2 1 T Fundamentos Matemáticos y Cinemática (Ferroviaria) 202305

Vista previa del material en texto

Mecánica de Fluidos UTN FRH 
CONCEPTOS MATEMÁTICOS 
FUNDAMENTALES
Mecánica de Fluidos 
2
• VECTORES Y ESCALARES
• CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES
• SISTEMAS DE COORDENADAS
• VECTORES EN COMPONENTES
• OPERADOR NABLA, GRADIENTE, DIVERGENCIA Y 
ROTOR.
• TEOREMA DE LA DIVERGENCIA Y FÓRMULAS DE GAUSS 
GREEN. 
• TENSORES. PRODUCTO DÍADICO DE DOS VECTORES.
CONCEPTOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTALES
3
• VECTORES Y ESCALARES
• CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES
• SISTEMAS DE COORDENADAS
• VECTORES EN COMPONENTES
• OPERADOR NABLA, GRADIENTE, DIVERGENCIA Y 
ROTOR.
• TEOREMA DE LA DIVERGENCIA Y FÓRMULAS DE GAUSS 
GREEN. 
• TENSORES. PRODUCTO DÍADICO DE DOS VECTORES
CONCEPTOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTALES
REVISIÓN DE ANÁLISIS VECTORIAL
Una característica de la Mecánica de Fluidos es la necesidad de
trabajar con análisis vectorial. Los conceptos de flujo, gradiente
de un escalar, divergencia de un vector y los productos escalares
y vectoriales son de uso frecuente.
VECTORES Y ESCALARES
Para representar una cantidad escalar se usará cualquier letra 
mayúscula o minúscula
A, T, f, c
𝐴, 𝐹, 𝑟, 𝑣
También se suele usar una letra en negrita
A, F, r, v
Gráficamente por medio de 
segmentos orientados. A
lj𝑟
Para representar una cantidad vectorial se puede usar una 
letra con un segmento en la parte superior
SUMA DE VECTORES
ሜ𝐴 + ሜ𝐵 = ሜ𝐶
ሜ𝐴 + ሜ𝐵 + ሜ𝐶
ሜ𝐴 + ሜ𝐵
ሜ𝐵 + ሜ𝐶
ሜ𝐴
ሜ𝐵
ሜ𝐶
ሜ𝐴
ሜ𝐵
Se define: 
DIFERENCIA DE VECTORES
𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + −𝑏
Siendo un vector que tiene el mismo módulo y la misma 
dirección que el vector pero con sentido contrario. 
−𝑏
𝑏
𝑎 − 𝑏
𝑏
𝑎
8
• VECTORES Y ESCALARES
• CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES
• SISTEMAS DE COORDENADAS
• VECTORES EN COMPONENTES
• OPERADOR NABLA, GRADIENTE, DIVERGENCIA Y 
ROTOR.
• TEOREMA DE LA DIVERGENCIA Y FÓRMULAS DE GAUSS 
GREEN. 
• TENSORES. PRODUCTO DÍADICO DE DOS VECTORES
CONCEPTOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTALES
CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES
Campo: Función matemática de espacio y tiempo 
Campo escalar Campo Vectorial
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝑟 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡
10
• VECTORES Y ESCALARES
• CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES
• SISTEMAS DE COORDENADAS
• VECTORES EN COMPONENTES
• OPERADOR NABLA, GRADIENTE, DIVERGENCIA Y 
ROTOR.
• TEOREMA DE LA DIVERGENCIA Y FÓRMULAS DE GAUSS 
GREEN. 
• TENSORES. PRODUCTO DÍADICO DE DOS VECTORES
CONCEPTOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTALES
SISTEMA DE COORDENADAS
VECTORES BASE UNITARIOS
ሜ𝐴 = 𝐴𝑥 Ƹ𝑖 + 𝐴𝑦 Ƹ𝑗 + 𝐴𝑧 ෠𝑘 Rectangulares
ሜ𝐴 = 𝐴𝑟 Ƹ𝑒𝑟 + 𝐴𝜑 Ƹ𝑒𝜑 + 𝐴𝑧 Ƹ𝑒𝑧 Cilíndricas
ሜ𝐴 = 𝐴𝑟 Ƹ𝑒𝑟 + 𝐴𝜃 Ƹ𝑒𝜃 + 𝐴𝜑 Ƹ𝑒𝜑 Esféricas
ሜ𝐴 = 𝐴𝑥
2 + 𝐴𝑦
2 + 𝐴𝑧
2
ሜ𝐴 = 𝐴𝑟
2 + 𝐴𝜑
2 + 𝐴𝑧
2
ሜ𝐴 = 𝐴𝑟
2 + 𝐴𝜃
2 + 𝐴𝜑
2
En la figura los triedros de vectores base unitarios (o versores fundamentales) se muestran 
con la letra a con subíndice. Nosotros usamos otra notación:
COORDENADAS CARTESIANAS
î
ĵ
k̂
x
y
z
( ), ,P x y z
r
lj𝑟 = 𝑥 Ƹ𝑖 + 𝑦 Ƹ𝑗 + 𝑧 ෠𝑘Los vectores unitarios (o versores) 
en coordenadas cartesianas se 
denotan como y kji ˆ ˆ ,ˆ 
También puede usarse la notación indicial, en la
cual en lugar de usarse una terna de ejes x,y,z con
versores i, j, k, usaremos la terna x1, x2, x3 con
versores e1, e2, e3.
