Guia función exponencial y logarítmica

Vista previa del material en texto

155 
 
 
GUÍA DE TRABAJO No. 11 
 
FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARITMICA 
Función exponencial 
Función logaritmo 
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 
Problemas de aplicación 
 
Competencia específica. 
Emplea funciones reales en el análisis y solución de problemas 
en situaciones cotidianas y de su área de conocimiento que 
vinculan dos variables cuantificables 
 
 
Resultados de aprendizaje 
1. Resuelve operaciones entre funciones a partir de imágenes de valores en su dominio. 
2. Utiliza funciones polinómicas, racionales y exponenciales, logarítmicas en la interpretación y solución de 
problemas en situaciones cotidianas y propios de su área de conocimiento 
 
Las funciones exponenciales y logarítmicas hacen parte del grupo de funciones que 
permiten modelar eventos relacionados con crecimiento o decrecimiento de variables. 
Crecimiento de población, depreciación de un producto, proliferación de epidemias, entre 
otras. El éxito del manejo de estas dos funciones depende del correcto uso de las 
propiedades de exponentes y la compresión de la noción de función, como objetos que 
permiten evidenciar el cambio continuo de una variable conforme cambia la variable 
independiente. Así mismo, será importante el uso de los logaritmos. 
 
MOMENTO 1: SABERES PREVIOS 
Espacio que incluye ejercicios y problemas que se sugieren resolver antes de llegar a la clase 
 
1. Resuelve las siguientes operaciones: 
a) (5 + (−5))
0
= 
 
b) 3−4 = 
 
c) −200 = 
 
d) 𝑥1 = 
 
e) (−
3
2
)
3
= 
 
f) (
5
3
)
−3
= 
 
g) 𝜋0 = 
 
h) (
2
5
)
−2
= 
 
2. Halle el número, es decir, la base de la potencia para obtener el resultado indicado. 
a) 𝑥5 = 32 
 
b) 𝑥6 = 1 
 
c) 𝑥−2 = 25 
 
d) 𝑥4 = 16 
 
e) 𝑥−3 =
1
8
 
3. Responda: ¿Representan lo mismo 23
2
 y (23)2? 
 
156 
 
MOMENTO 2: TRABAJO DE CLASE GUÍADO POR EL DOCENTE 
Espacio de ejercicios y problemas, cuya solución es guiada por el docente e involucra ejes temáticos de la clase. 
 
Objetivo de ejercicio. Identificar el propósito del logaritmo como cálculo de exponente 
1. Resuelve los problemas en el escenario de las potencias. ¿qué hallas en cada uno? 
 
Operación (−3)4 = 𝑥 𝑥5 = 32 3𝑥 = 81 
Representación 
 
 
Nombre 
 
 
 
 
2. Escriba la expresión exponencial como un logaritmo. 
a) 4−2 =
1
16
 ⟺ 
 
b) 4−
1
2 =
1
2
 ⟺
3. Escriba la expresión como una expresión exponencial: 
a) 𝑙𝑜𝑔2128 = 7 b) 𝑙𝑛 𝑒
2 = 2
 
 
Objetivo de ejercicio. Hallar el valor del logaritmo a partir de la definición y propiedades de exponentes 
4. Con base en la definición, halla el valor del logaritmo.
a. 𝑙𝑜𝑔28 = 
b. 𝑙𝑜𝑔21 = 
c. 𝑙𝑜𝑔10 = 
 
d. 𝑙𝑜𝑔2 (
1
4
) = 
e. 𝑙𝑜𝑔1
9
 3 = 
f. 𝑙𝑛 𝑒 = 
g. 𝑙𝑛 1 = 
h. 𝑙𝑛 𝑒3 = 
i. 𝑙𝑛 0 =
Objetivo de ejercicio. Resolver ecuaciones logarítmicas 
5. Con base en la definición, plantee la ecuación que permitiría hallar el valor de la 
incógnita 𝑥 en 𝑙𝑜𝑔𝑥(6 − 𝑥) = 2. [Plantee una ecuación cuadrática y analice los resultados] 
 
 
 
6. Use las propiedades de logaritmos y de inversas, para encontrar la solución a las 
siguientes ecuaciones: 
a) 𝑙𝑜𝑔3√𝑥2 + 17 = 2 
 
 
b) 𝑙𝑜𝑔(3𝑥 + 5) = 2 
 
 
Objetivo de ejercicio. Conocer la forma de la función exponencial 
7. Si 𝑓(𝑥) = 4𝑥, halla y emplea las propiedades de exponentes cuando sea necesario para 
simplificar las imágenes y expresarlos con exponentes positivos. [Evalúa la variable 𝑥] 
 
a) 𝑓(−2) = 
b) 𝑓(−1) = 
c) 𝑓(0) = 
d) 𝑓(−𝑥) = 
e) 𝑓(32) = 
f) 𝑓(𝑎 + ℎ) =
 
157 
 
8. Gráfica 𝑓(𝑥) = 2𝑥 y 𝑔(𝑥) = (
1
2
)
𝑥
. 
𝒙 𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙) 
0 
1 
−1 
2 
−2 
3 
−3 
0.5 
−0.5 
 
