Ondas Electromagnéticas_25-set

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1	
  
Cap.	
  13:	
  ONDAS	
  ELECTROMAGNÉTICAS 
Las	
  ecuaciones	
  de	
  Maxwell	
  sugieren	
  que	
  los	
  fenómenos	
  eléctricos	
  y	
  magnéticos	
  
son	
  estrechamente	
  ligados	
  =	
  teoría	
  electromagnetismo	
  	
  	
  
• Un	
  campo	
  magnético	
  variable	
  en	
  el	
  tiempo	
  actúa	
  como	
  fuente	
  de	
  campo	
  
eléctrico,	
  y	
  un	
  campo	
  eléctrico	
  que	
  varía	
  con	
  el	
  tiempo	
  genera	
  un	
  campo	
  
magnético	
  
	
  
Estos	
  campos	
   

E 	
  y	
   

B se	
  sostienen	
  uno	
  al	
  otro	
  y	
  forman	
  algo	
  similar	
  a	
  una	
  “onda	
  
electromagnética”	
  
• Esto	
  corresponde	
  en	
  realidad	
  en	
  la	
  propagación	
  (o	
  transferencia	
  entre	
  
partículas)	
  de	
  energía	
  y	
  cantidad	
  de	
  movimiento	
  
	
  
La	
  luz	
  visible	
  emitida	
  por	
  el	
  filamento	
  incandescente	
  de	
  una	
  bombilla	
  eléctrica	
  es	
  
un	
  ejemplo	
  de	
  onda	
  electromagnética	
  
	
  
Pero	
  también	
  energía	
  emitidas	
  por	
  fuentes	
  tales	
  como	
  las	
  estaciones	
  de	
  radio	
  y	
  
televisión,	
  los	
  osciladores	
  de	
  microondas	
  para	
  hornos	
  y	
  radares,	
  las	
  máquinas	
  de	
  
rayos	
  X	
  y	
  los	
  núcleos	
  radiactivos	
  
	
  
En	
  el	
  modelo	
  de	
  ondas	
  electromagnéticas	
  los	
  campos	
   

E 	
  y	
   

B son	
  funciones	
  
sinusoidales	
  del	
  tiempo	
  y	
  de	
  la	
  posición,	
  con	
  frecuencia	
  y	
  longitud	
  de	
  onda	
  
definidas	
  	
  
	
  
Los	
  distintos	
  tipos	
  de	
  ondas	
  electromagnéticas—luz	
  visible,	
  ondas	
  de	
  radio,	
  rayos	
  
X	
  y	
  otras—difieren	
  sólo	
  en	
  su	
  frecuencia	
  y	
  longitud	
  de	
  onda	
  =	
  el	
  espectro	
  
electromagnético	
  	
  
	
  
El	
  modelo	
  de	
  onda	
  se	
  construyo	
  en	
  analogía	
  a	
  ondas	
  mecánicas,	
  ej.	
  ondas	
  en	
  una	
  
cuerda	
  o	
  del	
  sonido	
  en	
  un	
  fluido	
  –	
  que	
  también	
  corresponde	
  a	
  mecanismos	
  de	
  
transporte	
  de	
  energía	
  y	
  cantidad	
  de	
  movimiento	
  
• Pero	
  a	
  la	
  diferencia	
  de	
  las	
  ondas	
  mecánicas,	
  las	
  ondas	
  electromagnéticas	
  
no	
  requieren	
  un	
  medio	
  material	
  para	
  propagar	
  se	
  
 
	
  
	
   	
  
	
   2	
  
Ecuaciones	
  de	
  Maxwell	
  	
  y	
  ondas	
  electromagnéticas	
  
	
  
A	
  la	
  base	
  de	
  las	
  ecuaciones	
  de	
  Maxwell	
  tienen	
  las	
  siguientes	
  observaciones:	
  
• Existe	
  dos	
  tipos	
  de	
  campos:	
  eléctrico	
   

E 	
  y	
  magnético	
   

B 	
  
o 

E esta	
  producido	
  por	
  cargas	
  en	
  reposo	
  	
  
o 

B 	
  esta	
  producido	
  por	
  corriente	
  estable	
  
	
  
Esto	
  podría	
  sugerir	
  que	
  se	
  puede	
  analizar	
  los	
  campos	
  eléctricos	
  y	
  magnéticos	
  
de	
  forma	
  independiente,	
  sin	
  considerar	
  las	
  interacciones	
  entre	
  ellos	
  
	
  
Pero	
  cuando	
  los	
  campos	
  varían	
  con	
  el	
  tiempo,	
  dejan	
  de	
  ser	
  independientes	
  
• Ley	
  de	
  Faraday:	
  un	
  campo	
  magnético	
  variable	
  en	
  el	
  tiempo	
  actúa	
  como	
  
fuente	
  de	
  campo	
  eléctrico	
  
• Ley	
  de	
  Ampère	
  generalizada	
  (incluyendo	
  la	
  corriente	
  de	
  
desplazamiento):	
  un	
  campo	
  eléctrico	
  que	
  cambia	
  con	
  el	
  tiempo	
  actúa	
  
como	
  una	
  fuente	
  de	
  campo	
  magnético	
  	
  
	
  
Esta	
  interacción	
  mutua	
  entre	
  los	
  dos	
  campos	
  se	
  resumen	
  en	
  las	
  4	
  ecuaciones	
  de	
  
Maxwell:	
  
• Cuando	
  un	
  campo	
  de	
  un	
  tipo	
  cambia	
  con	
  el	
  tiempo,	
  induce	
  un	
  campo	
  del	
  
otro	
  tipo	
  en	
  las	
  regiones	
  adyacentes	
  del	
  espacio	
  que	
  se	
  opone	
  al	
  cambio	
  	
  
• Este	
  fenómeno	
  es	
  consistente	
  con	
  la	
  ley	
  de	
  Lenz	
  y	
  es	
  una	
  consecuencia	
  
directa	
  de	
  la	
  ley	
  de	
  la	
  conservación	
  de	
  energía	
  	
  
	
  
Esto	
  nos	
  lleva	
  a	
  considerar	
  la	
  posibilidad	
  de	
  la	
  existencia	
  de	
  una	
  “perturbación	
  
electromagnética”,	
  consistente	
  con	
  campos	
  eléctricos	
  y	
  magnéticos	
  que	
  se	
  
modifican	
  con	
  el	
  tiempo	
  –	
  esta	
  onda	
  es	
  el	
  principal	
  mecanismo	
  de	
  propagación	
  
de	
  energía	
  entre	
  partículas	
  	
  
	
  
	
   	
  
	
   3	
  
Por	
  analogía	
  mecánica	
  ya	
  se	
  conocía	
  en	
  el	
  tiempo	
  de	
  Maxwell	
  de	
  un	
  fenómeno	
  de	
  
perturbación	
  transportador	
  de	
  energía	
  (y	
  cantidad	
  de	
  movimiento)	
  =	
  ondas	
  
mecánicas	
  	
  
• Por	
  lo	
  que	
  se	
  desarrollo	
  un	
  modelo	
  similar	
  =	
  ondas	
  electromagnéticas	
  	
  
	
  
Tienen	
  dos	
  problemas	
  con	
  el	
  modelo	
  de	
  ondas	
  electromagnéticas	
  clásica:	
  
	
  
1) ¿Perturbación	
  de	
  que?	
  El	
  modelo	
  mecánico	
  sugiere	
  que	
  es	
  la	
  perturbación	
  
de	
  un	
  medio	
  =	
  ether;	
  pero	
  se	
  demostró	
  al	
  final	
  de	
  los	
  1800’s	
  que	
  no	
  existe	
  
el	
  ether;	
  por	
  lo	
  que	
  las	
  ondas	
  electromagnética	
  se	
  propagan	
  en	
  el	
  
“vacio”	
  
	
  
2) También	
  se	
  demostró	
  que	
  consistente	
  con	
  la	
  estructura	
  de	
  la	
  materia,	
  	
  la	
  
energía	
  del	
  los	
  campo	
  electromagnético	
  es	
  cuantificada	
  –	
  pero	
  la	
  
energía	
  de	
  una	
  onda	
  es	
  continúa	
  	
  ⇒	
  la	
  onda	
  electromagnética	
  es	
  una	
  
ficción;	
  la	
  energía	
  se	
  propaga	
  en	
  forma	
  de	
  partícula	
  =	
  fotón	
  o	
  quantum	
  de	
  
energía	
  	
  
	
  
La	
  descripción	
  en	
  términos	
  de	
  ondas	
  es	
  solo	
  aproximativa,	
  no	
  debe	
  se	
  tomar	
  
como	
  una	
  descripción	
  completa	
  del	
  fenómeno	
  	
  	
  
	
  
• El	
  significado	
  físico	
  en	
  términos	
  de	
  ondas	
  es	
  posiblemente	
  más	
  profunda	
  
(un	
  asunto	
  no	
  resuelta)	
  relacionada	
  con	
  una	
  visión	
  probabilística	
  de	
  la	
  
materia	
  (	
  ej.	
  la	
  interpretación	
  de	
  Max	
  Born	
  de	
  la	
  función	
  de	
  ondas	
  en	
  
mecánica	
  quántica)	
  	
  
	
  
	
   	
  
	
   4	
  
Generación	
  de	
  la	
  radiación	
  electromagnética	
  	
  
	
  
Maxwell	
  demostró	
  en	
  1865	
  que	
  una	
  perturbación	
  electromagnética	
  debe	
  
propagarse	
  en	
  el	
  espacio	
  libre	
  con	
  una	
  rapidez	
  igual	
  a	
  la	
  de	
  la	
  luz,	
  por	
  lo	
  que	
  era	
  
probable	
  que	
  la	
  naturaleza	
  de	
  la	
  luz	
  fuera	
  una	
  onda	
  electromagnética	
  	
  
	
  
Al	
  mismo	
  tiempo	
  descubrió	
  que	
  los	
  principios	
  básicos	
  del	
  electromagnetismo	
  
podían	
  expresarse	
  en	
  términos	
  de	
  las	
  cuatro	
  ecuaciones	
  =	
  ecuaciones	
  de	
  Maxwell:	
  
	
  
1)	
  La	
  ley	
  de	
  Gauss	
  de	
  los	
  campos	
  eléctricos:	
  
 

E ⋅d

A∫ =
Qenc
ε0 	
  
2)	
  La	
  ley	
  de	
  Gauss	
  de	
  los	
  campos	
  magnéticos,	
  que	
  demuestra	
  la	
  
inexistencia	
  de	
  monopolos	
  magnéticos:	
  
 

B ⋅d

A∫ = 0 	
  
	
  
3)	
  La	
  ley	
  de	
  Ampère,	
  que	
  incluye	
  la	
  corriente	
  de	
  desplazamiento:	
  
 

B ⋅d

l∫ = µ0 iC + ε0
dΦE
dt
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ enc
	
  
4)	
  La	
  ley	
  de	
  Faraday:
	
  	
  
 

E ⋅d

l∫ = −
dΦB
dt
	
  
	
  
Estas	
  ecuaciones	
  se	
  aplican	
  a	
  los	
  campos	
  eléctricos	
  y	
  magnéticos	
  en	
  el	
  vacío	
  
(definido	
  como	
  la	
  ausencia	
  de	
  materia	
  =	
  no	
  hay	
  dieléctrico)	
  
• Cuando	
  hay	
  materia,	
  la	
  permitividad	
  ε0	
  y	
  la	
  permeabilidad	
  µ0	
  del	
  vacío	
  se	
  
sustituyen	
  por	
  la	
  permitividad	
  ε	
  y	
  la	
  permeabilidad	
  µ	
  del	
  material	
  
	
  
De	
  acuerdo	
  con	
  las	
  ecuaciones	
  de	
  Maxwell,	
  una	
  carga	
  puntual	
  en	
  reposo	
  produceun	
  campo 

E estático	
  pero	
  no	
  un	
  campo	
   

B 	
  
	
  
Una	
  carga	
  puntual	
  en	
  movimiento	
  con	
  velocidad	
  constante	
  (corriente)	
  produce	
  los	
  
dos	
  campos	
   

E y 

B 	
  
	
  
Las	
  ecuaciones	
  de	
  Maxwell	
  también	
  implican	
  que	
  para	
  que	
  una	
  carga	
  puntual	
  
produzca	
  ondas	
  electromagnéticas,	
  la	
  carga	
  debe	
  acelerar	
  
• De	
  hecho,	
  un	
  resultado	
  general	
  de	
  las	
  ecuaciones	
  de	
  Maxwell	
  es	
  que	
  toda	
  
carga	
  acelerada	
  irradia	
  energía	
  electromagnética	
  	
  
	
   	
  
