Ej resueltos temas 2 a 5 2016-2 - Axel

Vista previa del material en texto

ELEMENTOS DE MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 
 
Ejercicios resueltos 
Temas 2 a 5: Fundamentos matemáticos a Esfuerzos 
Profesores: Dr. Armando Ortiz Prado, M.C. Juan Armando Ortiz Valera 
 
1. La trayectoria seguida por un medio continuo es: 
      3 11 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3(8 3 ) (7 ) (6 ) ; 1 10 [ ]
[ ] ; , [ ]
i
i i
x X X X t e X X X t e X X X t e s
t s x X m
               
 
 
Determinar: 
a) El campo de desplazamientos 
b) El campo de velocidades asociado 
c) El tensor de deformaciones 
d) El tensor gradiente de deformación 
e) El tensor de infinitesimal de rotación 
f) Suponiendo que el tensor obtenido en el inciso c) describe la deformación de un cubo unitario, ¿Cuál será la dimensión 
final de sus lados?  , ,il f X t   
 
Solución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Una esfera de cobre, con un diámetro de 10 cm, y descrita a través de la ecuación 
2 2 2
1 2 3 25; ix x x x cm    , es 
sumergida en un fluido hasta una cierta profundidad donde se tiene una presión de 1.4 MPa. Determine el tensor de 
esfuerzos para la esfera así como la distribución de estos para un plano tangente a su superficie que pasa a través de la 
coordenada (0,5,0)cm . Asimismo obtenga la magnitud de las componentes normal y tangencial del vector de esfuerzos en 
dicho plano. 
Además obtenga la descripción del tensor de esfuerzos al hacer girar el sistema de referencia 60° respecto del eje 
3x . 
 
Solución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Un medio continuo se mueve según la trayectoria definida por: 
2
1 1 13x X X t  
2 2x X 
2
3 3 23x X X t  
Donde 
4 2segundos, 2 10t s     
a) Determinar la velocidad en 2t s para el elemento diferencial que en t = 1s se encuentra en (4,5,2) cm. 
b) Determinar la aceleración en t = 1.5s para el elemento diferencial que en t = 1s se encuentra en ( 2,3,4) cm. 
c) Determine el campo de desplazamientos. 
d). Determine el tensor Lagrangiano de deformación. 
 
Solución: 
 
 
 
 
 
4. Para el siguiente campo de desplazamientos 
4 1
1 2 3 3 20 ; 2 ; 3 ; 1 10
; ,i j
u u tX u tX s
t seg x X cm
        
 
 
Para t =2 s,  
0
2,3,5tx X cm  Determine: 
a) Gradiente de deformación F 
b) Tensor de Cauchy-Green por derecha C y el tensor de dilatación por derecha U; F RU 
c) El tensor de Cauchy-Green por izquierda B 
e) Tensor Lagrangiano de deformación E 
f) Tensor Euleriano de deformación e 
g) La relación del volumen final al volumen inicial 
 
Solución: