GUIA 19 ECUACIONES LINEALES (1)

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UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO 
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS 
Profesor: JESÚS MENDOZA NAVARRO 
GUÍA 19: ECUACIONES LINEALES 
 
Una ecuación lineal es una igualdad que tiene la variable elevada a la primera potencia; 
resolverlas significa encontrar el valor de la variable con los que se cumple la igualdad. 
Hay unos pasos generales a seguir para resolver una ecuación lineal y son los siguientes: 
1.- Pasar al lado izquierdo los términos con incógnitas y al lado derecho los que no tienen. 
2.- Reducir términos semejantes si es posible 
3.- Despejar la incógnita. 
 
En general, la forma estándar o clásica de una ecuación lineal es 
𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎, 
donde a y b son números reales, a  0. 
EJEMPLO 1. Una ecuación lineal 
Resolver la siguiente ecuación de primer grado: 
 
𝟒𝒙 + 𝟏𝟎 − 𝟓𝒙 = 𝟏𝟓 − 𝟕𝒙 + 𝟐 
 
Solución. Pasamos al lado izquierdo los términos que tienen x y al lado derecho los términos 
independientes: 
𝟒𝒙 − 𝟓𝒙 + 𝟕𝒙 = 𝟏𝟓 + 𝟐 − 𝟏𝟎 
𝟔𝒙 = 𝟕 
𝒙 =
𝟕
𝟔
. 
 
EJEMPLO 2. Una ecuación lineal aplicando la propiedad distributiva 
Resolver la siguiente ecuación de primer grado: 
 
(𝒙 + 𝟐)(𝟐𝒙 − 𝟖) = (𝟐𝒙 − 𝟑)(𝒙 − 𝟖) 
 
Solución. Aplicamos primero la propiedad distributiva: 
 
𝟐𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟒𝒙 − 𝟏𝟔 = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟏𝟔𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟐𝟒 
𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟒𝒙 + 𝟏𝟔𝒙 + 𝟑𝒙 = 𝟐𝟒 + 𝟏𝟔 
𝟏𝟓𝒙 = 𝟒𝟎 
2 
 
𝒙 =
𝟒𝟎
𝟏𝟓
=
𝟖
𝟑
. 
 
EJEMPLO 3. Una ecuación lineal racional 
Resolver la siguiente ecuación de primer grado: 
 
𝟑𝒙 − 𝟐
𝒙 + 𝟓
=
𝟑𝒙 + 𝟓
𝒙 + 𝟏𝟑
 
 
Solución. En este caso tenemos: 
 
(𝟑𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟏𝟑) = (𝒙 + 𝟓)(𝟑𝒙 + 𝟓) 
𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝟗𝒙 − 𝟐𝒙 − 𝟐𝟔 = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟏𝟓𝒙 + 𝟐𝟓 
𝟑𝒙𝟐 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝟗𝒙 − 𝟐𝒙 − 𝟓𝒙 − 𝟏𝟓𝒙 = 𝟐𝟓 + 𝟐𝟔 
𝟏𝟕𝒙 = 𝟓𝟏 
𝒙 = 𝟓𝟏/𝟏𝟕 
𝒙 = 𝟑. 
 
EJEMPLO 4. Una ecuación lineal con signos de agrupación 
Resolver la siguiente ecuación de primer grado: 
 
𝒙 − [𝟓 + 𝟑𝒙 − {𝟓𝒙 − (𝟔 + 𝒙)}] = −𝟑. 
 
Solución. En este caso se simplifican los signos de agrupación, comenzando por el más 
interno. Si hay un signo menos delante del signo de agrupación, el signo afecta a los términos 
que están dentro. 
𝒙 − [𝟓 + 𝟑𝒙 − {𝟓𝒙 − (𝟔 + 𝒙)}] = −𝟑. 
𝒙 − [𝟓 + 𝟑𝒙 − {𝟓𝒙 − 𝟔 − 𝒙}] = −𝟑. 
𝒙 − [𝟓 + 𝟑𝒙 − 𝟓𝒙 + 𝟔 + 𝒙] = −𝟑. 
𝒙 − 𝟓 − 𝟑𝒙 + 𝟓𝒙 − 𝟔 − 𝒙 = −𝟑. 
𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟓𝒙 − 𝒙 = −𝟑 + 𝟓 + 𝟔 
𝟐𝒙 = 𝟖 
𝒙 = 𝟒 
 
EJEMPLO 5. Un problema que se resuelve mediante una ecuación lineal 
Las edades de Juan y Carlos suman 51 años. Si Carlos es 7 años menor que Juan, ¿cuál es la 
edad de cada uno? 
 
Solución. No sabemos ninguna de las dos edades, de modo que hacemos lo siguiente: 
Sea x = la edad de Juan. 
Como Carlos es 7 años menor, entonces: x ─ 7 = la edad de Carlos. 
Ambas edades suman 51 años, por lo tanto: 
 
𝒙 + 𝒙 ─ 𝟕 = 𝟓𝟏 
𝒙 + 𝒙 = 𝟓𝟏 + 𝟕 
𝟐𝒙 = 𝟓𝟖 
3 
 
𝒙 = 𝟓𝟖 𝟐⁄ 
𝒙 = 𝟐𝟗. 
 
Por lo tanto, la edad de Juan es 29 años y, como Carlos es 7 años menor, su edad es 22 años. 
 
