la definición de isometŕıa, la inyec-
tividad de f , y la continuidad tanto de f como de su inversa, se pueden
deducir del resto de las condiciones.
Dos conceptos que podemos definir en espacios métricos pero no en
topológicos son los siguientes de sucesión de Cauchy y completitud.
1.6. ESPACIOS TOPOLÓGICOS MÉTRICOS 15
Definición 1.6.7 Sea (X, d) un espacio métrico. Diremos que una
sucesión {xn}n ⊆ X es de Cauchy si para todo ² > 0 existe un n0 ∈ N
tal que si n,m ≥ n0 entonces d(xn, xm) < ².
Claramente toda sucesión convergente es de Cauchy, pero el rećıproco
no es cierto.
Definición 1.6.8 Se dice que un espacio métrico (X, d) es completo
si toda sucesión de Cauchy es convergente.
Ejemplos:
(1) El espacio eucĺıdeo Rn con la distancia usual es completo. Con
la topoloǵıa inducida sus bolas cerradas Bx0(r) son completas (y
las abiertas Bx0(r) no, para ningún x0 ∈ Rn, r > 0).
(2) El conjunto de los números racionales Q con la distancia inducida
por la usual de R no es completo4.
Obsérvese que los conceptos de completitud o de sucesión de Cauchy
dependen (a diferencia de los de convergencia o continuidad) no sólo
de la topoloǵıa sino también de la métrica. Aśı, aunque varias distan-
cias generen la misma topoloǵıa métrica τ , una misma sucesión {xn}n
puede ser de Cauchy para una de ellas y no para las otras. Pero {xn}n
será convergente si y sólo si lo es para la topoloǵıa τ ; por tanto, si
{xn}n es convergente también será de Cauchy para todas las métricas
con topoloǵıa métrica asociada τ .
Ejercicio. Se dice que una aplicación entre dos espacios métricos
f : X → X ′ es uniformemente continua si
∀² > 0, ∃δ > 0 : d(x, y) < δ ⇒ d′(f(x), f(y)) < ².
Compruébese que si f es uniformemente continua:
(a) es continua, y
(b) la imagen por f de una sucesión de Cauchy en (X, d) es una
sucesión de Cauchy en (X ′, d′).
Muéstrese con un contraejemplo que si f verifica (a) y (b) no tiene por
qué ser uniformemente continua.
4De hecho,R puede verse como la “completación” deQ -intuitivamente, como el
espacio que se obtiene añadiendo a Q el mı́nimo de puntos necesarios para obtener
un espacio completo-; el concepto de completación se puede generalizar a cualquier
espacio métrico.
16 CAPÍTULO 1. TOPOLOGÍA BÁSICA
1.7. Conexión y arcoconexión
Definición 1.7.1 Decimos que un espacio topológico (X, τ) es conexo
si los únicos subconjuntos de X que son a la vez abiertos y cerrados
son el vaćıo y el total.
Observación. Nótese que encontrar un subconjunto A ⊆ X, A 6= ∅, X
que sea abierto y cerrado equivale a encontrar dos subconjuntos de X
abiertos (o cerrados) U, V no vaćıos, disjuntos y tales que X = U ∪ V .
Por ejemplo, en R3 el subconjunto A definido como la unión de una
esfera y un plano que no sean tangentes ni secantes es no conexo.
Definición 1.7.2 Sea (X, τ) un espacio topológico y A ⊆ X. Diremos
que A es una parte o componente conexa de X si el único subconjunto
conexo de X que contiene a A es el propio A.
Por ejemplo, las componentes conexas de Q son cada uno de sus ele-
mentos ya que ningún subconjunto A ⊆ Q con más de un elemento
es conexo. En efecto, sean r1, r2 ∈ A, r1 < r2, y sea a ∈ R − Q con
r1 < a < r2. En ese caso, los subconjuntos no vaćıos U =]−∞, a[∩A y
V =]a,∞[∩A son abiertos de A, disjuntos y tales que A = U ∪ V , por
tanto, A no es conexo.
Supondremos conocido de la estructura de R que los subconjuntos
conexos de R coinciden con los intervalos (de cualquier tipo: abiertos,
cerrados, semiabiertos, acotados, no acotados...).
Ejercicio. Sea X un conjunto con cardinal mayor que 1 y con-
sidérense las topoloǵıas trivial y discreta. ¿Con cuáles de ellas es X
conexo?
Definición 1.7.3 Dado un espacio topológico (X, τ) definimos un ar-
co ϕ en X como una aplicación continua ϕ : [a, b] → X, −∞ < a <
b < ∞. Si x = ϕ(a) y y = ϕ(b) diremos que dicho arco conecta x con
y.
En esta definición se puede normalizar el dominio de los arcos suponien-
do siempre [a, b] = [0, 1].
Definición 1.7.4 Un espacio topológico (X, τ) se dice que es arco-
conexo si cualesquiera x, y ∈ X se pueden conectar con un arco en X.
1.7. CONEXIÓN Y ARCOCONEXIÓN 17
Un ejemplo sencillo de espacio topológico arcoconexo (y, por tanto
conexo; véase la siguiente proposición) es Rn con la topoloǵıa usual.
En efecto, para cualesquiera x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn el
arco (segmento cerrado) ϕ : [0, 1] → Rn, ϕ(t) = x− t(x− y) conecta x
con y.
Proposición 1.7.5 Todo espacio topológico (X, τ) arcoconexo es co-
nexo.
Demostración. Supongamos, por reducción al absurdo, que no es co-
nexo. Entonces existen abiertos disjuntos no vaćıos U, V tales que
X = U ∪ V . Como X es arcoconexo existe un arco ϕ : [0, 1] → X
que conecta x ∈ U con y ∈ V . En consecuencia, los subconjuntos
ϕ−1(U) y ϕ−1(V ) son abiertos de [0, 1] (ya que ϕ es continua), disjun-
tos (ya que U ∩V = ∅), no vaćıos (0 ∈ ϕ−1(U),1 ∈ ϕ−1(V )) y tales que
[0, 1] = ϕ−1(U) ∪ ϕ−1(V ) (ya que X = U ∪ V ), lo que contradice que
el intervalo [0, 1] es conexo. 2
Ejemplo. El subconjunto X = {(x, y) ∈ R2 : y = senπ
x
, 0 < x ≤
1} ∪ {(0, y) : −1 ≤ y ≤ 1} ⊂ R2 con la topoloǵıa inducida de R2 es
un ejemplo t́ıpico de espacio topológico conexo que no es arcoconexo
(véase la Figura 4).
