BertJanssen-RelatividadGeneral-130

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Esta es, módulo un factor 12m0, la energı́a cinética de una partı́cula en un espacio descrita por una
métrica gµν y las geodésicas métricas corresponden por lo tanto a las trayectorias de partı́culas
libres (es decir: en ausencia de un potencial).
Ahora, en el capı́tulo anterior hemos visto que en una variedad equipada con una conexión
arbitraria las geodésicas métricas no necesariamente coinciden con las geodésicas afines y uno
se podrı́a preguntar qué trayectoria seguirı́a una partı́cula libre en este caso: ¿una curva no-
acelerada, o una trayectoria que minimiza la acción? La conexión de Levi-Civita resuelva esta
paradoja de manera elegante, al identificar los dos tipos de curvas.
La relación entre la conexión de Levi-Civita y el formalismo lagrangiano va más lejos que
solamente el caso de las partı́culas libres. En general, para un lagrangiano L = T −V con energı́a
cinética T = T (q, q̇) y potencial V = V (q), la ecuación de Euler-Lagrange (7.46) se puede escribir
como
d
dτ
( ∂T
∂q̇a
)
− ∂T
∂qa
= − ∂V
∂qa
. (8.55)
Nótese que el primer término a la izquierda da lugar a un término de la aceleración, m0q̈
a, y que
podemos identificar el térmimo a la derecha como la fuerzas fı́sicas en coordenadas generaliza-
das, F a = −∂V/∂qa, cosa que uno esperarı́a en una Segunda Ley de Newton. Pero lo interesante
en este contexto es que el primer y el segundo término a la izquierda dan lugar a términos pro-
porcionales a q̇aq̇b, donde los constantes de proporcionalidad son precisamente los sı́mbolos de
Christoffel (8.53). La ecuación entonces toma la forma
m0q̈
a + Γabc q̇
b q̇c = −∂aV (q). (8.56)
En el formalismo lagrangiano, las ligaduras al que está sometido el sistema definen el llamado
espacio de configuraciones, en que el se mueve el sistema. Este espacio de configuraciones es una
variedad (en general curva), parametrizada por las coordenadas generalizadas qa. Vemos por lo
tanto que la dinámica del sistema, descrita por la ecuación de Euler-Lagrange, no es más que la
Segunda Ley de Newton, escrita en términos de las coordenadas curvilı́neas qa. En ausencia de
fuerzas fı́sicas, el sistema seguirá una geodésica dentro del espacio de configuraciones, pero para
potenciales no-triviales, la trayectoria se desviará de ésta por el término inhomogeneo en (8.56).
En el Cápı́tulo 10 veremos que las ecuaciones de movimiento de una partı́cula de prueba en la
relatividad general son de este tipo.
8.7. Desviación geodésica
En la geometrı́a diferencial hay una relación importante que describe la evolución de familias
de geodésicas: en una variedad curva, las geodésicas que inicialmente tienen direcciones parale-
las, en general no seguirán paralelas, sino se alejarán o se acercarán entre ellos. La ecuación de la
desviación geodésica describe este efecto en términos de la curvatura de la variedad.
Considera una familia de geodésicas γσ(τ), donde el parametro σ identifica las geodésicas
especı́ficas dentro de la familia y τ parametriza los puntos a lo largo de cada geodésica (véase
Figura 8.1). La familia de geodésicas define una superficie bidimensional xµ(σ, τ) en la variedad,
en la que podemos usar σ y τ como coordenadas naturales.
Definimos ahora las siguientes dos vectores tangentes a la superficie:
uµ =
∂xµ
∂τ
, sµ =
∂xµ
∂σ
. (8.57)
Definidos de esta manera, los vectores uµ y sµ tienen una interpretación muy natural: uµ es la ve-
locidad a lo largo de la geodésica y sµ mide la separación entre dos geodésicas cercanas. El hecho
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	II Geometría Diferencial
	Cálculo tensorial con la conexión de Levi-Civita
	Desviación geodésica