GUÍA 36 FUNCION CUADRATICA

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UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO 
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS 
Profesor: JESÚS MENDOZA NAVARRO 
GUIA 36: FUNCIÓN CUADRÁTICA 
 
Definición y ejemplo 
Una función cuadrática (o parabólica) es una función polinómica de 
segundo grado. Es decir, tiene la forma 
 
siendo a ≠ 0. 
La gráfica de una función cuadrática siempre es una parábola, que abre 
hacia arriba si el coeficiente principal a > 0 y abre hacia abajo, si a < 0. 
 
 
 
 
El famoso puente colgante de 
San Francisco, California, 
Estados Unidos, el Golden 
Gate, está diseñado de tal 
manera que sus cables de 
acero forman parábolas que 
abren hacia arriba. 
 
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El puente Shenyang Ribbon, en China, está diseñado con parábolas 
perfectas que abren hacia abajo. 
 
 
Los puentes en arco más largos del mundo, como el puente 
Chaotianmen, en China, tienen forma de parábola. 
 
 
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En el diseño arquitectónico, también se utilizan parábolas. 
 
Vértice de la parábola 
Las funciones cuadráticas tienen un máximo (si a<0) cuando la parábola 
abre hacia abajo o un mínimo (si a>0) cuando abre hacia arriba. Este 
punto es el vértice de la parábola. 
La primera coordenada del vértice es 
 
Y la segunda coordenada es su imagen: 
 
Ejemplo 1. Vértice de una parábola 
Calculamos el vértice de la función 
 
Identificamos los coeficientes: 𝒂 = −𝟐, 𝒃 = 𝟑, 𝒄 = 𝟎. 
Como a es negativo, la parábola abre hacia abajo y el vértice es un 
máximo. 
La primera coordenada del vértice es 
 
𝒙 = −
𝒃
𝟐𝒂
= −
𝟑
𝟐 ∙ (−𝟐)
=
𝟑
𝟒
. 
 
Calculamos la segunda coordenada: 
 
𝒇 (
𝟑
𝟒
) = −𝟐 (
𝟑
𝟒
)
𝟐
+ 𝟑 (
𝟑
𝟒
) = −𝟐 ∙
𝟗
𝟏𝟔
+
𝟗
𝟒
= −
𝟗
𝟖
+
𝟗
𝟒
=
𝟗
𝟖
. 
 
4 
Por tanto, el vértice es el punto 
 
Su gráfica es: 
 
 
 
Puntos de corte con los ejes 
Una parábola siempre corta el eje de ordenadas (eje Y) en un punto. 
Como esto ocurre cuando x = 0, se trata del punto (0, c) puesto que f(0) 
= c. 
Una función corta al eje X o de las abscisas cuando y = 0. Por tanto, 
para hallar estos puntos de corte, tenemos que resolver una ecuación 
cuadrática: 
 
Como una ecuación cuadrática puede tener una, dos o ninguna solución, 
puede haber uno, dos o ningún punto de corte con el eje X. 
Recordamos la fórmula que necesitamos: 
 
Ejemplo 2. Puntos de corte y vértice 
Determinar los puntos de corte y el vértice de la siguiente función: 
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐 
 
Identificamos los coeficientes: 𝒂 = 𝟏, 𝒃 = 𝟏, 𝒄 = −𝟐. 
 
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Como a es positivo, la parábola abre hacia arriba y el vértice es un 
mínimo. 
La primera coordenada del vértice es 
 
𝒙 = −
𝒃
𝟐𝒂
= −
𝟏
𝟐 ∙ (𝟏)
= −
𝟏
𝟐
. 
 
Calculamos la segunda coordenada: 
 
𝒇 (−
𝟏
𝟐
) = (−
𝟏
𝟐
)
𝟐
+ (−
𝟏
𝟐
) − 𝟐 =
𝟏
𝟒
−
𝟏
𝟐
− 𝟐 = −
𝟏
𝟒
−
𝟐
𝟏
=
−𝟏 − 𝟖
𝟒
= −
𝟗
𝟒
. 
 
Por tanto, el vértice es el punto 
 
(−
𝟏
𝟐
, −
𝟗
𝟒
) 
 
El punto de corte con el eje Y es (0, c) = (0, −2) 
Los puntos de corte con el eje X se hallan resolviendo la ecuación 
 
𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐 = 𝟎(𝒙 + 𝟐)(𝒙 − 𝟏) = 𝟎  𝒙 = −𝟐, 𝒙 = 𝟏. 
 
Hay dos soluciones: x=1 y x=−2. 
La segunda coordenada es 0. 
Por tanto, tenemos los puntos de corte (─2,0) y (1,0) 
Miremos la gráfica: 
 
 
(─2, 0) 
(─1/2, ─9/4) 
(1, 0) 
𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐 
 
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Modelación con la función cuadrática 
Un Modelo Cuadrático usa una función cuadrática de la forma 
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 
para modelar una situación. 
 