Figura 4
18 CAPÍTULO 1. TOPOLOGÍA BÁSICA
Teorema 1.7.6 Sean (X, τ), (X ′, τ ′) espacios topológicos y f : X →
X ′ una aplicación continua. Si X es conexo entonces f(X) también es
conexo.
Demostración. Supongamos, por reducción al absurdo, que f(X) no
es conexo. Entonces existen abiertos disjuntos U ′, V ′ ⊆ X ′ tales que
f(X) ⊆ U ′ ∪ V ′, U ′ ∩ f(X) 6= ∅ y V ′ ∩ f(X) 6= ∅. Como f es continua,
U = f−1(U ′) y V = f−1(V ′) son abiertos no vaćıos de X. Además,
U ∩ V = ∅ y X = U ∪ V . Luego X no es conexo, lo que contradice
nuestra hipótesis. 2
Obsérvese que el Teorema de Bolzano clásico se obtiene de este
resultado sin más que tomar X = [a, b], X ′ = R y suponer f(a) ·f(b) <
0. En efecto, en ese caso al ser f([a, b]) un conexo de R, este conjunto
tiene que ser otro intervalo y, necesariamente, 0 pertenecerá a él.
Ejercicio. Pruébese que si f : X → X ′ es continua y X es arcoconexo
entonces f(X) es arcoconexo.
1.8. Compacidad
Definición 1.8.1 Dado un espacio topológico (X, τ) llamamos recu-
brimiento abierto U de (X, τ) a una colección de abiertos de X cuya
unión sea todo X. Un subrecubrimiento de U es un subconjunto Ũ ⊆ U
tal que Ũ también es un recubrimiento abierto de X.
Definición 1.8.2 Decimos que un espacio topológico (X, τ) es com-
pacto si para todo recubrimiento abierto suyo U existe un subrecubri-
miento Uf ⊆ U con un número finito de elementos.
Dos propiedades t́ıpicas de los espacios compactos son las siguientes:
Proposición 1.8.3 Sea (X, τ) un espacio topológico compacto:
(1) Si A ⊆ X es cerrado entonces A es compacto.
(2) Si (X ′, τ ′) es otro espacio topológico y f : X → X ′ es continua
entonces Imf = {f(x) : x ∈ X}(= f(X)) es compacto.
1.8. COMPACIDAD 19
Demostración. (1) Nótese que cada abierto UA de A se puede escribir
como UA = U ∩ A, donde U es un abierto de X. Dado cualquier
recubrimiento abierto de A, UA, consideremos el conjunto U formado
por los abiertos U de X con U ∩A ∈ UA. Como A es cerrado, X−A es
un abierto de X; por tanto, U ∪ (X − A) es un recubrimiento abierto
de X. Al ser X compacto, podemos extraer un subrecubrimiento finito
Uf de U ∪ {X −A}, y el conjunto UfA = {U ∩A|U ∈ (Uf − (X −A))}
es un subrecubrimiento finito de UA.
(2) Para cualquier recubrimiento abierto U ′ de f(X), se considera el
recubrimiento abierto de X: U = {f−1(U ′)|U ′ ∈ U ′}. Tomando ahora
un subrecubrimiento finito de U y, para cada abierto Ui, i = 1, . . . k,
de este subrecubrimiento, un abierto U ′i ∈ U ′ con f(Ui) = U ′i ,se extrae
el subrecubrimiento finito {U ′1, . . . , U ′k} de U ′. 2
Proposición 1.8.4 Sea (X, τ) un espacio topológico Hausdorff. Si K ⊆
X es compacto entonces K es cerrado en X.
Demostración. Probaremos que X −K es abierto. Para ello, basta con
demostrar que, fijado y ∈ X −K existe un entorno abierto Uy tal que
Uy ∩ K = ∅. Por ser X Hausdorff para cada x ∈ K existen entornos
abiertos Ux, U
′
x de x e y, respectivamente, tales que Ux ∩ U ′x = ∅. En
consecuencia, UK = {Ux ∩K : x ∈ K} es un recubrimiento abierto de
K. Pero como K es compacto podemos extraer un subrecubrimiento
finito UfK = {Ux1∩K, . . . , Uxn∩K}. Por tanto, un entorno abierto de y
que satisface las propiedades requeridas es Uy = U
′
x1
∩· · ·∩U ′xn ⊆ X−K.
2
Relacionada con la compacidad se halla la siguiente propiedad.
Definición 1.8.5 Un espacio topológico (X, τ) se dice que es secuen-
cialmente compacto si cualquier sucesión {xn}n ⊆ X admite una par-
cial5 convergente.
En los espacios topológicos que nos interesarán, compacidad y com-
pacidad secuencial coinciden.
Teorema 1.8.6 (Bolzano-Weierstrass). Sea (X, τ) un espacio topoló-
gico metrizable y ANII. Entonces, X es compacto si y sólo si X es
secuencialmente compacto.
5Esto es, una sucesión del tipo {xσ(n)}n, donde σ : N → N es una aplicación
estrictamente creciente.
20 CAPÍTULO 1. TOPOLOGÍA BÁSICA
La prueba, bajo hipótesis más refinadas, puede consultarse, por ejem-
plo, en [AMR, Proposition 1.5.5].
Ejercicio. Sea (X, d) un espacio métrico. Demuéstrese: (i) si una
sucesión de Cauchy admite una parcial convergente entonces converge;
(ii) si (X, d) es secuencialmente compacto entonces debe ser completo.
Analicemos con más detalle el concepto de compacidad en espacios
métricos.
Definiciones 1.8.7 Sea (X, d) un espacio métrico y ∅ 6= A ⊆ X.
Definimos el diámetro de A como diam(A) =Sup{d(x, y) : x, y ∈ A} ∈
[0,∞]. Aśı, diremos que A está acotado si diam(A) < ∞.
Nótese que el diámetro de las bolas (abiertas o cerradas) de Rn es dos
veces su radio.
Proposición 1.8.8 Sea (X, d) un espacio métrico y K ⊆ X compacto.
Entonces K es cerrado y acotado.
