GUIA 7 RACIONALIZACION

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UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO 
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS 
Profesor: JESÚS MENDOZA NAVARRO 
GUÍA 7: RACIONALIZACIÓN 
 
Antes de entrar de lleno en la racionalización, vamos a recordar algunos conceptos 
previos que necesitamos. 
 
Fracciones equivalentes: Dos fracciones a/b y c/d son equivalentes sí y sólo si se 
cumple que ad = bc: 
𝒂
𝒃
=
𝒄
𝒅
 ⇔ 𝒂𝒅 = 𝒃𝒄 
 
EJEMPLO 1: Fracciones equivalentes 
Son fracciones equivalentes las siguientes: 
𝟐
𝟓
=
𝟔
𝟏𝟓
⇔ 𝟐 ∗ 𝟏𝟓 = 𝟓 ∗ 𝟔 
𝟗
𝟏𝟐
=
𝟑
𝟒
⇔ 𝟗 ∗ 𝟒 = 𝟏𝟐 ∗ 𝟑 
 
En cambio no son equivalentes: 
 
𝟐
𝟑
=
𝟔
𝟖
 𝒑𝒐𝒓𝒒𝒖𝒆 𝟐 ∗ 𝟖 ≠ 𝟑 ∗ 𝟔 
 
Binomios conjugados: Dos binomios son conjugados si sólo difieren en el signo 
que separa sus dos términos. 
 
EJEMPLO 2: Binomios conjugados 
Son conjugados: 
𝟐 + 𝟓𝒙 𝒚 𝟐 − 𝟓𝒙; 𝟑 + √𝟐 𝒚 𝟑 − √𝟐; √𝟔 − √𝟑 𝒚 √𝟔 + √𝟑 
 
La importancia de los binomios conjugados aparece cuando los multiplicamos 
entre sí, ya que aparece el producto de una suma por una diferencia, y esto es un 
producto notable: 
 
(𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 
 
 
2 
 
RACIONALIZACIÓN 
Cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener 
fracciones equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. A este 
proceso es a lo que se llama racionalización de radicales de los denominadores. 
 
Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador, 
el proceso es diferente. 
Se pueden dar varios casos: 
 
1. El denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada. En 
este caso basta multiplicar numerador y denominador por la misma raíz cuadrada. 
 
EJEMPLO 3: Una sola raíz cuadrada 
Racionalizar las siguientes fracciones: 
(𝒂)
𝟑
√𝟔
=
𝟑
√𝟔
∗
√𝟔
√𝟔
=
𝟑√𝟔
√𝟔𝟐
=
𝟑√𝟔
𝟔
=
√𝟔
𝟐
 
 
(𝒃)
𝟓
√𝟐
=
𝟓
√𝟐
∗
√𝟐
√𝟐
=
𝟓√𝟐
√𝟐𝟐
=
𝟓√𝟐
𝟐
 
 
(𝒄)
𝟐𝒙𝟐
√𝒙
=
𝟐𝒙𝟐
√𝒙
∗
√𝒙
√𝒙
=
𝟐𝒙𝟐√𝒙
√𝒙𝟐
=
𝟐𝒙𝟐√𝒙
𝒙
= 𝟐𝒙√𝒙 
 
 
2. El denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en 
los dos hay una raíz cuadrada, se multiplica numerador y denominador por el 
conjugado del denominador. O sea si es una suma se multiplica por la resta, y 
viceversa. 
 
