Tese de Mestrado em Física na Universidade de Guadalajara

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UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA 
COORDINACIÓN GENERAL ACADÉMICA 
Coordinación de Bibliotecas 
Biblioteca Digital 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La presente tesis es publicada a texto completo en virtud de que el autor 
ha dado su autorización por escrito para la incorporación del documento a la 
Biblioteca Digital y al Repositorio Institucional de la Universidad de Guadalajara, 
esto sin sufrir menoscabo sobre sus derechos como autor de la obra y los usos 
que posteriormente quiera darle a la misma. 
UNIVERSIDAD DE GUADALAJARA
CENTRO UNIVERSITARIO DE CIENCIAS EXACTAS E
INGENIERÍAS
DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
“Aplicación de ecuación de desviación de geodésicas para el estudio de
propiedades topológicas del espacio-tiempo Taub-NUT”
TESIS PROFESIONAL
QUE PARA OBTENER EL GRADO DE
MAESTRO EN CIENCIAS EN FÍSICA
PRESENTA
LIC. ALFONSO ZACK ROBLES SALDAÑA
DIRECTOR DE TESIS:
DR. ALEXANDER NESTEROV
GUADALAJARA, JALISCO. FEBRERO 2021
Agradecimientos
Agradezco fuertemente a mi mamá Angélica, por todo lo que ha hecho para que yo tuviera la
oportunidad de realizar este gran logro y sueño, desde las simples cosas hasta los grandes sacrificios
que la vida diaria nos pide. Por igual mi papá Alfonso, que sin su gran esfuerzo y trabajo duro no
tendŕıa las facilidades, ni el estilo de vida que nos ofrece a mi familia y a mi. Sin dejar atrás a mi
hermana Fernanda, la mejor hermana que pude haber pedido.
También a mi director de tesis, el Dr. Alexander Nesterov quien sin su tutela, gran paciencia
y dedicación dicho trabajo nunca se hubiera concluido, por sus enseñanzas y conocimientos ahora
tan apreciados en f́ısica, hizo que todo se volviera mas ameno. Agradezco a la Universidad de
Guadalajara por darme la oportunidad de obtener mis estudios, lograr mi posgrado. Ademas del
ambiente y la armońıa que el plantel nos brindo, el conocer a tanta gente que participa en esta
área de estudio, ya que sin sus contribuciones a mi educación esto tampoco hubiera sido posible.
Ahora claro esta, a CONACyT por otorgarme la beca que tanta ayuda me brindo, es dif́ıcil pensar
o siquiera imaginar que hubiera sido de mi sin esta magnifico apoyo económico.
Agradezco con gran cariño a todos lo que hicieron posible este trabajo, directa o indirectamente.
A mis amigos y compañeros, los cuales me acompañan d́ıa tras d́ıa. Detrás de cada clase en las
buenas y en las malas, en las tareas fáciles y en las dif́ıciles, en los desayunos y las comidas, en
los saludos y las despedidas. A Leah, Jonathan, Alex, Vı́ctor, Marco, Vizcaino, Donato, Gus, Luis,
Yuen, Daniel, Gera, Ix, Mafer, Goretti, Emma, Charlie, Cesar, Rafa, Kevin, Irma, Norman, Razo,
Silvana a todos y cada uno de ellos se les aprecia y agradece por todos los buenos momentos que
compartimos en esto llamado la vida.
Dedicatoria
Hay tanta gente a la cual dedicarle este trabajo, que con mucho esfuerzo fue efectuado, pero si
tuviera que elegir a alguien a quien dedicar este trabajo mas que a nadie, es a Alfonso mi papá,
por ser el patrocinador y financiador de toda mi carrera en la ciencia, por ser el brazo que me
sostiene y el ser quien hace posible todos mis mas grandes logros, por inculcarme el amor a la
ciencia, sin sus especiales enseñanzas y su gusto por la ciencia no habŕıa sido posible. Ademas del
gran esfuerzo que realiza d́ıa tras d́ıa, por ya mas de veinticinco años que sin falta me ha apoyado.
Ademas del esfuerzo que hizo por que yo tuviera estudios y en especial estudios superiores; por que
sin él, hubiera sido muy dif́ıcil que estuviera aqúı.
Ahora no por ello menos importante a mi gran y fabulosa mamá, Angélica, por ser la luz que
ilumina mi camino en la vida, la ajustadora de mi brújula personal, la persona que me enseño a
tener principios y valores que ahora me rigen como académico, la gran maestra que toda persona
necesita. También por todo el cuidado, cariño y amor que una madre puede otorgar, fue ella quien
me inculco el placer y gusto por el estudio, con su disciplina y paciencia nada de esto seria posible,
fueron tantas las horas de desvelo enseñándome a sumar y a hacer mis tareas de primaria, ahora
los frutos al fin han surgido.
Ahora dedico también este trabajo a mi hermana, Fernanda, que sirva de ejemplo que con
paciencia y dedicación los problemas que aparentemente la vida te presenta se ven disminuidos a
simplemente vagos recuerdos. A ella espero este trabajo le sirva de inspiración, y ademas de lección
con el único fin de mostrar que cualquier cosa es posible con la simple iniciativa de empezar. Espero
estar a la altura y ser para ella un modelo a seguir, atentamente su hermano el f́ısico.
 
 
 
 
 
CUCEI/CPDOC/0547/2020 
 
C. Alfonso Zack Robles Saldaña 
P r e s e n t e 
 
 
Por medio de la presente me permito comunicarle que fue aceptado por la Junta 
Académica correspondiente, el tema de tesis solicitado a esta Coordinación el día 
13 de julio de 2020, bajo el título: 
 
“Aplicación de ecuación de desviación de geodésicas para el estudio de 
propiedades topológicas del espacio-tiempo Taub-NUT” 
mismo que usted desarrollará, con objeto de dar lugar a los trámites conducentes a 
la obtención de grado de: 
 
Maestro en Ciencias en Física 
 
Así mismo le comunico que para el desarrollo de la citada tesis le ha sido designado 
como Director al Dr. Alexander Nesterov. 
Sin otro particular de momento, aprovecho la ocasión para enviarle un cordial 
saludo. 
A t e n t a m e n t e 
“Piensa y Trabaja” 
“Año de la Transición Energética en la Universidad de Guadalajara” 
Guadalajara, Jal., 15 de julio de 2020 
 
Dr. Luis Guillermo Guerrero Ramírez 
Coordinador de Programas Docentes 
 
 
 
Registro 063/2020 
 
 
LGGR/sijo 
 
 
 
CUCEI/CPDOC/0548/2020 
 
Dr. Alexander Nesterov 
P r e s e n t e 
 
Por medio de la presente me permito comunicarle que ha sido designado 
Director de la tesis solicitada bajo el título: 
 
“Aplicación de ecuación de desviación de geodésicas para el estudio de 
propiedades topológicas del espacio-tiempo Taub-NUT” 
 
mismo que desarrollará, el alumno Alfonso Zack Robles Saldaña con objeto de 
dar lugar a los trámites conducentes a la obtención de grado de: 
 
Maestro en Ciencias en Física 
 
Sin otro particular de momento, aprovecho la ocasión para enviarle un cordial 
saludo. 
 
A t e n t a m e n t e 
“Piensa y Trabaja” 
“Año de la Transición Energética en la Universidad de Guadalajara” 
Guadalajara, Jal., 15 de julio de 2020 
 
Dr. Luis Guillermo Guerrero Ramírez 
Coordinador de Programas Docentes 
 
 
 
 
Registro 063/2020 
 
 
LGGR/sijo 
 
 
 
CUCEI/SAC/CDMCFIS/003/2021 
 
DR. GUILLERMO GUERRERO RAMIREZ 
COORDINADOR DE PROGRAMAS DOCENTES DEL CUCEI 
P R E S E N T E.- 
 
Por este medio, la Junta Académica del Programa de Maestría, nos permitimos hacer de su 
conocimiento, que una vez realizada la revisión final y habiendo efectuado las observaciones 
pertinentes al trabajo de tesis denominado: 
 
“Aplicación de ecuación de desviación de geodésicas para el estudio de 
propiedades topológicas del espacio-tiempo Taub-NUT”. 
 
Elaborado por el Lic. en Fis. Alfonso Zack Robles Saldaña para obtener el grado de 
Maestro en Ciencias en Física, la consideramos apta para su impresión y presentación. 
 
Sin más por el momento, agradecemos de antemano su colaboración. 
 
A T E N T A M E N T E 
“Piensa y Trabaja” 
“ Año del legado de Fray Antonio Alcalde en Guadalajara" 
Guadalajara, Jalisco 28 de enero de 2021 
 
MIEMBROS DE LA JUNTA ACADÉMICA DE LA MAESTRÍA EN CS. EN FISICA 
 
 
 
Dr. Arturo Chávez Chávez Dr. Fermín Aceves de la Cruz 
 Presidente Secretario Técnico 
 
 
 
