MdCA_04_PRACTICA_cinematica

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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL HAEDO
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA AERONÁUTICA
PRACTICA 3: CINEMÁTICA DEL
CONTINUO
PROFESOR TITULAR
PROFESOR ADJUNTO
CURSO
FECHA DE ENTREGA
ALUMNOS
CALIFICACION
:
:
:
:
:
:
Ing. Rios, Juan Carlos.
Ing. Imbrioscia, Gerardo.
Mecánica del Continuo
8/05/2022
Apellido 1, Nombre
Apellido 2, Nombre
Apellido 3, Nombre
Nota
Legajo 15-
Legajo 15-
Legajo 15-
HAEDO - BS AS
2022
MdCA - Practica C3 2022
1. Dibujar, aproximadamente, cuál será la forma que adoptará un elemento de continuo, conte-
nido en el plano x-y, inicialmente cuadrado, y con sus lados paralelos a los ejes coordenados,
si el tensor gradiente de desplazamientos toma la forma: 0 0 00,02 0 0
0 0 0

Solución
2. Para el siguiente tensor gradiente de desplazamientos, 9 10 −4−10 18 −18
−14 −18 27
 10−1
Calcular:
a) el tensor de deformaciones
b) el tensor de rotaciones
c) el tensor desviador de deformación
d) los tres invariantes del tensor de deformación espećıfica
e) los tres invariantes del tensor desviador de deformaciones
f ) ¿Qué significado tiene el invariante lineal del tensor de deformaciones? ¿Se condice esta
definición con el invariante lineal del tensor desviador de deformaciones?
Solución
a) El tensor de deformaciones infinitesimal en descripción espacial
eij =
1
2
(ui,j + uj,i)
El tensor de deformaciones finitas en descripción espacial
eij =
1
2
(ui,j + uj,i − uk,i · uk,j)
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MdCA - Practica C3 2022
b) El tensor de rotaciones infinitesimal (parte antisimetrica del tensor gradiente de despla-
zamientos)
Ωij =
1
2
(ui,j − uj,i)
c) el tensor desviador de deformación
dij =(eij −
ekk
3
δij)
donde se verifica que dii = 0
d) los tres invariantes del tensor de deformación espećıfica
e) los tres invariantes del tensor desviador de deformaciones
f ) ¿Qué significado tiene el invariante lineal del tensor de deformaciones? ¿Se condice esta
definición con el invariante lineal del tensor desviador de deformaciones?
3. Un estado de deformación en el cual el campo de desplazamientos es una función lineal de las
coordenadas xi se denomina deformación homogénea. ¿Cuál es la ecuación de la superficie S
que se transforma en una esfera de ecuación xixi = r
2 al producirse la deformación?
4. Probar que el primer invariante de Lg -tensor de deformaciones Lagrangiano- se puede expresar
en función de las relaciones de extensión principal, según:
Inv1(Lg) =
1
2
[(λ21 − 1) + (λ22 − 1) + (λ23 − 1)]
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Solución
[E] =
1
2
([F ]T [F ]− [I]) = 1
2
([C]− [I])
Eij =
1
2
(Fk,i · Fk,j − δij) =
1
2
(Ci,j − δij)
Eij =
1
2
(
∂xk
∂Xi
· ∂xk
∂Xj
− δij
)
E11 =
1
2
(
∂x1
∂X1
· ∂x1
∂X1
+
∂x2
∂X1
· ∂x2
∂X1
+
∂x3
∂X1
· ∂x3
∂X1
− 1
)
E22 =
1
2
(
∂x1
∂X2
· ∂x1
∂X2
+
∂x2
∂X2
· ∂x2
∂X2
+
∂x3
∂X2
· ∂x3
∂X2
− 1
)
E33 =
1
2
(
∂x1
∂X3
· ∂x1
∂X3
+
∂x2
∂X3
· ∂x2
∂X3
+
∂x3
∂X3
· ∂x3
∂X3
− 1
)
Interpretación f́ısica de los tensores de deformación
Estiramiento
dX(1) = ~PQ⇒ dX(1)i =