	
   5	
  
La	
  figura	
  abajo	
  muestra	
  algunas	
  líneas	
  de	
  campo	
  eléctrico	
  producidas	
  por	
  una	
  
carga	
  puntual	
  oscilante	
  (movimiento	
  harmónico	
  simple)	
  vistas	
  en	
  cinco	
  instantes	
  
durante	
  un	
  periodo	
  de	
  oscilación	
  T	
  
• La	
  trayectoria	
  de	
  la	
  carga	
  está	
  en	
  el	
  plano	
  de	
  los	
  dibujos	
  
• En	
  t	
  =	
  0,	
  la	
  carga	
  puntual	
  se	
  encuentra	
  en	
  su	
  máximo	
  desplazamiento	
  
ascendente	
  
o La	
  flecha	
  muestra	
  cómo	
  se	
  propaga	
  una	
  “vuelta”	
  de	
  las	
  líneas	
  de	
   	
  a	
  
medida	
  que	
  se	
  propaga	
  hacia	
  fuera	
  de	
  la	
  carga	
  puntual	
  
• El	
  campo	
  magnético	
  (no	
  se	
  ilustra)	
  comprende	
  círculos	
  que	
  se	
  hallan	
  en	
  
planos	
  perpendiculares	
  a	
  las	
  figuras	
  y	
  son	
  concéntricos	
  con	
  respecto	
  al	
  eje	
  
de	
  oscilación	
  
	
  
• La	
  oscilación	
  de	
  la	
  carga	
  hacia	
  arriba	
  y	
  abajo	
  produce	
  una	
  perturbación	
  del	
  
campo	
  eléctrico	
  que	
  hace	
  que	
  las	
  ondas	
  se	
  propaguen	
  hacia	
  fuera	
  de	
  la	
  
carga	
  	
  
	
  
• La	
  carga	
  no	
  emite	
  ondas	
  en	
  todas	
  direcciones	
  por	
  igual	
  
• Son	
  más	
  intensas	
  a	
  90°	
  con	
  respecto	
  al	
  eje	
  de	
  movimiento	
  de	
  la	
  carga	
  
(donde	
  el	
  campo	
  eléctrico	
  es	
  más	
  perturbado),	
  en	
  tanto	
  que	
  no	
  hay	
  
ondas	
  a	
  lo	
  largo	
  de	
  este	
  eje	
  
 
En	
  1887,	
  el	
  físico	
  alemán	
  Heinrich	
  Hertz	
  (1857-­‐1894)	
  generó	
  por	
  primera	
  vez	
  
ondas	
  electromagnéticas	
  con	
  longitudes	
  de	
  onda	
  macroscópicas	
  en	
  el	
  laboratorio	
  	
  
• Usando	
  como	
  fuente	
  de	
  ondas	
  cargas	
  oscilantes	
  en	
  circuitos	
  L-­‐C	
  	
  
• Detectó	
  las	
  ondas	
  electromagnéticas	
  resultantes	
  mediante	
  otros	
  
circuitos	
  sintonizados	
  a	
  la	
  misma	
  frecuencia	
  
• También	
  produjo	
  ondas	
  electromagnéticas	
  estacionarias	
  y	
  midió	
  la	
  
distancia	
  entre	
  nodos	
  adyacentes	
  (media	
  longitud	
  de	
  onda)	
  para	
  
determinar	
  la	
  longitud	
  de	
  onda	
  
	
   	
  
 

E
1094 C APÍTU LO 32 Ondas electromagnéticas
32.2 a) Todo teléfono móvil, módem
inalámbrico o aparato transmisor de radio
emite señales en forma de ondas
electromagnéticas causadas por cargas en
aceleración. b) Las líneas de transmisión
de energía eléctrica conducen una corriente
alterna intensa, lo que significa que hay
una cantidad sustancial de carga que
acelera hacia delante y atrás y genera
ondas electromagnéticas. Estas ondas son
las que producen el zumbido en el radio
del automóvil cuando conducimos cerca de
las líneas de transmisión.
Estas ecuaciones se aplican a los campos eléctricos y magnéticos en el vacío. Si
está presente un material, la permitividad P0 y la permeabilidad m0 del espacio libre se
sustituyen por la permitividad P y la permeabilidad m del material. Si los valores de P
y m son diferentes en puntos distintos en las regiones de integración, entonces P y m
deben transferirse al lado izquierdo de las ecuaciones (29.18) y (29.20), respectiva-
mente, y colocarse dentro de las integrales. El término P en la ecuación (29.20) también
tiene que incluirse en la integral cuyo resultado es dFE>dt.
De acuerdo con las ecuaciones de Maxwell, una carga puntual en reposo produce
un campo estático pero no un campo ; una carga puntual en movimiento con velo-
cidad constante (véase la sección 28.1) produce los dos campos y . Las ecuaciones
de Maxwell también se usan para demostrar que para que una carga puntual produzca
ondas electromagnéticas, la carga debe acelerar. De hecho, un resultado general de
las ecuaciones de Maxwell es que toda carga acelerada irradia energía electromagné-
tica (figura 32.2).
Generación de la radiación electromagnética
Una manera de conseguir que una carga puntual emita ondas electromagnéticas es ha-
ciéndola oscilar en movimiento armónico simple, de manera que tenga una acelera-
ción casi en todo instante (excepto cuando la carga pasa por la posición de equilibrio).
La figura 32.3 muestra algunas líneas de campo eléctrico producidas por una carga
puntual oscilante. Las líneas de campo no son objetos materiales; sin embargo, es útil
pensar que se comportan como cuerdas que se extienden de la carga puntual al infinito.
La oscilación de la carga hacia arriba y abajo hace que las ondas se propaguen hacia
fuera de la carga a lo largo de estas “cuerdas”. Observe que la carga no emite ondas
en todas direcciones por igual; las ondas son más intensas a 90° con respecto al eje de
movimiento de la carga, en tanto que no hay ondas a lo largo de este eje. Ésta es la
conclusión a la que se llega con la analogía de la “cuerda”. Además, hay una pertur-
bación magnética que se extiende hacia fuera de la carga, lo que no se ilustra en la fi-
gura 32.3. Puesto que las perturbaciones eléctricas y magnéticas se dispersan o irradian
desde la fuente, se utiliza de manera indistinta el nombre de radiación electromag-
nética o el de “ondas electromagnéticas”.
El físico alemán Heinrich Hertz generó por primera vez ondas electromagnéticas
con longitudes de onda macroscópicas en el laboratorio en 1887. Como fuente de on-
das, Hertz utilizó cargas oscilantes en circuitos L-C de la clase que estudiamos en la
sección 30.5 y detectó las ondas electromagnéticas resultantes mediante otros circuitos
sintonizados a la misma frecuencia. Hertz también produjo ondas electromagnéticas
estacionarias y midió la distancia entre nodos adyacentes (media longitud de onda)
para determinar la longitud de onda. Una vez que determinó la frecuencia de resonan-
cia de sus circuitos, encontró la rapidez de las ondas a partir de la relación entre su
longitud de onda y su frecuencia, v 5 lf, y estableció que era igual a la rapidez de la
luz; esto comprobó directamente la predicción teórica de Maxwell. La unidad del SI
para la frecuencia recibió su nombre en honor de Hertz: un hertz (1 Hz) es igual a un
ciclo por segundo.
B
S
E
S
B
S
E
S
q
E
S
a) t 5 0
q
E
S
b) t 5 T/4
q
E
S
c) t 5 T/2
q
E
S
e) t 5 T
q
E
S
d) t 5 3T/4
32.3 Líneas de campo eléctrico de una carga puntual que oscila con movimiento armónico simple, vistas en cinco instantes durante un
periodo de oscilación T. La trayectoria de la carga está en el plano de los dibujos. En t 5 0, la carga puntual se encuentra en su máximo
desplazamiento ascendente. La flecha muestra cómo se propaga una “vuelta” de las líneas de a medida que se propaga hacia fuera de
la carga puntual. El campo magnético (no se ilustra) comprende círculos que se hallan en planos perpendiculares a las figuras y son
concéntricos con respecto al eje de oscilación.
E
S
	
   6	
  
Una	
  vez	
  que	
  determinó	
  la	
  frecuencia	
  de	
  resonancia	
  de	
  sus	
  circuitos,	
  encontró	
  la	
  
rapidez	
  de	
  las	
  ondas	
  a	
  partir	
  de	
  la	
  relación	
  entre	
  su	
  longitud	
  de	
  onda	
  y	
  su	
  
frecuencia,	
   v = λ f 	
  	
  
• Estableció	
  que	
   v = c 	
  ⇒	
  comprobó	
  directamente	
  la	
  predicción	
  teórica	
  de	
  
Maxwell	
  
	
  
La	
  unidad	
  del	
  SI	
  para	
  la	
  frecuencia	
  recibió	
  su	
  nombre	
  en	
  honor	
  de	
  Hertz:	
  unhertz	
  
(1	
  Hz)	
  es	
  igual	
  a	
  un	
  ciclo	
  por	
  segundo	
  
	
  
El	
  valor	
  actual	
  por	
  la	
  rapidez	
  de	
  la	
  luz:	
  c	
  =	
  299,792,458	
  m/s	
  
	
  
También	
  c	
  es	
  la	
  base	
  de	
  la	
  unidad	
  estándar	
  de	
  longitud:	
  un	
  metro	
  se	
  define	
  como	
  
la	
  distancia	
  que	
  recorre	
  la	
  luz	
  en	
  1/299,792,458	
  de	
  segundo	
  (consistente	
  con	
  
definición	
  operacional	
  del	
  “espacio”	
  –	
  o	
  mejor,	
  del	
  vacío)	
  	
  
	
  
Es	
  posible	
  usar	
  ondas	
  electromagnéticas	
  para	
  la	
  comunicación	
  a	
  larga	
  distancia;	
  
gracias	
  a	
  investigadores	
  	
  como	
  Guglielmo	
  Marconi	
  (1874	
  –	
  1937)	
  la	
  comunicación	
  
por	
  radio	
  se	
  convirtió	
  en	
  una	
  experiencia	
  cotidiana:	
  
• En	
  un	
  transmisor	
  de	
  radio	
  se	
  hacen	
  oscilar	
  cargas	
  eléctricas	
  a	
  lo	
  largo	
  de	
  
la	
  antena	
  conductora,	
  lo	
  que	
  produce	
  perturbaciones	
  oscilatorias	
  de	
  campo	
  
• Como	
  en	
  la	
  antena	
  hay	
  muchas	
  cargas	
  que	
  oscilan	
  juntas,	
  las	
  perturbaciones	
  
son	
  mucho	
  más	
  intensas	
  que	
  las	
  de	
  una	
  sola	
  carga	
  y	
  se	
  detectan	
  a	
  una	
  
distancia	
  mucho	
  mayor	
  
• En	
  un	
  receptor	
  de	
  radio	
  la	
  antena	
  también	
  es	
  un	
  conductor,	
  los	
  campos	
  de	
  
la	
  onda	
  que	
  emana	
  desde	
  un	
  transmisor	
  distante	
  ejercen	
  fuerzas	
  sobre	
  las	
  
cargas	
  libres	
  dentro	
  de	
  la	
  antena	
  receptora,	
  lo	
  que	
  produce	
  una	
  corriente	
  
oscilante	
  que	
  es	
  detectada	
  y	
  amplificada	
  por	
  los	
  circuitos	
  del	
  receptor	
  
	
  
	
   7	
  
El	
  espectro	
  electromagnético	
  
	
  
 
Las	
  ondas	
  electromagnéticas	
  cubren	
  un	
  espectro	
  amplio	
  de	
  longitudes	
  de	
  onda	
  y	
  
frecuencia	
  
• Incluye	
  las	
  ondas	
  de	
  radio	
  y	
  televisión,	
  la	
  luz	
  visible,	
  la	
  radiación	
  
infrarroja	
  y	
  ultravioleta,	
  los	
  rayos	
  X	
  y	
  los	
  rayos	
  gamma	
  
	
  
• Se	
  han	
  detectado	
  ondas	
  electromagnéticas	
  con	
  frecuencias	
  desde	
  1	
  hasta	
  
1024	
  Hz	
  
	
  
• Las	
  ondas	
  electromagnéticas	
  difieren	
  en	
  frecuencia	
  f	
  y	
  longitud	
  de	
  onda	
  λ,	
  
pero	
  la	
  relación	
   c = λ f 	
  en	
  el	
  vacío	
  se	
  cumple	
  para	
  cada	
  una	
  
	
  
• El	
  ojo	
  solo	
  puede	
  detectar	
  una	
  parte	
  muy	
  pequeña	
  del	
  espectro	
  =	
  luz	
  
visible	
  
o Su	
  intervalo	
  de	
  longitud	
  de	
  onda	
  va	
  de	
  400	
  a	
  700	
  nm	
  (400	
  a	
  700	
  ×	
  