 Dr.Gerardo Ramos Larios Dr. Gilberto Gómez Rosas 
 
 
 Dr. Thomas Gorin 
Índice general
Lista de Figuras III
Resumen IV
Introducción 1
1. Antecedentes 2
1.1. La ecuación de desviación de geodésicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Espacio-tiempo Taub-NUT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. Metodoloǵıa 17
3. Resultados y Discusión 19
3.1. Solución numérica de la ecuación de geodésicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2. Desviación de geodésicas en el espacio-tiempo Taub-NUT . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3. Propiedades topológicas del espacio-tiempo Taub-NUT . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4. Conclusiones 34
Bibliografia 38
Apendice A 46
Apendice B 48
Apendice C 53
i
Índice de figuras
1.1. Mapa geográfico de la Tierra. http://www.blog-geographica.com/es/2015/06/
11/geodesic-lines-gis-2/. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Desviación de Geodésicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Comportamiento de las geodésicas en presencia de una curvatura. “The Beuty of
Geodesics”, v́ıdeo en Youtube. https://www.youtube.com/watch?v=NfqrCdAjiks . 5
1.4. Desviacion de geodésicas para campo gravitacional de la Tierra. . . . . . . . . . . . . 6
1.5. Horizontes de eventos definidos por r+ como el anillo exterior de color azul y r− para
el anillo interior de color rojo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6. Semi-eje θ, en espacio polar y el valor de θ = 0 de donde 0 < θ < π. . . . . . . . . . 13
1.7. Clasificación de órbitas en el espacio-tiempo Taub-NUT obtenidas de articulo Kra-
gamanova 2010 “Analytic treatment of complete and incomplete geodesics in Taub-
NUT space-times”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1. Esquema de estrategia a seguir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1. Potencial efectivo que define para diferentes niveles de enerǵıa diferentes casos orbi-
tales: como órbitas cerradas, órbitas abiertas y órbitas de transito con los parámetros
ñ = 0.5,k = 1 y L̃ = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2. Comparación numérica y anaĺıtica para el caso de órbitas cerradas de tipo CBO con
parámetros δ = 1,E = 0,ñ = 0.5,k = 1,L̃ = 3,C = 0, M = 0.25 y r̃0 = 0.1 . . . . . . . 22
3.3. Comparación numérica y anaĺıtica para el caso de órbitas abiertas de tipo EO/CEO
con parámetros δ = 1,E =
√
2,ñ = 0.5,k = 1,L̃ = 3,C = 0,M = 0.25 y r̃0 = 3 . . . . . 23
3.4. Comparación numérica y anaĺıtica de r̃ (γ̃) para el caso de órbitas abiertas de tipo
EO/CEO con parámetros δ = 1,E =
√
2,ñ = 0.5,k = 1,L̃ = 3,C = 0,M = 0.25 y
r̃0 = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5. Comparación numérica y anaĺıtica de r̃ (γ̃) para el caso de órbitas cerradas de tipo
CBO con parámetros δ = 1,E = 0,ñ = 0.5,k = 1,L̃ = 3,C = 0, M = 0.25 y r̃0 = 0.1 . 24
ii
http://www.blog-geographica.com/es/2015/06/11/geodesic-lines-gis-2/
http://www.blog-geographica.com/es/2015/06/11/geodesic-lines-gis-2/
https://www.youtube.com/watch?v=NfqrCdAjiks
3.6. Gráficas para la solución de η, siguiendo el rango definido −∞ < r̃ <∞. Parámetros:
η0 = 0.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.7. Gráficas para la solución η, para el rango definido −4π < γ̃ < 4π. Parámetros: η0 = 0.1. 29
3.8. Gráficas para la solución η contra r̃, siguiendo los rangos definidos por (3.37) para
−π/2 < γ̃ < π/2. Parámetros: η0 = 0.1, ` = 10 y r0 = 100. . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.9. Representación gráfica de dos órbitas geodésicas definidas por dos part́ıculas de prue-
ba lumı́nicas en diagramas causales del espacio-tiempo Taub-NUT obtenidas de ar-
ticulo Kragamanova 2010 “Analytic treatment of complete and incomplete geodesics
in Taub-NUT space-times”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.10. Diagrama de Penrose-Carter para el espacio-tiempo Taub-NUT: Versión de Conti-
nuación Anaĺıtica de Kruskal obtenidas de articulo Kragamanova 2010 “Analytic
treatment of complete and incomplete geodesics in Taub-NUT space-times”. . . . . . 32
3.11. Interpretación gráfica bidimensional de un puente Einstein-Rosen en el cual dos
geodésicas son introducidas en el puente. https://cuentos-cuanticos.com/2014/
11/11/otra-mas-sobre-agujeros-de-gusano/. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
iii
https://cuentos-cuanticos.com/2014/11/11/otra-mas-sobre-agujeros-de-gusano/
https://cuentos-cuanticos.com/2014/11/11/otra-mas-sobre-agujeros-de-gusano/
Resumen
Debido a la forma topológica de este espacio-tiempo Taub-NUT, existe un especial interés en
sus propiedades y aplicaciones, por lo que se ha buscado obtener más propiedades y caracteŕısticas
sobre la topoloǵıa del espacio-tiempo Taub-NUT que nos ayuden a comprender en un nivel básico
este espacio-tiempo, además de mejorar y continuar con aplicaciones y metodoloǵıas aplicables
a espacio-tiempos más complicados dentro de la Relatividad General. Mediante el estudio de la
desviación geodésica, utilizando el formalismo de Newman-Penrose como herramienta matemática,
que nos permite comprender la forma en que las geodésicas se comportan en el espacio-tiempo, es
decir, nos permiten observar anaĺıticamente cómo se comportan las geodésicas en relación unas con
las otras. Encontramos una solución anaĺıtica de la ecuación de desviación geodésicas para caso de
las geodésicas nulas. Materia que no ha sido tratada en esta área con un formalismo similar. La
solución obtenida muestra que el espacio-tiempo Taub-NUT es completo.
Abstract
Due to the topological form of this Taub-NUT space-time, there is a special interest in its pro-
perties and applications, which is why we have sought to obtain more properties and characteristics
about the topology of the Taub-NUT space-time that help us understand at a basic level this space-
time, in addition to improving and continuing with applications and methodologies applicable to
more complicated space-times within General Relativity. By studying geodesic deviation, using the
Newman-Penrose formalism as a mathematical tool, they allow us to understand the way in which
geodesics behave in space-time, that is, they allow us to analytically observe how geodesics behave
in relation with each other. We find an analytical solution of the geodesic deviation equation for
the case of null geodesics. Matter that has not been treated in this area with a similar formalism.
The solution obtained shows that the Taub-NUT spacetime is complete.
iv
Introducción
A principios del siglo XX, se cambio la manera de observar el universo. Al llegar Albert Einstein
con su famosa Teoŕıa de la Relatividad (Teoŕıa Especial de la Relatividad 1905 y Teoŕıa General de
la Relatividad de 1915) se dio un nuevo enfoque a la manera en la que se apreciaba las matemáticas
que describ́ıan los fenómenos que permanećıan sin ser resueltos en aquellos años. Debido a que
romṕıa con un simple concepto que se tenia desde Newton, el cual nos planteaba un espacio absoluto
y un tiempo absoluto, para en su lugar pensar de una manera unificada sobre el espacio-tiempo
[1, 2].
A mas de un siglo de la aportación de Einstein, es bien sabido que de acuerdo a la Teoŕıa de la
Relatividad las leyes de la f́ısica deberán ser las mismas para todos los observadores en el universo.
En dicho trabajo Einstein introdujo el concepto de espacio-tiempo curvo y con ello una nueva
interpretación de la gravedad, como un efecto de distorsión geométrica en el espacio-tiempo, donde
la curvatura del espacio-tiempo estarelacionada con el tensor de enerǵıa-momento, a través de las
ecuaciones de Einstein.
Einstein se cuestiono la existencia de un campo gravitacional análogo al producido por la inducción
eléctrica en electrodinámica en un articulo al cual llamo “Is there a gravitational action which is the
analogue of electrodynamical indution effect?”publicado en Julio de 1912 [3]. Ahora de acuerdo con
la Teoŕıa general de la relatividad, existen ciertos factores tales como la masa, rotación y la carga,
las cuales pueden influenciar la trayectoria de un haz de luz [4]. Donde para diferentes espacios es
estudiado el tipo de movimiento y las causas que describen el comportamiento de ciertas geodésicas.
El espacio Taub fue encontrado por Abraham Haskel Taub en 1951 [5], pero dicho espacio-tiempo
fue expresado en un sistema de coordenadas que solamente cubre parte de dependencia temporal,
de lo que ahora se considera como un espacio-tiempo completo. Fue inicialmente construido con el
atisbo de la existencia de un grupo cuatro-dimensional de isometŕıas que pudieran ser interpretadas
como un posible vació homogéneo de un modelo cosmológico [6].
Después fue extendido a un colecto mas grande por Newman, Unti y Tamburino en 1963 [7],
como una simple generalización de espacio de Schwarzschild. Sin embargo ellos hicieron un espe-
v
INTRODUCCIÓN
cial énfasis en la región estacionaria exterior, ellos la expresaron en términos de coordenadas que
abarcaran tanto regiones estacionarias como regiones dependientes del tiempo. Y es de las iniciales
de los apellidos de estos tres profesores que dicho espacio ‘NUT’ posee tales iniciales dentro del
nombre del espacio-tiempo ‘Taub-NUT’. Pero no fue si no hasta el trabajo de Misner en 1963 [8]
en él que sugirió juntar anaĺıticamente el espacio-tiempo Taub junto al espacio-tiempo NUT en un
solo espacio-tiempo Taub-NUT .
La solución Taub-NUT posee un numero de propiedades que son de particular interés para nosotros,
dentro de las cuales, por ejemplo, lleva un nuevo tipo de carga (carga NUT), para la cual su natu-
raleza topológica puede ser interpretada como una ‘Carga Gravitacional Magnética’, de tal forma
que la solución es una especie de dyon gravitacional’ [9]. Ademas uno puede mostrar que todas las
geodésicas en el espacio NUT incluyendo las nulas residen sobre conos espaciales [10]. Donde tam-
bién es una solución exacta simple no radiante de las ecuaciones de Einstein, y es muy importante
investigar sus propiedades, aunque sea solo para determinar la clase de estructuras topológicas que
