SEMESTRAL UNI 2021 SEMANA 19 TEORIA(1)

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SUPERFICIE ESFERICA, 
ESFERA 
GEOMETRÍA
19SEMANA
3 APLICAR LO APRENDIDO EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMASTIPO EXAMEN DE ADMISIÓN UNI.
OBJETIVOS
1
2
CONOCER EL CÁLCULO DEL ÁREA DE LA SUPERFICIE Y 
CALCULO DEL VOLUMEN DE UNA ESFERA.
DIFERENCIAR LA DIFERENTES PARTES DE UNA 
SUPERFICIE ESFERICA Y UNA ESFERA.
TEOREMA DE ARQUIMEDES (SUPERFICIE DE REVOLUCION)
𝔸𝑆𝑢𝑝. 𝐺𝑒𝑛. = 𝟐𝝅𝒂𝒉
Cálculo del área de la superficie que genera una poligonal regular al
girar respecto de una recta coplanar a dicha poligonal.
ℒ
360°
D
C
B
A
h
𝐷′
𝐴′
O
Eje de giro
𝑎
𝑎
𝐴 − 𝐵 − 𝐶 − 𝐷 es la
línea poligonal regular
que generará a la
superficie de revolución
Donde:
𝔸𝑺𝒖𝒑.𝑮𝒆𝒏: Área de la superficie 
generada por la línea poligonal 
regular.
𝒂: Longitud de la apotema de la línea 
poligonal regular.
𝒉: Longitud de la proyección ortogonal de la línea 
poligonal regular sobre el eje de giro.
𝑎
Se cumple:
𝑂
𝑅
Si consideramos a la superficie esférica, como la superficie
generada por una semicircunferencia alrededor de su
diámetro, aprovechando el teorema de Arquímedes en su caso
general, se puede calcular el área de la superficie esférica.
Semicircunferencia 
generadora
Se cumple:
𝔸𝒔𝒖𝒑.
𝒆𝒔𝒇.
= 𝟒𝝅𝑹𝟐
Donde:
𝑂: Centro de la sup. esférica
𝑅: Radio de la sup. esférica
360°
AREA DE UNA SUPERFICIE ESFERICA
Es aquella superficie formada por todos
los puntos del espacio que equidistan de
otro punto fijo al cual denominaremos
centro
centro𝑅
𝑅
𝑟
Plano tangente
𝑇
𝑇: punto de tangencia
𝑂
Plano secante
Radio 
Todo plano secante
determina una
circunferencia
Se determina cuando el plano
secante no contiene al centro de
la superficie esférica
Circunferencia menor
Circunferencia 
mayor (máxima)
Se determina cuando el plano
secante contiene al centro de la
superficie esférica
𝑑 𝒅: Es la distancia del centro
de la superficie esférica
hacia el plano secante
Se cumple:
𝑂𝑇 ⊥ ▰𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒
Ejemplo de circunferencia
máxima.
𝑅
𝑂𝑅
Todo plano secante que determina una circunferencia máxima en la superficie
esférica la divide en dos semi superficies esféricas. En el gráfico se muestra una
Semi superficie esférica.
Se cumple:
𝔸 𝒔𝒆𝒎𝒊
𝒔𝒖𝒑.𝒆𝒔𝒇.
= 𝟐𝝅𝑹𝟐
Algunos ejemplos cotidianos los
encontramos en lámparas como
también en bandejas para
alimentos.
Resolución:
𝑻𝒊𝒑𝒐 𝒂𝒅𝒎𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏APLICACIÓN
Se tiene una superficie esférica, tal que su
área y la longitud de la circunferencia
máxima son numéricamente iguales. Calcule
el área de dicha superficie.
𝐴) 2𝜋 𝐵)
𝜋
2
𝐶) 4𝜋
𝐷) 𝜋 𝐸)
𝜋
4
Dato:
𝑅
𝑂 𝑅
𝔸𝑠𝑢𝑝.𝑒𝑠𝑓. = ℓ⊙𝑚á𝑥.
