BertJanssen-RelatividadGeneral-38

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g g
A (n)
A (s)
Figura 1.10: El monopolo de Dirac según Wu y Yang: dividimos el espacio en dos parches θ ∈ [0, π2 + ǫ] y
θ ∈ [π2 − ǫ, π] y utilizamos en cada parche los potenciales ~A(n) y ~A(s) respectivamente, que son regulares
en su respectivos parches. La cuerda de Dirac (la lı́nea interrumpida) no aparece en la descripción, ya que
es un artefacto de la elección de gauge.
que efectivamente evita la singularidad en θ = π, pero que diverge en θ = 0, el eje z positivo.
El hecho de que la singularidad cambie de sitio al elegir otro potencial, indica que la cuerda de
Dirac no es algo fı́sico, sino un artefacto de la elección de gauge.9 Efectivamente, ~A(n) y ~A(s) están
relacionados a través de una transformación gauge (puesto que dan el mismo ~B):
~A(n) = ~A(s) +
qm
2πr sin θ
~eϕ = ~A
(s) − c~∇
(
− qm
2πc
ϕ
)
, (1.107)
donde en la última igualdad hemos utilizado la expresión
~∇Λ = ∂rΛ ~er +
1
r
∂θΛ ~eθ +
1
r sin θ
∂ϕΛ ~eϕ, (1.108)
para el gradiente en coordenadas esféricas.
El truco desarrollado por los fı́sicos chinos Chien-Shiung Wu (1912-1997) y Chen Ning Yang
(el mismo de la invariancia gauge tipo Yang-Mills) consiste en dividir el espacio en parches y
utilizar un potencial en cada parche, tal que la singularidad del potencial cae fuera del parche
en que lo utilizas (véase figura 1.10). En particular cogemos como primer parche el hemisferio
norte θ ∈ [0, π2 + ǫ], donde utilizamos el potencial ~A(n) y como segundo parche el hemisferio sur
θ ∈ [π2 −ǫ, π] con el potencial ~A(s). En la zona de solapamiento θ ∈ [π2 −ǫ, π2 +ǫ] los dos potenciales
están relacionados a través de la transformación gauge (1.107). Nótese que esta transformación
no está bien definida en θ = 0 y θ = π, los puntos de la cuerda de Dirac, pero dado que sólo
estamos interesados en aplicar la transformación gauge en la zona de solapamiento, no nos tiene
que preocupar.
El flujo magnético total a través de una esfera alrededor del monopolo viene dado por
⊂⊃
∫∫
~B · ~nd2x =
∫∫
N
(~∇× ~A(n)) · ~n d2x +
∫∫
S
(~∇× ~A(s)) · ~n d2x
=
∮
(
~A(n) − ~A(s)
)
· d~r
=
∮
~∇
(qm ϕ
2π
)
· d~r = qm, (1.109)
donde en la primera y la segunda igualdad hemos utilizado los teoremas de Stokes (1.25). Las
integrales de superficie están tomadas respectivamente en el hemisferio norte y sur y la integral
de contorno en la segunda igualdad está tomado a lo largo del ecuador, donde el signo relativo
es debido al hecho de que recorremos la curva dos veces en sentidos opuestos. Finalmente en la
9Incluso se puede demostrar relativamente fácil con la ley de Gauss que la cuerda no tiene porqué ser recta. Puede
tener la forma de una curva semi-infinita, mientras que sea continua.
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