4ESO opB_Tema 13_Vectores

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VECTORES
4º E.S.O. Académicas
VECTOR FIJO EN EL PLANO
Un vector fijo es un segmento orientado y queda determinado
por dos puntos, uno como comienzo A y otro como final B.
Se representa como AB
Módulo: Distancia entre A y B. Se representa |AB|
Dirección: Es la de la recta que pasa por A y por B.
Sentido: El de recorrido del vector. De A a B o de B a A.
Origen: A.
Extremo: B.
→
→
A
B
AB
→
O
P
→
OP
(a , b)
a
b
VECTOR DE POSICIÓN DE UN PUNTO.
→
OP Vector de posición del punto P
→
OP = (a , b)
→z = (2 , 3) →t = (0 , 3) →u = (–3 , –2) →v = (–4 , 0) 
→w = (–0’5 , –4) →p = (5 , –2) 
COORDENADAS DE UN VECTOR
→
z 
→
t 
→
u 
→
v 
→
w 
→
p 
Coordenadas del vector que une dos puntos.
A (x1,y1)
B (x2,y2)
→
AB = (x2 – x1 , y2 – y1)
COORDENADAS DE UN VECTOR
Ejemplo:
Hallar las coordenadas de PQ y de QP sabiendo que P(–5 , 3) y Q(7 , 1)
→ →
→
PQ = (7 , 1) – (–5 , 3) = (12 , –2)
→
QP = (–5 , 3) – (7 , 1) = (–12 , 2)
VECTORES LIBRES EN EL PLANO
Dos vectores son equipolentes si tienen el mismo módulo,
dirección y sentido.
Un vector libre es el conjunto formado por un vector y todos
sus equipolentes. Se representan con uno cualquiera de los
vectores que pertenece al conjunto encerrado entre llaves, o con
letras minúsculas.
A
B
AB
→
C
D
CD
→ →u
{AB}= u→ →
AB ≠
→
CD
→ {AB} ={CD}= u→ →→
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
P
Q
VECTORES LIBRES EN EL PLANO
Indica los vectores que son equipolentes:
AB
����
CD
����
EF
���
GH
����
IJ
��
KL
����
MN
�����
PQ
����
RS
����
TU
����
R
S
T
U
VECTORES Y SUS OPERACIONES
Producto de un vector por un número.
El vector se designa por y se llama opuesto de 
→u
→2u
→–3u
→0,5u
→0u = 0→
→–1u →–u →u
1 1 1 1u (x , y ) k u (k x , k y )→ =
� �
→u = (2 , 1) 
→3u = (6 , 3) 
→u
VECTORES Y SUS OPERACIONES
Producto de un vector por un número.
VECTORES Y SUS OPERACIONES
Suma y resta de vectores.
→u →v
→u
→u
→u →–v
→v
→v
u + v→ →
u – v→ →
1 1
1 2 1 2
2 2
u (x , y )
u v (x x , y y )
v (x , y )

→ ± = ± ±

�
� �
�
→u = (2 , 3) →v = (5 , –2) →u +→v = (7 , 1) 
→v
→u
VECTORES Y SUS OPERACIONES
Suma y resta de vectores.
COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES
Dados dos vectores, x, y, y dos números, a, b, el vector ax+by
es combinación lineal de x e y.
→ → → →
→ →
→y
→x
3x + 2y→ →
Expresar un vector como combinación lineal de vectores.
→v
→u
2x + 2y→ →
→v
→w→u →v
→w =
Se dice que u , v y w son linealmente dependientes. → → →
COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES
Si u = (2 , 3) ; v = (3 , –1) y w = (8 , 1), halla el valor de a y b para que se 
verifique que w = au + bv
→ → →
→ → →
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
8 2a 3b
8,1 a 2, 3 b 3, 1 8,1 2a 3b, 3a b
1 3a b
= +
= + − → = + − → 
= −
a 1
Resolviendo el sistema
b 2
=
→ 
=
w u 2 v= +
��� � �
Ejemplo:
PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES
Se llama producto escalar de dos vectores a:u y v
� �
�u v u v cos(u , v )⋅ = ⋅ ⋅
� � � � � �
Propiedades:
1) u v 0 u v si u 0 y v 0⋅ = → ⊥ ≠ ≠
� �� � � � � �
�
�
(u , v ) agudo u v 0
2)
(u , v ) obstuso u v 0
 → ⋅ >

→ ⋅ <
� � � �
� � � �
3) u v v u⋅ = ⋅
� � � �
4) (u v) ( u ) v u ( v)λ ⋅ = λ ⋅ = ⋅ λ
� � � � � �
5) u (v w ) u v u w⋅ + = ⋅ + ⋅
� � � � � � �
Expresión analítica del producto escalar:
1 1 B
2 2 B
u (x , y )
v(x , y )