 
 
 
 
 
 
9. Realiza la gráfica de 𝑓−1(𝑥) 
y 𝑔−1(𝑥) en el plano a 
continuación. Como la 
inversa es la relación 
inversa, llena la tabla y 
marca los puntos. 
 
𝒙 𝒇−𝟏(𝒙) 𝒈−𝟏(𝒙) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Objetivo de ejercicio. Resolver problemas de aplicación con función exponencial 
10. El número de microorganismos en un cultivo al cabo de 𝑡 minutos es 𝑃(𝑡) = 135 (
7
2
)
𝑡
. 
a) Halle el número de bacterias que hay inicialmente en el cultivo. 
 
 
b) ¿Cuántas bacterias hay aproximadamente después de 5 minutos? 
 
 
c) Según el modelo, ¿qué podría decir sobre el futuro del cultivo de bacterias? 
 
 
158 
 
 
11. El interés compuesto es el interés ganado por una inversión de dinero inicial que se 
invierte nuevamente para que genere de nuevo intereses. Por ejemplo, un CDT. 
Suponga que un individuo realiza una inversión inicial 𝐼 [en cualquier moneda] a una tasa 
de interés anual 𝑟 compuesto 𝑛 veces al año (si es trimestral se compone 4 veces al 
año). El monto obtenido al finalizar el tiempo de inversión está dado por 𝑀 = 𝐼 (1 +
𝑟
𝑛
)
𝑛𝑡
. 
El interés compuesto es la diferencia entre el monto recibido y la inversión inicial, es 
decir, 𝐼𝐶 = 𝑀 − 𝐼. Halle el monto compuesto y el interés compuesto para una inversión 
de 5000 durante 20 años al 5% compuesto anualmente. 
 
 
 
 
12. Una empresa propone a su junta directiva un modelo logarítmico de costo total para la 
producción de 𝑞 unidades de su producto por 𝑐 = (2𝑞2𝑙𝑛 𝑞) + 10, donde 𝑐 es el costo en 
millones de pesos. Halle el costo de producción de 6 unidades a una cifra decimal. 
 
 
 
Objetivo de ejercicio. Hallar el dominio de la función logarítmica. 
13. Plantee el problema o ruta a seguir para hallar el dominio de 𝑔(𝑥) = 2𝑙𝑛 (
𝑥2−4
𝑥
). 
 
 
 
 
Objetivo de ejercicio. Usar las propiedades de logaritmo y exponencial como inversa. 
14. Determine el valor de la expresión: 
a) 𝑙𝑛 𝑒𝑒 = 
 
b) 10𝑙𝑜𝑔 6
2
= 
 
c) 𝑒𝑙𝑛𝜋 = 
 
15. Use propiedades de logaritmos para reescribir [armar o desarmar] la expresión 
logarítmica. 
a. log(2𝑥𝑦𝑧) = 
 
b. 𝑙𝑛𝑥2𝑦3 = 
 
c. 3 ln 𝑥 − 5 ln 𝑦 = 
 
d. 
1
2
[ln 𝑥 − 3 ln 𝑦] = 
 
e. √ln (
2𝑥+1
𝑥−2
) 
 
 
 
 
159 
 
16. Resuelve las siguientes ecuaciones. 
 
a. 3 + 5 ⋅ 23𝑥 = 7 
 
 
b. 9𝑒3𝑥+2 = 4 
 
 
c. 101−𝑥 = 6𝑥 
 
 
 
d. 43𝑥−2 = 53−𝑥 
 
 
e. 2𝑥
2
= 82𝑥−3 
 
 
 
f. 3(1 + 𝑒7𝑥−2 ) = 8 
 
 
 
g. 𝑙𝑜𝑔2(𝑥 + 2) + 𝑙𝑜𝑔2(𝑥 − 1) = 3 
 
 
 
h. 𝑙𝑛 3 + 𝑙𝑛(2𝑥 − 1) = 𝑙𝑛 4 + 𝑙𝑛(𝑥 + 1) 
 
 
 
i. 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑙𝑛(𝑥 + 2) − 𝑙𝑛 (𝑥 − 2) = 0 
 
 
 
 
 
17. Una muestra de 15𝑔 de yodo radiactivo se desintegra de tal forma que la masa restante 
después de 𝑡 días está dada por 𝑚(𝑡) = 15𝑒0.05𝑡, donde 𝑚(𝑡) está en gramos. Halle el 
número de días que deben pasar para que queden solo 7 gramos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
160 
 
MOMENTO 3: CONSOLIDACIÓN DE RESULTADOS 
Espacio que incluye ejercicios o problemas que permiten determinar el alcance de tus competencias en clase. 
 
