BertJanssen-RelatividadGeneral-96

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Figura 6.1: El Quinto Postulado de Euclides, en la formulación original de Euclides (izquierda) y la for-
mulación de Playfair (derecha). La aceptación o negación de Quinto Postulado lleva a geometrı́as distintas,
pero todas consistentes.
es muy diferente y ha obtenido un lugar particularmente importante en la historia de las ma-
temáticas. En formulación de Euclides afirma que
Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos delmismo ladomenores
que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que
están los [ángulos] menores que dos rectos,
aunque es más conocida la formulación del matemático escocés John Playfair (1748 - 1819) de
1795, por lo que a veces recibe el nombre del Postulado de los Paralelos,
Por un punto exterior a una recta dada sólo cabe trazar una paralela.
Su carácter distinto siempre le ha dado un estatus especial y aunque su veracidad parece
obvia a primera vista (véase Figura 6.1), se ha llegado a preguntar si es necesario incluirlo como
un postulado.2 Debido al hecho de que su formulación parece más la de un teorema que de un
postulado, generaciones de matemáticos, como el italiano Giovanni Saccheri (1667 -1733) y el
suizo Johann Lambert (1728 - 1777), han intentado derivar el Quinto Postulado de los demás,
lo que lo hubiera convertido en una proposición. Aunque ninguno de estos intentos logró su
objetivo,3 dieron lugar a resultados importantes de lo que más tarde iba a llamarse la geometrı́a
no-euclı́dea.
Alrededor de 1830 los matemáticos húngaro János Bolyai (1802 - 1860) y ruso Nikolai Loba-
chevsky (1792 - 1856) desarrollaron independientemente una geometrı́a hiperbólica, en que la se
reemplaza el Quinto Postulado por la asunción de que por un punto exterior a una recta pasen
infinitas rectas. Aunque la visualización de tal geometrı́a desafı́a la visualización humana, el lo-
gro de Bolyai y Lobachevsky fue darse cuenta de que esa asunción no lleva (necesariamente) a
inconsistencias. Cuando el padre de Bolyai, ı́ntimo amigo del matemático alemán Carl Friedrich
Gauss (1777 - 1855), le comentó a éste las ideas de su hijo, Gauss admitió que él también habı́a
obtenido resultados parecidos, pero que no se atrevı́a a publicarlos porque temı́a que pudiera
haber perjudicado su carrera.
Las preguntas que se planteaban entonces a raı́z de los descubrimientos de Bolyai y Loba-
chevsky eran primero si los nuevos sistemas eran consistentes, en el sentido que no llevaban a
2Hasta Euclides mismo parece haberse dado cuenta de lo extraño que es este postulado, ya que no lo utiliza en las
primeras 28 proposiciones que demuestra, como si quisiera aplazar su uso lo máximo posible.
3Visto a posteriori, básicamente por aferrarse más a la intuición euclı́dea que a consistencia interna. En cierto momento
Saccheri creı́a haber demostrado la necesidad del Quinto Postulado, al encontrar que no asumirlo llevaba a resultados
que eran “repugnantes a la naturaleza de la recta”.
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