1
0
0
 (10−2)
dX(2) = ~PR⇒ dX(2)i =

1
0
0
 (10−2)
⇒
{
dX(1) =dX(2)
‖dX(1)‖ =‖dX(2)‖
dx
(1)
1 · dx
(1)
1 = dX
(1) · C̃ · dX(1)
El estiramiento según esa dirección viene dada por:
λ(X1) =
‖dx(1)‖
‖dX(1)‖
=
√
C(11) =
√
1 + 2E11
Si realizamos el mismo trabajo para las direcciones restantes:
λ(X2) =
‖dx(2)‖
‖dX(2)‖
=
√
C(22) =
√
1 + 2E22
λ(X3) =
‖dx(3)‖
‖dX(3)‖
=
√
C(33) =
√
1 + 2E33
Poniendo todo en función de los estiramientos:
E11 =
1
2
[λ2x1 − 1]
E22 =
1
2
[λ2x2 − 1]
E33 =
1
2
[λ2x3 − 1]
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Donde λ1, λ2, λ3 son los estiramientos principales.
Dado que estamos trabajando en el espacio principal de C̃, se cumple que:
C ′ij =
(λ1)2 0 00 (λ2)2 0
0 0 (λ3)
2
⇒ E ′ij =

1
2
[λ21 − 1] 0 0
0
1
2
[λ22 − 1] 0
0 0
1
2
[λ23 − 1]

