BertJanssen-RelatividadGeneral-105

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donde el factor 1/N ! corrige la multiplicidad en la suma sobre los ı́ndices repetidos. Ahora, to-
mando en cuenta que el tensor de Levi-Civita es en realidad una densidad tensorial y transforma
como (recuerda (4.61))
εµ1...µN =
∣
∣
∣
∂x
∂y
∣
∣
∣
∂yα1
∂xµ1
. . .
∂yαN
∂xµN
εα1...αN (6.36)
donde |∂x/∂y| = det(∂xµ/∂yα) es el jacobiano, el determinante del cambio de coordenadas, no
es difı́cil ver que dnx transforma como (ejerc.)
dnx =
1
N !
εµ1...µN dx
µ1 . . . dxµN
=
1
N !
∣
∣
∣
∂x
∂y
∣
∣
∣
εα1...αN dy
α1 . . . dyαN
=
∣
∣
∣
∂x
∂y
∣
∣
∣ dny. (6.37)
En otras palabras, el simple producto de diferenciales dnx = dx1 dx2 . . . dxN no transforma como
un escalar, sino como una densidad de peso 1, debido a la presencia del tensor de Levi-Civita. Eso
en principio es un problema, ya que no se puede usar para definir una medida para integrales,
ya que no es invariante.
Sin embargo, sı́ podemos construir una medida invariante, multiplicándolo con otra densidad
con el peso opuesto. Al tomar el determinante de la regla de transformación (6.29), vemos que
el determinante de la métrica tampoco transforma como un escalar, sino como una densidad con
peso (−2),
det g(y) =
∣
∣
∣
∂x
∂y
∣
∣
∣
2
det g(x), (6.38)
o equivalentemente,
det g(x) =
∣
∣
∣
∂x
∂y
∣
∣
∣
−2
det g(y). (6.39)
Combinando las reglas de transformación (6.37) y (6.39), se ve fácilmente que la combinación
invariante es
√
|g(x)| dnx =
√
|g(y)| dny, (6.40)
y esa es efectivamente lo que aparece como medida en los integrales en variedades arbitrarias.
Aunque el factor
√
|g| tiene poco significado fı́sico, su presencia es clave a la hora de conseguir
resultados fı́sicamente acpetables. Veremos más adelante que al variar una acción
S =
∫
dnx
√
|g| L(gµν , φ) (6.41)
con L(gµν , φ) la densidad lagrangiana, es precisamente la presencia del factor
√
|g| que hace que
los resultados sean covariantes.
6.6. Ejemplo concreto: cambios de coordenadas en S2
Considera la esfera bidimensional S2 con radio R0, parametrizada de la manera usual por
el ángulo polar θ y el ángulo azimutal ϕ. La métrica en estas coordenadas viene dada por la
conocida expresión
ds2 = R20
(
dθ2 + sin2 θdϕ2
)
. (6.42)
Obsérvese que este elemento de lı́nea reproduce exactamente las expresiones conocidas para la
distancia entre dos puntos en S2: la distancia entre dos puntos con la misma longitud (∆ϕ = 0)
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	II Geometría Diferencial
	Variedades y cambios de coordenadas generales
	Ejemplo concreto: cambios de coordenadas en S2