Descarga la aplicación para disfrutar aún más
Vista previa del material en texto
Capı́tulo 4 Álgebra de tensores y transformaciones ortogonales La educación matemática del joven fı́sico [Albert Einstein] no era muy sólida, y yo estoy en una buena posición para evaluarla, puesto que la ha recibido de mı́ en Zürich hace tiempo. (H. Minkowski) En este capı́tulo repasaremos las propiedades básicas de álgebra lineal y transformaciones ortogonales, ya que la formulación covariante de la relatividad especial recurre a las mismas técnicas. 4.1. El convenio de sumación de Einstein A partir de este capı́tulo utilizaremos el llamado convenio de sumación de Einstein, una manera compacta de anotar fórmulas, introducida por Einstein en 1916. En cuanto un ı́ndice aparezca repetido arriba y abajo, se supone una suma sobre todos los posibles valores de este ı́ndice, su- primiendo un signo de sumatorio explı́cito. Los ı́ndices repetidos también se llaman mudos. La descomposición de un vector |a〉 en una base {|ei〉} serı́a por lo tanto |a〉 = ai|ei〉 y un producto escalar entre dos vectores 〈a|b〉 = aibi, donde la suma en ambos casos contiene N términos en un espacio vectorial N -dimensional. Del mismo modo el producto de dos matrices C = AB se anota entonces como Cij = A i kB k j . Dado que un ı́ndice repetido sólo es un ı́ndice de sumación, da igual el nombre que le demos, de modo que tenemos que aib i = akb k.1 Además, como dentro de cada término de la suma, los factores son simplemente números reales o complejos, el órden de los factores no influye, siempre y cuando respectemos el lugar de los ı́ndices: Cij = A i kB k j = B k jA i k, pero A i kB k j 6= BikAkj . Los ı́ndices que no están sumados se llaman libres. En una ecuación vectorial o tensorial, los ı́ndices libres en cada lado de la igualdad tienen que ser los mismos. El convenio de sumación de Einstein también supone N ecuaciones para cada ı́ndice libre (una para cada valor del ı́ndice). 1Siempre y cuando no se repita el nombre de ı́ndices contraı́dos: no es posible saber si la expresión errónea aibicidi se refiere a 〈a|c〉〈b|d〉 = aibjc idj o a 〈a|d〉〈b|c〉 = aibjc jdi. 67 I El Principio de la Relatividad y la Relatividad Especial Álgebra de tensores y transformaciones ortogonales El convenio de sumación de Einstein
Compartir