RESUMEN TEMA 6 RECTAS Y PLANOS

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U.N.Sa. - Facultad de Ciencias Exactas
Asignatura: Algebra Lineal y Geometría Analítica
Carreras: LAS, PM, LF, LER, TEU, TUES, TUP
Año: 2
do
Cuatrimestre 2019
Docente: Ing. Augusto A. Estrada V.
RESUMEN DEL TEMA 6
RECTAS Y PLANOS
1.- INTRODUCCION.- En este capítulo vamos a tratar los distintos problemas geométricos
tanto en el plano ( 2 como en el espacio ( 3 como ser intersecciones, ángulos, distancias,
posiciones relativas de rectas y planos, por lo que desarrollaremos las distintas ecuaciones de los
mismos necesarias para abordar estos problemas. Para ello vamos recordar los conocimientos del
álgebra lineal y vectorial que hemos visto en los capítulos anteriores, ya que son herramientas
necesarias.
Cuando se aborda un problema geométrico, es necesario no perder de vista que se trata de un
“problema geométrico” por lo que el desarrollo analítico del mismo debe tener como punto de
partida la interpretación geométrica de la situación. Asimismo debemos apoyarnos en alguna
teoría que defina los entes geométricos que intervienen en el problema y que nos permita determinar
si el problema tiene solución, si se trata de un problema indeterminado (con infinitas soluciones) o
determinado (con una única solución). Para ello vamos a recordar ciertos axiomas de la geometría
euclidiana del espacio 3y algunas definiciones en los cuales nos apoyaremos en lo sucesivo.
Axioma: Dos puntos distintos determinan una única recta que los contiene
Axioma: La intersección de dos planos no puede ser un conjunto unitario
Teorema: Tres puntos no alineados determinan un único plano que los contiene
Definición: Decimos que tres o más puntos están alineados si existe una recta que los contiene
Definición: Decimos que varios puntos, (varios puntos y varias ratas), (varias rectas) son
coplanares si existe un plano que los contiene
Definición: Dos rectas son paralelas si son iguales o si son coplanares y su intersección es
vacía
Definición: Dos rectas son secantes si su intersección es un conjunto con un único punto
Definición. Dos rectas son alabeadas si no son coplanares (no existe un plano que las contiene)
Definición: Una recta y un plano son secantes si su intersección es un conjunto con un único
punto
Definición: Una recta es paralela a un plano si la recta está incluida en el plano ó si su
intersección es vacía
Definición: Dos planos son paralelos si son iguales o su intersección es vacía
Definición: Dos planos son secantes si su intersección es una recta
2.- ECUACIONES DE LA RECTA (en 3 o 2
2.1.- Ecuación Vectorial
Para poder determinar una recta, es necesario conocer dos puntos distintos de la misma.
Entonces nuestro problema será “Determinar la ecuación vectorial de una recta que pasa por los
puntos P  Q con P  p1,p2,p3 y Q  q1,q2,q3.
Como hemos mencionado anteriormente debemos interpretar geométricamente el problema, para
de esto deducir la ecuación buscada (y solucionar el problema).La interpretación la hacemos para el
espacio 3, siendo análoga para el plano 2.
Tomamos el siguiente sistema de ejes ortogonales x,y, z y los puntos datos P y Q (ver figura 1)
figura 1 figura 2
O
Q-P
P
r
Q
Q-P
X
t(Q-P)
-P
X=P+t(Q-P)
t(Q-P)
O
V
P
r
tV
X
tV
X=P+tV
Recordemos que dados dos puntos P y Q distintos, éstos representan los extremos de los vectores
cuyo origen es el origen O de coordenadas del sistema x,y, z. Además el vector V  Q  P es un
vector paralelo y equivalente al vector que va desde el punto P al punto Q. Recordemos también que
el vector tQ  P es un vector colineal con Q  P paralelo y equivalente al vector que va desde el
punto P al punto X .
Si observamos la figura 1, podemos ver que un vector X cualesquiera que tiene su extremo en un
punto X de la recta r, no es más que la suma geométrica de los vectores P y tQ  P. Como el punto
X es arbitrario (genérico) podemos asegurar que hemos encontrado la ecuación que caracteriza a
todos y cada uno de los puntos de la recta, es decir hemos encontrado la ecuación de la recta que
pasa por los puntos P y Q distintos. Como los elementos que intervienen en la misma son vectores, la
llamamos ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos P y Q distintos. Es decir:
X  P  tQ  P 1
La 1 representa la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos P y Q
Si en la 1 reemplazamos V  Q  P la podemos escribir como sigue:
X  P  tV 2
La 2 representa la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto P y que es paralela
al vector V.
Esta última permite encontrar la ecuación de la recta cuando se tiene como datos un punto de la
misma y un vector paralelo (que le da su dirección). A este vector paralelo (V, se lo denomina
vector director de la recta. Esta última expresión es la que vamos a tomar siempre como la ecuación
vectorial de una recta, ya que hemos visto que 1 y 2 son equivalentes. En la figura 2 se muestra
la interpretación geométrica correspondiente.
2.2.- Otras ecuaciones de la recta en 2
Vamos a ver ahora otras formas de escribir la 2 trabajando algebraicamente para llegar a
expresiones equivalentes, las que serán llamadas con nombres propios, como ser ecuaciones
paramétricas, cartesianas simétricas, etc.
En 2 tenemos X  x,y; P  p1,p2; V  v1,v2 siendo v1  0  v2  0. Si remplazamos en
la ecuación vectorial X  P  tV 2 tendremos
x,y  p1,p2  tv1,v2 Ecuación de vectorial
 x,y  p1,p2  tv1,v2 2 producto por un escalar y suma de vectores
 x,y  p1  tv1,p2  tv2 Igualdad de vectores

x  p1  tv1
y  p2  tv2
3 Ecuaciones paramétricas

x  p1  tv1
y  p2  tv2
despejando t y por transitividad

x  p1
v1  t
y  p2
v2  t
con v1  0 y v2  0 por igualación

x  p1
v1 
y  p2
v2 4 Ecuaciones cartesianas simétricas
 v2x  p1  v1y  p2
  v2x  v2p1  v1y  v1p2
 v2x  v1y  v1p2  v2p1  0 haciendo a  v2, b  v1 y c  v1p2  v2p1
 ax  by  c  0 5 Ecuación general implícita
 y   a
b
x  c
b
Haciendo m   a
b
y n   c
b
 y  mx  n 6 Ecuación general explícita
de 4 ax  by  c  xc
a
 yc
b
 1 7 Ecuación segmentaria
Ejemplo1:
Determinar las ecuaciones vectorial, paramétricas, simétricas, general implícita, explícita y
segmentaria de la recta que pasa por los puntos P  1,1 y Q  3,4
La (1) será: X  1,1  t3,4  1,1  X  1,1  t2,3 Ecuación vectorial
La (3) será:
x  1  2t
y  1  3t
Ecuaciones paramétricas
La (4) será: x  1
2

y  1
3
Ecuaciones cartesianas simétricas
La (5) será: 3x  2y  1  0 Ecuación general implícita
La (6) será: y  3
2
x  1
2
Ecuación general explícita
La (7) será x1
3

y
 12
 1 Ecuación segmentaria
En 3, tendremos con X  x,y, z , P  p1,p2,p3 y V  v1,v2,v3.con v1  0 v2  0 
v3  0 Si los reemplazamos en la ecuación X  P  tV 2 tenemos
x,y, z  p1,p2,p3  tv1,v2,v3 Ecuación de vectorial
x  p1  tv1
y  p2  tv2
z  p3  tv3
3 Ecuaciones paramétricas
x  p1
v1 
y  p2
v2 
z  p3
v3
4 Ecuaciones cartesianas simétricas
Para determinar la ecuación general de la recta debemos tener en cuenta que la 4 ahora
constituye una triple igualdad por lo que podemos tomar dos de esas igualdades para poder hallar
para cada una de esas igualdades la expresión similar a la 5

x  p1
v1 
y  p2
v2 
y  p2
v2 
z  p3
v3
 v2x  p1  v1y  p2  v3y  p2  v2z  p3
 v2x  v2p1  v1y  v1p2  v3y  v3p2  v2z  v2p3
 v2x  v1y  v1p2  v2p1  0  v3y  v2z  v2p3  v3p2  0
 Haciendo : a1  v2,b1  v1,d1  v1p2  v2p1,b2  v3,c2  v2,d2  v2p3  v3p2
 a1x  b1y  d1  0  b2y  c2z  d2  0

a1x  b1y  d1  0
b2y  c2z  d2  0
Ecuación general de la recta en 3
(como intersección de dos planos)
Hacemos notar que como ya dijimos cuando resolvíamos sistema de ecuaciones lineales, cada
una de las ecuaciones que aparece en el anterior sistema, representa la ecuación de un plano, por lo
que la ecuación general de la recta en 3 viene expresada como la intersecciónde dos planos.
Ejemplo 2
Determinar las ecuaciones de la recta que pasa por el punto P  1,2,1 y es paralela al vector
V  2,1,3.
En forma similar a lo realizado para 2 tenemos:
X  1,2,1  t2,1,3 Ecuación Vectorial
 x,y, z  1  2t, 2  t,1  3t igualando

x  1  2t
y  2  t
z  1  3t
Ecuaciones paramétricas
 x  1
2
 t  y  2  t  z  1
3
 t igualando
x  1
2
 y  2  y  1
3
Ecuaciones cartesianas simétricas
 x  1
2
 y  2  y  2  z  1
3
 x  1  2y  4 3y  6  z  1 pasaje de términos

x  2y  3
3y  z  5
Ecuación general
3.- ECUACIONES DEL PLANO
3.1.- Ecuación Vectorial.-
Para determinar un plano, es necesario conocer por lo menos tres puntos del mismo, distintos y
no alineados. Consideremos tres puntos no alineados P  p1,p2,p3 , Q  q1,q2,q3 y
R  r1, r2, r3 El problema será determinar la ecuación del plano que pasa por los tres puntos (que
sabemos es único). Llamemos  al plano buscado.
Interpretemos geométricamente el problema. Consideramos el sistema de ejes ortogonales x,y, z
cuyo origen es O y los puntos datos P, Q y R (ver figura 3).
figura 3 figura 4
O U
V
P

X
sV
tU
sV
X=P+tU+sVtU
sV
Analizando la figura 3, si tomamos un punto X  , el vector posición de X se puede obtener
sumando geométricamente los vectores P, tQ  P y sR  P. Como X es cualquier punto de ,
podemos decir entonces que:
X  P  tQ  P  sR  P 3
La 3 representa la ecuación vectorial del plano que pasa por tres puntos no alineados P, Q,
R.
También podemos observar que los vectores Q  P y R  P son paralelos respectivamente a
los vectores que van desde el punto P al Q y desde el punto P al R. Como estos últimos vectores
unen dos puntos del plano , entonces pertenecen a ese plano, de manera que los vectores Q  P y
R  P estan contenidos en  y en consecuencia paralelos a . Además por ser P, Q, R puntos
distintos y no alineados estos vectores tienen distintas direcciones, por lo tanto son linealmente
independientes.
De lo anteriormente analizado se puede ver que el problema, determinar el plano que pasa por
tres puntos distintos y no alineados es equivalente a resolver el problema “Determinar la
ecuación del plano que pasa por un punto ”P y es paralelo a dos vectores linealmente
independientes U y V. En efecto si en la 3 hacemos: U  Q  P y V  R  P tendremos:
X  P  tU  sV 4
La 4 representa la ecuación vectorial del plano que pasa por el punto P y es paralelo a los
vectores linealmente independientes U y V.
Veamos ahora de encontrar otras ecuaciones de este plano que recibirán nombres propios como
en el caso de la recta.
Sea X  x,y, z , P  p1,p2,p3 y U  u1,u2,u3 y V  v1,v2,v3
Reemplazando en 2 tenemos:
x,y, z  p1,p2,p3  tu1,u2,u3  sv1,v2,v3
Realizando las operaciones de suma y producto por un escalar:
x,y, z  p1  tu1  sv1,p2  tu2  sv2,p3  tu3  sv3
Igualando los vectores:
x  p1  tu1  sv1
y  p2  tu2  sv2
z  p3  tu3  sv3
Ecuaciones paramétricas
Pasando terminos:
x  p1  tu1  sv1
y  p2  tu2  sv2
z  p3  tu3  sv3
Que es un sistema de tres ecuaciones con 2 incógnitas t, s
Si lo escribimos en forma matricial será:
u1 v1
u2 v2
u3 v3
t
s

x  p1
y  p2
z  p3
I
El I tiene como conjunto solución a los puntos de un plano, y como el plano tiene infinitos
puntos, el sistema debe tener infinitas soluciones.
Entonces, si aplicamos el teorema de Rouche Frobenius será:
Rango
u1 v1
u2 v2
u3 v3
 Rango
u1 v1
u2 v2
u3 v3
x  p1
y  p2
z  p3
 2
Por lo tanto en el proceso de escalonamiento deberán anularse algunas filas de la matriz
ampliada del sistema. En consecuencia sus filas serán linealmente dependientes por lo que su
determinante será nulo. Es decir:
u1 v1
u2 v2
u3 v3
x  p1
y  p2
z  p3
 0
Recordando la definición de producto mixto tenemos:
U,V,X  P  0  X  P,U  V  0  X  P,N  0  X,N  P,N  0
Como U  V es un vector perpendicular a U y V y éstos son paralelos a , entonces U  V  N es
un vector normal a 
U  V  N  u2v3  v2u3,v1u3  u1v3,u1v2  v1u2
Si hacemos a  u2v3  v2u3, b  v1u3  u1v3, c  u1v2  v1u2 tenemos:
x,y, z, a,b,c  p1,p2,p3, a,b,c  0
Haciendo d  p1,p2,p3, a,b,c tenemos:
ax  by  cz  d  0, que es la Ecuación general implícita del plano
De la ecuación X  P,N  0 tenemos:
X  P, N
N
 0. Es la ecuación normal del plano
4.- POSICIONES RELATIVAS- INTERSECCIONES (EN 3
4.1.- Entre dos rectas
En el espacio 3, las rectas pueden ser: concurrentes, alabeadas, paralelas coincidentes o
distintas. Para distinguir cada una de estas posiciones relativas es necesario recordar estas
definiciones
a) Se dice que dos rectas son secantes si tienen un único punto en común (se dice también que se
cortan en un punto)
b) Se dice que dos rectas son paralelas si son iguales (coincidentes) o si son coplanares con
intersección vacía
c) Se dice que dos rectas son alabeadas si no son coplanares (se dice también que se cruzan pero
no se cortan)
Si analizamos estas definiciones y algunas propiedades de cada una de ellas podemos ver que
para averiguar la posición relativa entre dos rectas es necesario y suficiente determinar dos cosas:
1. Sus direcciones: Si tienen igual o distinta dirección
2. Su intersección: Si tienen o no puntos comunes
Veamos cómo resolvemos el problema de “determinar la posición relativa de dos rectas en el
espacio”. Es decir dadas r1 y r2 dos rectas en el espacio, determinar su posición relativa.
Como hemos visto, si conocemos las rectas es porque conocemos su ecuación, y esta puede estar
dada en las diferentes formas (vectorial, paramétricas, simétricas, general, etc.), sabemos también
que se trata de la misma ecuación escrita de distinta manera, por lo que resolver uno de los casos es
equivalente a cualquiera de los otros ya que siempre es posible pasar de una forma de la ecuación a
cualquier otra. Por esta razón vamos a analizar el caso en que ambas ecuaciones están dadas en
forma vectorial.
Sean r1 : X  P  tV y r2 : X  Q  tU
a Analizamos si las rectas tienen igual o distinta dirección, para ello debemos analizar cómo son
sus vectores directores (que son los que le dan su dirección). Si U,V es linealmente independiente
entonces las rectas tienen distintas direcciones caso contrario si U,V es linealmente dependiente
las rectas tienen igual dirección.
b Analizamos si las rectas tienen o no intersección, es decir debemos ver si tienen o no puntos
comunes. Si los hubiere, esos puntos deben verificar las ecuaciones de ambas rectas, es decir serán
aquellos puntos que son solución del sistema formado por las ecuaciones de ambas rectas.
X  r1  r2  X es solución del sistema
r1 : X  P  tV
r2 : X  Q  sU
I
I constituye un sistema de tres ecuaciones lineales con dos incógnitas t, s. Que el sistema tenga
o no solución es equivalente a que exista o no intersección entre las rectas.
Para poder decir cuál es la posición relativa entre las rectas, debemos estudiar tanto a como b,
no importa en qué orden, ya que uno es complementario del otro. Así por ejemplo si elegimos
hacerlo en el orden primero a y luego b tendremos:
Si U,V
Es L.I. 
Si (1) es Consistente  r1 y r2 son concurrentes
Si (1) es Inconsistente  r1 y r2 son alabeadas
Es L.D. 
Si (1) es Consistente  r1 y r2 son coincidentes.
Si (1) es Inconsistente  r1 y r2 son paralelas
Si en cambio seguimos el orden b luego a tenderemos:
Si I
Es Consistente 
Tiene Solución única  r1 y r2 son concurrentes
Tiene Infinitas soluciones  r1 y r2 son coincidentes
Es Inconsistente 
Si U,Ves L.I.  r1 y r2 son alabeadas.
Si U,V es L.D.  r1 y r2 son paralelas distintas
4.2.- Entre una recta y un plano
Veamos ahora cómo resolvemos el problema de “Determinar la posición relativa entre una
recta r y un plano " .
En el espacio, una recta puede estar: incluida en el plano, ser paralela al plano con
intersección vacía o ser secante al plano.¿Cómo hacemos para distinguir tales situaciones?
Podemos ver que solo necesitamos estudiar si recta y plano tienen o no intersección (puntos
comunes). Si tienen un solo punto en común la recta y el plano son secantes, si tienen infinitos
puntos en común la recta está contenida en el plano y si no tienen puntos comunes la recta y el plano
son paralelos y la recta no está incluida en el plano.
De igual forma que para el caso de las rectas, las ecuaciones de la recta r y el plano , pueden
estar dadas en sus diferentes formas, pero como podemos pasar de una a cualquier otra, todas las
situaciones son equivalentes. Vamos a considerar el caso en que ambas ecuaciones están dadas en
forma vectorial.
Sean r : X  P  tV y  : X  Q  t1U  t2W
Si X  r    X es solución del sistema
r : X  P  tV
 : X  Q  t1U  t2W
II
II Constituye un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas t, t1, t2 y :
Si II
Es consistente
Con Solución única  r y  son secantes (r    R
Con Infinitas soluciones  r   (r    r
Es Inconsistente  r y  son paralelos (r    
4.3.- Entre dos planos
Veamos ahora de resolver el problema de “Determinar la posición relativa entre dos planos”.
Dos planos pueden ser: secantes, paralelos, coincidentes. Para distinguir cada caso necesitamos
determinar si tienen o no intersección, y por otro lado para poder distinguir cuando tienen
intersección el caso de planos secantes y coincidentes debemos tener en cuenta lo que ocurre con sus
direcciones, lo que es equivalente a ver qué ocurre con los vectores normales. De la misma manera
que para las dos anteriores situaciones, las ecuaciones de ambos planos pueden estar dadas de
distinta forma, pero siempre serán equivalentes, por lo que vamos a considerar el caso en que ambas
están dadas en forma general implícita.
Dados 1 : a1x  b1y  c1z  d1  0 y 2 : a2x  b2y  c2z  d2  0
Si X  1  2  X es solución del sistema
a1x  b1y  c1z  d1
a2x  b2y  c2z  d2
III
III Constituye un sistema de dos ecuaciones lineales con tres incógnita x, y, z por lo que de
tener solución esta no podrá ser única. Entonces tendrá infinitas soluciones. Sabemos que cuando
hay infinitas soluciones es porque hay variables libres, y que la cantidad de las mismas se determina
haciendo la resta de la cantidad de incógnitas y la cantidad de ecuaciones en el sistema escalonado.
Como partimos de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas el número de variables libres
será 1 o 2 según se anule o no una de las ecuaciones en el proceso de escalonamiento, lo que está
ligado a como son los coeficientes de las incógnitas, que como sabemos no son más que las
componentes de los vectores normales a los planos 1: N1  a1,b1,c1 y 2: N2  a2,b2,c2.
Sabemos también que si estos vectores tienen sus componentes proporcionales entonces uno es
combinación lineal del otro, por lo que N1,N2 es linealmente dependiente, que es equivalente a
decir que N1 y N2 son paralelos, y esto equivale a decir que N1  N2  
Si III
Es consistente 
Si N1  N2  1 y 2 son coincidentes (1  2  1  2
Si N1  N2  1 y 2 son secantes (1  2  r
Es Inconsistente  1 y 2 son paralelos (1  2  
o bien:
Si III
Es consistente 
Con 2 variables libres  1 y 2 son coincidentes (1  2  1
Con 1 variable libre  1 y 2 son secantes (1  2  r
Es Inconsistente  1 y 2 son paralelos (1  2  
5.- DISTANCIAS
5.1.- Distancia de un punto a una recta
5.1.1.- En 2
Dados r : X  P  tV y un punto Q. Nos interesa calcular la distancia del punto Q a la recta r.
Interpretemos la situación geométricamente considerando el caso más general, cuando Q  r.
figura 5
Q
P rV
Q-P
d
N
proy Q-P
N
Como sabemos la distancia se mide sobre la perpendicular a la recta por el punto. Sabemos que
en plano, por un punto dado hay una única perpendicular a una recta dada, entonces la distancia del
punto Q a la recta r vendrá dada por el valor absoluto de la proyección ortogonal del vector Q  P
sobre un vector normal N a la recta. Es decir:
dQ,r 
Q  P, N
N
5
La 5 proporciona la distancia del punto Q a la recta r en 2.
Ejemplo1
Calcula la distancia del punto Q  3,1 a la recta r : X  1,1  t4,3.
Para aplicar la 1 debemos conocer el vector normal (N) a la recta r, dicho vector será
perpendicular al vector director de r  N,V  0  N  3,4 es un vector que verifica esta
condición
Q  3,1, P  1,1  Q  P  3,1  1,1  2,0,N  9  16  25  5
Q  P, N  2,0,3,4  6. Es decir:
dQ,r 
Q  P, N
N
 6
5
 6
5
5.1.2.- En 3
Dados r : X  P  tV y un punto Q. Nos interesa calcular la distancia del punto Q a la recta r
fugura 6
Q
P rV
Q-P
d

Para el caso del espacio 3, debido a que la perpendicular a una recta por un punto dado ya no
es única, no podemos utilizar el mismo criterio. Por ello vamos a utilizar el concepto de ángulo entre
dos vectores y el de producto vectorial. Esto nos permitirá deducir la fórmula que nos permita
calcular la distancia.
De la figura 6 podemos observar que:
sen  d
Q  P
Por definición de la función seno
 d  senQ  P Despeje de incógnita
 d  senQ  P. V
V
Por neutro multiplicativo en 1  a  a y 1 
V
V
 d 
Q  P  V
V
Por sustitución Q  P  V  Q  PVsen
dQ,r 
Q  P  V
V
6
La (6) proporciona la distancia de un punto Q a una recta r en 3
Ejemplo 2
Calcula la distancia del punto Q  2,1,3 a la recta r : X  1,2,1  t1,0,1
Q  P  2,1,3  1,2,1  1,1,2, V  1  0  4  5
Q  P  V 
I J K
1 1 2
1 0 1
 1,1,1  Q  P  V  1  1  1  3
Es decir:
dQ,r 
Q  P  V
V

3
5

3 5
5

15
5
5.2.- Distancia de un punto a un plano
Dados un plano  : ax  by  cz  d  0 y el punto Q, queremos determinar la distancia del
punto Q al plano .
Interpretemos geométricamente el problema (ver figura 7).
Figura 7

P
N
Q
dproyN(Q-P)
De la figura 7 podemos observar que la distancia viene dada por el valor absoluto de la
proyección del vector Q  P sobre el vector normal N al plano, es decir:
dQ, 
Q  P, N
N
7
La 7 nos proporciona la distancia de un punto Q al plano 
Ejemplo 3
Calcula la distancia del punto Q  1,1,0 al plano  : 2x  3y  z  2  0
Para aplicar la 3 necesitamos conocer un punto del plano P y el vector normal al plano N.
Un punto del plano, es cualquier punto que verifique su ecuación. El punto P  0,0,2   ya
que reemplazando sus componentes en la ecuación del plano 20  30  2  2  0, se verifica.
N  2,3,1  N  4  9  1  10 , Q  P  1,1,0  0,0,2  1,1,2
Q  P , N  1,1,2 , 2,3,1  2  3  2  1. Es decir:
dQ, 
Q  P , N
N

Q  P , N
N
 1
10

10
10
5.3.- Distancia entre dos rectas (en 3.
Ya hemos visto que en el espacio, las posiciones relativas entre rectas necesitan ser estudiadas
diferenciando los casos en que tienen igual o distinta dirección. Para estudiar el problema de
“Determinar la distancia entre dos rectas en el espacio”, necesitamos diferenciar también cada caso,
ya que cada uno de ellos tendrá distinto tratamiento a saber.
Dadas dos rectas r1 : X  P1  tV1 y r2 : X  P2  tV2 debemos diferenciar:
a Si V1,V2 es L.D. r1 y r2 tienen igual dirección (r1 y r2 paralelas distintas o
coincidentes)
b Si V1,V2 es L.I. r1 y r2 tienen distinta dirección (r1 y r2 alabeadas o concurrentes)
Como la distancia siempre se mide sobre la perpendicular (en este caso la perpendicular común a
ambas rectas), por lo cual es la mínima distancia entre puntos de ambas rectas, entonces si ellas
tienen intersección, su distancia será nula, por tal motivo para realizar la deducción de la respectiva
fórmula, vamos a considerar el caso en el que no hay intersección, aunque luego veremos que una
vez deducida la fórmula, esta aplicada al caso de las rectas que tienen intersección nos dará como
resultado una distancia nula, acordeal concepto de distancia para estos casos.
Interpretemos geométricamente la situación del caso a
Sean r1 : X  P1  tV1 y r2 : X  P2  tV2
Figura 8
P1
r1
P2 r2V2
d

V1
d
P1 - P2
Como las rectas son paralelas, la distancia entre ellas será siempre constante por lo que se reduce
a calcular la distancia de un punto de una de las rectas a la otra, entonces se reduce a calcular la
distancia de un punto a una recta por lo que la fórmula a usar será la 1 deducida más arriba. Es
decir:
dr1r2  dP1r2 
P1  P2  V2
V2
8
La 8 nos proporciona la distancia entre dos rectas que tienen igual dirección (rectas
paralelas)
Sabemos que si las rectas tienen intersección no vacía su distancia es nula. En el caso de que
las rectas sean coincidentes su intersección es no vacía por lo que la distancia entre ellas es nula.
Veamos que la anterior fórmula aplicada al caso de que ambas rectas coincidan nos da una
distancia nula. En efecto si las rectas son coincidentes entonces el vector P1  P2 es paralelo al
vector V2 por lo que:
P1  P2  V2    Q  P  V  0  dr1r2 
P1  P2  V2
V2
 0
V2
 0
Interpretemos geométricamente el caso b.
Figura 9
P2
r2
P1
r1

N=V1 X V2
V1
V2
V1
d
Proy (P1 - P2)
N
Como la distancia entre las rectas debe medirse sobre la perpendicular común a ambas rectas,
entonces debemos encontrar dicha perpendicular. Sabemos que los vectores directores de las rectas
son L. I. y cada uno de ellos es paralelo a la respectiva recta, entonces cualquier plano paralelo a
ambos vectores será en consecuencia paralelo a ambas rectas, por lo tanto la recta perpendicular
común a ambas rectas, será aquella que tenga como vector director a un vector normal a dicho plano.
Sabemos también que dicho vector normal es el producto vectorial de los vectores directores de las
rectasN  V1  V2. Por lo tanto la distancia entre las rectas, vendrá dada, por la distancia de un
punto de una de las rectas al plano que pasando por un punto de la otra recta, sea paralelo a los
vectores directores de las rectas. En consecuencia la distancia entre dos rectas alabeadas estará dada
por la ecuación 7 deducida más arriba:
dQ, 
Q  P, N
N
Donde:
Q  P1: punto de una de las rectas r1
P  P2: punto de la otra recta r2
N: vector ortogonal simultáneamente a V1 y a V2 , N  V1  V2
Obteniendo
dr1,r2 
P1  P2, N
N
9
La (5) nos proporciona la distancia entre dos rectas que tienen distinta dirección (alabeadas o
concurrentes)
Sabemos que si las rectas tienen intersección no vacía, su distancia es nula. En el caso de que las
rectas sean concurrentes su intersección es no vacía por lo que la distancia entre ellas es nula.
Veamos que si aplicamos la 9 al caso en que las rectas sean concurrentes la distancia
calculada es nula. En efecto, si las rectas son concurrentes entonces son coplanares en un plano
paralelo a los vectores V1 y V2, por lo que el vector P1  P2 será un vector contenido en ese plano
(por unir dos puntos de ese plano) y por lo tanto será un vector perpendicular a N, por lo que
P1  P2, N  0 (condición de perpendicularidad). Entonces:
dr1,r2 
P1  P2, N
N
 0
N
 0
Ejemplo 4
Calcula la distancia entre las rectas r1 : X  1,0,1  t1,2,1 y r2 : X  0,1,2  t0,1,1
Veamos si las rectas tienen igual o distinta dirección:
V1  1,2,1; V2  0,1,1 como V1 y V2 no tienen sus componentes proporcionales ya que
2
1
 1
1
, entonces V1,V2 es L. I. , entonces las rectas tienen distintas direcciones , por lo son
alabeadas o concurrentes. Entonces la fórmula a usar es la 9.
dr1,r2 
P1  P2 , N
N
P1  1,0,1; P2  0,1,2  P1  P2  1,0,1  0,1,2  1,1,3
N  V1  V2 
I J K
1 2 1
0 1 1
 3,1,1
N  9  1  1  11
P1  P2,N  1,1,3,3,1,1  3  1  3  7
dr1,r2 
P1  P2 , N
N
 7
11

7 11
11
Ejemplo 5
Calcula la distancia entre las rectas r1 : X  2,0,1  t1,1,1 y r2 : X  1,1,0  t2,2,2
V1  1,1,1; V2  2,2,2  21,1,1  2V1  V1,V2 es L.D. , entonces las rectas
tienen igual dirección , por lo que son paralelas o coincidentes. Entonces la fórmula a usar es la 8.
Es decir:
dr1,r2 
P1  P2  V2
V2
P1  2,0,1; P2  1,1,0  P1  P2  2,0,1  1,1,0  1,1,1
V2  2,2,2  V2  4  4  4  12  2 3
P1  P2  V2 
I J K
1 1 1
2 2 2
 0,4,4  P1  P2  V2  0  16  16  32
 4 2
dr1,r2 
P1  P2  V2
V2

4 2
2 3

2 2
3

2 6
3
5.4.- Distancia entre una recta y un plano.
Cuando analizamos la posición relativa entre una recta y un plano, vimos que :
a La recta es paralela al plano y no está incluida
b La recta es paralela al plano y está contenida en él
c La recta y el plano son secantes
En los dos últimos casos sabemos que la intersección entre la recta y el plano es no vacía, por lo
que la distancia es nula. En consecuencia solo es necesario deducir la fórmula para el primer caso.
Veamos de interpretar geométricamente la situación.
Dados r : X  P  tV y  : X  Q,N  0
Puede suceder que:
1 el vector director de la recta sea paralelo al plano  N  V  V,N  0
2 el vector director de la recta no es paralelo al plano  V,N  0  dr,  0
La interpretación geométrica del problemas se ve en la figura 10.
Figura 10
Pr
Q
N
V

d
Proy
P-Q
N
De la figura podemos ver que al ser la recta paralela al plano la distancia es constante por lo que
su cálculo se reduce a calcular la distancia de un punto de la recta al plano. Es decir viene dada por
la ecuación 3
dr, 
P  Q , N
N
6
La 6 nos proporciona la distancia entre una recta r y un plano  cuando la recta es paralela al
plano (incluida o no incluida)
Si la recta es paralela al plano y está incluida en él, su intersección es no vacía por lo que la
distancia debe ser nula.
Veamos que si aplicamos la 6 al caso en el cual la recta está contenida en el plano, su distancia
es nula.
En efecto si la recta está contenida en el plano, el vector P  Q esta contenido en el plano por
lo que P  Q, N  0  dr,  0N
 0
5.5.- Distancia entre dos planos.
Hemos visto que dos planos pueden ser: paralelos (coincidentes o distintos), y secantes. En el
caso de que los planos sean secantes, su intersección es no vacía por lo que su distancia ya sabemos
es nula., Así que para deducir la fórmula que nos permita calcular la distancia entre dos planos solo
basta considerar el caso de planos paralelos.
Interpretemos geométricamente la situación considerando el caso en el que los planos son
paralelos y distintos.
Dados: 1 : X  P1 , N1  0 y 2 : X  P2 , N2  0
Figura 11

P2
P1
proy

N1
N2
d
(P1 -P2)
N
P1 -P2
Al ser los planos paralelos sus vectores normales también son paralelos. De la figura se puede
deducir que la distancia entre ellos será siempre constante y se reduce a la distancia que hay de un
punto de uno de los planos al otro plano. Así será dada por la ecuación 3 :
dQ, 
Q  P , N
N
Es decir calcular la distancia entre los planos 1 y 2 es equivalente a calcular la distancia de un
punto del plano 1 al plano 2 ó bien a calcular la distancia de un punto del plano 2 al plano 1
Si aplicamos esta fórmula a los datos del problema tenemos:
d1,2  dP1,2 
P1  P2 , N2
N2
o bien d1,2  dP2,1 
P2  P1, N1
N1
6.- ANGULOS.
6.1.- Angulo entre dos rectas.
Definimos el ángulo entre dos rectas, como el ángulo  tal que     0 determinado por los
vectores directores de las rectas. Es decir:
Si r : X  Q  tV y r : X  P  sU   ángulo entre r y r .
Aplicando el coseno del ángulo entre dos vectores a los vectores directores de las rectas tenemos:
cos 
V , U
UV
   arcocos
V , U
UV
6.2.- Angulo entre dos planos
Definimos el ángulo entre dos planos como el ángulo  tal que     0 determinado por los
vectores normales a los planos. Es decir:
Si 1 : X  P1, N1  0 2 : X  P2, N2  0   ángulo entre 1 y2
cos 
N1 , N2
N1N2
   arcocos
N1 , N2
N1N2
6.3.- Angulo entre una recta y un plano
Dados una recta r : X  P  tV y un plano  : X  Q, N siendo V vector director de r y N
vector normal a 
Definimos el ángulo entre una recta y un plano al ángulo  relacionado con el ángulo  entre el
vector director de la recta y el vector normal al plano de la siguiente forma:
a Si cos 
V , N
VN
 0, (  
2
),entonces   
2
  (ver fig a)
b Si cos 
V , N
VN
 0, (  
2
),entonces     
2
(ver fig b)
Figura 12
Q
N
Q
N
r
V
r
Fig a fig b
V


7.- NOCION DE VARIEDAD LINEAL
7.1.- Definición
Dados P1,P2, ,Pm  n.y  n. Decimos que es una variedad lineal si y solo si X 
 i i  1,2, . . . .n tal que X 
i1
m
 iP i 
i1
m
 i  1
En este caso decimos que es la variedad lineal generada (determinada) por los puntos
P1,P2, ,Pm. Es decir:
 X  n / X 
m
i1
 iP i 
m
i1
 i  1
Como podemos ver. la variedad lineal generada (determinada) por un conjunto de puntos
P1,P2, . . . .Pm de n no es más que el conjunto solución del sistema:
IV i1
m
 i  1
X 
i1
m
 iP i
El sistema IV se puede expresar de la forma AX  B siendo A4xm. y AB4xm1. Aplicando el
teorema de Rouche Frobenius podemos decir que IV tiene solución si y solo si
RangoA  RangoAB. Como 1  RangoA  4 y el número de incógnitas es m entonces el número
de variables libres será: N  m  rangoA.
7.2.-Variedades lineales en 3
Si particularizamos el caso de n  3 el sistema IV es un sistema de 4 ecuaciones con m
incógnitas.
Analizamos las ecuaciones de IV podemos decir que el conjunto solución no es más que el
conjunto de los puntos X  3 que son combinaciones lineales de los puntos P i.con suma de
coeficientes igual a la unidad. Además sabemos que cada punto P i es el extremo del vector OP i
 P i  O  P i, donde O es el origen de coordenadas del sistema ortogonal de ejes x, y, z. Es decir P i
es un vector de 3para cada i  1,2, . . ,m.
La segunda ecuación de IV no es más que el subespacio generado por los vectores P i, y ya
sabemos que esos subespacios tienen dimensión menor o igual que 3 y ellos son:
a Dimensión 0: (espacio nulo)
b Dimensión 1: (rectas que pasan por el origen)
c Dimensión 2: (planos que pasan por el origen)
d Dimensión 3: (espacio 3
Pero para que IV tenga solución debe tambien cumplirse la primera ecuación (suma de
coeficientes igual a 1). Así que el conjunto de las posibles variedades lineales generadas por un
conjunto P1,P2, . . . .Pm  3 incluyen a esos subespacios si cumplen la segunda condición.
Tiene sentido entonces enunciar y probar los siguientes teoremas:
Teorema 6.1: Cualquier recta es una variedad lineal en 3
Teorema 6.2: Cualquier plano es una variedad lineal en 3
Teorema 6.3: Si es un subespacio de 3 entonces es una variedad lineal en 3
Ing Augusto A. Estrada V.