Demostración. Por la Proposición 1.8.4, K es cerrado (recordemos
que todo espacio métrico es Hausdorff). Para probar que es acota-
do, fijemos xo ∈ K y consideremos su recubrimiento abierto UK =
{Bx0(n)∩K : n ∈ N}. Como K es compacto podemos extraer un sub-
recubrimiento finito y, por tanto, K ⊂ Bx0(n0) para algún n0. Luego
diam(K) ≤diam(Bx0(n0)) ≤ 2n0. 2
Señalemos que, en general, no es cierto que si K ⊆ X es cerrado
y acotado ello implique que sea compacto (por ejemplo, tómese K =
X = R con la distancia d(x, y) = 1 si x 6= y)6. Sin embargo, ello ocurre
en Rn con la topoloǵıa usual, esto es :
Teorema 1.8.9 (Heine-Borel) Los conjuntos compactos de Rn son los
cerrados y acotados.
La demostración no es dif́ıcil teniendo en cuenta: (a) por la Proposi-
ción 1.8.3 basta con probar que un n-rectángulo cerrado y acotado
[a1, b1]×· · ·×[an, bn] que contenga A es compacto, (b) [a1, b1] es secuen-
cialmente compacto y, razonando inductivamente tomando sucesiones
parciales, el n-rectángulo también lo será, (c) por el Teorema 1.8.6, el
6Menos trivialmente: en un espacio de Hilbert de dimensión ∞ la bola cerrada
de centro el vector 0 y radio 1 no es compacta.
1.8. COMPACIDAD 21
n-rectángulo es compacto (más detalles pueden consultarse, p. ej., en
[AMR, 1.5.9]).
Corolario 1.8.10 Sea (X, τ) un espacio topológico compacto y f :
X → R continua. Entonces f admite un máximo y un mı́nimo absolu-
tos.
Demostración. En efecto, como X es compacto también lo es su imagen
f(X) ⊂ R (Proposición 1.8.3(2)). Entonces f(X) es cerrada y acotada.
Por ser acotada Supf < ∞ y, por ser cerrada, Supf = Maxf (para el
mı́nimo absoluto se razona análogamente). 2
En particular, este resultado se da cuando X = [a, b], genera-
lizándose una propiedad elemental conocida de las funciones continuas.
22 CAPÍTULO 1. TOPOLOGÍA BÁSICA
Caṕıtulo 2
El concepto de variedad
diferenciable
2.1. Concepto de variedad topológica
Definición 2.1.1 Una variedad topológica de dimensión n ∈ N es un
espacio topológico Hausdorff y ANII1 Q(≡ (Q, τ)), Q 6= ∅, que es lo-
calmente homeomorfo a Rn en el siguiente sentido (véase la Figura 5):
para cada punto p ∈ Q existen un entorno abierto U de p
y un abierto Θ de Rn que son homeomorfos, esto es, tales
que ∃ ϕ : U → Θ ⊆ Rn homeomorfismo.
Dada una variedad topológica Q, introducimos los siguientes conceptos:
– (U,ϕ) es un entorno coordenado de p (o bien, una carta coorde-
nada o unas coordenadas locales alrededor de p).
– Sea πi : Rn → R, πi(x1, . . . , xn) = xi, entonces a qi ≡ πi◦ϕ : U ⊆
Q → R le llamaremos coordenada i-ésima. También usaremos la
notación (U,ϕ) ≡ (U, q1, . . . , qn).
1Muchos autores no imponen el requisito de ser ANII. En la práctica, para
nosotros, no será restrictivo (véase la Observación (4) más adelante).
23
24CAPÍTULO 2. EL CONCEPTO DE VARIEDAD DIFERENCIABLE
Figure 5
– Una colección de entornos coordenados A = {(Uα, ϕα) : α ∈ I}
es un atlas (topológico) si Q = ∪α∈IUα.
Observaciones:
(1) En la definición se ha supuesto que la dimensión es un número
natural (n ≥ 1). Como caso ĺımite admitiremos n = 0 asum-
iendo R0 := {1} (si Q es localmente homeomorfo a R0 entonces
tendrá la topoloǵıa discreta).
(2) La dimensión de la variedad es única, porque un espacio topoló-
gico no puede ser localmente homeomorfo a Rn y Rm, n 6= m a
la vez. Esto se debe a que ningún abierto ( 6= ∅) de Rn puede ser
homeomorfo a ningún abierto de Rm. Aunque muy intuitivo, la
prueba de este resultado no es en absoluto trivial2.
(3) Un espacio topológico que sea localmente homeomorfo a Rn puede
no ser Hausdorff. De hecho, el ejemplo no trivial de espacio
topológico no Hausdorff que vimos en el caṕıtulo anterior, al final
de la Sección 1.4, prueba que ser localmente homeomorfo a R no
implica ser Hausdorff.
2Es una consecuencia de un resultado clásico en Topoloǵıa, el Teorema de In-
variancia Dominio. Sin embargo, la unicidad de la dimensión de las variedades
diferenciables, que estudiaremos más adelante, śı se puede probar con facilidad a
partir del Teorema de la Función Inversa.
2.1. CONCEPTO DE VARIEDAD TOPOLÓGICA 25
(4) La hipótesis relativa al axioma ANII puede no imponerse en prin-
cipio, si bien otras hipótesis “muy razonables” pueden acabar im-
plicándolo. De hecho, es posible demostrar que, fijadas las otras
hipótesis de la definición de variedad, equivale exigir: (1) Q es
ANII y (2) la topoloǵıa de Q es metrizable con un conjunto nu-
merable de partes conexas3.
Ejercicio. Sea (Q, τ) un espacio topológico localmente homeomorfo a
Rn. Pruébese: (i) Q es ANI, (ii) Q es conexo si y sólo si es arco-conexo,
(iii) las partes conexas de Q son abiertas y cerradas en Q (¿ocurre lo
mismo con las partes conexas del conjunto de los racionales Q?)
Por supuesto, Rn (o cualquier abierto suyo no vaćıo) es una variedad
topológica de dimensión n. En efecto, para probarlo basta considerar
como atlas A = {(Rn, Id)} (Id: aplicación identidad). Sin embargo,
en ocasiones resulta útil usar otros entornos coordenados como, por
ejemplo, las coordenadas polares sobre R2, las coordenadas esféricas
o bien las ciĺındricas sobre R3, etc. (véase el Apéndice 2). Como un
ejemplo expĺıcito menos trivial, en el Apéndice 1 construimos dos atlas
sobre la esfera.