pudieran aparecer dentro de esta teoŕıa. Mas aun, esta solución es hoy en d́ıa reconsiderada en el
contexto de teoŕıas de altas dimensiones de la gravedad cuántica semi-clásica [6]. Es por eso que
sus propiedades necesitan ser completamente entendidas a un nivel clásico básico.
Si bien se han realizado estudios con el uso de la ecuación de desviación de geodésicas en muchos
otros espacios de importante relevancia en la Relatividad General, este espacio en particular sale a
relucir por su caracteŕıstico comportamiento espacio-temporal, lo cual hace interesante para realizar
un estudio sobre el comportamiento de las geodésicas en estas singularidades. Ahora en búsqueda
de entender estas singularidades y su comportamiento se propone realizar un estudio basado en la
desviacion de geodésicas, el cual permitiŕıa en principio observar y analizar el comportamiento de
objetos de prueba al acercarse a la singularidad.
1
CAPÍTULO 1. ANTECEDENTES
Caṕıtulo 1
Antecedentes
1.1. La ecuación de desviación de geodésicas
Sabemos desde la mecánica clásica que los objetos masivos generan campos gravitatorios los
cuales afectan a través de una fuerza a distancia, atrayendo a los demás objetos cercanos a ellos.
De la relatividad general obtuvimos una nueva interpretación de la gravedad en la cual ya no es
interpretada como una fuerza si no como una consecuencia de la presencia de una masa sobre el
tejido del cosmos, el cual curva el espacio-tiempo generando esta “fuerza” que en realidad no es
mas que la curvatura del espacio.
Los caminos que seguiŕıan los objetos de prueba en estos campos pueden ser denominados lineas
geodésicas. En geometŕıa, la ĺınea geodésica se define como la ĺınea de mı́nima longitud que une
dos puntos en un espacio dado. Por ejemplo, las geodésicas en una superficie son las ĺıneas “lo más
rectas”posibles fijado un punto y una dirección dada sobre dicha superficie.
La Figura (1.1) nos muestra un ejemplo de geodésicas, consideramos un mapa geográfico, en
el cual podemos observar que la distancia mas corta entre dos puntos es la linea recta, tal cual lo
muestra la linea roja en esta imagen, pero si consideramos el globo terráqueo es decir la superficie
de una esfera la ĺınea roja no es mas la linea más corta entre estos dos punto sobre la esfera. Ahora
la distancia más corta entre estos dos puntos sobre el plano de la esfera es la linea verde, es decir,
el en globo terráqueo la representación de una geodésica es la linea verde.
Los espacio-tiempos curvos de la relatividad general se exploran mediante el estudio de cómo las
part́ıculas de prueba y de rayos de luz se mueven a través de ellas. Las ecuaciones que rigen el
movimiento de las part́ıculas de prueba y los rayos de luz en un espacio-tiempo curvo general
se derivan y analizan con la ecuación de geodésicas. En relatividad las geodésicas pueden ser
representadas como una curva parametrizada por un parámetro af́ın χ y definida por la ecuación
2
CAPÍTULO 1. ANTECEDENTES
Figura 1.1: Mapa geográfico de la Tierra. http://www.blog-geographica.com/es/2015/06/11/
geodesic-lines-gis-2/.
de geodésicas [11]
d2xα
dχ2
+ Γαβγ
dxβ
dχ
dxγ
dχ
= 0 (1.1)
donde Γαβγ son los śımbolos de Christoffel.
Más generalmente, se puede hablar de geodésicas en “espacios curvados” llamados variedades
riemannianas (M) en donde, si el espacio contiene una métrica natural, entonces la geodésica es la
linea más corta entre dos puntos en el espacio. Una de las propiedades de la geometŕıa euclidiana
es el postulado de paralelismo: el cual nos dice que lineas paralelas permanecerán paralelas para
siempre. Sin embargo, para un espacio curvo esto no es verdad.
La herramienta matemática que nos permite describir el comportamiento de desviación para
cualquier espacio curvo arbitrario es conocida como ecuación de desviación de geodésicas
D2ηµ
dχ2
+Rµνρσξ
νηρξσ = 0 (1.2)
donde ηµ es el vector de desviación, ξµ el vector tangente a la geodésica y Rµνρσ el tensor de Rie-
mann.
Para nuestros fines la Ecuación de Desviación de Geodésicas es interpretada como muestra ma-
temáticamente de que las fuerzas de marea de un campo gravitacional (que hacen que las tra-
yectorias de las part́ıculas vecinas diverjan) pueden representarse mediante la curvatura de un
espacio-tiempo en el que las part́ıculas siguen a la geodésica. Expresa algo que podŕıamos haber
esperado: la aceleración relativa entre dos geodésicas vecinas es proporcional a la curvatura [12].
Esto es útil en pruebas experimentales de relatividad general, ya que permite calcular (en principio,
en la práctica esto es dif́ıcil) la curvatura midiendo los desplazamientos relativos de los cuerpos que
se mueven a lo largo de las geodésicas vecinas [13].
La desviación entre dos geodésicas puede ser imaginada como lo muestra la Figura (1.2) en la
cual tenemos dos geodésicas, y la desviación de geodésicas nos dice como diverge o converge este
3
http://www.blog-geographica.com/es/2015/06/11/geodesic-lines-gis-2/
http://www.blog-geographica.com/es/2015/06/11/geodesic-lines-gis-2/
CAPÍTULO 1. ANTECEDENTES
Figura 1.2: Desviación de Geodésicas.
conjunto de geodésicas, es decir que las geodésicas se atraen o se alejan.
Entonces para usar la ecuación de geodésicas usamos la aceleración relativa entre un conjunto de
geodésicasdefinida por la primera parte de la expresion (1.2) en la cual Aµ = D2ηµ/dχ2 esta defini-
da como la segunda derivada del vector de desviacion ηµ, en la cual se mide como su nombre lo dice
el desplazamiento de dos objetos viajando a lo largo de geodésicas separadas infinitesimalmente,
este nombre deriva de la noción informal de que ηµ apunta desde una geodésica hacia las vecinas.
La idea de que ηµ puntos de una geodésica a la siguiente nos inspira a definir la “velocidad relativa
de las geodésicas”. Esta noción de aceleración relativa “entre”geodésicas debe distinguirse de la
aceleración con la cual estamos familiarizados. Ahora ξµ es el vector tangente a las geodésicas,
al cual también denominamos como vector geodésico por que esta relacionado al trayecto de las
geodésicas. La interpretación de dicho nombre deberá “ser tomada con pinzas” como comúnmente
suele ser dicho popularmente.
Entonces en resumen, lo que podemos hacer es considerar curvas geodésicas que podŕıan ser ini-
cialmente paralelas y ver como se comportan a medida que avanzamos por estas geodésicas. Si
definimos una familia de geodésicas de un parámetro xµ (χ). Es decir, por cada µ ∈ R, xµ es una
geodésica parametrizada por el parámetro af́ın χ. La colección de estas curvas define una superficie
bidimensional lisa (incrustada en una variedad M). Toda la superficie es un conjunto de puntos
xµ (χ, t) ∈M, en la cual tenemos dos campos vectoriales naturales ξµ y ηµ.
La ecuación de desviación de geodésicas es una herramienta muy útil en el estudio de propieda-
des geométricas (Propiedades locales) y topológicas (Propiedades Globales) en un espacio-tiempo
arbitrario. Por ejemplo imaginemos un espacio-tiempo curvo como lo muestran las Figuras 1.3. en
donde podemos ver el trayecto que seguiŕıan diferentes lineas geodésicas que inician con diferentes
4
CAPÍTULO 1. ANTECEDENTES
(a) Paso 1. (b) Paso 2. (c) Paso 3.
(d) Paso 4. (e) Paso 5. (f) Paso 6.
(g) Paso 7. (h) Paso 8. (i) Paso 9.
Figura 1.3: Comportamiento de las geodésicas en presencia de una curvatura. “The Beuty of Geo-
desics”, v́ıdeo en Youtube. https://www.youtube.com/watch?v=NfqrCdAjiks
direcciones iniciales. En dichas imágenes podemos apreciar como lineas aparentemente paralelas en
un inicio son desviadas en presencia de un campo gravitacional definido por la curvatura que esta
fuente genera. Esto es interpretado como una propiedad local o geométrica del espacio-tiempo.
Dicho de otra manera la “El campo gravitacional”, puede ser expresado expĺıcitamente, utilizando
las ecuaciones de campo de Einstein, en términos de las correspondientes componentes del tensor
de enerǵıa-momento que describe la materia contenida en el.
Dicho esto en la ecuación de desviación de geodésicas es posible encontrar propiedades topológi-
cas del espacio-tiempo, como se ha visto en otros trabajos. Tales como “Geodesic deviation in the
Schwarzschild space-time”[14], en los cuales la ecuación de desviación es usada para estudiar el
comportamiento de una nube de part́ıculas de prueba cayendo a la singularidad de Schwarzschild.
También podemos ver que la ecuación desviación de geodésicas puede ser resueltas a partir del
formalismo de Hamilton-Jacobi [15], con los cuales uno pude detectar algunos de los componentes
de la curvatura del espacio-tiempo, los cuales son considerados para medir la fuerza del campo
gravitacional. Este estudio puede realizarse para espacios-tiempos de cualquier dimensión tal y co-
mo se muestra en el articulo “Interpreting spacetimes of any dimension using geodesic deviation”
[16], en el cual describe un método para interpretar propiedades de cualquier espacio-tiempo in-
dependientemente de la dimensión que este posee. Un trabajo mas que vale la pena mencionar es
“Generalized deviation equation and determination of the curvature in general relativity” [17], en
5
https://www.youtube.com/watch?v=NfqrCdAjiks
CAPÍTULO 1. ANTECEDENTES
el cual nos muestran una forma de determinar la curvatura que describe un campo gravitacional,
haciendo uso de la ecuación de desviación de geodésicas en una forma mas generalizada.
Si enfocamos nuestra atención al articulo [14], en dicho trabajo se menciona que esta nube de
part́ıculas provee una medida de la fuerza del campo que la singularidad genera y se ha descubierto
que el comportamiento de esta nube de part́ıculas libres cayendo al centro de atracción tiene un
comportamiento contrario al que uno esperaŕıa esto es debido a que un problema similar se puede
obtener en Teoŕıa Newtoniana y ambas soluciones son exactamente las mismas.
Ellos lo interpretan imaginando y discutiendo el destino que tendŕıa un astrof́ısico cayendo
irremediablemente a la singularidad en r = 0 como consecuencia directa del análisis solamente de
la forma de las ecuaciones de desviacion en un marco inercial local. Ellos llegan a concluir que
