Física Matemática II - Problemas - Toribio

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Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Facultad de Ciencias F́ısicas
DAFES
F́ısica Matemática II
Dr. Richard Toribio Saavedra
Notación Las derivadas ordinarias se pre-
sentarán utilizando la notación de Leibniz
dy/dx, d2y/dx2, d3y/dx3, · · · , o la notación prima
y′, y′′, y′′′, · · · En realidad, la notación de prima se
utiliza solamente las tres primera derivadas. En términos
generales, la n-ésima derivada será dny/dxn ó y(n).
Además, ocasionalmente se utiliza la notación de
Newton por puntos para denotar las derivadas con
respecto al tiempo t (d2s/dt = s̈2).
I. CÁLCULO VECTORIAL Y TENSORIAL
1. Demuestre la ley de los senos para un triángulo
mediante el uso del producto cruz de un vector con
A⃗+ C⃗ = B⃗.
2. Verifique el desarrollo del producto vectorial triple
A⃗ × (B⃗ × C⃗) = B⃗(A⃗ · C⃗) − C⃗(A⃗ · B⃗) mediante el
desarrollo directo en coordenadas cartesianas.
3. Demuestre que:
(⃗a× b⃗)× (c⃗× d⃗) = [⃗a · (⃗b× d⃗)]⃗c− [⃗a · (⃗b× c⃗)]d⃗
4. Tres vectores A⃗, B⃗, y C⃗ están definidos por: A⃗ =
3x̂− 2ŷ+2ẑ, B⃗ = 6x̂+4ŷ− 2ẑ, C⃗ = −3x̂− 2ŷ− 4ẑ.
Calcule los valores de A⃗ · B⃗ × C⃗ y A⃗× (B⃗ × C⃗).
5. La gravedad vaŕıa de un punto a otro como:
g⃗ = g⃗0 − Ω⃗× (Ω⃗× R⃗T ).
Este error es pequeño, pero para vuelos de mu-
chas horas puede hacerse perceptible. Exprese g⃗ en
términos de sus componentes.
6. Evalúe el vector
F⃗ = q(E⃗ + u⃗× B⃗ + v⃗ × B⃗),
donde
u⃗ =
E⃗ × B⃗
B2
7. Un cuerpo gira con velocidad angular constante w⃗.
Demuestre que la velocidad lineal es solenoidal.
8. Demuestre que u⃗× v⃗ es solenoidal si u⃗ y v⃗ son cada
una irrotacional.
9. Evalúe
τ⃗ = r⃗ × [p⃗ · ∇E⃗] + p⃗× E⃗
10. Si S(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)3/2, encuentre: (a) ∇S
en el punto (1, 2, 3), (b) la magnitud del gradiente
de S, en (1, 2, 3) y (c) los cosenos de dirección de
∇S en el punto (1, 2, 3).
11. Si A⃗ es un vector constante, demuestre que
∇(A⃗ · r⃗) = A⃗.
12. Si a⃗ = ▽φ+ ψ▽ χ, calcule
(⃗a · ▽)⃗a
13. Verifique la identidad:
(a) A⃗× (∇× A⃗) = 1
2
∇(A2)− (A⃗ · ∇)A⃗.
(b) Halle la ∇ · (r4r⃗).
14. Demuestre que ∇× (φ∇φ) = 0.
15. Evalúe el vector
v⃗ = v⃗0 +
1
2
a3∇(v⃗0 ·
r⃗
r3
)
donde a es constante.
16. Haciendo uso de las siguientes definiciones:
{∇ψ}α = ∂αψ,
∇ · F⃗ = ∂αFα,
{∇ × F⃗}γ = εγαβ∂αFβ .
Demuestre que: ∇× (ψA⃗) = ∇ψ × A⃗+ ψ∇× A⃗.
17. De la ecuación de la magnetohidrostática:
0 = −dpi
dz
− gρi +
1
µ
[(∇× B⃗)× B⃗]z
de donde g y µ son constantes. Determine dpi/dz.
2
18. Demuestre la condición de ortogonalidad∑
ℓ aȷℓakℓ = δȷk. Como caso especial de esto,
los cosenos de dirección o cosenos directores
satisfacen la relación:
cos2(α) + cos2(β) + cos2(γ) = 1
19. Examine si el arreglo
T =
(
−xy y2
x2 xy
)
es un tensor.
20. Separar el tensor del problema 19 en dos tensores:
simétrico y antisimétrico.
21. Demuestre que:
(a)
∑
pq
εıpq εȷpq = 2δıȷ,
(b)
∑
k
εıȷk εpqk = δıpδȷq − δıqδȷp.
