CLASE18 - kevin Bellido

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GEOMETRÍA 
TEMA: 
Cono 
 
P 
Definición.- 
Se denomina superficie cónica a la superficie generada por una recta que se 
desplaza por una línea curva plana simple abierta o cerrada y un punto fijo, no 
contenido en el plano de la curva 
SUPERFICIE CÓNICA 
Vértice 
Generatriz 
Hoja o 
manto 
Hoja o 
manto 
Directriz 
Superficie 
Cónica 
O 
Directriz.- 
Línea curva plana simple 
abierta o cerrada. 
Vértice.- 
Punto fijo y exterior al plano 
que contiene a la directriz. 
Generatriz.- 
Cada recta que contiene al 
vértice y cualquier punto de 
la directriz. 
Definiciones 
CONO 
Definición.- 
Se denomina cono a la unión de la sección determinada por un plano secante a una 
superficie cónica cerrada y una parte de esta superficie comprendida entre el vértice y el 
plano. 
 
 
P 
H 
V 
Vértice Superficie 
lateral 
Altura 
Base 
Plano de la 
directriz 
Directriz 
Generatriz 
CONO CIRCULAR RECTO O DE REVOLUCIÓN 
Definición.- 
Es el cono de base circular, cuyo centro 
es la proyección ortogonal del vértice al 
plano de la base. 
VO’B: 
g² = h² + r² 
Un cono de revolución, es generado por 
la revolución de un triángulo rectángulo 
alrededor de un eje que contiene a uno 
de los catetos. 
En un cono de revolución, el segmento 
que une el vértice con el centro de la 
base se llama eje y todas las 
generatrices son congruentes. 
 
h 
r 
g 
O A B 
V 
g g 
r 
360° 
SL = 𝜋rg 
ST = 𝜋r(g + r) 
V = 
1
3(SB)h 
DESARROLLO DE UN CONO CIRCULAR RECTO 
 
 
 
O r A B 
V 
g g 
B 
r 
g 
O’ r 
Superficie 
lateral 
Base 
 
Medida del ángulo central 
del sector circular del 
desarrollo de la superficie 
lateral: 
 𝜷 = 𝟑𝟔𝟎 rg 𝛽 
CONOS CIRCULARES SEMEJANTES 
Al trazar un plano paralelo a la base de un 
cono y que interseca a la superficie lateral, 
se obtiene un cono semejante al cono 
original. k
r
R
h
H
g
G

1) Las generatrices, las alturas y los radios 
de las bases, son proporcionales. 
2) Las áreas de las bases, áreas laterales 
o totales de los conos, son proporcionales 
a los cuadrados de los elementos 
homólogos. 
3) Los volúmenes de los conos son 
proporcionales a los cubos de los 
elementos homólogos. 
3
3
3
3
3
3
3
1
k
r
R
h
H
g
G
V
V

2
2
2
2
2
2
2
k
r
R
h
H
g
G
b
B

TEOREMAS 
TRONCO DE CONO 
Definición.- Es la unión de una parte del 
cono, que incluye a la base, y la sección 
determinada por un plano secante a 
todas las generatrices. 
 
 
 
A 
V 
B A 
B 
TRONCO DE CONO DE BASES 
PARALELAS 
Definición.- Se denomina tronco de cono 
de bases paralelas al tronco de cono 
cuyas bases están contenidas en planos 
paralelos. 
 
A 
B A 
B 
TRONCO DE CONO CIRCULAR RECTO O DE REVOLUCIÓN 
Definición.- Es el tronco de cono circular recto de bases paralelas. 
 
O 
R 
A B 
g g 
O r A A 
R 
O’ 
SL = 𝜋 (R + r) g 
ST = SL + 𝜋R2 + 𝜋 r2 
V = 
h
3 (S + S’ + S S’) 
V = 
π h
3 (R
2+ r2+ Rr) 
h 
DESARROLLO DE UN TRONCO DE CONO CIRCULAR RECTO DE 
BASES PARALELAS 
 
 
 
 
O 
R 
A B 
g g 
O r 
A A 
r 
R 
O 
O 
A B 
g 
R 
O’ 
Superficie lateral 
del tronco de 
revolución 
Base circular 1 
Base circular 2 
GEOMETRÍA 
TEMA: 
Superficies de 
revolución 
 