Nos piden 𝔸𝑠𝑢𝑝.𝑒𝑠𝑓.
• Del dato:
4𝜋𝑅2 = 2𝜋𝑅
2
→ 𝑅 =
1
2
= 4𝜋𝑅2 … (𝑖)
• Reemplazamos en 𝑖 :
𝔸𝑠𝑢𝑝.𝑒𝑠𝑓. = 4𝜋
1
2
2
= 4𝜋
1
4
∴ 𝔸𝑠𝑢𝑝.𝑒𝑠𝑓. = 𝜋
ℓ⊙ = 𝟐𝝅 ∙ 𝑹
𝑅
• Ten en cuenta que:
La longitud de la circunferencia es
igual a:
(ℓ⊙)
RECORDAR
ZONA ESFÉRICA
𝑅
Es la porción de superficie esférica comprendida entre dos circunferencias determinadas por dos planos paralelos.
También puede considerarse como la superficie generada por un arco de circunferencia que gira respecto al diámetro de
la semicircunferencia que lo contiene.
𝑅
ℎ ℎ
Eje de giro
Se cumple: 𝔸𝑍.𝐸 = 2𝜋𝑅ℎ
Arco 
generador
Circunferencias 
contenidas en 
planos paralelos
Donde:
• 𝔸𝒁.𝑬: Área de la zona esférica
• 𝒉: altura de la zona esférica o proyección ortogonal del arco 
generador sobre el eje de giro
360°
Algunas bolas de
billar nos pueden
ejemplificar la idea
de la zona esférica.
𝔸𝑪.𝑬 =
𝔸𝑪.𝑬 =
CASQUETE ESFÉRICO
Es la porción de superficie esférica comprendida entre una circunferencia determinada por un plano secante.
También puede considerarse como la superficie generada por un arco de circunferencia que gira respecto al diámetro de la
semicircunferencia que lo contiene, donde un extremo del arco coincide con un extremo de su diámetro.
𝑅
𝑅
Eje de giro
Arco 
generador
ℎ
360°
Se cumple:
𝟐𝝅𝑹𝒉
Donde:
• 𝔸𝑪.𝑬: Área del casquete esférico
• 𝒉: altura del casquete esférico o proyección ortogonal del 
arco generador sobre el eje de giro
𝑎 ℎ 𝑎
Además:
𝝅𝒂𝟐
Algunas lámparas de
techo en sus diseños
usan los casquetes
esféricos.
HUSO ESFÉRICO
R
Es la porción de superficie esférica comprendida entre dos semicircunferencias máximas que tengan el mismo diámetro.
También puede considerarse como la superficie generada por una semicircunferencia cuando gira respecto a uno de sus
diámetros de tal manera que la medida del ángulo de giro sea menor a 360°.
∴ 𝔸𝑯.𝑬=
𝜶𝝅𝑹𝟐
𝟗𝟎°
Huso 
esférico • Para calcular el área del Huso esférico, usaremos una regla
de tres simple:
Á𝒓𝒆𝒂 𝑴𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒅𝒆𝒍 ∢ 𝒅𝒆 𝒈𝒊𝒓𝒐
4𝜋𝑅2 360°
𝔸𝐻.𝐸 𝛼
• Despejamos 𝔸𝐻.𝐸 y tenemos:
𝔸𝐻.𝐸 =
𝛼4𝜋𝑅2
360°
Donde:
• 𝔸𝑯.𝑬: Área del huso esférico
En ciertos diseños de algunas lámparas
también se usan los husos esféricos.
Resolución:
𝟐𝟎𝟏𝟗 − 𝑰𝑰EXAMEN UNI
Determine a qué altura de la Tierra debe
ubicarse un satélite para que la región visible
sea 1/3 de la superficie terrestre, considere
que el radio de la Tierra es 𝑅.
