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Vectores y otras cosillas: de Aristóteles a la mecánica
cuántica
Ricardo Pérez 
Introducción
Los vectores son un objeto matemático de gran utilidad para la física, las ciencias de la
computación y la ingeniería, entre otras disciplinas. En física los vectores salen hasta en la
sopa. Un ejemplo cotidiano es representar geométricamente una fuerza con algún vector.
Se dice que Aristóteles sabía que las fuerzas se podían representar por medio de un
segmento de línea recta. Actualmente dichas líneas se dibujan como una flecha que indica
su dirección y sentido. Los vectores tuvieron un proceso de maduración muy lento. Fue
hasta finales del siglo XX que este objeto matemático se definió y además se desarrolló
toda una teoría matemática para entenderlos y manejarlos: el álgebra lineal. De forma
sorprendente, la nueva teoría matemática relacionada con los vectores resultó
fundamental para el desarrollo de la mecánica cuántica. Si quieres enterarte de todo el
cuento no puedes dejar de leer este texto.
Palabras clave: física, matemáticas, geometría, sistemas de ecuaciones, vectores,
matrices, mecánica, mecánica cuántica.
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Vectores: de Aristóteles a la mecánica cuántica / Cienciorama 
Diciembre 2020
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Geometría, geometría y más geometría 
La representación de fuerzas por medio de vectores se conocía desde la antigua Grecia.
Aristóteles (384 a.e.c.-322 a.e.c.) tenía conocimiento de que las fuerzas se podían
representar con segmentos de línea recta. Por esta razón se puede afirmar que la historia
de los vectores está asociada con la geometría.
Cuando escuchas la palabra geometría seguramente acuden a ti imágenes como un
círculo, una esfera, un cuadrado, un cubo, una línea recta, y tal vez un punto. Pero si nos
preguntaran qué es la geometría seguramente nos tomaría un poco más de tiempo
responder. La palabra geometría se puede descomponer por sus raíces griegas. Por un
lado, geo, se asocia con la palabra Tierra y metrón con medir. Con ayuda de la geometría
es posible relacionar la posición de los objetos con respecto a un sitio o lugar del espacio;
la medición de distancias a lo largo de una línea recta; la medición de áreas en figuras
como los rectángulos; o de volúmenes como un cubo.
Figura 1. Porción del cuadro "La escuela de Atenas" de Rafael Sanzio. Imagen extraída de:
https://www.wikiart.org/es/rafael-sanzio/la-escuela-de-atenas-1511
Se considera a Euclídes (325 a.e.c.-265 a.e.c.) el autor de la obra Los Elementos, en donde
se desarrolla la geometría a partir de un número reducido de postulados. Los postulados
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https://www.wikiart.org/es/rafael-sanzio/la-escuela-de-atenas-1511
son afirmaciones que se consideran verdaderas, por medio de las cuales es posible
deducir nuevas afirmaciones por medio de razonamientos lógicos. Este proceso de
construcción de conocimiento resultó en lo que hoy conocemos como geometría
euclideana. 
La geometría euclideana es fundamental en el conocimiento de las matemáticas y para
nuestra vida diaria. Con ella podemos abstraer conceptos matemáticos que tienen
relación con la naturaleza. Por ejemplo, los objetos que nos rodean los asociamos con
figuras geométricas que poseen longitud, área y volumen: El Sol, la Tierra, la Luna se
pueden considerar de forma aproximada como esferas, la superficie donde estemos
parados como un plano y un camino por donde andemos como una línea recta. Estas
propiedades se pueden cuantificar numéricamente por medio de operaciones aritméticas,
e incluso es posible abstraer aún más su estudio cuando se relaciona la geometría con el
álgebra.
Geometría y álgebra
Existe una relación muy cercana entre la geometría euclideana y el álgebra. Los orígenes
de esta relación se encuentran en los trabajos de Apolonio de Perga (262 a.e.c. - 190
a.e.c.) que estudió unas figuras geométricas muy peculiares: el círculo, la elipse, la
parábola y la hipérbola. Estas figuras fueron fundamentales para el desarrollo de la física,
ya que Kepler demostró que los planetas se mueven en órbitas elípticas. 
Descartes (1596-1650) y Fermat (1607-1665) fueron dos filósofos, matemáticos y
estudiosos de la física que establecieron la conexión entre el álgebra y la geometría
euclideana. Se facilita visualizar dicha conexión con una figura geométrica bastante
común, el círculo. La ecuación algebraica del circulo involucra dos valores desconocidos
x e y, cuya relación es la siguiente: x2+y2=1.
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Figura 2. Se muestra un plano cartesiano con un círculo de radio uno en el origen. Imagen del autor del
texto.
Las incógnitas de la ecuación del círculo se asocian con las coordenadas x e y en el
plano cartesiano. En dicho plano, hay dos ejes perpendiculares, es decir que forman un
ángulo de 90° entre sí. Uno de ellos corresponde a los valores que puede tomar x y el
otro a los valores que puede tomar y. A cada punto del plano cartesiano se le asocia una
pareja de valores (x, y), por lo que resolver la ecuación del círculo (x2+y2=1) significa
encontrar todos los valores que al sumar sus cuadrados resulte la unidad. 
En este punto podrá surgir una interrogante sobre la utilidad de relacionar la geometría
con el álgebra. Lo anterior no es algo evidente. Por suerte se puede mencionar un
ejemplo emblemático, la primera ley de Kepler: los planetas, del Sistema solar describen
órbitas elípticas, mientras el Sol se ubica en uno de los focos de la elipse. Esta ley se
nombró así en honor al astrónomo y matemático Johannes Kepler (1571–1630), quien
trabajó arduamente para encontrar esa ley de la naturaleza.
Kepler se valió de las observaciones astronómicas del astrónomo Tycho Brahe (1546–
1601), quién registró la posición de los planetas que se podía observar en el cielo
nocturno de su región. Así el problema matemático que resolvió Kepler consistió en
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encontrar la trayectoria de los planetas a partir de su ubicación en diferentes momentos.
La forma más sencilla de la ecuación de la elipse se parece un poco a la del círculo: x2/a
+y2/b =1. La letra a representa un número que nos indica qué tan alargada es la elipse y
la letra b representa un número que indica qué tan aplanada es. Recordemos que las
posiciones de los planetas dadas como parejas de puntos (x,y) satisfacen una ecuación
similar a la anterior.
Figura 3. Figura que representa la primera ley de Kepler: los planetas orbitan al rededor del Sol en
trayectorias elípticas. Imagen del autor del texto.
¿Y los vectores?
Hasta el momento no está clara la relación de la geometría con los vectores. El lector
impaciente deberá saber que nos estamos acercando, una muestra de ello es que los
vectores se representan en el plano cartesiano. 
El plano cartesiano es un sistema para ubicar todos los puntos de un plano por medio de
dos ejes perpendiculares, que usualmente se denominan como eje x y eje y. Cada uno de
los ejes es una recta numerada, en la que todos los puntos tienen asociado un número
real. Ambos ejes se cruzan en el origen de cada recta. Entonces a todos los puntos del
plano se les asigna una pareja de puntos (x,y).
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De forma gráfica se puede dibujar a un vector con una flecha, o bien de forma abstracta al
especificar los puntos del plano cartesiano (x, y) que forman los extremos del vector.
Además, la suma de vectores se puede realizar de forma geométrica con el llamado
método del paralelogramo. Se puede observar que al sumar dos fuerzas, el resultado
corresponde a la suma de los vectores asociados a cada una de las fuerzas.
Figura 3. Figura del método del paralelogramo y de la representación de un vector por pareja de puntos.
Representación de la magnitud ydirección de un vector. Imagen del autor del texto.
Otras características, de los vectores son la dirección, el sentido y la magnitud. Para
determinar la dirección de un vector, es necesario hacerlo con relación a algún referente.
Generalmente se usa el plano cartesiano. Para determinar las características de los
vectores se suele fijar este objeto matemático al origen, que corresponde al lugar donde
se cortan los ejes. De esa forma se puede visualizar el ángulo que forma con la horizontal,
así podemos establecer su dirección. Por otro lado, el sentido lo indicará la dirección de la
flecha que representa al vector. 
Para entender la magnitud del vector se puede recurrir al ejemplo de las fuerzas. Sabemos
identificar con nuestra experiencia cuando una fuerza es mayor con respecto a otra, en
ese caso se dice que una de las magnitudes es mayor. En la representación gráfica de un
vector, la magnitud se representa con la “longitud” del vector.
El plano cartesiano tiene muchas ventajas para representar los vectores, porque además
de poder sumarlos y restarlos de manera gráfica, es posible visualizar su multiplicación.
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Cabe señalar que los vectores se multiplican de diferente forma que los números o
escalares, como son el 3, 100, 15/6, , etc. Existen tres maneras de denominación de laπ
multiplicación vectorial: producto de un escalar o número por un vector, producto punto
entre dos vectores y producto cruz entre dos vectores.
En el primer producto, si el número que multiplica al vector es positivo, se mantiene la
dirección y el sentido del mismo. Solamente aumenta su magnitud si dicho número es
mayor que 1, o disminuye si es menor a 1. El segundo tipo de producto (producto punto)
se realiza entre dos vectores y el resultado es un escalar. Esta operación se puede
visualizar cuando se tienen dos vectores cuyo origen coincide y forman un ángulo entre
ellos. Lo que indica este producto punto es la proyección de uno de los vectores sobre el
otro. La tercera forma de multiplicar vectores es el producto cruz. En ella el resultado es
un vector que forma un ángulo de 90° con respecto a los dos vectores iniciales. La
magnitud del vector resultante es igual al área del paralelogramo que forman los vectores
iniciales.
Figura 4. Representación del producto entre un escalar y un vector, producto punto y producto cruz, entre
dos vectores. Imágenes extraídas de https://rb.gy/80lsa5 y https://rb.gy/d5zo9g
Como dato curioso, se puede mencionar que la noción matemática de los vectores
comenzó a tomar forma, a partir de los intentos por representar los números complejos de
modo geométrico. De manera sencilla, un número complejo se obtiene cuando se desea
obtener la raíz cuadrada de un número negativo, como √−1. Este tipo de números no se
pueden ubicar dentro de la recta de los números reales, por esa razón Hamilton (1805–
1865) propuso en 1835 la representación de los números complejos como parejas de
puntos (x,y). Tal como se representan los vectores en el plano cartesiano. 
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Figura 5. Representación geométrica de los números complejos. Imagen extraída de https://rb.gy/1uzmbk
Sistemas de ecuaciones: el castillo de los destinos cruzados
Ahora sabemos que existe una relación entre el álgebra y la geometría, que se aprecia de
forma clara con la geometría analítica. Es posible observar dicha relación con las
ecuaciones de figuras geométricas como el círculo, la elipse, la parábola, la hipérbola e
incluso con las líneas rectas. Es de especial interés el caso de las líneas rectas, debido a
que ayudan a representar un problema matemático milenario: la resolución de sistemas de
ecuaciones lineales. 
Los sistemas de ecuaciones lineales son un conjunto de ecuaciones algebráicas, en las
cuales todas las incógnitas tienen exponente uno. Por ejemplo en la ecuación x1 + 3 = 5
se muestra que el exponente de la incógnita es 1. En los sistemas de ecuaciones se
relacionan las incógnitas entre sí por medio de operaciones aritméticas. La idea
fundamental de los sistemas de ecuaciones es encontrar al mismo tiempo los valores de
las incógnitas que satisfacen todas las igualdades. 
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Figura 6. Representación gráfica de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas en un plano
cartesiano. Cada una de las líneas rectas corresponde a una ecuación algebraica de una recta. La solución
del sistema se puede ver de forma geométrica como la intersección de las tres rectas. Imagen extraída de
https://rb.gy/t6izj1.
En el caso de un sistema con dos ecuaciones y dos incógnitas, por ejemplo x e y, es
posible visualizar cada ecuación con una línea recta en el plano cartesiano. Recordemos
que cada eje corresponde a los valores que puede tomar tanto x como y. La solución
corresponderá al punto (x,y) en donde ambas rectas se crucen.
La resolución de sistemas de ecuaciones lineales es un problema antiguo, su resolución ya
se conocía desde hace aproximadamente 4,000 años, los babilonios sabían resolver
sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. También se sabe que en el año 200 a.e.c.
en China, poseían una técnica para resolver sistemas de tres ecuaciones con tres
incógnitas. El método de resolución que se conocía en China tenía como particularidad,
que sólo se usaban los coeficientes del sistema de ecuaciones. Los coeficientes son los
números que multiplican a las incógnitas de las ecuaciones algebráicas. Dicho método se
parece a una técnica moderna para resolver sistemas de ecuaciones que se explicará más
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adelante. Mientras tanto, avanzaremos con mayor rapidez en el repaso de los avances de
la teoría para resolver los sistemas de ecuaciones lineales.