Ejemplo 3. Una modelación en Física 
Se lanza una pelota al aire con una velocidad vertical inicial de 40 pies 
por segundo, de manera que caiga en el piso. ¿Cuán alto llegará la pelota? 
¿En qué tiempo alcanzará su altura máxima? ¿Cuándo llegará al piso la 
pelota? 
 
Solución. 
Recordemos del lanzamiento vertical estudiado en Cinemática, que la 
altura h(t) es función del tiempo y se calcula con la fórmula: 
 
𝒉(𝒕) = 𝑽𝟎𝒕 −
𝟏
𝟐
𝒈𝒕𝟐 = −
𝟏
𝟐
𝒈𝒕𝟐 + 𝑽𝟎𝒕 
 
En este caso particular tenemos que Vo = 40 pies/s, g = 32 pies/s2, de 
modo que nuestra función es: 
 
𝒉(𝒕) = −𝟏𝟔𝒕𝟐 + 𝟒𝟎𝒕 
 
Es una función cuadrática, con 𝒂 = ─𝟏𝟔, 𝒃 = 𝟒𝟎 𝒚 𝒄 = 𝟎. 
Como a<0, la parábola abre hacia abajo y tendrá un punto máximo en su 
vértice, por lo que aplicamos la fórmula del vértice para saber en qué 
tiempo alcanzará su máxima altura y cuál es ésta. 
 
𝒕 = −
𝒃
𝟐𝒂
= −
𝟒𝟎
𝟐 ∙ (−𝟏𝟔)
=
𝟒𝟎
𝟑𝟐
= 𝟏, 𝟐𝟓 𝒔 
 
La segunda coordenada del vértice, da la altura máxima: 
 
𝒉(𝟏, 𝟐𝟓) = −𝟏𝟔(𝟏, 𝟐𝟓)𝟐 + 𝟒𝟎(𝟏, 𝟐𝟓) = −𝟏𝟔(𝟏, 𝟓𝟔𝟐𝟓) + 𝟓𝟎 = −𝟐𝟓 + 𝟓𝟎 = 𝟐𝟓 𝒑𝒊𝒆𝒔. 
 
La pelota está en el piso, cuando la altura h (t) = 0, es decir, hay que 
resolver la ecuación 
 
𝒉(𝒕) = −𝟏𝟔𝒕𝟐 + 𝟒𝟎𝒕 = 𝟎 
−𝟏𝟔𝒕𝟐 + 𝟒𝟎𝒕 = 𝟎 
𝒕(−𝟏𝟔𝒕 + 𝟒𝟎) = 𝟎 
𝒕 = 𝟎 𝒐 − 𝟏𝟔𝒕 + 𝟒𝟎 = 𝟎 
𝒕 = 𝟎 𝒐 𝒕 = −𝟒𝟎 −𝟏𝟔 = 𝟐, 𝟓⁄ 
 
 
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Hay dos soluciones: t = 0 segundos cuando se va a lanzar la pelota y t = 
2,5 segundos cuando regresa al piso. Note que este tiempo es el doble 
del tiempo que necesitó la pelota para alcanzar su máxima altura; esto 
se debe a la simetría de la parábola, como muestra la gráfica. 
 
 
 
Ejemplo 4. Una modelación en Economía 
Las ganancias de una empresa (en miles de dólares) se pueden 
determinar al restar los costos de los ingresos. Suponga que los ingresos 
de un negocio son representadas por la función R(x)=5x−0.01x2, y los 
costos de fabricación del producto son representados por C(x)=100+2x, 
donde x es el número de unidades del producto. 
a. Escriba una función G(x) que represente las ganancias de la 
empresa. 
b. Grafique G(x) y determina la ganancia máxima. 
 
Solución. 
Según los datos, la ganancia G(x) serán: 
 
𝑮(𝒙) = 𝑹(𝒙) − 𝑪(𝒙) 
𝑮(𝒙) = 𝟓𝒙 − 𝟎. 𝟎𝟏𝒙𝟐 − (𝟏𝟎𝟎 + 𝟐𝒙) 
𝑮(𝒙) = 𝟓𝒙 − 𝟎. 𝟎𝟏𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝟎 − 𝟐𝒙 
𝑮(𝒙) = − 𝟎. 𝟎𝟏𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎𝟎 
 
Es una función cuadrática, con 𝒂 = ─𝟎. 𝟎𝟏, 𝒃 = 𝟑 𝒚 𝒄 = −𝟏𝟎𝟎. 
Como a<0, la parábola abre hacia abajo y tendrá un punto máximo en su 
vértice, por lo que aplicamos la fórmula del vértice para saber el número 
de unidades x que da la máxima ganancia: 
𝒙 = −
𝒃
𝟐𝒂
= −
𝟑
𝟐 ∙ (−𝟎. 𝟎𝟏)
=
𝟑
𝟎. 𝟎𝟐
= 𝟏𝟓𝟎 
(1.25, 25) 
 
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Entonces, la ganancia máxima es G (150): 
 
𝑮(𝒙) = − 𝟎. 𝟎𝟏𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎𝟎 
𝑮(𝟏𝟓𝟎) = − 𝟎. 𝟎𝟏(𝟏𝟓𝟎)𝟐 + 𝟑(𝟏𝟓𝟎) − 𝟏𝟎𝟎 
𝑮(𝟏𝟓𝟎) = −𝟐𝟐𝟓 + 𝟒𝟓𝟎 − 𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟐𝟓 
 
La ganancia máxima es de 125.000 dólares y se obtienen cuando se 
fabrican 150 productos. 
 
