GUIA 10 POLINOMIOS (1)

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UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO 
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS 
Profesor: JESÚS MENDOZA NAVARRO 
GUÍA 10: POLINOMIOS ALGEBRAICOS 
 
¿Qué es un polinomio? 
Los Polinomios son expresiones algebraicas racionales enteras y están 
constituidos por un conjunto finito de variables no determinadas (o desconocidas) 
y constantes llamadas coeficientes, con las operaciones de suma, resta y 
multiplicación, así como también exponentes enteros positivos. 
 
Todo polinomio puede tener una o más variables y dependiendo cuántos 
términos presenten pueden ser: 
 Monomio al tener un término, 
 Binomio al tener dos términos, 
 Trinomio cuando tiene tres términos y así sucesivamente. 
Ejemplos de Polinomios 
Son Polinomios los siguientes ejemplos: 
 𝑃(𝑥) = 7𝑥2 + 2𝑥 + 9 
 𝑄(𝑥) = 3𝑥 – 6 
 𝑅(𝑥) = 𝑥3 + 4𝑥2 + 10 
 𝑀(𝑥) = 𝑥 – 2𝑥3 + 8𝑥5 + 4𝑥2 + 1 
 𝑆(𝑥, 𝑦) = 4𝑥3𝑦 + 5𝑥2𝑦2 + 8 
 
Las notaciones: P(x), Q(x), R(x) y M(x) representan el polinomio de variable «x». En el 
caso S(x, y) representa a un polinomio de variable «x» e «y». 
IMPORTANTE: En todo polinomio los exponentes deben ser números enteros 
positivos y el mayor exponente expresa el GRADO del polinomio. 
 
Elementos de un Polinomio 
Los polinomios tienen elementos y podemos describirlos a partir del siguiente 
polinomio de una sola variable: 
𝑷(𝒙) = 𝒂𝒏𝒙
𝒏 + +𝒂𝒏−𝟏𝒙
𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏−𝟐𝒙
𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝒂𝟐𝒙
𝟐 + 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟎 
 
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Tenemos los siguientes elementos o partes del Polinomio: 
 
 Variable: La variable para este polinomio es «x». 
 Grado del Polinomio: Es el mayor exponente de la variable “x”, entonces sería: 
«n«. 
 Coeficientes: Son los siguientes números reales: a0, a1, a2, …, an. 
 Coeficiente principal: Es el coeficiente del término que contiene el grado del 
polinomio: 𝒂𝒏 
 Término Independiente: Es aquel donde no está presente la variable “x”, en este 
caso sería: 𝒂𝟎 
 
 
Se considera que el polinomio tiene dos clases de grado: 
El grado absoluto de un término es la suma de los exponentes de sus factores 
literales y el grado absoluto del polinomio lo da el término que tenga el mayor grado 
absoluto. 
El grado relativo es con relación a una de las letras y es el mayor exponente de 
dicha letra. 
 
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Elementos de un término 
 
 
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Suma y Resta de Polinomios 
Para sumar o restar polinomios, primero debemos identificar los términos 
semejantes. 
Dos o más términos son semejantes, si tienen la misma variable elevada al mismo 
exponente, sin importar los coeficientes. 
Por ejemplo, son términos semejantes los siguientes: 
 
(𝒂) 𝟒𝒙𝟑, −𝟏𝟐𝒙𝟑, 𝟓𝟎𝒙𝟑 (𝒃) 𝟕𝒙, −𝟔𝒙, 𝟐𝒙 (𝒄) 𝟏𝟖𝒙𝟓, −𝟏𝟐𝒙𝟓 
 
Esto se utiliza en la suma y resta de polinomios, ya que las dos operaciones se 
reducen a reducir términos semejantes. 
 
EJEMPLO 1: Suma de dos polinomios 
Dados los polinomios 
P(x) = 7x2 + 3x + 5 
Q(x) = 5x2 – 2x + 9 
 
Calcular: P(x) + Q(x) y P(x) – Q(x) 
 
Solución: 
 
 𝑷(𝒙) 𝟕𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟓 𝑷(𝒙) 𝟕𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟓 
+𝑸(𝒙) 𝟓𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟗 −𝑸(𝒙) −𝟓𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟗 
𝑷(𝒙) + 𝑸(𝒙) 𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏𝟒 𝑷(𝒙) − 𝑸(𝒙) 𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟒 
 
EJEMPLO 2: Sumas y restas de polinomios 
Se pueden combinar las operaciones. Dados los polinomios 
P(x) = 9x2 + 3x + 6 
Q(x) = 2x2 – 2x + 8 
R(x) = 2x2 – 10x + 6 
Calcular [P(x) + Q(x)] – [Q(x) + R(x)] 
 
Solución: Se resuelve primero lo que está dentro de los corchetes: 
𝑷(𝒙) + 𝑸(𝒙) = 𝟗𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟔 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟖 = 𝟏𝟏𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏𝟒 
𝑸(𝒙) + 𝑹(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟖 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟔 = 𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏𝟒 
Ahora se restan los dos resultados: 
[𝑷(𝒙) + 𝑸(𝒙)] – [𝑸(𝒙) + 𝑹(𝒙)] = 
= (𝟏𝟏𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏𝟒) − (𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟏𝟒) 
= 𝟏𝟏𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏𝟒 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟏𝟒 = 𝟕𝒙𝟐 + 𝟏𝟑𝒙. 
 
 
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EJEMPLO 3: Operaciones combinadas 
Se pueden combinar las operaciones. Dados los polinomios 
P(x) = 9x2 + 3x + 6 
Q(x) = 2x2 – 2x + 8 
R(x) = 2x2 – 3x + 6 
Calcular 2P(x) – 6Q(x) y 4Q(x) + 3R(x)] 
 
Solución: 
 
 𝟐𝑷(𝒙) 𝟏𝟖𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟏𝟐 𝟒𝑸(𝒙) 𝟖𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟑𝟐 
−𝟔𝑸(𝒙) −𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 − 𝟒𝟖 +𝟑𝑹(𝒙) 𝟔𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟏𝟖 
𝟐𝑷(𝒙) − 𝟔𝑸(𝒙) 𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟖𝒙 − 𝟑𝟔 𝟒𝑸(𝒙) + 𝟑𝑹(𝒙) 𝟏𝟒𝒙𝟐 − 𝟏𝟕𝒙 + 𝟓𝟎 
 
Cuando se suman o restan polinomios incompletos, se hace necesario dejar los 
espacios de los términos que faltan para hacer las operaciones de manera correcta. 
 
EJEMPLO 4: Suma de polinomios incompletos 
Dados los polinomios 
P(x) = 4x4 + 3x2 – 5x – 7 
Q(x) = 5x3 – 2x + 6 
R(x) = 3x4 – 4x3 – 5x2 – 8 
 
Calcular: 𝑷(𝒙) + 𝑸(𝒙) + 𝑹(𝒙) 
Solución: 
 
 𝑷(𝒙) 4x4 + 3x2 – 5x – 7 
+ 𝑸(𝒙) 5x3 – 2x + 6 
 𝑹(𝒙) 3x4 – 4x3 – 5x2 – 8 
𝑷(𝒙) + 𝑸(𝒙) + 𝑹(𝒙) 7x4 + x3 – 2x2 – 7x – 9 
 
Multiplicación de Polinomios 
Para multiplicar polinomios, se aplica la propiedad distributiva del producto con 
respecto a la suma y, se reducen los términos semejantes. 
 
EJEMPLO 5: Multiplicación de polinomios 
Dados los polinomios 
P(x) = 4x2 + 3x – 4 
Q(x) = 5x2 – 6x + 7 
 
 
 
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Calcular: P(x) * Q(x). 
Solución. 
𝑷(𝒙) ∗ 𝑸(𝒙) = (𝟒𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟒)(𝟓𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟕) 
= 𝟐𝟎𝒙𝟒 − 𝟐𝟒𝒙𝟑 + 𝟐𝟖𝒙𝟐 + 𝟏𝟓𝒙𝟑 − 𝟏𝟖𝒙𝟐 + 𝟐𝟏𝒙 − 𝟐𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟒𝒙 − 𝟐𝟖 
= 𝟐𝟎𝒙𝟒 − 𝟗𝒙𝟑 − 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟒𝟓𝒙 − 𝟐𝟖. 
 
Existe otra manera de multiplicar polinomios: se escriben uno debajo del otro de tal 
manera que los términos semejantes queden en columnas y se hace la multiplicación 
como en los enteros. 
 