10−9m)	
  con	
  frecuencias	
  	
  correspondientes	
  de	
  750	
  a	
  430	
  THz	
  (7.5	
  a	
  
4.3	
  ×	
  1014	
  Hz)	
  aproximadamente	
  
o Las	
  distintas	
  partes	
  del	
  espectro	
  visible	
  son	
  interpretados	
  por	
  el	
  
cerebro	
  humano	
  como	
  diferentes	
  colores	
  
	
  
• La	
  luz	
  blanca	
  ordinaria	
  incluye	
  todas	
  las	
  longitudes	
  de	
  onda	
  visibles	
  
	
  
• Sin	
  embargo,	
  con	
  el	
  uso	
  de	
  fuentes	
  o	
  filtros	
  especiales	
  es	
  posible	
  seleccionar	
  
una	
  banda	
  angosta	
  de	
  longitudes	
  de	
  onda	
  dentro	
  de	
  un	
  intervalo	
  de	
  unos	
  
cuantos	
  nm	
  
o Esa	
  luz	
  es	
  aproximadamente	
  monocromática	
  (de	
  un	
  solo	
  color)	
  
o La	
  luz	
  totalmente	
  monocromática	
  con	
  una	
  sola	
  longitud	
  de	
  onda	
  
es	
  una	
  idealización	
  inalcanzable	
  
	
  
• La	
  luz	
  láser	
  está	
  mucho	
  más	
  cerca	
  de	
  ser	
  monocromática	
  que	
  cualquiera	
  
que	
  se	
  obtenga	
  de	
  otra	
  manera	
  
	
   	
  
32 .1 Ecuaciones de Maxwell y ondas electromagnéticas 1095
El valor moderno de la rapidez de la luz, que se denota con el símbolo c, es
299,792,458 m>s. (Recuerde que en la sección 1.3 vimos que este valor es la base de
nuestra unidad estándar de longitud: un metro se define como la distancia que recorre la
luz en 1>299,792,458 de segundo.) Para nuestros propósitos, el valor de 3.00 3 108 m>s
tiene suficiente exactitud.
Al parecer, el posible uso de las ondas electromagnéticas para la comunicación a
larga distancia no se le ocurrió a Hertz, y fue gracias a Marconi y a otros investigado-
res que la comunicación por radio se convirtió en una experiencia cotidiana en el hogar.
En un transmisor de radio se hacen oscilar las cargas eléctricas a lo largo de la antena
conductora, lo que produce perturbaciones oscilatorias de campo, como las que se
ilustran en la figura 32.3. Como en la antena hay muchas cargas que oscilan juntas,
las perturbaciones son mucho más intensas que las de una sola carga y se detectan a
una distancia mucho mayor. En un receptor de radio la antena también es un conduc-
tor, los campos de la onda que emana desde un transmisor distante ejercen fuerzas sobre
las cargas libres dentro de la antena receptora, lo que produce una corriente oscilante
que es detectada y amplificada por los circuitos del receptor.
En lo que resta del capítulo nos ocuparemos de las ondas electromagnéticas en sí
mismas, dejando a un lado el complejo problema de cómo se generan.
El espectro electromagnético
Las ondas electromagnéticas cubren un espectro extremadamente amplio de longitu-
des de onda y frecuencia. Este espectro electromagnético incluye las ondas de radio
y televisión, la luz visible, la radiación infrarroja y ultravioleta, los rayos x y los rayos
gamma. Se han detectado ondas electromagnéticas con frecuencias desde 1 hasta
1024 Hz; en la figura 32.4 se representa la parte más común del espectro, y se indican
los intervalos de longitud de onda y frecuencia aproximados de sus diferentes seg-
mentos. A pesar de las muchas diferencias en su uso y medios de producción, todas
ellas son ondas electromagnéticas con la misma rapidez de propagación (en el vacío),
c 5 299,792,458 m>s. Las ondas electromagnéticas difieren en frecuencia f y longitud
de onda l, pero la relación c 5 lf en el vacío se cumple para cada una.
Nosotros sólo podemos detectar directamente una parte muy pequeña del espectro
con nuestro sentido de la vista, y a ese intervalo lo denominamos luz visible. Su inter-
valo de longitud de onda va de 400 a 700 nm (400 a 700 3 1029 m), con frecuencias
correspondientes de 750 a 430 THz (7.5 a 4.3 3 1014 Hz) aproximadamente. Las dis-
tintas partes del espectro visible evocan en los humanos las sensaciones de los dife-
rentes colores. En la tabla 32.1 se presentan las longitudes de onda de los colores en la
parte visible del espectro.
La luz blanca ordinaria incluye todas las longitudes de onda visibles. Sin embargo,
con el uso de fuentes o filtros especiales es posible seleccionar una banda angosta de
longitudes de onda dentro de un intervalo de unos cuantos nm. Esa luz es aproxima-
damente monocromática (de un solo color). La luz totalmente monocromática con
Radio,
TV
10 1 1021 1022 1023 1024 1025 1026 1027 1028 1029 10210 10211 10212 10213
108 109 1010 1011 1012 1013 1014 1015 1016 1017 1018 1019 1020 1021 1022
Microondas
Infrarrojo
Ultravioleta
Rayos x
Luz visible
700 nm 650 600 550 500 450 400 nm
VIOLETAAZULVERDEAMARILLONARANJAROJO
Frecuencias en Hz
Longitudes de onda en m
Rayos gamma
32.4 El espectro electromagnético. Las frecuencias y longitudes de onda que se encuentran en la naturaleza se extienden en un 
intervalo tan amplio que se tiene que usar una escala logarítmica para indicar todas las bandas importantes. Las fronteras entre las
bandas son un tanto arbitrarias.
Tabla 32.1 Longitudes de onda de la 
luz visible
400 a 440 nm Violeta
440 a 480 nm Azul
480 a 560 nm Verde
560 a 590 nm Amarillo
590 a 630 nm Naranja
630 a 700 nm Rojo
	
   8	
  
Nuestro	
  sistema	
  de	
  comunicaciones	
  globales	
  depende	
  de	
  las	
  ondas	
  de	
  radio:	
  	
  
• La	
  radio	
  AM	
  utiliza	
  ondas	
  confrecuencias	
  de	
  5.4	
  ×	
  105	
  Hz	
  a	
  1.6	
  ×	
  106	
  Hz	
  
• Las	
  emisiones	
  de	
  radio	
  en	
  FM	
  tienen	
  lugar	
  en	
  las	
  frecuencias	
  de	
  8.8	
  ×	
  107	
  
Hz	
  a	
  1.08	
  ×	
  108	
  Hz	
  
• Las	
  emisoras	
  de	
  televisión	
  usan	
  frecuencias	
  que	
  incluyen	
  la	
  banda	
  de	
  FM	
  
• Las	
  microondas	
  se	
  utilizan	
  para	
  la	
  comunicación	
  por	
  los	
  teléfonos	
  
celulares	
  y	
  las	
  redes	
  inalámbricas	
  
	
  
Los	
  radares	
  meteorológicos	
  funcionan	
  con	
  frecuencias	
  cercanas	
  a	
  3	
  ×	
  109	
  Hz	
  
	
  
Muchas	
  cámaras	
  tienen	
  un	
  dispositivo	
  que	
  emite	
  un	
  haz	
  de	
  radiación	
  infrarroja	
  
• Al	
  analizar	
  las	
  propiedades	
  de	
  la	
  radiación	
  infrarroja	
  reflejada	
  por	
  el	
  sujeto,	
  
la	
  cámara	
  determina	
  a	
  qué	
  distancia	
  se	
  encuentra	
  éste	
  y	
  se	
  enfoca	
  de	
  
manera	
  automática	
  
	
  
La	
  radiación	
  ultravioleta	
  tiene	
  longitudes	
  de	
  onda	
  más	
  cortas	
  que	
  la	
  luz	
  visible	
  
• Esta	
  propiedad	
  le	
  permite	
  enfocarse	
  dentro	
  de	
  haces	
  muy	
  estrechos	
  para	
  
aplicaciones	
  de	
  alta	
  precisión,	
  como	
  la	
  cirugía	
  ocular	
  LASIK	
  
	
  
Los	
  rayos	
  X	
  son	
  capaces	
  de	
  pasar	
  a	
  través	
  del	
  tejido	
  muscular,	
  lo	
  que	
  los	
  hace	
  
invaluables	
  en	
  la	
  odontología	
  y	
  la	
  medicina	
  
	
  
La	
  radiación	
  electromagnética	
  con	
  la	
  longitud	
  de	
  onda	
  más	
  corta,	
  los	
  rayos	
  
gamma,	
  es	
  producida	
  en	
  la	
  naturaleza	
  por	
  los	
  materiales	
  radiactivos	
  
• Los	
  rayos	
  gamma,	
  que	
  tienen	
  una	
  gran	
  cantidad	
  de	
  energía,	
  se	
  utilizan	
  en	
  
medicina	
  para	
  destruir	
  células	
  cancerosas	
  
	
  
	
   	
  
	
   9	
  
Ondas	
  electromagnéticas	
  planas	
  y	
  rapidez	
  de	
  la	
  luz	
  
	
  
Tomamos	
  como	
  base	
  un	
  sistema	
  de	
  
coordenadas	
  xyz	
  y	
  suponemos	
  que	
  
el	
  espacio	
  está	
  dividido	
  en	
  dos	
  regiones	
  
por	
  un	
  plano	
  perpendicular	
  al	
  eje	
  x	
  
paralelo	
  al	
  plano	
  yz	
  
	
  
En	
  cada	
  punto	
  a	
  la	
  izquierda	
  de	
  este	
  
plano	
  hay	
  un	
  campo	
  eléctrico	
  uniforme	
  
en	
  la	
  dirección	
  +y	
  y	
  un	
  campo	
  
magnético	
  uniforme en	
  la	
  dirección	
  
+z	
  
	
  
Supongamos	
  que	
  el	
  plano	
  limítrofe,	
  al	
  frente	
  de	
  onda,	
  se	
  desplaza	
  hacia	
  la	
  derecha	
  
en	
  la	
  dirección	
  +x	
  con	
  rapidez	
  constante	
  c	
  (de	
  magnitud	
  no	
  definida)	
  	
  
	
  
Así,	
  los	
  campos	
   	
  y	
   viajan	
  a	
  la	
  derecha	
  hacia	
  regiones	
  hasta	
  ahora	
  libres	
  de	
  
campo	
  con	
  rapidez	
  constante:	
  
• Los	
  campos	
  =	
  0	
  para	
  los	
  planos	
  que	
  están	
  a	
  la	
  derecha	
  del	
  frente	
  de	
  onda	
  y	
  
tienen	
  los	
  mismos	
  valores	
  en	
  todos	
  los	
  planos	
  ubicados	
  a	
  la	
  izquierda	
  del	
  
frente	
  de	
  onda	
  
	
  
Este	
  modelo	
  describe	
  una	
  onda	
  electromagnética	
  rudimentaria	
  =	
  onda	
  plana	
  	
  
	
  
	
   	
  
 