 
 
 
Ejemplo 5. El salto de una rana 
El salto de una rana describe un movimiento parabólico modelado con la 
función 
𝒙(𝒕) = 𝒂𝒕𝟐 + 𝒃𝒕 + 𝒄 
 
Donde x está dada en metros y t en minutos. Si 30 segundos después de 
iniciar el salto, la rana alcanza una altura máxima de 6 metros, encuentre 
a, b y c y el tiempo que tarda en caer al suelo. Sugerencia: asuma t = 0 
el momento en el que la rana inicia el salto. 
 
Solución. 
Según la sugerencia, si t = 0, x = 0. Entonces 
 
𝒙(𝟎) = 𝒂(𝟎)𝟐 + 𝒃(𝟎) + 𝒄 = 𝟎 → 𝒄 = 𝟎. 
 
Luego el modelo es 
𝒙(𝒕) = 𝒂𝒕𝟐 + 𝒃𝒕 
 
(150, 125) 
 
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Nos dicen que a los 30 segundos (= ½ minuto), la rana alcanza su máxima 
altura de 6m, es decir la trayectoria es una parábola que abre hacia abajo 
y están dando el vértice: (1/2, 6): 
 
𝒙(𝟏/𝟐) = 𝒂(𝟏/𝟐)𝟐 + 𝒃(𝟏/𝟐) = 𝟔 
𝟏
𝟒
𝒂 +
𝟏
𝟐
𝒃 = 𝟔 
𝒂 + 𝟐𝒃 = 𝟐𝟒 → 𝒂 = 𝟐𝟒 − 𝟐𝒃 (𝟏) 
 
En el ejemplo 3, vimos que el tiempo de vuelo es el doble del tiempo total 
hasta llegar al suelo. Por lo tanto, si tarda 30 segundos en llegar a la 
altura máxima, tardará otros 30 segundos en caer, en total 60 segundos 
o 1 minuto. 
𝒙(𝟏) = 𝒂(𝟏)𝟐 + 𝒃(𝟏) = 𝟎 → 𝒂 + 𝒃 = 𝟎 → 𝒃 = −𝒂 (𝟐) 
 
Sustituyendo la ecuación (2) en la (1), tenemos: 
 
𝒂 = 𝟐𝟒 − 𝟐𝒃 
𝒂 = 𝟐𝟒 − 𝟐(−𝒂) 
𝒂 = 𝟐𝟒 + 𝟐𝒂 
𝒂 = −𝟐𝟒 
Y de la ecuación
(2): 
𝒃 = −𝒂 
𝒃 = −(−𝟐𝟒) = 𝟐𝟒. 
 
En consecuencia, el modelo completo es: 
 
𝒙(𝒕) = −𝟐𝟒𝒕𝟐 + 𝟐𝟒𝒕. 
 
 
(0, 0) (1, 0) 
(1/2, 6) 
 
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EJERCICIOS 
 
Calcular el vértice y los puntos de corte con los ejes de las siguientes 
funciones parabólicas: 
 
1) 𝒇(𝒙) = −𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟒 
2) 𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟖 
3) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟏 
4) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟖 
5) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟗 
 
 
Resolver los problemas 6 a 9 utilizando un modelo de función cuadrática: 
 
6) Una máquina automática lanzadora de discos en la competencia 
olímpica de tiro al blanco está modelada por la función cuadrática 
 
𝒇 (𝒙) = −𝟎, 𝟎𝟐𝟒𝟏𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟓, 𝟓 
 
donde x es la distancia horizontal recorrida (en pies) y f(x) es la altura 
(también en pies). ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el disco? 
 
7) Una pelota de tenis se lanza verticalmente hacia arriba con una 
velocidad inicial de 20 m/s. Calcule la altura máxima que alcanza la 
pelota y el tiempo que tarda en alcanzarla. Asuma que la gravedad es 
g = 10 m/s2. 
 
8) Desde una plataforma que está a 100 pies de altura se lanza 
verticalmente hacia arriba una pelota con una velocidad inicial de 48 
pies/s. hallar el modelo matemático que permite resolver el problema 
y la altura máxima que alcanza la pelota. 
 
9) El puente colgante Golden Gate en la bahía de San francisco tiene 4200 
pies de largo y la estructura horizontal está a 220 pies sobre el mar y 
los cables que sostienen dicha estructura forman una parábola 
perfecta. Los extremos están sujetos en las torres extremas a 526 
pies sobre el piso del puente. El vértice de la parábola del cable toca 
al piso en la mitad. ¿Cuál es la ecuación de la parábola? 
 
 
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