EJEMPLO 6: Multiplicación de polinomios 
Dados los polinomios 
𝑷(𝒙) = 𝟓𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟒 
𝑸(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟖 
Calcular: P(x) * Q(x) 
Solución: 
𝑷(𝒙) 𝟓𝒙𝟐 +𝟑𝒙 −𝟒 
× 𝑸(𝒙) 𝟑𝒙𝟐 −𝟒𝒙 +𝟖 
 𝟒𝟎𝒙𝟐 +𝟐𝟒𝒙 −𝟑𝟐 
+ −𝟐𝟎𝒙𝟑 −𝟏𝟐𝒙𝟐 +𝟏𝟔𝒙 
 𝟏𝟓𝒙𝟒 +𝟗𝒙𝟑 −𝟏𝟐𝒙𝟐 
𝑷(𝒙) × 𝑸(𝒙) 𝟏𝟓𝒙𝟒 −𝟏𝟏𝒙𝟑 +𝟏𝟔𝒙𝟐 +𝟒𝟎𝒙 −𝟑𝟐 
 
Productos Notables 
Los Productos Notables son los resultados de ciertas multiplicaciones que se 
obtienen de forma directa sin necesidad de aplicar la propiedad distributiva, es decir, 
se puede dar el producto de manera inmediata. 
Inicialmente trabajaremos con los siguientes: 
 
Binomios conjugados (𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 
Cuadrado de un binomio (𝒂 + 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 
(𝒂 − 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 
Cubo de un binomio (𝒂 + 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 + 𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 + 𝒃𝟑 
(𝒂 − 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 − 𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 − 𝒃𝟑 
 
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EJEMPLO 7: Resolver las siguientes multiplicaciones aplicando los productos 
notables. 
(a) Aplicando binomios conjugados. 
(𝟒𝒙 + 𝟑𝒚)(𝟒𝒙 − 𝟑𝒚) = (𝟒𝒙)𝟐 − (𝟑𝒚)𝟐 = 𝟏𝟔𝒙𝟐 − 𝟗𝒚𝟐. 
 
(b) Aplicando cuadrado de un binomio. 
(𝟑𝒙 − 𝟒𝒙𝟐)𝟐 = (𝟑𝒙)𝟐 − 𝟐(𝟑𝒙)(𝟒𝒙𝟐) + (𝟒𝒙𝟐)𝟐 
= 𝟗𝒙𝟐 − 𝟐𝟒𝒙𝟑 + 𝟏𝟔𝒙𝟒. 
(c) Aplicando cubo de un binomio. 
(𝟑𝒙 + 𝟓𝒛)𝟑 = (𝟑𝒙)𝟑 + 𝟑(𝟑𝒙)𝟐(𝟓𝒛) + 𝟑(𝟑𝒙)(𝟓𝒛)𝟐 + (𝟓𝒛)𝟑 
= 𝟐𝟕𝒙𝟑 + 𝟑(𝟗𝒙𝟐)(𝟓𝒛) + 𝟑(𝟑𝒙)(𝟐𝟓𝒛𝟐) + 𝟏𝟐𝟓𝒛𝟑 
= 𝟐𝟕𝒙𝟑 + 𝟏𝟑𝟓𝒙𝟐𝒛 + 𝟐𝟐𝟓𝒙𝒛𝟐 + 𝟏𝟐𝟓𝒛𝟑 
 
EJERCICIOS 
Dados los polinomios siguientes, efectuar las operaciones indicadas. 
 
𝑷(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟒, 𝑸(𝒙) = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙, 𝑹(𝒙) = 𝟒𝒙 − 𝟔,
𝑺(𝒙) = 𝟒𝒙𝟐 − 𝟑 
1. 𝑷(𝒙) – 𝑹(𝒙) 5. 𝑹(𝒙) + 𝑺(𝒙) 
2. 𝑸(𝒙) + 𝑺(𝒙) – 𝑷(𝒙) 6. [𝑺(𝒙) – 𝑷(𝒙)] – 𝑸(𝒙) 
3. 𝑷(𝒙) ∗ 𝑸(𝒙) 7. 𝑸)𝒙) ∗ 𝑺(𝒙) 
4. 𝑺(𝒙) – 𝑸(𝒙) 8. 𝑸(𝒙) – [𝑺(𝒙) ∗ 𝑹(𝒙)] 
 
Efectuar los siguientes productos notables. 
 
9. (𝟒𝒛 + 𝟓𝒙)(𝟒𝒛 − 𝟓𝒙) 13. (𝟐𝒂𝟐 + 𝟑𝒃)𝟑 
10. (𝟔𝒙 + 𝟐𝒚)𝟐 14. (𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟑)𝟐 
11. (𝟐𝒂 − 𝟑𝒃)𝟑 15. (𝟒/𝒛 + 𝟐/𝒙)(𝟒/𝒛 − 𝟐/𝒙) 
12. (𝒙 + 𝟖)(𝒙 − 𝟖) 16. (𝟓𝒙 − 𝟔𝒚)𝟐