En una variedad topológica (Q, τ) consideremos dos cartas (U,ϕ),
(Ũ , ϕ̃) tales que U ∩ Ũ 6= ∅ y tomemos p ∈ U ∩ Ũ . Entonces, a partir
de los homeomorfismos
ϕ |U∩Ũ : U ∩ Ũ → ϕ(U ∩ Ũ)
ϕ̃ |U∩Ũ : U ∩ Ũ → ϕ̃(U ∩ Ũ)
podemos construir los homeomorfismos
ϕ̃ ◦ (ϕ |U∩Ũ)−1 : ϕ(U ∩ Ũ) ⊆ Rn → ϕ̃(U ∩ Ũ) ⊆ Rn
ϕ ◦ (ϕ̃ |U∩Ũ)−1 : ϕ̃(U ∩ Ũ) ⊆ Rn → ϕ(U ∩ Ũ) ⊆ Rn.
A estos homeomorfismos se les llama cambios de carta o de coordenadas
(véase la Figura 6).
3La metrizabilidad también equivale a la propiedad topológica llamada paracom-
pacidad, que muchos autores usan enlugar de ANII. Aśı, cuando se usa la paracom-
pacidad en lugar de ANII, se permite un conjunto no numerable de partes conexas.
Esta generalidad no es de mucha utilidad práctica (y resulta incluso contraprodu-
cente en algunos contextos, como los resultados de unicidad para la topoloǵıa de
subvariedades).
26CAPÍTULO 2. EL CONCEPTO DE VARIEDAD DIFERENCIABLE
Figura 6
Observación. De acuerdo con la notación ya introducida (U,ϕ) ≡
(U, q1, . . . , qn), (Ũ , ϕ̃) ≡ (Ũ , q̃1, . . . , q̃n) se suele usar la notación
ϕ̃ ◦ (ϕ |U∩Ũ)−1 ≡ (q̃1(q1, . . . , qn), . . . , q̃n(q1, . . . , qn))
ϕ ◦ (ϕ̃ |U∩Ũ)−1 ≡ (q1(q̃1, . . . , q̃n), . . . , qn(q̃1, . . . , q̃n)).
Aśı, para el ejemplo de las coordenadas polares en R2 (Apéndice 2) se
tienen los siguientes cambios de coordenadas:
(x(ρ, θ), y(ρ, θ)); x(ρ, θ) = ρ cos θ, y(ρ, θ) = ρsenθ,
(ρ(x, y), θ(x, y)); ρ(x, y) =
√
x2 + y2, θ(x, y) = 2 · arc tan y
x+
√
x2+y2
.
2.2. Variedades diferenciables
Definiciones 2.2.1 Sea (Q, τ) una variedad topológica de dimensión n:
(1) Diremos que un cambio de cartas entre (U,ϕ) y (Ũ , ϕ̃) es dife-
renciable Cr, r ∈ N ∪ {∞} si las aplicaciones
ϕ̃ ◦ (ϕ |U∩Ũ)−1 : ϕ(U ∩ Ũ) ⊆ Rn → ϕ̃(U ∩ Ũ) ⊆ Rn
ϕ ◦ (ϕ̃ |U∩Ũ)−1 : ϕ̃(U ∩ Ũ) ⊆ Rn → ϕ(U ∩ Ũ) ⊆ Rn
son diferenciables Cr. (Si U ∩ Ũ = ∅ el correspondiente cambio
de coordenadas será diferenciable C∞ por definición.)
2.2. VARIEDADES DIFERENCIABLES 27
(2) Diremos que un atlas A = {(Uα, ϕα) : α ∈ I} es diferenciable Cr
si todos sus cambios de carta son diferenciables Cr.
Por simplicidad de lenguaje, de ahora en adelante por “diferenciable”
entenderemos “diferenciable C∞ ” para los cambios de carta.
Definición 2.2.2 Diremos que un atlas D de Q es una estructura
diferenciable si es un atlas diferenciable (C∞) maximal en el siguiente
sentido:
Si (U,ϕ) es un entorno coordenado de Q cuyos cambios
de cartas con todos los elementos de D son diferenciables
entonces (U,ϕ) ∈ D.
Observaciones:
(1) Cualquier atlas diferenciable A determina una única estructura
diferenciable D(A) tal que A ⊆ D(A).
(2) Dados dos atlas diferenciables A, B se tiene que D(A) = D(B)
si y sólo si A ∪ B es un atlas diferenciable.
Definición 2.2.3 Una variedad diferenciable de dimensión n es una
terna (Q, τ,D) donde (Q, τ) es una variedad topológica de dimension
n y D una estructura diferenciable.
De ahora en adelante, cuando digamos que Q es una variedad diferen-
ciable realmente nos estaremos refiriendo a la terna (Q, τ,D).
Observación. Una misma variedad topológica puede admitir más
de una estructura diferenciable. En efecto, consideremos la variedad
topológica Q = R y los atlas A = {(R, Id)}, B = {(R, x3)}. Si consi-
deramos los cambios de carta entre (U,ϕ) = (R, Id) y (Ũ , ϕ̃) = (R, x3)
tenemos:
ϕ̃ ◦ ϕ−1 : R→ R
x 7→ x3
ϕ ◦ ϕ̃−1 : R→ R
x 7→ x1/3.
Vemos que ϕ ◦ ϕ̃−1 no es diferenciable en cero y, por tanto, D(A) 6=
D(B). De ahora en adelante cuando hablemos de Rn como variedad
diferenciable asumiremos como estructura diferenciable la generada por
el atlas A = {(Rn, Id)}.
28CAPÍTULO 2. EL CONCEPTO DE VARIEDAD DIFERENCIABLE
En el Apéndice 1 construimos expĺıcitamente dos atlas diferencia-
bles naturales sobre la esfera. Ambos generan la misma estructura dife-
renciable la cual, por defecto, será la que consideremos sobre la esfera.
Es digno de reflexión que, aunque en la práctica baste con trabajar
con un atlas diferenciable, resulte conceptualmente necesario consider-
ar “estructuras diferenciables” en la definición de variedad.
Consideremos ahora otros ejemplos:
Ejemplos de variedades diferenciables:
(1) Construyamos una estructura de variedad diferenciable en cual-
quier espacio vectorial real de dimensión n, V n(R), definiendo
tanto la topoloǵıa como la estructura diferenciable. Sea B =
(v1, . . . , vn) una base ordenada cualquiera de V
n. Consideremos
la aplicación biyectiva FB que a cada vector le hace corresponder
sus coordenadas en B, esto es:
F−1B : R
n → V n
(a1, . . . , an) 7→ ∑ni=1 aivi.
Si tomamos otra base distinta B̃ = (ṽ1, . . . , ṽn) podemos consid-
erar igualmente la aplicación biyectiva
F−1
B̃
: Rn → V n
(a1, . . . , an) 7→ ∑ni=1 aiṽi.
