GUIA 11 OPERACIONES CON POLINOMIOS

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UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO 
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS 
Profesor: JESÚS MENDOZA NAVARRO 
GUÍA 11: OPERACIONES CON POLINOMIOS 
 
EJEMPLO 1. Producto de polinomios 
Resuelva la multiplicación de polinomios (x4 − 2x3z + 4x2z2 + xz3)(− 2z2 − xz − x2 ). 
 
Solución. 
 
 𝒙𝟒 −𝟐𝒙𝟑𝒛 +𝟒𝒙𝟐𝒛𝟐 +𝒙𝒛𝟑 
 × −𝒙𝟐 −𝒙𝒛 −𝟐𝒛𝟐 
 −𝟐𝒙𝟒𝒛𝟐 +𝟒𝒙𝟑𝒛𝟑 −𝟖𝒙𝟐𝒛𝟒 −𝟐𝒙𝒛𝟓 
 −𝒙𝟓𝒛 +𝟐𝒙𝟒𝒛𝟐 −𝟒𝒙𝟑𝒛𝟑 −𝒙𝟐𝒛𝟒 
−𝒙𝟔 +𝟐𝒙𝟓𝒛 −𝟒𝒙𝟒𝒛𝟐 −𝒙𝟑𝒛𝟑 
−𝒙𝟔 + 𝒙𝟓𝒛 −𝟒𝒙𝟒𝒛𝟐 −𝒙𝟑𝒛𝟑 −𝟗𝒙𝟐𝒛𝟒 −𝟐𝒙𝒛𝟓 
 
EJEMPLO 2. Suma de polinomios con coeficientes racionales 
Resuelva la suma de los polinomios 
𝑷(𝒚) =
𝟑
𝟒
𝒚𝟑 −
𝟏
𝟑
𝒚𝟐 +
𝟐
𝟓
𝒚 𝒄𝒐𝒏 𝑸(𝒚) =
𝟐
𝟓
𝒚𝟑 +
𝟑
𝟒
𝒚𝟐 −
𝟒
𝟓
𝒚 
Solución. 
 
𝟑
𝟒
𝒚𝟑 −
𝟏
𝟑
𝒚𝟐 +
𝟐
𝟓
𝒚 
𝟐
𝟓
𝒚𝟑 +
𝟑
𝟒
𝒚𝟐 −
𝟒
𝟓
𝒚 
 
Realizamos las sumas de los coeficientes por separado. 
𝟑
𝟒
+
𝟐
𝟓
=
𝟏𝟓 + 𝟖
𝟐𝟎
=
𝟐𝟑
𝟐𝟎
 −
𝟏
𝟑
+
𝟑
𝟒
=
−𝟒 + 𝟗
𝟏𝟐
=
𝟓
𝟏𝟐
 
𝟐
𝟓
−
𝟒
𝟓
= −
𝟐
𝟓
 
 
 
𝟑
𝟒
𝒚𝟑 −
𝟏
𝟑
𝒚𝟐 + 
𝟐
𝟓
𝒚 
 
𝟐
𝟓
𝒚𝟑 +
𝟑
𝟒
𝒚𝟐 −
𝟒
𝟓
𝒚 
𝟐𝟑
𝟐𝟎
𝒚𝟑 +
𝟓
𝟏𝟐
𝒚𝟐 −
𝟐
𝟓
𝒚 
 
2 
 
EJEMPLO 3. Productos notables 
Realice las siguientes operaciones aplicando productos notables: 
(𝒂) [𝒙𝟐 − (𝒙 + 𝟐)]𝟐 (𝒃) [(𝟒𝒙 + 𝟏) + (𝟐𝒛 + 𝟐)][(𝟒𝒙 + 𝟏) − (𝟐𝒛 + 𝟐)] 
 
Solución. 
(a) Aplicamos el caso del cuadrado de un binomio (𝒂 − 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 con a 
= x2 y b = x + 2: 
 
[𝒙𝟐 − (𝒙 + 𝟐)]𝟐 = (𝒙𝟐)𝟐 − 𝟐𝒙𝟐(𝒙 + 𝟐) + (𝒙 + 𝟐)𝟐 = 𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 + (𝒙 + 𝟐)𝟐 
 
En el último término aplicamos el caso del cuadrado de un binomio (𝒂 + 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 +
𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 con a = x y b = 2: 
 
[𝒙𝟐 − (𝒙 + 𝟐)]𝟐 = 𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟒 = 𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟒 
 
(b) Aplicamos el producto notable de binomios conjugados 
(𝒂 + 𝒃)(𝒂 − 𝒃) = 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 
con a = 4x + 1 y b = 2z + 2 y después, en cada término, el cuadrado de un binomio: 
 
[(𝟒𝒙 + 𝟏) + (𝟐𝒛 + 𝟐)][(𝟒𝒙 + 𝟏) − (𝟐𝒛 + 𝟐)] = (𝟒𝒙 + 𝟏)𝟐 − (𝟐𝒛 + 𝟐)𝟐 
= 𝟏𝟔𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟏 − (𝟒𝒛𝟐 + 𝟖𝒛 + 𝟒) = 𝟏𝟔𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟏 − 𝟒𝒛𝟐 − 𝟖𝒛 − 𝟒 
= 𝟏𝟔𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟒𝒛𝟐 − 𝟖𝒛 − 𝟑. 
 