1. Realiza la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 y de 𝑔(𝑥) = 2𝑥 en el intervalo de [0,3]. ¿Cuál función 
crece más rápido? Use distinto color de ser posible para diferenciar. 
 
𝒙 𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙) 
0 
1 
−1 
2 
−2 
3 
−3 
0.5 
−0.5 
 
 
 
 
 
 
2. Estime los siguientes logaritmos. 
a) log2
1
32
= 
 
b) log
1
100
= 
 
c) ln 𝑒5 = 
 
d) log1
3
8 = 
 
e) log1
4
1
16
= 
 
3. Explora en https://www.geogebra.org/classic?lang=es la gráfica de 𝑓(𝑥) = 3𝑥 y 
representa con la reflexión, la gráfica de su función inversa, 𝑓−1(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔3𝑥. 
 
 
4. El valor que toma 𝑥 en la ecuación 𝑙𝑜𝑔𝑥(2𝑥 + 8) = 2 es: [corregir grupo de respuestas] 
a) 𝑥 = −4 𝑦 𝑥 = −2 
b) 𝑥 = 4 
c) 𝑥 = −4 𝑦 𝑥 = 2 
d) 𝑥 = 4 𝑦 𝑥 = −2
 
5. La población estimada en una ciudad de Colombia viene dada por 𝑃 = 210(2.1)
𝑡
10 [en 
miles], siendo 𝑡 el número de años a partir del año 1998. Responde: 
a) ¿Qué población se pronostica inicialmente? 
b) ¿Qué población se pronostica en el año 2020? 
c) ¿Qué tanto aumentaría la población entre 2000 y 2010 bajo este modelo? 
 
https://www.geogebra.org/classic?lang=es
 
161 
 
MOMENTO 4: CONSTRUCCIÓN DE MARCO CONCEPTUAL 
Espacio de estudio independiente, donde predomina la lectura y compresión. Consolidara través de los conceptos es su propósito. 
 
FUNCIÓN EXPONENCIAL 
 
Una función exponencial de base 𝑏 con 𝑏 > 0 y 𝑏 ≠ 1 es una función de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑏𝑥. 
El número 𝑏 es la base de la función y 𝑥, la variable independiente es el exponente. 
 
Ejercicio 1. Si 𝑓(𝑥) = 4𝑥, halla y emplea las propiedades de exponentes cuando sea 
necesario para simplificar las imágenes de los siguientes valores y expresarlos con 
exponentes positivos 
a) 2𝑓(3) − 5𝑓(1) = 
 
b) 
3𝑓(0)+4𝑓(2)
5−𝑓(3)
= 
 
c) 𝑓(𝑒) = 
 
d) 𝑓 (
1
2
) =
La función exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑏𝑥 es creciente si 𝑏 > 1 y decreciente si 0 < 𝑏 < 1; 
además, 𝑓(0) = 1 para todo 𝑏. Así, la gráfica de la función exponencial corta el eje 𝑌 en 
𝑦 = 1.
 
Función exponencial Natural [Euler] 
Es la función exponencial con base Número Euler 𝑒. Esto es, la función 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 recibe el 
nombre de función exponencial natural o más conocida como Función Euler. 
 
Observación 1. El número Euler 𝑒 por ser número irracional, tiene su parte decimal infinita 
no periódica. En vez de emplear la notación 𝑓(𝑥) = (2.7172. . . )𝑥 se suele especificar la 
función con la letra usual 𝑒, es decir, 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥. 
 
El número Euler es un número irracional muy importante en las 
matemáticas y las ciencias, y su expresión decimal es 
aproximadamente a 𝑒 = 2.718281828459045 …, aparece en 
diversas ramas del conocimiento, además es la base del logaritmo 
natural que igualmente, aparece en diversas aplicaciones de las 
ciencias y matemáticas. 
 
 
 
162 
 
FUNCIÓN LOGARÍTMO 
 
Si 𝑏 > 0 y 𝑏 ≠ 1, entonces el logaritmo con base 𝑏 de 𝑥 se define como: 
𝑙𝑜𝑔𝑏𝑥 = 𝑛 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑏
𝑛 = 𝑥 
 
Esto significa que un logaritmo es el exponente 𝑛 al que se debe elevar la base 𝑏 para que 
dé como resultado 𝑥. 
 