1x
2x
3x
Ǎ𝑒3
Ǎ𝑒2Ǎ𝑒1
x
y
z
ˆ ˆLos vectores 0
ˆˆbase cartesianos 0
ˆ ˆson ortogonales entre si 0
ˆ ˆLos vectores 1
base
i j
j k
k i
i i
 =
 =
 =
 =
ˆ ˆ cartesianos 1
ˆ ˆson unitarios 1
j j
k k
 =
 =
COORDENADAS CARTESIANAS
Los vectores base cartesianos constituyen,
además, una base "der
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
h ":
ˆ
ec a
i k
k
k i
j i
j
j
 =
 =
 =
î
ĵ
k̂
^
^
^
z
x
y
15
• VECTORES Y ESCALARES
• CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES
• SISTEMAS DE COORDENADAS
• VECTORES EN COMPONENTES
• OPERADOR NABLA, GRADIENTE, DIVERGENCIA Y 
ROTOR.
• TEOREMA DE LA DIVERGENCIA Y FÓRMULAS DE GAUSS 
GREEN. 
• TENSORES. PRODUCTO DÍADICO DE DOS VECTORES
CONCEPTOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTALES
Si y 
REPRESENTACIÓN DE VECTORES EN COMPONENTES
lj𝑎 = 𝑎1 Ǎ𝑒1 + 𝑎2 Ǎ𝑒2 + 𝑎3 Ǎ𝑒3 ሜ𝑏 = 𝑏1 Ǎ𝑒1 + 𝑏2 Ǎ𝑒2 + 𝑏3 Ǎ𝑒3
1) lj𝑎 ± ሜ𝑏 = 𝑎1 ± 𝑏1 Ǎ𝑒1 + 𝑎2 ± 𝑏2 Ǎ𝑒2 + 𝑎3 ± 𝑏3 Ǎ𝑒3
2) lj𝑎 ⋅ ሜ𝑏 = 𝑎1𝑏1 + 𝑎2𝑏2 + 𝑎3𝑏3
3) lj𝑎 = 𝑎1
2 + 𝑎2
2 + 𝑎3
2
4) lj𝑎 ∧ ሜ𝑏 =
Ǎ𝑒1 Ǎ𝑒2 Ǎ𝑒3
𝑎1 𝑎2 𝑎3
𝑏1 𝑏2 𝑏3
= 𝑎2𝑏3 − 𝑎3𝑏2 Ǎ𝑒1 − 𝑎1𝑏3 − 𝑎3𝑏1 Ǎ𝑒2 + 𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1 Ǎ𝑒3
17
• VECTORES Y ESCALARES
• CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES
• SISTEMAS DE COORDENADAS
• VECTORES EN COMPONENTES
• OPERADOR NABLA, GRADIENTE, DIVERGENCIA Y 
ROTOR.
• TEOREMA DE LA DIVERGENCIA Y FÓRMULAS DE GAUSS 
GREEN. 
• TENSORES. PRODUCTO DÍADICO DE DOS VECTORES
CONCEPTOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTALES
GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR
Sea 𝜙 𝑥, 𝑦, 𝑧 una funcion escalar que admita derivadas
parciales continuas hasta el primer orden en un dominio dado,
entonces el Vector GRADIENTE de 𝜙 queda definido por la
expresión
𝑔𝑟𝑎𝑑𝜙 = ∇𝜙 =
𝜕𝜙
𝜕𝑥
Ƹ𝑖 +
𝜕𝜙
𝜕𝑦
Ƹ𝑗 +
𝜕𝜙
𝜕𝑧
෠𝑘
En la expresión anterior el operador Nabla opera sobre el campo
escalar 𝜙. El operador Nabla es
∇ = Ƹ𝑖
𝜕
𝜕𝑥
+ Ƹ𝑗
𝜕
𝜕𝑦
+ ෠𝑘
𝜕
𝜕𝑧
El operador nabla conviene escribirlo con los versores a la izquierda como se muestra arriba.
El motivo se mostrará cuando nabla opere sobre un vector. 
El número es la razón de crecimiento máximo
GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN ESCALAR
Siendo un vector que es función de la posición,∇𝜙 = ∇𝜙 𝑥, 𝑦, 𝑧
∇𝜙
en todos los puntos en los cuales este vector apunta ∇𝜙 ≠ ሜ0
en la dirección de máximo crecimiento del campo escalar 𝜙
GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN ESCALAR
•El campo escalar está en blanco y negro, representando el negro 
valores mayores.
•El gradiente está representado por las flechas azules. El gradiente 
apunta en la dirección de mayor crecimiento del campo escalar
…se denomina Divergencia de . 
Siendo un campo vectorial diferenciable, ሜ𝐹 = ሜ𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧
el campo escalar definido como…. ∇ ⋅ ሜ𝐹
o también:∇ ⋅ 𝐹 =
𝜕𝐹𝑥
𝜕𝑥
+
𝜕𝐹𝑦
𝜕𝑦
+
𝜕𝐹𝑧
𝜕𝑧
∇ ⋅ 𝐹 = ෍
𝑖=1
3
𝜕𝐹𝑖
𝜕𝑥𝑖
ሜ𝐹
DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL
resulta:
Si ሜ𝐹 = 𝑥𝑧 Ǎ𝑖 − 2𝑦2 Ǎ𝑗 + 𝑥2𝑦 ෰𝑘 , entonces…. 
∇ ⋅ 𝐹 =
𝜕 𝑥𝑧
𝜕𝑥
+
𝜕 −2𝑦2
𝜕𝑦
+
𝜕 𝑥2𝑦
𝜕𝑧
∇ ⋅ 𝐹 = 𝑧 − 4𝑦
Ejemplo:
3 3
3 3
Sea : un campo vectorial diferenciable,
el 
:
definido como
ro
c
ˆˆ ˆ
se
ampo vecto
 llama tacional de 
ial
 
r
x y z
F D R R
F R R
i j k
F
x y z
F F F
F
 →
 →
  
 =
  
ROTOR DE UN CAMPO VECTORIAL
∇ ∧ 𝐹
∇ ∧ 𝐹
ROTOR DE UN CAMPO VECTORIAL
( ) ( )
( )
3 3
2 2
2
2 2
Sea : un campo vectorial diferenciable,
definido como
, , , ,2
ˆˆ ˆ
2 , 4 ,0
2
F D R R
F x y z xz y x y
i j k
F x x xy
x y z
xz y x y
 →
= −
  
 = = −
  
−
( ) kjxyxix ˆ0ˆ4ˆ2 2 +−+
kyxjyixz ˆ2ˆˆ 22 +−
∇ ∧ 𝐹
24
• VECTORES Y ESCALARES
• CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES
• SISTEMAS DE COORDENADAS
• VECTORES EN COMPONENTES
• OPERADOR NABLA, GRADIENTE, DIVERGENCIA Y 
ROTOR.
• TEOREMA DE LA DIVERGENCIA Y FÓRMULAS DE GAUSS 
GREEN. 
• TENSORES. PRODUCTO DÍADICO DE DOS VECTORES
CONCEPTOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTALES
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA
 = S dSnFdF ˆ 
Fórmula de Gauss -
Ostrogradski
Sea F un campo vectorial en R3, para todo volumen υ tenemos:
… siendo S la superficie que rodea al volumen υ
υ
S
F
∇
Sean 𝜙 𝑥, 𝑦, 𝑧 y 𝜓 𝑥, 𝑦, 𝑧 dos funciones escalares que admitan
derivadas parciales continuas hasta el segundo orden en un
volumen 𝜐 y sobre la superficie S que lo limita. Si definimos al
vector 𝜓 ∇𝜙 entonces, teniendo en cuenta que:
∇ ⋅ 𝜓∇𝜙 = 𝜓 ∇2𝜙 + ∇𝜓 ⋅ ∇𝜙
y aplicando la fórmula de Gauss Ostrogradski, obtenemos
න
𝜐
𝜓 ∇2𝜙 𝑑𝜐 +න
𝜐
∇𝜓 ⋅ ∇𝜙 𝑑𝜐 = න
𝑆
𝜓∇𝜙 ⋅ ො𝑛 𝑑𝑆
... endonde ∇2𝜙 es el Laplaciano de 𝜙
siendo ∇2 =
𝜕2
𝜕𝑥2
+
𝜕2
𝜕𝑦2
+
𝜕2
𝜕𝑧2
el operador Laplaciano.
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA
1era Fórmula de 
Green
Esto surge por aplicar la regla de la derivada del producto
Sea F un campo vectorial en R3, sobre una superficie abierta S tenemos:
… siendo C el contorno que rodea a S
TEOREMA DEL ROTOR (Fórmula de STOKES)
Fórmula de Stokesන
𝑆
∇ ∧ 𝐹 𝑑𝑆 = ර
𝐶
𝐹 ⋅ 𝑑 ሜ𝐶
S
C F
28
• VECTORES Y ESCALARES
• CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES
• SISTEMAS DE COORDENADAS
• VECTORES EN COMPONENTES
• OPERADOR NABLA, GRADIENTE, DIVERGENCIA Y 
ROTOR.
• TEOREMA DE LA DIVERGENCIA Y FÓRMULAS DE GAUSS 
GREEN. 
• TENSORES. PRODUCTO DÍADICO DE DOS VECTORES
CONCEPTOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTALES
TENSORES-PRODUCTO DIÁDICO DE DOS VECTORES
•Ver video “what´s a tensor” (invarianza frente a rotación del sist. de 
coord)
•https://www.youtube.com/watch?v=f5liqUk0ZTw
•Adicional. 
•https://www.youtube.com/watch?v=YxXyN2ifK8A
ധ𝑇 = 𝑇𝑥𝑥 Ƽ𝑖 Ƽ𝑖 + 𝑇𝑥𝑦 Ƽ𝑖 Ƽ𝑗+𝑇𝑥𝑧 Ƽ𝑖 ෘ𝑘+𝑇𝑦𝑥 Ƽ𝑗 Ƽ𝑖+𝑇𝑦𝑦 Ƽ𝑗 Ƽ𝑗+𝑇𝑦𝑧 Ƽ𝑗 ෘ𝑘+𝑇𝑧𝑥 ෘ𝑘 Ƽ𝑖+𝑇𝑧𝑦 ෘ𝑘 Ƽ𝑗+𝑇𝑧𝑧 ෘ𝑘 ෘ𝑘
Un tensor de segundo orden T (cualquiera) en coordenadas cartesianas es:
En este segundo video se postula que la partícula está en equilibrio estático y no rota. Sin embargo es un ardid 
para simplificar la explicación. La definición de tensor de tensiones en el video también aplica a partículas 
materiales que estén aceleradas, roten y se muevan. 
https://www.youtube.com/watch?v=f5liqUk0ZTw
https://www.youtube.com/watch?v=YxXyN2ifK8A
TENSORES-PRODUCTO DIÁDICO DE DOS VECTORES
𝐴 𝐵 = 𝐴𝑥𝐵𝑥 Ƽ𝑖 Ƽ𝑖 + 𝐴𝑥𝐵𝑦 Ƽ𝑖 Ƽ𝑗+ 𝐴𝑥𝐵𝑧 Ƽ𝑖 ෘ𝑘+ 𝐴𝑦𝐵𝑥 Ƽ𝑗 Ƽ𝑖+ 𝐴𝑦𝐵𝑦 Ƽ𝑗 Ƽ𝑗+ 𝐴𝑦𝐵𝑧 Ƽ𝑗 ෘ𝑘+ 𝐴𝑧𝐵𝑥 ෘ𝑘 Ƽ𝑖+ 𝐴𝑧𝐵𝑦 ෘ𝑘 Ƽ𝑗+ 𝐴𝑧𝐵𝑧 ෘ𝑘 ෘ𝑘
Matriz de las componentes del tensor. No es el tensor. 
( o “producto tensorial de dos vectores”). 
TENSORES-PRODUCTO DIÁDICO DE DOS VECTORES
•nabla V y V nabla. Nabla opera sobre un vector como producto diádico. 
Por lo tanto el gradiente de un vector es un tensor de segundo orden. 
TENSORES-PRODUCTO DIÁDICO DE DOS VECTORES
•nabla V y V nabla. Nabla opera sobre un vector como producto diádico. 
Nabla puede operar a derecha o a izquierda, pero el resultado no es el 
mismo. Es el tensor traspuesto. 
TENSORES-PRODUCTO DIÁDICO DE DOS VECTORES
•Producto escalar V * nabla V
TENSORES-PRODUCTO DIÁDICO DE DOS VECTORES
•Producto escalar V * nabla V
Mecánica de Fluidos UTN FRH 
CINEMÁTICA DE FLUIDOS
Mecánica de Fluidos 
36
• DESCRIPCIONES LAGRANGEANA Y EULERIANA.
• CAMPO DE VELOCIDADES
• DERIVADA MATERIAL
• ACELERACIÓN DE LA PARTÍCULA DE FLUIDO.
• MOVIMENTO DE LA PARTÍCULA DE FLUIDO.
• VORTICIDAD.
• TENSOR DE TASAS DE DEFORMACIÓN.
CINEMÁTICA DE FLUIDOS
37
• DESCRIPCIONES LAGRANGEANA Y EULERIANA.
• CAMPO DE VELOCIDADES
• DERIVADA MATERIAL
• ACELERACIÓN DE LA PARTÍCULA DE FLUIDO.
• MOVIMENTO DE LA PARTÍCULA DE FLUIDO.
• VORTICIDAD.
• TENSOR DE TASAS DE DEFORMACIÓN.
CINEMÁTICA DE FLUIDOS
https://www.youtube.com/watch?v=mdN8OOkx2ko
Ver video:
https://www.youtube.com/watch?v=mdN8OOkx2ko
DESCRIPCIÓN LAGRANGEANA
𝑉
𝑟 = 𝑟(𝑟0, 𝑡) 
DESCRIPCIÓN EULERIANA. 
𝑉 = 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) en el punto de coordenadas
𝑉 = 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 
𝑝 = 𝑝(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) 
40
• DESCRIPCIONES LAGRANGEANA Y EULERIANA.
• CAMPO DE VELOCIDADES
• DERIVADA MATERIAL
• ACELERACIÓN DE LA PARTÍCULA DE FLUIDO.
• MOVIMENTO DE LA PARTÍCULA DE FLUIDO.
• VORTICIDAD.
• TENSOR DE TASAS DE DEFORMACIÓN.
CINEMÁTICA DE FLUIDOS
CAMPO DE VELOCIDADES.
^
𝑉 = 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
𝑉𝑦 𝑑 ҧ𝑟
𝑑𝑥
𝑢
=
𝑑𝑦
𝑣
=
𝑑𝑧
𝑤
𝑑 ҧ𝑟 = 𝑑𝑥 ҧ𝑖 + 𝑑𝑥 ҧ𝑗 + 𝑑𝑥ത𝑘 𝑉 = 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)
𝑉 ∧ 𝑑 ҧ𝑟 = ത0
42
• DESCRIPCIONES LAGRANGEANA Y EULERIANA.
• CAMPO DE VELOCIDADES
• DERIVADA MATERIAL
• ACELERACIÓN DE LA PARTÍCULA DE FLUIDO.
• MOVIMENTO DE LA PARTÍCULA DE FLUIDO.
• VORTICIDAD.
• TENSOR DE TASAS DE DEFORMACIÓN.
CINEMÁTICA DE FLUIDOS
DERIVADA TOTAL, MATERIAL O SUSTANCIAL 
DERIVADA TOTAL, MATERIAL O SUSTANCIAL
f
𝐷f
𝐷𝑡
=
𝜕f
𝜕𝑡
+ 𝑉 ⋅ ∇ f
Nosotros usualmente identificaremos a la derivada total usando la letra D mayúscula para indicarla:
𝑑f
𝑑𝑡
=
𝜕f
𝜕𝑡
+ 𝑉 ⋅ ∇ f
𝑑f
𝑑𝑡
=
𝜕f
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕f
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕f
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕f
𝜕𝑧
𝑢, 𝑣 y 𝑤
𝑑f
𝑑𝑡
=
𝜕f
𝜕𝑡
+ 𝑉 ⋅ ∇ f𝑜, 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛:
Si la función f es vectorial, la segunda expresión no requiere calcular el gradiente de un vector. Pero 
ambas son equivalentes.
( )
𝐷
𝐷𝑡
=
𝜕
𝜕𝑡
+ 𝑉 ⋅ ∇
𝑉 ⋅ ∇𝑓
𝐷
𝐷𝑡
=
𝜕
𝜕𝑡
+ 𝑉 ⋅ ∇
Cómo vimos, el operador derivada material también puede definirse de la siguiente forma:
Es un operador que, al realizar primero el producto escalar, no requiere resolver el gradiente en primera 
instancia.
46
• DESCRIPCIONES LAGRANGEANA Y EULERIANA.
• CAMPO DE VELOCIDADES
• DERIVADA MATERIAL
• ACELERACIÓN DE LA PARTÍCULA DE FLUIDO.
• MOVIMENTO DE LA PARTÍCULA DE FLUIDO.
• VORTICIDAD.
• TENSOR DE TASAS DE DEFORMACIÓN.
CINEMÁTICA DE FLUIDOS
ACELERACIÓN DE LA PARTÍCULA DE FLUIDO
𝑎 =
𝐷𝑉
𝐷𝑡
=
𝜕𝑉
𝜕𝑡
+ 𝑉 ⋅ ∇ 𝑉
𝑑𝑢
𝑑𝑡
=
𝜕𝑢
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑢
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑢
𝜕𝑧
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝑑𝑤
𝑑𝑡
=
𝜕𝑤
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝑢, 𝑣 y 𝑤
ACELERACIONES TOTAL, LOCAL Y CONVECTIVA
𝑉 ⋅ ∇ 𝑉
𝑉 ⋅ ∇ 𝑉
Τ𝑑𝑉 𝑑𝑡
Τ𝜕𝑉 𝜕𝑡
49
• DESCRIPCIONES LAGRANGEANA Y EULERIANA.
• CAMPO DE VELOCIDADES
• DERIVADA MATERIAL
• ACELERACIÓN DE LA PARTÍCULA DE FLUIDO.
• MOVIMENTO DE LA PARTÍCULA DE FLUIDO.
• VORTICIDAD.
• TENSOR DE TASAS DE DEFORMACIÓN.
CINEMÁTICA DE FLUIDOS
MOVIMIENTO DE LA PARTÍCULA
• Las partículas de fluido pueden experimentar cuatro tipos básicos de movimiento:
1. Translación
2. Rotación
3. Deformación por corte
4. Deformación extensional o dilatación
• Pero en los fluidos al aplicar esfuerzos se producen desplazamientos en forma
continua (no se limitan a un cierto valor como en el sólido elástico) y por lo tanto
lo que caracteriza la respuesta del material (fluido) es la velocidad con la que se
desplazan las partículas (y no los desplazamientos como en los sólidos elásticos).
Todas las propiedades cinemáticas de los fluidos en movimiento, como por
ejemplo:
– velocidad
– velocidad angular o de rotación.
– tasas de deformación
– aceleración
… están directamente relacionadas al vector velocidad.
o también:𝑉 = 𝑢 Ǎ𝑖 + 𝑣 Ǎ𝑗 + 𝑤 ෰𝑘
𝑣 = 𝑣𝑥 Ǎ𝑖 + 𝑣𝑦 Ǎ𝑗 + 𝑣𝑧 ෰𝑘
𝑣 = 𝑣1 Ǎ𝑒1 + 𝑣2 Ǎ𝑒2+ 𝑣3෭𝑒3
51
dx
dy
A
B C
D
1. TRANSLACIÓN Y VELOCIDAD.
y
x
z+
t
52
dx
dy
A
B C
D
A’
B’ C’
D’
u dt
v dt
1. TRANSLACIÓN Y VELOCIDAD.
y
x
z+
La translación de un elemento en el plano “xy” queda simplemente caracterizada por las
velocidades, asumiendo que el elemento sólo sufre movimientos de cuerpo rígido.
t
t+dt
53
dx
dy
A
B C
D
2. ROTACIÓN Y VELOCIDAD ANGULAR
y
x
z+
t
54
2. ROTACIÓN
dx
dy
A
B C
D
A’
C’
D’
dα
dβ
𝑑𝜃 =
1
2
𝑑𝛼 + 𝑑𝛽
La rotación angular de un elemento respecto del eje “z” se define como la rotación media en
sentido contrario a las agujas del reloj de dos lados BC y BA. O, simplemente, la rotación de la
diagonal BD (hacia BD’)
y
x
z+
Este incremento de rotación será negativo
en el caso de la imagen, ya que ambos
incrementos de ángulo son negativos, de
acuerdo a la definición de rotación angular y
de acuerdo a al sistema de referencia.
t+dt
𝑑𝜃
55
dx
dy
B
A’
C’
D’
dα
dβ
dydt
y
u


dxdt
x
v


2. VELOCIDAD ANGULAR
y
x
z+
El incremento dβ negativo provoca un
desplazamiento en x positivo. Por eso debe
agregarse un signo en su cálculo del arco
tangente. El incremento negativo dα
provoca un desplazamiento en y negativo,
por lo cual no es necesario agregar un signo.
t+dt
Nota: Aquí ya se despreciaron
infinitésimos de orden superior.
𝑑𝜃 =
1
2
𝑑𝛼 + 𝑑𝛽
𝑑𝛽 ≈ tan−1
−
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑑𝑦𝑑𝑡
𝑑𝑦
≈ −
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝛼 ≈ tan−1
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝑑𝑥𝑑𝑡
𝑑𝑥
≈
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝑑𝑡
𝜔𝑧 =𝑑𝜃
𝑑𝑡
=
1
2
𝜕𝑣
𝜕𝑥
−
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑑𝜃
56
dx
dy
A
B C
D
3. DE DEFORMACIÓN POR CORTE Y TASA DE 
DEFORMACIÓN POR CORTE
y
x
z+
t
57
dx
dy
A
B C
3. DEFORMACIÓN POR CORTE
dα
dβ
𝑑𝜑𝑥𝑦 = 𝑑𝛼 − 𝑑𝛽
Se define como la disminución del ángulo entre dos líneas que eran inicialmente perpendiculares
en la configuración no deformada. (AB and BC)
A’
D’
C’
Shear-strain increment
y
x
z+
La disminución del ángulo es la suma
algebraica de los incrementos, pero debe
tenerse en cuenta que el incremento dβ será
negativo por lo cual debe anteponerse el
signo para que aporte a la disminución.
t+dt
58
dx
dy
A
B C
3. TASA DE DEFORMACIÓN POR CORTE
y
x
z+
dα
dβ
A’
D’
C’
𝑑𝜑𝑥𝑦 = 𝑑𝛼 − 𝑑𝛽
𝑑𝛽 = − tan−1
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑑𝑦𝑑𝑡
𝑑𝑦
≈ −
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝑑𝑡
𝑑𝛼 = tan−1
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝑑𝑥𝑑𝑡
𝑑𝑥
≈
𝜕𝑣
𝜕𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝜑𝑥𝑦
𝑑𝑡
=
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= ሶ𝜑𝑥𝑦
dydt
y
u


dxdt
x
v


Lo que se obtiene es la Tasa de deformación
por corte (Shear -strain rate)
t+dt
Nota: Aquí ya se despreciaron
infinitésimos de orden superior.
59
dx
dy
A
B C
D
4. DEFORMACIÓN EXTENSIONAL Y TASA DE 
DEFORMACIÓN EXTENSIONAL
y
x
z+
t
60
A
B
D
4. DEFORMACIÓN EXTENSIONAL
C’
D’
𝑑𝛿𝑥𝑥 =
𝐶𝐶´
𝐵𝐶
Extensional strain increment in x-direction
y
x
z+
t+dt
dy
dx
C
Se define como el incremento relativo en longitud en una dirección (relativo a su longitud inicial)
dxdt
x
u


𝑑𝛿𝑥𝑥 =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝑑𝑥𝑑𝑡
𝑑𝑥
=
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝑑𝑡
𝑑𝛿𝑥𝑥
𝑑𝑡
=
𝜕𝑢
𝜕𝑥
= ሶ𝛿𝑥𝑥
Lo que se obtiene es la Tasa de deformación
extensional (Extensional strain rate)
61
MOVIMIENTO GENERAL Y DISTORCIÓN DE LA PARTÍCULA
En el caso más general, la partícula puede experimentar una combinación de los movimientos
citados anteriormente. Por ejemplo, rototrasladarse y sufrir deformaciones de corte y
extensionales al mismo tiempo.
62
• DESCRIPCIONES LAGRANGEANA Y EULERIANA.
• CAMPO DE VELOCIDADES
• DERIVADA MATERIAL
• ACELERACIÓN DE LA PARTÍCULA DE FLUIDO.
• MOVIMENTO DE LA PARTÍCULA DE FLUIDO.
• VORTICIDAD.
• TENSOR DE TASAS DE DEFORMACIÓN.
CINEMÁTICA DE FLUIDOS
Así como se obtuvo la velocidad angular según el eje “z” se pueden definir las otras
componentes del vector velocidad angular.
Para eliminar el factor ½ algunos autores definen al vector vorticidad como el doble del vector
velocidad angular:
Los flujos para los cuales la velocidad angular de sus partículas es nula, o cuya vorticidad es
nula, se denominan “flujos irrotacionales”. Esta discriminación es importante porque debe
notarse que uno de los factores que provocan rotacionalidad es la viscosidad. Luego si el flujo
es irrotacional, es necesariamente no viscoso (la recíproca no es verdadera).
Cuidado! Las rotaciones finitas no son vectores!
63
VORTICIDAD
𝜔 = 𝜔𝑥 Ǎ𝑖 + 𝜔𝑦 Ǎ𝑗 + 𝜔𝑧 ෰𝑘𝜔𝑥 =
1
2
𝜕𝑤
𝜕𝑦
−
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝜔𝑦 =
1
2
𝜕𝑢
𝜕𝑧
−
𝜕𝑤
𝜕𝑥
𝜔𝑧 =
1
2
𝜕𝑣
𝜕𝑥
−
𝜕𝑢
𝜕𝑦
𝜔 =
1
2
𝑟𝑜𝑡𝑉 =
1
2
Ǎ𝑖 Ǎ𝑗 ෰𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑢 𝑣 𝑤
𝜁 = 2 𝜔 = 𝑟𝑜𝑡𝑉
64
• DESCRIPCIONES LAGRANGEANA Y EULERIANA.
• CAMPO DE VELOCIDADES
• DERIVADA MATERIAL
• ACELERACIÓN DE LA PARTÍCULA DE FLUIDO.
• MOVIMENTO DE LA PARTÍCULA DE FLUIDO.
• VORTICIDAD.
• TENSOR DE TASAS DE DEFORMACIÓN.
CINEMÁTICA DE FLUIDOS
DEBE RECORDARSE…..
En sólidos elásticos los esfuerzos producen deformaciones. Para una partícula de
sólido esto implica un cambio de forma de la misma, de manera tal que se produce una
deformación extensional o angular (o ambas).
La deformación en el sólido elástico, por lo tanto, está asociada a un cambio de
posición relativa de los puntos materiales con respecto a su posición relativa inicial
(anterior a la aplicación del esfuerzo). Por eso las deformaciones vienen descriptas en
términos de derivadas de desplazamientos respecto de la posición y son, por lo tanto,
adimensionales.
En los fluidos al aplicar esfuerzos de corte se producen desplazamientos en forma
continua (no se limitan a un cierto valor como en el sólido elástico) y por lo tanto lo que
caracteriza la respuesta del material (fluido) es la velocidad con la que se desplazan y/o
deforman las partículas. Es decir, más que los desplazamientos, interesan las
velocidades (derivada de los desplazamientos con respecto al tiempo).
Por lo tanto, en mecánica de fluidos, se evalúan las tasas de deformación que producen
los esfuerzos (no las deformaciones). La tasa es la rapidez con la cual se produce la
deformación.
Sólidos con pequeñas deformaciones: Sólo interesan las deformaciónes = Strain. 
Sólidos con grandes deformaciones: Interesan deformaciones y tasas (velocidad o rapidez) de deformación 
Fluidos: Interesan las Tasas (velocidad o rapidez) de deformación = Strain Rate
Las componentes del TENSOR TASA DE DEFORMACIÓN se definen según lo indicado en las
expresiones siguientes:
El tensor TASA DE DEFORMACIÓN tiene nueve componentes que suelen representarse en un
arreglo matricial:
66
TENSOR TASAS DE DEFORMACIÓN EULERIANO
𝑠𝑥𝑦 =
1
2
𝜕𝑣
𝜕𝑥
+
𝜕𝑢
𝜕𝑦
= 𝑠𝑦𝑥
𝑠𝑦𝑧 =
1
2
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+
𝜕𝑣
𝜕𝑧
= 𝑠𝑧𝑦
𝑠𝑧𝑥 =
1
2
𝜕𝑢
𝜕𝑧
+
𝜕𝑤
𝜕𝑥
= 𝑠𝑥𝑧
𝑠𝑥𝑥 =
𝜕𝑢
𝜕𝑥
𝑠𝑦𝑦 =
𝜕𝑣
𝜕𝑦
𝑠𝑧𝑧 =
𝜕𝑤
𝜕𝑧
𝑠 =
𝑠𝑥𝑥 𝑠𝑥𝑦 𝑠𝑥𝑧
𝑠𝑦𝑥 𝑠𝑦𝑦 𝑠𝑦𝑧
𝑠𝑧𝑥 𝑠𝑧𝑦 𝑠𝑧𝑧
Ӗ𝑠 =
1
2
ത𝑉∇ + ∇ ത𝑉 ത𝑉∇= (∇ത𝑉)𝑇 es el tensor gradiente de velocidad
El tensor TASA DE DEFORMACIÓN se expresa en coordenadas cartesianas:
67
TENSOR TASAS DE DEFORMACIÓN EULERIANO
Ӗ𝑠 = 𝑠𝑥𝑥 Ǎ𝑖 Ǎ𝑖 + 𝑠𝑥𝑦 Ǎ𝑖 Ǎ𝑗 + 𝑠𝑥𝑧 Ǎ𝑖 ෰𝑘 + 𝑠𝑦𝑥 Ǎ𝑗 Ǎ𝑖 + 𝑠𝑦𝑦 Ǎ𝑗 Ǎ𝑗 + 𝑠𝑦𝑧 Ǎ𝑗 ෰𝑘 + 𝑠𝑧𝑥 ෰𝑘 Ǎ𝑖 + 𝑠𝑧𝑦 ෰𝑘 Ǎ𝑗 + 𝑠𝑧𝑧 ෰𝑘 ෰𝑘
Es un tensor simétrico de 2do orden.
Sus componentes varían al variar el sistema de coordenadas, pero el tensor NO. Es invariante
respecto de cambio de coordenadas.
Rotando al sistema de coordenadas puede encontrarse una única orientación del mismo para la
cual todas las tasas de corte (componentes que están fuera de la diagonal principal en la matriz
de componentes) se anulan.
𝑠𝑖𝑗 =
𝑠𝐼 0 0
0 𝑠𝐼𝐼 0
0 0 𝑠𝐼𝐼𝐼
68
MOVIMIENTO GENERAL Y DISTORCIÓN DE LA PARTÍCULA
IMPORTANTE: Cuando se estudian las deformaciones de un sólido elástico lineal, ASUMIENDO
LA HIPÓTESIS DE PEQUEÑAS DEFORMACIONES, se obtiene el tensor de deformaciones
(pequeñas) cuyas componentes son las siguientes:
Siendo: el vector desplazamiento.
Al observar el tensor de tasas de deformación puede asumirse, equivocadamente, que, dado
que:
siendo: el vector velocidad, entonces sería obvio que:
SIN EMBARGO, ESTO ES ERRÓNEO EN GENERAL (sólo sería cierto en el contexto de
deformaciones pequeñas). El tensor de deformaciones se obtuvo bajo la hipótesis de
pequeñas deformaciones, suele conocerse como tensor de deformaciones pequeñas y el
mismo se define en la configuración no deformada ya que se asume que las deformaciones son
pequeñas. El tensor , en cambio, se obtuvo con la descripción Euleriana para la configuración
deformada, en coordenadas espaciales, asumiendo una evolución temporal y grandes
deformaciones.
𝜀𝑖𝑗 =
1
2
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗
+
𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑖
= 𝜀𝑗𝑖
ഥ𝑈 = 𝑢1 Ƽ𝑒1 + 𝑢2 Ƽ𝑒2 + 𝑢3 Ƽ𝑒3
𝑠𝑖𝑗 = ሶ𝜀𝑖𝑗
𝑠𝑖𝑗 =
1
2
𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑥𝑗
+
𝜕𝑣𝑗
𝜕𝑥𝑖
= 𝑠𝑗𝑖
ത𝑉 = 𝑣1 Ƽ𝑒1 + 𝑣2 Ƽ𝑒2 + 𝑣3 Ƽ𝑒3
Ӗ𝜀
Ӗ𝑠
COMPONENTES DEL TENSOR TASAS 
DE DEFORMACIÓN EULERIANO
Ǎ𝑒
Algunos autores obtienen primero el tensor gradiente de velocidad. Siguiendo la notación
de WEN- HSIUNG LI y SAU-HAI LAM (Principles of Fluid Mechanics):
69
ANEXO: TENSOR GRADIENTE DE VELOCIDAD.