EJERCICIOS 
En los ejercicios 1 a 10, resuelva las operaciones con los polinomios indicados. 
Ordene primero los polinomios si es necesario. 
 
𝟏. (𝟒𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟖) + (𝟐𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟎) + (−𝟒𝒙𝟑 + 𝟖𝒙 − 𝟓) 
𝟐. (𝟒𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟗) × (𝟐𝒙 − 𝟑) 
𝟑. (𝒙𝟒 − 𝟑𝒙𝟑𝒚 + 𝟐𝒙𝟐𝒚𝟐 + 𝒙𝒚𝟑 ) × (− 𝒚𝟐 − 𝒙𝒚 − 𝒙𝟐 ) 
𝟒. (𝟐𝒙𝟒 – 𝟑𝒙𝟑 + 𝟒𝒙 − 𝟓) – (𝟐𝒙𝟒 − 𝟓𝒙𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟏𝟎) 
𝟓. (𝒎𝟑 − 𝟑𝒎𝟐𝒏 + 𝟐𝒎𝒏𝟐) × (𝒎𝟐 − 𝟐𝒎𝒏 – 𝟖𝒏𝟐) 
𝟔. (𝟒𝒂𝟐𝒃 + 𝟑𝒂𝟑𝒃𝟐 – 𝟓𝒂𝟒𝒃𝟑) – (𝟓𝒂𝟐𝒃 − 𝟔𝒂𝟑𝒃𝟐 – 𝟓𝒂𝟒𝒃𝟑) − (𝟒𝒂𝟐𝒃 + 𝟕𝒂𝟒𝒃𝟑) 
𝟕. (
𝟏
𝟐
𝒙𝟐 −
𝟐
𝟓
𝒙 +
𝟐
𝟑
) + (
𝟑
𝟒
𝒙𝟐 +
𝟑
𝟏𝟎
𝒙 −
𝟑
𝟓
) 
𝟖. (
𝟏
𝟐
𝒙𝟐 −
𝟏
𝟑
𝒙𝒚 +
𝟏
𝟒
𝒚𝟐) × (
𝟐
𝟑
𝒙 −
𝟑
𝟐
𝒚) 
𝟗. (
𝟏
𝟒
𝒂𝟐 −
𝟐
𝟑
𝒂 +
𝟏
𝟑
) − (
𝟑
𝟒
𝒂𝟐 +
𝟑
𝟓
𝒂 −
𝟑
𝟓
) 
𝟏𝟎. (
𝟑
𝟐
𝒙𝟐 −
𝟏
𝟑
𝒙𝒚 +
𝟐
𝟑
𝒚𝟐) × (
𝟐
𝟑
𝒙 −
𝟑
𝟐
𝒚) 
 
 
3 
 
En los ejercicios 11 a 14 resuelva los productos notables sin efectuar la distribución. 
𝟏𝟏. [(𝟑𝒙 + 𝟏) + (𝟐𝒚 − 𝒃)][(𝟑𝒙 + 𝟏) − (𝟐𝒚 − 𝒃)]. 
𝟏𝟐. [𝒙𝟐 − (𝟑𝒙 + 𝟏)][𝒙𝟐 + (𝟑𝒙 + 𝟏)] 
𝟏𝟑. (𝒂 + 𝒃 + 𝒄)(𝒂 − 𝒃 − 𝒄) 
𝟏𝟒. [(𝟑𝒙 + 𝟏) + 𝟐𝒚][(𝟑𝒙 + 𝟏) − 𝟐𝒚] 
 
En los ejercicios 15 a 20 resuelva los productos notables sin efectuar la distribución. 
𝟏𝟓. [(𝟐𝒙 + 𝟏) + 𝒚] 𝟐 
𝟏𝟔. [𝒙𝟐 − (𝒙 + 𝟏)] 𝟐 
𝟏𝟕. (𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑)𝟐 
𝟏𝟖. (
𝟏
𝟐
𝒙 +
𝟑
𝟒
)
𝟑
 
𝟏𝟗. (√𝟐
𝟑
𝒙 + √𝟑
𝟑
𝒚)
𝟑
 
𝟐𝟎. (𝟕𝒙𝟐𝒚𝟒 − 𝟖𝒛𝟓)
𝟑