Entonces la aplicación FB ◦ F−1B̃ : R
n → Rn es biyectiva y lineal
(en particular, continua y diferenciable). Obviamente, lo mismo
ocurre con la aplicación FB̃ ◦F−1B . Por tanto se trata de un home-
omorfismo. Diremos que U ⊆ V n es un abierto de V n si FB(U)
(y, por tanto, FB̃(U) para cualquier otra base B̃) es un abierto
de Rn. De esta forma queda definida una topoloǵıa sobre V n, que
resulta independiente de la base escogida. Por construcción, V n
es homeomorfo a Rn y, por tanto, Hausdorff y ANII, además de
una variedad topológica de dimensión n. Si tomamos como en-
tornos coordenados A = {(V n, FB) : B base de V n} entonces los
cambios de carta son las aplicaciones FB ◦F−1B̃ que, como hemos
visto, son diferenciables. Por tanto, A es un atlas diferenciable
que genera una estructura diferenciable para V n.
2.2. VARIEDADES DIFERENCIABLES 29
(2) El conjunto de las matrices reales de orden m× n, Mm×n(R) es
una variedad diferenciable de orden m·n. En efecto, basta dotarla
de la estructura diferenciable de Rm·n bajo la identificación na-
tural Mm×n(R) ≡ Rm·n.
(3) Si tenemos dos espacios vectoriales reales V n(R), V m(R) entonces
el conjunto de todas las aplicaciones lineales L(V n, V m) = {f :
V n → V m : f es lineal} es una variedad diferenciable de dimen-
sión n·m. En efecto, esto es inmediato de (1) y de que L(V n, V m)
tiene estructura de espacio vectorial de dimensión n ·m. Una for-
ma natural de definir un atlas es fijar dos bases B y B′ de V n y
V m, respectivamente, y considerar la aplicación biyectiva
f : L(V n, V m) →Mm×n(R)
f 7→ M(f, B′ ← B)
que asocia a cada aplicación lineal f su representación matricial
con respecto a las bases B y B′. (Esta aplicación permite definir
una topoloǵıa y una estructura diferenciable para L(V n, V m) a
partir de las de Mm×n(R) tal y como se hizo en (1) a partir de
Rn.)
(4) Un abierto U(6= ∅) de una variedad diferenciable Q de dimensión
n es también una variedad diferenciable de dimensión n. En efec-
to, basta tomar la restricción a U de la topoloǵıa y los elementos
de la estructura diferenciable de Q.
Por ejemplo, el grupo lineal general de orden n sobre R, Gl(n,R) =
{A ∈ Mn×n(R) : det(A) 6= 0} ⊂ Mn×n(R) es un abierto de
Mn×n(R). De hecho, Gl(n,R) = det−1(R− {0}) siendo
det : Mn×n(R) → R
A 7→ det(A)
una aplicación continua. Por tanto, Gl(n,R) es una variedad di-
ferenciable de dimensión n2.
(5) Sean Q y Q′ dos variedades diferenciables de dimensiones n y n′,
respectivamente, entonces Q×Q′ admite una estructura natural
de variedad diferenciable de dimensión n + n′. En efecto, dadas
dos cartas coordenadas (U,ϕ), ϕ : U → ϕ(U) ⊆ Rn y (U ′, ϕ′),
30CAPÍTULO 2. EL CONCEPTO DE VARIEDAD DIFERENCIABLE
ϕ′ : U ′ → ϕ′(U ′) ⊆ Rn′ de Q y Q′, respectivamente, tomamos
como carta coordenada de Q×Q′
ϕ× ϕ′ : U × U ′ ⊆ Q×Q′ → ϕ(U)× ϕ′(U ′) ⊆ Rn × Rn′
(p, p′) 7→ (ϕ(p), ϕ′(p′)).
Fácilmente se comprueba que si las ϕ, ϕ′ tienen cambios de carta
diferenciables entonces también los tienen ϕ× ϕ′.
En particular, son variedades diferenciables de dimension 2 el
toro S1 × S1 o el cilindro S1 × R.
Notas al concepto de variedad diferenciable:
(1) Si en lugar de considerar espacios localmente homeomorfos a Rn
los consideramos localmente homeomorfos al semiplano superior
Rn+ = {(x1, . . . , xn) : xn ≥ 0} entonces podemos hablar de una
variedad topológica (o diferenciable, en su caso) con borde. De los
puntos que, en algún entorno coordenado (y, por tanto, en todo
entorno coordenado), tienen su última coordenada nula se dice
que están en el borde. Obsérvese que el concepto de diferencia-
bilidad entre abiertos de Rn se extiende naturalmente a abiertos
de Rn+.4 Análogamente, si se toman homeomorfismos con abier-
tos de {(x1, . . . , xn) : xi ≥ 0 ∀i ∈ {1, . . . , n}} y con cambios de
carta diferenciables entonces hablamos de variedad diferenciablecon borde anguloso (o diferenciable a trozos).
(2) Si en lugar de considerar espacios localmente homeomorfos a Rn
los consideramos localmente homeomorfos a Cn, con cambios de
carta holomorfos, entonces tendremos una variedad compleja de
dimensión (compleja) n. Las superficies de Riemann son varieda-
des complejas de dimensión 1.
(3) En general, los posibles estados de un sistema f́ısico (no cuántico
y discreto) tienen intŕınsecamente una estructura de variedad
diferenciable de dimensión n (= número de “grados de libertad”
del sistema).
4Profundizaremos en las variedades con borde dentro del contexto del Teorema
de Stokes, Subsección 9.2.
2.3. APLICACIONES DIFERENCIABLES 31
Más concretamente, en F́ısica (Mecánica, Termodinámica, Rela-
tividad...) es frecuente suponer, al menos impĺıcitamente, que el
conjunto X de los estados de un sistema f́ısico5 admite para cada
estado un subconjunto U ⊆ X que contiene a dicho estado y una
aplicación biyectiva ϕ : U ⊆ X → Θ ⊆ Rn; esto es, podemos
describir ese estado en función de coordenadas en un abierto Θ
de Rn. Más aún, se supone que los cambios de coordenadas son
diferenciables.