 
 SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN 
Definición.- 
Se denomina superficie de revolución, 
a la superficie que se genera por la 
rotación de una línea plana (recta o 
curva) alrededor de una recta coplanar 
denominada eje de giro. 
Eje de Giro 
A 
B 
C 
D 
E 
A 
B 
C 
D 
E 
 
 
 
 
 
 
 
 
ÁREA DE LA SUPERFICIE GENERADA POR LA REVOLUCIÓN DE UN 
SEGMENTO, ALREDEDOR DE UN EJE COPLANAR 
Teorema.- 
El área de la superficie generada por la 
revolución de un segmento, alrededor 
de un eje coplanar con él, es igual al 
producto de las longitudes, de la 
circunferencia cuyo radio es la parte de 
mediatriz de dicho segmento y de la 
proyección ortogonal del segmento 
sobre el eje. 
 
 
S = 2𝝅(OM)(PQ) 
B 
L 
A P 
O 
M 
Q 
 
 
SUPERFICIE GENERADA POR LA REVOLUCIÓN DE UNA POLIGONAL 
REGULAR 
Teorema de Arquímedes.- 
El área de la superficie generada por la revolución de una poligonal regular alrededor de 
un eje coplanar con ella y que pasa por su centro, es igual al producto de las longitudes, 
de su proyección ortogonal sobre el eje y de la circunferencia cuyo radio es la apotema 
de la poligonal regular. 
 
S = 2𝝅(ap)PQ 
P 
Q 
360° A 
B 
C 
D 
ap 
O 
P 
Q 
360° 
A 
B 
C 
D 
ap 
O 
A 
B 
C 
D 
P 
O 
Q 
ap 
360° 
ap 
ap S 
T 
Demostración: 
SABCD = Área generada por la rotación de la 
poligonal ABCD regular alrededor del eje 
SABCD = SAB + SBC + SCD 
SABCD = 2𝜋(PS)(ap) + 2𝜋(ST)(ap) + 2𝜋(TQ)(ap) 
SABCD = 2𝜋(PS + ST + TQ)(ap) 
SABCD = 2𝜋(PQ)(ap) 
ZONA ESFÉRICA 
Definición.- 
Se denomina zona esférica, a la parte 
de una superficie esférica comprendida 
entre dos circunferencias determinadas 
por dos planos paralelos entre si, 
secantes a la superficie esférica. 
 
 
h R O 
Teorema.- 
El área de una zona esférica es igual al producto de las longitudes de una 
circunferencia máxima de la superficie esférica que lo contiene y la altura de la zona 
esférica. 
O 
A 
h 
R 
B 
P 
Q 
O 
R 
h 
S 𝑧𝑜𝑛𝑎 = 2𝜋Rh 
CASQUETE ESFÉRICO 
Definición.- 
Se denomina casquete esférico a la 
parte de una superficie esférica 
determinada por un plano secante. 
ΔABC, relac. mét.: 
(AB)² = (2R)(h) 
Teorema.- 
El área de un casquete esférico, es igual 
al producto de las longitudes de una 
circunferencia máxima de la respectiva 
superficie esférica y la altura del 
casquete. 
h 
R 
A 
B 
O 
h 
R 
O 
h 
R 
A 
B 
O 
R 
C 
Scasq esf = (2𝝅R)h 
Scasq esf = 𝝅(𝐀𝐁)² 
Área de la Superficie Esférica 
Teorema. 
El área de la superficie esférica es igual al 
cuádruplo del área de uno de sus círculos máximos. 
 
 
 
R 
S = 4𝝅R2 
R 
R 
O 
L 
R 
A 
B 
O 
TEOREMA 
Si un plano interseca a una superficie esférica en más de un punto, entonces la 
intersección es una circunferencia. 
HUSO ESFÉRICO 
Definición.- 
Se denomina huso esférico a la parte de 
superficie esférica, comprendida entre 
dos semicircunferencias máximas que 
tienen en común un diámetro de la 
superficie esférica. 
 
a 
R 
R O 
Ángulo Central Área de la 
superficie 
 
 360° ----------- 4R² 
 a ----------- SHUSO 
 
 SHUSO = 4𝝅R² 𝜶360 
 
Teorema.- 
El área de un huso esférico, en la 
superficie esférica cuyo radio y ángulo 
diedro correspondiente miden R y a, 
es igual a 
𝛼
90 𝜋R²