BertJanssen-RelatividadGeneral-30

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El caso más sencillo es cuando los campos ~E y ~B sólo dependen de una coordenada, digamos
x, y del tiempo. Entonces las ecuaciones (1.71)-(1.72) se reducen a
∂xEx = ∂xBx = ∂tEx = ∂tBx = 0, (1.73)
∂xEz =
1
c
∂tBy, ∂xBy =
1
c
∂tEz, (1.74)
∂xEy = −
1
c
∂tBz, ∂xBz = −
1
c
∂tEy . (1.75)
La solución de (1.73) es Ex = C1 y Bx = C2, con C1 y C2 constantes que tomaremos cero, puesto
que no estamos interesados de momento en campos constantes. Las dos ecuaciones de (1.74)
forman, igual que las dos de (1.75), un conjunto de ecuaciones que se desacopla de las otras.
Sustituyendo la segunda ecuación en en la primera y vice versa, vemos que podemos escribir
(1.74) como
1
c2 ∂
2
t Ez − ∂2xEz = 0, 1c2 ∂2t By − ∂2xBy = 0, (1.76)
y (1.75) como
1
c2 ∂
2
t Ey − ∂2xEy = 0, 1c2 ∂
2
t Bz − ∂2xBz = 0, (1.77)
Vemos por lo tanto que cada componente satisface una ecuación de ondas unidimensional, que
tiene como solución más general
Ey = f1(x + ct) + g1(x − ct), Ez = f2(x + ct) + g2(x − ct), (1.78)
Bz = c
−1f1(x + ct) − c−1g1(x − ct), By = −c−1f2(x + ct) + c−1g2(x − ct),
donde f1, f2, g1 y g2 son funciones arbitrarias de su argumento. Las funciones f(x + ct) repre-
sentan una onda que se propaga con velocidad c, la velocidad de la luz, en la dirección del eje
x negativo, mientras las funciones g(x − ct) una onda en la dirección del eje x positivo. Dado
que el campo no depende de las direcciónes y ó z, el campo electromagnético toma los mismos
valores en los planos x = constante. Las soluciones que tienen este propiedad se llaman ondas
planas. Nótese que la amplitud de la onda es perpendicular a la dirección de propagación. Las
ondas electromagnéticas son por lo tanto ondas transversales.
Una clase importante de ondas planas son las llamadas ondas monocromáticas, donde las fun-
ciones f y g son senos y cosenos. La solución (1.78) es entonces de la forma
Ei = Ai cos(kx ± ωt + ϕi), Bi = c−1Ai cos(kx ± ωt + ϕi), (1.79)
donde Ai es la amplitud, k el número de onda, ω la frecuencia angular y ϕi la fase. Para que
las ondas monocromáticas sean de la forma (1.78), el número de onda y la frecuencia tienen que
satisfacer la relación de dispersión en el vacı́o
ω = ck. (1.80)
Desde el punto de vista fı́sico, las ondas monocromáticas no corresponden a una realidad fı́sica,
puesto que se extienden por el espacio entero y tendrı́an una energı́a infinita. Sin embargo desde
el punto de vista matemático es un concepto muy útil, ya que son fáciles de manejar. Además
sabemos por el análisis de Fourier que cualquier solución (1.78) se puede escribir como una su-
perposición de ondas monocromáticas de distintas frecuencias.
La longitud de onda λ viene dada por el número de onda y la frecuencia ν está relacionada
con la frecuencia angular ω mediante
λ =
2π
k
, ν =
ω
2π
. (1.81)
Nótese que la conocida fórmula para la velocidad de propagación de ondas nos da efectivamente
la velocidad de la luz:
v = λ ν =
ω
k
= c. (1.82)
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