teoria06_ejercicios_resueltos

Vista previa del material en texto

Temas 6 y 7 – Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II – 2º Bachillerato 1 
TEMA 6 y 7 - RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 
ECUACIONES DE LA RECTA 
 
Para hallar la ecuación de una recta en el espacio necesito: 
• Dos puntos 
• Un punto y su vector director 
Nota: Nosotros utilizaremos siempre un punto A(x0,y0,z0) y un vector 
→
v = (a,b,c). 
Si me dan dos puntos A(x0,y0,z0), B(x1,y1,z1) ⇒ Tomaremos uno de los mismos A(x0,y0,z0) y como 
vector 
→
v = 
→
AB = (x1- x0, y1 – y0, z1 – z0) 
 
Ecuación vectorial: (x,y,z) = (x0,y0,z0) + k.(a,b,c) ∀ k ∈ R 
Ecuaciones paramétricas: 





+=
+=
+=
kczz
kbyy
kaxx
0
0
0
 ∀ k ∈ R 
Ecuación continua: 
c
zz
b
yy
a
xx 000 −=
−
=
−
 
Ecuación implícita (como intersección de dos planos): 



=+++
=+++
0DzCyBxA
0DzCyBxA
2222
1111 
 
Ejemplo 1 : Halla las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos P(1,0,-1) y Q(2,1-3) 
 




−=−−−=−=
−
)2,1,1()1,0,1()3,1,2(PQPQ:Vector
)1,0,1(P:Punto
:r 
Ecuación vectorial: (x,y,z) = (1,0,-1) + λ.(1,1,-2) R∈λ∀ 
Ecuaciones parámetricas: R 
21z
y
1x
∈λ∀





λ−−=
λ=
λ+=
 
Ecuación continua: 
2
1z
1
y
1
1x
−
+==− 
Ecuación implícita: 



−=−−
=−
→



+=+−
=−
1zx2
1yx
1z2x2
y1x
 
 
Ejemplo 2: Hallar dos puntos y un vector de las siguientes rectas: 
a) (x,y,z) = (2,0,-1) + t.(1,2,3) Puntos: 



⇒=
⇒=
 (3,2,2)P1t
(2,0,-1)P0t 
2
1 Vector: (1,2,3) 
b) 





λλλλ−−−−====
λλλλ−−−−====
λλλλ++++====
43z
y
1x
 Puntos: 



⇒=λ
⇒=λ
 (2,-1,-1)P1
(1,0,3)P0 
2
1 Vector (1,-1,-4) 
c) 
3
2z
4
1y
2
1x ++++====
−−−−====
++++
 Puntos 




⇒= )
2
1
(0,3,-P0x
(-1,1,-2)P
2
1
 Vector (2,4,3) 
Temas 6 y 7 – Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II – 2º Bachillerato 2 
d) 



====++++−−−−
====++++++++
4z3yx2
3zy2x
 





−−
≈





− 2150
3121
4312
3121



−=+−
=++
≈
2zy5
3zy2x
 
 





−α=
α=
α−=
→





α−+α−=
−α=
α=
25z
y
75x
5223x
25z
y





−



−
−
→
)5,1,7(:Vector
)3,1,2(P
)2,0,5(P
:Puntos
2
1
 
Nota: Otra forma de hallar el vector )5,1,7(
312
121
kji
−−=
−
 
ECUACIONES DE UN PLANO 
 
Para hallar la ecuación de un plano en el espacio necesito: 
• Tres puntos 
• Un punto y dos vectores directores 
Nota: Nosotros utilizaremos siempre un punto A(x0,y0,z0) y dos vectores 
→
v 1 = (a1,b1,c1), 
→
v 2 = (a2,b2,c2) 
Si me dan tres puntos A(x0,y0,z0), B(x1,y1,z1), C(x2,y2,z2) ⇒ Tomaremos uno de los mismos A(x0,y0,z0) 
y como vectores 
→
v 1 = 
→
AB = (x1- x0, y1 – y0, z1 – z0) 
 
→
v 2 = 
→
AC = (x2- x0, y2 – y0, z2 – z0) 
 
Ecuación vectorial: (x,y,z) = (x0,y0,z0) + s.(a1,b1,c1) + t. (a1,b1,c1) ∀ s,t ∈ R 
Ecuaciones paramétricas: 





++=
++=
++=
210
210
210
tcc.szz
tbb.syy
taa.sxx
 ∀ s,t ∈ R 
Ecuación implícita o general: Ax + By + Cz + D = 0 ⇒ 
0
cba
cba
zzyyxx
222
111
000
=
−−−
 ⇒ Ax + By + Cz + D = 0 
Vector normal = 
→
n = (A,B,C) = 
→
v 1 x 
→
v 2 (Es perpendicular a los dos vectores directores) 
Nota: Si conocemos el vector normal y un punto podemos hallar directamente la ecuación general del 
plano. Del vector normal conocemos A, B y C ; y si sustituimos el punto hallamos D. 
 
Ejemplo 3 : Hallar las ecuaciones del plano que pasa por los puntos A(0,1,-1), B(2,3,-5), C(1,4,3) 










==
−==
−
π
)4,3,1(ACv
)4,2,2(ABv
:Vectores
)1,1,0(A:Punto
:
2
1 
Ecuación vectorial: (x,y,z) = (0,1,-1) + s.(2,2,-4) + t.(1,3,4) ∀ s,t ∈ R 
Ecuaciones paramétricas: 





+−−=
++=
+=
t4s41z
t3s21y
ts2x
 ∀ s,t ∈ R 
Ecuación implícita o general: Ax + By + Cz + D = 0 
Temas 6 y 7 – Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II – 2º Bachillerato 3 
0
431
422
1z1yx
=−
+−
 ⇒ 20x – 12(y-1)+4(z+1) = 0 ⇒ 5x-3y+z+4=0 
 
Ejemplo 4: Hallar dos punto, dos vectores y el vector normal 
a) (x,y,z) = (1,2,3) + λλλλ(4,5,6) +µµµµ(1,0,3) Puntos:



→=µ=λ )6,2,2(P10,
(1,2,3)P
2
1 
Vectores: 






−−== )5,6,15(vxvn
)3,0,1(v
)6,5,4(v
21
2
1
 
b) 





λλλλ−−−−====
µµµµ−−−−λλλλ====
µµµµ++++λλλλ++++====
3z
2y
21x
 Puntos: 



−→=µ=λ )3,1,2(P10,
(1,0,3)P
2
1 Vectores: 






−−−==
−
−
)4,1,1(vxvn
)0,1,1(v
)1,2,2(v
21
2
1
 
c) x + 2y – z = 4 z = x + 2y -4 Puntos: P(0,0,-4), Q(1,1,-1), R(1,0,-3) )1,2,1(n − 
 Vectores: 




==
==
)1,0,1(PRv
)3,1,1(PQv
2
1 
 
Ejemplo 5 : Hallar la ecuación del plano, cuyo vector normal es (1,2,3) y pasa por el punto (2,0,4) 
 
014z3y2x
14D 0 D 3.4 2.0 2
0 D 3z 2y x 
=−++⇒



−=⇒=+++
=+++
 
 
 
EJERCICIOS REPASO RECTAS Y PLANOS 
 
Ejercicio 6 : Halla las ecuaciones paramétricas de los ejes de coordenadas 
 
Eje OX R 
0z
0y
x
)0,0,1(PP:Vector
)0,0,0(P:Pto
)0,0,1(P
)0,0,0(P
21
1
2
1 ∈λ∀





=
=
λ=
⇒




=
⇒



 
Eje OY R 
0z
y
0x
)0,1,0(PP:Vector
)0,0,0(P:Pto
)0,1,0(P
)0,0,0(P
21
1
2
1 ∈λ∀





=
λ=
=
⇒




=
⇒



 
Eje OZ R 
z
0y
0x
)1,0,0(PP:Vector
)0,0,0(P:Pto
)1,0,0(P
)0,0,0(P
21
1
2
1 ∈λ∀





λ=
=
=
⇒




=
⇒



 
 
