GUIA 37 ECUACIONES POLINOMICAS (1)

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UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO 
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS 
Profesor: JESÚS MENDOZA NAVARRO 
GUÍA 37: ECUACIONES POLINÓMICAS 
 
No es fácil resolver ecuaciones polinómicas de grado mayor que 2. De 
hecho, los matemáticos Evaristo Galois (1811-1832) y Niels Henrik Abel 
(1802-1829) habían demostrado que no existían fórmulas para resolver 
ecuaciones de quinto grado o superior. 
Pero se sabía lo siguiente: 
 
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA 
Un polinomio de grado n tiene exactamente n ceros o (n raíces) en el conjunto 
de números complejos, contando ceros repetidos. 
 
Ejemplo 1: raíces de un polinomio 
La ecuación de tercer grado x3 – 2 x 2 + 9 x – 18 = 0 tiene las raíces: 
0 = x 2 ( x – 2) + 9( x – 2) 
0 = ( x – 2)( x 2 + 9) 
0 = ( x – 2)( x + 3 i )( x – 3 i ) 
x = 2 o x = –3 i o x = 3 i 
Los ceros de la función son 2, 3i, –3i. 
Una raíz real y dos complejas conjugadas, en total, tres ceros. 
 
REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES 
El número posible de las raíces positivas de un polinomio es igual al número 
de cambios de signo en los coeficientes de los términos o menor que los 
cambios de signo por un múltiplo de 2. 
 
Por ejemplo, si hay 3 cambios de signo en los coeficientes de los términos 
del polinomio, entonces el número posible de raíces positivas del 
polinomio es 3 o 1. 
[Antes de aplicar la regla de los signos de Descartes, asegúrese de 
arreglar los términos del polinomio en orden descendente de exponentes.] 
Este es un teorema de existencia, nos dice cuántas raíces positivas 
pueden aparecer, pero no nos dice cómo hallarlas. 
 
 
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TEOREMA DE LOS CEROS RACIONALES 
Si el polinomio 𝑷(𝒙) = 𝒂ₙ ∗ 𝒙ⁿ + 𝒂ₙ₋₁ ∗ 𝒙ⁿ⁻¹ + . . . + 𝒂₁ ∗ 𝒙 + 𝒂₀ tiene números 
enteros como sus coeficientes, entonces todo cero racional de P(x) es de la forma p/q, 
en su forma más simple o reducida, donde p es un factor o divisor de a₀ y q es un factor 
o divisor de aₙ. 
 
Podemos aplicar entonces el teorema del factor y la división sintética para 
hallar las raíces o ceros de un polinomio. 
 
Ejemplo 2: raíces de un polinomio 
Resolver la ecuación 𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟔 = 𝟎. 
 
Solución. Aplicando la regla de Descartes, vemos que hay 2 cambios de 
signos, por lo que habrá 2 o ninguna raíz positiva. 
Aplicando el teorema de los ceros racionales, las posibles soluciones serán 
los divisores de 6: 
 
Divisores de 6 =  {1, 2, 3, 6} 
 
1 -4 1 6 2 
 2 -4 -6 
1 -2 -3 0 
 
𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟔 = (𝒙 − 𝟐)(𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟑) = (𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟏) = 𝟎. 
 
Luego las soluciones o ceros del polinomio son: 𝑥1 = −1, 𝑥2 = 2, 𝑥3 = 3. 
Dos raíces positivas, como vimos de la regla de los signos de Descartes. 
 
Ejemplo 3: raíces de un polinomio 
Resolver la ecuación 𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 − 𝟏𝟔𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒𝟖 = 𝟎. 
 
Solución. Aplicando la regla de Descartes, vemos que hay 2 cambios de 
signos, por lo que habrá 2 o ninguna raíz positiva. 
Aplicando el teorema de los ceros racionales, las posibles soluciones serán 
los divisores de 48: 
 
Divisores de 48 =  {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48} 
 
1 1 -16 -4 48 2 1 3 -10 -24 3 
 2 6 -20 -48 3 18 24 
1 3 -10 -24 0 1 6 8 0 
 
𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 − 𝟏𝟔𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒𝟖 = (𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝟑)(𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟖) = 𝟎 
= (𝒙 − 𝟐)(𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟒)(𝒙 + 𝟐) = 𝟎. 
 
3 
Luego las soluciones o ceros del polinomio son: 
𝑥1 = −4, 𝑥2 = −2, 𝑥3 = 2, 𝑥4 = 3. 
Dos raíces positivas, como vimos de la regla de los signos de Descartes. 
 
Ejemplo 4: raíces de un polinomio 
Resolver la ecuación 2𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟑 = 𝟎. 
 
Solución. Aplicando la regla de Descartes, vemos que hay 2 cambios de 
signos, por lo que habrá 2 o ninguna raíz positiva. 
Aplicando el teorema de los ceros racionales, debemos hallar los divisores 
de 3 (término independiente) y de 2 (coeficiente principal): 
 
Divisores de 3 =  {1, 3} 
Divisores de 2 =  {1, 2} 
 
Las posibles soluciones o raíces serán:  {1, 3, ½, 3/2} 
 
2 3 -8 3 ½ 
 1 2 -3 
2 4 -6 0 
 
𝟐𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟑 = (𝒙 − 𝟏 𝟐⁄ )(𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟔) = 𝟎 
= 𝟐(𝒙 − 𝟏 𝟐⁄ )(𝒙𝟐 + 2𝒙 − 3) = 𝟐(𝒙 − 𝟏 𝟐⁄ )(𝒙 + 𝟑)(𝒙 − 𝟏) = 𝟎 
 
Luego las soluciones o ceros del polinomio son: 𝑥1 = −3, 𝑥2 = 1 2⁄ , 𝑥3 = 1. 
Dos raíces positivas, como vimos de la regla de los signos de Descartes. 
 
EJERCICIOS 
Resuelva las siguientes ecuaciones polinómicas. 
𝟏) 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟗 = 𝟎 
𝟐) 𝟗𝒙𝟑 − 𝟗𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒 = 𝟎 
𝟑) 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒 = 𝟎 
𝟒) 𝒙𝟒 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟒 = 𝟎 
𝟓) 𝟐𝒙𝟒 − 𝟓𝒙𝟑 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟗𝒙 − 𝟏𝟎 = 𝟎 
𝟔) 𝟐𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟑 = 𝟎