BertJanssen-RelatividadGeneral-116

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Esta conexión no es plana, sino induce una curvatura no-trivial en el plano (ejerc.):
Rrϕr
ϕ =
−4R20
(R20 + r
2)2
, Rrϕϕ
r =
4R20 r
2
(R20 + r
2)2
. (7.30)
En la sección 8.3 veremos que esta conexión proviene de una proyección estereográfica de la
S
2 a R2 y proyecta la noción de paralelismo en la esfera en el plano.1 Un campo vectorial con
simetrı́a radial es por lo tanto invariante bajo transporte paralelo con la conexión (7.29), puesto
que proviene de un campo vectorial constante en la esfera apuntando hacia el polo norte (véase
Figura 7.5, derecha).
Dejamos como ejercicio demostrar que el tensor Kρµν = Γ̃
ρ
µν − Γρµν con componentes
Krrr = K
ϕ
rϕ = K
ϕ
ϕr =
−2r
R20 + r
2
, Krϕϕ =
2r3
R20 + r
2
, (7.31)
efectivamente relaciona las expresiones de los tensores de Riemannn de cada conexión según
(7.27).
7.5. Tensores de curvatura
Habiendo definido el concepto de curvatura a través del tensor de Riemann Rµνρ
λ, resulta
útil estudiar también sus simetrı́as y algunas tensores formados de contracciones de Rµνρ
λ. Para
algunas simetrı́as será conveniente trabajar con la variante completamente covariante del tensor
de Riemann, Rµνρλ = gλσRµνρ
σ.
De la definición (7.23) está claro que el tensor de Riemann es antisimétrico en los primeros
dos ı́ndices:
Rµνρ
λ = −Rνµρλ. (7.32)
La identidad de Jacobi es una identidad básica en teorı́a de grupos, que determina el orden
de las operaciones del álgebra. Aplicada en las derivadas covariantes toma la forma
[[∇µ,∇ν ],∇ρ] + [[∇ν ,∇ρ],∇µ] + [[∇ρ,∇µ],∇ν ] = 0. (7.33)
De la identidad de Jacobi se puede derivar dos importantes identidades del tensor de Riemann,
las llamadas identidades de Bianchi. La primera identidad de Bianchi se obtiene actuando con la
identidad de Jacobi sobre un escalar φ. Tomando en cuenta (7.25), no es difı́cil ver que el tensor
de Riemann y el tensor de torsión satisfacen la siguiente identidad
Rµνρ
λ + Rνρµ
λ + Rρµν
λ −∇µT λνρ −∇νT λρµ −∇ρT λµν + T σµνT λρσ + T σνρT λµσ + T σρµT λνσ = 0. (7.34)
La segunda identidad de Bianchi se obtiene actuando con la identidad de Jacobi sobre un vector
contravariante V λ,
∇µRνρσλ + ∇νRρµσλ + ∇ρRµνσλ − T τµνRρτσλ − T τνρRµτσλ − T τρµRντσλ = 0. (7.35)
Contrayendo el segundo ı́ndice del tensor de Riemann con el cuarto, se obtiene el tensor de
Ricci:
Rµν = Rµρν
ρ = gρλRµρνλ. (7.36)
Por lo tanto, en función de la conexión viene dado por
Rµν = ∂µΓ
λ
λν − ∂λΓλµν + ΓλµσΓσλν − ΓλµνΓσσλ. (7.37)
1De hecho, en el siguiente capı́tulo veremos que las expresiones (7.30) del tensor de Riemann corresponden a una
esfera bidimensional. El plano topológico equipada con la conexión (7.29) es geométricamente una esfera.
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	II Geometría Diferencial
	Conexión afín y curvatura
	Tensores de curvatura