�
�
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
u v x i y j x i y j
x x i i x y i j y x j i y y j j
x x 1 x y 0 y x 0 y y 1 x x y y
⋅ = + ⋅ + =
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = +
� � � �� �
� � � � � � � �
1 2 1 2u v x x y y⋅ = +
� �
�i i i i cos( i , i ) 1⋅ = ⋅ ⋅ =
� � � � � �
�i j i j cos( i , j) 0⋅ = ⋅ ⋅ =
� � � � � �
PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES
i (1, 0)
j (0,1)
=
=
�
�
Dados los siguientes vectores:
a) Calcular 
b) Averiguar el valor de k para que 
→u = (2 , –3) →v = (5 , 4) →w = (k , 7) 
→→u · v
→→v w┴
→→u · v = (2 , –3) · (5 , 4) = 2 · 5 + (–3) · 4 = 10 – 12 = –2a)
→→v · w = (5 , 4) · (k , 7) = 5 · k + 4 · 7 = 5k + 28 b)
5k + 28 = 0 →
→v w┴ k = – — = – 5’6
28
5
PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES
Módulo de un vector (en una base ortonormal):
→
i
→
j
x
y
→u = (x , y)B →u
� 2 2u u u u cos(u , u ) u cos 0 u⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =
� � � � � � � �
2 2 2 2 2u u u x y u x y= ⋅ = + → = +
� � � �
2 2u x y= +
�
PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES
Ángulo de dos vectores (en una base ortonormal):
� � u vu v u v cos(u , v ) cos(u , v )
u v
⋅
⋅ = ⋅ ⋅ → =
⋅
� �
� � � � � � � �
� �
1 1 B 2 2 Bu (x , y ) v (x , y )
� �
1 2 1 2u v x x y y⋅ = +
� �
2 2
1 1u x y= +
�
2 2
2 2v x y= +
�
� 1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
x x y y
cos(u , v )
x y x y
+
=
+ ⋅ +
� �
PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES
Ejemplo: Sean los vectores:
a) Calcular 
b) Hallar el ángulo de
c) Hallar un vector ortogonal a 
d) Hallar un vector unitario ortogonal a 
→u = (12 , 5) →v = (2 , –1) 
u y v
� �
u y v
� �
u
�
v
�
a)
2 2u 12 5 169 13= + = =
� 2 2v 2 1 5= + =
�
b) � �
12 2 5 1 19
cos(u , v ) 0 ' 6536 (u , v ) 49 º11 '5, 7 ''
13 5 13 5
⋅ − ⋅
= = = → =
⋅ ⋅
� � � �
c) (–5 , 12) → (–5k , 12k) k ≠ 0
d) (1 , 2) es perpendicular a . El módulo es v
�
5
1 2 5 2 5
El vector , , es ortogonal a v y unitario.
5 55 5
  
=        
�
ECUACIONES DE LA RECTA
Ecuación vectorial de la recta.
x p d= + λ
���
→
j
→
i
O
→
p
P (p1 , p2)
X (x , y)
→
x
→
d
Datos: Punto P de la recta y vector director de la recta 
→
d
→
i
x p d= + λ
���
1 2 1 2(x, y) (p , p ) (d ,d )= + λ
1 1
2 2
x p d
y p d
= + λ 

= + λ 
1 1
2 2
x p d
y p d
= + λ 

= + λ 
ECUACIONES DE LA RECTA
Ecuaciones paramétricas de la recta.
Datos: Punto P de la recta y vector director de la recta 
→
d
1
1 1
1
2
2 2
2
x p
x p d
d
y p
y p d
d
− 
= + λ → λ = 


− = + λ → λ =

1 2
1 2
x p y p
d d
− −
=
1 2
1 2
x p y p
d d
− −
=
ECUACIONES DE LA RECTA
Ecuación continua de la recta.
Datos: Punto P de la recta y vector director de la recta 
→
d
1 2
1 2
x p y p
d d
− −
=
2 1 1 2
2 1 2 1 1 2
d (x p ) d (y p )
d x d y d p d p 0
Ax By C 0
− = −
− − + =
+ + =
Ax By C 0+ + =
ECUACIONES DE LA RECTA
Ecuación general o implícita de la recta.
Datos: Punto P de la recta y vector director de la recta 
→
d
Ecuación explícita de la recta. Pendiente de la recta.
y mx n= + m = pendiente de la recta.
n = ordenada en el 
origen.
Ax C A C
Ax By C 0 y y x
B B B
− − − −
+ + = → = → = +
O
P
X
d1
d2α α
2
1
A d
B d
= 