EJEMPLO 6. Un problema que se resuelve mediante una ecuación lineal 
Pagué $ 60.000 por tres libros, La Ilíada, La Odisea y Hamlet. Si La Odisea costó $ 5.000 
más que La Ilíada y $ 10.000 más que Hamlet, ¿cuál es el precio de cada libro? 
 
Solución. Supongamos lo siguiente: 
 
Sea x = precio de la Odisea 
 
Como La Odisea costó $ 5.000 más que La Ilíada: x – 5000 = precio de La Ilíada. 
Como La Odisea costó $ 10.000 más que Hamlet: x – 10.000 = precio de Hamlet. 
Los tres libros costaron $ 60.000: 
 
𝒙 + 𝒙 – 𝟓𝟎𝟎𝟎 + 𝒙 – 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 
𝒙 + 𝒙 + 𝒙 = 𝟔𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝟓𝟎𝟎𝟎 + 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 
𝟑𝒙 = 𝟕𝟓𝟎𝟎𝟎 
𝒙 = 𝟕𝟓𝟎𝟎𝟎 𝟑⁄ 
𝒙 = 𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎 
 
En consecuencia, La Odisea costó $ 25.000; La Ilíada 25.000 – 5.000 = $ 20.000 y Hamlet 
25.000 – 10.000 = $ 15.000. 
 
EJEMPLO 7. Un problema que se resuelve mediante una ecuación lineal 
Mario y José empiezan a jugar con $ 8.000 cada uno. ¿Cuánto ha perdido Mario si José tiene 
ahora el triple de lo que tiene Mario. 
 
Solución. Lo que pierde Mario, lo gana José. Supongamos que 
 
x = lo que ha perdido Mario. 
Ahora tienen: 
8.000 – x = lo que tiene Mario. 
8.000 + x = lo que tiene José. 
Como José tiene ahora el triple de lo que tiene Mario: 
 
𝟖. 𝟎𝟎𝟎 + 𝒙 = 𝟑(𝟖. 𝟎𝟎𝟎 – 𝒙) 
𝟖. 𝟎𝟎𝟎 + 𝒙 = 𝟐𝟒. 𝟎𝟎𝟎 – 𝟑𝒙 
𝒙 + 𝟑𝒙 = 𝟐𝟒. 𝟎𝟎𝟎 – 𝟖. 𝟎𝟎𝟎 
𝟒𝒙 = 𝟏𝟔. 𝟎𝟎𝟎 
𝒙 = 𝟒. 𝟎𝟎𝟎 
 
Por lo tanto Mario tiene 8.000 – 4.000 = $ 4.000 y José tiene 8.000 + 4.000 = $ 12.000. 
 
4 
 
EJERCICIOS 
 
En los ejercicios 1 a 10, resolver las ecuaciones lineales. 
 
1) 𝒙 – (𝟐𝒙 + 𝟏) = 𝟖 − (𝟑𝒙 + 𝟑) 
2) 𝟏𝟓𝒙 – 𝟏𝟎 = 𝟔𝒙 – (𝒙 + 𝟐) + (𝟑 − 𝒙) 
3) 𝟑𝒙 + [−𝟓𝒙 – (𝒙 + 𝟑)] = 𝟖𝒙 + (−𝟓𝒙 – 𝟗) 
4) 𝟗𝒙 − (𝟓𝒙 + 𝟏) – {𝟐 + 𝟖𝒙 − (𝟕𝒙 − 𝟓)} + 𝟗𝒙 = 𝟎 
5) 𝒙 + 𝟑(𝒙 − 𝟏) = 𝟔 − 𝟒(𝟐𝒙 + 𝟑) 
6) (𝟑𝒙 − 𝟒)(𝟒𝒙 − 𝟑) = (𝟔𝒙 − 𝟒)(𝟐𝒙 − 𝟓) 
7) (𝒙 − 𝟐)𝟐 – (𝟑 − 𝒙)𝟐 = 𝟏 
8) (𝒙 + 𝟏)(𝟐𝒙 + 𝟓) = (𝟐𝒙 + 𝟑)(𝒙 − 𝟒) + 𝟓 
9) 𝟓𝒙 – (𝟐𝒙 + 𝟏) = −{𝟓𝒙 + [−(−𝟐𝒙 − 𝟏)]} 
10) 𝟏𝟒𝒙 – (𝟑𝒙 − 𝟐) − [𝟓𝒙 + 𝟐 – (𝒙 − 𝟏)] = 𝟎 
 
En los ejercicios 11 a 16, resolver los problemas sobre ecuaciones lineales. 
 
11) La edad de Víctor es el triplo de la edad de su hijo. Si la suma de las dos edades es 48 
años, determinar la edad de cada uno. 
12) Hallar tres números enteros positivos consecutivos, tales que su suma sea 75. 
13) La suma de tres números es 200. El mayor excede al del medio en 32 y al menor en 65. 
Hallar los números. 
14) Dos ángulos son suplementarios y el doble del menor excede en 45° al mayor. ¿Cuáles 
son los ángulos? 
15) En una elección en la que participaban tres candidatos A, B y C, se contabilizaron 9.000 
votos. B obtuvo 500 votos menos que A y 800 votos más que C. ¿Quién triunfó y con 
cuantos votos? 
16) Un mulo y un burro llevan entre los dos 21 sacos de arroz. El mulo le dice al burro: 
─ Esto pesa. Te pasaré un saco. 
─ De qué te quejas─ le responde el burro. Si me cedes un saco, llevaré el doble de sacos 
que tú. 
¿Cuántos sacos lleva cada animal?