Ejemplo 1. La expresión log4 64 = 3, pues 4
3 = 64 “La base elevada al resultado da 64”. 
Además, 104 = 10000 equivale a log10 10000 = 4. 
 
 
Ejercicio 2 
1. Escriba la expresión exponencial como un logaritmo. 
a) 𝑒0 = 1 ⟺ 
 
b) 103 = 1000 ⟺
 
2. Escriba la expresión como una expresión exponencial: 
a) 𝑙𝑜𝑔1
2
8 = −3 
 
b) 𝑙𝑜𝑔 10 = 1 
 
Función logaritmo natural. Así como se definió la función exponencial natural con base 
Euler, es decir, 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥, se define el logaritmo natural. Si la base del logaritmo es el 
número Euler 𝑒, entonces 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑒𝑥. Esta expresión se escribe 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥, simplificando la 
notación cuando la base es 𝑒. Es decir, finalmente quedará 
𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑒𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 
 
Ejercicio 3. Usa la calculadora para encontrar los siguientes logaritmos, redondeando a 
una cifra decimal. 
a) 𝑙𝑛5 
b) 𝑙𝑛𝑒 
c) 𝑙𝑛1 
d) 𝑙𝑛0 
e) ln (−0.5)
 
Función logaritmo y visualización como inversa de la función exponencial 
La gráfica de la función logaritmo, se puede encontrar reflejando la gráfica de la función 
exponencial respecto 𝑦 = 𝑥, pues esta función es la inversa de la función exponencial. 
Gráficas de función logaritmo como inversa de la función exponencial 
 
163 
 
Observación 2. De la gráfica de una función logarítmica, podemos observar que: 
 
1. Si la base está entre 0 y 1, la gráfica de la función logaritmo es decreciente. 
2. Si la base es mayor que 1 la gráfica de la función logaritmo es creciente. 
3. La función logaritmo no tiene valor máximo ni mínimo, excepto si está acotado su 
dominio. 
4. La función logaritmo siempre corta al eje 𝑋 en 𝑥 = 1. 
5. La función es inyectiva en los reales. 
6. Si 𝑓(𝑥) = 𝑏𝑥, entonces 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ y 𝑅𝑎𝑛(𝑓) = (0, ∞). De esta manera, 𝑓−1(𝑥) =
𝑙𝑜𝑔𝑏𝑥 es tal que 𝐷𝑜𝑚(𝑓
−1)(𝑥) = (0, ∞) y 𝑅𝑎𝑛(𝑓−1(𝑥)) = ℝ. 
7. El dominio de la función son todos los números reales positivos. 
8. Teniendo en cuenta la inyectividad, la función logaritmo tiene inversa y esta es, la 
función exponencial. Así, si 𝑓(𝑥) = 𝑏𝑥 es la función exponencial de base b, entonces 
𝑓−1(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑥 es la función inversa. 
 
Observación 3. Si 𝑓(𝑥) y 𝑓−1(𝑥) son funciones inversas entre sí, entonces la gráfica de 
𝑓−1(𝑥) se obtiene reflejando con respecto a la recta 𝑦 = 𝑥 la gráfica de 𝑓(𝑥) tal como se 
ilustró anteriormente. 
 
Ejemplo 2. La siguiente gráfica ilustra la gráfica de una función 𝑓(𝑥) y de su inversa, a 
través de la reflexión de la recta 𝑦 = 𝑥. 
 
Propiedades de los logaritmos 
Las propiedades de logaritmos enunciadas a continuación permiten no solo resolver 
ecuaciones logarítmicas, sino reducir una expresión logarítmica compuesta de varios 
logaritmos a una única expresión con un solo logaritmo o viceversa. 
 
Si 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1, y 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ+, entonces: 
 
(Prop1) 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑥𝑦) = 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑥 + 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑦 
 
Ejemplo 3. Describir log3[(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)] como suma de logaritmos. 
 
Solución El logaritmo del producto, se separa con la suma de los logaritmos de cada 
factor. En este caso, se tienen dos factores. 
log3(𝑥 + 3)(𝑥 − 2) = log3(𝑥 + 3) + 𝑙𝑜𝑔3(x − 2) 
 
Ejercicio 4. Describa el log2 𝑥(𝑥 + 3)(𝑥
2 + 5) como suma de logaritmos. 
 
 
164 
 
(Prop2) 𝑙𝑜𝑔𝑏 (
𝑥
𝑦
) = 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑥 − 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑦 
 
Ejemplo 4. Describir log5 (
𝑥
𝑥+3
) como diferencia de logaritmos. 
 
