BertJanssen-RelatividadGeneral-114

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dxν
dxµ
R µνρ
λ
Tµν
ρdx
dx µ
ν
dxµ
dxν
Figura 7.4: El tensor de Riemann y el tensor de torsión: El tensor de Riemann Rµνρ
λ mide la diferencia
en el transporte paralelo de un vector en un paralelograma infinitesimal y es una medida de la curvatura
encerrada en el paralelograma. El tensor de torsión T ρµν es la parte antisimétrica de la conexión y mide
hasta qué punto el paralelograma está cerrada.
mide el grado en que cierre el paralelograma. Es decir, si transportamos paralelamente el vector
infinitesimal dxµ a lo largo de dxν , resultando en un vector dx′µ y lo comparamos con el vector
dx′ν , siendo el transportado paralelo de dxν a lo largo de dxµ, resulta que en general los vectores
dx′µ y dx′ν no terminan en el mismo punto (vease figura 7.4). En otras palabras, en general el pa-
ralelograma dxµ-dxν -dx′µ-dx′ν no necesariamente cierra. Sólo si nos restringimos a conexiones
simétricas (una de las condiciones para la conexión de Levi-Civita), el tensor de torsión es cero y
las trayectorias dxµ-dxν y dxν -dxµ formarán un paralelograma cerrado.
Con un mismo cálculo que en el caso del vector contravariante, podemos calcular el conmu-
tador sobre escalares y tensores en general. Para un escalar φ tenemos que (ejerc.)
[∇µ,∇ν ]φ = −T ρµν∇ρφ, (7.25)
y para un tensor Sρ1...ρmλ1...λn (ejerc.)
[∇µ,∇ν ]Sρ1...ρmλ1...λn = Rµνσρ1Sσρ2...ρmλ1...λn + ... + RµνσρmSρ1...σλ1...λn
−Rµνλ1σSρ1...ρmσλ2...λn − ... − Rµνλn σSρ1...ρmλ1...σ − T σµν∇σSρ1...ρmλ1...λn . (7.26)
Como ya lo indican sus nombres, el tensor de Riemann y el tensor de torsión son tensores de
rango (1, 3) y (1, 2) respectivamente, a pesar de que estén construidos a base de objetos que no
son tensoriales (derivadas parciales y conexiones). Se puede comprobar el carácter tensorial de
Rµνρ
λ y T ρµν calculando sus reglas de transformación a lo bruto, pero es más fácil darse cuenta
que todos los elementos del lado izquierdo de (7.23) son tensores, ası́ que el lado derecho también
tiene que transformar como un tensor: dado que la torsión es un tensor por ser la diferencia entre
dos conexiones, también el tensor de Riemann tiene que tener un carácter tensorial, para el lado
derecha de (7.23) transforme bien.
Como ya hemos dicho, el tensor de Riemann mide la variación de un vector tras transporte
paralelo alrededor de una curva cerrada. En particular, si el tensor de Riemann es cero, el trans-
porte paralelo de un vector no depende de la trayectoria, lo que implica que la variedad es plana.
También la afirmación opuesta es verdad: en el espacio plano RN (o el espacio de Minkowski)
la conexión Γkij es identicamente cero en coordenadas cartesianas y por lo tanto el tensor de Rie-
mann también es cero. Y dado el carácter tensorial de Rµνρ
λ, si el tensor de Riemann es cero en
coordenadas cartesianas también lo será en cualquier otro tipo de coordenadas curvilı́neas, aun-
que las conexiones no necesariamente lo sean. (Es un ejercicio ilustrativo calcular Rµνρ
λ de R2 a
partir de las componentes de la conexión (7.6) en coordenadas polares).
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