22. Si B⃗ es un campo Beltrami definido por la propie-
dad ∇× B⃗ = αB⃗, demuestre que:
∇ · B⃗ = − 1
α
B⃗ · ∇α,
y
∇2B⃗ + α2B⃗ = 0.
denominada ecuación de Helmholtz si α se res-
tringe, en este último caso, a ser una constante es-
pacial.
23. Si la fuerza F⃗ = (x2 + y2 + z2)(xx̂ + yŷ + zẑ),
encuentre: (a) ∇ · F⃗ , (b) ∇ × F⃗ , (c) un potencial
escalar φ(x, y, z) de modo que F⃗ = −∇φ.
24. Demuestre que:
−∇p+ ρψ⃗ = 0⃗,
es la ecuación más general de la estática de fluidos.
La intensidad del campo es ψ⃗, p es la presión y ρ
es la densidad.
25. En una masa aislada (no rotatoria) tal como una
estrella, la condición de equilibrio es
∇P + ρ∇φ = 0
de donde, P es la presión total, ρ la densidad y φ
el potencial gravitacional. Demuestre que en cual-
quier punto las normales a las superficies de pre-
sión constante y potencial gravitacional constante
son paralelas.
26. Sea η(x, y, z) una función escalar y H⃗ una función
vectorial, calcule:
H⃗ �∇× (η ∇× H⃗)
27. Al tanque de agua que se ilustra se aplica una ace-
leración constante ay. Si se desea que el agua no se
derrame cuando se alcance una configuración fija
con respecto al tanque, cuál es la mayor acelera-
ción permisible?
28. Verifique la identidad vectorial
∇× (A⃗× B⃗) = (B⃗ · ∇)A⃗− (A⃗ · ∇)B⃗ − B⃗(∇ · A⃗) + A⃗(∇ · B⃗)
29. La ecuación de Maxwell: ∇× H⃗ = 4πJ⃗ , está expre-
sada en unidades electromagnéticas. H⃗ es la inten-
sidad de campos magnéticos, J⃗ es la densidad de
corriente y la fuerza de Lorentz está dado por:
f⃗ℓ = µ J⃗ × H⃗.
y ∇ · H⃗ = 0. Calcule f⃗ℓ.
30. Si Tijk··· es un tensor de clase n, demuestre que
∑
∂Tijk···/∂xj es un tensor de clase n− 1 (coorde-
nadas cartesianas).
31. Si T···ı es un tensor de clase n, demuestre que
∂T · · · ı/∂xj es un tensor de clase n + 1 (coorde-
nadas cartesianas).
32. Indique ∇·∇× A⃗ y ∇×∇φ en la notación εıȷk, de
modo que sea evidente que cada expresión desapa-
rece.
3
33. (a) Exprese los componentes de un vector de pro-
ducto vectorial C⃗, C⃗ = A⃗× B⃗, en términos de εıȷk
y los componentes de A⃗ y B⃗. (b) Utilice la antisi-
metŕıa de εıȷk para demostrar que A⃗ · A⃗× B⃗ = 0.
34. Demuestre que la condición, para que los vectores
A⃗, B⃗, C⃗, sean coplanares, puede ser escrito como:∑
ijk
εijk AiBjCk = 0
35. Las ecuaciones magnetohidrostáticas resultantes
son:
∇p = J⃗ × B⃗, ∇× B⃗ = µ0J⃗
∇ · B⃗ = 0,
Utilizando el álgebra tensorial, encuentre la ecua-
ción de balance de presión. Explique brevemente la
f́ısica del problema.
36. De la pregunta (35), determine la componente α
-ésima de las tres ecuaciones.
37. Demuestre que si d⃗ = α a⃗+β b⃗+γ c⃗, donde a⃗, b⃗, y c⃗
no son coplanares, entonces determine los paráme-
tros α, β y γ en términos del pseudotensor de Le-
viCivita.
38. Coordenadas curviĺıneas. Determine los coeficientes
métricos hpq que especifican la naturaleza geométri-
ca del sistema coordenado. Demuestre que, para
cualquier sistema coordenado ortogonal el elemento
de longitud resulta ser:
ds2 =
∑
p
h2pdq
2
p
39. Siendo â1 un vector unitario en la dirección de q1
creciente, demuestre que
∇ · â1 =
1
h1h2h3
∂(h2h3)
∂q1
∇× â1 =
1
h1
[â2
∂h1
h3∂q3
− â3
∂h1
h2∂q2
]
40. Exprese la ecuación de Maxwell:
∇× H⃗ = (σ + j w ε)E⃗
en coordenadas ciĺındricas. Los parámetros σ,w y
ε, son constantes y (j =
√
−1). Indique sus respec-
tivos vectores unitarios.