E
 

B
1096 C APÍTU LO 32 Ondas electromagnéticas
una sola longitud de onda es una idealización inalcanzable. Cuando usamos la expre-
sión “luz monocromática con l 5 550 nm” en relación con un experimento de labo-
ratorio, en realidad nos referimos a una banda pequeña de longitudes de onda alrededor
de 550 nm. La luz láser está mucho más cerca de ser monocromática que cualquiera
que se obtenga de otra manera.
Las formas invisibles de la radiación electromagnética no son menos importantes
que la luz visible. Por ejemplo, nuestro sistema de comunicaciones globales depende
de las ondas de radio: la radio AM utiliza ondas con frecuencias de 5.4 3 105 Hz a 1.6
3 106 Hz, mientras que las emisiones de radio en FM tienen lugar en las frecuencias
de 8.8 3 107 Hz a 1.08 3 108 Hz. (Las emisoras de televisión usan frecuencias que
incluyen la banda de FM.) Las microondas también se utilizan para la comunicación
(por ejemplo, en los teléfonos celulares y las redes inalámbricas) y en los radares me-
teorológicos (con frecuencias cercanas a 3 3 109 Hz). Muchas cámaras tienen un dis-
positivo que emite un haz de radiación infrarroja; al analizar las propiedades de la
radiación infrarroja reflejada por el sujeto, la cámara determina a qué distancia se en-
cuentra éste y se enfoca de manera automática. La radiación ultravioleta tiene longi-
tudes de onda más cortas que la luz visible; como veremos en el capítulo 36, esta
propiedad le permite enfocarse dentro de haces muy estrechos para aplicaciones de
alta precisión, como la cirugía ocular LASIK. Los rayos x son capaces de pasar a través
del tejido muscular, lo que los hace invaluables en la odontología y la medicina. La
radiación electromagnética con la longitud de onda más corta, los rayos gamma, es
producida en la naturaleza por los materiales radiactivos (véase el capítulo 43). Los
rayos gamma, que tienen una gran cantidad de energía, se utilizan en medicina para
destruir células cancerosas.
Evalúe su comprensión de la sección 32.1 a) ¿Es posible tener una onda
puramente eléctrica que se propague a través del espacio vacío, es decir, una 
onda constituida por un campo eléctrico pero no por un campo magnético? b) ¿Y una onda
puramente magnética, con campo magnético pero sin un campo eléctrico?
!
32.2 Ondas electromagnéticas planas
y rapidez de la luz
Estamos listos para formular las ideas básicas de las ondas electromagnéticas y su re-
lación con los principios del electromagnetismo. Nuestro procedimiento consistirá en
postular una configuración simple de campo eléctrico que tenga un comportamiento
ondulatorio. Supondremos un campo eléctrico que tenga sólo una componente y, y
un campo magnético sólo con una componente z, y supondremos que ambos cam-
pos se mueven juntos en la dirección 1x con una rapidez c que al principio es desco-
nocida. (Conforme avancemos quedará claro por qué elegimos que y fueran
perpendiculares a la dirección de propagación y entre sí.) Después evaluaremos si estos
campos son físicamente posibles indagando si son congruentes con las ecuaciones de
Maxwell, en particular con las leyes de Ampère y Faraday. Veremos que la respuesta
es sí, siempre y cuando c tenga un valor particular. También veremos que la ecuación
de onda, que encontramos durante nuestro estudio de las ondas mecánicas en el capí-
tulo 15, se obtiene a partir de las ecuaciones de Maxwell.
Una onda electromagnética plana simple
Si tomamos como base un sistema de coordenadas xyz (figura 32.5), suponemos que
todo el espacio está dividido en dos regiones por un plano perpendicular al eje x (y
paralelo al plano yz). En cada punto a la izquierda de este plano hay un campo eléctri-
co uniforme en la dirección 1y y un campo magnético uniforme en la dirección
1z, como se ilustra. Además, supongamos que el plano limítrofe, al que llamaremos
frente de onda, se desplaza hacia la derecha en la dirección 1x con rapidez constante c,
un valor que por el momento dejaremos indeterminado. Así, los campos y viajan 
a la derecha hacia regiones hasta ahora libres de campo con rapidez definida. En resu-
men, la situación describe una onda electromagnética rudimentaria. Una onda como
ésta, en la que en cualquier instante los campos son uniformes en toda la extensión de
B
S
E
S
B
S
E
S
B
S
E
S
B
S
E
S
Los campos eléctrico y magnético son
uniformes detrás del frente de onda que
avanza, y cero por delante de éste.
z x
y
O
c
E
S
B
S E
S
B
S
E
S
B
S
E
S
B
S E
S
E 5 0
S
B 5 0
S
B
S E
S
B
S
Frente de onda plana
32.5 Frente de una onda electromagnética.
El plano que representa el frente de onda
se mueve hacia la derecha (en la dirección
positiva del eje x) con rapidez c.
 

E 

B
	
   10	
  
La	
  preguntaes	
  ¿si	
  este	
  modelo	
  es	
  congruente	
  con	
  las	
  leyes	
  de	
  Maxwell?	
  
	
  
En	
  primer	
  lugar,	
  verifiquemos	
  que	
  la	
  onda	
  plana	
  satisface	
  la	
  primera	
  y	
  segunda	
  
ecuaciones	
  de	
  Maxwell:	
  
• Tomamos	
  como	
  superficie	
  
gaussiana	
  una	
  caja	
  rectangular	
  
con	
  lados	
  paralelos	
  a	
  los	
  planos	
  
de	
  coordenados	
  xy,	
  xz	
  y	
  yz	
  	
  
• La	
  caja	
  no	
  encierra	
  cargas	
  
eléctricas	
  
• Por	
  lo	
  que	
  los	
  flujos	
  eléctrico	
  y	
  
magnético	
  totales	
  a	
  través	
  de	
  la	
  
caja	
  son	
  iguales	
  a	
  cero	
  
	
  
Aun	
  si	
  parte	
  de	
  la	
  caja	
  está	
  en	
  la	
  región	
  
en	
  la	
  que	
  E	
  =	
  B	
  =	
  0	
  
• Esto	
  no	
  sería	
  el	
  caso	
  si	
   	
  o	
  
tuvieran	
  una	
  componente	
  x,	
  
paralela	
  a	
  la	
  dirección	
  de	
  
propagación	
   	
  
	
  
Para	
  satisfacer	
  las	
  ecuaciones	
  1	
  y	
  2	
  de	
  Maxwell,	
  los	
  campos	
  eléctrico	
  y	
  
magnético	
  deben	
  ser	
  perpendiculares	
  a	
  la	
  dirección	
  de	
  propagación	
  =	
  onda	
  
transversal	
  
	
  
	
   	
  
 

E 

B
32 .2 Ondas electromagnéticas planas y rapidez de la luz 1097
cualquier plano perpendicular a la dirección de propagación, se llama onda plana. 
En el caso que se ilustra en la figura 32.5, los campos son igual a cero para los planos
que están a la derecha del frente de onda y tienen los mismos valores en todos los pla-
nos ubicados a la izquierda del frente de onda; más adelante estudiaremos ondas 
planas más complejas.
No nos ocuparemos del problema de generar efectivamente una configuración de
campo de este tipo; sólo preguntaremos si es congruente con las leyes del electromag-
netismo, es decir, con las ecuaciones de Maxwell. Consideraremos sucesivamente cada
una de estas ecuaciones.
En primer lugar, verifiquemos si nuestra onda satisface la primera y segunda ecua-
ciones de Maxwell, es decir, las leyes de Gauss de los campos eléctrico y magnético.
Para ello, tomaremos como nuestra superficie gaussiana una caja rectangular con la-
dos paralelos a los planos coordenados xy, xz y yz (figura 32.6). La caja no encierra
cargas eléctricas. Se puede demostrar que los flujos eléctrico y magnético totales a
través de la caja son iguales a cero, aun si parte de la caja está en la región en la que 
E 5 B 5 0. Esto no sería el caso si o tuvieran una componente x, paralela a la 
dirección de propagación. La prueba se deja como ejercicio para el lector (véase el pro-
blema 32.42). Así, para satisfacer las ecuaciones primera y segunda de Maxwell, los
campos eléctrico y magnético deben ser perpendiculares a la dirección de propaga-
ción; es decir, la onda debe ser transversal.
La siguiente ecuación de Maxwell por considerar es la ley de Faraday:
(32.1)
Para probar si nuestra onda satisface la ley de Faraday, aplicamos esta ley a un rectán-
gulo efgh paralelo al plano xy (figura 32.7a). Como se observa en la figura 32.7b, la
cual representa un corte transversal en el plano xy, este rectángulo tiene altura a y an-
chura Dx. En el instante que se ilustra, el frente de onda ha avanzado parcialmente a
través del rectángulo, y es igual a cero a lo largo del lado ef. Al aplicar la ley de Fa-
raday suponemos que el área vectorial del rectángulo efgh está en la dirección 1z.
Con esta elección, la regla de la mano derecha indica que se requiere integrar en
sentido antihorario alrededor del rectángulo. es igual a cero en todos los puntos del
lado ef. En cada punto de los lados fg y he, es igual a cero o perpendicular a Sólo
el lado gh contribuye a la integral, y sobre él y son opuestos, por lo que se obtiene
(32.2)
Por consiguiente, el lado izquierdo de la ecuación (32.1) es diferente de cero.
Para satisfacer la ley de Faraday, ecuación (32.1), debe haber una componente de
en la dirección z (perpendicular a de manera que pueda haber un flujo magnético
FB distinto de cero a través del rectángulo efgh y una derivada dFB>dt diferente de
cero. En realidad, nuestra onda tiene sólo la componente z. Hemos supuesto que esta
componente tiene la dirección z positiva; veamos si esta suposición es congruente con
la ley de Faraday. Durante un intervalo de tiempo dt, el frente de onda se desplaza una
distancia c dt hacia la derecha en la figura 32.7b, y recorre un área ac dt del rectán-
gulo efgh. Durante este intervalo, el flujo magnético FB a través del rectángulo efgh
se incrementa en dFB 5 B(ac dt), por lo que la tasa de cambio del flujo magnético es
(32.3)
Ahora, sustituimos las ecuaciones (32.2) y (32.3) en la ley de Faraday, ecuación (32.1),
y obtenemos
(onda electromagnética en el vacío) (32.4)
Así, hemos demostrado que nuestra onda es congruente con la ley de Faraday sólo 
si su rapidez c y las magnitudes de los vectores perpendiculares y guardan la B
S
E
S
E 5 cB 
2Ea 5 2Bac
dFB
dt
5 Bac
B
S
E
S
)B
S
CES # d lS 5 2Ea
d l
S
E
S
d l
S
.E
S
E
S
E
S # d lSdA
S
E
S
CES # d lS 5 2 dFBdt
B
S
E
S
El campo eléctrico es el mismo en las caras
superior e inferior de la superficie gaussiana,
por lo que el flujo eléctrico total a través de
la superficie es igual a cero.
El campo magnético es el mismo en las caras
izquierda y derecha de la superficie gaussiana,
por lo que el flujo magnético total a través de
la superficie es igual a cero.
E
S
E
S
E
S
E
S
E
S
B
SB
SB
SB
SB
S
x
y
z
32.6 Superficie gaussiana para una onda
electromagnética plana.
z
x
c dt
e
af
g
h
y
E
S
E
S
B
SB
SB
SB
S
B
SB
SB
SB
S
E
SE
SE
S
a) En el momento dt, el frente de
onda se desplaza una distancia c dt
en la dirección1x.
O
x
y
f
a
c dt
e
g
h
b) Vista lateral de la situación en a)
Dx
dl
S
dl
S
dl
S
dl
S
dA
S
E
S
B
S
E 5 0
S
B 5 0
S
32.7 a) Aplicación de la ley de Faraday 
a una onda plana. b) En el momento dt, el
flujo magnético a través del rectángulo en
el plano xy se incrementa en una cantidad
dFB. Este incremento es igual al flujo a
través del rectángulo sombreado, con área
ac dt; es decir, dFB 5 Bac dt. Por lo tanto,
dFB>dt 5 Bac.
	
   11	
  
La	
  siguiente	
  ecuación	
  de	
  Maxwell	
  por	
  considerar	
  es	
  la	
  ley	
  de	
  Faraday:	
  	
  
 

E ⋅d

l∫ = −
dΦB
dt 	
  
	
  
Aplicamos	
  esta	
  ley	
  a	
  un	
  rectángulo	
  efgh	
  paralelo	
  al	
  plano	
  xy	
  (figura	
  a)	
  
• Un	
  corte	
  transversal	
  en	
  el	
  plano	
  xy	
  (figura	
  b)	
  ,	
  muestra	
  este	
  rectángulo	
  tiene	
  
altura	
  a	
  y	
  anchura	
  Δx 	
  
	
  
	
  
• En	
  el	
  instante	
  que	
  se	
  ilustra,	
  el	
  frente	
  de	
  onda	
  ha	
  avanzado	
  parcialmente	
  a	
  
través	
  del	
  rectángulo,	
  y	
   

E = 0 	
  a	
  lo	
  largo	
  del	
  lado	
  ef	
  
• Al	
  aplicar	
  la	
  ley	
  de	
  Faraday,	
  suponemos	
   d

A 	
  en	
  la	
  dirección	
  +z	
  
o La	
  regla	
  de	
  la	
  mano	
  derecha	
   ⇒

E ⋅d

l 	
  debe	
  ser	
  integrado	
  en	
  sentido	
  
anti-­‐horario	
  alrededor	
  del	
  rectángulo	
  
• En	
  cada	
  punto	
  de	
  los	
  lado	
  fg	
  y	
  he,	
   

E ⊥ d

l ⇒

E ⋅d

l = 0 	
  y	
  del	
  lado	
  ef	
   

E = 0 	
  
• Solo	
  el	
  lado	
  gh	
  contribuye	
  a	
  la	
  integral,	
  y	
  por	
  lo	
  tanto:	
  
(13.1)	
  
 

E ⋅d

l∫ = −Ea 	
  	
  
	
  
La	
  onda	
   

B 	
  tiene	
  sólo	
  una	
  componente	
  z	
  en	
  la	
  dirección	
  positiva	
  
• Durante	
  un	
  intervalo	
  de	
  tiempo	
  dt,	
  el	
  frente	
  de	
  onda	
  se	
  desplaza	
  una	
  
distancia	
  cdt	
  hacia	
  la	
  derecha	
  y	
  recorre	
  un	
  área	
  a	
  cdt	
  del	
  rectángulo	
  efgh	
  
• Durante	
  este	
  intervalo,	
  el	
  flujo	
  magnético	
  ΦB 	
  a	
  través	
  del	
  rectángulo	
  efgh	
  se	
  
incrementa	
  en	
  dΦB = B a cdt( ) ,	
  por	
  lo	
  que	
  la	
  tasa	
  de	
  cambio	
  del	
  flujo	
  
magnético	
  es:	
  
(13.2)	
   dΦB
dt
= Bac 	
  	
  
• Segundo	
  la	
  ley	
  de	
  Faraday:
E ⋅d

l∫ = −
dΦB
dt
⇒−Ea = −Bac 	
  
(13.3)	
   E = cB 	
  	
  
	
  
Así,	
  encontramos	
  que	
  la	
  onda	
  plana	
  es	
  congruente	
  con	
  la	
  ley	
  de	
  Faraday	
  solo	
  si	
  
la	
  razón	
  de	
  las	
  magnitudes	
  de	
  los	
  vectores	
  perpendiculares	
  es	
  constantes	
  igual	
  
a	
  la	
  velocidad	
  de	
  propagación	
  de	
  las	
  ondas	
  	
  
32 .2 Ondas electromagnéticas planas y rapidez de la luz 1097
cualquier plano perpendicular a la dirección de propagación, se llama onda plana. 
En el caso que se ilustra en la figura 32.5, los campos son igual a cero para los planos
que están a la derecha del frente de onda y tienen los mismos valores en todos los pla-
nos ubicados a la izquierda del frente de onda; más adelante estudiaremos ondas 
planas más complejas.
No nos ocuparemos del problema de generar efectivamente una configuración de
campo de este tipo; sólo preguntaremos si es congruente con las leyes del electromag-
netismo, es decir, con las ecuaciones de Maxwell. Consideraremos sucesivamente cada
una de estas ecuaciones.
En primer lugar, verifiquemos si nuestra onda satisface la primera y segunda ecua-
ciones de Maxwell, es decir, las leyes de Gauss de los campos eléctrico y magnético.
Para ello, tomaremos como nuestra superficie gaussiana una caja rectangular con la-
dos paralelos a los planos coordenados xy, xz y yz (figura 32.6). La caja no encierra
cargas eléctricas. Se puede demostrar que los flujos eléctrico y magnético totales a
través de la caja son iguales a cero, aun si parte de la caja está en la región en la que 
E 5 B 5 0. Esto no sería el caso si o tuvieran una componente x, paralela a la 
dirección de propagación. La prueba se deja como ejercicio para el lector (véase el pro-
blema 32.42). Así, para satisfacer las ecuaciones primera y segunda de Maxwell, los
campos eléctrico y magnético deben ser perpendiculares a la dirección de propaga-
ción; es decir, la onda debe ser transversal.
La siguiente ecuación de Maxwell por considerar es la ley de Faraday:
(32.1)
Para probar si nuestra onda satisface la ley de Faraday, aplicamos esta ley a un rectán-
gulo efgh paralelo al plano xy (figura 32.7a). Como se observa en la figura 32.7b, la
cual representa un corte transversal en el plano xy, este rectángulo tiene altura a y an-
chura Dx. En el instante que se ilustra, el frente de onda ha avanzado parcialmente a
través del rectángulo, y es igual a cero a lo largo del lado ef. Al aplicar la ley de Fa-
raday suponemos que el área vectorial del rectángulo efgh está en la dirección 1z.
Con esta elección, la regla de la mano derecha indica que se requiere integrar en
sentido antihorario alrededor del rectángulo. es igual a cero en todos los puntos del
lado ef. En cada punto de los lados fg y he, es igual a cero o perpendicular a Sólo
el lado gh contribuye a la integral, y sobre él y son opuestos, por lo que se obtiene
(32.2)
Por consiguiente, el lado izquierdo de la ecuación (32.1) es diferente de cero.
Para satisfacer la ley de Faraday, ecuación (32.1), debe haber una componente de
en la dirección z (perpendicular a de manera que pueda haber un flujo magnético
FB distinto de cero a través del rectángulo efgh y una derivada dFB>dt diferente de
cero. En realidad, nuestra onda tiene sólo la componente z. Hemos supuesto que esta
componente tiene la dirección z positiva; veamos si esta suposición es congruente con
la ley de Faraday. Durante un intervalo de tiempo dt, el frente de onda se desplaza una
distancia c dt hacia la derecha en la figura 32.7b, y recorre un área ac dt del rectán-
gulo efgh. Durante este intervalo, el flujo magnético FB a través del rectángulo efgh
se incrementa en dFB 5 B(ac dt), por lo que la tasa de cambio del flujo magnético es
(32.3)
Ahora, sustituimos las ecuaciones (32.2) y (32.3) en la ley de Faraday, ecuación (32.1),
y obtenemos
(onda electromagnética en el vacío) (32.4)
Así, hemos demostrado que nuestra onda es congruente con la ley de Faraday sólo 
si su rapidez c y las magnitudes de los vectores perpendiculares y guardan la B
S
E
S
E 5 cB 
2Ea 5 2Bac
dFB
dt
5 Bac
B
S
E
S
)B
S
CES # d lS 5 2Ea
d l
S
E
S
d l
S
.E
S
E
S
E
S # d lSdA
S
E
S
CES # d lS 5 2 dFBdt
B
S
E
S
El campo eléctrico es el mismo en las caras
superior e inferior de la superficie gaussiana,
por lo que el flujo eléctrico total a través de
la superficie es igual a cero.
El campo magnético es el mismo en las caras
izquierda y derecha de la superficie gaussiana,
por lo que el flujo magnético total a través de
la superficie es igual a cero.
E
S
E
S
E
S
E
S
E
S
B
SB
SB
SB
SB
S
x
y
z
32.6 Superficie gaussiana para una onda
electromagnética plana.
z
x
c dt
e
af
g
h
y
E
S
E
S
B
SB
SB
SB
S
B
SB
SB
SB
S
E
SE
SE
S
a) En el momento dt, el frente de
onda se desplaza una distancia c dt
en la dirección1x.
O
x
y
f
a
c dt
e
g
h
b) Vista lateral de la situación en a)
Dx
dl
S
dl
S
dl
S
dl
S
dA
S
E
S
B
S
E 5 0
S
B 5 0
S
32.7 a) Aplicación de la ley de Faraday 
a una onda plana. b) En el momento dt, el
flujo magnético a través del rectángulo en
el plano xy se incrementa en una cantidad
dFB. Este incremento es igual al flujo a
través del rectángulo sombreado, con área
ac dt; es decir, dFB 5 Bac dt. Por lo tanto,
dFB>dt 5 Bac.
32 .2 Ondas electromagnéticas planas y rapidez de la luz 1097
cualquier plano perpendicular a la dirección de propagación, se llama onda plana. 
En el caso que se ilustra en la figura 32.5, los campos son igual a cero para los planos
que están a la derecha del frente de onda y tienen los mismos valores en todos los pla-
nos ubicados a la izquierda del frente de onda; más adelante estudiaremos ondas 
planas más complejas.
No nos ocuparemos del problema de generar efectivamente una configuración de
campo de este tipo; sólo preguntaremos si es congruente con las leyes del electromag-
netismo, es decir, con las ecuaciones de Maxwell. Consideraremos sucesivamente cada
una de estas ecuaciones.
En primer lugar, verifiquemos si nuestra onda satisface la primera y segunda ecua-
ciones de Maxwell, es decir, las leyes de Gauss de los campos eléctrico y magnético.
Para ello, tomaremos como nuestra superficie gaussiana una caja rectangular con la-
dos paralelos a los planos coordenados xy, xz y yz (figura 32.6). La caja no encierra
cargas eléctricas. Se puede demostrar que los flujos eléctrico y magnético totales a
través de la caja son iguales a cero, aun si parte de la caja está en la región en la que 
E 5 B 5 0. Esto no sería el caso si o tuvieran una componente x, paralela a la 
dirección de propagación. La prueba se deja como ejercicio para el lector (véase el pro-
blema 32.42). Así, para satisfacer las ecuaciones primera y segunda de Maxwell, los
campos eléctrico y magnético deben ser perpendiculares a la dirección de propaga-
ción; es decir, la onda debe ser transversal.
La siguiente ecuación de Maxwell por considerar es la ley de Faraday:
(32.1)
Para probar si nuestra onda satisface la ley de Faraday, aplicamos esta ley a un rectán-
gulo efgh paralelo al plano xy (figura 32.7a). Como se observa en la figura 32.7b, la
cual representa un corte transversal en el plano xy, este rectángulo tiene altura a y an-
chura Dx. En el instante que se ilustra, el frente de onda ha avanzado parcialmente a
través del rectángulo, y es igual a cero a lo largo del lado ef. Al aplicar la ley de Fa-
raday suponemos que el área vectorial del rectángulo efgh está en la dirección 1z.
Con esta elección, la regla de la mano derecha indica que se requiere integrar en
sentido antihorario alrededor del rectángulo. es igual a cero en todos los puntos del
lado ef. En cada punto de los lados fg y he, es igual a cero o perpendicular a Sólo
el lado gh contribuye a la integral, y sobre él y son opuestos, por lo que se obtiene
(32.2)
Por consiguiente, el lado izquierdo de la ecuación (32.1) es diferente de cero.
Para satisfacer la ley de Faraday, ecuación (32.1), debe haber una componente de
en la direcciónz (perpendicular a de manera que pueda haber un flujo magnético
FB distinto de cero a través del rectángulo efgh y una derivada dFB>dt diferente de
cero. En realidad, nuestra onda tiene sólo la componente z. Hemos supuesto que esta
componente tiene la dirección z positiva; veamos si esta suposición es congruente con
la ley de Faraday. Durante un intervalo de tiempo dt, el frente de onda se desplaza una
distancia c dt hacia la derecha en la figura 32.7b, y recorre un área ac dt del rectán-
gulo efgh. Durante este intervalo, el flujo magnético FB a través del rectángulo efgh
se incrementa en dFB 5 B(ac dt), por lo que la tasa de cambio del flujo magnético es
(32.3)
Ahora, sustituimos las ecuaciones (32.2) y (32.3) en la ley de Faraday, ecuación (32.1),
y obtenemos
(onda electromagnética en el vacío) (32.4)
Así, hemos demostrado que nuestra onda es congruente con la ley de Faraday sólo 
si su rapidez c y las magnitudes de los vectores perpendiculares y guardan la B
S
E
S
E 5 cB 
2Ea 5 2Bac
dFB
dt
5 Bac
B
S
E
S
)B
S
CES # d lS 5 2Ea
d l
S
E
S
d l
S
.E
S
E
S
E
S # d lSdA
S
E
S
CES # d lS 5 2 dFBdt
B
S
E
S
El campo eléctrico es el mismo en las caras
superior e inferior de la superficie gaussiana,
por lo que el flujo eléctrico total a través de
la superficie es igual a cero.
El campo magnético es el mismo en las caras
izquierda y derecha de la superficie gaussiana,
por lo que el flujo magnético total a través de
la superficie es igual a cero.
E
S
E
S
E
S
E
S
E
S
B
SB
SB
SB
SB
S
x
y
z
32.6 Superficie gaussiana para una onda
electromagnética plana.
z
x
c dt
e
af
g
h
y
E
S
E
S
B
SB
SB
SB
S
B
SB
SB
SB
S
E
SE
SE
S
a) En el momento dt, el frente de
onda se desplaza una distancia c dt
en la dirección1x.
O
x
y
f
a
c dt
e
g
h
b) Vista lateral de la situación en a)
Dx
dl
S
dl
S
dl
S
dl
S
dA
S
E
S
B
S
E 5 0
S
B 5 0
S
32.7 a) Aplicación de la ley de Faraday 
a una onda plana. b) En el momento dt, el
flujo magnético a través del rectángulo en
el plano xy se incrementa en una cantidad
dFB. Este incremento es igual al flujo a
través del rectángulo sombreado, con área
ac dt; es decir, dFB 5 Bac dt. Por lo tanto,
dFB>dt 5 Bac.
	