𝐴)
1
2
𝑅
𝐵) 𝑅
𝐶)
3
2
𝑅
𝐷) 2𝑅 𝐸) 3𝑅
ℎ
Dato:
𝔸𝑟𝑒𝑔𝑖ó𝑛
𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒
=
1
3
𝔸 𝑠𝑢𝑝.
𝑡𝑒𝑟𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒
𝑅
Piden ℎ • Notamos que la región visible es equivalente a
un casquete esférico y que la superficie terrestre
es equivalente a una superficie esférica.
• En el dato:
ℎ′
2𝜋𝑅ℎ′ =
1
3
4𝜋𝑅2 → ℎ′ =
2
3
𝑅
2
=
2
3
𝑅
𝑂
Línea tangente
𝑅
𝑅
3
• Completamos longitudes y se observa:
𝑅 ൗ
𝑅
3
ℎ
+
𝑅
Por relaciones métricas:
𝑅2 =
𝑅
3
ℎ + 𝑅
∴ 𝒉 = 𝟐𝑹
R
E
C
O
R
D
A
R
Casquete esférico
TEOREMA DE ARQUIMEDES (SOLIDO DE REVOLUCION)
R
ℒ
360°
O
D
C
A
B
𝕍𝑆𝑜𝑙. 𝐺𝑒𝑛(𝑂𝐴𝐵𝐶𝐷) =
2
3
𝜋𝑅2ℎ
Cálculo del volumen del sólido que genera una región
poligonal regular al girar respecto de una recta coplanar a
dicha región.
h
𝐷′
ℎ1
𝐶′
𝐵′
𝐴′
ℎ2
ℎ3
VOLUMEN DE UNA ESFERA
𝑂
𝑅
Si consideramos a la esfera, como el sólido generado por un
semicírculo alrededor de su diámetro, aprovechando el
teorema de Arquímedes en su caso general, se puede calcular
el volumen de la esfera.
Semicírculo 
generador
Se cumple:
𝕍𝒆𝒔𝒇. =
𝟒
𝟑
𝝅𝑹𝟑
Donde:
𝑂: Centro de la esfera
𝑅: Radio de la esfera
360°
Es aquel sólido geométrico limitado por
una superficie esférica
centro𝑅
𝑅
𝑟
Plano tangente
𝑇
𝑇: punto de tangencia
𝑂
Plano secante
Radio 
Todo plano secante
determina un
círculo.
Se determina cuando el plano
secante no contiene al centro de
la esfera.
Círculo menor
Círculo mayor 
(máximo)
Se determina cuando el plano
secante contiene al centro de la
esfera.
𝑑 𝒅: Es la distancia del centro
de la esfera hacia el plano
secante
Se cumple:
𝑂𝑇 ⊥ ▰𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑅
𝑂𝑅
Todo plano secante que determina un círculo máximo en la esfera, la divide en
dos semi esferas. En el gráfico se muestra una semi esfera
Se cumple:
𝔸 𝒔𝒆𝒎𝒊
𝒆𝒔𝒇𝒆𝒓𝒂
= 𝟑𝝅𝑹𝟐 𝕍 𝒔𝒆𝒎𝒊
𝒆𝒔𝒇𝒆𝒓𝒂
=
𝟐
𝟑
𝝅𝑹𝟑
SECTOR ESFÉRICO Es el sólido generado por la rotación de 360° de un sector circular en torno a una recta que contiene al diámetro de la
semicircunferencia que contiene al centro del sector.
𝑅
ℎ
Eje de giro
Se cumple: 𝕍𝑆.𝐸 =
2
3
𝜋𝑅2ℎ
Sector circular 
generador
Donde:
• 𝕍𝑺.𝑬: Volumen del sector esférico
• 𝒉: longitud de la proyección ortogonal del arco 𝐴𝐵 sobre 
el eje de giro
360°
𝐵
𝐴
𝑅
ℎ
Eje de giroSector circular 
generador
360°
𝐵
𝐴
También puede considerarse
la siguiente situación, para un
sector esférico.
SEGMENTO ESFÉRICO Es la porción de esfera comprendida entre dos planos paralelos y secantes a la esfera.
Donde:
• 𝕍𝑺.𝑬: Volumen del segmento esférico
• 𝒉: altura del segmento esférico
ℎ
Círculos 
contenidos en 
planos paralelos
𝑅
𝑟
Se cumple:
𝕍𝑺.𝑬 =
𝜋ℎ3
6
+
𝜋ℎ𝑟2
2
+
𝜋ℎ𝑅2
2
ℎ
𝑟
𝑅
Eje de giro
Región 
generadora
360°
También puede considerarse
la siguiente situación,para un
segmento esférico.
, longitud de la proyección del arco AB sobre el eje de giro.
𝐵
𝐴
ℎ
Es la porción de esfera determinada por un plano secante a la esfera.SEGMENTO ESFÉRICO DE UNA BASE
Donde:
• 𝕍 𝑺.𝑬
𝟏 𝒃𝒂𝒔𝒆
: Volumen del segmento esférico de 1 base
• 𝒉: altura del segmento esférico
𝕍 𝑺.𝑬
𝟏 𝒃𝒂𝒔𝒆
=
Se cumple:
𝝅𝒉𝟑
𝟔
+
𝝅𝒉𝑹𝟐
𝟐
Es el sólido generado por un segmento circular al girar 360° en torno a una recta coplanar que contiene al diámetroANILLO ESFÉRICO
ℎ
Eje de giro360°
Segmento circular 
generador
ℓ
Donde:
• 𝕍𝑨.𝑬: Volumen del anillo esférico
• 𝒉: longitud de la proyección ortogonal de la cuerda AB el eje de giro.
Se cumple:
𝕍𝑨.𝑬 =
𝜋ℎℓ2
6
𝐵
𝐴
• 𝓵: longitud de la cuerda AB
También puede considerarse
la siguiente situación, para un
anillo esférico.
ℎ
Eje de giro
360°
Segmento circular 
generador
ℓ
𝐵
𝐴
CUÑA ESFÉRICA
R
Es la porción esfera comprendida entre dos semicírculos máximos que tengan el mismo diámetro. También puede
considerarse como el sólido generado por un semicírculo cuando gira respecto a uno de sus diámetros de tal manera
que la medida del ángulo de giro sea menor a 360°.
∴ 𝕍𝑪.𝑬=
𝜶𝝅𝑹𝟑
𝟐𝟕𝟎°
CUÑA 
ESFÉRICA
• Para calcular el volumen de la cuña esférica, usaremos una
regla de tres simple:
𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏 𝑴𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝒅𝒆𝒍 ∢ 𝒅𝒆 𝒈𝒊𝒓𝒐
4
3
𝜋𝑅3
360°
𝕍𝐶.𝐸 𝛼
• Despejamos 𝕍𝐶.𝐸 y tenemos:
𝕍𝐶.𝐸 =
𝛼4𝜋𝑅3
(3)(360°)
Donde:
• 𝕍𝑪.𝑬: Volumen de la cuña esférica
𝐵
𝐴
∴ 𝑉𝐶𝐸 = 6π m
3
𝑉𝐶𝐸 =
θ𝜋𝑅3
270°
𝑉𝑐𝑢ñ𝑎 𝑒𝑠𝑓é𝑟𝑖𝑐𝑎 =
θ𝜋𝑅3
270°
θ
𝑅
𝑅
𝑂
CUÑA ESFÉRICA
𝑉𝐶𝐸Nos piden
●𝑅
𝑅
𝑅
𝑂 𝐵
𝐴
θ
• Con el sector circular 𝐴𝑂𝐵
𝐵
𝑇𝑂 𝑂′
𝐴
𝑃
𝑟 = 1
Dato: θ = 60°
• Cuña esférica:
𝑅 = 𝑂𝑇
30°
30°
• ⊿𝑂𝑃𝑂′ 30° y 60° : 𝑂′𝑃 = 𝑂′𝑇 = 𝑟 = 1
→ 𝑂𝑂′ = 2
• Luego: 𝑅 = 𝑂𝑇 =
2 1
1
2 + 1 = 3
𝑉𝐶𝐸 =
(60°)𝜋 3 3
270°
• Cuña esférica:
𝑻𝒊𝒑𝒐 𝒂𝒅𝒎𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏APLICACION
𝐷
𝐴
𝐵
𝐶
𝑎
𝑎
𝐷
𝐹
𝐴
𝐵
𝐶
𝐸
𝐺
𝐻
Recordemos que en el tema de poliedros regulares, indicamos que ellos tienen un centro, pero esto como lo podemos utilizar.