41. Si una función de vector F⃗ depende tanto de las
coordenadas espaciales (x, y, z) como del tiempo t,
demuestre que:
dF⃗ = (dr⃗.∇)F⃗ + ∂F⃗
∂t
dt.
42. Un arreglo cuadrado antisimétrico está dado por: 0 C3 −C2−C3 0 C1
C2 −C1 0
 =
 0 C12 C13−C12 0 C23
−C13 −C23 0

donde (C1, C2, C3) representa un pseudovector.
Asumiendo que la relación:
Ci =
1
2!
∑
jk
εijk Cjk
se cumple en todos los sistemas coordenados, prue-
be que Cjk es un tensor.
43. El tensor dual B∗ del tensor cuatro dimensiones de
segundo orden B se define
B∗ıȷ = −
1
2!
∑
kℓ
δıȷkℓBkℓ
Demuestre que B∗ se transforma como (a) un ten-
sor de segundo orden bajo las rotaciones. (b) un
pseudotensor bajo las inversiones.
44. Los esfuerzos sobre un cuerpo elástico se presen-
tan como resultado de fuerzas que actúan sobre el
mismo. Establezca las propiedades de simetŕıa del
arreglo σαβ y demuestre que es un tensor (elija un
caso).
45. Calcule el trabajo efectuado al pasar del punto
(1, 1) al punto (3, 3). La fuerza que se ejerce está
dada por F⃗ = x̂(x− y) + ŷ(x+ y). especifique cla-
ramente la trayectoria seleccionada.
46. Si B⃗ = ∇ × A⃗, demuestre que
∫
S
B⃗ · dσ⃗ = 0, para
cualquier superficie cerrada S.
47. Demuestre mediante el desarrollo de la integral de
superficie que
ĺım∫
dτ→0
∫
S
dσ⃗ × V⃗∫
dτ
= ∇× V⃗ .
48. En analoǵıa a las definiciones de integral del gra-
diente, divergencia y rotacional del tema de inte-
gración de vectores, demuestre
∇2φ = ĺım∫
dτ→0
∫
∇φ · dσ⃗∫
dτ
.
49. Si v⃗ = a⃗× p⃗, en donde a⃗ es un vector constante con
una magnitud constante y una dirección constante
pero arbitraria, demuestre:∫
Sup.
dσ⃗ × p⃗ =
∫
V ol
∇× p⃗ dτ
4
50. Demuestre que
∫
S
∇ × V⃗ · dσ⃗ = 0, si S es una su-
perficie cerrada.51. Demuestre que
∮
u∇v · dλ⃗ = −
∮
v∇u · dλ⃗.
52. Demuestre que
∮
u∇v · dλ⃗ =
∫
S
(∇u)× (∇v) · dσ⃗.
53. Evalúe las siguientes integrales alrededor del ćırcu-
lo x2 + y2 = 1; use el teorema de Green si fuese
conveniente.
(a)
∮
[(2y2 − 3x2y)x̂+ (4xy − x3)ŷ] · dλ⃗,
(b)
∮
(2x2 − y3)dx+ (x3 + y3)dy.
54. Usando los teoremas de la divergencia y de Stokes,
si fuese conveniente, calcule las siguientes integra-
les:
(a)
∮
Γ
(−3yx̂+ 3xŷ + ẑ) · dλ⃗, y Γ es el ćırculo
x2 + y2 = 1 contenido dentro del plano z = 2.
(b)
∮
(2x2 − y3)dx+ (x3 + y3)dy.
55. Demuestre que∮
Γ
(▽× a⃗) · dλ⃗ =
∫
S
∫
[
∂
∂n
(▽ · a⃗)− n̂ · (▽2a⃗)]dσ
II. FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA
56. Efectuar la operación siguiente:
(−1− i)(1 + i)2
57. resuelva la ecuación:
2z4 − 3z3 − 7z2 − 8z + 6 = 0
58. Evaluar la siguiente ecuación
| z − 1 | − | z + 1 |= 1
en el plano complejo. Hacer un diagrama es-
quemático de su resultado y recalcar ciertas pro-
piedades fundamentales de dicho diagrama.
59. Demuestre que:
N−1∑
k=0
cos
2πk
N
=
N−1∑
k=0
sen
2πk
N
= 0
60. Demuestre que:
ΣN−1ℓ=0 cos(ℓx) =
sen(Nx/2)
sen(x/2)
cos(N − 1) x
2
,
ΣN−1ℓ=0 sen(ℓx) =
sen(Nx/2)
sen(x/2)
sen(N − 1) x
2
.
Estas series se presentan en el análisis del modelo
de difracción de rendija múltiple.
61. Demuestre que:
tanh(z/2) =
senh(x) + isen(y)
cosh(x) + cos(y)
coth(z/2) =
senh(x)− isen(y)
cosh(x)− cos(y)
.
Estas relaciones serán de utilidad en los problemas
de representación conformal que implican las coor-
denadas bipolares.
62. Demuestre:
sen(z1 + z2) = sen(z1) cos(z2) + sen(z2) cos(z1)
cos(z1 + z2) = cos(z1) cos(z2)− sen(z1)sen(z2)
63. Demuestre que:
isen(z) = senh(iz), cos(iz) = cosh(z)
64. Demuestre que:
|sen(z)|2 = sen2(x) + senh2(y)
| cosh(z)|2 = senh2(x) + cos2(y)
65. Calcule la parte real de iln(1+i).
66. Demuestre que:
sen−1(z) = −i ln(iz ±
√
1− z2)
67. Establezca las funciones anaĺıticas w(z) = u(x, y)+
i v(x, y) si
(a) u(x, y) = x3 − 3xy2, (b) v(x, y) = e−ysenx.
68. Usted puede representar el movimiento de una
part́ıcula en dos dimensiones al utilizar un número
complejo dependiente del tiempo con z = x+ iy =
reiθ mostrando sus coordenadas rectangular o po-
lar. Demuestre que
d2z
dt2
= eiθ[
d2r
dt2
− r(dθ
dt
)2] + ieiθ[r
d2θ
dt2
+ 2
dr
dt
dθ
dt
]
Interprete su resultado.
5
69. Utilizando f(reıθ) = R(r, θ)eıΘ(r,θ), en que R(r, θ)
y Θ(r, θ) son funciones reales de r y θ, que pue-
den diferenciarse, demuestre que las condiciones
de Cauchy-Riemann en las coordenadas polares se
transforman en
∂R
∂r
=
R
r
∂Θ
∂θ
,
y
∂R
r∂θ
= −R∂Θ
∂r
.
70. Halle la derivada y los puntos singulares de la fun-
ción
g(z) =
1
z2 + z + 1
71. Compruebe que la función u(x, y) = e−y(x cosx −
ysenx) es armónica.
72. Halle el valor de:
∫ (1,1)
(0,0)
(5− 2y)dx+ ı(xy − 4)dy,
a lo largo de la curva x = t, y = t3.
73. Intégrese la función f(z) = 3z3−2z2+5z+7 sobre
la circunferencia de centro Z = 0 y radio R. ¿Puede
predecirse el resultado?
74. Calcular
I =
∫
C
dz
z2 − 1
,
siendo C la circunferencia de radio R = 3 y su
centro en el origen.
75. Calcule el valor de la integral
I =
∫
C
dz
z2 + 1
,
siendo C la circunferencia de centro z = 0 y radio
R = 3.
76. Se considera la función f(z) = 3/(1 − z2), de la
que se sabe que los residuos en z = 1 y z = −1
son −3/2 y 3/2, respectivamente. Si C es cualquier
circunferencia del plano de radio
1√
2
que no pase
por esos puntos, determine el valor de la integral de
f(z) sobre la circunferencia C recorrida en sentido
positivo.
77. Calcular el valor de la integral de la función:
f(z) =
2
2z3 + ız2 − 8z − 4ı
,
a lo largo de la circunferencia de centro z = ı y
radio 2, recorrida en sentido positivo, sabiendo que
el residuo en z = −ı/2 vale −4/17.
78. Algunas series importantes, que están calculadas
para un entorno de z0 = 0, para cada caso el domi-
nio de convergencia es (|z| < +∞).
sen z = z − z
3
3!
+ · · ·+ (−1)n z
2n+1
(2n+ 1)!
+ · · ·
cos z = 1− z
2
2!
+ · · ·+ (−1)n z
2n
(2n)!
+ · · ·
79. Obtener tres diferentes expansiones de Laurent de
7z − 2
z(z + 1)(z − 2)
alrededor de z = −1.
80. Halle las series de Laurent de la función
g(z) =
1
(z − a)(z − b)
centradas en z = 0 y en z = a, y en la región anular
|a| < |z| < |b|.