en el cuerpo actuaria una tensión (estrés) el cual lo estrechaŕıa en la dirección longitudinal y lo
compactaŕıa en la dirección transversal. Mientras la distancia a la singularidad disminuyera, la
tensión aumentaŕıa. Dado que las tensiones de compresión superan a las de estiramiento, el cuerpo
del astrof́ısico finalmente debe descomponerse y su volumen tendeŕıa a cero para r → 0 como
conclusión directa del análisis de el comportamiento asintótico de geodésicas radiales.
Figura 1.4: Desviacion de geodésicas para campo gravitacional de la Tierra.
Por otro lado podŕıamos ver un ejemplo aqúı en el Planeta Tierra, donde podemos imaginar dos
geodésicas nombradas “Geodésica 1” y “Geodésica 2” las cuales al ingresar radialmente al campo
gravitatorio de la tierra estas serian atráıdas al centro de la fuente de masa, tal y como lo muestra
la Figura 1.4. Las geodésicas describiŕıan un comportamiento decreciente en su desviacion tal y
como la imagen nos lo muestra.
Y de esta manera y brevemente hemos demostrado expĺıcitamente con referencias y algunos
ejemplos que la ecuación de desviación geodésica, expresada en un marco de referencia adecuado
adaptado a la geodésica del observador y a la estructura algebraica espećıfica de un espacio-tiempo
dado, puede utilizarse como una herramienta útil para analizar y comprender los efectos espećıficos
de la campo gravitacional en una dimensión arbitraria.
6
CAPÍTULO 1. ANTECEDENTES
1.2. Espacio-tiempo Taub-NUT
La métrica del espacio-tiempo Taub-NUT esta definida por:
ds2 =
∆r
ρ2
(dt− 2n (cos θ + C) dφ)2 − ρ
2
∆r
dr2 − ρ2
(
dθ2 + sin2 θdφ2
)
(1.3)
donde ρ2 = r2 + n2 y ∆r = r
2 − 2Mr − n2.
Para esto, M es la masa de la solución asociada a la fuente, n es la parámetro NUT y C es una
constante en la parte no diagonal de la métrica. Esta constante define la posición de la singularidad
en el eje del espacio-tiempo Taub-NUT respectivo [18].
El parámetro NUT n también conocido como carga NUT, el cual fue despreciado por Kerr de su
solución debido a que no encontró sentido f́ısico, dado que causaba que la métrica no se volviera
asintóticamente plana, mientras que otras fuentes lo interpretaban como un parámetro para un
monopolo gravito-magnético de la masa central [3] o una propiedad de giro que envolv́ıa a el espacio-
tiempo [19], también denominado como “Masa Magnetica”, “Momento Monopolar Gravitacional”ó
“Carga Gravitacional Magnetica”. Las propiedades Gravito-magnéticas del espacio-tiempo Taub-
NUT son determinadas por la parte no diagonal de la métrica, en las cuales interactúa el parámetro
NUT n como carga gravito-magnética.
Sin embargo, existen dos interpretaciones muy diferentes de este espacio-tiempo en particular.
Ambas de ellas tiene aspectos insatisfactorios en términos de propiedades f́ısicas globales. En una
interpretación, el espacio-tiempo contiene una linea singular semi-infinita, parte de la cual es rodea-
da por la región que contiene lineas temporaloides cerradas. La otra interpretación lacual es gracias
a Misner en 1963 [8], no contiene singularidades. Estas son removidas solamente a expensas de la
introducción de una coordenada temporal periódica en toda la región estacionaria. Sin embargo,
esto tiene otras indeseables caracteŕısticas, la cual obligo a Misner a concluir que el espacio-tiempo
completo no tiene aparente interpretación f́ısica razonable.
Sin embargo, la métrica contiene claramente algún tipo de singularidad a lo largo del medio eje
θ = π. Por lo tanto, la solución no puede ser globalmente asintóticamente plana. No existe una singu-
laridad para ningún valor de r. Por lo tanto, es natural que r cubra el rango completo r ∈ (−∞,∞).
Sin embargo, una singularidad en la métrica ocurre claramente cuando f (r) = 0. Donde
f (r) =
r2 − 2Mr − n2
r2 + n2
(1.4)
De hecho, f (r) dada por la definición tiene dos ráıces distintas con valores positivos y negativos de
7
CAPÍTULO 1. ANTECEDENTES
r dados por
r± = M ±
√
M2 + n2 (1.5)
donde tal y como lo muestra la Figura (1.5), esta define dos horizontes de eventos en el espacio-
tiempo Taub-NUT. Como vimos anteriormente podemos describir tres regiones para el espacio-
Figura 1.5: Horizontes de eventos definidos por r+ como el anillo exterior de color azul y r− para
el anillo interior de color rojo.
tiempo completo, dividido por los horizontes de eventos
−∞ < r < r− → Region NUT− (1.6)
r− < r < r+ → Region Taub (1.7)
r+ < r <∞ → Region NUT+ (1.8)
Para r < r− y r > r+, f (r) > 0, observamos que la coordenada r tiene forma espacial, y la
métrica es estacionaria. Estas como ya lo mencionamos son denominadas como regiones NUT,
llamadas también como NUT− y NUT+ respectivamente. Ellas se encuentras separadas por una
región dependiente del tiempo, la región Taub definida por r− < r < r+ en la cual r juega un papel
temporal y t un papel espacial (es decir, los roles se invirtieron).
El espacio-tiempo completo Taub-NUT es la unión anaĺıtica de dos espacios-tiempos aparen-
temente independientes en cuanto a los que sus caracteŕısticas y propiedades corresponde. Esta
solución tiene su precedente de dos soluciones que describen por si solas espacios tiempo comple-
tos: la solución NUT y la solución Taub que a continuación detallaremos:
8
CAPÍTULO 1. ANTECEDENTES
Solución NUT
El espacio NUT fue propuesto por Newman, Unti, Tamburino en 1963 [7] como ya lo hemos
mencionado anteriormente. Pero la primera pregunta que podŕıamos hacernos ahora es porque este
espacio y su solución fueron descartados para dar hincapié a la solución Taub-NUT a la cual en
este trabajo enfocamos nuestra atención. Esto se puede contestar gracias al trabajo de Misner [8].
Como vimos el espacio-tiempo completo se puede estudiar como varias regiones separadas entre
ellas, definidas del precedente para la construcción de la solución completa Taub-NUT se encuentra
la solución NUT para el cual nos tomaremos un breve tiempo de hablar de sus propiedades definidas
a partir de la siguiente métrica:
ds2NUT = U(r)
(
dt+ 4n sin2
[
1
2
θ
]
dφ
)2
− dr
2
U(r)
−
(
r2 + n2
) (
dθ2 + sin2 θdφ2
)
(1.9)
donde
U (r) = 1− 2(Mr + n
2)
r2 + n2
(1.10)
Una métrica válida en la región donde U(r) < 0 de la que forma parte en la solución completa.
Misner reconoció que la métrica NUT conteńıa singularidades removibles arbitrarias, a menos que
se dejara r = const. las hipersuperficies estaŕıan cerradas. Y se encontró que la singularidad era
ficticia.
La evolución f́ısica hacia el espacio NUT es inestable y las perturbaciones de onda corta acele-
ran a enerǵıas disruptivas antes de que se alcance el horizonte de Cauchy que separa a las regiones
cosmológica Taub y NUT. Esta inestabilidad se puede mostrar con el mismo comportamiento de
geodésicas nulas, las cuales mostraron que este espacio-tiempo era geodesicamente incompleto y
que ninguna continuación anaĺıtica pod́ıa hacerse. Este espacio-tiempo es similarmente considerado
en relación con el tema de la prevalencia y la naturaleza de las singularidades en las soluciones
cosmológicas generales de las ecuaciones de Einstein [20].
Esto excluye entonces cualquier interpretación del espacio NUT como el campo gravitacional pro-
ducido por una fuente localizada introducida en una parte previamente plana del universo. La razón
por la que no se encontró un análogo del espacio NUT en los estudios de las ecuaciones del campo
gravitacional linealizado es simplemente que, incluso si se hubiera encontrado, se rechazaŕıa por no
satisfacer las condiciones de contorno razonables en el infinito. A menos que sea interpretable como
un modelo cosmológico, debe ser rechazado de manera similar en la teoŕıa de la relatividad general
[8].
9
CAPÍTULO 1. ANTECEDENTES
Solución Taub
Este modelo fue propuesto por Taub en 1951 [5] como ya lo hemos mencionado anteriormente. Es
un modelo cosmológico en el sentido de que incorpora una métrica que ha cerrado hipersuperficies
espaciales homogéneas, que se muestran no singulares en el sentido de los “ĺımites distantes” de
cada área geodésica que se acerca a los ĺımites, para los cuales tiene una longitud af́ın infinita.
Ahora bien la región Taub que necesitamos mencionar es adaptación anaĺıtica de la propuesta por
Taub, el cual posee las siguientes caracteŕısticas y propiedades, definidas a partir de la siguiente
métrica:
ds2Taub =
dτ2
V (τ)
− (2n)2 V (τ) (dψ − cos θdφ)2 −
(
τ2 + n2
) (
dθ2 + sin2 θdφ2
)
(1.11)
donde r = τ , V (τ) = −f (r), t = 2n (ψ − φ) y ademas
V (τ) =
n2 + 2Mτ − τ2
n2 + τ2
(1.12)
Pero al igual que en el caso NUT podŕıamos hacernos ahora la misma pregunta ¿por qué este
modelo cosmológico y su solución fueron descartados? y de esta manera dar hincapié a la solución
Taub-NUT. Esto tiene su respuesta gracias al trabajo de Misner y Taub en 1969 [20], y antes
mencionado trabajo de Misner en 1963 [8] como ya se ha detallado anteriormente. En el fue un
requerimiento de hipersuperficies espaciales homogéneas lo que originalmente llevó a Taub a una
métrica localmente equivalente a la métrica mostrada, pero en una forma válida solo para la región
V (τ) > 0 donde las hipersuperficies son de hecho espacioloides. Tiene secciones cerradas en forma
de espacio, topológicamente idénticas a las de los modelos de curvatura positiva de Robertson-
Walker o Friedmann, pero la tasa de expansión no es la misma en todas las direcciones, y satisface
las ecuaciones de Einstein ignorando la densidad de la materia.
A partir de la métrica, es fácil ver la firma de la métrica inducida en cualquier hiper-superficie
τ = const. Para cada τ en el rango τ1 < τ < τ2 donde V (τ) < 0 la hipersuperficies es similar a un
espacio. Las hipersuperficies donde V (τ) < 0 son nulas, y para todos los demás valores de τ , las
hipersuperficies son similares al tiempo.
Toda curva en la que τ ,θ y φ son constantes mientras que ψ vaŕıa de 0 a 4π está cerrada y es similar
al tiempo cuando V (τ) < 0. De esta manera se puede decir que el requisito (completud geodésica)
de que todas las geodésicas se pueden continuar con valores infinitos positivos y negativos del
parámetro de ruta af́ın es más fuerte que el requisito de ĺımites distantes, ya que existen espacios-
tiempos anaĺıticos cerrados (compactos) que no están geodésicamente completos. Entonces está
10
CAPÍTULO 1. ANTECEDENTES
claro que la geodésica se puede extender para un rango de valores de τ , es decir, que es finito,
entonces la variedad M en la que esta definida no es geodésicamente completa.
Hablando del espacio-tiempo completo en la región r− < r < r+, en la cual f (r) < 0, las
coordenadas r y t invierten papeles, ahora la coordenada temporal es r y la coordenada espacial es
t. Taub presento esta métrica en una forma alternativa haciendo unos cambios simples, con los cuales
partiendo de ellos y realizando una transformación adicional de Eddington-Finkelstein llegamos a
una métricaque nos presenta una propiedad interesante y es que esta tiene una desventaja obvia
dado que no posee un limite agradable cuando n→ 0. Es decir, la reducción al caso de Schwarzschild
no es muy amigable.
Dentro de esta región la coordenada temporal r varia entre los dos limites r− y r+. Esto solo
indica que las trayectorias que en ella se encuentren permanecen un tiempo propio finito. Esto es,
todas la trayectorias que ingresan a la región Taub permanecerán dentro de ella durante el mismo
lapso de tiempo. Esta es la razón por la cual se puede considera a la región Taub como un modelo
cosmológico al vació que existe por un tiempo finito pero para el cual los estados inicial y final no
son singularidades de curvatura.
La continuación anaĺıtica del modelo cosmológico Taub al espacio NUT se puede realizar de al
menos dos formas desiguales, obteniendo las formas presentadas anteriormente que muestran las
regiones f(r) < 0, espacio NUT, unidas anaĺıticamente a la cosmoloǵıa f(r) > 0 Taub.
En la solución NUT, es fácil obtener la solución de Schwarzschild cuando n = 0 y m 6= 0, en
la cual m es el parámetro con el cual estamos familiarizados que representa la masa de la fuente.
Newman, Unti y Tamburino demostraron que cuando n es pequeño, la inclusión de este parámetro
induce un pequeño avance adicional en el perihelio de aproximación de órbitas eĺıpticas en la
región estacionaria del espacio-tiempo. Pero cuando n 6= 0, el espacio tiempo tiene caracteŕısticas
globales muy diferentes de las de Schwarzschild, como ya se ha demostrado en otros trabajos [6].
Es importante mencionar que es posible tomar lo valores m ≤ 0 dado que, si m fuera negativo
podŕıamos reservar el signo negativo por la transformación de la coordenada r → −r. El espacio-
tiempo es asintóticamente plano en el sentido de que el tensor de Riemann decae como r−3 cuando
r → ±∞.
Para las regiones NUT estacionarias en las que f (r) > 0 cuando n = 0, estas se reducen a la
solución de Schwarzschild, sin embargo, cuando n 6= 0, este no es el caso, esto indica que la solución
NUT puede considerarse como el campo exterior de una fuente giratoria en la cual el parámetro
NUT n es una medida del momento angular.
Ahora hablaremos un poco de las singularidades presentadas en el espacio-tiempo Taub-NUT
y como estas fueron interpretadas con el paso del tiempo por diferentes profesores.
11
CAPÍTULO 1. ANTECEDENTES
Bonnor en 1969 [21] recomendó un nuevo enfoque para este medio eje singular, el trata la
singularidad en θ = π como la idealización natural de una fuente de momento angular sin masa
semi-infinita, es decir, la fuente de la métrica NUT se puede considerar como una varilla giratoria
delgada semi-infinita.
Lyden-Bell y Nouri-Zonoz en 1998 [10] describieron un análogo electromagnético de esta solu-
ción, el cual representaba un análogo relativista general del campo newtoniano. El cual describe
el movimiento de una part́ıcula cargada bajo la acción de una fuerza central de tipo eléctrica y
de una fuerza magnética que es perpendicular al plano del movimiento. Ademas demostraron que
estas órbitas clásicas residen sobre conos espaciales. Esto tiene consecuencias interesantes para el
lente gravitacional debido a que los hazes de luz no se doblan simplemente cuando pasan el origen
de la fuente, sino que también son torcidos. Esta torsión produce una cizalladura que es peculiar
en monopolos gravito-magnéticos [22].
Esto podŕıa explicarse como una órbita eĺıptica a la cual le falta una cuña, y la eliminación de
esta cuña da como resultado un avance en el perihelio de la órbita. El origen de esta representación
se comporta como si un monopolo magnético cargado que interactúa con una masa de prueba como
si fuera una part́ıcula cargada.
Construyendo una analoǵıa entre la atracción gravitacional y la electrostática, el parámetro
m puede comprenderse como la masa de la fuente, de acuerdo con el limite a la solución de Sch-
warzschild. Por otro lado la fuerza de tipo magnético es proporcional al parámetro NUT n que
por lo tanto puede denominarse como la masa magnética o el momento monopolar magnético de
la fuente, es decir, la acción de una fuerza electromagnética central sobre una part́ıcula cargada
puede considerarse análoga a la acción de una fuerza gravitacional sobre una part́ıcula con masa.
Bonnor en 2001 [23] sugirió que el semi-eje actúa como una singularidad de torsión la cual inyecta
momento angular al espacio-tiempo. Y la lista de interpretaciones continua hasta hoy en d́ıa. Sin
embargo, parece ser que las interpretaciones no convencen a muchos o no dan una descripción
satisfactoria de estos semi-ejes o de la fuente que los genera.
Hasta este punto ha quedado claro que las singularidades en los ejes θ = 0 y θ = π son
indeseables y presentan un problema en la forma de entender el espacio-tiempo. En la Figura
1.6 podemos apreciar la representación ilustrativa de estas semi-rectas. Ahora hablando de estas
singularidades se puede observar que cuando n 6= 0 en la métrica, primera mitad del eje de simetŕıa
en el cual θ = 0 es regular. En este caso es posible considerar a φ como una coordenada periódica
en la cual podemos identificar a φ = 0 con φ = 2π.
12
CAPÍTULO 1. ANTECEDENTES
Figura 1.6: Semi-eje θ, en espacio polar y el valor de θ = 0 de donde 0 < θ < π.
Sin embargo, con esta identificación, la otra mitad del eje en el que θ = π es un punto singular.
Esto ha sido interpretado f́ısicamente como un disco delgado de part́ıculas contrarrotativas por
Gonzáles y Letelier (2000) [24], en el cual se ha demostrado que en dicho modelo, la solución NUT
incluye un flujo de calor distinto de cero. Los componentes del tensor de curvatura permanecen
limitados, esta es una singularidad casi regular en lugar de una singularidad de curvatura polinomial
escalar.
Demianski y Newman en 1966 [25] y Dowker en 1974 [26] consideraron a la fuente en r = 0
como una masa ordinaria junto a un monopolo gravito-magnético. Se sabe de la teoŕıa de estos
objetos que dos monopolos con polaridad opuesta se consideran conectados por una cuerda de
Dirac, donde para nuestro caso la singularidad de linea semi-infinita en θ = π se considera el
análogo gravitacional de una cuerda de Dirac [6][27]. Bonnor señalo con respecto a la cuerda de
Dirac que mientras en el caso electromagnético la cuerda no tiene efecto en el espacio-tiempo, para
el caso de la singularidad en el medio eje de la solución NUT, esta si afecta el espacio-tiempo.
En el elemento de linea (1.9) para curvas en las cuales t, r y θ son constantes tienen intervalos
los cuales siempre son de tipo espacial si f (r) ≤ 0. Sin embargo, puede observarse que esta pueden
volverse de tipo temporal en partes de la región NUT, en la cual f (r) > 0. Dado que φ es una
coordenada periódica, es claro que estas forman curvas cerradas de tipo temporal [22].
Se ha observado que tales curvas ocurren en regiones finitas que rodean el medio-eje singular
dentro de cada una de la regiones NUT. En ellas las hipersuperficies t = const. cesan de ser de tipo
espacial. Ademas de que los bordes de estas regiones no corresponden a singularidades generadas
por las coordenadas y por lo tanto no pueden ser interpretadas como un eje o como cualquier clase
de barrera f́ısica. No parece haber nada que impida que las regiones NUT del espacio-tiempo se
extiendan a estas regiones que incluyen curvas cerradas de tipo temporal.
13
CAPÍTULO 1. ANTECEDENTES
Movimiento geodésico
Kragamanova y otros autores en 2010 [28] construyeron las soluciones anaĺıticas para el mo-
vimiento geodésico en el espacio-tiempo Taub-NUT haciendo uso de las ecuaciones de Hamilton-
Jacobi. Ademas de realizar un profundo estudio en clasificar el tipo de órbitas añadieron un estudio
de estas singularidades y su visualización en diagramas de Carter-Penrose. En dicho trabajo mos-
traron que el movimiento geodésicopuede definirse a partir de los siguiente parámetros: la enerǵıa
E, el momento angular L′, el parámetro NUT ñ, la constante de Carter k, el parámetro δ con las
siguientes cuatro ecuaciones para cada una de las coordenadas del espacio-tiempo tetra-dimensional:
θ (γ̃) = arc cos
(
1
2a
(√
b2 − 4ac sin
(√
−aγ̃ − γφin
)
− b
))
(1.13)
r̃ (γ̃) =± B3
4℘
(
γ̃ − γ̃′in; g2, g3
)
− b2
3
+ r̃R (1.14)
φ (γ̃) =
1
2
(I− − I+) ξ(γ̃)ξin + φin (1.15)
t̃ (γ̃) =Ir̃ (γ̃) + Iφ (γ̃) + t̃in (1.16)
Para la solución anaĺıtica de θ (γ̃) se define γ̃ como el tiempo de Mino. Tenemos ξ = cos θ y
donde ademas a, b, c son constantes. Donde para γφin, ξin, γin y θin son valores iniciales para estas
respectivas variables. Por otro lado para la solución anaĺıtica r̃ (γ̃) se tiene que ℘ (γ̃ − γ̃′in; g2, g3)
es la función ℘ de Weierstrass [29] aśı mismo γ̃′, r̃R, g2,g3, b2 y B3 son constantes. Desde φ (γ̃)
se definen I±,u y B±. Mientras que para la solución anaĺıtica t̃ (γ̃), se cuenta con las siguientes
definiciones Ir̃ (γ̃) y Iφ (γ̃) y para el el cual t̃in es el valor inicial para t̃, por otro lado ρ,Kj ,K0, K4,
vji,v, ρ,A2 son constantes y ademas vin es el valor inicial de v.
Para mas información acerca del método usado para la obtención y definición de cada una de
estas ecuaciones, aśı mismo la definición de cada una de las variables, parámetros y constantes
utilizadas, también puede consultar acerca del tiempo de Mino dentro del Apéndice A.
Las órbitas que describen las ecuaciones (1.13)-(1.16) se pueden clasificar en 5 tipos tal y
como lo muestra la Figura 1.7. Estas órbitas están clasificadas como sigue (i) Órbitas de Transito
(“TO” - Transit orbits), (ii) Órbitas de Escape (“EO” - Escape Orbits), (iii) Órbitas de Escape
Cruzadas (“CEO”- Crossover Escape Orbits), (iv) Órbitas Ligadass (“BO” - Bound Orbits ), (v)
Órbitas Ligadas Cruzadas (“CBO” - Crossover Bound Orbits), en ellas se cumplen las siguientes
caracteŕısticas:
14
CAPÍTULO 1. ANTECEDENTES
1. Órbitas de transito (TO): Son aquellas órbitas en las cuales r̃ ∈ (−∞,+∞) y posen un solo
punto de transito sobre la singularidad en r = 0. Estas órbitas están también caracterizadas
debido a que la ecuación diferencial que describe el movimiento radial no posee ráıces reales,
de esta manera las órbitas de tipo TO solamente son part́ıculas que se mueven de ±∞ a ∓∞.
2. Órbitas de escape (EO): Son aquellas órbitas en las cuales uno de los siguientes rangos están
especificados para un radio r: (r1,∞) donde r1 > 0 ó (−∞, r1) donde r1 < 0. En estas órbitas
no se cruza la singularidad en r = 0. Estas órbitas están también caracterizadas debido a
que la ecuación diferencial que describe el movimiento radial posee dos o cuatro ráıces reales.
De donde para el caso de cuatro ráıces los puntos de retorno no pueden coincidir con los
horizontes.
3. Órbitas de escape cruzadas (CEO): Son aquellas órbitas en las cuales uno de los siguientes
rangos están especificados para un radio r: (r1,∞) donde r1 < 0 ó (−∞, r1) donde r1 > 0.
En estas órbitas se cruza la singularidad en r = 0 dos veces. Estas órbitas están también
caracterizadas debido a que la ecuación diferencial que describe el movimiento radial posee
solamente una ráız real, la cual describe part́ıculas que se aproximan desde +∞. También
pueden existir este tipo de órbitas cuando existen dos ráıces reales (Enerǵıas E2 < 1).
4. Órbitas ligadas (BO): Son aquellas órbitas en las cuales esta especificado el siguiente rango
r̃ ∈ (r1, r2) para un radio r en donde r1 < r2 de tal manera que: (i)r1, r2 > 0 o (ii) r1, r2 < 0.
Estas órbitas están también caracterizadas debido a que la ecuación diferencial que describe
el movimiento radial posee cuatro ráıces reales. De donde los puntos de retorno no pueden
coincidir con los horizontes.
5. Órbitas ligadas cruzadas (CBO): Son aquellas órbitas en las cuales esta especificado el si-
guiente rango r̃ ∈ (r1, r2) para un radio r en donde r1 < 0 y r2 > 0. Estas órbitas están
también caracterizadas debido a que la ecuación diferencial que describe el movimiento radial
posee dos o cuatro ráıces reales. De donde para el caso de cuatro ráıces los puntos de retorno
no pueden coincidir con los horizontes.
Las órbitas del espacio-tiempo Taub-NUT también pueden ser definidas dentro de dos cate-
goŕıas: (i) Órbitas Abiertas en las cuales entran órbitas de tipo TO, EO, CEO y (ii) Órbitas
Cerradas en las cuales entran las órbitas de tipo BO y CBO. Mas adelante haremos uso de estas
definiciones.
15
CAPÍTULO 1. ANTECEDENTES
(a) Orbita de tipo TO con parametros ñ = 1, k = 1,
L̃ = 2, E2 = 3 y δ = 1.
(b) Orbita de tipo EO con parametros ñ = 0.5,
k = 1, L̃ = 3, E2 = 1.369 y δ = 1.
(c) Orbita de tipo CEO con parametros ñ = 0.5,
k = −0.5, L̃ = 2, E2 = 1.0000001 y δ = 1.
(d) Orbita de tipo BO con parametros ñ = 0.5,
k = 1, L̃ = 2, E2 = 0.94084 y δ = 1.
(e) Orbita de tipo CBO con parametros ñ = 0.5,
k = 1, L̃ = 3, E2 = 0 y δ = 1.
(f) Orbita de tipo CBO con parametros ñ = 0.5,
k = ñ2, L̃ = 0.9, E2 = L̃/ (2ñ) y δ = 1.
Figura 1.7: Clasificación de órbitas en el espacio-tiempo Taub-NUT obtenidas de articulo Kragama-
nova 2010 “Analytic treatment of complete and incomplete geodesics in Taub-NUT space-times”.
16
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
Caṕıtulo 2
Metodoloǵıa
Ahora en este capitulo presentaremos la estrategia y el planteamiento de la investigación, los
pasos a seguir y los formalismos matemáticos que se siguieron para el cumplimiento de nuestro
objetivo.
En los cuales haremos uso de la ecuación de desviación de geodésicas y la ecuación de geodésicas,
las cuales son muy bien conocidas en el campo de relatividad general. En muchos libros de texto de
este campo existen caṕıtulos enteros dedicados a explicar su funcionamiento, deducción y análisis
[11]. Estas pueden ser escritas como sigue
D2ηµ
dχ2
+Rµ νρσξ
νηρξσ = 0 (2.1)
Dξµ
dχ
= 0 (2.2)
Ahora haciendo uso del formalismo de Newman-Penrose [22] podemos escribir (Para mas informa-
ción consultar Apéndice B)
ξµ =ξ0lµ + ξ1kµ + ξ2mµ + ξ3mµ (2.3)
ηµ =η0lµ + η1kµ + η2mµ + η3mµ (2.4)
en el la base nula tiene que cumplir las siguientes caracteŕısticas
lµ · lµ = nµ · nµ = mµ ·mµ = mµ ·mµ = 0
lµn
µ = −mµmµ = 1 = nµlµ = −mµmµ
lµm
µ = lµm
µ = nµm
µ = nµm
µ = 0
gab =lana + nalb −mamb −mamb
(2.5)
17
CAPÍTULO 2. METODOLOGÍA
De la ecuación 2.1 se pueden deducir las primeras cuatro ecuaciones diferenciales y las consecuentes
cuatro ecuaciones a partir de 2.2, realizando proyecciones sobre cada una de las direcciones de la
tétrada nula l, k,m,m podemos encontrar con algunos arreglos algebraicos el sistema de ocho ecua-
ciones diferenciales de las cuales este sistema esta constituido por cuatro ecuaciones diferenciales
de primer orden que son definidas por la ecuación de geodésicas y cuatro ecuaciones de segundo
orden para las ecuaciones de desviacion de geodésicas.
Figura 2.1: Esquema de estrategia a seguir
18
CAPÍTULO 3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Caṕıtulo 3
Resultados y Discusión
3.1. Solución numérica de la ecuación de geodésicas
Utilizaremos la ecuación de Hamilton-Jacobi con el fin de encontrar soluciones numéricas a la
ecuación de geodésicas para el espacio-tiempo Taub-NUT. Aplicando el método de separación de
variables podemos encontrar siguiendo algunos procesos algebraicos cuatro ecuaciones diferenciales
para cada una de las coordenadas definidas para este sistema, para el cual en este caso serán r̃ (γ̃),
θ (γ̃), φ (γ̃), t̃ (γ̃), estas ecuaciones fueron presentadas en [28]. Para mas información acerca de la
obtención de estas ecuaciones diferenciales puede ser consultado el Apéndice A y poseen la siguiente
forma
(
dr̃
dγ̃
)2
=R (3.1)(
dθ
dγ̃
)2
=Θ (3.2)
dφ
dγ̃
=
L′ − 2ñE cos θ
sin2 θ
(3.3)
dt′
dγ̃
=E
ρ̃4
∆̃r
+ 2ñ cos θ
L′ − 2ñE cos θ
sin2 θ
(3.4)
para R y Θ se definen como sigue
R =
(
r̃2 + ñ2
)2
E2 − ∆̃r
(
δr̃2+ L
′2 + k′
)
(3.5)
Θ =k′ − δñ+ L′2 − (L
′ − 2ñE cos θ)2
sin2 θ
(3.6)
19
CAPÍTULO 3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Para estas expresiones es conveniente definir las siguientes variables adimensionales:
r̃ =
r
rs
; ñ =
n
rs
; ˜̀=
`
rs
; L̃ =
L
rs
; t̃ =
t
rs
(3.7)
de las cuales se define a rs = 2M y ademas
L′ =L̃− 2ñEC (3.8)
k′ − k =L̃2 − L′2 (3.9)
Desde la métrica para el espacio tiempo Taub-NUT
ds2 =
∆r
ρ2
(dt−Adφ)2 − ρ
2
∆r
dr2 − ρ2
(
dθ2 + sin2 θdφ2
)
(3.10)
se definieron las siguientes expresiones
ρ2 =r2 + n2 (3.11)
∆r =r
2 − 2Mr − n2 (3.12)
A =2n (cos θ + C) (3.13)
de estas expresiones podemos obtener sus análogas adimensionales cuya forma se presenta a conti-
nuación
ρ̃2 =r̃2 + ñ2 (3.14)
∆̃r =r̃
2 − r̃ − ñ2 (3.15)
En mecánica clásica, el potencial efectivo se define como la suma de la enerǵıa potencial centŕıfuga
y la enerǵıa potencial de un sistema dinámico. Se utiliza regularmente en el cálculo de órbitas
planetarias (Ya sea en mecánica clásica o f́ısica relativista) y en cálculos atómicos semi-clásicos,
y con frecuencia permite la reducción del número de dimensiones de un problema. Dicho esto, a
partir de R podemos encontrar la definición para el potencial efectivo cuya forma es presentada a
continuación
Veff = ∆̃r
(
r̃2 + L̃2 + k
(r̃2 + ñ2)2
)
(3.16)
El potencial puede ser una herramienta útil para predecir el tipo de órbita resultante que se obtendrá
a partir de las ecuaciones diferenciales una vez que sustituyamos valores, como mas adelante se vera.
20
CAPÍTULO 3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Figura 3.1: Potencial efectivo que define para diferentes niveles de enerǵıa diferentes casos orbitales:
como órbitas cerradas, órbitas abiertas y órbitas de transito con los parámetros ñ = 0.5,k = 1 y
L̃ = 3
Ahora podemos empezar con nuestros resultados, a continuación lo que observamos en la Figura
(3.1) es el potencial efectivo definido en (3.16), como podemos ver tenemos tres enerǵıas las cuales
cada una de ellas representa un tipo de órbita diferente, la enerǵıa representada por la linea azul
representa una órbita cerrada la cual esta restringida por los horizontes de sucesos. Por otro lado
la enerǵıa representada por la linea verde nos presenta una órbita abierta, en la cual el objetivo
se aproxima desde infinito hasta acercarse a la singularidad, hasta la colisión inminente con el
horizonte de sucesos y es atrapado para después salir por otro universo. Y por ultimo la enerǵıa
representada por la linea de color amarillo en la parte superior nos muestra una órbita de transito
la cual no tiene mucha relevancia en nuestro trabajo. En realidad, solamente es la órbita de un
objeto que es atráıdo lo suficiente para desviar su órbita pero no lo suficiente para ser atrapado en
ella, por lo cual continua con su trayecto al infinito negativo o viceversa.
ĺım
r→∞
Veff = 1 (3.17)
De la definición de potencial efectivo podemos obtener una restricción para la enerǵıa E, si solo
buscamos órbitas que sean abiertas es decir que vengan desde infinito podemos asumir que la
enerǵıa E de dichas órbitas debeŕıa ser mayor a valor el cual tiende el potencial efectivo cuando
r →∞ es decir E > 1. Si lo que buscamos es que las órbitas sean cerradas la enerǵıa E debeŕıa ser
menor al valor del potencial efectivo cuando r →∞, es decir E < 1.
21
CAPÍTULO 3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
La primera parte de nuestro trabajo en este capitulo esta dedicada a la solución de la ecuación
de geodésicas, donde nos enfocamos a encontrar de manera independiente los mismos resultados
propuestos por el articulo [28]. Haciendo uso de ‘Dsolve’ en Maple, para después comparar nuestros