= −  2
1
Pendiente de r tg
d A
tg m
d B
= α
α = = − =
ECUACIONES DE LA RECTA
Vectorial:
Paramétricas:
Implícita:
Continua:
Explícita:
x p d= + λ
���
1 1
2 2
x p d
y p d
= + λ 

= + λ 
1 2
1 2
x p y p
d d
− −
=
Ax By C 0+ + =
y mx n= +
ECUACIONES DE LA RECTA
Ejemplo: Expresar de todas las formas posibles la ecuación de la recta que
pasa por A(–2 , 1), y B(5 , 4).
x ( 2,1) (7,3)= − + λ
�
d AB (5,4) ( 2,1) (7,3)= = − − =
�����
x 2 7
y 1 3
= − + λ

= + λ 
x 2 y 1
7 3
+ −
=
3(x 2) 7(y 1) 3x 7y 13 0+ = − → − + =
3 13
y x
7 7
= +
Vectorial:
Paramétricas:
Implícita:
Continua:
Explícita:
ECUACIONES DE LA RECTA
Ejemplo: Expresar de todas las formas posibles la ecuación de la recta
r: 2x – y + 2 = 0
x ( 1,0) (1, 2)= − + λ
�
d AB ( 1,0) (0,2) ( 1, 2) ó (1,2)= = − − = − −
�����
x 1
y 2
= − + λ

= λ 
x 1 y
1 2
+
=
2(x 1) y 2x y 2 0+ = → − + =
y 2x 2= +
Vectorial:
Paramétricas:
Implícita:
Continua:
Explícita:
A ( 1,0) B (0,2)= − =
ECUACIONES DE LA RECTA
POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS
Secantes Paralelas Coincidentes
Ejemplo:
x 5
r :
y 3
= − λ

= λ
x 1 2
s :
y 6 3
= − + λ

= − λ
r
r
s
d ( 1,3)
d
d (2, 3)
 = −
→
= −
���
���
���� sd Se cortan→
���
x 5 y
r : 3x y 15 0
1 3
−
= → + − =
−
( ) ( )3 1 2 6 3 15 0
3 6 6 3 15 0
3 12
4
− + λ + − λ − =
− + λ + − λ − =
λ =
λ =Punto de corte (7, 6)= −
POSICIÓN RELATIVADE DOS RECTAS
Ejemplo:
x 2
r :
y 5 3
= + λ

= − λ
x 2
s :
y 3 6
= λ

= − λ
r
r s
s
d (1, 3) Son paralelas
d d
o coincidentesd (2, 6)
 = −
→ →
= −
���
��� ���
����
1
2 2
Punto de r (2,5) Son paralelas1
5 3 6
3
λ =
= λ 
= → → → 
= − λ λ = − 
POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS
Ejemplo:
r : 2x 5y 12 0− − =
x 11 3
s :
y 2
= − + λ

= − λ
r
r
s
n (2, 5)
d
d (3, 1)
 = −
→ ⊥
= −
���
���
��� sd r y s se cortan→
���
( ) ( )2 11 3 5 2 12 0
22 6 10 5 12 0
11 44
4
− + λ − − λ − =
− + λ − + λ − =
λ =
λ = Punto de corte (1, 2)= −
POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS
Ejemplo:
r : 3x 4y 5 0+ − =
s : x 3y 6 0− − =
r
r
s
n (3,4)
n
n (1, 3)
 =
→
= −
���
���
���� sn r y s se cortan→
���
Punto de corte (3, 1)= −
r : 3x 4y 5 0 3x 4y 5 3x 4y 5
s : x 3y 6 0 x 3y 6 3x 9y 18
13y 13
y 1 x 3
+ − = + = + =  
→ →  
− − = − = − + = −  
= −
= − → =
PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD
Dos rectas son paralelas o perpendiculares si lo son sus
vectores directores.
Ejemplo 1: En paramétricas o continua.
x 5 3
r :
y 1 2
= − λ

= + λ
x 2 y 1
s :
6 2
− −
=
−
r
r s
s
d ( 3,2)
d d r s
d (6, 2)
 = −
→ →
= −
���
��� ���
� ����
Ejemplo 2: En forma implícita.
r : 2x 3y 13 0
s : 3x 2y 5 0
+ − =
− + + =
r r
r s
s s
n (2,3) d (3, 2)
d d r s
n ( 3, 2) d (2,3)
 = = − 
→ → ⊥ → ⊥ 
= − =  
��� ���
��� ���
��� ���
Hallar una recta paralela y otra perpendicular a r que pasen
por P(6 , 4).
x 3 5
r :
y 7 2
= + λ

= − λ
La recta paralela a r que pase por P(6 , 4) es: 
x 6 5
r :
y 4 2
= + λ

= − λ
La recta perpendicular a r que pase por P(6 , 4) es: 
x 6 2
r :
y 4 5
= − λ

= − λ
PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD