Vectores gradiente y rotacional - Víctor 60K

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Vectores gradiente y rotacional c/software
Universidad Politécnica de Gómez Palacio
Víctor Alfredo Alcantar Moreno 20080046
Oscar Osiel Barbosa Rivera
VECTOR GRADIENTE
 
El vector gradiente, representado por ∇f(x,y), de una función f(x,y) es el vector cuyas coordenadas son las derivadas parciales de la función f con respecto a x y y, es decir:
∇f(x,y)=(∂f/∂x, ∂f/∂y)
Como pueden ver, ahora tenemos dos coordenadas. Esto quiere decir que cuando tengamos una función, al hacer las derivadas parciales en función de x y y, colocaremos la primera en la coordenada de x, mientras que la segunda en la coordenada de y.
Vector Rotacional
El rotacional es un operador que toma una función, la cual representa un campo vectorial de tres dimensiones, y le asigna otra función que representa un campo vectorial diferente de tres dimensiones.
Si un fluido se esparce en un espacio de tres dimensiones a lo largo de un campo vectorial, entonces la rotación de dicho fluido alrededor de cada punto, representado como un vector, está dada por el rotacional del campo vectorial original evaluado en ese punto. El campo vectorial rotacional se debe multiplicar por un medio para que la magnitud de los vectores rotacionales sea igual a la rapidez rotacional del fluido.
Notación para el rotacional: ∇×v​​=(∂y/∂v3​​−∂z/∂v2​​)i^+(∂z/∂v1​​−∂x/∂v3​​)j^​+(∂x/∂v2​​−∂y/∂v1​​)k^
Ejemplo Vector Gradiente
F(x,y)=In(x2+y2), P=(1,1) Hallar el gradiente de f en P
∂f/∂x = 1/x2+y2 ∙ ∂/∂x (x2+y2)= 2x/x2+y2
=∇f(x,y) = 2x/x2+y2 i + 2y/x2+y2 j 
=∇f (1,1)= i + j
Graficar el gradiente junto a la curva de nivel de f que pasa por P
f(x,y)= c = c = f(1,1) =In(2)
f(x,y)= In(2) = In(x2+y2) = In 2 = x2+y2 = 2
Ejemplo Vector Divergente
Ejemplo Vector Rotacional
Referencias
Stewart, J., & Romo, J. H. (2002). Cálculo multivariable (No. QA303. S74. 1999.). International Thomson Editores.
https://www.geogebra.org/m/W9bq5cqB
https://www.youtube.com/watch?v=0Gyimm85NWY
https://youtu.be/WotzE_FpM1w