   12	
  
	
  
Nos	
  queda	
  a	
  verificar	
  la	
  congruencia	
  con	
  la	
  ley	
  de	
  Ampère:	
  	
  
 

B ⋅d

l∫ = µ0 iC + ε0
dΦE
dt
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ enc
	
  
	
  
• No	
  hay	
  corriente	
  de	
  conducción	
  (iC	
  =	
  0),	
  por	
  lo	
  que	
  la	
  ley	
  de	
  Ampère	
  es:	
  	
  
(13.4)	
  
 

B ⋅d

l∫ = µ0ε0
dΦE
dt
	
  	
  
• Movemos	
  el	
  rectángulo	
  de	
  manera	
  que	
  esté	
  se	
  encuentra	
  sobre	
  el	
  plano	
  xz,	
  y	
  
de	
  nuevo	
  observamos	
  la	
  situación	
  en	
  un	
  momento	
  en	
  que	
  el	
  frente	
  de	
  onda	
  
haya	
  viajado	
  parcialmente	
  a	
  través	
  del	
  rectángulo	
  
	
  
	
  
• A	
  aplicar	
  la	
  ley	
  de	
  Ampère,	
  suponemos	
   d

A 	
  en	
  la	
  dirección	
  +y	
  
o La	
  regla	
  de	
  la	
  mano	
  derecha	
   ⇒

B ⋅d

l 	
  debe	
  ser	
  integrado	
  en	
  sentido	
  
anti-­‐horario	
  alrededor	
  del	
  rectángulo	
  
• En	
  cada	
  punto	
  de	
  los	
  lado	
  fg	
  y	
  he,	
   

B ⊥ d

l ⇒

B ⋅d

l = 0 	
  y	
  del	
  lado	
  ef	
   

B = 0 	
  
• Solo	
  el	
  lado	
  gh	
  contribuye	
  a	
  la	
  integral,	
  y	
  por	
  lo	
  tanto:	
  
(13.5)	
  
 

B ⋅d

l∫ = Ba 	
  	
  
	
  
Durante	
  este	
  intervalo,	
  el	
  flujo	
  eléctrico	
  ΦE 	
  a	
  través	
  del	
  rectángulo	
  efgh	
  se	
  
incrementa	
  en	
  dΦE = E a cdt( ) > 0 ,	
  por	
  lo	
  que	
  la	
  tasa	
  de	
  cambio	
  del	
  flujo	
  eléctrico	
  
es:	
  
(13.6)	
   dΦE
dt
= Eac 	
  	
  
• Substitución	
  en	
  la	
  ley	
  de	
  Ampère	
  da	
  que:	
  Ba = ε0µ0Eac 	
  	
  
(13.7)	
   B = ε0µ0cE 	
  	
  
	
   	
  
1098 C APÍTU LO 32 Ondas electromagnéticas
relación que describe la ecuación (32.4). Observe que si supusiéramos que estaba
en la dirección z negativa, habría un signo menos adicional en la ecuación (32.4); 
como E, c y B son todas magnitudes positivas no habría sido posible ninguna solución.
Además, ninguna componente de en la dirección y (paralela a habría contribuido
al flujo magnético cambiante FB a través del rectángulo efgh (que es paralelo al pla-
no xy), por lo que no sería parte de la onda.
Por último, se hace un cálculo similar empleando la ley de Ampère, el miembro
restante de las ecuaciones de Maxwell. No hay corriente de conducción (iC 5 0), por
lo que la ley de Ampère es
(32.5)
Para comprobar si nuestra onda es congruente con la ley de Ampère movemos
nuestro rectángulo de manera que esté sobre el plano xz, como se ilustra en la figura
32.8, y de nuevo observamos la situación en un momento en que el frente de onda haya
viajado parcialmente a través del rectángulo. Tomamos el área vectorial en la di-
rección 1y, y así, la regla de la mano derecha demanda que integremos en sen-
tido antihorario alrededor del rectángulo. El campo es igual a cero en todos los puntos
a lo largo del lado ef, y en todos los puntos sobre los lados fg y he es cero o perpendicu-
lar a Sólo el lado gh, donde y son paralelos, contribuye a la integral, por lo
que se obtiene
(32.6)
Por consiguiente, el lado izquierdo de la ley de Ampère, ecuación (32.5), es diferente
de cero; el lado derecho también debe ser diferente de cero. Así, debe tener una
componente y (perpendicular a para que el flujo eléctrico FE a través del rectángulo
y la derivada con respecto al tiempo dFE>dt puedan ser diferentes de cero. Llegamos
a la misma conclusión que inferimos a partir de la ley de Faraday: en una onda elec-
tromagnética, y deben ser perpendiculares entre sí.
En un intervalo de tiempo dt, el flujo eléctrico FE a través del rectángulo se incre-
menta en dFE 5 E(ac dt). Como elegimos que estuviera en la dirección 1y, este
cambio de flujo es positivo; la tasa de cambio del campo eléctrico es
(32.7)
Al sustituir las ecuaciones (32.6) y (32.7) en la ley de Ampère [ecuación (32.5)], se
encuentra
(onda electromagnética en el vacío) (32.8)
De esta forma, la onda que hemos supuesto obedece la ley de Ampère sólo si la rela-
ción entre B, c y E es la que describe la ecuación (32.8).
Nuestra onda electromagnética debe obedecer tanto la ley de Ampère como la de
Faraday, de manera que las ecuaciones (32.4) y (32.8) deben satisfacerse. Esto sólo
ocurre si P0m0c 5 1>c, o:
(rapidez de las ondas electromagnéticas en el vacío) (32.9)
Al sustituir los valores numéricos de estas cantidades, encontramos que
 5 3.00 3 108 m/s
 c 5
1"18.85 3 10212 C2/N # m2 2 14p 3 1027 N/A2 2
c 5
1"P0 m0 
B 5 P0 m0 cE 
Ba 5 P0 m0 Eac
dFE
dt
5 Eac
dA
S
B
S
E
S
B
S
)
E
S
CBS # d lS 5 Ba
d l
S
B
S
d l
S
.
B
S
B
S # d lS
dA
S
CBS # d lS 5 m0 P0 dFEdt
E
S
)B
S
B
S
O x
z
f
a
c dt
e
g
h
b) Vista superior de la situación en a)
Dx
E
S
B
S
dl
S dl
S
dl
S dl
S
dA
S
E 5 0
S
B 5 0
S
x
y
z ac dt
h
e
f
g
a) En un tiempo dt, el frente de
onda se desplaza una distancia
c dt en la dirección 1x.
E
S
E
S
B
S
B
SB
SB
SB
S
B
SB
SB
S E
SE
SE
S
32.8 a) Aplicación de la ley de Ampère
a una onda plana. (Compare con la
figura 32.7a). b) En un tiempo dt, el flujo
eléctrico a través del rectángulo en el
plano xz se incrementa en una cantidad
dFE. Este incremento es igual al flujo a
través del rectángulo sombreado con área
ac dt; es decir, dFE 5 Eac dt. Por lo tanto,
dFE>dt 5 Eac.
1098 C APÍTU LO 32 Ondas electromagnéticas
relación que describe la ecuación (32.4). Observe que si supusiéramos que estaba
en la dirección z negativa, habría un signo menos adicional en la ecuación (32.4); 
como E, c y B son todas magnitudes positivas no habría sido posible ninguna solución.
Además, ninguna componente de en la dirección y (paralela a habría contribuido
al flujo magnético cambiante FB a través del rectángulo efgh (que es paralelo al pla-
no xy), por lo que no sería parte de la onda.
Por último, se hace un cálculo similarempleando la ley de Ampère, el miembro
restante de las ecuaciones de Maxwell. No hay corriente de conducción (iC 5 0), por
lo que la ley de Ampère es
(32.5)
Para comprobar si nuestra onda es congruente con la ley de Ampère movemos
nuestro rectángulo de manera que esté sobre el plano xz, como se ilustra en la figura
32.8, y de nuevo observamos la situación en un momento en que el frente de onda haya
viajado parcialmente a través del rectángulo. Tomamos el área vectorial en la di-
rección 1y, y así, la regla de la mano derecha demanda que integremos en sen-
tido antihorario alrededor del rectángulo. El campo es igual a cero en todos los puntos
a lo largo del lado ef, y en todos los puntos sobre los lados fg y he es cero o perpendicu-
lar a Sólo el lado gh, donde y son paralelos, contribuye a la integral, por lo
que se obtiene
(32.6)
Por consiguiente, el lado izquierdo de la ley de Ampère, ecuación (32.5), es diferente
de cero; el lado derecho también debe ser diferente de cero. Así, debe tener una
componente y (perpendicular a para que el flujo eléctrico FE a través del rectángulo
y la derivada con respecto al tiempo dFE>dt puedan ser diferentes de cero. Llegamos
a la misma conclusión que inferimos a partir de la ley de Faraday: en una onda elec-
tromagnética, y deben ser perpendiculares entre sí.
En un intervalo de tiempo dt, el flujo eléctrico FE a través del rectángulo se incre-
menta en dFE 5 E(ac dt). Como elegimos que estuviera en la dirección 1y, este
cambio de flujo es positivo; la tasa de cambio del campo eléctrico es
(32.7)
Al sustituir las ecuaciones (32.6) y (32.7) en la ley de Ampère [ecuación (32.5)], se
encuentra
(onda electromagnética en el vacío) (32.8)
De esta forma, la onda que hemos supuesto obedece la ley de Ampère sólo si la rela-
ción entre B, c y E es la que describe la ecuación (32.8).
Nuestra onda electromagnética debe obedecer tanto la ley de Ampère como la de
Faraday, de manera que las ecuaciones (32.4) y (32.8) deben satisfacerse. Esto sólo
ocurre si P0m0c 5 1>c, o:
(rapidez de las ondas electromagnéticas en el vacío) (32.9)
Al sustituir los valores numéricos de estas cantidades, encontramos que
 5 3.00 3 108 m/s
 c 5
1"18.85 3 10212 C2/N # m2 2 14p 3 1027 N/A2 2
c 5
1"P0 m0 
B 5 P0 m0 cE 
Ba 5 P0 m0 Eac
dFE
dt
5 Eac
dA
S
B
S
E
S
B
S
)
E
S
CBS # d lS 5 Ba
d l
S
B
S
d l
S
.
B
S
B
S # d lS
dA
S
CBS # d lS 5 m0 P0 dFEdt
E
S
)B
S
B
S
O x
z
f
a
c dt
e
g
h
b) Vista superior de la situación en a)
Dx
E
S
B
S
dl
S dl
S
dl
S dl
S
dA
S
E 5 0
S
B 5 0
S
x
y
z ac dt
h
e
f
g
a) En un tiempo dt, el frente de
onda se desplaza una distancia
c dt en la dirección 1x.
E
S
E
S
B
S
B
SB
SB
SB
S
B
SB
SB
S E
SE
SE
S
32.8 a) Aplicación de la ley de Ampère
a una onda plana. (Compare con la
figura 32.7a). b) En un tiempo dt, el flujo
eléctrico a través del rectángulo en el
plano xz se incrementa en una cantidad
dFE. Este incremento es igual al flujo a
través del rectángulo sombreado con área
ac dt; es decir, dFE 5 Eac dt. Por lo tanto,
dFE>dt 5 Eac.
	