resultados con los ya propuestos con las soluciones anaĺıticas de el articulo antes mencionado.
Por lo tanto la primera parte de el trabajo fue escribir el sistema de ecuaciones diferenciales
que se propuso en el trabajo [28], cuyo sistema esta definido en (3.1-3.4). Entonces encontramos
las siguientes soluciones numéricas.
Figura 3.2: Comparación numérica y anaĺıtica para el caso de órbitas cerradas de tipo CBO con
parámetros δ = 1,E = 0,ñ = 0.5,k = 1,L̃ = 3,C = 0, M = 0.25 y r̃0 = 0.1
Es interesante ver en la Figura 3.2 donde se muestra el caso de órbita cerrada que el resultado
anaĺıtico es fiel al resultado numérico en donde fue evaluado, y donde es dif́ıcil notar la diferencia
ente ellas. Los anillos negro y rojo mostrados en la gráfica son los horizontes externo e interno
respectivamente. La solución numérica inicia en el punto r̃ = r̃0 en χ = 0 la cual continua su
trayecto hasta r̃ = r± en donde se indetermina. Ahora si bien Maple nos ayudo a obtener una
solución que en efecto es correcta, esta es solo una de las muchas órbitas posibles que se pueden
encontrar para la solución de este tipo. He aqúı la importancia de haber comparado nuestros
resultados con algún precedente anterior. Sin embargo, es posible obtener cada una de las órbitas
restantes cambiando las condiciones iniciales y alguno que otro parámetro abierto, de los tantos
que este problema nos concede.
22
CAPÍTULO 3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Hablando de la órbita de tipo cerrada mostrada en la Figura 3.2, esta como ya hab́ıamos
predicho se encuentra restringida por ambos lados por los horizontes de sucesos. Si bien para el
caso numérico sucede que la órbita queda restringida al llegar al horizonte exterior para el caso de
la solución anaĺıtica la órbita continua sin problema alguno al llegar a este punto, esto es debido
a como se interpreta la singularidad en Maple, el cual no sabe interpretar esta cáıda de tiempo
infinito.
Figura 3.3: Comparación numérica y anaĺıtica para el caso de órbitas abiertas de tipo EO/CEO
con parámetros δ = 1,E =
√
2,ñ = 0.5,k = 1,L̃ = 3,C = 0,M = 0.25 y r̃0 = 3
En la Figura 3.3 vemos ahora el caso de órbita abierta, donde podemos resaltar que Maple no sabe
interpretar la cáıda al horizonte debido a que esta requerirá de un tiempo infinito. Esta es la razón
por la cual la solución numérica se detiene al llegar al anillo de color negro, es decir, el horizonte
externo, ademas, como ya hemos mencionado la solución con estas condiciones iniciales solo es una
de las muchas órbitas posibles por lo cual la trayectoria solo se traslapa en una pequeña sección de
esta.
Ahora veremos unos casos en los cuales mostramos el comportamiento de r̃ (γ̃) para el caso de
órbitas abierta y órbitas cerradas dentro de las soluciones numéricas para las ecuación de geodésicas.
Al introducir la solución anaĺıtica a el computador, se nos presenta la solución para un numero
infinito de órbitas, tal y como lo muestra la Figura 3.4(a) y en la Figura(3.4(b)) nos muestra la
forma de la función r̃ (γ̃) en la cual se compara la solución anaĺıtica y la solución numérica obtenida.
En ella podemos apreciar que las órbitas tienen una forma de tipo tangencial cuadrática,
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CAPÍTULO 3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
(a) Solución anaĺıtica para ecuacion (3.1). (b) Comparación de soluciones.
Figura 3.4: Comparación numérica y anaĺıtica de r̃ (γ̃) para el caso de órbitas abiertas de tipo
EO/CEO con parámetros δ = 1,E =
√
2,ñ = 0.5,k = 1,L̃ = 3,C = 0,M = 0.25 y r̃0 = 3
De igual manera que para el caso de órbitas abiertas en el caso de órbitas cerradas la solución
anaĺıtica igualmente arroga un numero no contable de órbitas posibles tal y como lo muestra la
Figura 3.5(a). Por lo tanto nosotros podemos enfocarnos en una órbita en particular para observar
(a) Solución anaĺıtica para ecuacion (3.1). (b) Comparación soluciones.
Figura 3.5: Comparación numérica y anaĺıtica de r̃ (γ̃) para el caso de órbitas cerradas de tipo CBO
con parámetros δ = 1,E = 0,ñ = 0.5,k = 1,L̃ = 3,C = 0, M = 0.25 y r̃0 = 0.1
nuestra solución numérica y con esta comparar nuestros resultados. Tal y como lo hace la Figura
(3.5(b)) que nos muestra una forma de tipo senoidal comolo podemos apreciar en la gráfica. En
este caso el objeto viaja sin fin de un horizonte a otro continuamente y sin interrupción. Mientras
que la solución numérica queda irremediablemente atrapada en los horizontes. Como hemos podido
apreciar la solución numérica y anaĺıtica están movidas aparentemente por una fase, esta es debido
al valor inicial r̃0 en la solución numérica, la cual solo tiene fines meramente ilustrativos.
24
CAPÍTULO 3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
3.2. Desviación de geodésicas en el espacio-tiempo Taub-NUT
Como ya hemos explicado en caṕıtulos anteriores una manera de encontrar resultados que nos
permitan encontrar propiedades que describan la topoloǵıa del espacio-tiempo, es mediante el uso de
la ecuación de geodésicas, ahora bien si en la sección anterior nos dedicamos a resolver las ecuaciones
diferenciales con métodos numéricos y comparar estos con las soluciones anaĺıticas que describen
la parte de las geodésicas en el espacio-tiempo Taub-NUT, ahora nos enfocaremos en resolver las
ecuaciones que describen la desviacion en este espacio. Por lo cual presentamos entonces el sistema
de ecuaciones diferenciales acopladas conformado por la ecuación de geodésicas y la ecuación de
desviación de geodésicas:
D2ηµ
dχ2
+Rµ νρσξ
νηρξσ = 0 (3.18)
Dξµ
dχ
= 0 (3.19)
para lo cuales podemos escribir el vector geodésico ξ y el vector de desviación η en términos de la
base nula
ξµ =ξ0lµ + ξ1kµ + ξ2mµ + ξ3mµ (3.20)
ηµ =η0lµ + η1kµ + η2mµ + η3mµ (3.21)
en donde la base nula para el espacio-tiempo Taub-NUT fue presentada en [30] y esta definida de
la siguiente manera
l =
(
Σ
∆
∂t + ∂r
)
(3.22)
k =
1
2
(
∂t −
∆
Σ
∂r
)
(3.23)
m =
1√
2 (`− ir)
(A csc (θ) ∂t − i∂θ + csc (θ) ∂φ) (3.24)
m =
1√
2 (`+ ir)
(A csc (θ) ∂t + i∂θ + csc (θ) ∂φ) (3.25)
Presentaremos a continuación una nueva notación utilizada de ahora en adelante, esta nueva nota-
ción es proporcionada debido a la analoǵıa que existente con el espacio de Kerr-Taub-NUT, la cual
fue proporcionada directamente desde el articulo “Massless field perturbations and gravitomagne-
tism in the Kerr-Taub-NUT spacetime” [30] . En la cual la métrica del espacio-tiempo Taub-NUT,
puede ser obtenida al reducir los términos de Kerr igualándolos a cero, por lo tanto la métrica
25
CAPÍTULO 3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
puede ser expresa como
ds2 =
∆
Σ
(dt−Adφ)2 − Σ
∆
dr2 − Σ
(
dθ2 + sin2 θdφ2
)
(3.26)
donde
Σ =r2 + `2 (3.27)
∆ =r2 − 2Mr − `2 (3.28)
A =− 2` cos θ (3.29)
en donde n = −` es el parámetro NUT.
Es importante mencionar que nos tomaremos la libertad de mostrar directamente el sistema
de ecuaciones simplificado, al cual hemos aplicado ciertas consideraciones que en un momento
quedaran mas claras. Si desea obtener mas información acerca la obtención del sistema de ecuaciones
diferenciales acoplado puede ser consultado el Apéndice C.
Ahora, para encontrar alguna propiedad que describa la topoloǵıa del espacio-tiempo Taub-NUT es
suficiente con investigar órbitas radiales ξ = ξ1k dado que existe simetŕıa axial para las coordenadas
angulares (es decir, no existe dependencia directa de θ o φ) y debido a esto el campo central de
gravitación nos permite considerar esta simplificación reduciendo el nivel de dificultad del sistema
a resolver. Por otro lado debido a que los horizontes de eventos no depende de las coordenadas
angulares como se ha definido en 1.5, podemos elegir el estudiar órbitas para un angulo constante
θ = π/2, lo cual nos permite que consideraremos órbitas sobre un plano. Ademas una consecuencia
mas a nuestro favor de la simetŕıa axial de las coordenadas angulares puede ser aplicada a estas
órbitas de estudio en la cuales solo se presente desviacion angular, es decir η0 = η1 = 0. Para mas
información acerca de como el sistema de ecuaciones es afectado y su nuevas forma aplicando estas
consideraciones puede consultar el Apéndice C, en el cual se muestra con detalle el cambio que
cada una de estas consideraciones aporta.
De esta manera podemos obtener un sistema de ecuaciones diferenciales de primer grado de tres
ecuaciones con tres incógnitas de donde podemos prescindir por le momento de la tercera relación
por se compleja conjugada de la segunda como se muestra a continuación
ξ̇1 − ξ1ξ1 (γ + γ) =0
η̈3 + η̇3
(
ξ1 (γ − γ) + ξ1 (γ − γ)
)
+ η3
(
ξ̇1 (γ − γ) + ξ1
(
γ̇ − γ̇
)
+ ξ1 (γ − γ) ξ1 (γ − γ)
)
=0
(3.30)
26
CAPÍTULO 3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
donde
ρ =− (r − i`)−1 (3.31)
µ =
ρ2ρ∆
2
(3.32)
γ =µ+ ρρ
(
r −M
2
)
(3.33)
Este sistema de ecuaciones diferenciales es por mucho mas sencillo que el sistema de ecuaciones
diferenciales acoplado del caso general. Es importante resaltar que la primera ecuación diferencial
de este sistema es auto-consistente con estas nuevas consideraciones, el hecho para el cual la segunda
y tercera ecuación diferencial son complejas conjugadas una con respecto a la otra hace aun mas
sencillo el resolver este sistema, dado que podemos resolver solo una de las ecuaciones diferenciales
y automáticamente obtener la solución de la otra ecuación buscando el complejo conjugado de la
primera solución. Al resolver las ecuaciones (3.30) encontramos por lo tanto que la componente η3
del vector de desviacion tomaran la siguiente forma
η3 =η0
(
B − r
r0
)(
`+ ir
`− ir
)
(3.34)
donde η0 y B son constantes de integración para las cuales usando condiciones iniciales podemos
encontrar el valor para B de tal manera que definimos η3 (r0) = η0 y de esta manera encontramos
que
η3 = η0
(
`+ ir
`− ir
)(
2i`
`+ ir0
− r
r0
)
→ η3 = η0
(
˜̀+ ir̃
˜̀− ir̃
)(
2i˜̀
˜̀+ ir̃0
− r̃
r̃0
)
(3.35)
donde también podemos expresarla usando variables adimensionales.
Y obtenemos para ` = 0 la reducción al espacio-tiempo de Schwarzschild η3 = (η0/r0) r. Ahora
para la componente η3 del vector de desviación es posible escribir esta en su parte real y su parte
imaginaria η3 = η1 + iη2, de tal manera que estos resultados los trabajaremos mas adelante y nos
ayudaran para presentar gráficas que nos permitirán visualizar algunas consecuencias.
En las Figuras 3.6 se presenta los resultados para la desviación obtenida con siguientes parámetros
˜̀ = 10, r̃0 = 100 y el caso de Schwarzschild ˜̀ = 0, en donde se definió una desviacion inicial
η0 = 0.1, de las Figuras 3.6(a), 3.6(b) y 3.6(c) podemos observar que la linea azul representa los
valores de r̃ < 0 y la linea verde los valores r̃ > 0. En la Figura 3.6(d) tenemos la representación
de la desviacion para ˜̀ = 0 y r̃0 = 100 el cual representa la reducción al espacio-tiempo de
Schwarzschild.
En la Figura 3.6(a) se puede apreciar el comportamiento de la desviacion ante su dependencia
27
CAPÍTULO 3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
(a) Gráfica de la función η contra r̃.
Parámetros: ˜̀= 10 y r̃0 = 100.
(b) Gráfica de la función η2 contra η1.
Parámetros: ˜̀= 10 y r̃0 = 100.
(c) Gráfica 3D de la relación entre va-
riables η1, η2 y r̃. Parámetros: ˜̀= 10
y r̃0 = 100.
(d) Gráfica de la función η contra r̃.
Parámetros: ˜̀ = 0 y r̃0 = 100 (Caso
Schwarzschild).
Figura 3.6: Gráficas para la solución de η, siguiendo el rango definido −∞ < r̃ < ∞. Parámetros:
η0 = 0.1.
radial, es importante destacar que la desviación nunca es igual a cero, es decir η 6= 0, en donde
en la coordenada radial r̃ = 0, tampoco es necesariamente el valor para el cual η alcanza su valor
mı́nimo, mientras que en la Figura 3.6(b) se aprecia la relación entre las funciones η1 y η2. Ahora
para un espacio tres dimensional podemos observar en la Figura 3.6(c) como la parte real η1 y la
parte imaginaria η2 de la componente tres del vector de desviacion se relacionan con la coordenada
radial r̃.
Es importante observar que la desviacion para el espacio-tiempo Taub-NUT no converge a cero,
es decir, η (0) 6= 0 caso que solo se cumple para el caso de Schwarzschild, es decir, para el caso en
el cual ˜̀ = 0. Se puede observar de la Figura 3.6(d)que la desviacion tiene un mı́nimo igual cero
y al llegar al punto r̃ = 0 comienza a crecer conforme el radio crece o decrece, es decir, ya sea en
dirección negativa o positiva. Si bien en la Figura 3.6(d) los valores de r̃ pueden ser tanto positivos
como negativos en la realidad para este caso no existe concepción tal como un radio negativo por
lo que reduciendo al caso de Schwarzschild es donde la singularidad reside en r̃ = 0, la desviacion
se anula y la geodésica queda acotada describiendo un espacio-tiempo incompleto.
28
CAPÍTULO 3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
3.3. Propiedades topológicas del espacio-tiempo Taub-NUT
Para observar los múltiples universos en los cuales la órbita se extiende pasaremos a observar
su dependencia temporal al parámetro af́ın del tiempo de Mino. Para la cual se puede encontrar
desde 3.1 una relación para la coordenada radial r̃ en términos tiempo de Mino γ̃ de tal manera
que:
r̃ (γ̃) =− ˜̀tan
(
˜̀Eγ̃
)
(3.36)
En las Figuras 3.7(a) y 3.7(b) podemos apreciar como la desviación cambia con respecto al tiempo
(a) Gráfica de la función η contra γ̃. Paráme-
tros ˜̀= 10 y r̃0 = 100.
(b) Gráfica 3D de la relación entre variables
η1, η2 y γ̃. Parámetros ˜̀= 10 y r̃0 = 100.
Figura 3.7: Gráficas para la solución η, para el rango definido −4π < γ̃ < 4π. Parámetros: η0 = 0.1.
de Mino en donde los conjuntos de parámetros ˜̀ = 10 y r̃0 = 100 que describen estas gráficas
nos muestran cada segmento que se pueden interpretar como los diferentes universos por los cuales
nuestra part́ıcula de prueba lumı́nicas atraviesan. Gracias al tiempo de Mino podemos observar
como el espacio-tiempo Taub-NUT es extensible de igual manera que con un Diagrama de Carter-
Penrose podemos apreciar como las trayectorias pueden trazarse a lo largo de diferentes universos.
Ahora cada uno de estos universos puede ser limitado gracias al rango de las variables que
estamos usando, es decir buscaremos los limites para los cuales el radio r̃ y el tiempo de Mino
γ̃ definen donde inicia y termina cada universo. Dentro de la solución para r (γ̃) la constante de
integración que se encuentra dentro de la función trigonométrica se considero igual a cero. Al hacer
la constante C igual a cero, lo que hacemos es definir la posición en la cual empezaremos a contar
el tiempo de Mino, es decir ajustamos el inicio del contador temporal con el origen del tiempo de
Mino.
29
CAPÍTULO 3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
La expresion (3.36) es consecuencia directa de ser aplicadas las simplificaciones consideradas
hasta ahora a la ecuación diferencial de Hamilton-Jacobi correspondiente a la coordenada r̃. Por
lo tanto parece ser que no hay aparente restricción para r̃, donde −∞ < r̃ <∞ era algo que ya se
conoćıa, entonces desde (3.36) sabemos que −π/2 < `Eγ̃ < π/2, de tal manera que − (π/2`E) <
γ̃ < (π/2`E). Tendremos que los limites siguientes definen el rango de las variables a continuación
presentadas, recordemos que encontramos que para órbitas abiertas la condición que restringe a la
enerǵıa es E > 1, entonces establecemos que
− π
2`E
<γ̃ <
π
2`E
−∞ <r <∞
E > 1
(3.37)
son las restricciones para los rangos de las variables que estamos utilizando.
Figura 3.8: Gráficas para la solución η contra r̃, siguiendo los rangos definidos por (3.37) para
−π/2 < γ̃ < π/2. Parámetros: η0 = 0.1, ` = 10 y r0 = 100.
Entonces gracias a estos rangos es que podemos definir donde inicia o termina estos universos
que observamos en la Figura 3.7(a). Podemos ver en la Figura 3.8 los resultados para el vector de
desviacion η en función del tiempo de Mino γ̃ y se observa ahora la desviación correspondiente a
un solo universo definido dentro de los rangos establecidos en (3.37) para los parámetros ˜̀ = 10 y
r̃0 = 100.
Si pensamos en la desviación de una geodésica definida por una part́ıcula de prueba lumı́nica
donde en la Figura 3.8 se observa el movimiento geodésico de este objeto lumı́nico que inicia en
algún r̃0 tal que traza una órbita radial de cáıda en dirección a la singularidad, definida por r+,
el horizonte exterior, el cual es atravesado en un tiempo γ̃ para continuar su trayectoria al origen
de coordenadas en r̃ = 0, y finalmente llegar hasta el horizonte interior r− en el segundo universo,
30
CAPÍTULO 3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
debido al signo negativo de r̃, el valor de r− es negativo, y en nuestro universo no existen radios
negativo o dicho de otra manera, distancias negativas, por lo cual se deduce que al cambiar de
universo el signo de r̃ cambia, para finalmente ser despedido en dirección al infinito negativo de
valores de la distancia radial. Con respecto a la desviación estos objetos inicia su trayectoria con
una desviación infinitesimal η0, la cual decrece hasta cierto punto entre ellas pero nunca logra ser
nula, cambia su signo y comienza a crecer, tal y como lo observamos en la Figura 3.8 .
Por otro lado la Figura 3.8 nos muestra de igual manera la continuación del viaje geodésico que
tiene nuestros objetos lumı́nicos de prueba en la cual el movimiento de este inicia en r̃ = 0, para que
este continúen su trayectoria en dirección al horizonte interior r−, y finalmente salgan expulsados
al infinito negativo de valores radiales.
(a) Espacio-tiempo Taub-NUT I. (b) Espacio-tiempo Taub-NUT II.
Figura 3.9: Representación gráfica de dos órbitas geodésicas definidas por dos part́ıculas de prueba
lumı́nicas en diagramas causales del espacio-tiempo Taub-NUT obtenidas de articulo Kragamanova
2010 “Analytic treatment of complete and incomplete geodesics in Taub-NUT space-times”.
Los diagramas de Penrose-Carter son representaciones gráficas del espacio-tiempo completo
compactado, denominados también como diagramas conformes, los cuales son diagramas que con-
servan la información sobre las relaciones causales entre diversos puntos del espacio-tiempo. En
las Figuras 3.9(a) y 3.9(b) podemos observar dos tipos de diagramas de Penrose-Carter los cuales
consisten de tres regiones definidas por r̃: Región I con r+ < r̃ < ∞, Región II con r− < r̃ < r+
y finalmente la Región III con −∞ < r̃ < r−, donde el movimiento geodésico de la Región I y la
Región III es diferente (Debido a que el potencial efectivo en la Región III es repulsivo debido al
signo negativo de r̃), de tal manera que depende mucho el donde inicie el movimiento. En estos
diagramas podemos observar dos geodésicas de color azul y verde las cuales son las representaciones
de nuestras geodésicas de prueba lumı́nicas. Las cuales inician su recorrido en r̃ =∞ dentro de la
Región I , después al llegar a r̃ = r+ estos caen irremediablemente en la Región II hasta llegar a
31
CAPÍTULO 3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Figura 3.10: Diagrama de Penrose-Carter para el espacio-tiempo Taub-NUT: Versión de Continua-
ción Anaĺıtica de Kruskal obtenidas de articulo Kragamanova 2010 “Analytic treatment of complete
and incomplete geodesics in Taub-NUT space-times”.
tocar r̃ = 0, para después continuar su viaje a través de la Región III pero esta vez, atravesaran por
r̃ = r− y continúen en dirección de r̃ = −∞. En estos diagramas es dif́ıcil observar la desviacion
que sufren las geodésicas, pero son de mucha utilidad para observar la interpretación que las copias
de el espacio-tiempo Taub-NUT I y II tiene al momento de interpretar la desviacion cuando se
observa su movimiento geodésico en el espacio-tiempo.
Consideremos una copia del espacio-tiempo Taub-NUT, ya sea el caso 3.9(a) o 3.9(b), sea la
linea roja del diagrama una geodésica lumı́nica que viaja, por ejemplo, desde un r̃ = ∞, viaja
hasta encontrar r+ y consigue llegar hasta r− y es obligada a terminar su viaje en r− por segunda
ocasión, esta órbita es claramente incompleta geodesicamente debido a que no es posible que la
órbita vuelva a pasar por r− sin una segunda copia de el espacio-tiempo Taub-NUT. Esto ilustra el
problema de la incompletes del espacio-tiempo Taub-NUT que