Solución El logaritmo del cociente, se separa con la diferencia del numerador y 
denominador. En este caso, queda: 
log5 (
𝑥
𝑥 + 3
) = log5(𝑥) − 𝑙𝑜𝑔5(x + 3) 
 
Ejercicio 5. Describe log
3
𝑥2+1
 como diferencia de logaritmos en la misma base. 
 
 
Ejemplo 5. Describe ln 𝑥 + ln(𝑥 − 3) − ln(𝑥 + 8) como un solo logaritmo. 
 
Solución: Se emplean las dos propiedades anteriores para dar solución a este problema. 
 
ln 𝑥 + ln(𝑥 − 3) − ln(𝑥 + 8) = ln 𝑥 + ln (
𝑥 − 3
𝑥 + 8
) 𝑆𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 2 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
= ln (𝑥 ⋅
𝑥 + 3
𝑥 + 8
) 𝑆𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 1 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜
= ln (
𝑥(𝑥 + 3)
𝑥 + 8
) 𝑆𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠
 
 
 
(Prop3) 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑥
𝑛 = 𝑛𝑙𝑜𝑔𝑏𝑥 
 
Ejemplo 6. Aplicar la propiedad 3 a la expresión 𝑙𝑛𝑥5. 
 
Solución: El exponente de 𝑥 baja a multiplicar a logaritmo, es decir, 𝑙𝑛𝑥5 = 5 ln 𝑥. 
 
Ejemplo 7. Aplicar la propiedad 3 para transformar la expresión ln 𝑥2(𝑥 + 2)3. 
 
Solución En la transformación de la expresión ln 𝑥2(𝑥 + 2)3 se manejan combinada las 
propiedades 1 y 3. Veamos: 
 
ln 𝑥2(𝑥 + 2)3 𝐸𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
ln 𝑥2 + ln(𝑥 + 2)3 𝑈𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 1
2 ln 𝑥 + 3 ln(𝑥 + 2) 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 3 𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜
 
 
Ejercicio 6. Transforma la expresión ln (
𝑥3(𝑥−3)
(𝑥+4)2
) como suma y diferencias de logaritmos. 
 
 
Ejemplo 8. Transformar la expresión ln √
𝑥(𝑥+5)2
𝑥−1
 como combinación lineal de logaritmos. 
 
 
165 
 
ln √
𝑥(𝑥 + 5)2
𝑥 − 1
𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜
ln (
𝑥(𝑥 + 5)2
𝑥 − 1
)
1
2
𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑟𝑎í𝑧 𝑒𝑛 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒
1
2
ln
𝑥(𝑥 + 5)2
𝑥 − 1
𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 3
1
2
[ln 𝑥(𝑥 + 5)2 − ln(𝑥 − 1)] 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 2 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
1
2
[ln 𝑥 + ln(𝑥 + 5)2 − ln(𝑥 − 1)] 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 1 𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜
1
2
[ln 𝑥 + 2ln(𝑥 + 5) − ln(𝑥 − 1)] 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 3 𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜
1
2
ln 𝑥 +
1
2
⋅ 2ln(𝑥 + 5) −
1
2
ln(𝑥 − 1) 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎
1
2
ln 𝑥 + ln(𝑥 + 5) −
1
2
ln(𝑥 − 1) 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜
 
 
 
Ejemplo 9. Escribe 
1
2
[𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑥
2 − 𝑥 − 6) − 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑥 − 3) + 2𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑥 + 1)] en un solo logaritmo. 
 
Solución: Se conjugan las propiedades para dar como resultado un solo logaritmo. 
 
1
2
[𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑥
2 − 𝑥 − 6) − 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑥 − 3) + 2𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑥 + 1)] 𝐼𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜
 
1
2
[𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑥
2 − 𝑥 − 6) − 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑥 − 3) + 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑥 + 1)
2] 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 3 𝑎𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜
1
2
[𝑙𝑜𝑔𝑏
(𝑥2 − 𝑥 − 6)
𝑥 − 3
 + 𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑥 + 1)
2] 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 2 𝑎 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 1 𝑦 2
1
2
[log𝑏
𝑥2 − 𝑥 −6
𝑥 − 3
⋅ (𝑥 + 1)2] 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 1 𝑎 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 1 𝑦 2
1
2
[log𝑏
(𝑥2 − 𝑥 − 6)(𝑥 + 1)2
𝑥 − 3
] 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
log𝑏 (
(𝑥2 − 𝑥 − 6)(𝑥 + 1)2
𝑥 − 3
)
1
2
𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 3
log𝑏 √
(𝑥2 − 𝑥 − 6)(𝑥 + 1)2
𝑥 − 3
𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑟𝑎í𝑧
 