Temas 6 y 7 – Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II – 2º Bachillerato 4 
Ejercicio 7 : Escribe todas las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos A(-3,2,1) y 
B 




 −−−− 0,
2
3
,
2
5
 
 
r: 





−−




 −−=




 −−+−=
−
)2,1,1(||1,
2
1
,
2
1
10,2
2
3
,3
2
5
AB:Vector
)1,2,3(A:Punto
 
Ecuación vectorial: (x,y,z) = (-3,2,1) + λ.(1,-1,-2) R∈λ∀ 
Ecuaciones parámetricas: R 
21z
2y
3x
∈λ∀





λ−=
λ−=
λ+−=
 
Ecuación continua: 
2
1z
1
2y
1
3x
−
−=
−
−=+ 
Ecuación implícita: 



−=+
−=+
→



−=−+−
−=−−
5zx2
1yx
1z6x2
2y3x
 
 
Ejercicio 8 : Comprueba si existe alguna recta que pase por los puntos P(3,1,0),Q(0,-5,1), R(6,-5,1) 
 
Método: Hallamos la recta que pasa por P y Q, y comprobamos si R pertenece a la recta. 
 
Recta que pasa por P y Q 
1
z
6
1y
3
3x
)1,6,3(PQ:Vector
)0,1,3(P:Punto
=
−
−=
−
−
⇒




−−=
 
Comprobamos si el punto R la cumple: 111
1
1
6
15
3
36 ==−⇒=
−
−−=
−
−
⇒ Falso. 
No existe ninguna recta que pase por los puntos P, Q y R a la vez. 
 
Ejercicio 9 : Halla todas las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A(-4,2,5) y es paralela al 
eje OZ. 
 
r: 





⇒



−
)1,0,0(v
)1,0,0(P
)0,0,0(P
OZ eje Vector
)5,2,4(A:Punto
2
1 
Ecuación vectorial: (x,y,z) = (-4,2,5) + λ.(0,0,1) R∈λ∀ 
Ecuaciones parámetricas: R 
5z
2y
4x
∈λ∀





λ+=
=
−=
 
Ecuación continua: 
1
5z
0
2y
0
4x −=−=+ 
Ecuación implícita: 



=−
=+
02y
04x
 
 
Temas 6 y 7 – Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II – 2º Bachillerato 5 
Ejercicio 10 : Escribe todas las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P(1,-3,0) y paralela al 
vector )0,0,2(v ),2,1,1(u siendo ,vxu −−−− 
 
r: 







=−=
−
)1,2,0(||)2,4,0(
002
211
kji
vxu: Vector
)0,3,1(A:Punto
 
Ecuación vectorial: (x,y,z) = (1,-3,0) + λ.(0,2,1) R∈λ∀ 
Ecuaciones parámetricas: R 
z
23y
1x
∈λ∀





λ=
λ+−=
=
 
Ecuación continua: 
1
z
2
3y
0
1x =+=− 
Ecuación implícita: 



−=−
=
⇒



=+
=−
3z2y
1x
z23y
02x2
 
 
 
Ejercicio 11 : 
a) Halla el vector director de la recta determinada por los planos 



====++++
====−−−−
2zy
0yx
 
Modo 1: Pasando a paramétricas: y = α, x = α, z = 2 - α ⇒ v(1,1,-1) 
Modo 2: Perpendicular a los vectores normales de los dos planos )1,1,1(
110
011
kji
−−=− 
Nota: Son paralelos, vale cualquiera de los dos. 
 
b) Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta anterior 
Modo 1: Directamente ⇒ Ecuaciones parámetricas: R 
2z
y
x
∈α∀





α−=
α=
α=
 
Modo 2: 




−−
===)1,1,1(v: Vector
2 z 0, y 0, x x,a ejemplopor un valor, Dado:Punto
R 
2z
y
x
∈α∀





α+=
α−=
α−=
 
 
Ejercicio 12 : Dada la recta z
1
1y
2
x ====
−−−−
++++==== , exprésala como intersección de dos planos. 



=−
−=+
⇒



=
+=−
0z2x
1y2x
z2x
1y2x
 
 
Temas 6 y 7 – Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II – 2º Bachillerato 6 
Ejercicio 13 : Halla todas las ecuaciones de los siguientes planos: 
a) Determinado por el punto A(1,-3,2) y por los vectores )3,0,1(v),0,1,2(u −−−− 
Ecuación vectorial: (x,y,z) = (1,-3,2) + s.(2,1,0) + t.(-1,0,3) ∀ s,t ∈ R 
Ecuaciones paramétricas: 





+=
+−=
−+=
t32z
s3y
ts21x
 ∀ s,t ∈ R 
Ecuación implícita o general: Ax + By + Cz + D = 0 
0
301
012
2z3y1x
=
−
−+−
 ⇒ 3(x – 1) -6(y + 3) + (z – 2) = 0 ⇒ 3x – 6y + z - 23 = 0 
 
b) Pasa por el punto P(2,-3,1) y cuyo vector normal es (5,-3,-4) 
015z4y3x5
15D 0 D 4.1- 3.(-3)- 5.2
0 D 4z-3y -5x 
=−−−⇒



−=⇒=+
=+
 
c) Perpendicular a la recta 
3
z
1
1y
2
x ====
−−−−
++++==== y que pasa por el punto (1,0,1) 
π: 05z3yx25D0D320Dz3yx2
)3,1,2(vn
)1,0,1(P:Punto
r
=−+−⇒−=⇒=++⇒=++−⇒








−==
=
π
π
 
 
Ejercicio 14 : Halla las ecuaciones paramétricas e implícitas de los planos OXY, OYZ y OXZ 
 
OXY
















=
=
)0,1,0(PP
)0,0,1(PP
Vectores
)0,0,0(PuntoP
)0,1,0(P),0,0,1(P),0,0,0(P:Puntos
31
21
1
321 
 Ecuaciones paramétricas: 





=
=
=
0z
ty
sx
 ∀ s,t ∈ R 
Ecuación implícita o general: Ax + By + Cz + D = 0 ⇒ 0
010
001
zyx
= ⇒ z = 0 
Análogamente: OYZ: 





=
=
=
tz
sy
0x
 ∀ s,t ∈ R, x = 0 
 OXZ: 





=
=
=
tz
0y
sx
 ∀ s,t ∈ R, y = 0 
Ejercicio 15 : Escribe las ecuaciones paramétricas de los planos 
a) z = 3 b) x = -1 c) y = 2 
a) 





=
=
=
3z
ty
sx
 ∀ s,t ∈ R, b) 





=
=
−=
tz
sy
1x
 ∀ s,t ∈ R, c) 





=
=
=
tz
2y
sx
 ∀ s,t ∈ R, 
Temas 6 y 7 – Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II – 2º Bachillerato 7 
Ejercicio 16: 
a) ¿Cuál es el vector normal del plano x = -1? (1,0,0) 
b) Escribe las ecuaciones de una recta perpendicular al plano que pase por A(2,3,0) 
r: r: 




== π )0,0,1(nv:Vector
)0,3,2(A:Punto
r
 
Ecuación vectorial: (x,y,z) = (2,3,0) + λ.(1,0,0) R∈λ∀ 
Ecuaciones parámetricas: R 
0z
3y
2x
∈λ∀





=
=
λ+=
 
Ecuación continua: 
0
z
0
3y
1
2x =−=− 
Ecuación implícita: 



=
=−
0z
03y
 
POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS 
 
POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS 
 
 
 
 
Coincidentes Paralelas Secantes Se cruzan 
 
Método: Escribimos las ecuaciones paramétricas de cada una de ellas (con distinto parámetro), las 
igualamos y resolvemos el sistema: 
 
• Sistema compatible determinado ⇒ Existe una única solución ⇒ Se cortan en un punto ⇒ 
Secantes. 
• Sistema compatible indeterminado ⇒ Existen infinitas soluciones ⇒ Se cortan en infinitos 
puntos ⇒ Coincidentes. 
• Sistema incompatible ⇒ No existe solución ⇒ No se cortan ⇒ Paralelas o se cruzan. 
o Hallar el vector director de cada una 
o Si son paralelos (proporcionales) las rectas son paralelas 
o Si no son paralelos, las rectas se cruzan. 
 
POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS 
 
 
 
 
Coincidentes Paralelos Secantes 
 
Método: Escribimos las ecuaciones generales de cada uno de ellos y resolvemos el sistema: 
 
• Sistema compatible determinado ⇒ No puede ser 
• Sistema compatible indeterminado ⇒ Existen infinitas soluciones ⇒ Se cortan en infinitos 
puntos ⇒ Se cortan en un plano o en una recta 
o Si hay un grado de libertad ⇒ Un vector ⇒ Se cortan en una recta ⇒ Secantes 
o Si hay dos grados de libertad ⇒ Dos vectores ⇒ Se cortan en un plano ⇒ Coincidentes 
• Sistema incompatible ⇒ No existe solución ⇒ No se cortan ⇒ Paralelos. 
Temas 6 y 7 – Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II – 2º Bachillerato 8 
 
POSICIÓN RELATIVA ENTRE RECTA Y PLANO 
 
 
 
 
 
Recta Contenida en el plano Secantes Paralelos 
 
 
Escribimos las ecuaciones paramétricas de la recta y la general del plano y resolvemos el sistema: 
• Sistema compatible determinado ⇒ Existe una única solución ⇒ Se cortan en un punto ⇒ 
Secantes. 
• Sistema compatible indeterminado ⇒ Existen infinitas soluciones ⇒ Se cortan en infinitos 
puntos ⇒ Recta contenida en el plano. 
• Sistema incompatible ⇒ No existe solución ⇒ No se cortan ⇒ Paralelos. 
 
POSICIÓN RELATIVA DE TRES PLANOS 
 
 
 
 
 
 
 
Coincidentes Dos coincidente y Dos coincidentes y Paralelos Paralelos 
 el otro secante el otro paralelo 
 
 
 
 
 
 
Dos paralelos Secantes en una recta Secantes en un punto Secantes 2 a 2 
Y el otro secante en una recta 
 
Escribimos las ecuaciones de los tres planos en forma general y resolvemos el sistema: 
• Sistema compatible determinado ⇒ Existe una única solución ⇒ Se cortan en un punto 
• Sistema compatible indeterminado: 
o Un grado de libertad: Se cortan en una recta 
� Dos planos coincidentes y el otro secante 
� Los tres se cortan en una recta 
o Dos grados de libertad: Se cortan en un plano ⇒ Coincidentes 
• Sistema incompatible ⇒ No existe solución 
o Dos coincidentes y el otro paralelo 
o Tres paralelos 
o Dos paralelos y el otro los corta 
o Se cortan dos a dos en una recta 
Temas 6 y 7 – Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II – 2º Bachillerato 9 
Ejemplo 17 : Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas: 
a) 





αααα−−−−====
αααα++++====
αααα−−−−====
5z
2y
5x
:r s: 





αααα====
αααα−−−−====
αααα−−−−====
z
53y
32x
 Vectores directores no paralelos, se Cruzan o se cortan 
Resolvemos el sistema 










−≈≈










−
−−−≈










−−−
−
→





β=α−
β−=α+
β−=α−
3500
440
151
...
235
511
151
511
151
235
5
532
325
 
Rango A = 2, RangoA´= 3 ⇒ Sistema incompatible ⇒ No existe solución ⇒ Se cruzan. 
b) 





αααα−−−−====
αααα++++====
αααα−−−−====
5z
2y
53x
:r s: 
2
z
2
y4
10
1x ====
−−−−====
−−−−
 Vectores directores paralelos (paralelas o 
coincidentes), tomamos un punto de r, (3,2,5) y comprobamos si cumple s: 
2
5
2
24
10
13 =−=− No lo 
cumple, por tanto , paralelas. 
c) r:





====
++++====
−−−−====
tz
t53y
t32x
 s: (x,y,z) = (1,0,5) + λλλλ(-1,2,0) Vectores no paralelos, se Cruzan o se cortan 
Resolvemos el sistema 





→−=−→=λ→=
→





=
λ=+
λ−=−
Cierto141152145t5t
2t53
1t32
 
Sistema compatible determinado ⇒ Existe una única solución, se cortan en un punto 
 
Hallar el punto de corte, como t = 5 ⇒ P(-13,28,5) 
d) 





λλλλ====
λλλλ−−−−====
λλλλ++++====
2z
3y
2x
:r s:
2
2z
1
2y
1
3x
−−−−
−−−−====
−−−−====
−−−−
−−−−
 Vectores directores paralelos (paralelas o 
coincidentes) Cogemos un punto de s(3,2,2) y comprobamos si cumple r:





=λ
=λ
=λ
→





λ=
λ−=
λ+=
1
1
1
22
32
23
 Si, por 
tanto coincidentes. 
 
Ejemplo 18 : Estudiar la posición relativa de los siguientes planos. 
a) 



====++++++++−−−−
====−−−−++++−−−−
040z16y12x4
011z4y3x
 b) 



====++++++++−−−−
====−−−−++++−−−−
03zy5x2
011z4y3x
 c) 



====−−−−++++−−−−
====−−−−++++−−−−
022z8y6x2
011z4y3x
 
Dos modos: O resolviendo el sistema o comparando sus vectores normales 
a) 
40
11
16
4
12
3
4
1 −==
−
−= ⇒ La última igualdad no se cumple, paralelos 
b) 
3
11
1
4
5
3
2
1 −==
−
−= ⇒ Vectores normales no paralelos, se cortan en una recta. 
Si nos piden la recta, resolvemos el sistema y obtenemos la recta en paramétricas. 
c) 
22
11
8
4
6
3
2
1
−
−==
−
−= ⇒ Se cumplen todas, coincidentes. 
Temas 6 y 7 – Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II – 2º Bachillerato 10 
Ejemplo 19:Estudiar la posición relativa entre la recta y el plano: 
a) ππππ: x – 3y+5z+11=0 r: 





++++====
−−−−====
++++−−−−====
t64z
t1y
3t2x
 
a) Sustituimos las ecuaciones de la recta en la ecuación del plano: 
-2t + 3 -3(1 – t) + 5.(4 + 6t) + 11 = 0 ⇒ -2t + 3 -3 +3t + 20 + 30t + 11 = 0 ⇒ 31t + 31 = 0 ⇒ t = -1 
Sistema compatible determinado. Existe una solución. Se cortan en un punto. 
Si nos piden el punto de corte, sustituimos en las ecuaciones de la recta: P(5,2,-2) 
b) z
4
2y2
3
2x ====
++++====
−−−−
 -y + 2z - 1 =0 
b) Pasamos la recta a paramétricas y sustituimos en la ecuación del plano 
-(2t-1) + 2t -1 = 0 ⇒ 0 = 0 ⇒ Sistema compatible indeterminado, existen infinitas soluciones ⇒ 
Recta contenida en el plano. 
c) 





====
++++−−−−====
++++====
t2z
2ty
1t4x
 x + 2y – z = 0 
c) (4t + 1) + 2(-t + 2) – 2t = 0 ⇒ 5 = 0 ⇒ Sistema incompatible, no tiene solución ⇒ Paralelos 
 
Ejemplo 20 : Estudiar la posición relativa de estos tres planos: 
a) 





====−−−−++++++++
====−−−−++++
====−−−−−−−−++++
02zyx
01z2y3
03zy2x
 
a) Resolvemos el sistema por Gauss y nos sale compatible determinado, existe una única solución 
⇒ Se cortan en un punto P(7/4,1/2,-1/4) 
b) 





====−−−−++++−−−−
====−−−−++++−−−−
====−−−−++++−−−−
04zyx3
02zyx
03zyx2
 
b) Resolvemos el sistema por Gauss y nos sale un sistema compatible indeterminado con un grado 
de libertad, es decir, se cortan en una recta. Como los planos no son paralelos entre se cortan los tres 
en una recta. 
c) 





====++++−−−−++++
====−−−−++++
====−−−−++++−−−−
04z3y2x2
0z2yx3
01zyx
 
c) Resolvemos el sistema por Gauss y nos sale sistema incompatible, no tiene solución. Como 
ninguno es paralelo entre si, se cortan dos a dos en una recta (Tienda de campaña) 
d) 





====++++++++
====++++++++
−−−−====++++++++
1zayx
aazyx2
1azyx
 
d) Como es un sistema con parámetros con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas, 
hallamos el determinante: 2a,1a02a3a0
1a1
a12
111
2 ==⇒=−+−⇒= 
Temas 6 y 7 – Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II – 2º Bachillerato 11 
CASO I: Si a = 1 Sistema
3'RangoA
2RangoA
1000
1110
0111
1111
1112
0111
⇒



=
=
⇒










−−≈










Incompatible 
El primer y el tercer plano paralelos y el otros los corta en una recta. 
 
CASO II: Si a = 2 Sistema
3IncogºN
2'RangoA
2RangoA
0000
0010
1111
...
1121
2212
1111
⇒





=
=
=
⇒










−≈≈










Compatible 
indeterminado con un grado de libertad (ninguno paralelo) se cortan en una recta. 
 
CASO III: a { }2,1R −∈ ⇒ |A| ≠ 0 ⇒ Sistema compatible determinado ⇒ Se cortan en un punto. 
Resolviendo (por Cramer o por Gauss) obtenemos el punto de corte en función de “a”. 
 
REPASO DE RECTAS Y PLANOS Y POSICIONES RELATIVAS 
Ejercicio 21 : Estudia la posición relativa de las siguientes rectas y halla el punto de corte, 
cuando sea posible: 
a) r: 
4
1z
2
2y
3
1x −−−−====
++++====
−−−−
 s: 
3
2z
2
3y
1
2x −−−−====
−−−−====
−−−−
++++
 
Vectores directores (3,2,4) y (-1,2,3) no paralelos, se cortan o se cruzan. Resolvemos el sistema: 





+β=+α
+β=−α
−β−=+α
2314
3222
213
 










−
−
−
≈










−
−
−
≈










−
−
−
15300
2180
313
15130
2180
313
134
522
313
3'RangoA
2RangoA
=
=
 Sistema 
incompatible, no existe solución, se Cruzan. 
 
b) r: 2z
2
1y
1
1x −−−−====
−−−−====
−−−−
−−−−
 s: 
2
5z
1
4y
4
4x −−−−====
−−−−====
−−−−
 
Vectores directores (-1,2,1) (4,1,2) no paralelos, se cortan o se cruzan. Resolvemos el sistema: 
522
412
441
+β=+α
+β=+α
+β=+α−
 










−
−−
≈










−
−
−−
≈










−
−
−−
000
990
341
660
990
341
321
312
341
 





=
=
=
2IncogºN
2'RangoA
2RangoA
 Sistema 
compatible determinado, existe una única solución, se cortan en un punto. 
)3,3,0(P1
99
34
⇒−=β



=β−
=β−α−
 
c) r: 
3
1z
1y
2
x ++++====−−−−==== s: 



====++++−−−−
====−−−−−−−−
01zy3
01y2x
 
Vectores directores (2,1,3), )3,1,2(
130
021
kji
=
−
− Paralelos, Paralelos o coincidentes. 
Tomamos un punto de r Pr(0,1,-1) y vemos si pertenece a s : 



=++
=−−
0113
0120
 No pertenece a s por 
tanto no pueden ser coincidentes. Son paralelas. 
Temas 6 y 7 – Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II – 2º Bachillerato 12 
d) r: 
4
z
3
y
2
1x ========
−−−−
 s: 





++++====
++++====
++++====
t84z
t63y
t43x
 
Vectores directores (2,3,4), (4,6,8) paralelos, por tanto paralelas o coincidentes. 
Tomamos un punto de r: Pr(1,0,0) y comprobamos si pertenece a s: 





−=
−=
−=
⇒





+=
+=
+=
2/1t
2/1t
2/1t
t840
t630
t431
 Si 
pertenece a s por tanto son coincidentes. 
 
 
Ejercicio 22 : Obtén el valor de a para que las rectas r y s se corten y halla el punto de corte. 
r: x = y = z – a s: 
0
2z
2
3y
3
1x2 −−−−====
−−−−
++++====
−−−−
 
Pasamos a paramétricas y resolvemos el sistema: 







=+α
−β−=α
+β=α
2a
32
2
13
⇒ 77
32
132
=β−⇒



−=β+α
=β−α
 ⇒ 
3a,1,1 =−=α−=β ⇒ P(-1.-1.2) 
 
 
Ejercicio 23 : Halla los valores de m y n para que las rectas r y s sean paralelas: 
r: 





−−−−====
++++====
++++====
tz
t3y
t45x
 s: 
n
3z
3
1y
m
x ++++====
−−−−==== 
 
Los vectores directores proporcionales: 



−=
=
⇒
−==
3n
12m
n
1
3
1
m
4
 
 
 
Ejercicio 24 : Calcula m y n para que los planos: αααα: mx + y – 3z -1 = 0 ββββ: 2x + ny – z – 3 = 0 
sean paralelos. ¿Pueden ser coincidentes? 
 
Los vectores normales proporcionales: 



=
=
−
−==
6m
3/1n
1
3
n
1
2
m
 
Para que sean coincidentes: 
3
1
1
3
3/1
1
2
6
−
−≠
−
−== No son coincidentes. 
 
 
Ejercicio 25 : Escribe la ecuación del plano que pasa por los puntos (0,0,0), (2,2,0) y (1,1,2) 
 
Plano: 










=
=
)2,1,1(AC
)0,2,2(AB
:Vectores
)0,0,0(A:Punto
 0
211
022
0z0y0x
=
−−−
 4x – 4 y = 0 ⇒ x – y = 0 
Temas 6 y 7 – Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II – 2º Bachillerato 13 
Ejercicio 26 : Determina la ecuación del plano que contiene al punto P(2,1,2) y a la recta 
3
4z
1
3y
2x
−−−−
−−−−====
−−−−
−−−−====−−−− 
P(2,1,2), Pr(2,3,4), vr(1,-1,-3) 
Plano: 










−−=
=
)3,1,1(v
)2,2,0(PP
:Vectores
)2,1,2(P:Punto
r
r 0
311
220
2z1y2x
=
−−
−−−
 -4(x-2) + 2(y–1) -2(z-2)=0 
-4x + 2y - 2z + 10 = 0 ⇒ -2x + y – z + 5 = 0 
 
Ejercicio 27 : Comprueba que las rectas r: 2zy
2
1x −−−−========
−−−−
 s: 



====−−−−
====−−−−
11y2x
5z2x
 son 
paralelas y halla la ecuación del plano que las contiene. 
 
Vectores directores proporcionales: vr(2,1,1), vs = 
021
201
kji
−
− = (-4, -2, -2) 
Pr(1,0,2) , vr(2,1,1), Ps (Por ejemplo z = 0, x = 5, y = -3 (5,-3,0)) 
Plano: 








−−= )2,3,4(PP
)1,1,2(v
:Vectores
)2,0,1(P:Punto
sr
r
r
 0
234
112
2zy1x
=
−−
−−
 (x – 1) + 8y -10(z – 2) = 0 
 x + 8y – 10z + 19 = 0 
 
 
Ejercicio 28 : ¿Son coplanarios los puntos A(1,0,0), B(0,1,0), C(2,1,0), D(-1,2,1)? 
 
Con tres puntos A, B y C hallamos el plano que los contiene y comprobamos si D ∈ Al plano 
 
Plano: 








=
−=
)0,1,1(AC
)0,1,1(AB
:Vectores
)0,0,1(A:Punto
 
011
011
zy1x
−
−
= 0 -2z = 0 ⇒ z = 0 ⇒ D no cumple que z = 0, 
por tanto no son coplanarios. 
 
 
Ejercicio 29 : Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos A(1,3,2) y B(-2,5,0) y es 
paralelo a la recta 





−−−−−−−−====
++++====
−−−−====
t32z
t2y
t3x
 
Plano: 








−−
−−=
)3,1,1(v
)2,2,3(AB
:Vectores
)2,3,1(A:Punto
r
 0
311
223
2z3y1x
=
−−
−−
−−−
 ⇒ -4(x–1) -7(y–3) – (z–2) = 0 
-4x – 7y – z +27 = 0 
Temas 6 y7 – Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II – 2º Bachillerato 14 
Ejercicio 30 : Halla la ecuación del plano que contiene a la recta r: 





λλλλ====
λλλλ−−−−−−−−====
λλλλ++++====
z
1y
32x
 y es paralelo 
a: s: 
3
z
2
1y
5
3x
−−−−
====
++++====
−−−−
 
Plano: 








−
−
−
)3,2,5(v
)1,1,3(v
:Vectores
)0,1,2(P:Punto
s
r
r
 0
325
113
z1y2x
=
−
−
+−
 (x – 2) +14(y + 1) +11z = 0 
x + 14y + 11z +12 = 0 
 
Ejercicio 31 : Dado el plano ππππ: 2x – 3y + z = 0 y la recta r: 
2
1z
1
2y
1
1x ++++====
−−−−
−−−−====
−−−−
, halla la 
ecuación del plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano ππππ. 
 
Plano: 








−
−
−
π )1,3,2(n
)2,1,1(v
:Vectores
)1,2,1(P:Punto
r
r
 0
132
211
1z2y1x
=
−
−
+−−
 5(x – 1) + 3.(y – 2) – (z + 1) = 0 
5x + 3y – z – 12 = 0 
Ejercicio 32 : Sea la recta r: 



====++++−−−−
====++++−−−−
03zx2
0zyx3
 y el plano ax – y + 4z – 2 = 0 
a) Calcula el valor de a para que r sea paralela al plano. 
b) ¿Existe algún valor de a para que r sea perpendicular al plano? 
 
a) Vector director de la recta y vector normal del plano perpendiculares (vr.nπ = 0) 
 
vr = 
102
113
kji
−
− = (1, 5,2) vr.nπ = (1,5,2).(a,-1,4) = a – 5 + 8 = 0 ⇒ a = -3 
b) Vector de la recta y vector normal del plano, paralelos: 
4
2
1
5
a
1 =
−
= . No existe. 
Ejercicio 33 : Dados la recta r: 



====−−−−−−−−
====++++−−−−
04zy
03z2x
 y el plano ππππ: x + 2y + 3z – 1 = 0, halla la 
ecuación de una recta s contenida en el plano ππππ que pase por el punto P(2,1,-1) y sea 
perpendicular a r. 
 
Recta s: 
















−==







=
=
−
−
===
−
π
π
π )3,5,1(
321
112
kji
xnv
)3,2,1(n
)1,1,2(
110
201
kji
vxnvv:Vector
)1,1,2(P:Punto
rrrs
 
3
1z
5
1y
1
2x +=
−
−=− 
Temas 6 y 7 – Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II – 2º Bachillerato 15 
Ejercicio 34 : Halla la ecuación de una recta que cumpla las condiciones siguientes: 
1) Es paralela a la recta de ecuaciones: r: 



====++++
====++++
5z3y
5z2x
 
2) Pasa por el punto de intersección de la recta s con el plano ππππ: 
 s: 
3
2z
2
3y
4
1x ++++====
++++====
−−−−
 ππππ: x – y + z = 7 
vr: z = α, x = 5 - 2α, y = 5 - 3α ⇒ vr(-2,-3,1) 
Pr : s: )1,1,5(P1t5t57)2t3()3t2(1t4
2t3z
3t2y
1t4x
r −⇒=⇒=⇒=−+−−+⇒





−=
−=
+=
 
1
1z
3
1y
2
5x −=
−
+=
−
−
 
 
 
Ejercicio 35 : Escribe la ecuación del plano que pasa por los puntos A(1,-3,2) y B(0,1,1) y es 
paralelo a la recta r: 



====−−−−++++
====++++−−−−
03z3y2
01y2x3
 
Plano: 
















−−−−=−=
−−=
−
)2,3,2(||)6,9,6(
320
023
kji
v
)1,4,1(AB
:Vectores
)2,3,1(A:Punto
r
 0
232
141
2z3y1x
=
−−
−−
−+−
 
5(x – 1) + 4(y + 3) + 11(z – 2) = 0 ⇒ 5x + 4y + 11z – 15 = 0 
 
 
Ejercicio 36 : Dados los planos mx + 2y – 3z – 1 = 0 y 2x – 4y + 6z + 5 = 0, halla m para que 
sean: a) Paralelos b) Perpendiculares 
 
a) Proporcionales: 
6
3
4
2
2
m −=
−
= ⇒ m = -1 
b) Vectores normales perpendiculares: (m,2,-3).(2,-4,6) = 0 ⇒ 2m – 8 -18 = 0 ⇒ m = 13 
 
 
Ejercicio 37 : Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(1,2,3) y es perpendicular al 
plano que pasa por el origen y por los puntos B(1,1,1) y C(1,2,1). 
 
Recta: 







−=+−⇒=π⇒







π= π )1,0,1(v:0zx0
121
111
zyx
:
)1,2,1(OC
)1,1,1(OB
:Vectores
)0,0,0(O:Punto
:nv:Vector
)3,2,1(P:Punto
rr
 
1
3z
0
2y
1
1x −=−=
−
−
 
Temas 6 y 7 – Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II – 2º Bachillerato 16 
Ejercicio 38 : Escribe la ecuación del plano que contiene a la recta r: 



====++++−−−−
====−−−−++++
0zyx2
01yx
 y es 
paralelo a s: 
4
2z
3
y
2
x1
−−−−
++++========
−−−−
−−−−
 
 
Plano: 








−− )4,3,2(v
v
:Vectores
P:Punto
s
r
r
 
Pasamos r a paramétricas: y = α, x = 1 - α, z = -2 + 2α + α = 3α - 2



−
−
)3,1,1(v
)2,0,1(P
r
r 
Plano: 0
432
311
2zy1x
=
−−
−
+−
 -13(x – 1) -10y – (z + 2) = 0 ⇒ -13x – 10y – z +11 = 0 
 
Ejercicio 39 : Indica qué condiciones deben cumplir a, b, c y d, para que el plano ππππ: ax + by + 
cz + d = 0 sea: 
a) Paralelo al plano OXY b) Perpendicular al plano OXY 
c) Paralelo al eje Z d) Perpendicular al eje X 
e) No sea paralelo a ninguno de los ejes. 
 
a) nπ || noxy 
1
c
0
b
0
a == ⇒ a = 0, b = 0 
b) nπ.nOXY = 0 (a,b,c).(0,0,1) = 0 ⇒ c = 0 
c) nπ .vZ =0 (a,b,c).(0,0,1) = 0 ⇒ c = 0 
d) nπ || vX 
0
c
0
b
1
a == ⇒ b = 0, c = 0 
e) No es paralelo a ninguno de los ejes, a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 
 
Autoevaluación pág 181 del libro. 
 
Temas 6 y 7 – Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II – 2º Bachillerato 17 
ÁNGULOS 
ANGULO ENTRE DOS RECTAS Cos (r1,r2) = cos (
→
v 1, 
→
v 2) = 
2
→
1
→
2
→
1
→
v.v
v.v
 
ANGULO ENTRE DOS PLANOS Cos (ΠΠΠΠ1, ΠΠΠΠ2) = cos(
→
n 1, 
→
n 2) = 
2
→
1
→
2
→
1
→
n.n
n.n
 
ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO Sen (r, Π) = cos (
→
v r, 
→
n Π) = 
π
→
r
→
π
→
r
→
n.v
n.v
 
 
Ejemplo 40 : Hallar el ángulo que forman las siguientes rectas: 
r: 
1
z
3
1y
5
3x
−−−−
====
++++====
−−−−
 s:



====++++−−−−
====−−−−++++
05y2x
4z5y3x2
 
cos (r,s) = cos (vr, vs) ⇒







−−−=
−
−=
−
)7,5,10(||)7,5,10(
021
532
kji
v
)1,3,5(v
s
r
⇒ cos(vr,vs) = 
74,0
174.35
58
4925100.1925
71550
|v|.|v|
v.v
sr
sr ==
++++
−+
= ⇒ α = 41º 59’ 35,79’’ 
 
Ejemplo 41 : Hallar el ángulo que forman los siguientes planos: 
ππππ1 : x + 8y – 4z = 0 ππππ2: 2x – y + 3 = 0 
cos (π1,π2) = cos (nπ1, nπ2) = 3,0
5.81
6
014.16641
82
|n|.|n|
n.n
21
21 ==
++++
−
=
ππ
ππ
⇒ 
α = 72º 39’ 14,16’’ 
 
Ejemplo 42 : Hallar el ángulo que forman la recta y el plano: 
r: (x,y,z) = (3,-1,1) + t.(2,5,-1) ππππ: 2x – 5y +7z – 11 = 0 
sen (r,π) = sen (vr, nπ) = 57,0
78.30
28
49254.1254
7254
|n|.|v|
n.v
r
r ==
++++
−−
=
π
π
⇒ 
α = 35º 22’ 5,54’’ 
 
 
Ejercicio 43 : Halla el valor de m para que r y s formen un ángulo de 90º: 
r: 





−−−−−−−−====
====
−−−−====
t2z
ty
t52x
 s: 





====
====
++++====
mtz
t2y
t2x
 
vr.vs = 0 ⇒ (-5,1,-1).(1,2,m) = 0 ⇒ -5 + 2 – m = 0 ⇒ m = -3 
 
Temas 6 y 7 – Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II – 2º Bachillerato 18 
Ejercicio 44 : Halla, en cada caso, el ángulo que forman la recta y el plano: 
a) r: 
2
z
4
3y
2
1x ====
++++====
−−−−
++++
 ππππ: x – 2y – z + 1 = 0 
sen (r,π) = sen (vr, nπ) = 1
6.24
12
141.4164
282
|n|.|v|
n.v
r
r ==
++++
−−−
=
π
π
⇒ α = 90º 
 
b) r: x = t; y = 1 + 2t; z = -2 ππππ: 2x – y + z = 0 
sen (r,π) = sen (vr, nπ) = 0
114.041
022
|n|.|v|
n.v
r
r =
++++
+−
=
π
π
⇒ α = 0º 
 
c) r: 
1
z
1
3y
2
1x ====
−−−−====
−−−−
 ππππ: x + z = 17 
sen (r,π) = sen (vr, nπ) = 87,0
2.6
3
101.114
12
|n|.|v|
n.v
r
r ==
++++
+
=
π
π
⇒ α = 60º 
 
Ejercicio 45 : Calcula el ángulo que forman los dos planos siguientes: 
αααα: z = 3 ππππ: x – y + 2z + 4 = 0 
cos (α,π) = cos (nα, nπ) = 82,0
6.
2
411.100
200
|n|.|n|
n.n
==
++++
++
=
πα
πα
⇒ α = 35º 15’ 51,8’’ 
 
Ejercicio 46 : Hallar los tres ángulos de un triángulo cuyos vértices son: A(0,0,0), B(1,2,1), C(3,1,1) 
 
AB = (1,2,1), AC = (3,1,1), BC = (2,-1,0) 
 
Cos (AB,AC) = 74,0
11.6
6
119.141
123 ==
++++
++= ⇒ α = 42º 23’ 31,36’’ 
Cos (AB,BC) = 0
5.6
0
014.141
022 ==
++++
+−= ⇒ α = 90º 
α = 180º - 90º - 42º 23’ 31,36’’ = 47º 36’ 28,64’’ 
 
Ejercicio 47 : Hallar el ángulo que forma el plano ππππ: x – 2y + z = 0 con cada uno de los ejes 
coordenados. 
sen (OX,π) = sen ((1,0,0), nπ) = 41,0
6
1
141.1
1
|n|.|v|
n.v
OX
OX ==
++
=
π
π
⇒ α = 24º 5’ 41,43’’ 
sen (OY,π) = sen ((0,1,0), nπ) = 82,0
6
2
141.1
2
|n|.|v|
n.v
OY
OY ==
++
−
=
π
π
⇒ α = 54º 44’ 8,2’’ 
sen (OZ,π) = sen ((0,0,1), nπ) = 41,0
6
1
141.1
1
|n|.|v|
n.v
OZ
OZ ==
++
=
π
π
⇒ α = 24º 5’41,43’’ 
 
 
 
Temas 6 y 7 – Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II – 2º Bachillerato 19 
DISTANCIA ENTRE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS 
 
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS: A(x1,y1,z1) , B(x2,y2,z2) 
d(A,B) = |
→
AB | = ( ) ( ) ( )212212212 zzyyxx −+−+− 
 
DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UNA RECTA 
d(P,r) = 
r
→
r
→→
r
v
v xPP
 
 
DISTANCIA ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO: P(x0,y0,z0), Π: Ax + By + Cz + D = 0 
d(P, Π) = 
222
000
CBA
DCzByAx
++
+++
 
 
DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS 
d(r,s) = 
[ ]
sr
srsr
 x vv
PP,v,v
 
 
DISTANCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO 
d(r, Π) = d(Pr, Π) 
 
DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS 
d(Π1, Π2) = d(P1, Π2) 
Si 
22221
2
1
CBA
'DD
),(d
0'DCzByAx:
0DCzByAx:
++
−
=ππ⇒



=+++π
=+++π
 
 
Ejemplo 48 : Hallar la distancia entre los puntos P(1,2,0) y Q(2,-3,1) 
 
d(P,Q) = u2,5u3.3271251)01()23()12( 222 ===++=−+−−+− 
Ejemplo 49 : Halla la distancia del punto P(5,-1,6) y la recta r: 





++++====
−−−−====
−−−−====
t5z
ty
t21x
 



= 1)- 1, (-4, PPr 
1) vr(-2,-1,Pr(1,0,5), :r
⇒ PPr x vr = )6,6,0(
112
114
kji
=
−−
−− 
d(P,r) = 
r
→
r
→→
r
v
v xPP
= u46,3u3.212
114
36360 ===
++
++
 
 
Ejemplo 50 : Halla la distancia del punto P(1,2,3) al plano ππππ: 2x + 3y – z =-7 
d(P, Π) = u21,3
14
12
194
732.31.2
==
++
+−+
 
Temas 6 y 7 – Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II – 2º Bachillerato 20 
Ejemplo 51 : Halla la distancia entre las rectas r: 





++++====
−−−−====
++++====
t28z
1y
t5x
 s: 





++++====
−−−−====
++++====
t45z
t3y
t34x
 
[ ] 9)]0162()2403[(
341
413
201
PP,v,v)3,4,1(PP
)4,1,3(v),5,3,4(P:s
)2,0,1(v),8,1,5(P:r
srsrsr
ss
rr =++−++=
−−
−=⇒−−



−
−
Vr x Vs = )1,2,2(
413
201
kji
−=
−
⇒ d(r,s) = 
[ ]
sr
srsr
 x vv
PP,v,v
= u3
144
|9| =
++
 
Ejemplo 52: Halla la distancia entre la recta r: 
1
2z
2
1y
5
3x
−−−−
++++====
−−−−====
−−−−
 y el plano ππππ: x – 3y –z + 6=0 
d(r, Π) = d(Pr, Π) = u41,2
11
8
191
6)2(1.33
==
++
+−−−
 
 
Ejemplo 53 : Halla la distancia entre dos planos: ππππ1: x – 5y + 2z – 19 = 0, ππππ2: 2x – 10y + 4z = 0 
π1: 2x – 10y + 4z – 38 = 0 ⇒ 
22221 CBA
'DD
),(d
++
−
=ππ = 47,3
120
38
161004
038
==
++
−−
u 
 
Ejercicio 54 : Halla la distancia que hay entre los puntos A(2,5,-2), B(-1,1,-2) 
d(A,B) = u5250169)22()51()21( 222 ==++=+−+−+−− 
 
Ejercicio 55 : Considera la recta r: 



====++++
−−−−====−−−−
1zx
3yx
 y el plano ππππ: x + y – 2z = 1 
a) Halla las coordenadas del punto S donde se cortan r y ππππ 
Pasamos la recta a paramétricas y resolvemos el sistema: x = α, y = α + 3, z = 1 - α 
α + (α + 3) -2(1 - α) = 1 ⇒ 4α = 0 ⇒ α = 0 ⇒ S(0,3,1) 
b) Calcula la distancia del punto P(4,0,1) al punto S del apartado anterior. 
d(P,S) = u5250916)11()03()40( 222 ==++=−+−+− 
 
Ejercicio 56 : Calcula la distancia entre el punto P(2,-3,1) y el plano ππππ: 3x – 4z = 3 
d(P, Π) = u2,0
5
1
1609
31.42.3
==
++
−−
 
 
Ejercicio 57 : Calcula la distancia entre el punto Q(2,-1,0) y el plano que contiene a P(2,0,4) y a r: 





====
++++====
−−−−====
4z
t32y
t23x
 
Plano: 0
032
021
4zy2x
)0,3,2(v
)0,2,1()4,0,2()4,2,3(PP
:Vectores
)4,0,2(P:Punto
r
r =
−
−−
⇒








−
=−= ⇒ 7(z – 4) = 0 ⇒ z-4=0 
d(Q, Π) = u4
100
40
=
++
−
 
Temas 6 y 7 – Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II – 2º Bachillerato 21 
Ejercicio 58: Halla la distancia entre los siguientes pares de planos: 
a) ππππ1: x – 2y + 3 = 0 ππππ2: 2x – 4y + 1 = 0 
π1: 2x – 4y + 6 = 0 ⇒ 
22221 CBA
'DD
),(d
++
−
=ππ = u12,1
20
5
164
16
==
+
−
 
 
b) 3x – 2y + z – 2 = 0 ππππ2: 2x – y + z = -5 
No son paralelos, se cortan ⇒ 0),(d 21 =ππ 
Ejercicio 59 : Halla la distancia entre la recta r: 





λλλλ++++−−−−====
λλλλ====
λλλλ++++====
71z
3y
42x
 y el plano ππππ: 3x – 4y – 3 = 0 
d(r, Π) = d(Pr, Π) = d((2,0,-1),3x-4y-3=0) = u6,0
5
3
0169
30.42.3
==
++
−−
 
Ejercicio 60 : Calcula la distancia que hay entre el punto P(3,1,6) y la recta r: x = 4 + 4αααα; y = 2 + 
αααα; z = -1 - 3αααα 



= (1,1,-7) PPr 
) vr(4,1,-3,Pr(4,2,-1) :r
⇒ PPr x vr = )3,25,4(
314
711
kji
−−=
−
− 
d(P,r) = 
r
→
r
→→
r
v
v xPP
= u525
26
650
9116
962516 ===
++
++
 
Ejercicio 61 : Halla la distancia entre las rectas r: 





λλλλ++++====
λλλλ−−−−−−−−====
λλλλ====
59z
310y
4x
 s: 





++++====
++++====
−−−−====
t4z
t91y
t122x
 
[ ] 800)]1804490()6606180[(
5112
1912
534
PP,v,v)5,11,2(PP
)1,9,12(v),4,1,2(P:s
)5,3,4(v),9,10,0(P:r
srsrsr
ss
rr −=−+−−−−=
−
−
−
=⇒−



−
−− 
Vr x Vs = )0,64.48(
1912
534
kji
−−=
−
− ⇒ d(r,s) = 
[ ]
sr
srsr
 x vv
PP,v,v
= u10
80
800
40962304
|800| ==
+
−
 
Temas 6 y 7 – Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II – 2º Bachillerato 22 
EJERCICIOS IMPORTANTES 
 
Corta o se apoya 
 
Ejercicio 62 : Halla las ecuaciones de la recta r que pasa por el punto P(2,0,-1) y corta a las 
rectas s1: 
1
1z
1
2y
2
2x ++++====
−−−−
−−−−====
−−−−
 s2: 



====++++−−−−
====++++++++
03z3y
04yx
 
Ps1 (2α+2,-α+2,α-1), Ps2(z=β,y=-3+3β,x=-1-3β)=(-1-3β,-3+3β,β) 
PPs1 paralelo a PPs2 ⇒ 
133
2
33
2
+β
α=
β+−
+α−=
β−−
α
 





−=β
=α
=β+α⇒=αβ+α
=αβ−β−α
⇒



αβ−α−=α+αβ
β−αβ+−α=αβ+α−
1
0
0)1(5055
6369
3322
636366
 
Si α = 0 ⇒ - 6β=6 ⇒ β = -1 ⇒ 
0
0
6
2
0
0 =
−
= ⇒ cierto 
r: 
0
1x
2
y
0
2x
)0,2,0(PP:Vector
)1,0,2(P:Punto
1s
+==−⇒



=
−
 
 
Ejercicio 63 : Halla la ecuación de la recta que pasa por A(1,1,1), es paralela al plano ππππ: x – y 
+ z – 3 = 0 y corta a la recta r: 



====
====
3y
1x
 
APr es perpendicular a nπ (Producto escalar cero): Pr(1,3,α) ⇒



−
−α
π )1,1,1(n
)1,2,0(APr 
APr.nπ = (0,2,α-1).(1,-1,1) = 0 ⇒ -2 + α -1 = 0 ⇒ α = 3 ⇒ 
r: 1z1y
0
1x
)1,1,0(||)2,2,0(AP:Vector
)1,1,1(A:Punto
r
−=−=−⇒



 
 
Ejercicio 64 : Halla la ecuación de la recta s que pasa por el punto P(2,-1,1) y corta 
perpendicularmente a la recta r: 
3
z
2
1y
1
3x ====
++++====
−−−−
 
PPr perpendicular a vr (Producto escalar nulo) 



=
−αα+α=−−α−α+α=
⇒
)3,2,1(v
)13,2,1()1,1,2()3,12,3(PP
r
r 
PPr.vr = 0 ⇒ α + 1 + 4α + 9α - 3 = 0 ⇒ 14α - 2 = 0 ⇒ α = 1/7 
Recta: 
2
1z
1
1y
4
2x
)2,1,4(||)7/4,7/2,7/8(PP:Vector
)1,1,2(P:Punto
r −
−=+=−⇒



−−=
−
 
 
Ejercicio 65 : Halla la recta perpendicular común a las rectas: 
r: 
2
3z
1
1y
0
x ++++====
−−−−==== s: 
3
z
1
1y
1
1x ====
−−−−
++++====
−−−−
 
 
Recta r: Pr(0,α+1,2α-3) vr(0,1,2) 
Recta s: Ps(β+1,- β-1,3β) vs(1,-1,3) 
Temas 6 y 7 – Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II – 2º Bachillerato 23 
V= vr x vs = )1,2,5(
311
210
kji
−=
−−
 
Pr.Ps paralelo a v: 3/4
455
1257
6462
105522
1
323
2
2
5
1 −=β⇒



−=α−β
−=α+β
⇒



+α−=+α+β
−α−−=+β
⇒
−
+α−β=−α−β−=+β 
Recta: 
1
4z
2
3/1y
5
3/1x
)1,2,5(v:Vector
)4,3/1,3/1(P:Punto s
−
+=−=+⇒



−=
−−
 
 
Ejercicio 66 : Encuentra la recta que pasa por el punto P(1,0,-1) y corta a las rectas l1 y l2 de 
ecuaciones: l1: 



====−−−−++++−−−−
====−−−−++++
04zyx2
1zy2x3
 l2:





++++====
====
++++====
t1z
ty
t3x
 
Pasamos l1 a paramétricas: 





−α−=
α−−=
α=
≈



−=+
−=++−
≈




 −−
≈





−
−−
97z
55y
x
5yx5
1y2x3z
3150
1231
4121
1231
 
PPl1 paralelo a PPl2 ⇒ 8/7871
t2
87
t
55
t2
1 −=α⇒−α−=−α⇒
+
−α−=α−−=
+
−α
 
Recta:
3
1z̀
1
y
3
1x
)3,1,3(||)8/15,8/5,8/15(PP:Vector
)1,0,1(P:Punto
1l
+==−⇒



−−−
−
 
 
 
 
Ejercicio 67 : Comprueba que las rectas: r: 





====
++++====
====
tz
t5y
1x
 s: 





====
++++−−−−====
++++====
7z
t5y
t37x
 se cruzan. Halla la 
ecuación de la recta perpendicular a ambas. 
 
Comprobar que se cruzan: vr (0,1,1), vs(3,1,0) no son paralelos, se cortano se cruzan. Resolvemos el 
sistema: 





=
−=
−=
⇒





=
+−=+
+=
7t
12t
2s
7t
s5t5
s371
 Sistema incompatible, no tiene solución. Se cruzan. 
 
Recta perpendicular común: PrPs perpendicular a vr,vs 
PrPs = (6+3s, -10+s-t, 7-t) 
Vector perpendicular a vr y a vs ⇒ v = vr x vs = )3,3,1(
013
110
kji
−−= 
PrPs paralelo a v ⇒ 
3
t7
3
ts10
1
s36
−
−=−+−=
−
+
⇒ 



−=
−=
≈



−=−
−=+
≈



−=+−
+−=−−
2t
1s
9s3t6
11s9t
t321t3s330
t7s918
 
Recta:
3
2z
3
3y
1
1x
)3,3,1(:Vector
)2,3,1(P:Punto r
−
+=−=
−
−
⇒



−−
−
 
Temas 6 y 7 – Rectas y planos en el espacio- Matemáticas II – 2º Bachillerato 24 
Proyección ortogonal 
Ejercicio 68 : Calcula la proyección ortogonal de la recta r: 





λλλλ====
λλλλ−−−−====
λλλλ−−−−−−−−====
2z
y
1x
 sobre el plano ππππ: 2x- 3y + 
z + 1 = 0 
 
[1] P = r ∩ π: 2(-1-λ) – 3(-λ) + 2λ + 1 = 0 ⇒ 3λ = 1 ⇒ λ = 1/3 ⇒ P(-4/3, -1/3, 2/3) 
[2] Q un punto cualquiera de r (distinto de P): Q(-1,0,0) 
[3] r’ 





=
−=
+−=
⇒



−==
−
π tz
t3y
t21x
:'r
)1,3,2(nv:Vector
)0,0,1(Q:Punto
'r
 
[4] Q’ = r’ ∩ π: 2(-1+2t) – 3(-3t) + t + 1 = 0 ⇒ 14t = 1 ⇒ t = 1/14 ⇒ Q’(-12/14,-3/14,1/14) 
[5] s es la recta que pasa por P y Q’ ⇒ s: 



−−=
−−
)5,1,4(||)42/25,42/5,14/20('PQ:Vector
)3/2,3/1,3/4(P:Punto
 
 S: 









α−=
α+−=
α+−=
5
3
2
z
3
1
y
4
3
4
x
 ∀α ∈ R 
Simétricos 
 
Ejercicio 69 : Halla el punto simétrico de P(1,0,1) respecto del plano ππππ: x – y + z = 1 
 
[1] Calcular la recta r: 





+=
−=
+=
⇒



−== π t1z
ty
t1x
:r
)1,1,1(nv:Vector
)1,0,1(P:Punto
r
 
[2] Calcular el punto C = r ∩ π: 1+t –(-t) + 1 + t = 1 ⇒ 3t = -1 ⇒ t = -1/3 ⇒ C(2/3,1/3,2/3) 
[3] C es el punto medio de P y P’: 




 ++=





2
1z
,
2
y
,
2
1x
3
2
,
3
1
,
3
2
⇒ P’ 





3
1
,
3
2
,
3
1
 
 
Ejercicio 70 : Determina el punto simétrico de A(-3,1,-7) respecto de la recta r: 
2
1z
2
3y
1
1x ++++====
−−−−====
++++
 
 
[1] Calcular el plano π: ⇒



==
−−
π )2,2,1(vn:Vector
)7,1,3(A:Punto
r
 x + 2y + 2z + D ⇒ -3 + 2 – 14 + D = 0 ⇒ 
D = 15 ⇒ x + 2y + 2z + 15 = 0 
[2] Calcular el punto C = r ∩ π: (t-1) + 2(2t+3) + 2(2t-1) + 15 = 0 ⇒ 9t = -18 ⇒ t = -2 ⇒ C(-3,-1,-5) 
[3] C es el punto medio de A y A’: ( ) 




 −−−=−−−
2
5z
,
2
1y
,
2
3x
5,1,3 ⇒ A’(-3,-3,-3) 
MÁS EJERCICIOS 
Libro, pagina 206 a partir del 31