Ӗ𝑠 =
1
2
ത𝑉∇ + ∇ത𝑉
ത𝑉∇= (∇ത𝑉)𝑇
es el tensor gradiente de 
velocidad
ത𝑉 = 𝑢1 Ƽ𝑒1 + 𝑢2 Ƽ𝑒2 + 𝑢3 Ƽ𝑒3
ത𝑉∇ =
es el tensor tasas de 
deformación (RATE OF 
STRAIN TENSOR) 
ന𝑤 =
1
2
ത𝑉∇ − ∇ത𝑉
es el tensor de giro 
(SPIN TENSOR)
ത𝑉∇ = Ӗ𝑠 + ന𝑤
O
P
ത𝑉
𝑑 ത𝑉
𝑑 ҧ𝑥
	Diapositiva 1
	Diapositiva 2
	Diapositiva 3
	Diapositiva 4: REVISIÓN DE ANÁLISIS VECTORIAL
	Diapositiva 5: VECTORES Y ESCALARES
	Diapositiva 6: SUMA DE VECTORES
	Diapositiva 7: DIFERENCIA DE VECTORESDiapositiva 8
	Diapositiva 9: CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES
	Diapositiva 10
	Diapositiva 11: SISTEMA DE COORDENADAS
	Diapositiva 12: VECTORES BASE UNITARIOS
	Diapositiva 13: COORDENADAS CARTESIANAS
	Diapositiva 14: COORDENADAS CARTESIANAS
	Diapositiva 15
	Diapositiva 16: REPRESENTACIÓN DE VECTORES EN COMPONENTES
	Diapositiva 17
	Diapositiva 18: GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR
	Diapositiva 19: GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN ESCALAR
	Diapositiva 20: GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN ESCALAR
	Diapositiva 21: DIVERGENCIA DE UN CAMPO VECTORIAL
	Diapositiva 22: ROTOR DE UN CAMPO VECTORIAL
	Diapositiva 23: ROTOR DE UN CAMPO VECTORIAL
	Diapositiva 24
	Diapositiva 25: TEOREMA DE LA DIVERGENCIA
	Diapositiva 26: TEOREMA DE LA DIVERGENCIA
	Diapositiva 27: TEOREMA DEL ROTOR (Fórmula de STOKES)
	Diapositiva 28
	Diapositiva 29: TENSORES-PRODUCTO DIÁDICO DE DOS VECTORES
	Diapositiva 30: TENSORES-PRODUCTO DIÁDICO DE DOS VECTORES
	Diapositiva 31: TENSORES-PRODUCTO DIÁDICO DE DOS VECTORES
	Diapositiva 32: TENSORES-PRODUCTO DIÁDICO DE DOS VECTORES
	Diapositiva 33: TENSORES-PRODUCTO DIÁDICO DE DOS VECTORES
	Diapositiva 34: TENSORES-PRODUCTO DIÁDICO DE DOS VECTORES
	Diapositiva 35
	Diapositiva 36
	Diapositiva 37
	Diapositiva 38: DESCRIPCIÓN LAGRANGEANA
	Diapositiva 39: DESCRIPCIÓN EULERIANA. 
	Diapositiva 40
	Diapositiva 41: CAMPO DE VELOCIDADES.
	Diapositiva 42
	Diapositiva 43: DERIVADA TOTAL, MATERIAL O SUSTANCIAL 
	Diapositiva 44: DERIVADA TOTAL, MATERIAL O SUSTANCIAL
	Diapositiva 45
	Diapositiva 46
	Diapositiva 47: ACELERACIÓN DE LA PARTÍCULA DE FLUIDO
	Diapositiva 48: ACELERACIONES TOTAL, LOCAL Y CONVECTIVA
	Diapositiva 49
	Diapositiva 50: MOVIMIENTO DE LA PARTÍCULA
	Diapositiva 51: 1. TRANSLACIÓN Y VELOCIDAD.
	Diapositiva 52: 1. TRANSLACIÓN Y VELOCIDAD.
	Diapositiva 53: 2. ROTACIÓN Y VELOCIDAD ANGULAR
	Diapositiva 54: 2. ROTACIÓN
	Diapositiva 55: 2. VELOCIDAD ANGULAR
	Diapositiva 56: 3. DE DEFORMACIÓN POR CORTE Y TASA DE DEFORMACIÓN POR CORTE
	Diapositiva 57: 3. DEFORMACIÓN POR CORTE
	Diapositiva 58: 3. TASA DE DEFORMACIÓN POR CORTE
	Diapositiva 59: 4. DEFORMACIÓN EXTENSIONAL Y TASA DE DEFORMACIÓN EXTENSIONAL
	Diapositiva 60: 4. DEFORMACIÓN EXTENSIONAL
	Diapositiva 61: MOVIMIENTO GENERAL Y DISTORCIÓN DE LA PARTÍCULA
	Diapositiva 62
	Diapositiva 63: VORTICIDAD
	Diapositiva 64
	Diapositiva 65
	Diapositiva 66: TENSOR TASAS DE DEFORMACIÓN EULERIANO
	Diapositiva 67: TENSOR TASAS DE DEFORMACIÓN EULERIANO
	Diapositiva 68: MOVIMIENTO GENERAL Y DISTORCIÓN DE LA PARTÍCULA
	Diapositiva 69: ANEXO: TENSOR GRADIENTE DE VELOCIDAD.