En 1693 Leibniz (1646–1716), físico y matemático considerado como uno de los creadores
del cálculo diferencial, desarrolló una técnica para resolver sistemas de ecuaciones
lineales que sirvió de base para el estudio de esta área de las matemáticas.
Posteriormente el matemático Cramer (1704–1752) creó en 1750 un método para
encontrar la solución de un sistema con el mismo número de ecuaciones que de
incógnitas, sin importar el valor del número en cuestión. En 1811 Gauss (1777–1855),
estudioso de las matemáticas y de la física, ideó otro método en el cual no era necesario
que el número de ecuaciones coincidiera con el de incógnitas. Años más adelante, en
1843, el matemático Arthur Cayley (1821–1895) generalizó la geometría analítica para
espacios de cualquier dimensión. Sin duda esto último suena muy raro y en verdad puede
costar trabajo imaginarlo. Nosotros sólo observamos el espacio tridimensional y
necesitamos idear mañas para "dibujar" una figura con dimensiones mayores a tres.
Figura 7. Representación de espacios de dimensión uno (línea), dos (plano), tres (espacio en el que vivimos) y
de cuatro dimensiones.
Para no dejar espacio a dudas, la dimensión de un espacio está relacionada con los
vectores que pueden generarlo. Para entender lo anterior, se podría partir de la siguiente
pregunta ¿cuántos vectores son necesarios para formar una línea recta? La respuesta es:
uno. Con un vector se puede llegar a cualquier punto de la línea recta si se multiplica por
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el número indicado. En otras palabras, en una línea horizontal se puede tomar un vector
positivo de magnitud uno. Si se quiere llegar al valor de la recta que tiene asignado el
valor 1,527, sólo se tiene que multiplicar al vector de magnitud uno por el número 1,527.
De forma similar, si se desea llegar a un punto de la recta que tenga asignado un número
negativo, sólo se multiplica al vector de magnitud uno por el número negativo necesario.El caso de un espacio con dos dimensiones corresponde a un plano. El plano cartesiano
es un ejemplo muy útil, que se puede generar con dos vectores. Por simplicidad se utiliza
un vector de magnitud uno en la dirección del eje x y otro en la dirección del eje y. Así,
para llegar a cualquier punto del plano cartesiano, únicamente se necesita multiplicar los
vectores de magnitud uno en x e y por los números indicados, para que al sumarlos se
pueda llegar al punto deseado del plano. Por último, un espacio de tres dimensiones se
generará con los vectores de magnitud uno en la dirección x e y, y además será necesario
un tercer vector de magnitud uno en dirección perpendicular a los dos anteriores.
Vectores y una de tantas aplicaciones
Con toda esta información el lector seguramente se preguntará ¿y a mí para qué me sirven
los vectores? Además de representar fuerzas, los vectores sirven para indicar la posición o
el desplazamiento de algo. Un ejemplo particular de esto sucede cuando una persona
está frente a un objeto, por ejemplo un árbol de manzanas. La persona en cuestión ve una
manzana en una de las ramas del manzano. Por alguna razón, esta persona da una vuelta
de 180° sin moverse del punto donde está. Entonces la manzana se mantiene en su lugar
original, pero la persona sabe que la manzana se encuentra justo a sus espaldas.
La situación anterior es cotidiana para la mayoría de las personas, y posiblemente no
sintamos la necesidad de reflexionar acerca de ella. Sin embargo los matemáticos si que
la piensan muy bien. En el ejercicio de imaginación lo que efectuamos fue una
transformación de coordenadas. Es decir, hicimos matemáticas sin darnos cuenta. La
transformación de coordenadas que efectuamos fue una rotación. Al rotar lo que
teníamos de frente ahora se encuentra a nuestras espaldas y viceversa.
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Figura 8. Representación de la situación del árbol y la manzana.