 
Ejercicio 7. Escribe las expresiones siguientes a partir de un solo logaritmo o como sumas 
y restas de logaritmos. 
a) 𝑙𝑛 3 + 𝑙𝑛 𝑥2 
 
 
b) 2 ln (
𝑥
𝑦
) − 5 ln 𝑥4 −
1
2
𝑙𝑛(𝑥 + 𝑦) 
 
166 
 
En clases pasadas, se estudió la Propiedad fundamental de funciones inversas: Si 𝑓 y 𝑔 
son funciones inversas entre sí, se cumplen: 
a) (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑥 b) (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑥
 
 
De acuerdo a las anteriores, si 𝑓(𝑥) = 𝑏𝑥 y 𝑔(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑥 entonces: 
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑏𝑙𝑜𝑔𝑏𝑥 = 𝑥 
 
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑏𝑏
𝑥 = 𝑥 
 
Ejemplo 10. Los siguientes ejemplos aplican las propiedades anteriores. 
a) 4log4 𝑥 = 𝑥 
b) 𝑙𝑜𝑔99
𝑥 = 𝑥 
c) 𝑒𝑙𝑛𝑥 = 𝑥 
d) ln 𝑒𝑥 = 𝑥 
 
Nota: No es cierto que log2 5
𝑥 ≠ 𝑥. La base del logaritmo no es igual a la base de la 
potencia. 
 
 
Ejemplo 11. Usa la propiedad de funciones inversas para despejar la variable en la 
siguiente ecuación: 
102−𝑥 = 6𝑥 
 
Solución. La ecuación exponencial tiene bases distintas. Por un lado base 10 y por otro 
lado base 6. Se puede componer en ambos lados con la función logaritmo de cualquier 
base, en este caso y es usual componer con logaritmo natural. Se dice que se aplica 
logaritmo natural en ambos lados y queda lo siguiente: 
 
102−𝑥 = 6𝑥 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
ln(102−𝑥) = ln(6𝑥) 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 ln 𝑒𝑛 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 
(2 − 𝑥) ln 10 = 𝑥 𝑙𝑛6 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠
2 ln 10 − 𝑥𝑙𝑛10 = 𝑥𝑙𝑛 6 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎
2 ln 10 = 𝑥𝑙𝑛 6 + 𝑥𝑙𝑛 10 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑜 𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎
2 ln 10 = 𝑥(ln 6 + ln 10) 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 𝑥 𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟
2 ln 10 = 𝑥𝑙𝑛 6 ⋅ 10 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜
2 ln 10 = 𝑥𝑙𝑛 60 𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎
2 ln 10
ln 60
= 𝑥 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟
𝑥 =
2 ln 10
ln 60
𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎
 
 
Así pues, la solución de la ecuación exponencial es 𝑥 =
2 ln 10
ln 60
. 
 
 
 
 
 
 
167 
 
MOMENTO 5: TRABAJO DE MONITORÍA 
Espacio que incluye ejercicios propuestos para estudiar en el espacio de monitoria o de atención a estudiantes. 
 
1. El número de bacterias en un cultivo está dado por 𝑛(𝑡) = 500𝑒0.45𝑡 con 𝑡 en horas. 
a) ¿Cuál es la población inicial del cultivo? 
 
b) ¿Cuántas bacterias contendrá el cultivo al tiempo 𝑡 = 5? 
 
c) Halle el tiempo que debe pasar para que el número de bacterias se triplique. 
 
2. Los valores correspondientes para x que satisfacen 𝑙𝑜𝑔𝑥(2𝑥
2 − 4) = 2 son: 
a) 𝑥 = 1 𝑦 𝑥 = −1 
b) 𝑥 = 2 𝑦 𝑥 = −1 
c) 𝑥 = 1 𝑦 𝑥 = −2 
d) 𝑥 = 2 𝑦 𝑥 = −2 
 
3. Escribe como un solo logaritmo 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑙𝑛(2𝑥 − 1) − 𝑙𝑛(𝑥 + 5) = 0 y encuentra de ser 
posible el conjunto solución. 
 
4. Determina el dominio de la función 𝑓(𝑥) = log(2𝑥 − 3). 
 
4. Halle el conjunto solución de la ecuación 𝑒5𝑥−2 = 10. 
 
5. Halle log10 1 y (((𝑒
−1)−2)−3)−4 
 
 
MOMENTO 6: EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS 
Problemas sugeridos al estudiante para fortalecer sus competencias matemáticas y dar alcance a los resultados de aprendizaje. 
 
