2ESO_Tema 12_Cuerpos geometricos_Areas_Volumenes

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CUERPOS
GEOMÉTRICOS.
ÁREAS Y ÁREAS Y 
VOLÚMENES.
2º E.S.O.
ÁREAS DE POLÍGONOS
h
b
h
b
h
b
A
2
⋅
=
b h
b
A = ⋅b h A = ⋅b h
b
ÁREAS DE POLÍGONOS
D
d
b
B
h
a
A
2
⋅
=
D d
B
( )
A
2
+ ⋅
=
B b h
l
( )
A
2 2
⋅ ⋅ ⋅
= =
n l a p a
=n nº de lados
ÁREA Y LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA
r
r
nº
2A = π⋅ r
2= ⋅π⋅l r
2 nº
A
360º
π⋅ ⋅
=
r
2 nº
360º
⋅ π ⋅ ⋅
=
r
l
SUPERFICIE DE UN PRISMA
ÁREA LATERAL = Perímetro de la base · altura
ÁREA TOTAL = ÁREA LATERAL + 2 · ÁREA DE LA BASE
Hallar el área total de una celda con
forma de prisma de base hexagonal de
un panal de abejas, según el dibujo:
SUPERFICIE DE UN PRISMA
2
LATERALA p h 4 6 8 192 mm= ⋅ = ⋅ ⋅ =
2
TOTAL LATERAL BASEA A A 192 41'52 233'52 mm= + = + =
2 2 2 2 2 2
p p p4 a 2 a 4 2 12 a 12 3'46= + → = − = → = =
p 2
BASE
p a 24 3'46
A 41'52 mm
2 2
⋅ ⋅
= = =
SUPERFICIE DE UN ORTOEDRO
c
( )TOTALA 2 ab bc ac= + +
a
b
Hallar el área total de este ortoedro:
SUPERFICIE DE UN ORTOEDRO
( ) 2TOTALA 2 6 3 6 2 2 3 72 cm= ⋅ + ⋅ + ⋅ =
SUPERFICIE DE UNA PIRÁMIDE
( )LAT
1 1 Perímetro de la base
A
2 2 2
⋅
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
a
n l a n l a
TOTAL LAT BASE
Perímetro de la base Perímetro de la base
A A A
2 2
⋅ ⋅
= + = +
a a'
Hallar la superficie de la pirámide de Keops que se detalla a
continuación:
h =160 m
l = 240 m
a’ = 120 m
SUPERFICIE DE UNA PIRÁMIDE
( )
22 2 2h 160 120 40000 200 m= + = + = =a a'
( ) 2
LAT
4 240 200Perímetro de la base
96000 m
2 2
⋅ ⋅⋅
= = =
a
A
SUPERFICIE DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE
( )
( )
LAT
Lado base 1 + Lado base 2 H
A nº de lados
2
⋅
= ⋅
TOTAL LAT BASESA A A= +
TRONCO DE PIRÁMIDE
Hallar el área lateral y total del siguiente tronco de pirámide
cuandrangular regular:
2 23 1 2 '83 m= − =a
( ) 2
LATERAL
4 2 2 '83
A 4 33'96 m
2
+ ⋅
= ⋅ =
2 2 2
TOTAL LATERAL BASESA A A 33'96 2 4 53'96 m= + = + + =
SUPERFICIE DE UN CILINDRO
LATERALA 2 h= π ⋅r
2
TOTAL LATERAL BASEA A 2 A 2 h 2= + ⋅ = π + πr r
Hallar el área total de la figura (en centímetros):
SUPERFICIE DE UN CILINDRO
2
LAT 1A 2 1 3 18'85 cm= ⋅ π ⋅ ⋅ =
2
LAT 3A 2 2 5 62 '83 cm= ⋅π ⋅ ⋅ =
1 2 3
2
TOTAL FIGURAA 18'85 150 '8 62 '83 232 '48 cm= + + =
2 2
TOTAL2A 2 3 5 2 3 94 '25 56 '55 150 '8cm= ⋅ π⋅ ⋅ + ⋅ π ⋅ = + =
SUPERFICIE DE UN CONO
LATERALA = π⋅ ⋅r g
2
TOTAL LATERAL BASEA A A= + = π⋅ ⋅ + π ⋅r g r
Hallar el área lateral y total del cono de la figura:
2 2g 12 5 13 cm= + =
SUPERFICIE DE UN CONO
2A r 5 13 204 '20 cm= π⋅ ⋅ π ⋅ ⋅ =g =
2
TOTAL LATERAL BASEA A A 204 '20 78'54 282 '74 cm= + = + =
2
LATERALA r 5 13 204 '20 cm= π⋅ ⋅ π ⋅ ⋅ =g =
2 2 2
BASEA r 5 78'54 cm= π⋅ π⋅ ==
SUPERFICIE DE UN TRONCO DE CONO
( )LATERALA = π⋅ ⋅r + r' g
( ) 2 2TOTAL LATERAL BASEA A A= + = π⋅ ⋅ + π⋅ + π⋅r + r' g r r'
Hallar el área lateral y total del tronco de cono de la figura:
SUPERFICIE DE UN TRONCO DE CONO
( ) ( ) 2LATERALA 15 10 13 325 1020,5 cm= π⋅ ⋅ π ⋅ + ⋅ = π =r + r' g =
( ) 2 2 2 2 2TOTALA 1020,5 15 10 2041 cm= π⋅ ⋅ + π⋅ + π⋅ = + π⋅ + π⋅ =r + r' g r r'
SUPERFICIE DE LA ESFERA
La superficie de la esfera se llama superficie esférica. Coincide
con la superficie lateral del cilindro que la envuelve.
22 2 4= π ⋅ = πA R R R2LATERAL DEL CILINDRO 2 2 4= π ⋅ = πA R R R
2
ESFERA 4= πA R
SUPERFICIE DE LA ESFERA
La relación entre la superficie de la esfera y la del cilindro que
la envuelve también se cumple para porciones de esfera.
SUPERFICIE DE LA ESFERA
La cúpula de un edificio tiene una altura de 4m y corresponde
a una esfera de 9m de radio. Calular su superficie.
22 9 4 226 m= π⋅ ⋅ =S
SUPERFICIE DE LA ESFERA
La cúpula de un edificio tiene una altura de 4m y corresponde
a una esfera de 9m de radio. Calular su superficie.
22 9 4 226 m= π⋅ ⋅ =S
VOLUMEN DEL PRISMA Y DEL CILINDRO
Los prismas y los cilindros son figuras prismáticas.
V = ABASE · Altura V = ABASE · Altura = πr
2 · a
Hallar el volumen de un prisma hexagonal regular de lado de la base 30 cm y
1 m de altura.
2 2apotema 30 15 26 cm= − ≈
VOLUMEN DEL PRISMA Y DEL CILINDRO
2
BASE
Perímetro apotema 30 6 26
A 2340 cm
2 2
⋅ ⋅ ⋅
= = =
2 3
PRISMA BASEV A Altura 2340 cm 10 cm 234000 cm 234 litros= ⋅ = ⋅ = =
Hallar el volumen de un cilindro de 30 cm de radio y 1 m de altura.
30 cm
1 m
VOLUMEN DEL PRISMA Y DEL CILINDRO
2 2 3
CILINDRO BASEV A Altura 30 100 282600 cm 282,6 litros= ⋅ = π ⋅ = π⋅ ⋅ = =r a
VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE
Pirámide
1
V Área de la base Altura
3
= ⋅
Hallar el volumen de una pirámide de altura 20 cm. La base es un triángulo
rectángulo de 10 cm de hipotenusa y 6 cm un cateto.
2 210 6 8 cm= − =c
VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE
2
BASE
6 8
A 24 cm
2
⋅
= =
3
PRISMA
1
V 24 20 160 cm
3
= ⋅ ⋅ =
20 cm
VOLUMEN DEL TRONCO DE PIRÁMIDE
Tronco de Pirámide Pirámide grande Pirámide pequeñaV V V= −
3
1
Pirámide pequeña Pirámide grande
2
V V
 
= ⋅ 
 
a
a
VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE
Hallar el volumen del siguiente tronco de pirámide:
2 3
PIRÁMIDE GRANDE
1
V 8 12 256 cm
3
= ⋅ ⋅ =
3
6 
3
3 3
PIRÁMIDE PEQUEÑA
6
V 256 cm 32 cm
12
 
= ⋅ = 
 
3
TRONCO DE PIRÁMIDE
V 256 32 224 cm= − =
VOLUMEN DEL CONO Y TRONCO DE CONO
2
Cono
1 1
V Área de la base Altura
3 3
= ⋅ = πr a
Tronco de Cono Cono grande Cono pequeñoV V V= −
VOLUMEN DEL TRONCO DE CONO
Hallar el volumen de un tronco de cono de 10 cm de altura cuyas bases
tienen radios de 6 cm y 2 cm.
x 10 x
2x 20 6x 4x 20 x 5 cm
6 2
+
= → + = → = → =
Altura cono grande = 15 cm
Tronco de Cono Cono grande Cono pequeño
2 2 3
V V V
1 1
6 15 2 5 544 cm
3 3
= − =
= π⋅ ⋅ − π⋅ ⋅ =
VOLUMEN DE LA ESFERA
3
Esfera
2 4
V Volumen del cilindro que la contiene
3 3
= = πR
VOLUMEN DE LA ESFERA
3 3 3
Esfera
4 4
V 9 972 3053,63 cm
3 3
= π = ⋅π ⋅ = ⋅ π ≈R
Hallar el volumen de un sector esférico de 60º correspondiente a una esfera
de 9 cm de radio.
3
3360º 3053,63 cm 60º 3053,63x 509 cm
360º60º x
→ ⋅
→ = ≈
→ 
3
SECOR ESFÉRICO
V 509 cm≈
VOLUMEN DE LA ESFERA
3 3
BALÓN
4
V 25 65417 cm
3
= ⋅π ⋅ ≈
El radio de un balón es 25 cm, y sabemos que el grosor de la goma es 3 mm.
¿Cuántos litros de goma son necesarios para fabricar un balón?
4 3 3
ESFERA INTERIOR
4
V 24,7 63090 cm
3
= ⋅ π⋅ ≈
3
GOMAV 65417 63090 2327 cm 2,327 litros= − = =
Solución: Se necesitarán 2,33 litros de goma aproximadamente.
LA TIERRA. MERIDIANOS Y PARALELOS
Los meridianos son semicircunferencias cuyos extremos
coinciden con los polos.
LA TIERRA. MERIDIANOS Y PARALELOS
Los paralelos son circunferencias sobre la superficie terrestre
tales que el plano que las contiene es perpendicular al eje
terrestre.
LA TIERRA. MERIDIANOS Y PARALELOS LA TIERRA. MERIDIANOS Y PARALELOS
La longitud de un lugar M es la medida en grados del arco,
medido sobre el Ecuador, formado por el meridiano del lugar y
el meridiano de Greenwich.
LatitudLatitud
Longitud
LA TIERRA. MERIDIANOS Y PARALELOS
La latitud del lugar M es la medida en grados del arco, medido
sobre el meridiano que pasa por M, formado por el Ecuador y el
paralelo de M.
LatitudLatitud
Longitud
LA TIERRA. MERIDIANOS Y PARALELOS