EJEMPLO 4: El denominador es un binomio 
Racionalizar las siguientes fracciones: 
 
(𝒂)
𝟑
𝟐 − √𝟑
=
𝟑
𝟐 − √𝟑
∗
𝟐 + √𝟑
𝟐 + √𝟑
=
𝟑(𝟐 + √𝟑)
𝟐𝟐 − (√𝟑)
𝟐 =
𝟑(𝟐 + √𝟑)
𝟒 − 𝟑
= 𝟑(𝟐 + √𝟑) 
 
(𝒃)
𝟏
√𝟓 + √𝟑
=
𝟏
√𝟓 + √𝟑
∗
√𝟓 − √𝟑
√𝟓 − √𝟑
=
√𝟓 − √𝟑
(√𝟓)
𝟐
− (√𝟑)
𝟐
=
√𝟓 − √𝟑
𝟓 − 𝟑
= (√𝟓 − √𝟑)/𝟐 
 
3 
 
(𝒄)
𝟐𝒙
√𝟕𝒙 − √𝟑𝒙
=
𝟐𝒙
√𝟕𝒙 − √𝟑𝒙
∗
√𝟕𝒙 + √𝟑𝒙
√𝟕𝒙 + √𝟑𝒙
=
𝟐𝒙(√𝟕𝒙 + √𝟑𝒙)
(√𝟕𝒙)
𝟐
− (√𝟑𝒙)
𝟐
=
𝟐𝒙(√𝟕𝒙 + √𝟑𝒙)
𝟕𝒙 − 𝟑𝒙
=
𝟐𝒙(√𝟕𝒙 + √𝟑𝒙)
𝟒𝒙
=
(√𝟕𝒙 + √𝟑𝒙)
𝟐
 
 
3. El denominador sólo tiene un término con una raíz de índice cualquiera, n, 
diferente de 2, se multiplica numerador y denominador por otra raíz de índice n 
que complete una potencia múltiplo cercano de exponente n. 
 
EJEMPLO 5: Raíces de índice mayor que 2 
Racionalizar las siguientes fracciones: 
 
(𝒂)
𝟐
√𝟐𝟑
𝟓 =
𝟐
√𝟐𝟑
𝟓 ∗
√𝟐𝟐
𝟓
√𝟐𝟐
𝟓 =
𝟐√𝟐𝟐
𝟓
√𝟐𝟑 ∗ 𝟐𝟐
𝟓 =
𝟐√𝟐𝟐
𝟓
√𝟐𝟓
𝟓 =
𝟐√𝟐𝟐
𝟓
𝟐
= √𝟐𝟐
𝟓
 
 
(𝒃)
𝒙
√𝒙𝟒
𝟔 =
𝒙
√𝒙𝟒
𝟔 ∗
√𝒙𝟐
𝟔
√𝒙𝟐
𝟔 =
𝒙√𝒙𝟐
𝟔
√𝒙𝟒 ∗ 𝒙𝟐
𝟔 =
𝒙√𝒙𝟐
𝟔
√𝒙𝟔
𝟔 =
𝒙√𝒙𝟐
𝟔
𝒙
= √𝒙𝟐
𝟔
= √𝒙
𝟑
 
 
 
EJERCICIOS 
 
1. Racionalizar las siguientes fracciones: 
 
𝒂) 
𝟑
√𝟓
 𝒃) 
𝟐
𝟑√𝟕
 𝒄) 
𝟒
√𝟑
 
𝒅)
𝟓
𝟐√𝟑
 𝒆) 
𝟔
√𝟑
 𝒇) 
𝟏𝟎
√𝟓
 
 
2. Racionalizar las siguientes fracciones: 
 
𝒂) 
𝟐
𝟑 − √𝟓
 𝒃) 
𝟑
𝟒 + √𝟑
 𝒄) 
𝟐
√𝟓 − √𝟑
 
𝒅) 
𝟒
√𝟓 + √𝟐
 𝒆) 
𝟕
𝟐√𝟑 − √𝟐
 
 
 
 
 
4 
 
3. Racionalizar las siguientes fracciones: 
 
𝒂) 
𝟏
√𝟑𝟐
𝟕 𝒃) 
𝟑
𝟐√𝟒𝟑
𝟓 𝒄) 
𝟐
√𝟑
𝟓 
𝒅) 
𝟑
√𝟐𝟐
𝟔 𝒆) 
𝟓
𝟑√𝟐
𝟒