Veamos que es suficiente con estos elementos para definir una es-
tructura de variedad diferenciable, salvo por los requisitos topo-
lógicos Hausdorff y ANII. Para definir la topoloǵıa en X, tomare-
mos como base de abiertos de X los subconjuntos ϕ−1(Θ′), siendo
Θ′ cualquier abierto de Rn en el codominio de ϕ. En consecuencia,
obtenemos un espacio topológico (X, τ) que, por construcción, es
localmente homeomorfo a Rn, y además estará dotado de un atlas
diferenciable.
El requisito de que la variedad sea Hausdorff siempre se supone
para la topoloǵıa τ , al menos, impĺıcitamente (pues se da por
hecho que se pueden tomar coordenadas que separen entornos de
dos estados distintos). Como se comentó, la hipótesis ANII no
es en principio imprescindible. Pero, suele haber otras hipótesis
más o menos impĺıcitas para X que acaban por implicar que
sea ANII (matemáticamente, como ya hemos visto, basta con
que la topoloǵıa sea métrica y que X tenga un conjunto nu-
merable de partes conexas; f́ısicamente, parece lógico pensar que
una topoloǵıa que no quedara constructivamente determinada en
un conjunto numerable de pasos se escapaŕıa a las posibilidades
reales de medición).
2.3. Aplicaciones diferenciables entre va-
riedades. Difeomorfismos
Sean Q y Q′ dos variedades diferenciables de dimensiones n y n′,
respectivamente, y f : Q → Q′ una aplicación continua en p ∈ Q.
5En el caso “extremo” de la Relatividad el sistema f́ısico seŕıa el espacio y
tiempo, y sus “estados” los “eventos” aqúı-ahora.
32CAPÍTULO 2. EL CONCEPTO DE VARIEDAD DIFERENCIABLE
De la definición de aplicación continua en un punto que vimos en el
caṕıtulo anterior se tiene que para cada entorno coordenado (U ′, ϕ′) de
Q′ que contenga a f(p) existe un entorno coordenado (U,ϕ) de Q que
contiene a p tal que f(U) ⊆ U ′. En consecuencia, podemos considerar
la aplicación “f vista en coordenadas”, esto es, ϕ′ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ(U) ⊆
Rn → Rn′ , que será continua en p por ser composición de continuas
(véase la Figura 7).
Figura 7
Definición 2.3.1 Sean Q, Q′ dos variedades diferenciables de dimen-
siones n, n′, respectivamente. Diremos que una aplicación f : Q → Q′
continua en p ∈ Q es diferenciable en este punto si para un par de en-
tornos coordenados (U,ϕ) y (U ′, ϕ′) de p y f(p), respectivamente, tales
que f(U) ⊆ U ′ se tiene que la aplicación ϕ′◦f ◦ϕ−1 : ϕ(U) ⊆ Rn → Rn′
es diferenciable en ϕ(p).
Observación. En la Definición 2.3.1 se puede sustituir la expresión
“un par” por “cualesquiera”. En efecto, supongamos que ϕ′ ◦f ◦ϕ−1 es
diferenciable en ϕ(p) y probemos que, para cualesquiera otros entornos
coordenados (Ũ , ϕ̃) y (Ũ ′, ϕ̃′) de p y f(p), respectivamente, también se
tiene que ϕ̃′ ◦ f ◦ ϕ̃−1 es diferenciable en ϕ̃(p). En un entorno de ϕ̃(p)
podemos escribir:
ϕ̃′ ◦ f ◦ ϕ̃−1 = (ϕ̃′ ◦ ϕ′−1) ◦ (ϕ′ ◦ f ◦ ϕ−1) ◦ (ϕ ◦ ϕ̃−1). (2.1)
2.3. APLICACIONES DIFERENCIABLES 33
Como ϕ̃′ ◦ ϕ′−1 y ϕ ◦ ϕ̃−1 son diferenciables en todos los puntos de su
dominio (son cambios de carta) y ϕ′ ◦ f ◦ ϕ−1 es diferenciable en ϕ(p)
(por hipótesis), se tiene de (2.1) que ϕ̃′ ◦ f ◦ ϕ̃−1 es diferenciable en
ϕ̃(p).
Observación. En principio tiene sentido definir si f es diferenciable
Cs, s ∈ N∪{∞}, en p. Ello se debe a que los cambios de carta en Q y Q′
son C∞. Si sólo fueran Cr y Cr
′
, respectivamente, sólo tendŕıa sentido
definir que f es diferenciable Cs, para s ≤ Min{r, r′}. En cualquier
caso, también supondremos por simplicidad que “f es diferenciable”
significa que lo es C∞, salvo que se indique expĺıcitamente lo contrario.
Ejercicio. Comprobar usando la definición que la aplicación f : S2 ⊂
R3 → R, f(x, y, z) = z es diferenciable.
Definición 2.3.2 Dadas dos variedades diferenciables Q, Q′ se dice
que una aplicación f : Q → Q′ es un difeomorfismo si f es biyectiva y
f , f−1 son diferenciables.
El nombre difeomorfismo local se extiende al caso de que sólo se pueda
asegurar sobre f que, para cada p ∈ Q, existen entornos abiertos U de
p y U ′ = f(U) de f(p), tales que la restricción de f a U y U ′ sea un
difeomorfismo.
Definición 2.3.3 Dos variedades diferenciables Q, Q′ son difeomorfas
si existe un difeomorfismo f : Q → Q′.
Ejercicio. Probar que las variedades diferenciables (R,D(A)), (R,D(B))
con A = {(R, Id)}, B = {(R, x3)} son difeomorfas.
Observaciones:
(1) El espacio eucĺıdeo Rn admite infinitas estructuras diferenciables
compatibles con la topoloǵıa usual. Además, si n 6= 4 todas el-
las son difeomorfas. Curiosamente, existen infinitas estructuras
diferenciables sobre R4 que no son difeomorfas6.
(2) Toda variedad diferenciable (¡ANII!) conexa de dimensión 1 es
difeomorfa a R ó a S1.
6La prueba de estos hechos es realmente dif́ıcil.
34CAPÍTULO 2. EL CONCEPTO DE VARIEDAD DIFERENCIABLE
2.4. Hipersuperficies regulares de Rn
Consideremos un abierto U ⊆ R2 y una aplicación f : U → R
diferenciable. Definimos el grafo de f como el subconjunto Graf(f) =
{(x, y, f(x, y)) : (x, y) ∈ U} ⊆ R3. De manera natural, Graf(f) es una
variedad diferenciable de dimensión 2, pues podemos considerar como
carta global la proyección
πz : Graf(f) → U
(x, y, f(x, y)) 7→ (x, y).