   13	
  
Para	
  satisfacer	
  ambos	
  ley,	
  de	
  Faraday	
  y	
  Ampère,	
  necesitamos	
  que	
  al	
  mismo	
  tiempo	
  	
  
	
   E
B
= c 	
  y	
   E
B
= 1
ε0µ0c
	
  
Esto	
  implica	
  que	
   c2 = 1
ε0µ0
	
  es	
  decir:	
  	
  
(13.8)	
   c = 1
ε0µ0
	
  	
  
	
  
	
  
A	
  substituir	
  los	
  valores	
  numéricos	
  de	
  estas	
  cantidades	
  encontramos	
  que	
  	
  
	
   c = 1
8.85 ×10−12 C
2
N ⋅m2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
4π ×10−7 N
A2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
≈ 3.00 ×108 m
s
	
  	
  
	
  
El	
  modelo	
  de	
  onda	
  plana	
  es	
  congruente	
  con	
  todas	
  las	
  ecuaciones	
  de	
  Maxwell,	
  
siempre	
  y	
  cuando	
  su	
  frente	
  de	
  onda	
  se	
  desplace	
  con	
  la	
  rapidez	
  de	
  la	
  luz	
  
	
  	
  
Propiedades	
  clave	
  de	
  las	
  ondas	
  electromagnéticas	
  
	
  
El	
  modelo	
  sencillo	
  de	
  onda	
  plana	
  ilustra	
  varias	
  características	
  importantes	
  de	
  
todas	
  las	
  ondas	
  electromagnéticas:	
  
	
  
• La	
  onda	
  es	
  transversal:	
  
o Tanto	
   

E 	
  como	
   

B 	
  son	
  
perpendiculares	
  a	
  la	
  dirección	
  de	
  
	
  propagación	
  de	
  la	
  onda	
  
o Los	
  campos	
  eléctrico	
  y	
  
magnético	
  también	
  son	
  
perpendiculares	
  entre	
  sí	
  
o La	
  dirección	
  de	
  propagación	
  es	
  la	
  
dirección	
  del	
  producto	
  	
  vectorial	
  
 

E ×

B 	
  
	
  
• Hay	
  una	
  razón	
  definida	
  entre	
  las	
  
magnitudes	
  E	
  y	
  B:	
  E	
  =	
  cB	
  
o La	
  onda	
  viaja	
  en	
  el	
  vacío	
  con	
  
rapidez	
  definida	
  e	
  invariable	
  
	
   	
  
	
  
• A	
  diferencia	
  de	
  las	
  ondas	
  mecánicas,	
  que	
  necesitan	
  de	
  partículas	
  oscilantes	
  de	
  
	
  un	
  medio	
  para	
  transmitirse,	
  las	
  ondas	
  electromagnéticas	
  no	
  requieren	
  un	
  
medio	
  
o Lo	
  que	
  “ondula”	
  en	
  una	
  onda	
  electromagnética	
  son	
  los	
  campos	
  eléctricos	
  
y	
  magnéticos	
  mismo	
  
	
  
	
   	
  
32 .2 Ondas electromagnéticas planas y rapidez de la luz 1099
La onda que supusimos es congruente con todas las ecuaciones de Maxwell, siempre
y cuando su frente de onda se desplace con la rapidez indicada, la cual reconocemos
de inmediato como ¡la rapidez de la luz! Observe que el valor exacto de c está defini-
do como 299,792,458 m>s; el valor moderno de P0 se define de manera que concuerde
con esto cuando se utiliza en la ecuación (32.9) (véase la sección 21.3).
Propiedades clave de las ondas electromagnéticas
Para nuestro estudio elegimos una onda simple con la finalidad de evitar complicacio-
nes matemáticas, pero este caso especial ilustra varias características importantes de
todas las ondas electromagnéticas:
1. La onda es transversal; tanto como son perpendiculares a la dirección de
propagación de la onda. Los campos eléctrico y magnético también son per-
pendiculares entre sí. La dirección de propagación es la dirección del producto
vectorial (figura 32.9).
2. Hay una razón definida entre las magnitudes de y 
3. La onda viaja en el vacío con rapidez definida e invariable.
4. A diferencia de las ondas mecánicas, que necesitan de partículas oscilantes de
un medio —como el agua o aire— para transmitirse, las ondas electromagnéti-
cas no requieren un medio. Lo que “ondula” en una onda electromagnética son
los campos eléctricos y magnéticos.
Podemos generalizar este análisis a una situación más realista. Suponga que tene-
mos varios frentes de onda en forma de planos paralelos perpendiculares al eje x, todos
los cuales se desplazan hacia la derecha con rapidez c. Imagine que los campos y 
son iguales en todos los puntos dentro de una sola región comprendida entre dos pla-
nos, pero que los campos difieren de una región a otra. La onda en su conjunto es plana,
pero en ella los campos varían por etapas a lo largo del eje x. Se podría construir una
onda de este tipo sobreponiendo varias de las ondas de etapa sencilla que acabamos
de estudiar (ilustradas en la figura 32.5). Esto es posible porque los campos y 
obedecen el principio de superposición en las ondas de la misma forma que en las si-
tuaciones estáticas: cuando dos ondas se superponen, el campo total en cada punto
es la suma vectorial de los campos de las ondas individuales, y de manera similar
para el campo total.
Podemos ampliar lo anterior para demostrar que una onda con campos que varían
por etapas también es congruente con las leyes de Ampere y Faraday, siempre y cuando
todos los frentes de onda se desplacen con la rapidez c dada por la ecuación (32.9).
En el límite en que las etapas individuales se hacen infinitesimalmente pequeñas, se
tiene una onda en la que, en cualquier instante, los campos y varían continua-
mente a lo largo del eje x. Todo el patrón del campo se traslada hacia la derecha con
rapidez c. En la sección 32.3 se considerarán ondas en las que y son funciones si-
nusoidales de x y t. Como en cada punto las magnitudes de y estánrelacionadas
de acuerdo con E 5 cB, las variaciones periódicas de los dos campos en cualquier onda
periódica viajera deben estar en fase.
Las ondas electromagnéticas tienen la propiedad de polarización. En el análisis
anterior, la asignación de la dirección y para fue arbitraria. De igual manera podríamos
haber especificado el eje z para en tal caso, habría estado en la dirección 2y. 
Se dice que una onda en la que siempre es paralelo a cierto eje está polarizada 
linealmente a lo largo de ese eje. Más en general, cualquier onda que viaje en la di-
rección x se puede representar como una superposición de ondas polarizadas lineal-
mente en las direcciones y y z. En el capítulo 33 estudiaremos la polarización con más
detalle, con especial atención a la polarización de la luz.
*Deducción de la ecuación de onda electromagnética
A continuación se presenta otra deducción de la ecuación (32.9) que describe la rapidez
de las ondas electromagnéticas. Tiene más profundidad matemática que el tratamiento
anterior, pero incluye una deducción de la ecuación de onda para las ondas electro-
magnéticas. Esta parte de la sección puede omitirse sin perder continuidad en el estudio
del capítulo.
E
S
B
S
E
S
;
E
S
B
S
E
S
B
S
E
S
B
S
E
S
B
S
E
S
E
S
B
S
E
S
B
S
E
S
B
S
: E 5 cB.E
S
E
S
3 B
S
B
S
E
S
z
y
x
c
O
908
Dirección de propagación 
5 dirección de E 3 B.
E
S
S
S S
S
B
S
Regla de la mano derecha para una onda
electromagnética
Apunte el pulgar de su mano derecha en
la dirección de propagación de la onda.
Imagine que hace girar 90° el campo
vectorial E en el sentido en que se doblan
sus dedos.
Ésa es la dirección del campo B.
1
1
2
2
32.9 La regla de la mano derecha para las
ondas electromagnéticas relaciona las
direcciones de y con la dirección de
propagación.
B
S
E
S
	
   14	
  
Deducción	
  matemática	
  de	
  la	
  ecuación	
  de	
  onda	
  electromagnética	
  
	
  
	
   	
  
	
  
Consideramos	
  una	
  onda	
  plana	
  donde	
  a	
  cada	
  instante	
  Ey	
  y	
  Bz	
  son	
  uniformes	
  en	
  la	
  
totalidad	
  de	
  cualquier	
  plano	
  perpendicular	
  al	
  eje	
  x,	
  la	
  dirección	
  del	
  la	
  propagación	
  
de	
  la	
  energía	
  	
  
	
  
Dejamos	
  que	
  Ey	
  y	
  Bz	
  viarién	
  continuamente	
  a	
  medida	
  que	
  se	
  avanza	
  sobre	
  el	
  eje	
  x	
  –	
  
en	
  esta	
  condición	
  ambas	
  son	
  funciones	
  de	
  x	
  y	
  t:	
  	
  Ey x,t( ) 	
  y	
  Bz x,t( ) 	
   	
  
	
  
Consideremos	
  los	
  valores	
  de	
  Ey	
  y	
  Bz	
  en	
  dos	
  planos	
  en	
  dos	
  planos	
  perpendiculares	
  
al	
  eje	
  x	
  y	
  otro	
  en	
   x + Δx( ) 	
  	
  
	
  
Aplicamos	
  la	
  ley	
  de	
  Faraday	
  a	
  un	
  rectángulo	
  que	
  yace	
  paralelo	
  al	
  plano	
  xy	
  (a)	
  	
  
• El	
  extremo	
  izquierdo	
  gh	
  del	
  rectángulo	
  esta	
  en	
  la	
  posición	
  x	
  y	
  el	
  extremo	
  
derecho	
  ef	
  se	
  localiza	
  en	
  la	
  posición	
   x + Δx( ) 	
  
• En	
  el	
  instante	
  t	
  	
  los	
  valores	
  de	
  Ey	
  en	
  estos	
  dos	
  lados	
  son	
  Ey x,t( ) 	
  y	
  
Ey x + Δx,t( ) 	
  respectivamente	
  	
  
	
  
Cuando	
  aplicamos	
  la	
  ley	
  de	
  Faraday	
  (sentido	
  anti-­‐horario)	
  a	
  este	
  rectángulo	
  
encontramos	
  que:	
  
(13.9)	
  
 

E ⋅d

l∫ = −Ey x,t( )a + Ey x + Δx,t( )a = a Ey x + Δx,t( )− Ey x,t( )⎡⎣ ⎤⎦ 	
  	
  
	
  
Para	
  determinar	
  el	
  flujo	
  magnético	
  ΦB 	
  a	
  través	
  de	
  este	
  rectángulo	
  se	
  supone	
  que	
  
Δx 	
  es	
  suficientemente	
  pequeño	
  como	
  para	
  que	
  Bz	
  sea	
  casi	
  uniforme	
  en	
  todo	
  el	
  
rectángulo	
  	
  
• En	
  este	
  caso	
  ΦB = Bz x,t( )A = Bz x,t( )aΔx 	
  	
  
	
  
Por	
  lo	
  que:	
  
(13.10)	
   dΦB
dt
=
∂Bz x,t( )
∂t
aΔx 	
  	
  
	
  
	
  
	
  
1100 C APÍTU LO 32 Ondas electromagnéticas
En nuestro análisis de las ondas mecánicas en la sección 15.3, demostramos que
una función y(x, t), la cual representa el desplazamiento de cualquier punto en una onda
mecánica que viaja a lo largo del eje x, debe satisfacer la ecuación diferencial (15.12):
(32.10)
Esta ecuación se llama ecuación de onda, y v es la rapidez de propagación de la onda.
Para deducir la ecuación correspondiente para una onda electromagnética, consi-
deramos una vez más una onda plana. Es decir, suponemos que en cada instante, Ey y
Bz son uniformes en la totalidad de cualquier plano perpendicular al eje x, la dirección
de propagación. Pero ahora dejamos que Ey y Bz varíen continuamente a medida que
se avanza sobre el eje x; en esas condiciones, ambas son funciones de x y t. Conside-
remos los valores de Ey y Bz en dos planos perpendiculares al eje x, uno en x y otro en
x 1 Dx.
Siguiendo el mismo procedimiento anterior, aplicamos la ley de Faraday a un rec-
tángulo que yace paralelo al plano xy, como se ilustra en la figura 32.10. Esta figura
es similar a la 32.7. El extremo izquierdo gh del rectángulo está en la posición x, y el
extremo derecho ef se localiza en la posición (x 1 Dx). En el instante t, los valores de
Ey en estos dos lados son Ey(x, t) y Ey(x 1 Dx, t), respectivamente. Cuando aplicamos
la ley de Faraday a este rectángulo, encontramos que en vez de como
antes, tenemos
(32.11)
Para determinar el flujo magnético FB a través de este rectángulo, se supone que
Dx es suficientemente pequeño como para que Bz sea casi uniforme en todo el rectán-
gulo. En ese caso, FB 5 Bz(x, t)A 5 Bz(x, t)a Dx, y
Se utiliza notación de derivadas parciales porque Bz es función tanto de x como de t.
Al sustituir esta expresión y la ecuación (32.11) en la ley de Faraday, ecuación (32.1),
se obtiene
Por último, imaginemos que el rectángulo se encoge hasta quedar como una astilla,
de manera que Dx tiende a cero. Cuando se toma el límite de esta ecuación como 
Dx S 0, se obtiene
(32.12)
Esta ecuación demuestra que si hay una componente Bz del campo magnético que va-
ría con el tiempo, también debe haber una componente Ey del campo eléctrico que se
modifica con x, y a la inversa. Por el momento dejaremos a un lado esta ecuación, pero
volveremos a ella dentro de poco.
A continuación se aplica la ley de Ampère al rectángulo que se ilustra en la figu-
ra 32.11. La integral de línea se convierte en
(32.13)
Suponiendo una vez más que el rectángulo es angosto, tomamos como aproximación
del flujo eléctrico FE a través de él la expresión FE 5 Ey(x, t)A 5 Ey(x, t)a Dx. Por lo
tanto, la tasa de cambio de FE, que necesitamos para la ley de Ampère, es
dFE
dt
5
'Ey 1 x, t 2
't
 a Dx
CBS # d lS 5 2Bz 1 x 1 Dx, t 2a 1 Bz 1 x, t 2ar BS # d lS
'Ey 1 x, t 2
'x
5 2 
'Bz 1 x, t 2
't
 