Dicho centro, coincide con el centro de las superficies esféricas inscritas y circunscritas a los poliedros regulares. Veamos algunas situaciones:
𝑁
𝑀
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
Tetraedro regular 𝐴𝐵𝐶𝐷 Hexaedro regular 𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐸𝐹𝐺𝐻 Octaedro regular 𝑀 − 𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝑁
𝑂
𝑂: centro de 𝐴𝐵𝐶𝐷
3𝑟
𝑟
Superficie esférica 
inscrita
Se cumple:
𝒓: longitud del radio de la superficie esférica 
inscrita
𝟑𝒓: longitud del radio de la superficie esférica 
circunscrita
𝑂
Superficie esférica 
inscrita
𝑂: centro del cubo
Se cumple:
𝑎
𝑎
𝑟
𝒓 =
𝒂
𝟐
: longitud del radio de la superficie esférica 
inscrita
𝒂 𝟑
𝟐
: longitud del radio de la superficie esférica 
circunscrita
𝑂
𝑂: centro del 
octaedro
𝑟
Se cumple:
𝒓 =
𝒂 𝟔
𝟔
: longitud del radio de
la superficie esférica inscrita
𝒂 𝟐
𝟐
: longitud del radio de la
superficie esférica circunscrita
𝐸𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑔𝑖𝑟𝑜
𝔸𝑆.𝐺. = 𝕍𝑆.𝐺. =
ҧ𝑥: distancia del centroide al eje de giro.
𝐿: longitud de la línea generadora. 𝔸: área de la región generadora.
Donde:Donde:
𝐶 ҧ𝑥
ҧ𝑥𝐿
𝔸
ҧ𝑥 ∶ distancia del centroide al eje de giro.
𝐸𝑗𝑒 𝑑𝑒 𝑔𝑖𝑟𝑜
𝐶: 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑒 𝐶: 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑒
2𝜋 ҧ𝑥. 𝐿 2𝜋 ҧ𝑥. 𝔸
TEOREMA 1 TEOREMA 2
Área de la superficie generada Volumen del sólido generado
𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜
𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜
𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒
𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎
𝐶
Es el equivalente al centro de
gravedad de una figura
geométrica. Presentamos
algunos casos comunes:
𝐶
𝐶𝐶
𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑒
𝐶: 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑒
CENTROIDE (C)
Calcule el área de la superficie que 
genera 𝐴𝑉 cuando gira una vuelta 
sobre ി𝐿
37°
10
A
V
360°
L
A) 30π B) 40π C) 50π D) 60π
E) 80π
𝑻𝒊𝒑𝒐 𝒂𝒅𝒎𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏
 𝑃𝑜𝑟 𝑒𝑙 1𝑒𝑟𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑃𝑎𝑝𝑝𝑢𝑠:
𝔸𝑆.𝐺. = (2𝜋 ҧ𝑥)
𝔸𝑆.𝐺. = 2𝜋(3)(10)
𝕃
37°
A
V
360°
L
5
ҧ𝑥=3
 𝑃𝑜𝑟 𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛:
𝔸𝑆.𝐺. =
𝜋(𝑅)(𝑔)
(6)(10)
𝔸𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑒 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙
𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑜
L
10
A
V
360°
37°
𝟔
𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑒
5
10
∴ 𝔸𝑆.𝐺. = 60π
∴ 𝔸𝑆.𝐺. = 60π
APLICACION
w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e