Aśı, por ejemplo, en la esfera S2 ⊂ R3 cada “casquete” U±z (véase el
Apéndice 1) puede verse como una variedad diferenciable de este tipo,
es decir, como grafos de las aplicaciones
f± : U ⊆ R2 → R
(x, y) 7→ ±
√
1− x2 − y2
siendo U = {(x, y) ∈ R2 : x2 +y2 < 1}. De esta manera, la carta global
πz arriba definida coincide con las aplicaciones
ϕ±z : U
±
z → U ⊆ R2
(x, y, f±(x, y)) 7→ (x, y)
en el Apéndice 1. Para generalizar esta situación conviene ver S2 como
la “solución” de la ecuación F (x, y, z) := x2 + y2 + z2 = 1. Obsérvese
que en las cartas (U±z , ϕ
±
z ) hemos podido despejar la variable z de esta
ecuación. De hecho, esto se ha podido hacer porque ∂F
∂z
= 2z 6= 0 en
todo U±z .
Con más generalidad, sea U un abierto de R3, F : U → R diferencia-
ble, c0 ∈ Im(F ) y p0 ∈ F−1(c0). Si ∂F∂z (p0) 6= 0 entonces el Teorema de la
Función Impĺıcita (véase el Teorema 2.5.2) permite encontrar abiertos
Vz ⊆ R3 y Dz ⊆ R2, y una aplicación diferenciable φz : Dz ⊆ R2 → R
tales que F−1(c0)∩Vz = {(x, y, φz(x, y)) : (x, y) ∈ Dz}. Obviamente, lo
mismo ocurre si cambiamos el papel de la variable z con el de la varia-
ble x ó y. Esto es, en los puntos donde alguna de las parciales de F es
distinta de 0, la proyección sobre el correspondiente plano coordenado
sirve de carta local (véase la Figura 8).
Además, si dos parciales son distintas de cero en p0 entonces los
cambios de carta resultan ser diferenciables. En efecto, veamos ex-
pĺıcitamente cómo son estos cambios de carta cuando las coordenadas
2.4. HIPERSUPERFICIES REGULARES DE RN 35
Figura 8
con parciales distintas de cero son z e y. En primer lugar, para la
coordenada z tenemos
πz : F
−1(c0) ∩ Vz ∩ Vy → D′z ⊆ R2
(x, y, z) 7→(x, y)
y
π−1z : D
′
z ⊆ R2 → F−1(c0) ∩ Vz ∩ Vy
(x, y) 7→ (x, y, φz(x, y)),
donde φz(x, y) es la función diferenciable dada en el Teorema de la
Función Impĺıcita por ser ∂F
∂z
(p0) 6= 0 (D′z es algún entorno apropiado
de πz(p0) –cualquiera incluido en Dz ∩ πz(Vy)). Análogamente para la
coordenada y:
πy : F
−1(c0) ∩ Vz ∩ Vy → D′y ⊆ R2
(x, y, z) 7→ (x, z)
y
π−1y : D
′
y ⊆ R2 → F−1(c0) ∩ Vz ∩ Vy
(x, z) 7→ (x, φy(x, z), z),
36CAPÍTULO 2. EL CONCEPTO DE VARIEDAD DIFERENCIABLE
donde φy(x, z) es la función dada en el Teorema de la Función Impĺıcita
por ser ∂F
∂y
(p0) 6= 0. Entonces, los cambios de carta son:
πz ◦ π−1y : D′y ⊆ R2 → D′z ⊆ R2
(x, z) 7→ (x, φy(x, z))
y
πy ◦ π−1z : D′z ⊆ R2 → D′y ⊆ R2
(x, y) 7→ (x, φz(x, y)),
que son diferenciables por serlo sus componentes. Obviamente, este
razonamiento puede generalizarse al caso en que el espacio ambiente
es Rn, lo que permite demostrar la Proposición 2.4.2 con la siguiente
definición previa:
Definición 2.4.1 Sea F : U ⊆ Rn → R diferenciable (U abierto) y
sea c0 ∈ Im(F ). Diremos que c0 es un valor regular de F si para todo
p ∈ F−1(c0) se tiene que gradF (p) = ( ∂F∂x1 (p), . . . , ∂F∂xn (p)) 6= 0 (esto es,
al menos una parcial es distinta de cero).
Proposición 2.4.2 Si c0 ∈ R es un valor regular de una aplicación
diferenciable F : U ⊆ Rn → R entonces F−1(c0) admite una estructura
de variedad diferenciable de dimensión n−1, con un atlas diferenciable
generado por las proyecciones sobre los hiperplanos coordenados.
(Remarcamos que en esta proposición estamos considerando la topolo-
ǵıa inducida de Rn, y el atlas diferenciable para F−1(c0) se define por
las proyecciones sobre el plano xi ≡ 0 de un entorno de cada punto
p ∈ F−1(c0) con ∂F∂xi (p) 6= 0, como acabamos de justificar.)
Definición 2.4.3 Si c0 es un valor regular de F : U ⊆ Rn → R
entonces a la hipersuperficie dada por F−1(c0) le llamaremos hipersu-
perficie regular de Rn.
Ejemplos:
(1) La esfera Snq0(r) de centro q0 ∈ Rn+1 y radio r > 0. En efecto, si
q0 = (a
1, . . . , an+1) ∈ Rn+1 entonces Snq0(r) se define como:
{(x1, . . . , xn+1) ∈ Rn+1 : (x1 − a1)2 + · · ·+ (xn+1 − an+1)2 = r2}.
2.4. HIPERSUPERFICIES REGULARES DE RN 37
Sea F : Rn+1 → R la función
F (x1, . . . , xn+1) = (x1 − a1)2 + · · ·+ (xn+1 − an+1)2.
Para ver que es una hipersuperficie regular de Rn+1 debemos
probar que r2 es un valor regular de F . Ahora bien, ∂F
∂xi
= 2(xi−
ai) y, por tanto, ∂F
∂xi
= 0 si y sólo si xi = ai para todo i. Como
q0 6∈ Snq0(r), se tiene que Snq0(r) es una hipersuperficie regular.
(2) Se prueba análogamente que en R3 el elipsoide de semiejes a, b, c >
0 y centro q0 = (a
1, a2, a3)
F (x, y, z) :=
(x− a1)2
a2
+
(y − a2)2
b2
+
(z − a3)2
c2
= 1
es una hipersuperficie regular de R3.