Al realizar la traza de E ′ij se obtiene la definicion a demostrar.
5. Una roseta de sensores de deformación espećıfica (strain-gages) mide deformaciones espećıficas
de 0.6, -1.1 y -1.8 µm/mm en las direcciones que forman ángulos de 0°, 45° y 90° respecto
al eje x-x, respectivamente. Calcular: las deformaciones principales y los ejes principales de
deformación
Solución
Los resultados obtenidos de la medición de la roseta (deformación geométrica) deben ser
llevados a una configuración donde se pongan en evidencia las componentes eij. Para pequeñas
deformaciones se puede utilizar tanto el tensor de deformación infinitesimal Lagrangiano como
el Euleriano, por lo que Eij ≡ eij.
En este caso:
dxj − dxi
dxi
⇒ ∂uj
∂Xi
=
∂uj
∂xi
por lo que nos queda
n̂ · Ẽ · n̂ ≡ n̂ · ẽ · n̂⇒ ni2Eijnj ≡ nieijnj
Para la resolución del ejercicio se considerara un estado plano de deformaciones, por lo que
nuestro tensor de deformaciones infinitesimales genérico tiene la siguiente forma:
ẽ =
[
a b
b c
]
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6. Tomando en cuenta la siguientes ecuaciones de un movimiento en descripción lagrangiana:
pos = χ(X, t) = (X2t
2 +X1)ê1 + (X3t+X2)ê2 + (X3)ê3
Determinar:
a) Es un movimiento posible?
b) Si es posible, encontrar los campos de desplazamiento, velocidad y aceleración en la
descripción Lagrangiana y Euleriana.
c) Considérese una part́ıcula P, que en t=0 ocupaba la posición X1 = 2, X2 = 1, X3 = 3,
encontrar la velocidad de P para los tiempos t = 1s y t = 2s
Solución
a) El movimiento es posible si J 6= 0. Entonces vamos a verificar que el movimiento es
posible:
J =
∣∣∣∣ ∂xi∂Xj
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x1
∂X1
∂x1
∂X2
∂x1
∂X3
∂x2
∂X1
∂x2
∂X2
∂x2
∂X3
∂x3
∂X1
∂x3
∂X2
∂x3
∂X3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
b) Basándonos en la definición del campo vectorial de desplazamiento: ~u = ~x− ~X
Obtenemos las componentes del desplazamiento de la descripción Lagrangiana:
u1(X, t) = x1(X, t)−X1 = X2t2
u2(X, t) = x2(X, t)−X2 = X3t
u3(X, t) = x3(X, t)−X3 = 0
c) Como se menciono anteriormente, para un determinado tiempo t, tanto la velocidad co-
mo la aceleración en descripción euleriana como lagrangiana, deben dar lo mismo.
Haciendo el análisis para una part́ıcula P (X1 = 2, X2 = 1, X3 = 3), para un tiempo
t = 1s:
Posición espacial:
x1 = X2t
2 +X1 = 3 ; x2 = X3t−X2 = 4 ; x3 = X3 = 3
Velocidad descripción Lagrangiana:
V1(X, t) = 2X2t = 2 m/s ; V2(X, t) = X3 = 3 m/s ; V2(X, t) = 0
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Velocidad descripción Euleriana:
v1(x, t) = 2(x2 − tx3)t = 2(4− 1 · 3) = 2 m/s
v2(x, t) = x3 = 3m/s
v3(x, t) = 0
7. En cierta región, hay un flujo cuya velocidad viene dada por el vector
~V (~x, t) = (−A(x3 + xy2)e−kt, A(x2y + y3)e−kt, 0)
donde A y k son constantes, x-y-z son las coordenadas cartesianas y t la variable temporal.
Hallar la aceleración del campo en el punto (1,1,0) en t = 0.
Solución
Dado que poseemos la descripción dela velocidad en coordenadas espaciales, es preciso utilizar
la derivada material para obtener la velocidad
~a(~x, t) =
d~V (~x, t)
dt
=
∂
∂t
(~V (~x, t)) + ~V (~x, t) · ~∇~V (~x, t)
=
∂vi(~x, t)
∂t
+ vk(~x, t)
∂
∂xk
vi(~x, t)
8. Si una part́ıcula de fluido se mueve con velocidad
~V (~x, t) = (B(y + 2z), B(y + 3z), B(2x+ 3y + 2z))
en un medio donde la salinidad viene dada por
S =
Ae−3t
(x2 + y2 + z2)
cuál es el cambio temporal en la salinidad que experimenta la part́ıcula en el punto (1,2,-2).
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Solución
Dado que la expresión de la salinidad esta en coordenadas eulerianas, debemos hacer uso de
la derivada material para obtener la variación deseada. Para reducir terminos, definiremos
(x2 + y2 + z2) = r2
DS
Dt
=
∂S
∂t
+ ~v · ~∇S
9. La descripción espacial (x1, x2, x3, t) de un movimiento continuo está dada por un campo de
velocidades que en coordenadas cartesianas convencionales vale:
v = x3ĵ + x2k̂
Se pide determinar, en el orden indicado, las siguientes propiedades:
a) Una descripción horaria de la posición de las part́ıculas de un punto de vista material
(lagrangiano)usando el vector ~r = ~r(t, ~X0) considerando que las ternas referencial y
espacial coinciden en t=0 como xi(0) = Xi(0) = x0i
b) Una descripción horaria de la posición de las part́ıculas desde un punto de vista espacial
(euleriano) usando el vector ~r = ~r(t, ~x)
c) Investigar la anulación del Jacobiano de la transformación;
d) Establecer el campo de desplazamientos expresado con descripción lagrangiana y eule-
riana
e) Establecer el campo de velocidad y comparar el campo dato. ¿Son equivalentes?
f ) Averiguar aceleración y comparar entre descripciones.
10. Sea un campo de velocidades en un sistema continuo, dado, a través de perspectiva euleriana,
por:
~v =

v1 = 2x2
v2 = 3t
v3 = x3 + x1 + t
Se solicita:
a) Determinar la aceleración de una part́ıcula que en t=1 pasa por (1,−2, 2)
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b) Mostrar el vector posición de la part́ıcula que pasa por el punto (geométrico y temporal)
del punto anterior.
c) Demostrar que la aceleración de la part́ıcula según lo determinado en (a) coincide con la
aceleración tomada desde el punto de vista lagrangiano.
Solución
11. La temperatura dentro de un túnel vaŕıa como:
T (x, t) = T0 − ae
−
x
L sin
(
2πt
t0
)
donde T0, a, t0 son constantes, x es la distancia a la entrada del túnel y L su longitud.
a) Suponiendo una part́ıcula que ingresa a la entrada al túnel en t = t0, y esta inmersa en
un campo de velocidad constante U =
L
3t0
, defina la ley de variación de temperatura que
aquella experimenta.
b) Es posible una velocidad en la que la part́ıcula sufra una T= cte. permanentemente?
12. Un campo de velocidad en un medio continuo está determinado por las siguientes relaciones:
v1 = x1(1 + t)
−1
v2 = 2x2(1 + t)
−1
v3 = 3x3(1 + t)
−1
a) Determinar la trayectoria del flujo de part́ıculas
b) Determinar las ĺıneas de corriente
c) ¿Cómo son las ĺıneas de corriente respecto de las trayectorias? Comentar.
13. Si un continuo fluye con velocidad
vx = vy = 0 ; vz = Vz =
[1− (x2 + y2)/a]
L
donde Vz, L y a son constantes, calcular:
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a) el tensor velocidad de deformación
b) el tensor de torbellinos
c) el tensor desviador de velocidad de deformación
d) la velocidad de deformación volumétrica
Solución
a) Tensor velocidad de deformación se define:
D̃ =
1
2
(~V ~∇x + ~∇x~V ) = Dij = Dji =
1
2
(
∂vi
∂xj
+
∂vj
∂xi
)
b) Tensor de torbellinos se define:
Ω̃ =
1
2
(~V ~∇x − ~∇x~V ) = Ωij = −Ωji =
1
2
(
∂vi
∂xj
− ∂vj
∂xi
)
c) Tensor desviador de velocidad de deformación se define:
D̃D = (D̃ −DmĨ)
d) La velocidad de deformación volumétrica se define:
tr(D̃)
En nuestro caso:
tr(D̃) = 0
14. Una part́ıcula moviéndose en un túnel de viento tiene una velocidad dada por:
~V (~x, t) = U
[
1 +
(
a2
r2
)
−
(
2a2x2
r4
)]
î− 2
(
Ua2xy
r4
)
ĵ
donde r, u y a son constantes.
Si dentro del túnel se quema combustible para generar una cámara de humo, y la densidad
de part́ıculas de humo sige la ley:
ρ = A cos(qt)ln(x2 + y2)
con A y q constantes.
Para el punto (a,a,0) calcular:
a) el cambio de densidad de part́ıculas de humo que ve la part́ıcula
b) el tensor de velocidad de deformación
c) el tensor de torbellinos
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Solución
a) Dado que la velocidad se encuentra descripta en el referencial euleriano, es preciso utilizar
la definición de derivada material.
Dρ
Dt
=
∂ρ(~x, t)
∂t
+ ~v(~x, t) · ~∇ρ(~x, t)
b)
D̃ =
1
2
(~V ~∇x + ~∇x~V )
c)
Ω̃ =
1
2
(~V ~∇x − ~∇x~V )
15. Un campo de velocidades estacionario en un medio continuo estacionario esta definido por:
~V (~x, t) = 3x21x2ê1 + 2x
2
2x3ê2 + x1x2x3ê3
Se desea conocer la velocidad de distorsión entre las direcciones ortogonales:
~u =(4/5ê1 + 3/5ê3)
~v =(3/5ê1 − 4/5ê3)
en el punto (1,1,1).
Solución
Como se observa en la definición de la velocidad, el mismo es estacionario ya que no se incluye
la variable tiempo en ninguno de sus términos.
Para el caso de una deformación pura se sabe que:
dvi = Dijdxj
la velocidad con la que cambia la longitud de un elemento de linea (dxi) por unidad de longitud
instantánea viene dado por:
di =
dvi
dx
= Dij
dxj
dx
= Dijvj = D̃ · v̂
La velocidad de deformación en la dirección de un vector unitario (vi):
d = divi = Dijvjvi = v̂ · D̃ · v̂
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Para los elementos fuera de la diagonal principal, la velocidad de deformación constante
γ̇ = û · 2D̃ · v̂
Para el caso puntual del ejercicio:
Dij =
1
2
12x1x2 3x21 x2x233x21 8x2x3 2x22 + x1x23
x2x
2
3 2x
2
2 + x1x
2
3 4x1x2x3
 =
 6 1,5 0,51,5 4 1,5
0,5 1,5 2

Luego
γ̇uv =
{
4
5
0
3
5
}12 3 13 8 3
1 3 4


3
5
0
−4
5
 =
89
25
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