1. Si 𝑓(𝑥) = 2𝑥, determina 𝑓(0,01) y 𝑓(1.2) y expresa las imagenes en términos de una 
raíz. [Sug: Convierte el exponente en fracción decimal] 
 
2. ¿Considera que las funciones 𝑓(𝑥) = 2 ⋅ 3𝑥 y 𝑔(𝑥) = 6𝑥 son iguales? 
 
3. ¿Considera que 𝑓(𝑥) = (22)𝑥 es la misma función que 𝑔(𝑥) = 22
𝑥
? 
 
4. Si 𝑓(𝑥) = 10𝑥, demuestre que 
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
= 10𝑥 (
10ℎ−1
ℎ
) 
 
5. Realiza las gráficas de las siguientes funciones. Etiqueta correctamente el plano donde 
se realiza la gráfica. Utiliza el recurso Geogebra. 
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥+2 + 1 
b) 𝑓(𝑥) = 2𝑥+2 − 1 
c) 𝑦 = 2𝑥 − 1 
d) 𝑦 = 2𝑥 + 1 
 
6. Escribe las expresiones siguientes a partir de un solo logaritmo o como sumas y restas 
de logaritmos. 
a) (𝑙𝑛 2 + 𝑙𝑛 𝑥) − 𝑙𝑛 3 b) 𝑙𝑜𝑔√(𝑥 + 3)(𝑥 − 2)
 
7. Resuelva 𝑙𝑜𝑔𝑥((2𝑥)
3𝑥) = 4𝑥. 
 
168 
 
8. Con base en la definición de logaritmo, halla el valor de la incógnita 𝑥: 
a) 𝑙𝑜𝑔𝑥25 = 2 
b) 𝑙𝑜𝑔𝑥(2𝑥 − 3) = 1 
c) 𝑙𝑜𝑔3(𝑥 + 2) = −2 
d) 𝑙𝑜𝑔𝑥(6 − 𝑥) = 2 
e) 𝑙𝑜𝑔𝑥(2𝑥 + 8) = 2 
 
9. Resuelve la ecuación 
𝑒𝑥+𝑒−𝑥
2
= 1 
 
10. El valor o valores que toma x en la ecuación 𝑙𝑜𝑔𝑥16 = −2 corresponde a: 
a) 𝑥 = 4 𝑜 𝑥 = −4. 
b) 𝑥 =
1
4
𝑜 𝑥 = −
1
4
. 
c) 𝑥 = 2 ó 𝑥 = −2. 
d) 𝑥 =
1
2
 𝑜 𝑥 = −
1
2
.
 
11. Escriba 𝑙𝑛√
(2𝑥−1)(𝑥−3)2
5𝑥+1
 como sumas, restas y múltiplos del logaritmo natural. 
 
12. Encuentre el conjunto solución de las siguientes ecuaciones: 
a) 𝑙𝑜𝑔 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔 (𝑥 + 1) = 𝑙𝑜𝑔(3𝑥) 
b) 𝑙𝑜𝑔9√10𝑥 + 5 −
1
2
= 𝑙𝑜𝑔9√𝑥 + 1 
c) 𝑙𝑜𝑔1
3
12𝑥2 − 𝑙𝑜𝑔1
3
(20𝑥 − 9) = −1 
d) 𝑙𝑜𝑔2𝑥
2 − 𝑙𝑜𝑔2(𝑥 − 2) = 3 
e) (𝑙𝑛 𝑥)2 + 𝑙𝑛 𝑥 = 2 
f) 𝑙𝑛(𝑥2 + 𝑥 − 2) = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑙𝑛 (𝑥 − 1). 
g) 𝑙𝑜𝑔(𝑥3 − 1) − 𝑙𝑜𝑔(𝑥2 + 𝑥 + 1) = −2. 
h) 2𝑙𝑜𝑔 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 2 + 𝑙𝑜𝑔(3𝑥 + 4) 
i) 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑙𝑛 (𝑥 − 2) = 𝑙𝑛 3 
j) 
30
1+𝑒−𝑥
= 2 
k) (𝑒2)𝑥
2
−
1
𝑒5𝑥+3
 = 0 
l) 2𝑙𝑛 𝑥 − 𝑙𝑛 5 = 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑙𝑛 (𝑥 − 1) 
m) 𝑙𝑜𝑔2(𝑥 − 1) − 𝑙𝑜𝑔2(𝑥 + 4) = 1 
n) 𝑙𝑜𝑔9(𝑥 − 5) + 𝑙𝑜𝑔9(𝑥 + 3) = 1. 
o) 𝑙𝑜𝑔(3 − 𝑥) − 𝑙𝑜𝑔(12 − 𝑥) = −1 
 
13. El interés compuesto es el interés ganado por una inversión de dinero inicial que se 
invierte nuevamente para que genere de nuevo intereses. Por ejemplo, un CDT. 
Suponga que un individuo realiza una inversión inicial 𝐼 [en cualquier moneda] a una tasa 
de interés anual 𝑟 compuesto 𝑛 veces al año (si es trimestral se compone 4 veces al 
año). El monto obtenido al finalizar el tiempo de inversión está dado por 𝑀 = 𝐼 (1 +
𝑟
𝑛
)
𝑛𝑡
. 
El interés compuesto es la diferencia entre el monto recibido y la inversión inicial, es 
decir, 𝐼𝐶 = 𝑀 − 𝐼. De acuerdo a la expresión dada, resuelve los problemas de interés 
dados a continuación. 
a) Suponga que un individuo invierte 10000 a una tasa del 8% durante 4 años 
compuesto semestralmente. Obtenga el monto obtenido y el interés compuesto. 
b) Halle el monto compuesto y el interés compuesto para una inversión de 5000 durante 
2.5 años al 9% compuesto mensualmente. 
 
 
169 
 
14. Se compra un certificado de depósito por 6500 y se conserva durante 6 años. Si gana 
4% compuesto trimestralmente, ¿cuál es el valor del certificado al cabo de seis años? 
 
15. Halle el monto compuesto y el interés compuesto para una inversión de 4000 durante 7 
años al 6% compuesto anualmente. 
 
16. Halle el monto compuesto y el interés compuesto para una inversión de 700 durante 15 
años al 7% compuesto semestralmente. 
 
17. Un medicamento se suministra a un paciente en donde el número de miligramos restante 
en el torrente sanguíneo del paciente después de 𝑡 horas, viene dado por el modelo 
𝑅(𝑡) = 35𝑒−0,3𝑡. Halle la cantidad [en 𝑚𝑔] de medicamento que queda en el torrente 
sanguíneo del paciente luego de 6 horas. 
 
18. Un barril de 50 galones se llena por completo de agua pura y a continuación se le 
bombea agua salada con concentración de 0.3 𝑙𝑏/𝑔𝑎𝑙 al barril, y la mezcla resultante se 
derrama con la misma rapidez. La cantidad de sal en el barril en el tiempo 𝑡 está dada 
por 𝑄(𝑡) = 15(1 − 𝑒−0.04𝑡), donde 𝑡 se mide en minutos y 𝑄(𝑡) en libras. Halle la cantidad 
de sal que hay al inicio de la mezcla y también después de 10 minutos. 
 
19. La población de cierto roedor en Cali viene modelada por 𝑛(𝑡) = 540𝑒0.05𝑡 donde 𝑡 se 
mide en años desde 2017 y 𝑛(𝑡) en millones. 
a) ¿Cuál fue la población en 2017? 
b) ¿Cuál es la población esperada para el 2020? 
c) Determine elcambio que hay en la población entre 2018 y 2020. 
 
20. El potencial hidrógeno o 𝑷𝑯 de una solución se define como 𝑝𝐻 = −𝑙𝑜𝑔[𝐻+], en donde 
el símbolo [𝐻+] representa la concentración de iones hidrógeno en la solución, expresa 
en moles por litro. Una solución es ácida si 0 < 𝑝𝐻 < 7. Si 𝑝𝐻 > 7 la solucíon es básica 
o alcalina. Si 𝑝𝐻 = 7 entonces la solución es neutral. Si la concentración de iones 
hidrógeno en la sangre de una persona saludable es [𝐻+] = 3.98 × 10−8𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠/𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜, 
halle el 𝑝𝐻 de la sangre. 
 
 
21. La presión atmosférica 𝑃 (en Kilospascals 𝑘𝑃𝑎) a una altitud ℎ [𝑘𝑚] está regida por la 
fórmula ln (
𝑃
𝑃0
) = −
ℎ
𝑘
, donde 𝑘 = 7 y 𝑃0 = 100𝑘𝑃𝑎 son constantes. Despeje 𝑃 y determine 
la presión a una altitud de 4𝑘𝑚. 
 
22. Interés compuesto continuamente. Un hombre invierte 5000 en una cuenta que paga 
8.5% de interés por año, capitalizado trimestralmente. Responda: 
a) Encuentre la cantidad después de 3 años. 
b) ¿Cuánto tiempo tomará para que la inversión se duplique? 
 
23. Una mujer invierte 6500 en una cuenta que paga 6% de interés por año, capitalizado 
continuamente. Responda: 
a) Halle la cantidad recibida y el interés compuesto al cabo de 3 años. 
b) Halle el tiempo que debe transcurrir para que la cantidad recibida sea de 9000.