(3) Análogamente, también lo es el hiperboloide de una hoja en R3
para r > 0:
F (x, y, z) := x2 + y2 − z2 = r2
(4) En general, resulta válida la idea intuitiva de que cualquier su-
perficie “suave” S en R3 es una hipersuperficie regular, siempre
que se le pueda asignar de manera continua un vector normal
N . Para convencerse de ello, la idea consiste esencialmente en
tomar como función F la que a cada punto de R3 la asigna la
distancia “con signo” (positiva en el sentido al que apunta N y
negativa en el contrario) del punto a la superficie. Entonces F es
diferenciable en un entorno de S, y admite como valor regular el
0 (S = F−1(0)), véase la Figura 9.
Proposición 2.4.4 Si Q = F−1(c0) ⊆ Rn es una hipersuperficie regu-
lar y f : Rn → R es una aplicación diferenciable entonces f |Q: Q → R
es también diferenciable.
Demostración. Es continua por ser la restricción a Q de una apli-
cación continua. Para ver que es diferenciable, sea p0 ∈ Q y, digamos,
∂F
∂xi
(p0) 6= 0. Consideremos para p0 la carta generada por la Proposición
2.4.2, esto es,
πxi : Vxi ∩ F−1(c0) → Dxi ⊆ Rn−1
(x1, . . . , xn) 7→ (x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn)
38CAPÍTULO 2. EL CONCEPTO DE VARIEDAD DIFERENCIABLE
Figura 9
para abiertos Vxi , Dxi . Se tiene, π
−1
xi
: Dxi → Vxi ∩ F−1(c0) con:
(x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn) 7→
(x1, . . . , φxi(x
1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn), . . . , xn),
siendo φxi la función dada por el Teorema de la Función Impĺıcita
(sobre el codominio R consideramos como carta la identidad Id). Por
tanto,
Id ◦ f ◦ π−1
xi
(x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn)
= f(x1, . . . , φxi(x
1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn), . . . , xn),
que es diferenciable por ser composición de diferenciables. 2
2.5. Subvariedades regulares de Rn
Definición 2.5.1 Sea F : U ⊆ Rn → Rm (n ≥ m) diferenciable
(C∞) y sea c0 ∈ Im(F ). Se dice que c0 es un valor regular de F si la
diferencial de F en p, (dF )p, tiene rango máximo m para todo p ∈
F−1(c0).
Esto es, la matriz (∂F
i
∂xj
(p))i,j ∈ Mm×n(R) tiene rango m para todo
p ∈ F−1(c0).
2.5. SUBVARIEDADES REGULARES DE RN 39
Si m = 1 entonces la matriz anterior se reduce a grad F (p) = ( ∂F
∂x1
(p),
. . . , ∂F
∂xn
(p)) y, por tanto, reobtenemos la definición de valor regular de
la sección anterior. Nuestro objetivo será ahora generalizar la Proposi-
ción 2.4.2 para mostrar que la imagen inversa de cualquier valor regular
es una variedad diferenciable.
Observemos que si (∂F
i
∂xj
(p))i,j tiene rango m entonces habrá alguna
submatriz cuadrada de orden m con determinante distinto de 0. Esto
es, podremos escoger m columnas (que supondremos son las m últimas)
tales que el correspondiente determinante es distinto de 0. En este caso,
el Teorema de la Función Impĺıcita permite asegurar que en la ecuación
F (x1, . . . , xn−m, xn−m+1, . . . , xn) = c0 las variables xn−m+1, . . . , xn son
“despejables” como función de las n−m primeras x1, . . . , xn−m. Esto
es, la proyección sobre las n −m primeras variables sirve como carta
local en F−1(c0) y, además, los cambios de carta resultan diferenciables.
Con más precisión, recordemos ese teorema:
Teorema 2.5.2 (Teorema de la Función Impĺıcita): Consideremos los
abiertos U ⊆ Rn−m, V ⊆ Rm y U × V ⊆ Rn. Supongamos que F :
U ×V ⊆ Rn → Rm es diferenciable y que (x0, y0) ∈ U ×V es tal que la
diferencial respecto de las variables en V de F (dy F )(x0,y0) : R
m → Rm
es un isomorfismo (lineal). Entonces existe un entorno U0 de x0 y W0
de c0 := F (x0, y0) y una aplicación g : U0 ×W0 → V diferenciable tal
que F (x, g(x, c)) = c para todo x ∈ U0 y c ∈ W0.
Si llamamos
gc0 : U0 → V
x 7→ g(x, c0)
entonces F (x, gc0(x)) = c0 para todo x ∈ U0, y la coordenada y se
despeja en función de la x (y = gc0(x)).
Razonando entonces como en la sección anterior y usando el Teo-
rema 2.5.2 se obtiene la siguiente generalización de las Proposiciones
2.4.2 y 2.4.4:
Teorema 2.5.3 Sea F : U ⊆ Rn → Rm diferenciable y c0 ∈ Im(F )
un valor regular. Entonces Q = F−1(c0) es una variedad topológica, y
las proyecciones sobre los subespacios coordenados de dimensión n−m
generan canónicamente una estructura diferenciable. Además, si f :
U ⊆ Rn → Q′ es diferenciable entonces también lo es f |Q.
40CAPÍTULO 2. EL CONCEPTO DE VARIEDAD DIFERENCIABLE
(Como en la Proposición 2.4.2, a fin de generar un atlas diferenciable
se entiende aqúı que, para cada p ∈ Q, si las columnas i1, . . . , im de
dFp son independientes entonces se toma como función coordenada en
un entorno de p la proyección sobre las otras n −m variables.) A las
variedades aśı obtenidas las llamaremos subvariedades regulares de Rn.
Ejemplo. Consideremos el grupo ortonormal de dimensión 2
O(2,R) = {A ∈M2×2(R) : A · At = Id} ⊂ R4.
Veamos que O(2,R) es una variedad diferenciable de dimensión 1. En
primer lugar tenemos que M2×2(R) ≡ R4. Ahora bien, A ∈ O(2,R) si
y sólo si A · At = Id, es decir, si y sólo si A =
(
a b
c d
)
≡ (a, b, c, d)
verifica
a2 + b2 = 1
ac + bd = 0
c2 + d2 = 1.
Por tanto, si definimos
F : R4 → R3
(a, b, c, d) 7→ (a2 + b2, ac + bd, c2 + d2),
tenemos que O(2,R) = F−1(1, 0, 1). Basta con comprobar que (1, 0, 1)
es un valor regular de F , esto es, que el rango de (d F )A es 3 para todo
A ∈ O(2,R). En