Lo anterior se puede poner más interesante si al estar frente a la manzana se asigna un
vector para indicar su posición. Imaginaremos el vector desde de los ojos de la persona
que esta frente al árbol hasta la manzana. Cuando la persona gira, el vector no habrá
cambiado, lo que será diferente es el sistema de referencia desde el cual se observa todo.
Entonces la siguiente pregunta es pertinente ¿cómo represento al vector de posición de la
manzana después de rotar? O bien ¿como expreso de forma matemática la rotación de
coordenadas?
La transformación de coordenadas se puede realizar de forma algebraica, pero no se
darán detalles sobre ello en este texto. Sólo se mencionará que las rotaciones se
catalogan como transformaciones de tipo lineal. Para que una transformación sea lineal se
deben cumplir dos requisitos. El primero: realizar una transformación sobre la suma de dos
vectores será equivalente a aplicar primero la transformación a cada vector por separado
para después realizar la suma. El segundo: aplicar la transformación de un vector que está
multiplicado por un número es equivalente a aplicar primero la transformación del vector
original y después multiplicar por ese número. Una forma práctica de expresar las
transformaciones de coordenadas lineales es por medio de un objeto matemático que se
conoce como matrices, que fue propuesto formalmente por Arthur Cayley en 1850.
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Figura 9. Representación de una matriz. Las matrices consisten en un arreglo cuadrado o rectangular de
elementos. La ubicación de los elementos de la matriz se logra por medio de los números indicados en rojo y
verde. El primer caso corresponde a las filas y el segundo a las columnas.
Antes de continuar, se debe mencionar que con el ejemplo del árbol se desea mostrar la
relación de lo cotidiano con las matemáticas y las relaciones entre diferentes objetos
matemáticos como los vectores y la matrices. Por un lado se puede utilizar un vector para
indicar la posición de un objeto, y por el otro una matriz para representar la rotación que
efectuamos al dar una vuelta de 180°. Este principio que se explicó con el ejemplo del
árbol y la manzana se utiliza para cuestiones más complejas como controlar un robot o
bailar unos cumbiones en el tibiri.
Un robot no es más que un programa computacional que controla acciones de un
dispositivo mecánico como un brazo robótico. Los brazos robóticos se asemejan en parte
a nuestros brazos, tienen uniones móviles con las que pueden hacer rotaciones, al igual
que lo hacemos con nuestro hombro, codo, muñeca y falanges de los dedos. Entonces los
ingenieros que programan esos dispositivos deben conocer de arriba a abajo el manejo de
vectores y de matrices. Además como base fundamental deben tener soltura con toda la
geometría que aprendemos desde pequeños.
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Figura 9. Imagen del brazo robótico. Imagen tomada de la referencia 3.
Por fin llegamos a la mecánica cuántica
Poco a poco se mostró la relación de la geometría con el álgebra, la resolución de
ecuaciones, los vectores e incluso las matrices que ayudan a describir transformaciones
lineales, como las rotaciones. También se mencionó que existen espacios de distintas
dimensiones: una línea recta es un espacio de una dimensión, un plano es un espacio
bidimensional y el espacio en el que nos desenvolvemos se puede decir que es de tres
dimensiones. A ellos también se les puede llamar espacios vectoriales, porque se generan
a partir de un número de vectores igual a la dimensión de algún espacio particular. Así la
línea se genera con un sólo vector, el plano con dos y el espacio de tres dimensiones con
tres vectores.
La idea anterior se puede trasladar a la física de una manera sorprendente. Por ejemplo, si
se desea estudiar cómo oscilan dos bloques unidos por un resorte, se deben resolver las
ecuaciones que expresan las leyes de la física que conocemos. En el caso de los bloques
con el resorte serían las leyes de la mecánica. Al resolver las ecuaciones se encuentra que
existen unas oscilaciones características del sistema que dependerán de la masa de los
bloques y de las propiedades del resorte. Hay que remarcar que con ayuda de las leyes
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físicas y de las matemáticas, es posible identificar los estados característicos del sistema.
Otro aspecto sorprendente radica en que por medio de las oscilaciones características se
puede formar cualquier oscilación posible de los bloques, si se suman de forma correcta. 
La idea anterior es de gran importancia en la física y toma el nombre de principio de
superposición. Lo anterior se asemeja a los espacios vectoriales en los que se puede
construir cualquier vector mediante la suma de los vectores que generan dicho espacio.
En el ejemplo de los bloques unidos por un resorte, se puede formar cualquier estado
físico del sistema al sumar de un modo muy particular las oscilaciones características.
Un ejemplo más del principio de superposición se presenta en la descomposición de la luz
que proviene del Sol. Si los rayos solares atraviesan algún medio transparente como el
agua, se podrá observar que este tipo de luz se compone de los colores que observamos
en el arcoíris. De igual modo es posible realizar el proceso inverso, a partir de luz de los
diferentes colores, es posible sumarlos para formar luz blanca.
Figura 10. Descomposición de los colores que forman la luz blanca con ayuda de un prisma. Cuando la luz
blanca incide sobre el prisma, se observa la descomposición de colores que la conforma. 
La superposición también se presenta en los fenómenos cuánticos, en donde se conoce
como superposición de estados. En la mecánica cuántica hay propiedades de las
entidades físicas como el caso de la energía que posee una partícula. En la mecánica
cuánticase dice que la energía está cuantizada. Lo anterior se debe a que en algún
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sistema particular, como el átomo de hidrógeno, la energía de los electrones sólo puede
ser igual a un múltiplo natural (1, 2, 3, 4, ...) de cierta cantidad de energía. 
Dichas cantidades sirven para construir los vectores de estado del sistema. La idea que
está detrás de lo anterior es que una partícula como un electrón mantiene todas las
posibilidades de esa propiedad hasta que se efectúa una medición. En ese momento se
obtiene uno de los valores probables de todo un abanico posible. 
El ejemplo más usual es el experimento mental que se conoce como el gato de
Schrödinger. Dicho experimento consiste en que se tiene un gato dentro de una caja
donde hay algún tipo de veneno. Mientras la caja se mantenga cerrada, no se puede decir
si el gato está vivo o muerto, entonces se dice que el gato es la superposición de los dos
vectores de estado que lo conforman: vivo y muerto. El proceso de medición ocurriría
cuando se abra la caja y se observe que el gatito todavía ronronea o no.
Existe otra interpretación de la mecánica cuántica que se le atribuye a un físico de nombre
Heisenberg (1901–1976), quién aseguraba que los conceptos físicos sin relación con
hechos observables en la naturaleza carecían de sentido. Por esa razón postuló que la
mecánica cuántica se debía construir a partir de las cantidades que se pueden medir,
como la radiación que emite un átomo. Con esta idea en mente Heisenberg construyó
unas matrices donde ponía en cada columna de la matriz los posibles cambios de estado,
por ejemplo cuando un electrón pasa de un nivel de energía a otro en un átomo. Esta
interpretación de la mecánica cuántica se conoce como la formulación matricial de la
mecánica cuántica. Lo mejor de todo es que ambas interpretaciones son complementarias
y con ambas es posible apreciar sutilezas de los fenómenos cuánticos. 
Sin duda este texto es un gran paseo en el que se logra ver la cercana relación que existe
entre las matemáticas, la física y otras disciplinas como la ingeniería partiendo de los
vectores como pretexto. Con este repaso general es posible apreciar como maduran las
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ideas gracias al trabajo incansable de muchas personas que desean vislumbrar lo que no
es evidente en la naturaleza, o que encuentran aplicaciones prácticas del conocimiento
abstracto que nos brindan las matemáticas. 
Referencias:
1. Kleiner, I. (2007). A history of abstract algebra. Springer Science & Business Media.
2. Knott, A. P. (1978). The history of vectors and matrices. Mathematics in School, 7(5), 32-34.
3. Quintana, J. J., García, M. D., & Ferrer, M. A. (2017). Programación de un brazo robótico para la
generación de manuscritos. In IV Jornadas Iberoamericanas de Innovación Educativa en el Ámbito de las TIC:
InnoEducaTIC 2017 (pp. 87-93). Universidad de Las Palmas de Gran Canaria.
4. Ludyk, G. (2018). Quantum mechanics in matrix form. Springer.
5. Organista, O., Gómez, V., Jaimes, D., & Rodríguez, J. (2007). Una idea profunda en la comprensión del
mundo físico: el principio de superposición de estados. Latin American Journal of Physics Education, 1, 83-
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