Ey 1 x 1 Dx, t 2 2 Ey 1 x, t 2
Dx
5 2 
'Bz
't
 a 3Ey 1 x 1 Dx, t 2 2 Ey 1 x, t 2 4 5 2 'Bz't a Dx
dFB
dt
5
'Bz 1 x, t 2
't
 a Dx
 5 a 3Ey 1 x 1 Dx, t 2 2 Ey 1 x, t 2 4 CES # d lS 5 2Ey 1 x, t 2a 1 Ey 1 x 1 Dx, t 2a
r ES # d lS 5 2Ea
'2y 1 x, t 2
'x2
5
1
v2
 
'2y 1 x, t 2
't2
O
y
z
xe
a)
f
g
h
a
x
Dx
O
E
SE
S
E
S
B
S
B
SB
S
O
x
y
f
a
Dx
e
g
h
b) Vista lateral de la situación en a)
EyEy
A
S
32.10 Ley de Faraday aplicada a un
rectángulo con altura a y anchura Dx
paralelo al plano xy.
y
z
x
e
a)
h
x
Dx
O
a
g
f
O
E
S
B
S
E
S
B
S
O
x
z
f
a
e
g
h
b) Vista superior de la situación en a)
BzBz
Dx
A
S
32.11 Ley de Ampère aplicada a un
rectángulo con altura a y anchura Dx
paralelo al plano xz.
1100 C APÍTU LO 32 Ondas electromagnéticas
En nuestro análisis de las ondas mecánicas en la sección 15.3, demostramos que
una función y(x, t), la cual representa el desplazamiento de cualquier punto en una onda
mecánica que viaja a lo largo del eje x, debe satisfacer la ecuación diferencial (15.12):
(32.10)
Esta ecuación se llama ecuación de onda, y v es la rapidez de propagación de la onda.
Para deducir la ecuación correspondiente para una onda electromagnética, consi-
deramos una vez más una onda plana. Es decir, suponemos que en cada instante, Ey y
Bz son uniformes en la totalidad de cualquier planoperpendicular al eje x, la dirección
de propagación. Pero ahora dejamos que Ey y Bz varíen continuamente a medida que
se avanza sobre el eje x; en esas condiciones, ambas son funciones de x y t. Conside-
remos los valores de Ey y Bz en dos planos perpendiculares al eje x, uno en x y otro en
x 1 Dx.
Siguiendo el mismo procedimiento anterior, aplicamos la ley de Faraday a un rec-
tángulo que yace paralelo al plano xy, como se ilustra en la figura 32.10. Esta figura
es similar a la 32.7. El extremo izquierdo gh del rectángulo está en la posición x, y el
extremo derecho ef se localiza en la posición (x 1 Dx). En el instante t, los valores de
Ey en estos dos lados son Ey(x, t) y Ey(x 1 Dx, t), respectivamente. Cuando aplicamos
la ley de Faraday a este rectángulo, encontramos que en vez de como
antes, tenemos
(32.11)
Para determinar el flujo magnético FB a través de este rectángulo, se supone que
Dx es suficientemente pequeño como para que Bz sea casi uniforme en todo el rectán-
gulo. En ese caso, FB 5 Bz(x, t)A 5 Bz(x, t)a Dx, y
Se utiliza notación de derivadas parciales porque Bz es función tanto de x como de t.
Al sustituir esta expresión y la ecuación (32.11) en la ley de Faraday, ecuación (32.1),
se obtiene
Por último, imaginemos que el rectángulo se encoge hasta quedar como una astilla,
de manera que Dx tiende a cero. Cuando se toma el límite de esta ecuación como 
Dx S 0, se obtiene
(32.12)
Esta ecuación demuestra que si hay una componente Bz del campo magnético que va-
ría con el tiempo, también debe haber una componente Ey del campo eléctrico que se
modifica con x, y a la inversa. Por el momento dejaremos a un lado esta ecuación, pero
volveremos a ella dentro de poco.
A continuación se aplica la ley de Ampère al rectángulo que se ilustra en la figu-
ra 32.11. La integral de línea se convierte en
(32.13)
Suponiendo una vez más que el rectángulo es angosto, tomamos como aproximación
del flujo eléctrico FE a través de él la expresión FE 5 Ey(x, t)A 5 Ey(x, t)a Dx. Por lo
tanto, la tasa de cambio de FE, que necesitamos para la ley de Ampère, es
dFE
dt
5
'Ey 1 x, t 2
't
 a Dx
CBS # d lS 5 2Bz 1 x 1 Dx, t 2a 1 Bz 1 x, t 2ar BS # d lS
'Ey 1 x, t 2
'x
5 2 
'Bz 1 x, t 2
't
 
Ey 1 x 1 Dx, t 2 2 Ey 1 x, t 2
Dx
5 2 
'Bz
't
 a 3Ey 1 x 1 Dx, t 2 2 Ey 1 x, t 2 4 5 2 'Bz't a Dx
dFB
dt
5
'Bz 1 x, t 2
't
 a Dx
 5 a 3Ey 1 x 1 Dx, t 2 2 Ey 1 x, t 2 4 CES # d lS 5 2Ey 1 x, t 2a 1 Ey 1 x 1 Dx, t 2a
r ES # d lS 5 2Ea
'2y 1 x, t 2
'x2
5
1
v2
 
'2y 1 x, t 2
't2
O
y
z
xe
a)
f
g
h
a
x
Dx
O
E
SE
S
E
S
B
S
B
SB
S
O
x
y
f
a
Dx
e
g
h
b) Vista lateral de la situación en a)
EyEy
A
S
32.10 Ley de Faraday aplicada a un
rectángulo con altura a y anchura Dx
paralelo al plano xy.
y
z
x
e
a)
h
x
Dx
O
a
g
f
O
E
S
B
S
E
S
B
S
O
x
z
f
a
e
g
h
b) Vista superior de la situación en a)
BzBz
Dx
A
S
32.11 Ley de Ampère aplicada a un
rectángulo con altura a y anchura Dx
paralelo al plano xz.
	
   15	
  
	
  
Al	
  substituir	
  esta	
  expresión	
  en	
  la	
  ley	
  de	
  Faraday	
  obtenemos	
  que:	
  
	
  
a Ey x + Δx,t( )− Ey x,t( )⎡⎣ ⎤⎦ = −
∂Bz x,t( )
∂t
aΔx⇒
⇒
Ey x + Δx,t( )− Ey x,t( )⎡⎣ ⎤⎦
Δx
= −
∂Bz x,t( )
∂t
	
  	
  
	
  
Tomando	
  el	
  limite:	
   lim
Δx→0
Ey x + Δx,t( )− Ey x,t( )⎡⎣ ⎤⎦
Δx
=
∂Ey x,t( )
∂x
	
  esto	
  nos	
  da	
  que:	
  
	
  
(13.11)	
  
∂Ey x,t( )
∂x
= −
∂Bz x,t( )
∂t
	
  	
  
	
  	
  
• Esta	
  ecuación	
  demuestra	
  que	
  si	
  hay	
  una	
  componente	
  Bz	
  del	
  campo	
  
magnético	
  que	
  varía	
  con	
  el	
  tiempo,	
  también	
  debe	
  haber	
  una	
  
componente	
  Ey	
  del	
  campo	
  eléctrico	
  que	
  se	
  modifica	
  con	
  x,	
  y	
  a	
  la	
  inversa	
  
	
  
	
  
Vamos	
  ahora	
  aplicar	
  la	
  ley	
  de	
  Ampère	
  al	
  rectángulo	
  mostrado	
  abajo	
  en	
  (a)	
  	
  
	
  
	
  
	
  
La	
  integral	
  de	
  línea	
  se	
  convierte	
  en:	
  
(13.12)	
  
 

B ⋅d

l∫ = −Bz x + Δx,t( )a + Bz x,t( )a = −a Bz x + Δx,t( )− Bz x,t( )⎡⎣ ⎤⎦ 	
  	
  
	
  
Y	
  para	
  el	
  flujo	
  eléctrico,	
  suponiendo	
  el	
  rectángulo	
  angosto	
  
(13.13)	
   dΦE
dt
=
∂Ey x,t( )
∂t
aΔx 	
  	
  
	
   	
  
1100 C APÍTU LO 32 Ondas electromagnéticas
En nuestro análisis de las ondas mecánicas en la sección 15.3, demostramos que
una función y(x, t), la cual representa el desplazamiento de cualquier punto en una onda
mecánica que viaja a lo largo del eje x, debe satisfacer la ecuación diferencial (15.12):
(32.10)
Esta ecuación se llama ecuación de onda, y v es la rapidez de propagación de la onda.
Para deducir la ecuación correspondiente para una onda electromagnética, consi-
deramos una vez más una onda plana. Es decir, suponemos que en cada instante, Ey y
Bz son uniformes en la totalidad de cualquier plano perpendicular al eje x, la dirección
de propagación. Pero ahora dejamos que Ey y Bz varíen continuamente a medida que
se avanza sobre el eje x; en esas condiciones, ambas son funciones de x y t. Conside-
remos los valores de Ey y Bz en dos planos perpendiculares al eje x, uno en x y otro en
x 1 Dx.
Siguiendo el mismo procedimiento anterior, aplicamos la ley de Faraday a un rec-
tángulo que yace paralelo al plano xy, como se ilustra en la figura 32.10. Esta figura
es similar a la 32.7. El extremo izquierdo gh del rectángulo está en la posición x, y el
extremo derecho ef se localiza en la posición (x 1 Dx). En el instante t, los valores de
Ey en estos dos lados son Ey(x, t) y Ey(x 1 Dx, t), respectivamente. Cuando aplicamos
la ley de Faraday a este rectángulo, encontramos que en vez de como
antes, tenemos
(32.11)
Para determinar el flujo magnético FB a través de este rectángulo, se supone que
Dx es suficientemente pequeño como para que Bz sea casi uniforme en todo el rectán-
gulo. En ese caso, FB 5 Bz(x, t)A 5 Bz(x, t)a Dx, y
Se utiliza notación de derivadas parciales porque Bz es función tanto de x como de t.
Al sustituir esta expresión y la ecuación (32.11) en la ley de Faraday, ecuación (32.1),
se obtiene
Por último, imaginemos que el rectángulo se encoge hasta quedar como una astilla,
de manera que Dx tiende a cero. Cuando se toma el límite de esta ecuación como 
Dx S 0, se obtiene
(32.12)
Esta ecuación demuestra que si hay una componente Bz del campo magnético que va-
ría con el tiempo, también debe haber una componente Ey del campo eléctrico que se
modifica con x, y a la inversa. Por el momento dejaremos a un lado esta ecuación, pero
volveremos a ella dentro de poco.
A continuación se aplica la ley de Ampère al rectángulo que se ilustra en la figu-
ra 32.11. La integral de línea se convierte en
(32.13)
Suponiendo una vez más que el rectángulo es angosto, tomamos como aproximación
del flujo eléctrico FE a través de él la expresión FE 5 Ey(x, t)A 5 Ey(x, t)a Dx. Por lo
tanto, la tasa de cambio de FE, que necesitamos para la ley de Ampère, es
dFE
dt
5
'Ey 1 x, t 2
't
 a Dx
CBS # d lS 5 2Bz 1 x 1 Dx, t 2a 1 Bz 1 x, t 2ar BS # d lS
'Ey 1 x, t 2
'x
5 2 
'Bz 1 x, t 2
't
 
Ey 1 x 1 Dx, t 2 2 Ey 1 x, t 2
Dx
5 2 
'Bz
't
 a 3Ey 1 x 1 Dx, t 2 2 Ey 1 x, t 2 4 5 2 'Bz't a Dx
dFB
dt
5
'Bz 1 x, t 2
't
 a Dx
 5 a 3Ey 1 x 1 Dx, t 2 2 Ey 1 x, t 2 4 CES # d lS 5 2Ey 1 x, t 2a 1 Ey 1 x 1 Dx, t 2a
r ES # d lS 5 2Ea
'2y 1 x, t 2
'x2
5
1
v2
 
'2y 1 x, t 2
't2
O
y
z
xe
a)
f
g
h
a
x
Dx
O
E
SE
S
E
S
B
S
B
SB
S
O
x
y
f
a
Dx
e
g
h
b) Vista lateral de la situación en a)
EyEy
A
S
32.10 Ley de Faraday aplicada a un
rectángulo con altura a y anchura Dx
paralelo al plano xy.
y
z
x
e
a)
h
x
Dx
O
a
g
f
O
E
S
B
S
E
S
B
S
O
x
z
f
a
e
g
h
b) Vista superior de la situación en a)
BzBz
Dx
A
S
32.11 Ley de Ampère aplicada a un
rectángulo con altura a y anchura Dx
paralelo al plano xz.
1100 C APÍTU LO 32 Ondas electromagnéticas
En nuestro análisis de las ondas mecánicas en la sección 15.3, demostramos que
una función y(x, t), la cual representa el desplazamiento de cualquier punto en una onda
mecánica que viaja a lo largo del eje