BertJanssen-RelatividadGeneral-86

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el tiempo dt medido por cualquier otro observador inercialO′ viene dado por la fórmula (3.3) de
la dilatación del tiempo:
dτ =
√
1 − v2 dt, (5.25)
donde v es la velocidad de la partı́cula con respecto al observador O′ en el intervalo dτ . Para
el observador O′ el intervalo dτ corresponde a un intervalo entre dos puntos xµ y xµ + dxµ del
espaciotiempo
dτ2 = dt2 − dx2 − dy2 − dz2 = ηµνdxµdxν . (5.26)
Nótese que por lo tanto dτ es una cantidad invariante, dado que cualquier otro observador O′′
medirı́a el mismo intervalo. Esta propiedad es lo que hace que el tiempo propio sea particular-
mente útil para la parametrización de trayectorias. La longitud de la curva entera o de una parte
finita se obtiene integrando dτ en un intervalo (in)finito.
El vector tangente a la curva es la cuadrivelocidad uµ(τ) y es por definición la derivada de la
posición con respecto al tiempo propio
uµ(τ) =
dxµ
dτ
. (5.27)
Para partı́culas masivas, uµ es un vector temporal y de (5.26) se deriva fácilmente que entonces
la norma de uµ es (ejerc.)
ηµνu
µuν = 1. (5.28)
Para partı́culas sin masa, uµ es un vector nulo.
Por construcción uµ es un cuadrivector y transforma por lo tanto bien bajo el grupo de Lo-
rentz. Una manifiestación de esto es el hecho de que la norma es un invariante, como nos indica
(5.28). Fı́sicamente se interpreta esta propiedad como que uµ no es la velocidad newtoniana ~v de
una partı́cula por el espacio, sino una velocidad que indica el movimiento por el espaciotiempo.
De la propia definición de uµ se ve que las tres componentes espaciales sı́ corresponden con las
componentes de la velocidad newtoniana, ~v = d~x/dt, aunque con el factor γ de corrección rela-
tivista, mientras la componente temporal es la velocidad de la luz, con el correspondiente factor
relativista:
uµ =
dxµ
dt
dt
dτ
= γ
(
1
~v
)
, (5.29)
Se puede comprobar que actuando con un boost (5.21) sobre la cuadrivelocidad, u′µ = Λµνuν , se
recupera la regla relativista de la suma de velocidades (3.22) (ejerc.).
De la misma manera se define la aceleración de una partı́cula como el cuadrivector7
αµ(τ) =
duµ
dτ
. (5.30)
Por su propia definición y la propiedad (5.28) vemos que en la mecánica relativista la velocidad
uµ y la aceleración αµ siempre son ortogonales
uµα
µ = ηµνu
µ du
ν
dτ
=
1
2
d
dτ
(ηµνu
µuν) = 0. (5.31)
La aceleración por lo tanto siempre es un vector espacial.
La aceleración relativista es bastante distinta a la aceleración newtoniana: en un sistema de
referencia especı́fico toma la forma
αµ = γ
duµ
dt
= = γ
(
dγ/dt
~vdγ/dt + γ~a
)
=
(
γ4~v · ~a
γ4(~v · ~a)~v + γ2~a
)
, (5.32)
7A veces se oye que la relatividad especial no puede describir el movimiento acelerado y que para eso es preciso
recurrir a la relatividad general. Esto es claramente erróneo: la única restricción que impone la relatividad especial es que
se limita a describir la fı́sica desde el punto de vista de los observadores inerciales (i.e. observadores no-acelerados). Sin
embargo, nada impide a un observador inercial estudiar la dinámica de una partı́cula acelerada.
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